İLKÖĞRETİMDE ETKİNLİK TEMELLİ MATEMATİK ÖĞRETİMİ
Prof. Dr. Sinan OLKUN Doç. Dr. Zülbiye TOLUK UÇAR
6. Baskı
İLKÖĞRETİMDE ETKİNLİK TEMELLİ MATEMATİK ÖĞRETİMİ Prof. Dr. Sinan OLKUN Doç. Dr. Zülbiye TOLUK UÇAR ISBN 978-605-5472-77-1
© Copyright 2014, Eğiten Kitap Bu kitabın basım, yayın, satış hakları Eğiten Kitap Yayın Organizasyon Ltd. Şti.’ye aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri fotokopi yoluyla, mekanik, elektronik, manyetik ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Genel Yayın Yönetmeni, Aydın Tekin Yayın Koordinatörü, Özgür DOĞAN Sayfa Düzeni, Eğiten Kitap Baskı, Erek Ofset Ankara, Ekim 2014 Yayınevi Sertifika No, 29377 Matbaa Sertifika No, 16098
Eğiten Kitap Tınaztepe mah. Bülbülderesi cad. No: 38/A • Kızılay/Ankara T: 0312 433 0893 (pbx)• F: 0312 433 0792 www.egitenkitap.com •
[email protected] •
[email protected] https://www.facebook.com/Egiten
5. BASKIYA ÖN SÖZ Milli Eğitim Bakanlığı’nın 2003 yılı sonunda girmiş olduğu ilköğretim programlarını değiştirme çabası içerik ve yöntem konusunda meydana gelen yeni gelişmelerin programlara yansıtılabilmesi fırsatını doğurmuştur. Aşırı parçalanmış hedef ve davranışlara dayalı olarak öğretmeyi ön planda tutan davranışçı yaklaşım, eğitimde artık bütün dünyada terk edilmeye başlanmış ve yerini öğretme yerine öğrenmeyi ön plana çıkaran oluşturmacı, yapılandırmacı yaklaşımlara bırakmıştır. Yapılandırmacı yaklaşımın eğitim ortamlarına aktif öğrenme, öğrenci merkezli eğitim, etkinlik temelli eğitim, proje tabanlı eğitim gibi çeşitli öğretim yöntem ve teknikleri olarak yansıtılmaya başlandığını görmekteyiz. Yaklaşım ve yöntemlerdeki bu değişimlerle eş zamanlı olarak bazı matematiksel bilgi ve becerilere verilen önemde de değişmeler olmaktadır. Örneğin kâğıt kalemle yapılan uzun toplama, çıkarma, bölme, çarpma gibi rutin işlemsel bilgilere verilen önem azalırken sayı hissi, zihinden yaklaşık işlem yapma, tahmin etme, veriye dayalı karar verme, bilginin çoklu temsilleri, bilgisayara dayalı temsiller oluşturma gibi bilgi ve becerilere verilen önem artmaktadır. Bu önem artışının temelinde bu becerilerin günümüzde daha yaşamsal olduğu düşüncesi yatmaktadır. Bilgi ve pratiğin çok hızlı değiştiği günümüzde biz de bu değişiklikleri öğretmen ve öğretmen adaylarına ulaştırmak istedik. Yeni baskı ile birlikte kitapta, özellikle ilköğretim programında öngörülen öğrenme alanları, alt öğrenme alanları ve öğrenci kazanımlarının gerçekleşmesi için nasıl yollar izlenebileceğine ilişkin kuramsal bilgilerin yanı sıra örnek etkinliklere de yer verilmektedir. Uygulanmaya başlayan yeni programın getirdiği yeniliklerden birisi öğretmenin rollerindeki değişmelerle ilgilidir. Öğretmen artık öğrencileri için etkinlikler tasarlayacak ya da en azından mevcut etkinliklerden en iyi ve öğrencisine en uygun olanını seçme becerisine sahip olacaktır. Öğretmen bilginin çoklu temsilleri, çeşitli çözüm yolları ve hatta çeşitli düzey matematiksel anlamalar konusunda bilgili ve duyarlı olmak durumundadır. Yeni programın öngördüğü 5 ana öğrenme alanı ve bunların alt alanları öğretmenin büyük resmi görmesini ve öğrencisinin bu resim açısından ne durumda olduğunu anlaması bakımından iyi bir düzenleme içermektedir. Ölçme ve değerlendirme artık ünite sonlarında ya da sınavlarda düşünülmesi gereken bir konu olmaktan çıkmış, sürecin tamamına yayılmış ve öğrenmeyi destekleyen, yönlendiren bir araç haline gelmiştir. İlköğretim 1-5 sınıfları için faydasız bir yük olduğu anlaşılan kümeler konusu programdan çıkarılmış bunun yerine örneğin sayı ve şekillerle örüntüler gibi daha güncel, daha yaşamsal bilgi ve beceriler eklenmiştir. Sürecin tamamında edinilen bilgi kadar kazanılan beceriler de önemlidir. Yeni programla birlikte problem çözme, akıl yürütme, iletişim ve ilişkilendirme gibi süreç becerileri hemen her konunun önemli bir ayağı haline getirilmiştir. Bütün bu gelişmelerin ilköğretimde matematik eğitimi açısından öğretmen eğitimine yansımaları olması doğaldır. Kitabın bu amaca hizmet etmesini diliyoruz. Sinan OLKUN Zülbiye TOLUK UÇAR
[email protected] [email protected] ETKİNLİK TEMELLİ MATEMATİK ÖĞRETİMİ
iii
YAZARLAR HAKKINDA Prof. Dr. Sinan OLKUN 1965 yılında Merzifon’da doğdu. İlk ve orta öğrenimini Merzifon’da tamamladı. 1981-85 yılları arasında Marmara Üniversitesi Teknik Eğitim Fakültesi Makine Bölümü’nde lisans eğitimi gördü. 1986-95 yılları arasında Ankara’da öğretmenlik yaptı. Aynı zamanda 1992-95 yılları arasında Orta Doğu Teknik Üniversitesi Eğitim Fakültesi Eğitim Bilimleri Bölümü’nde Yüksek Lisans yaptı. 1996 yılında doktora yapmak üzere Amerika Birleşik Devletleri’ne gitti. 1999 yılında Arizona Eyalet Üniversitesi’nde İlköğretim Matematik Eğitimi alanında doktora derecesi aldı. 2000 yılında Abant İzzet Baysal Üniversitesi Eğitim Fakültesi İlköğretim Bölümü Matematik Öğretmenliği Anabilim Dalı’nda öğretim üyesi olarak göreve başladı. 2004 yılında Ankara Üniversitesi Eğitim Bilimleri Fakültesi, İlköğretim Bölümü Sınıf Öğretmenliği Anabilim Dalına geçiş yapan Sinan Olkun aynı yıl Matematik Eğitiminde doçent unvanını aldı. 2010 yılında Profesör unvanını alan Sinan OLKUN halen TED Üniversitesi Eğitim Fakültesi dekanı olarak görev yapmaktadır. Yazarın ilköğretim okul matematiğinin aritmetik, geometri, ölçme ve uzamsal görselleştirme alanları ile hesaplama güçlükleri alanında çeşitli araştırma ve yayınları bulunmaktadır.
Doç. Dr. Zülbiye TOLUK UÇAR 1968 yılında Kayseri’de doğdu. İlk ve orta öğrenimini Kayseri’de tamamladı. 1985-90 yılları arasında Orta Doğu Teknik Üniversitesi Eğitim Fakültesi Fen Bilimleri Eğitimi Bölümü Matematik Öğretmenliği’nde lisans eğitimini birincilikle bitirdi. 1990-96 yılları arasında Orta Doğu Teknik Üniversitesi’nin aynı bölümünde araştırma görevliliği yaparken, yüksek lisans yaptı. 1996 yılında doktora yapmak üzere Amerika Birleşik Devletleri’ne gitti. Arizona Eyalet Üniversitesi’nde İlköğretim Matematik Eğitimi alanında başladığı doktorasını 1999 yılında bitirdi. Halen, Abant İzzet Baysal Üniversitesi İlköğretim Bölümü Matematik Öğretmenliği Anabilim Dalında öğretim üyesi olan Zülbiye Toluk’un rasyonel sayılar, kesir, cebir, problem çözme ve aritmetik alanlarında çeşitli araştırma ve yayınları bulunmaktadır.
