Matematika SMA Kelas 1 - X

Matematika Aplikasi

Jilid 1 untuk

SMA Kelas X

Literatur Media Sukses Jl. Madrasah No. 38, Pekayon Pasar Rebo, Jakarta Timur

Perpustakaan Nasional: Katalog Dalam Terbitan (KDT) Matematika Aplikasi, disusun oleh Pesta E. S., Alfarabi, Editor, Christiani S. Napitupulu, -- Jakarta: Literatur Media Sukses

Penulis

Pesta E. S. Alfarabi

Matematika Aplikasi

Editor

Christiani S. Napitupulu, S.Si Desain Sampul

Jilid 1

Tim Literatur Media Sukses Setting/Tata Letak

Untuk SMA Kelas X

Tim Literatur Media Sukses Ilustrator

Andie Anakota

Kurikulum 2004 Standar Kompetensi Hak cipta © 2005 pada Penulis Hak penerbitan pada Penerbit Literatur Media Sukses

Cetakan Pertama, 2005

Hak cipta dilindungi oleh undang-undang. Tidak diperkenankan memperbanyak isi buku ini dalam bentuk apapun tanpa izin tertulis dari Penerbi Penerbit t Literat Literatur ur Media Sukse Sukses s.

KATA

Pengantar

Kebijakan pemerintah dengan memberlakukan Kurikulum 2004 yang berbasis kompetensi merupakan upaya menyeluruh untuk meningkatkan mutu pendidikan. Upaya ini meliputi aspek-aspek pengetahuan, ketrampilan, sikap, dan nilai-nilai. Pengembangan aspek-aspek tersebut dilakukan untuk meningkatkan dan mengembangkan kecakapan hidup (life-skills (life-skills)) melalui seperangkat kempetensi agar siswa dapat bertahan hidup, menyesuaikan diri, dan berhasil di masa datang. Kebijakan pemerintah ini telah menyulut pemikiran penulis untuk ikut meningkatkan mutu pendidikan. Upaya yang penulis lakukan adalah dengan menyusun perangkat buku pelajaran Matematika Aplikasi untuk siswa SMA. Buku ini berbalur ungkapan santun dengan bahasa yang komunikatif sehingga mudah dipahami oleh siswa. Selain itu, buku ini juga didukung dengan tampilan tata letak yang baik, disain dan ilustrasi yang menarik dengan memperhatikan tingkat pemahaman siswa. Dengan mengusung pendekatan induktif-dedukatif konstruktif, konsep dalam buku ini mengakar ke dalam pemikiran siswa karena pengenalan konsep-konsep ini disajikan dengan memberikan masalah yang memiliki makna dalam kehidupan sehari-hari. Kebermaknaan ini dapat dirasakan dari awal mempelajari setiap pelajaran dalam buku ini. Sebagai buku siswa, buku ini dilengkapi dengan bagian pelatihan yang terdiri atas dua kelompok soal. Masing-masing diberi nama Asah Kompetensi dan Alfarabi Mengujimu. Bagian pelatihan ini dimaksudkan untuk untuk mengukur penguasaan siswa siswa terhadap konsep yang diberikan. Melalui pelatihan ini, diharapkan siswa mampu mencapai kompetensi belajar yang diinginkan dalam Kurikulum 2004. Dalam buku ini, siswa juga dapat menemukan bagian pengayaan seperti Aktivitas di Kelas yang berisi kegiatan untuk dilakukan oleh siswa, Sahabat Alfarabi yang berisi informasi tentang tokoh matematika, GameMath yang berisi pemainan matematika, dan Siapa Berani yang berisi soal-soal menantang khusus diberikan bagi siswa penggemar matematika. Terbitnya buku ini diharapkan seperti matahari yang mampu menjadi energi dan penerang dalam pendidikan bangsa kita. Buku ini masih jauh dari sempurna, kritik dan saran yang ada hubungannya dengan penyempurnaan buku ini sangat penulis harapkan untuk perbaikan pada edisi berikutnya. Jakarta, Jakar ta, April Apri l 2005

Penulis

Pada setiap awal bab terdapat tujuan pembelajaran

B A

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

untuk mengetahui isi dan manfaat setelah mempelajari

B

bab tersebut dan diberikan juga pengantar bab berupa

1

uraian singkat dan gambar yang berhubungan dengan

TUJUAN PEMBELAJARAN

kehidupan sehari-hari.

