Modul
MATEMATIKA Eksponen dan Logaritma
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahi Rabbil’Alamin penulis panjatkan kehadirat Allah swt. Rab yang Maha pengasih dan Maha penyayang serta penggerak yang tidak bergerak, atas segala limpahan rahmat dan petunjuk-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan bahan ajar (modul) ini. Shalawat dan salam senantiasa tercurah kepada Rasulullah Muhammad saw, Sang Murabbi segala zaman, dan para sahabatnya, tabi’in dan tabi’ut tabi’in serta orang-orang yang senantiasa ikhlas berjuang di jalanNya. Segala usaha dan upaya telah dilakukan oleh penulis dalam rangka menyelesaikan bahan ajar (modul) ini dengan semaksimal mungkin sebagai bahan ajar pembelajaran. Namun penulis menyadari sepenuhnya bahwa bahan ajar (modul) dengan judul Modul Matematika Eksponen dan Logaritma ini tidak luput dari berbagai kekurangan. Akan tetapi, penulis tak pernah menyerah karena penulis yakin ada Allah swt. yang senantiasa mengirimkan bantuanNya dan dukungan dari segala pihak. Oleh karena itu, penulis menghaturkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada ibu dosen Dr. Ir Iffah Budiningsih selaku dosen pengampu yang telah membimbing dan mengajarkan dalam mata kuliah Desain Pembelajaran serta temanteman yang telah memberikan bantuan dalam membantu penulis dapat menyelesaikan modul ini dengan baik. Semoga Allah SWT selalu merahmati kita semua dan menghimpun kita dalam hidayahNya dan mendapatkan pahala dari Allah swt.
Bekasi, 28 Juli 2018
Anugrah Lestari, S.Pd.
DAFTAR ISI SAMPUL DEPAN ……………………………………………………………….. KATA PENGANTAR……………………………………………………………. DAFTAR ISI ……………………………………………………………………..
i ii iii
BAB I PENDAHULUAN
1
BAB II PEMBELAJARAN
2
A.
Pangkat Bulat Positif
2
B.
Pangkat Bulat Negatif dan Pecahan
2
C.
Bentuk Akar
5
D.
Merasionalkan Penyebut
7
E.
Logaritma
8
DAFTAR PUSTAKA
62
BAB I. PENDAHULUAN A. Deskripsi Dalam modul ini Kamu akan mempelajari bilangan pangkat bulat positif, negatif, pecahan, bentuk akar, merasionalkan penyebut, menentukan persamaan pangkat, dan menentukan nilai logaritma. B. Prasyarat Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah dapat mengidentifikasi himpunan , fungsi dan menguasai dasar-dasar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan real. C. Petunjuk Penggunaan Modul Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Kamu lakukan adalah sebagai berikut: 1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya. 2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Kamu menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Kamu menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 4. Jika Kamu mempunyai kesulitan yang tidak dapat Kamu pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Kamu juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan. D. Tujuan Akhir Setelah mempelajari modul ini diharapkan Peserta didik dapat: 1. Peserta didik mampu mengidentifikasi konsep bilangan berpangkat. 2. Peserta didik mampu menjelaskan sifat-sifat bilangan berpangkat 3. Peserta didik mampu menerapkan sifat-sifat bilangan berpangkat dalam penyelesaian operasi aljabar pada bilangan berpangkat. 4. Peserta didik mampu menentukan penyelesaian operasi aljabar bentuk akar 5. Peserta didik mampu menyederhanakan dan merasionalkan penyebut bentuk akar
6. Peserta didik mampu menyatakan bentuk bilangan berpangkat dalam bentuk logaritma 7. Peserta didik mampu menjelaskan sifat-sifat logaritma 8. Peserta didik mampu menentukan penyelesaian operasi aljabar pada logaritma
BAB II PEMBELAJARAN A. PANGKAT BULAT POSITIF Jika a R dan n > 1, n A maka an = a.a.a.a.a.a.a.....a
sebanyak n kali a disebut bilangan pokok n disebut pangkat / eksponen
Sifat-sifat eksponen bulat positif Jika a dan b bilangan real, m dan n bilangan bulat positif 1. am. an = am + n 2. am: an = am - n 3. (am) n = amn 4. (a.b)m = am .bm a am 5. ( ) m = m b b
Contoh : Sederhanakan : 1. a3.a5 = a3 + 5 = a8 2. a7 : a2 = a7 – 2 = a5 3. (a3b6c4)2 = a3.2b6.2c4.2 = a6b12c8 4. (a8 : a6)3 = (a8 – 6)3 = a2.3 = a6 4
a 3b 5 5. 2 = (a 3−1 .b 5− 2 ) 4 = (a 2 b 3 ) 4 = a 8 b12 ab
Come on guys… Matematika is fun
B. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN PECAHAN 1 a0 = = a 0− m = a − m am am
1 am
Jadi a − m =
Bilangan rasional yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dengan dan b 0 . a
n m
merupakan bilangan dengan pangkat tak sebenarnya.