iv
ETKİNLİK TEMELLİ MATEMATİK ÖĞRETİMİ
İÇİNDEKİLER
5. BASKIYA ÖN SÖZ....................................................................................................iii BÖLÜM 1 MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN TEMELLERİ.......................................................1 1. Öğrenme Kuramları........................................................................................................... 2 1.1. Davranışçı Yaklaşım.................................................................................................. 2 1.1.1. Yeni-Davranışçı: Robert Gagné....................................................................... 3 1.1.2. Davranışçı Yaklaşımının Değerlendirilmesi................................................... 4 1.2. Bilişsel Yaklaşım........................................................................................................ 5 1.3. Oluşturmacı (Yapılandırmacı) Yaklaşım.................................................................. 6 1.4. Çağdaş Yaklaşımlara Katkı Yapmış Bilimciler........................................................ 8 1.5. Gerçekçi Matematik Eğitimi (GME)........................................................................19 BÖLÜM 2 MATEMATİK ve ÖĞRETİMİ........................................................................ 23 2.1 Matematik Nedir?.....................................................................................................24 2.2 Matematiksel Bilgi....................................................................................................28 2.3 Matematikte Modeller..............................................................................................31 2.4. Matematikte Önemli Beceriler..............................................................................34 2.4.1. İletişim.............................................................................................................34 2.4.2. İlişkilendirme...................................................................................................34 2.4.3. Matematiksel Akıl Yürütme ve Kanıt Becerisi.............................................39 2.4.4. Matematiksel Bilgiyi Farklı Biçimlerde Temsil Etme..................................40 2.4.5. Problem Çözme..............................................................................................41 2.4.6. Tahmin Becerileri...........................................................................................50 2.4.7 Zihinden İşlem Yapma Becerileri...................................................................51 2.4.8. Sayı Hissi.........................................................................................................52 2.5. Etkili Öğretmenin Genel Özellikleri ......................................................................53 2.6. Etkili Matematik Öğretimi .....................................................................................53 2.6.1. Bir Oluşturmacı Öğrenme Etkinliği Nasıl Hazırlanır?................................54 2.6.2. Çocukların Matematiksel Düşüncelerinin Öğretimde Kullanılması..........56 2.6.2.1. Düşünceyi Ortaya Çıkarma...................................................................57 2.6.2.2. Öğrencilerin Kavramsal Anlamalarını Destekleme...........................57
İÇİNDEKİLER
v
2.6.2.3. Öğrencilerin Düşüncelerinin Devamını Sağlama - Derinleştirme...58 2. 6.2.4. Matematiksel Akıl Yürütmeye Yönlendirecek Sorgulama Yapma...59 2.7. Matematik Eğitiminde Teknoloji............................................................................60 BÖLÜM 3 MATEMATİKSEL KAVRAMLAR VE İŞLEMLER............................................ 65 3.1. Sayı Kavramı............................................................................................................66 3.2. Örüntüler..................................................................................................................94 3.3. Aritmetik İşlemler..................................................................................................102 3.3.1. Saymaktan Toplama ve Çıkarmaya Geçiş..................................................102 3.3.2. Toplama ve Çıkarma İşlemlerinin Standart Sözel Problemlerden Çıkarılan Anlamları......................................................................................105 3.3.3. Çarpma İşlemi ve Çeşitli Anlamları............................................................119 3.3.4. Bölme İşlemi ve Çeşitli Anlamları...............................................................123 3.3.5. Çarpma ve Bölme İşlemlerinin Sözel Problemlerden Çıkarılan Anlamları......................................................................................124 3.3.6. İşlemlerin Birbirleri İle Olan İlişkileri.........................................................126 3.3.7. İşlemlerin Özellikleri....................................................................................126 3.4. Rasyonel Sayılar ve Kesirler.................................................................................131 3.4.1. Rasyonel Sayıların Çeşitli Anlamları..........................................................132 3.4.2. Kesir Öğretiminde Kullanılabilecek Modeller...........................................136 3.4.3. Kesir Çeşitleri ..............................................................................................143 3.4.4. Kesirlerin Denkliği ve Sıralama..................................................................148 3.4.5. Kesirlerle Toplama ve Çıkarma İşlemleri..................................................154 3.4.6. Bir Çokluğun Verilen Kesir Kadarını Bulma..............................................158 3.4.7. Kesirlerle Çarpma İşlemi.............................................................................161 3.4.8. Kesirlerle Bölme İşlemi...............................................................................164 3.5. Ondalık Kesirler.....................................................................................................177 3.5.1. Ondalık Sayıların Öğretiminde Bazı Güçlükler..........................................179 3.5.2 Ondalık Sayılarla Dört İşlem........................................................................182 3.6. Oran –Orantı..........................................................................................................188 3.6.1. Oran Bulma...................................................................................................191 3.7. Yüzde.......................................................................................................................195 3.7.1. Bir Bütünün Parçasını Yüzde Olarak İfade Etme......................................196 3.7.2. Bir Miktarı Başka Bir Miktarın Yüzdesi Olarak İfade Etme......................198 3.8. Geometri.................................................................................................................200 3.8.1. Çocukta Geometrik Düşüncenin Gelişimi...................................................200 vi
ETKİNLİK TEMELLİ MATEMATİK ÖĞRETİMİ
3.8.2. Dönüşüm Geometrisi ve Geometrik Dönüşümler.....................................228 3.8.3. Üç Boyutlu Geometrik Cisimler ve Uzay Geometri...................................235 3.9. Ölçme ve Ölçüler...................................................................................................242 3.10. Grafikler................................................................................................................262 3.10.1. Şekil Grafiği . ..............................................................................................263 3.10.2. Sütun Grafiği...............................................................................................263 3.10.3. Çizgi Grafiği.................................................................................................264 3.10.4. Daire Grafiği................................................................................................264 BÖLÜM 4 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME................................................................. 269 4.1. Ölçme ve Değerlendirme Nedir?.........................................................................270 4.2. Matematik eğitiminde ölçmede genel ilkeler....................................................271 4.3. Geleneksel ölçme ve değerlendirme yöntemleri...............................................272 4.4. Alternatif Ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri................................................272 4.4.1. Görüşme........................................................................................................272 4.4.2. Gözlem...........................................................................................................274 4.4.3. Öğrenci Ürün Dosyası..................................................................................274 4.4.4. Günlük............................................................................................................275 4.4.5. Proje...............................................................................................................275 4.4.6. Performans Değerlendirme........................................................................276 4.5. Çeşitli Matematiksel Bilgi ve Beceriler ile Matematiğe Karşı Tutumun Ölçülmesi.....................................................................................276 4.5.1. İşlemsel Bilginin Ölçülmesi.........................................................................276 4.5.2. Matematiksel Bilgiyi Kullanma Gücünün Ölçülmesi.................................277 KAYNAKÇA.............................................................................................................. 279
İÇİNDEKİLER
vii
viii
ETKİNLİK TEMELLİ MATEMATİK ÖĞRETİMİ
BÖLÜM 1 MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN TEMELLERİ
Bu bölümde eğitimi etkilemiş ve ona yön vermiş felsefi akım ve öğrenme kuramlarından ve kuramcılarından bahsedilecektir. Daha sonra davranışçı, bilişsel ve oluşturmacı
(yapılandırmacı)
öğrenme
yaklaşımları ve gerçekçi matematik eğitimi gibi matematik öğrenme ve öğretmeyi etkileyen öğrenme kuramları ile öğrenme kuramcılarının katkılarına ilişkin çeşitli düşüncelere ve etkinliklere yer verilecektir.
ÖDEV
a yaparak Pavlov’un yaptığı deneyler (özellikle elips deneyi) hakkında araştırm getiriniz. geliniz. Bulgularınızı ve yorumlarınızı 1 sayfa halinde yazarak sınıfa
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN TEMELLERİ
1
1. ÖĞRENME KURAMLARI
Tartışma soruları 1. Öğrenme nasıl gerçekleşir? 2. Öğretmenin matematik öğretimindeki rolü nedir?
Öğretmen, kendi rolünü nasıl algılarsa öyle öğretir. Yani bir öğretmenin öğrenmeye bakış açısı ve öğrenmeyi nasıl tanımladığı onun sınıfta nasıl bir tutum takındığı ile çok sıkı bir ilişki içindedir. Şimdi öğrenmeyi değişik yaklaşımlar açısından inceleyelim. Öğrenmeyi açıklayabilmek için çeşitli felsefi yaklaşımların bilginin doğası ve nasıl elde edildiğine (epistemoloji) ilişkin kabullerini gözden geçirmemiz gerekmektedir. İki temel felsefi yaklaşımdan bahsedebiliriz. Bunlardan birincisi nesnellik akımı (objectivism, positivism) diğeri ise öznellik (subjectivism, interpretivism) akımıdır. Nesnellik akımı bilginin mutlak olduğunu, kişiden kişiye değişmemesi gerektiğini ve gerekli koşullar sağlandığında mutlak bilgiye ulaşılabileceğini savunur. Bilimsel bilginin laboratuar ortamında, nesnel koşullarda, bağımsız ve yansız bilimciler tarafından elde edilmesi gerektiğine ve bunun toplumdan topluma aktarılabileceğine, bireyden bireye öğretilebileceğine inanılır. Öznellik akımı ise mutlak bilgi diye bir şeyin olmadığını, bilginin kişiye, ortama ve elde edildiği koşullara bağlı olarak değiştiğini iddia eder. Her bireyin kendi gerçekliğini kendisinin deneyimleri ile yarattığını ve bir diğerininkine benzemek zorunda olmadığını savunur. Bilimsel bilginin, bireyin çevresi ile etkileşimi sonucu edindiği deneyimleri yorumlamasıyla oluştuğunu böylece aktarılamayacağına, uyarlanamayacağına ve öğretilemeyeceğine ama ancak öğrenilebileceğine inanılır. Bilginin doğasına ilişkin bu iki temel akımın etkilediği öğrenme kuramları da ortaya atılmıştır. Davranışçı ve bilişsel öğrenme kuramcıları nesnellik akımı etkisinde kuramlarını geliştirirken yapılandırmacı öğrenme yaklaşımı bunlara tamamen zıt yönde olan öznellik akımı etkisinde geliştirilmiştir.