♦

Kamudapatmengubahbentukpangkat negatifkepangkatpositifdansebaliknya.

♦

Kamudapatmengubahbentukakarke bentukpangkatdansebaliknya.

♦

Kamudapatmengubahbentukpangkat kebentuklogaritmadansebaliknya.

♦

Kamudapatmelakukanoperasialjabar pada bentuk pangkat, akar, dan logaritma.

♦

Kamudapatmenyederh anakanbentuk aljabaryangmemuatpangkat.

♦

Kamu dapat merasionalkan bentuk pangkat.

♦

Kamu dapat membuktikan sifat-sifat yang sederhana tentang bentuk pangkat,akar,dan logaritm a.

Berapakahberatbumikitaini? Beratbumikitaadalah6 × 1021 ton. Bentukpenulisandengan menggunakanbilangan berpangkatini sangatmembantukamu dalamketelitian melakukanperhitungan. Bayangkan,jika bilangan tersebut ditulis dalambentuk panjang. Jangankanmelakukanperhitungan,menuliskannyasaja sulit.

A. Sistem Persamaan Linear 1. Siste mPersamaanLinearDuaVariabel DikelasVIII SMPtelahdipelajaripersamaan-persamaanlinearseperti berikut: a. x − y = 1 b. x + y = 3 Jika keduapersamaan tersebutdigabung makaakan terbentuksebuah sistem persamaan, yaitu sistem persamaan linear. Perhatikan sistem persamaantersebut. Sistem persamaan tersebut melibatkan dua variabel, yaitu x dan y, sehinggadikatakansebagai sistempersamaanlinear duavariabel. Bentuk umumsiste mpersamaanlinearduavariabel: a1x + b1 y = c1 a2x + b2 y = c2 dimana a 1, b1 , c1, a2 , b2 dan c2 bilanganreal. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ini, dapat digunakan empatcara,yaitu: a. MetodeGrafik b. MetodeSubstitusi c. MetodeEliminasi d. GabunganMetode Eliminasidan Substitusi a . M e to d e G ra fik DikelasVIIISMP telahdipelajaricaramenggambargrafikpersamaan linear. Sekarang, lakukanlah aktivitas berikut dengan menggunakan kemahiranyangtelahkamumilik itersebut.

A

ktivitas di

K

elas

1. 2.

Gambarlahgaris x − 3 y = −3 d a n x + y = 1padasatusistemkoordinat! Apakahkeduagaris tersebutberpotongan?sejajar?atau berimpit?Jikaberpotongan,tentukanlah titikpotongnya!

3.

Gambarkanpula garisx + y =− 1 d a n x + y = 3padasatusistemkoordinatyanglain.

4.

Apakahkeduagaris tersebutberpotongan?sejajar?atau berimpit?Jikaberpotongan,tentukanlah titikpotongnya!

5.

Sekarang,gambarlah garisx − y = 1 d a n 3x − 3 y = 3padasatusistemkoordinatyanglain!

6.

Apakahkeduagaris tersebutberpotongan?sejajar?atau berimpit?Jikaberpotongan,tentukanlah titikpotongnya!

1

Bab 1 Bentuk Pangkat Akar dan Logaritma

Ada Aktivitas di Kelas yang merupakan kegiatan di mana kamu dapat mengembangkan ketrampilan dalam merencanakan melaksanakan dan menyimpulkan aktivitas.