Contoh : 1. Nyatakan dengan eksponen positif : a. a −5 = b.
1 a5
12 a −2 4b 5 = 2 3b −5 a
2. Sederhanakan : a.
a 3b 6 b4 −2 4 = a b = a 5b 2 a2 5
5
4 −6 2 −2 2 1 b. b 5 b 5 = b 5 = b −1 = b 9 2
c.
x x
3 2
x
=
4
12 2 4
x3
=x
6−
4 3
14
=x3
x3
3. Sederhanakan : a. 8 3 = (2 3 )3 = 2 4
4
3.
4 3
= 2 4 = 16
( ) (3 )
b. (32 ) 5 .(27 )3 = 2 5 2
1
2 5
1 3 3
= 2 2.3 = 12
Tugas I 1. Sederhanakan :
(
)(
a. a 3 .b 4 .c 6 . a.b 3 .c x 5 y 6 b. 3 2 x y
3
5
a dan a, b B b
)
2 2
Yes…..Ada latihan soal..
c.
27 p 5 q −3 9 p 6 q −4
2 − 13 a b d. 2 a − 3 b −1
−
3 2
2. Tentukan nilai dari : a. (64 )3 (25) 1
1 3
64 .9
b.
−
−
1 2
3 2
2
64 3 .9 2
3. Sederhanakan dan nyatakan dalam pangkat positif a.
x −1 + y −2 x − 2 − y −1
b.
a −2 + a −1 + a 0 a − 4 + a −3 + a − 2 3
4. Hitunglah :
16 4 + 8.16 2 3
27 − 6.27
−
1 2
1 − 3
−5 +3
C. BENTUK AKAR Bentuk akar adalah bilangan-bilangan dibawah akar yang hasilnya merupakan bilangan irasional. Contoh :
3, 5, 8, dsb
Sifat-sifat bentuk akar : 1.
ab = a . b
2.
a = b
3.
a ( b c ) = ab ac
a b
4. m a n a = (m n) a 5. m a m b = m( a b ) 6.
a. a = a
7.
n
a
m
=a
m n
1
a = a2
8.
Contoh : Sederhanakanlah : 48 = 16.3 = 4 3
1.
2. 2 162 = 2 81.2 = 2.9 2 = 18 2 3. 5 3 + 2 3 = 7 3 4. 108 + 48 = 36.3 + 16.3 = 6 3 + 4 3 = 10 3 5. 4 20 − 2 45 = 4 4.5 − 2 9.5 = 4.2 5 − 2.3 5 = 8 5 − 6 5 6. 4 6 ( 3 + 5 2 ) = 4 18 + 20 12 = 4 9.2 + 20 4.3 = 12 2 + 40 3 7. (3 2 + 6 )(3 2 − 6 ) = (3 2 ) 2 + 3 12 − 3 12 − ( 6 ) 2 = 18 − 6 = 12
Sederhanakan dan tulis dalam bentuk akar : 2
4 7 1 2 1 1. a 3 .a 2 = a 3 .a = a 3 = a 2 .a 3 = a 2 .3 a 2
3 5 1 1 3 5 2. x 4 . y 4 = x 2 . y 2 = x.x 2 . y 2 . y 2 = x. y 2 xy
Nyatakan ke bentuk pangkat rasional : 1
1.
3
a2
5 5 3 a = a 2 .a = a = a 2 = a 6 1 2
3
3
5 2
1
2.
3
a 3 a a = a a.a
Tugas II 1. Sederhanakan : a.
200
b.
288
c.
216
1 2
3
= a a
3 2
3 32 2 = a.a = a = a = a 4 1 2
3 2
d.
75 + 50 − 32
e. 2 18 + 3 12 − 98 2. Sederhanakan : a. 5 6 (3 10 + 15 ) b. ( 7 + 3 2 )( 7 − 3 2 ) 3. Diketahui a = 5 + 3 − 2 dan b = 2 + 5 − 3 Tentukan a.b 4. Sederhanakan dan tulis dalam bentuk akar : −
a.