1.1. Davranışçı Yaklaşım Davranışçı yaklaşım, öğrenmeyi bilişsel süreçlerin yerine, çevrenin davranış üzerindeki gözlemlenebilir etkileriyle açıklar. Bu yaklaşım öğrenme ürünlerinin gözlenebilir davranışlar olduğunu ve bu davranışların çevresel etkilerle istenilen şekilde biçimlenebileceği varsayımına dayanır. Bu yaklaşıma göre insanın nasıl öğrendiği ya da bildiğine ilişkin çalışmalar, beynin içinde ne olup bittiğinden çok insanın hangi uyaranlara ne gibi tepkiler verdiği üzerinde durmalıdır. Kara kutu terimiyle ifade edilen bu tutum, insanın zihninde ne olup bittiğini gözlemleyemediğimiz için daha çok ürünler üzerinde durulması gerektiğini savunur. Bu nedenle, en iyi tepkiyi alan uyaran en iyidir. O halde, davranışçılığa göre, öğrenme, gözlenebilir davranış değişikliği olarak tanımlanır. Her ne kadar öğrencinin bu davranış değişikliğine eşlik eden zihinsel süreç2
İLKÖĞRETİMDE ETKİNLİK TEMELLİ MATEMATİK ÖĞRETİMİ
ler olsa da, bu süreçlerin öğrenmeyi anlamada önemli olmadığı düşünülür (McCown, Driscoll ve Roop, 1995). Bir başka deyişle, öğrenmeyi açıklarken, öğrencinin ne düşündüğünden çok, ne yaptığı göz önünde bulundurulur. Davranışçı öğrenme kuramlarına göre öğrenme tepkisel ve edimsel koşullanma yoluyla olmaktadır. Tepkisel koşullanma yoluyla organizma belirli uyarıcılara karşı otomatik olarak gösterdiği tepkileri başka uyarıcılara karşı da göstermeyi öğrenir. Tepkisel koşullanma Ivan Pavlov tarafından ortaya atılmıştır. B. F. Skinner, Pavlov’un çalışmasını dikkatle inceledikten sonra, hayvan ve insanların sadece çevre değişikliklerine tepkide bulunan varlıklar olmayıp, aynı zamanda içinde bulundukları çevresel koşulları kendi istekleri doğrultusunda değiştirebilen varlıklar olduğunu ortaya atmıştır. Skinner organizmanın çevresini değiştirebilen bu davranışlarına edimsel davranış adını vermiştir. Edimsel koşullanma kavramı 1950 ve 1960’larda ortaya çıkmıştır. Edimsel koşullanmaya göre, uygun davranış istenilen ürüne doğru yavaş yavaş biçimlendirilir. Bu görüş, öğrenme sürecini açıklamadaki kesinliği açısından bir çok psikoloğu etkilemiştir. Bu davranışçı teoriler özellikle hayvan laboratuvarlarında iyi sonuçlar vermiştir. İnsanın kavramsal öğrenmesinin hayvanlardaki öğrenme sürecine ille de paralel olması gerekmediğini savunan bazı psikologlar tarafından çok ağır bir şekilde eleştirilmiştir (Post, 1992). Davranışçılığın geliştirilmiş bir hali 1960’larda ortaya çıkmıştır. Yeni davranışçı olarak adlandırılan bu akımın en önemli isimlerinden olan Robert Gagné’den aşağıda bahsedilecektir. 1.1.1. Yeni-Davranışçı: Robert Gagné Robert Gagné bir yeni-davranışçı (Neo-Behaviorist) sayılabilir. O da öğrencinin öğretmeye verdiği tepki üzerine durur. Gagné öğrenmenin insanların kazandığı bütün bilgi, tutum, değer ve becerileri içerdiğini düşünmüştür. İnsanlar öğrendiğinde çeşitli performanslara sahip olur. Gagné’ ye göre beş tür öğrenilmiş beceri vardır. Bunlar sözel bilgi, entelektüel beceriler, bilişsel stratejiler, tutum ve motor becerileridir. Gagné herhangi kapsamlı bir öğrenme teorisinin bu davranış değişikliği olan insan becerilerini açıklaması gerektiğini savunur. Öğrenme psikolojisi ile öğretim arasındaki ilişkiye açıklık getirmek için büyük çaba göstermiştir. Davranışçı geleneğin temel sorusu olan, “Bireyin ne yapabilmesini istiyoruz” sorusu Gagné’nin de çalışmalarının temelini oluşturmuştur. Bu soruyu yanıtlamak için ise, konu analizine başvurmuştur. Konu analizi, kavramları küçük parçalara bölme süreci olarak tanımlanabilir. Konu analizindeki amaç ise, öğrencinin öğretilen konuları küçük bilgi kırıntıları halinde öğrenmesi ve bu bilgi kırıntılarını sonra kendi kendine bir araya getirerek bütünü oluşturabilme düşüncesidir (Post, 1992). Örneğin, 2 basamaklı sayıları toplama becerisinin konu analizini yaparken öğretmen şu soruyu sormalıdır: Öğrencinin 2 basamaklı iki sayıyı toplayabilmesi için bu öğrenci önce neyi ya da neleri bilmelidir? Bu davranışlar belirlendikten sonra, öğrenci 2 basamaklı 2 sayıyı toplayabilme becerisini kazanması için, bunlar adım adım öğretilmelidir. Örneğin;
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN TEMELLERİ
3
1. Tek basamaklı sayıları toplayabilme, 2. İki basamaklı ve tek basamaklı sayıyı eldesiz toplama, 3. İki basamaklı ve tek basamaklı sayıyı eldeli toplama, 4. İki basamaklı sayıları eldesiz toplama, 5. İki basamaklı sayıları eldeli toplama, gibi bir analize gidilebilir. Gagné’ye göre, öğretme ve öğrenmenin belli bir hedefi olmalıdır. Örneğin, öğretilecek konunun alt konuları belirlenmelidir. Öğrenme hedefleri belirlendikten sonra, öğrencinin ön bilgileri belirlenmelidir. Öğretme aşamasından sonra, öğrencilerin bilgileri değerlendirilmeli, eğer bazı öğrenciler amaçlanan hedefe ulaşmamışsa, o öğrencilere tekrar bu konular öğretilmelidir. Gagné daha çok “ne” sorusuyla ilgilenmiş ve “nasıl” sorusuna değinmemiştir. Onun için nasıl öğrenildiği değil, sonunda ne öğrenildiği önemlidir. Ne’yi öğretmek için öğretmen, herhangi bir öğretim metodu kullanabilir (düz anlatım, tartışma, keşif yoluyla, vb.), önemli olan öğrencinin amaçlanan hedefe ulaşabilmesidir (Post, 1992). Öğretimi değerlendirme ölçütü, öğrenmenin nasıl gerçekleştiği değil, öğrencinin ne öğrendiğidir. Eğer istenilen hedefe ulaşılmışsa, öğretim başarılı, aksi takdirde başarısızdır. Kısaca Gagné’nin yaklaşımı, öğrenme adımlarının programlanması olarak düşünülebilir. Gagne’nin yaklaşımı matematik programlarının geliştirilmesinde sıkça kullanılmış, programlı öğretim, hedef ve hedef davranışlar gibi kavramlar Gagné’nin konu analizinden ortaya çıkmıştır (Post, 1992). Öğrencinin ne yapması isteniyorsa onun doğrudan öğretimi esas alınmıştır.
Etkinlik
ki hedefe Gagné’nin konu analizi için geliştirdiği yöntemi kullanarak aşağıda ulaşmak için gerekli ön koşulları belirleyiniz. sınıflan1. Çokgenleri (dörtgen, üçgen, beşgen, vb.) kenar sayılarına göre dırma becerisi 2. Tek basamaklı iki sayıyı çarpabilme becerisi 1.1.2. Davranışçı Yaklaşımının Değerlendirilmesi Çocuğun yapacağı etkinlikler, öğrenme hedefleri olarak önceden belirlenir. Böylece başka olası öğrenme etkinlikleri kısıtlanmış olur. Bu tür bir yaklaşımda en büyük tehlike ise, planlanmamış fakat öğrencinin kendi kendine öğrenebileceği öğrenme etkinliklerine izin verilmemesidir. Ayrıca, problem çözme becerisinin gelişmesine uygun olmadığı ileri sürülmektedir (Post, 1992). Bu tür bir yaklaşımda, öğretmen istediği öğretim tekniğini kullanabilir (buluş yolu, sunuş yolu, vb). Öğretmen öğrencileri istenilen hedefe ulaştırabilmek için uygun öğrenme ortamlarını düzenlemelidir. Bu süreçte başka şeyler öğrenildiyse bunlar önemli değildir. Bu tür programlı öğrenme yolları, öğrencilerin öğrendiklerini farklı, yeni problem ortamlarına aktarmasına elverişli olmadığı için de eleştirilmiştir. 4
İLKÖĞRETİMDE ETKİNLİK TEMELLİ MATEMATİK ÖĞRETİMİ
Özet olarak, davranışçılar öğretimin gözlenebilir davranış değişikliklerine yol açmasına önem verirler. Öğrenme süreci üzerinde pek durmazlar. Öğrenmede kalıcılığın ise tekrar ve alıştırmalarla sağlanacağını savunurlar. Türk milli eğitim sistemi de bugüne kadar tamamen davranışçı yaklaşıma göre düzenlenmiştir. Programda yer alan hedef ve hedef davranışlar, Gagné’nin çağdaşı olan Bloom’un taksonomisini temel alır. Gagné’nin aksine, Bloom öğrenme ürünlerinde bilişsel alana ağırlık vermiş ve 6 düzey belirlemiştir. Bu düzeyler en basitten karmaşığa doğru, bilgi, anlama, uygulama, analiz, sentez ve değerlendirmedir. Bloom’un taksonomisi hiyerarşik bir yapıya sahiptir ve öğretimi planlamak için yaygınca kullanılmaktadır. Bloom taksonomisi bilgi düzeyi ile bilginin önce ezber olarak edinildiğini ve öğrencinin bunu kavraması için tekrar etmesi daha sonra da bunu uygulamasını öngörür. Oysa yeni yaklaşımlar öğrencilerin çoğu kez yaparak yani uygulayarak anladığını göstermektedir. Kısaca öğrenme özellikle matematiksel öğrenme Bloom’un öngördüğü gibi her zaman lineer yani doğrusal olarak gerçekleşmemektedir. Aksine öğrencinin matematiksel bilgiyi oluştururken daha ilkel bir kavramsallaştırmadan daha ileri ve derin bir kavramsallaştırmaya doğru geliştirerek gittiği ortaya çıkmıştır.
1.2. Bilişsel Yaklaşım İnsan beynini bir bilgisayara benzeten bilişsel kuramcılar bilginin dışarıdan duyular aracılığı ile algılandığını ve beyinde işlenerek anlamlı hale dönüştürüldüğünü kabul ederler. Bilgi duyular yoluyla algılanır, kısa süreli bellekte toplanır ve bir kısmı uzun süreli belleğe aktarılarak görece kalıcı hale dönüşür. Hatırlama ise bir dış uyarıcının tetiklemesi sonucu uzun süreli bellekten çağırılarak gerçekleşir. Davranışçı öğrenme kuramlarına göre öğrenme uyarıcı ve davranışlar arasında kurulan bir bağdır. Bilişsel öğrenme kuramlarına göre ise öğrenme bir problem çözmedir. Davranışçılara göre uyarıcı ve davranışlar arasındaki bağların nasıl kurulduğunu anlamak öğrenmeyi açıklamaktadır. Bilişsel öğrenme kuramcılarına göre ise öğrenme bir bütündür. Bu yüzden davranışçıların aksine, bilişsel yaklaşımcılar, öğrenme sürecine yani nasıl öğrenildiğine de önem vermişlerdir. Parçalar kadar parçalar arasındaki ilişkilerin öğrenilmesi üzerinde de durmuşlardır. Bütün, parçaların toplamından büyüktür. Kavramsal anlama, küçük küçük parçalanmış, aralarında ilişki kurulmamış bilgi kırıntılarının öğrenilmesinden daha önemlidir. O halde bütün ile parçalar arasındaki ilişkilerin kurulmasına önem verilmelidir. Bu yüzden öğrenme bir bütün olarak ele alınmalıdır. Davranışçı öğrenme kuramcılarına göre öğrenmeyi açıklayan tüm değişkenler çevrededir. Bu nedenle öğrenmeyi açıklayabilmek için çevrenin organizma üzerindeki etkisi incelenmelidir. Bilişsel öğrenme kuramcılarına göre ise öğrenme zihinsel bir süreçtir. Bilişsel yaklaşımlara getirilen iki önemli eleştiriden birisi insanın bir makine olamayacağı dolayısıyla anlam oluşturmanın bilgi işlemeden çok farklı bir süreç olduğu konusundadır. Aynı ortamlara maruz kalan iki insanın farklı anlamlar oluşturabileceği bu eleştiriye dayanak olarak gösterilmektedir.