48

MatematikaAplikasiSMAKelasX

A. Pertidaksamaan Linear Suatupertidaksamaanlinear dapatkamuselesaikan denganmembentuk pertidaksamaanlain yangekuivalen denganpertidaksamaan tersebut.

DEFINISI

Catatan disajikan berupa informasi yang berguna

Pertid aksamaanlinearadalahsuatu persamaandi manaruaskiridan ruas kanan dihubungakn oleh salah satu dari tanda ketidaksamaan ”<, ≤, >, ≥ ” a t a u ”≠”

untuk memperjelas konsep Matematika. Untuk membentuk pertidaksamaan yang ekuivalen, kamu membutuhkansifat-sifatberikut:

Catatan

1. Sifatpenjumlahandanpengurangan

Jika keduar uassuatu pertidaksamaanditambah atau dikurangi denganbilanganyangsamamakatandaketidaksamaantetap. • x < y ⇒ x ± z < y ± z • x < y ⇒ x ± z < y ± z

Notasi pada pertidaksamaan:

<: kurang dari • ≤: kurang dari •

atau sama dengan (tidak kurang dari)

•

>:

• ≥:

2. Sifatperkaliandanpembagiandenganbilanganpositif

Jikakedua ruassuatu pertidaksamaandikali ataudibagi dengan bilanganpositifyangsamamakatandaketidaksamaantetap.

lebihdari lebih

dari

atau

samadengan(tidak

y

x

• x < y dan z > 0

⇒

xz < yz dan z < z

• x < y dan z > 0

⇒

xz < yz dan z

lebihdari)

x

<

y z

3. Sifatperkali andanpembagiandenganbilangannegatif

Jikakedua ruassuatu pertidaksamaandikali ataudibagi dengan bilangannegatif yangsama makatanda ketidaksamaanberubah. Identitastrigonometri untuksetiap sudutadalah sebagaiberikut. • s in2 θ + cos2 θ = 1 sinθ

• t an θ = cos θ

1.

CONTOH

Tentu kanlahnilaidarisin2 25° + sin2 65°!

CONTOH

Jawab:

sin2 25° + sin2 65°

2.

xz < yz dan z

⇒

xz < yz dan z < z

x

<

y

−3x + 4 < x + 8

2. x − 1 + 3 ≥ x + 2 − 4 2

3

3. x − 5< 2x − 3 < x + 4

Jawab: 1.

−3x + 4 < x + 8 Keduaruasdikurang4,tandaketidaksamaantetap. −3x + 4 − 4< x + 8 − 4 −3x < x + 4

Buktik anbahwa3cos4θ + 6sin2θ = 3 + 3 s i n4θ ! Jawab: 3cos4θ + 6 s i n2θ = 3 (cos2θ )2 + 6 s i n2θ = 3 (1 − sin2θ )2 + 6sin2θ = 3 (1 − 2sin2θ + sin4θ ) + 6sin2θ = 3 − 6 s i n2θ + 3 s i n4θ + 6sin2θ = 3 + 3 s i n4θ

y z

⇒

• x < y dan z < 0

Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut di mana x adalahbilanganreal! 1.

= sin2 25° + sin2 (90° − 25°) = sin2 25° + cos2 25° =1

x

• x < y dan z < 0

70


Asah Kompetensi 4 1. Jika θ dikuadranIVdansinθ = 2. Jika p − q

= cos A dan =

3. Jikatan B =

3 7

− 1 ,tentukanlahnilai cos θ dantan θ ! 3

2 pq sin A,tentukanlah p2 + q 2 !

1 4 si nB − 3 c os B ,tentukan ! 7 si nB − 5 co sB

4.

Buktikanbahwa

5.

Buktikanbahwa

tan

θ − sin θ = tan θ ! − s ni θ

2

1

2

4

2

tanθ − 1 sinθ + cosθ × tanθ + 1 sinθ − cosθ

Info sains disisipkan sebagai informasi untuk

=1 !