1
a 2 .b 2 −1
a .b −
3 2
2
1
x 3 .y 2 b. −2 3 x .y 5. Diketahui segitiga ABC sama kaki dengan AB = AC = 8 2 dan BC = 8. Tentukan : a. tinggi segitiga dari titik sudut A b. Luas segitiga tersebut
D. MERASIONALKAN PENYEBUT Contoh : Rasionalkan penyebutnya 1.
2.
6 2
=
6
.
2
6 5+ 2
=
2 2
=
6 2 =3 2 2
6 5+ 2
.
5− 2 5− 2
Tugas III
1. Rasionalkan penyebutnya : a.
b.
12 2 3− 5
3 2− 3 3+3 2
=
6.( 5 − 2 ) 6.( 5 − 2 ) = = 2.( 5 − 2 ) 5−2 3
Saya mau jawab soal yang gampang dulu c.
1 2 2
1
+
3 2
2. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut : a. 5 x+3 = 25 x−2
4 2 x+1 = 64
b.
c. 16 2 x + 4 = (0,25) −3 x−3
1 d. 4
x −1
= 3 2 3 x +1
F. LOGARITMA Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan. Jadi apabila diketahui ax=b maka x dapat ditentukan dengan logaritma yang berbentuk x = a log b a : bilangan pokok logaritma dengan a > 0, a 1 b : Numerus , b > 0 Contoh : * 25 = 32 * 3-4 =
2
1 81
log 32 = 5
3
log
1 =-4 81
Sifat-sifat logaritma Bila a, b, c dan p bilangan real yang memiliki sifat a > 0, b > 0, p > 0 dan p 1 ,maka berlaku : 1.
p
log b = x ,maka px = b
2.
p
log ab = p log a + p log b
3.
p
log
4.
p
log an = n. p log a
5.
p
log a.a log b.b log c = p log c ;
6.
a
7.
p
a p = log a - p log b b
p
log b =
p
log x =
x
8. a
a
log x
log b log a
1 ; x 1 log p
=x
a 1, b 1
9.
log b n =
am
n a . log b m
10. plog 1 = 0 11.
p
log p = 1
12.
p
log pn = n
Contoh : 1. Sederhanakan : 4.12 2 = log 8 = 3 6
a.
2
log 4 – 2log 6 + 2log 12 = 2log
b.
3
log 4. 2log 125. 5log 81 = 3log 22. 2log 53. 5log 34 = 2. 3log 2. 3.2log 5. 4. 5log 3 = 2.3.4. 3log 2. 2log 5. 5log 3 = 24. 3log 3 = 24 6
c. 36
log 3
d. log 5 +
= 4
36
36
log 9
1 + log 10
=9
25
1 = log 5+10 log 4+100 log 25 log 100
= log 5 + log 4 + log 5 = log 100 = 10 2. Diketahui 2log 3 = a dan 3log 5 = b Nyatakan dengan a dan b bentuk-bentuk berikut : a.
16
24
b.
9
32
log 3 =
log 32 =
1 1 log 3 = .2 log 3 = a 4 4
5 5 1 5 log 2 5 = .3 log 2 = . 2 = 2 2 log 3 2a
Aku berusaha dulu deh…. Masalah benar atau salah yang penting aku sudah berusaha
Tugas IV 1. Tentukan nilai dari : a. 3log1/27 b. 9 log
1 3
2. Sederhanakan : a. 6 log 84 − 6 log 7+ 6 log
1 2
1 b. 2 log 8 + 16 log + 4 log 64 4
c.
3
log 25.36 log 27.5 log 6
3. Sederhanakan : a.
log 2 2 + log 3 + log 18 log 6
b. log( 2 3 + 2 ) + log( 2 3 − 3) 4. Diketahui 2log 3 = x dan 5log 2= y Nyatakan dengan xdan y bentuk-bentuk berikut : a.
5
log 15
b.
2
log 45
c.
18
log 20
YEAH…Aku senang ternyata kalau Belajarnya serius dan mau berusaha Aku mendapatkan hasil yang bagus.. Aku juga bersyukur, karna aku mendapatkan ilmu 😊
DAFTAR PUSTAKA
Kanginan Marten, 2014. Matematika 1 Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X, Bandung : Srikandi Empat Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta : Penerbit Erlangga. Sembring Suwah, Marsito, 2016. Matematika Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X, Jakarta : Yrama Media