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN TEMELLERİ
5
1.3. Oluşturmacı (Yapılandırmacı) Yaklaşım
görebilir.” Tartışma sorusu: “İnsan gördüğünü anlamaz, ancak anladığı şeyleri anız nedir? sözünü tartışınız. Bu söze katılıyorsanız ya da katılmıyorsanız savunm Oluşturmacılık bir eğitim kuramından çok felsefi bir yaklaşımdır. Bu yaklaşıma göre gerçeklik bir bireyden diğerine doğrudan aktarılamaz. Dolayısıyla bilgi de aynı şekilde bir bireyden diğerine doğrudan aktarılamaz. Yani, bilgi ancak bireyin kendi aktif çabası sonucunda, bireyin zihninde oluşur. Bu oluşturma sürecinde kişinin geçmiş yaşantılarının ve çevresinin etkisi vardır. Ayrıca, öğrenme kişisel bir olaydır. Her birey kendi yaşantısına bir anlam yükler. Bu anlam herkes için aynı olmayabilir. Fakat bireylerin bu anlamları oluşturmasına, çevredeki diğerleri de katkı da bulunabilir. Oluşturmacılığın temelleri Piaget’nin bilişsel gelişim kuramına dayanır. Bu kurama göre bilgi, fikirlerin içsel olarak akıl veya zihin tarafından yapılandırılmasıyla oluşur. Genel olarak bilgi üç tip olarak düşünülür: fiziksel bilgi, mantıksal-matematiksel bilgi ve sosyal bilgi. Mantıksal-matematiksel bilgi bir ilişkiler bilgisidir. Yani, (somut veya soyut) olgular arasındaki mantıksal ilişki ve bağlantılara mantıksal-matematiksel bilgi denir. Örneğin; bir cismin diğerine göre sert oluşu, renk farklılığı vesaire fiziksel bilgi olurken uzunluğu-kısalığı, uzaktalığı-yakındalığı ve şekli gibi fikirler matematiksel bilginin temelini oluşturur. Öyle ise genel olarak diyebiliriz ki fiziksel bilgileri duyular yolu ile algılayabiliriz. Mantıksal-matematiksel bilgiler ise duyular yolu ile alınanın ötesinde akıl yürütme sonucu mantıksal zincirler şeklinde oluşturulur. Örneğin; bir cismin şeklinin kare olduğu, diğer bir cisimden büyük olduğu, uzaktalığı-yakındalığı, yukarıdalığı-aşağıdalığı gibi ilişkilere dayalı bilgiler mantıksal-matematiksel bilgidir. Bir başka açıdan, dört elma dört armuda nicelik olarak eşittir ama fiziksel olarak değildir. Biz, bu iki meyveyi (sayısal olarak) zihnimizde eşit kabul ederiz. Matematiksel bilgiyi ise kavramsal ve işlemsel bilgi olmak üzere iki gruba ayırabiliriz. Kavramsal bilgi işlemsel bilgiyi destekler ve ona anlam kazandırır. Örneğin; 4 sayısının dört olma özelliği veya dört nesneden oluşan bir kümenin eleman sayısı olması bir kavramsal bilgidir. Benzer şekilde toplama işleminin çoklukların birleştirilmesi veya bir araya getirilmesi olduğu da bir kavramsal bilgidir. İşlemsel bilgi ise kavramsal bilgiler üzerinde yapılan rutinlerdir ve kurallardan oluşur. Örneğin toplama işleminin rutinleri, yani sembol ve kurallarla nasıl yapılacağı işlemsel bilgi olurken iki kümede bulunan nesnelerin birleştirilmesi toplamanın kavramsal yönü olarak değerlendirilir. Kısaca kavramsal bilgi ne zaman ve neden bir işlemin kullanılacağı bilgisi olurken o işlemin nasıl yapıldığı işlemsel bilgi olarak adlandırılır. Bir kuralın neden çalıştığı yani neden doğru sonuç verdiği de yine kavramsal bilgidir. Temelde matematiksel bir bilginin kavramsal düzeyde çocuğa doğrudan gösterilmesi olanaklı değildir (van de Walle, 1998). Örneğin beş sayısının beş olma özelliği doğrudan çocuğa gösterilemez. Ancak çocuk, beş nesnenin beş sayısı ile ifade edileceği 6
İLKÖĞRETİMDE ETKİNLİK TEMELLİ MATEMATİK ÖĞRETİMİ
sonucunu, değişik sayma etkinliklerinden sonra kendisi oluşturur. Veya iki elma ile üç elmanın birlikte oluşturduğu sayının toplama işlemi ile bulunabileceği yargısına varır. Çocuk somut deneyimlerinden bu bilgileri soyutlar ve bu süreçte zihninde bu kavramlara ilişkin yapılar oluşturur. Böyle yapabilen bir öğrenci matematiksel anlamda bilgi oluşturuyor (constructing knowledge) demektir. Oluşturmacı perspektiften bakıldığında iki önemli öğrenme unsuru vardır: Birincisi bilginin oluşturulması aktif bir çabayı gerektirir. İkincisi ise; yeni bir fikrin oluşturulması ve anlaşılması eski ve yeni fikirler arasında bağlantılar oluşturulmasını gerektirir. Yani kişinin önceki bilgileri veya bilgi düzeyi yeni bilginin algılanabilmesinde belirleyici özelliğe sahiptir. Bir diğer deyişle, öğrenme bir ilişkiler ağı kurmayı gerekli kılar ve kişi bu bağlantıları ancak zihinsel olarak aktif olursa kurabilir. Bilişsel şemalar olarak adlandırılan bu ağlar bilgi oluşturulmasının hem ürünü hem de aracıdırlar. Bu yaklaşımda, yeni bir fikrin var olan yapı içerisine uydurulmasına bilginin özümlenmesi (assimilation) denir. Var olan bilişsel yapının yeni öğrenilenler ile değiştirilmesine ise düzenleme (accommodation) adı verilir. Yeni bir bilgi veya ileti ile karşılaştığımızda onu anlamak için çaba göstermemiz gerekir. Bu çaba esnasında yapılan faaliyet yeni bilgiyi mevcut bilgimiz ile kendimize açıklamaya çalışma faaliyetidir. Eğer bu kolayca gerçekleşebiliyorsa bilgi özümleniyor demektir. Değilse, yani mevcut bildiklerimiz konuyu kendimize açıklamamıza yetmiyor ise mevcut bilgilerimizde de yeni bir düzenlemeye gidiliyor demektir. Yapılandırmacılık bilişsel ve sosyal yapılandırmacılık olmak üzere iki ayrı görüşü içinde barındırır. Bunlardan bilişsel yapılandırmacılık bilginin oluşturulmasında bireyin önemini ön plana alırken sosyal oluşturmacılık içinde bulunulan toplumun etkisini ön plana çıkarır. Ancak her iki görüşte bilginin birey tarafından oluşturulduğunu ve bireyin çevresinde olup bitenleri yorumlaması ve anlamlandırmasıyla gerçekleştiğini savunur. Bilişsel oluşturmacılık daha çok Piaget’nin çalışmaları esas alırken, sosyal oluşturmacılık Vygotsky’nin düşüncelerine dayanır. ETKİNLİK 1. 2581114172023 sayı dizisine 10 saniye bakınız ve diziyi ezberlemeye çalışınız. Ne gibi stratejiler kullandınız? Hangi ön deneyimlerinizi kullandınız?
_______________________________________________________________
2. Bu sayı dizisini 1 ay sonra hatırlayabilir misiniz? Neden?
_______________________________________________________________
3. A, B ve C şekillerini 10 saniye inceleyiniz. Bu üç şeklin birbirleri ile ilişkileri hakkında neler söyleyebilirsiniz? A
B
C
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN TEMELLERİ
7
1.4. Çağdaş Yaklaşımlara Katkı Yapmış Bilimciler Jean Piaget Piaget İsviçreli bir psikologdur. İnsan zekasının (bilişsel) gelişimini anlamamıza büyük katkıları olmuştur. Bilişsel gelişimi; kalıtım ve çevreyle etkileşimin bir sonucu olarak görmüş ve bu süreci etkileyen faktörleri beş grupta toplamıştır. (1) olgunlaşma, (2) yaşantı, (3) uyum (4) örgütleme (5) dengeleme. Piaget, zekayı organizmanın çevresine etkili bir şekilde uyabilmesi olarak tanımlar. Zekanın evrimi ise bireyin sürekli olarak çevreye karşı algılarını ve tepkilerini düzenlemesi ve yeniden düzenlemesi sürecidir. Birbirini bütünleyen iki süreç vardır. Başka bir deyişle, bilişsel gelişim dengeler, dengesizlikler ve yeni dengeler oluşturma sürecidir. Bir organizma yeni bir durumla karşılaşmadan önce bir denge durumundadır. Yeni bir olay, durum veya olgu ile karşılaşıldığında bu denge hali bozulur. Bu yeni duruma uyum sağlayabilmek için organizma yeni bir denge hali yaratır. Bu üst düzey denge hali bir bilişsel gelişmedir. Organizmada denge, özümleme ve düzenleme süreçleri ile sağlanır. Yeni bir durum ile karşılaşıldığında, organizma eski deneyimlerine ve bilgilerine dayanarak durumu anlamaya çalışır ve sahip olduğu bilişsel yapıyla bu yeni olayı özümsemeye çalışır. Eğer eskiden oluşturmuş olduğu bilişsel yapıya bu yeni olayı ya da nesneyi oturtamazsa yeni bilişsel yapılar oluşturur ya da eskisini değiştirerek yeni bir denge haline gelir. Öğrenme bu yeni düzenleme sonunda gerçekleşir. O halde, dengeleme bireyin yeni yaşantılar yolu ile özümleme ve düzenleme yaparak yeni dengelere ulaşması ise, öğrenme de bu yeni dengelemelerin sonunda oluşur. Dengeleme sürecinin işlemesi için, özümleme ve düzenleme olaylarının dengeli bir şekilde yer alması gerekir. Eğer bir öğrenme etkinliği sadece özümleme mekanizmasını hareket ettirirse ya da özümlemeye dayanmadan düzenlemeye yöneltirse yeni dengeler yaratamayacaktır. Böylece yeni bir öğrenme gerçekleşmeyecektir. Başka bir deyişle, kolayca özümlenebilen durumlar öğrenci zihninde yeni dengesizlikler yaratmayacağından; öğrenci düzeyinin üzerindeki etkinlikler ise özümlemeye dayanmamış olacağından, öğrenme olayı gerçekleşmeyecektir. Bu nedenle öğrenme etkinlikleri düzenlenirken, öğrencilerin düzeyleri göz önünde tutulmalıdır. Piaget bilişsel gelişimde 4 evre belirlemiştir. Bu evreler, duyusal motor, işlem öncesi, somut işlemler ve soyut işlemlerdir. Bu evreler, eğitimcilere çocukların düşünce biçimlerinin niceliksel ve niteliksel olarak yetişkinlerinkinden farklı olduğunu göstermiştir. Piaget ısrarla çocukların “küçük yetişkinler” olmadıklarını ve öğrenme ortamlarında öyle davranılmamaları gerektiğini belirtmiştir. Piaget’nin eğitime yönelik belki de en önemli önerisi, “öğrenciler, özellikle küçükler, en iyi somut etkinliklerden öğrenir” olmuştur. Eğer bu öneri okullarda ve sınıflarda uygulanacak olursa, öğrenme ortamlarının ve öğretmenin rolünün köklü bir şekilde değiştirilmesi gerekecektir. Bu tür bir ortamda, öğretmen bilgi aktarıcı olmaktan çıkar, öğrenciye öğrenmede bir rehber, bir yardımcı görevini alır. Ayrıca Piaget, öğrenci-öğrenci etkileşiminin bilişsel gelişimdeki önemini vurgulamıştır. Piaget’ye göre, öğrenciler arası fikir alışverişi, tartışma, birbirinin düşüncelerini değerlendirme, öğrencinin bilişsel gelişim hızını ve kalitesini artırır. 8