Info sains

membuka wawasan sehingga tidak buta terhadap

Trigonometri pertama sekali diperkenalkan oleh bangsa Yunani Kuno. Tetapi bukti sejarah menunjukkan bahwa kebudayaan Mesir Kuno telah menggunakan trigonometri dalammembangun piramida.

informasi Matematika dan perkembangan teknologi.

122


Sahabat Alfarabi

Sahabat Alfarabi merupakan informasi latar belakang

Siapakah orang yang pertama kali memperkenalkan penggunaan simbolsimbolaljabar dalampenarikan sebuahkesimpulan? Diaadalah GeorgeBoole,MatematikawanInggrisyang lahirpadatahun 1815. Dalamteorinya, Boolemenyatakan bahwapremis-premisdan kesimpulan dalam sebuah argumen dapat diwakili oleh simbol-simbol aljabar dan dihubungkan oleh simbol-simbol lain untuk membentuk sebuah argumen logis. Teori Boole ini sering digunakan para ahli untuk memecahkan sebuah teka-teki sains. Boole meninggal tahun 1864.

matematikawan yang telah berjasa dengan menemukan berbagai macam teori yang sekarang ini digunakan

Sumber: Ensiklopedi

Matematikadan Peradaban Manusia

K. Bukti dalam Matematika

dan dirasakan manfaatnya.

1. BuktiLangsung Bukti langsung dilakukan dengan memperlihatkan suatu kebenaran sebagaiakibatpernyataanlainyangtelahditerimasebagaihal yangbenar, sepertidefinisi, aksioma,dandalil-dalilyangtelahdibuktikan. Buktikanbahwa jika p > 0, p ≠ 1, a,b >0 berlaku pl o g (ab) = plog a + plog b!

CONTOH

Jawab:

Misalkan,x = ploga makaa = px y = plog b maka b = py p log(ab) = plog px. py Gunakan sifat perkalian bilangan berpangkat = plog px + y Denganmenggunakandefinisi logaritma,kamu akanmemperoleh p l o g (ab) = x + y = plog a + plog b Jadi, pl o g (ab) = plog a + plog b 

2. BuktiTak Langsung a. BuktiTakLangsungdenganKontrapositif Misalkan,harusdibuktikan p → q benar.Andaikanlah∼q benar,kemudian denganlangkah logisturunkanlah supaya∼ p benarsehingga ∼q →∼ p benar. Olehkarena p → q ≡∼ q →∼ pdan∼q →∼ p benarmaka p → q benar. Untuksetiap n bilanganbulat,buktikanlah bahwajikan2 bilanganganjil maka n + 1 bilangangenap!

CONTOH

Bukti:

Misalkan, n + 1 bilangan ganjil. Ini mengakibatkan n bilangan genap sehinggan dapatditulis sebagain = 2a. Akibatnya,n2 = (2a)2 = 4a2 = 2.(2 a2) Iniberarti, n2 bilangangenap. Jadi,“ji ka n + 1 bilanganganjilmakan2 bilangangenap.” Pernyataanini ekuivalendenganpernyataan,”jikan2 bilanganganjil makan + 1 bilangan genap.”

Jawab:

Darigambarberikutdapatdiketahuibesarduasudutdanpanjangsisi yang diapitnya. ∠ CAB = 40° dan ∠ ABC = 180°− 60° = 120° C Jadi, ∠ ACB = 180° − 40°− 120° = 20°. Panjangsisi AB = 100m. Denganmenggunakanaturan sinusdiperoleh

105

Bab 5 Logika Matematika

BC AB Sin A° = Sin C

400 A

BC 100 Sin A° = Sin20°

600 100

B

D C

20 0

Sin40



BC = 100 × Sin20 Persamaan1 Tinggibangunan, yaituCD dapatdihitung menggunakanperbandingan trigonometri. 



400

CD

A

Sin60° = BC

120 0

100

B C

CD = BC × Sin60°



Persamaan2

Substi tusiPersamaan1ke Persamaan2 Sin40 CD = 100 × Sin20 × Sin60° 



Siapa Berani merupakan soal-soal yang menantang.