İLKÖĞRETİMDE ETKİNLİK TEMELLİ MATEMATİK ÖĞRETİMİ
Piaget bazı fen ve matematik temel kavramlarının çocuklar tarafından nasıl öğrenildiğine ilişkin kapsamlı çalışmalar yapmıştır. Piaget’nin bilişsel gelişim kuramı matematik eğitiminde çok önemli gelişmelerin başlamasına yol açmıştır. Örneğin çocukta sayı kavramının gelişimini anlamamıza önemli katkıları olmuştur. Ayrıca Piaget’nin bilişsel gelişim kuramı matematik öğretiminde nasıl bir yol izlememiz gerektiğine ilişkin bir yol gösterici olmuştur Lev Semyonevich Vygotsky Hukuk ve dilbilim eğitimi alan Vygotsky, 1917 Rus devriminden sonra psikolog olarak kariyerine devam etmiştir. Vygotsky bilişsel gelişime Piaget’den farklı yaklaşmıştır. Piaget’ye göre, bilişsel gelişim dört aşamalıdır ve gelişim hedefteki bir son noktasıdır. Vygotsky ise, Piaget’nin aksine, bilişsel gelişimi elde edilmesi gereken bir ürün olmaktan çok analiz edilmesi gereken hayat boyu süren karmaşık bir süreç olarak görmüştür (Driscoll, 1994). Vygotsky’ye göre toplumların ve bireylerin gelişiminde araç ve işaret sistemlerinin (dil, yazı, matematik, vb.) önemli rolü vardır. Bu sistemler insanlık tarihi boyunca toplumlar tarafından yaratılırlar; toplumun yapısına ve kültürel gelişim düzeyine bağlı olarak değişirler. Vygotsky, kültürel olarak oluşturulmuş işaret sistemlerinin içselleştirilmesinin bireyin davranışının dönüştürülmesine neden olduğuna ve bireysel gelişim için bir köprü oluşturduğuna inanmıştır. Böylece, Vygotsky için bireysel gelişim mekanizmasının kökleri toplumda ve kültürde yatmaktadır. Vygotsky’nin kuramına göre, sosyal etkileşim bilişsel gelişimde çok temel bir rol oynar. Vygotsky’ye göre, çocuğun kültürel (bilişsel) gelişiminde her fonksiyon iki kez ortaya çıkar: önce sosyal düzeyde, sonra bireysel düzeyde. Bir başka ifadeyle, her fonksiyon, ilk olarak insanlar arasında daha sonra ise çocuğun kendisinde meydana gelir. Çocuklar, kültürel mirası taşıyan daha bilgili ve yetenekli akran ve yetişkinleri içeren sosyal bir ortam içinde öğrenir ve gelişirler. Öğrenmede, öncelikle dilin ve iletişimin kullanımı önemlidir; yazılı belgeler ya da diğer fiziksel veya sembolik biçimde olan kültürel araçların kullanımı ise öğrenmede destekleyicidir. Vygotsky’nin bilişsel gelişim kuramında temel düşünce yakınsak gelişim alanı (zone of proximal development) kavramıdır. Vygotsky, yakınsak gelişim alanını bağımsız problem çözme olarak belirlenen gerçek gelişim düzeyi ile yetişkin rehberliğinde ya da daha yetenekli akranlarla işbirliği yaparak problem çözme olarak belirlenen gizil gelişim düzeyi arasındaki fark olarak tanımlar (Vygotsky, 1978). Vygotsky’e göre, öğrenme bu bölgede gerçekleşir. Öğrenme (gelişme) öğrencinin ne bildiği ile ne bilebileceği arasındaki boşluğa bir köprü kurar. Gelişmeye açık alan bölgesinin tam gelişimi tam bir sosyal etkileşime bağlıdır. Çünkü yetişkin rehberliği ile ya da akran etkileşimiyle kazanılacak becerilerin yelpazesi çocuğun tek başına kazanabileceği becerilerin yelpazesinden daha geniştir Vygotsky’nin dil gelişimi ile düşünce arasındaki ilişkiyi açıklamada önemli katkıları olmuştur. Düşünce ve Dil başlıklı kitabında, dil gelişimi ile zihinsel kavramların gelişimi ve bilişsel farkındalığın gelişimi arasında bağlantılar kurmuştur. Çocuklarda konuşma başlangıçta dışa dönüktür ve ihtiyaçlarını belirtmek için kullandığı bir araçtır. Bebek annesiyle etkileşimi sonucunda işaretlerin anlamını öğrenir. Örneğin, parmağıyla biberonunu MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN TEMELLERİ
9
işaret ederken aynı zamanda ağlar ya da sesler çıkarır. Çıkardığı seslerin sosyal iletişim için gerekli ve önemli işaretler olduğunu görür. Zamanla işaretlerin yanı sıra nesnelerin isimlerini sormaya başlar. Böylece çocukta konuşma kendi davranışlarını yönlendiren kendi kendine konuşma biçimini alır. Okula başlayana kadar çocuk için konuşma sosyal etkileşim için bir araçtır. Okula başlama dönemlerinde çocuk sosyal konuşmanın yanı sıra konuşmayı içselleştirerek iç konuşmayı geliştirir. İç konuşma bireyin düşüncelerini düzenlemesine ve kontrol etmesine, düşünceleri ise bireyin davranışlarını ve etkinliklerini düzenlemesine yardımcı olur. Özet olarak dil öğrenme sosyal etkileşim sonucunda gerçekleşir ve dil, düşünceyi mümkün kılar. Çocukta konuşma başladıktan sonra, düşünme süreçleri de gelişmeye başlar. Dilin, anlam oluşturmada önemli bir araç olduğu düşünüldüğünde, çocukların aktif bir şekilde anlam oluşturmalarına ortam sağlayacak otantik anlamlı öğrenme etkinliklerinin düzenlenmesinin önemi daha fazla ortaya çıkmaktadır. Vygotsky’nin sosyokültürel yaklaşımı, öğrenmenin sosyal bir süreç olduğunu vurgulamaktadır. Öğrenmede sosyal etkileşim olduğu kadar, bu etkleşimde kullanılan kültürel araçlar da önemli bir yere sahiptir. O halde öğretimde, öğrencilerin sosyal etkileşimini kolaylaştırıcı grup çalışması, sınıf tartışması gibi yöntemlerin kullanılmasının yanı sıra, anlamlı öğrenme etkinliklerinin düzenlenmesine özen gösterilmelidir. Zoltan P. Dienes Piaget öğrenme ile genel olarak ilgilenirken Dienes, doğrudan matematiği öğrenme ile ilgilenmiştir. O da Piaget gibi, öğrenme sürecinde aktif öğrenci katılımını savunmuştur. Dienes, matematiği iyi bir iş bulmak için öğreniyoruz diyenlere karşı çıkmış ve matematiğin kendi iç güzelliği olan bir sanat olarak öğrenilmesi gerektiğini savunmuştur. Dienes eğitim sisteminde süregelen sınırlı matematik içeriği, öğrenme hedeflerinin dar bakış açısı, büyük-grup öğretim tekniklerinin (düz anlatım, sunuş, vb.) aşırı kullanılması gibi bir çok önemli konuyla ilgilenmiştir. Dienes’in matematik öğrenme kuramının 4 ana ilkesi vardır. Dinamiklik İlkesi Bu ilkeye göre, yeni bir kavramın gerçek bir şekilde anlaşılması (kavranması) üç aşamalı evrimsel bir süreçtir. İlk aşama oyun aşamasıdır. Öğrenci kavramla ilk olarak az yapılandırılmış etkinliklerle, bir başka deyişle, oyun halinde tanışır. Oyun kavramı çocukların günlük yaşamda oynadıkları oyunlarla karıştırılmamalıdır. Dienes’in bu aşamayı oyun olarak nitelendirmesinin nedeni iki şekilde açıklanabilir. Birinci olarak, çocuklar genellikle oyun oynamaktan keyif alırlar. Çünkü oyun eğlenceli bir iştir. İkinci olarak, çocuklar oyun oynarken hem fiziksel hem de zihinsel olarak aktiftirler. Öğrenciler bu süreçte bir seyirci değil, bizzat sürecin bir parçasıdır. Bu nedenle, matematikte öğretime başlarken çocukların oyun gibi algılayacakları ilgilerini çeken bir etkinlikle başlanmalıdır. Bu başlangıç etkinliği genelde çocuğun yaşantısı ile ilişkili bir problem durumu olabilir. İkinci aşamada, kavrama uygun yapılandırılmış etkinlikler verilir. Bu aşamada, çocukların birinci aşamada verilen problem durumunu inceleme ve çözme sürecinde edindikleri deneyimleri daha önceki matematik bilgileri ile ilişkilendirmeleri ve öğretilmesi hedef10
İLKÖĞRETİMDE ETKİNLİK TEMELLİ MATEMATİK ÖĞRETİMİ
lenen matematiksel kavrama doğru ilerlemeleri amaçlanmaktadır. Çocuklar, oyun aşamasında elde ettikleri çözümleri ve gözlemleri matematiksel dili kullanarak ifade eder Aynı zamanda, giriş etkinliğinde ortaya çıkan soruları cevaplama çabası içine girerler. Üçüncü aşamada ise bu etkinliklerden kavrama ulaşılır. İlk iki aşamada yürütülen çalışmalardan öğrenciler sonuçlar çıkarır, genellemeler yapar. Bu aşamada öğrenilen kavram, günlük hayat problemlerini çözmek için kullanılır. Bu öğrenme döngüsü, öğrencinin bu kavramı uygulayabilmesi için gereklidir. Kesir bloklarının ilk olarak öğrencilere tanıtılması bu ilkeye örnek olarak verilebilir. Kesir blokları öğrencilere verilerek oynamaları istenebilir. Bu arada çocuklara verilen parçalar arasında ne gibi ilişkiler olduğu sorulabilir. Daha sonra her bir parçanın tek tek bütün ile olan ilişkisinin kesir sayısı olarak yazılabileceği etkinlikler düzenlenebilir. Son olarak kesir blokları kullanılarak birim kesirlerin sıralaması yapılabilir. Şekil 1.1’de Dienes’in dinamiklik ilkesi şema halinde verilmiştir. Bu ilkeye göre, matematiği öğrenmek sürekli bir döngü halindedir. Şekilde, bu öğrenme döngüsünün her aşamasında öğrencinin ne yaptığı açıklanmıştır. Dikkat edilirse, geleneksel öğretimin aksine, bu öğrenme döngüsünde öğrenci tanım, kural ve formüllere en son ulaşmaktadır. Örnek uygulama: Üçgen kavramı için algısal-görsel değişkenlik ilkesini uygulayınız.
Şekil 1.1: Dienes’in Dinamiklik ilkesi; Öğrenme döngüsü
Algısal-Görsel Değişkenlik İlkesi Bu ilkeye göre, eğer öğrenciler bir kavramı birden fazla model kullanarak öğrenirse kavramsal anlama en üst düzeyde olur. Bundan aynı etkinliğin tekrar tekrar yinelenmesi kastedilmemektedir. Öğrenci aynı kavramı farklı modeller kullanarak soyutlamalıdır. Öğrencilere aynı kavramı farklı yollarla ve farklı koşullarda fakat benzer yapıda yaşatırsak, öğrenci kavramın bir fiziksel modele bağlı olmadığını görür ve bu yaşantılardan ortak olan özellikleri soyutlar. Örneğin, basamak kavramını öğretirken, abaküs, fasulye ya da onluk sistem bloklarını dönüşümlü olarak kullandığımızda, çocuk MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN TEMELLERİ
11
basamak kavramının nesneleri 10’arlı gruplamaya dayandığı soyutlamasını yapma olanağını bulabilir. Bu sürece matematiksel soyutlama denir. Geometrik şekiller ders kitaplarında farklı büyüklük ve konumlanışlarda bulunmalıdır. Daha ileriki öğrenmelerde ise dinamik yazılımlar kullanılarak kavramın çok çeşitli uygulamalardan zengin bir şekilde oluşturulması sağlanır. Farklı görünümlerde üçgenler Bir kavrama örnek verirken prototip örnekler, sabit örnekler, dinamik örnekler, uç örnekler ve olumsuz örnekler sırayla kullanılmalıdır. ETKİNLİK
1 kesrini birden fazla model kullanarak göstermeye çalışınız. 2
1)
2) Çocuk geometrik şekiller içinde en önce yuvarlağı daha sonra kareyi öğrenir. Sizce bunun nedeni ne olabilir? Tartışınız. (İpucu: Farklı yuvarlaklar, kareler ve dikdörtgenler çizerek üzerinde düşününüz.) Dienes, Dienes blokları olarak da anılan onluk taban blokları modelini geliştirmiştir. Bu model, çok basamaklı sayıları ve sayılarla işlem yapmayı, basamak kavramının, ve ondalık sayıların öğretimini kolaylaştırmak için yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Şekil 1.2’de bu bloklar gösterilmektedir.
Şekil 1.2 Dienes Blokları (Onluk taban blokları)
12
İLKÖĞRETİMDE ETKİNLİK TEMELLİ MATEMATİK ÖĞRETİMİ
Matematiksel Değişkenlik İlkesi Bu ilkeye göre, bir matematiksel kavramın genelleştirilmesi (soyutlanması) sürecinde, kavram ile ilgili değişkenler sabit tutulurken, sistematik olarak ilgisiz değişkenlerin değiştirilmesi ile kavram sağlamlaştırılabilir. Örneğin, paralelkenar kavramını öğretirken, eldeki şeklin gerekli özellikleri korunur, diğer bazı ilgisiz özellikleri değiştirilir. Örneğin, açıların büyüklüğü, kenarların uzunluğu ya da kâğıt üzerindeki konumu değiştirilirken kenarların paralelliği korunur. Buradan “paralelkenar; kenarları paralel olan dört kenarlı şekildir.” tanımına ulaşılabilir. Dienes’e göre, kavramsal gelişim için algısal-görsel değişkenlik ve matematiksel değişkenlik ilkeleri birlikte kullanılmalıdır. Örnek uygulama: Dikdörtgen için matematiksel değişkenlik ilkesini uygulayınız. ETKİNLİK 1) Yamuğun tanımını yapınız ve yamuk şekli çiziniz. 2) Sizce bir geometrik şeklin yamuk olabilmesi için hangi özellikler gerekli ve yeterli, hangi özellikler gereksizdir?
İnşa Edicilik (Yapılandırıcılık) İlkesi Dienes’e göre 2 çeşit düşünen vardır: Yapılandırıcı (inşa edici) düşünür ve analitik düşünür. Bu ilkeye göre inşa edicilik analizden her zaman önce gelir. Birey bir kavramın nasıl oluştuğunu, yapılandığını bilmeden, bu kavramı analiz edemez. Öğrenciler kendi kavramlarını somut deneyimlerle kendileri inşa etmelidirler. Bu tür inşa edici deneyimler, matematiği öğrenmenin temel taşını oluşturur. Öğrenciler, ileri bir zamanda bu öğrendiklerinin analizini yapabilir; değişik, rutin olmayan problemleri çözmede kullanırlar. Bu dört ilkenin ortak özelliği matematiği öğrenmede çevreyle doğrudan etkileşimin önemini vurgulamasıdır. Dienes, matematiğin seyredilerek öğrenilemeyeceğini, aksine öğrencinin hem fiziksel hem de zihinsel katılımının gerektiğini vurgulamıştır. Ne yazık ki okullarımızda, öğrencilerden kavramları somut bir şekilde oluşturmadan soyutlamasını hem de bunu öğretmenin yaptıklarını seyrederek yapmalarını isteriz. Bunun sonucu olarak matematik öğretimi çoğu kez ezberciliğin ötesine geçememektedir. Jerome Bruner Bruner, Piaget’den büyük ölçüde etkilenmiştir. Zoltan Dienes’le de bir süre çalışmıştır. Bruner de Dienes gibi kavramsal gelişim ile ilgilenmiştir. Bruner öğrencilerin bir konunun temel ilkelerini kendi kendilerine keşfederken, konunun yapısını öğrenmelerinin bilişsel gelişime çok büyük katkıda bulunduğunu savunmuştur. Bruner’e göre, bir bilginin nasıl yapılandığını öğrenmek, anlamayı, hatırlamayı ve yeni bir ortamda o bilgiyi kullanmayı kolaylaştırır. Bilginin yapısı üzerinde durması, öğrenme sürecinin yani öğrencinin nasıl öğrendiğinin öğrenilen bilgi ya da içerik kadar önemli olduğunu göstermiştir. MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN TEMELLERİ
13
Bruner’e göre üç temsil biçimi vardır. Bunlar eylemsel, imgesel ve sembolik biçimlerdir. Birey bir konu ya da kavram hakkında üç değişik biçimde düşünür. Eylemsel dönemde, somut nesnelerle bire bir etkileşimle öğrenme söz konusudur. İmgesel dönemde, görsel araçlar kullanılır. Bunlar şekil, film, video vb. olabilir. Sembolik dönemde ise semboller kullanılmaya başlar. Sembolik dönemdeki bir birey zaman zaman eylemsel düzeye ya da imgesel düzeye başvurabilir. İki artı üç işlemini dönemlere göre inceleyelim. Eylemsel Dönem: Öğrenci gerçek nesnelerle iki nesneden oluşan bir kümeyi üç nesneden oluşan bir küme ile birleştirerek, beş nesneden oluşan bir küme elde eder. İmgesel Dönem: Öğrenci bu kez gerçek nesneler kullanmadan aynı işlemi resim kullanarak gerçekleştirir. Sembolik Dönem: Öğrenci bu işlemi göstermek için semboller kullanır yani 2 + 3 = 5 yazar. Bruner’e göre bu üç model, değiştirilerek kullanılmalıdır. Örneğin, öğrenci bir problemi sembolik olarak çözdükten sonra, çözümü şekillerle anlatması istenebilir. Bruner’e göre, temel kavramlar öğretilirken öğrencinin somut düşünceden daha ileri soyut düşünceye doğru geçişine yardımcı olunmalıdır. Öğretmenler öğrencilerin bazı kavramları öğrenme seviyesine gelmesini beklemek yerine, bu üç öğrenme şeklinin etkili bir karışımını kullanarak, öğrencileri o düzeye getirmelidir. Buna anahtar ise, zengin ve anlamlı bir öğrenme ortamı ve öğrenciyi öğrenme sürecine katabilen heyecanlı istekli bir öğretmendir. Bruner’in Matematik Öğretimine Etkileri Matematik öğretiminde okullarımızda yaygın olarak ders kitapları kullanılmaktadır. Fakat kitaplar doğası gereği, ancak imgesel ve sembolik öğrenme etkinlikleri sağlayabilirler. Yalnızca ders kitaplarına dayalı bir öğretimde, öğrencinin öğrenme ihtiyaçları tam olarak karşılanamaz. Öğrenci en iyi kendi deneyimleriyle yani değişik eylemsel öğrenme etkinlikleriyle öğrenir. Ders kitabına dayalı bir eğitimde öğrencilerin kendi çevresiyle etkileşerek matematik kavramlarını oluşturmasına fırsat tanınmaz. Matematik öğretiminde, özellikle erken yaşlarda fiziksel modeller kullanılmalıdır. Bunun yanında resimli, sözel, gerçek hayat ortamları ve sembolik modellere de yer verilmelidir. Böylece yeni bir kavram öğrenilirken, öğrenci o kavramı değişik yönlerden görebilir. Matematiksel problem çözme, günlük yaşam durumlarından matematiksel sembolizme bir geçişi gerektirir. Fiziksel modeller günlük somut olaylardan, matematiğin soyut düşünce dünyasına geçişte bir orta yoldur.
14
İLKÖĞRETİMDE ETKİNLİK TEMELLİ MATEMATİK ÖĞRETİMİ
ETKİNLİK 1. Aşağıdaki şekildeki işlemi sözel ve sembolik olarak ifade ediniz.
2. “Yarıçapı 10 cm olan bir dairenin ¼’i kenar uzunluğu 10 cm olan bir kare ile kapatılmıştır.” ifadesini çizim ile gösteriniz. Buluş ya da Keşif Yolu ile Öğrenme
atik öğren-
Tartışma sorusu: Buluş ve keşif arasında bir fark var mıdır? Matem mek bir keşif midir yoksa bir buluş mudur?
Bruner’in öğretime yaklaşımının bir sonucu olarak buluş (ya da keşif) yolu ile öğrenme tekniği doğmuştur. Buluş yolu ile öğrenmede, öğrencinin tümevarım ve tümdengelim ya da bilginin yeni problem durumlarına uygulanması yoluyla kavramlara, kurallara ulaşması esastır. Bu yöntemde öğrencilere konunun önemli kavramlarını keşfedebileceği problem ortamları sunulur. Bruner, buluş yoluyla öğrenmenin aktif öğrenmeyi desteklediğini savunur. Bu öğrenme tekniğinde öğrencinin matematiksel kavram ve ilkeleri kendi kendine bulabileceğine inanılmaktadır. Örneğin, öğretmen dikdörtgenin alan formülünü söylemek yerine, öğrencileri yönlendirerek ve uygun problem ortamları sağlayarak öğrencilerin bu formüle kendilerinin ulaşmasını sağlar. Buluş yolu ile öğrenme öğrencilerin sezgilerini, hayal güçlerini ve yaratıcılıklarını kullanmalarına fırsat tanır. Ayrıca, bu yaklaşımda, özel durumlardan başlayarak genel kural ve formüllerin çıkarılması amaçlandığı için, çocuklarda tümevarımsal akıl yürütmenin de gelişmesine yardımcı olur. Buluş yoluyla öğrenilen bilgi daha kalıcı ve anlamlıdır. Ayrıca, problem çözme becerilerinin gelişmesine daha elverişlidir. Öğretmenin bu durumda asıl rolü etkinlikleri tasarlamak, gerekli ortamı, araç gereci sağlamak ve öğrencinin sonuca ulaşması için yönlendirici sorular sormaktır. Öğretmen, önceden farklı çözüm yollarını tahmin etmeli ve etkinliği buna göre düzenlemelidir. Etkinlik esnasında, öğrenciye rehberlik etmelidir. Öğrenci genellemeleri kendi yapmalıdır. Buluş yolu ile öğrenmede, öğrenci-öğretmen etkileşiminin içeriği aşağıdaki gibidir (Aksu, 1991):
• Öğretmen, bir örnek sunar. Öğrenci, örneği açıklar. • Öğretmen, başka bir örnek sunar. Öğrenci, ikinci örneği açıklar ve birincisi ile karşılaştırır.
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN TEMELLERİ
15
• Öğretmen,
başka örnekler ve farklı durumlar sunar. Öğrenci, örnekleri
karşılaştırır.
• Öğretmen, öğrencileri özellikleri ya da ilişkileri bulmaya yönlendirir. Öğrenci, tanımı ya da ilişkiyi bulur.
• Öğretmen, bulunan tanım ya da kurala uygun örnekler ister. Buluş yolu ile öğrenmenin gerçekleşebilmesi için öğretmenin öğrencilere rehberlik etmesi gerekir. Öğrencinin sorusuna soru ile yanıt vererek öğrencinin kendisinin yeni ilişkileri fark etmesine ya da oluşturmasına yardımcı olması gerekir. Ayrıca, verilen problem ortamının öğrencilerin düzeyine uygun olması gerekmektedir. Eğer öğrencilerin etkinlik hakkında yetersiz ya da hiç ön bilgisi yoksa, düş kırıklığı ve başarısızlık yaşayabilirler. Öğrenciyi bu tür bir öğrenmeye özendirmek için, verilen etkinlik öğrencide merak uyandırmalıdır. Verilen etkinlik, öğrencide merak uyandıracak bir şekilde, bir belirsizlik içermelidir. Etkinlikler, temel kavram ve ilkeleri esas almalıdır. Bir takım rutinlerden çok matematiksel düşünmenin geliştirilmesi hedeflenmelidir. Buluş yoluyla öğrenmenin bazı dezavantajları vardır. Öğretmen, bu yaklaşımı zaman alıcı, zor ve uygulamak için çok karmaşık bulabilir. Bunun yanı sıra, buluş yolu ile öğrenme etkinlikleri hazırlarken matematiksel içerik göz ardı edilmemelidir. Buluş yolu ile öğrenmenin etkili olabilmesi için, sürecin yanı sıra bu süreçte kazanılan matematiksel bilginin niteliği de çok önemlidir. Örnek Etkinlik Bu etkinlikte amaç, bazı dörtgenlerin kenar ve açı özelliklerinin öğrenci tarafından bulunabilmesinin sağlanmasıdır. Öğrenciler daha önceden dörtgenleri görünüşlerine göre isimlendirmeyi bilmektedir. Bu etkinliğin uygulanmasında, öğrencilere üzerine değişik boyutlarda dörtgenler çizilmiş kâğıtları dağıtırız. Örneğin, bir kâğıt üzerine değişik boyutlarda kareler çizilir ve öğrencilere bu kâğıtlar dağıtılır. Daha sonra öğrencilerin bu karelerin kenarlarını ve açılarını ölçmeleri istenir. Topladıkları bilgileri bir tabloya ya da şekillerin üzerine yazmaları istenir. Bu ölçümlerden çocukların bir örüntü bulması istenir. Her öğrenci gözlemlerini kendi kağıdına yazar ve kağıdını arkadaşıyla değişir. Artık öğrenciler belli genellemeler yapmaya hazırdır. Sınıfça çocukların gözlemleri tartışılır. Bu tartışmalardan sonra, karenin tanımını yapmaları istenir. Eğer çocuklar genelleme yapmada zorlanırsa, aşağıdaki gibi bir örnek verilir ve şekildeki boşlukları tamamlamaları istenir.
16
İLKÖĞRETİMDE ETKİNLİK TEMELLİ MATEMATİK ÖĞRETİMİ
Bu etkinliğe uygun çalışma yaprağı aşağıdaki gibi olabilir. ETKİNLİK …./…../... Sınıf düzeyi
: 3-4
Araç-gereç
: Cetvel, açı ölçer
Aşağıdaki karelerin kenar uzunluklarını ve açılarını ölçünüz. Ölçümlerinizi şekillerin üzerine yazınız.
Yukarıdaki ölçümlerinize bakarak, kare hakkında ne gibi sonuçlar çıkarabilirsiniz. Gözlemlerinizi yazınız. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ Bu gözlemlerinizden yola çıkarak, karenin tanımını yapınız. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________
ETKİNLİK Bunlar üçgendir
Bunlar üçgen değildir Sizce üçgen nedir? ________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN TEMELLERİ
17
ETKİNLİK 1. Öğrencilerin bir dikdörtgenin alan formülünü keşfedebileceği etkinlikler planlayınız. 2. Üçgenin alan formülü ile dikdörtgen ve paralelkenarın alan formülleri arasındaki ilişkiyi araştırınız. 3. Bir dairenin çapı ve çevresi arasındaki ilişkiyi araştırınız. 4. Bu etkinlikte amaç öğrencinin (x+y)2 = x2 + 2xy +y2 özdeşliğini keşfetmesini sağlamaktır.
Şekil A
Şekil B
Yukarıdaki büyük karenin bir kenarı x+1 birimdir. Karenin alanı nedir? (Şekil A) ________________________________________________________________________ Şekil B’deki kenarı 1 birim olan küçük karenin alanı nedir? ________________________________________________________________________ Kenarı x birim olan karenin alanı nedir? (Şekil B) ________________________________________________________________________ Kenarları 1 ve x birim olan dikdörtgenin alanı nedir? (Şekil B) ________________________________________________________________________ Şekil B’deki büyük karenin toplam alanı nedir? _______________________________________________________________________
1 ve 5. sorulara verdiğiniz yanıtlar arasındaki ilişki nedir? Açıklayınız.
________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Kenar uzunluğu x +2 birim olan bir karenin alanı ne olabilir? (şekil kullanmadan) _______________________________________________________________________
O halde kenar uzunluğu x+y birim olan bir karenin alanı nedir?
________________________________________________________________________ Bu etkinliklerden iki sayının toplamının karesinin açılımına ilişkin bir genelleme yapabilir misiniz? ________________________________________________________________________ Kenar uzunluğu x-y birim olan bir karenin alanı nedir?
18
İLKÖĞRETİMDE ETKİNLİK TEMELLİ MATEMATİK ÖĞRETİMİ
1.5. Gerçekçi Matematik Eğitimi (GME)
Tartışma sorusu: Aşağıdaki problemleri çözünüz? dır? 1) Bir çobanın 20 koyunu 5 de keçisi vardır. Bu çoban kaç yaşında ne kadar sürede 2) Bir atlet 100 metreyi 12 saniyede koşarsa, 1000 metreyi koşar? çamaşır ipi 3) Bir kadın aralarındaki uzaklık 12 metre olan iki direğin arasına iplerden kaç gerecektir. Elinde 2 metre uzunluğunda ipler bulunmaktadır. Bu tanesine ihtiyacı vardır? bugün top4) Ayşe bu sabah 1,5 metre, öğleden sonra da 2,5 metre yürüdü. Ayşe lam ne kadar yürümüştür? 5) Çözümleriniz gerçekçi midir? Neden?
Gerçekçi Matematik Eğitimi (GME) Hollanda’da Freudenthal Enstitüsü’nde Hans Freudenthal’ın çalışmaları sonucunda geliştirilmiştir. GME, Hollanda’da matematik eğitiminde otuz yılı aşkın bir süredir başarı ile uygulanmaktadır. Dünyada matematik eğitiminde öğretim programları geliştirilirken GME’nin etkileri görülmektedir. GME matematiği yaratıcı bir insan etkinliği olarak görür ve çocukların matematiği problemleri çözmek için etkili yollar geliştirdikleri zaman öğrendiklerini savunur. Matematiksel gelişim, matematiksel gerçekliğin ön plana çıkarılmasını gerektirir. GME’nde matematik yapmak buluş yapmaktır. Her çocuk kendi çapında buluş yaparak matematik öğrenir. GME’nin üç temel ilkesi vardır. Bu ilkelerden birincisi öğretim dizisinin başlangıç noktası, çocuğun anlamlı bir matematiksel etkinliğe katılmasını sağlayacak şekilde çocuğa yaşantısal olarak gerçekçi olmalıdır. Bu başlangıç noktası, tamamen gerçek hayat durumları olmak zorunda değildir; önemli olan verilen problemin çocuk tarafından gerçekmiş gibi algılanmasıdır. Örneğin, doğal sayıları matematiksel nesneler olarak algılayan bir çocuk için sembolik biçimde verilen bir aritmetik işlemi ya da problemi çocuk için yaşantısal olarak gerçekçidir. Çünkü çocuk doğal sayıların ne anlama geldiğini, nasıl gösterildiğini önceki somut deneyimlerinden bilmektedir. Başka bir örnek verecek olursak, henüz kesir kavramı oluşmamış bir çocuk için kesir sembollerinin (
1 1 , gibi) başlangıç noktası olarak kullanılması yaşantısal olarak gerçekçi değildir. 2 3
Fakat, bu kesirlerin yanıt olarak ortaya çıktığı problem durumlarıyla derse başlanabilir. “Bir pastayı iki çocuk eşit şekilde paylaşmaktadır. Her bir çocuk ne kadar pasta yer?” problemi konuya başlangıç için kullanılabilir. Çocuklar kendi çözüm yollarını oluşturduktan sonra, ortaya çıkan her bir parçayı nasıl göstermek gerektiği sınıfça tartışılabilir. Bu tartışmalardan sonra ancak çocuk için
1 sembolü yaşantısal olarak gerçekçi olacaktır. 2
Çünkü bu sembol çocuk için üzerinde işlem yapılacak bir matematiksel nesne haline MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN TEMELLERİ
19
gelmiştir. GME’nin ikinci prensibi, öğretimi planlarken öğrencilerin sahip oldukları bilgileri göz önünde bulundurmanın yanı sıra, giriş etkinliği ulaşılmak istenen matematiksel kavram ve becerilere de uygun olmalıdır. Çocukların ön sezgisel matematik yaşantıları, ileri düzey soyut matematiksel yorumlarının ve bilgilerinin temelini oluşturur. Bu nedenle, çocukların matematik kavramları hakkındaki sezgisel bilgileri dikkate alınmalı ve bu bilgi öğretimin başlangıç noktasını oluşturmalıdır. GME’nin üçüncü önemli prensibi, öğrenme etkinlikleri çocukların kendi sembolizm ve modellerini oluşturmasına ve geliştirmesine fırsat tanımasını savunur. Çocuk kendisi için gerçekçi olan başlangıç problem ortamına çözüm bulabilmek için şekiller, şemalar veya tablolar oluşturarak kendi sembollerini geliştirir. Bu sembollerden daha sonra soyut ileri düzey matematiksel sembollere geçiş sağlanmalıdır. Bir başka deyişle, bir matematik etkinliğinde amaç öncelikle anlam oluşturmaktır; uygun sembolizmi geliştirmek bir sonraki hedeftir. Şekil 1.3’deki şema GME teorisine göre öğrenmeyi özetlemektedir. Şema dikkatle incelenirse, GME’de öğrenme bir problem çözme süreci olarak da yorumlanabilir. Bu sürece, çocuklara yaşantısal olarak gerçekçi problem durumları verilerek başlanır. Çocuk, verilen problem durumuna çözüm arayışı içine girerek durumu matematiksel dile dönüştürür. Bu sürece yatay matematizasyon adı verilir. Problem durumu matematiksel dile dönüştürüldükten sonra artık oluşturulan matematiksel modele matematiksel yöntemler kullanılarak çözümler üretilmeye başlanır. Matematiğin kendi içinde yürütülen bu sürece ise dikey matematizasyon adı verilir. Bu sürecin içinde çocuk yeni matematiksel kavram ve kurallar öğrenirken, yeni öğrendiği matematiksel bilgiyi de farklı problem durumlarına uygular. Bu uygulama aşaması yeni bir öğrenme döngüsünün başlangıcı olur. GME’ye göre, başlangıç problemi dikkatlice seçilmiştir. Öğrenci, bu seçilen problemi çözerken matematiği öğrenir. Bu nedenle seçilen problem öğretilen kavrama uygun olmalı, öğrencilerin o kavramla ilgili pek çok önemli düşünceyi geliştirebileceği biçimde zengin olmalıdır. Problem çözme sürecinde, öğretmen rehberli yeniden buluş (guided reinvention) yöntemini kullanır. Bu yöntemde, öğretmen öğrencilerin problemleri çözmek için kendi informal yöntemlerini geliştirmelerine yardımcı olur. Öğrenciler kendi informal yöntemlerini arkadaşlarıyla paylaşır. Paylaşma aşamasında sınıfta tartışma ortamı oluşturulmalı, bu tartışmalardan sonuçlar çıkarılmalı, genellemeler yapılmalıdır. Çıkarılan sonuçların, yapılan genellemelerin doğruluğu sınıfça sorgulanmalıdır. Böylece daha soyut matematiksel yöntemleri geliştirirler.
20
İLKÖĞRETİMDE ETKİNLİK TEMELLİ MATEMATİK ÖĞRETİMİ
Gerçek yaşam problemi
Çözümlerin sınırlılıkları ve yararları
Gerçek durumun matematizasyon ve informal çözümler
Çözümün problem durumuna göre yorumlanması
Çözüm
Problem çözmeye uygulamak
Problemin matematiksel ifadesi
Matematiksel yöntemlerin kullanımı
Matematiksel terimlerle çözüm
Genellemelere varmak
Matematiksel kanıt
Matematiksel kavram ve kurallar
Şekil 1.3: Gerçekçi Matematik Eğitimine göre öğrenme döngüsü
GME’de öğrenme süreci problem çözme sürecidir. Bu problem çözme süreci matematik yapma süreci olarak da tanımlanabilir. Genel olarak matematik yapma, bir matematikçi gibi, bir durumu matematize etme, çözümler üretme, bu çözümlerden genellemelere varma ve genellemelerin doğruluğunu sorgulama gibi etkinliklerden oluşur. Öğrencileri matematik yapmaya yönlendirebilmek için ilgilerini çekecek, sezgisel olarak yönlendirecek, öğrenci tarafından gerçekmiş gibi algılanacak, anlamlı bir başlangıç durumunun seçilmesi önemlidir. Öğrencilerin verilen durumu incelemeleri, analiz etmeleri, gerekli verileri toplamaları, tahmin etmeleri, çıkarımlarda bulunmaları, bu çıkarımları test etmeleri, örüntü aramaları, genelleme yapmaları ve kanıtlamaları gibi farklı zihinsel etkinliklerde bulunmaları sağlanmalıdır. Öğrencilerde üst düzey matematiksel becerilerin geliştirilmesi isteniyorsa, onların birer matematikçi gibi düşünmelerini sağlayacak öğrenme ortamlarının düzenlenmesi gereklidir.
MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN TEMELLERİ
21
ETKİNLİK
Aşağıdaki sözel problemleri uygun yaş grubundaki ilköğretim öğrencilerine sorunuz. Verdikleri yanıtları tartışınız. 1. Bir orkestra bir parçayı 1 saatte çalarsa, iki orkestra aynı parçayı ne kadar zamanda çalar?
_____________________________________________________________________
2. Bir kase patlamış mısırın üzerine bir kase süt ilave edersek kaç kase karışım elde ederiz?
_____________________________________________________________________
3. 80o sıcaklıktaki 1 litre suya 40o sıcaklıktaki 1 litre su dökülürse karışımın sıcaklığı ne olur?
_____________________________________________________________________
22
İLKÖĞRETİMDE ETKİNLİK TEMELLİ MATEMATİK ÖĞRETİMİ
BÖLÜM 2 MATEMATİK ve ÖĞRETİMİ
Bu bölümde matematiğin ne olduğuna dair görüşler, matematiksel bilginin boyutları ve çeşitli önemli matematiksel beceriler tartışılmaktadır. Ayrıca etkili matematik öğretiminde gerekli öğretmen becerileri, çocuklarda matematiksel düşünmeyi geliştirmede öğretmenin yapması gereken etkinlikler ile sorgulamalardan ve ilköğretimde matematik öğretiminde teknoloji kullanımına ilişkin düşünce ve uygulamalara yer verilmektedir.
MATEMATİK ve ÖĞRETİMİ
23
2.1 Matematik Nedir? Tartışma soruLARI 1. Sizce Matematik nedir? Nelerden oluşur? r? 2. Matematiği seviyor musunuz? Sevip-sevmeme nedenleriniz nelerdi en neler 3. İlköğretim öğrencilerinin matematiği sevmeleri için öğretm yapabilir?
Matematiğin ne olduğu ve nasıl öğretilmesi gerektiği konularında son yıllarda önemli düşünce değişiklikleri olmuştur. Geleneksel matematik eğitimi anlayışında matematiksel bilgiler küçük beceri parçacıklarına ayrılmış halde öğretmen tarafından öğrencilere sunulur. Öğrencilerin de bu bilgileri verilen alıştırmalarla tekrar etmeleri beklenir. Soruların önceden belirlenmiş belirli yanıtlama yöntemi veya yöntemleri ve tek bir yanıtı vardır. Böylece en çok soruyu en kısa yoldan ve en çabuk yanıtlayan öğrenci en başarılı öğrencidir. Böyle bir anlayış ortamında öğrenciler pasif alıcılar durumundadırlar. En iyi ve en doğruyu bilen öğretmenden bunları öğrenmek durumundadırlar. Bir nedene dayandırılmayan bir yığın bağıntı, kural ve simgeler öğrencilere verilir. Öğrenciler ezbere dayalı öğrenmeye sevk edilir. Sonuç olarak öğrenciler sınıfta çözümü gösterilmeyen problemleri çözemez hale gelirler. Oysa günümüzde hemen hemen her türlü meslek az ya da çok matematik ve özellikle de matematiksel düşünmeyi gerektirmektedir. İşverenler elemanlarından daha önce hiç karşılaşılmamış problemleri çözmelerini beklemektedirler. Bu da bir takım kopuk matematiksel becerilerden çok akıl yürütme yolu ile problemlere çözüm üretme gereksinimini doğurmaktadır. Dolayısıyla, matematik eğitimindeki yeni anlayış, matematiğin tanımına da uygun olarak salt matematiksel bilgi öğrenme yerine matematik yaparak matematiği öğrenmeyi ön plana çıkarmaktadır. Çünkü öğrenciler matematik yaparken, matematiksel bilginin yanı sıra, seyredilerek ya da birinin tahtada anlatarak öğrenilemeyen, ancak o sürecin içinde bir katılımcı olarak kazanılan düşünme becerilerini de geliştirirler. Matematik yapma sürecinde bir formülün arkasında yatan anlam ve ilişkileri öğrenirken, aynı zamanda matematikte bir formül nasıl çıkarılır, tanımlara nasıl ulaşılır, genellemelere nasıl varılır, genellemeler nasıl doğrulanır, nasıl akıl yürütülür gibi bir çok önemli beceriyi de geliştirmiş olurlar. Ayrıca, matematik öğretim programının önemli bileşenleri olan problem çözme, akıl yürütme, iletişim ve ilişkilendirme becerilerini de kazanırlar. Matematiksel olguların tanımlanması ve kuralların konulması; bazen günlük, pratik bir problemin ele alınmasından, bazen de matematiğin kendi iç dünyasının gerekliliği olarak ortaya çıkar. Örneğin; bir cep telefonu firması kullanıcılardan bir sabit ücret ve bir de kullanıma dayalı ücret alıyorsa ücretlendirmeyi basit bir doğrusal denklemle ifade edebiliriz. y=b + ax
24
İLKÖĞRETİMDE ETKİNLİK TEMELLİ MATEMATİK ÖĞRETİMİ