60 0

Sin40



= 100 × Sin20 × 

1 3 2

B

D

= 162,76m

Soal-soal ini khusus diberikan buat kamu yang gemar

Jadi,ti nggibangunan adalah162,76 m

Matematika dan telah memahami materi. Salahsatuujungdaribatangsepanjang8 kakidihubungkanke pistonyangbergerak naikdan turun.Ujunglainnyadihubungkan keroda dengancara lengan horizontalnyadisesuaikandengan pegas P.Dimulaipadaposisiawalθ =

π ,rodadenganjari-jari2 4

kakiberputa r3 radianperdetik.Temukanrumusuntukd,jarak vertik aldaripistonkeroda,setelaht detik.

d = y + 8

8 p(x,y) Y

θ

x

131

Bab 6 Trigonometri

Asah Kompetensi 3 1.

Tentukanlah konjungsidari pernyataan-pernyataantunggal berikut.Kemudian, tentukan nilai kebenarannya! a. p : Rodamobil berbentukpersegi

q:

s : 1n = 1untuk n bilanganreal c.

t:

6 2 merupakanbentuklaindari 3 9 2

6

u : 3 merupakanbentuk sederhanadari 9

kemampuan dalam menguasai materi yang telah dibahas.

Petak-petakpadapapancaturberbentuklingkaran

b. r : a0 = 1untuk a bilanganreal

Asah Kompetensi digunakan untuk mengukur

: Jakarta ibukota Amerika w : Jakarta terletakdipulauJawa

d. v 2.

Tentukanlah disjungsi dari pernyataan tunggal-pernyataan tunggal berikut. Kemudian, tentukannilai kebenarannya! a. p : BandaraSoekarno-Hatta adadi Banten q : BandaraAdiSuciptoadadi Semarang b. r : Faktordari suatubilanganaslilebihbesardaripadakelipatannya s : Faktordari suatubilanganasli adalahbilanganyang dapatmembagihabisbilangan itu c. t : 11merupakanfaktordari 6.161.617 u : 11merupakan bilangankomposit d. v : ImeldaFransiscaadalahMissIndonesiatahun2005 w : MichaelJackson adalahseorang penyanyi

3.

Tentukanlahnilai x bilanganrealsehinggakonjungsiataudisjungsiberikutbenar! a. 269dan x2 + x + 17merupakan bilanganprima b. 0habisdibagi2 ataux2 − 2 = 2x + 17 c. Soehartoadalah presidenIndonesia terlamaatau x2 − 1<3 d. 930cm + 7dm = 1 0 m d a n 3x − 1 <2 x + 6 e.

Surabayadijulukikotabuayaatau x = 0

92


=

1 (k + 1)2(k + 2)2 4 2

=  2 ( k + 1)( k + 2)   1





Padaruaskananpersamaan,didapat(12 (k + 1) (k + 2))2. Untuk n = k + 1,ruaskiri danruaskananmenghasilkanbilanganyang sama. Jadi,1 3 + 23 + 33 + … + n3 = ( 12 n (n + 1))2 berlakuuntuk n = k danuntuk n = k + 1atauuntuksemuan bilanganasli.

Alfarabi Mengujimu digunakan untuk menguji kamu

ASAH KEMAMPUAN

5

dalam menyelesaikan soal-soal relatif lebih sulit yang

Waktu:60 menit 1.

Dengan bukti langsung, buktikan bahwa akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0adalah x1 =

−b +

b 2 − 4ac atau x2 2a

= −b −

Bobotsoal:30

berkaitan dengan materi yang telah dibahas.

b2 − 4ac 2a

1

2.

Denganbukti taklangsung, buktikanbahwa 0 tidakterdefinisi!

3.

Buktikanlahbahwa: a. 1 + 2 1 + 22

Bobotsoal:30 Bobotsoal:40

+ . . . + 2n − 1 =2 n − 1 + (2n − 1) = n2

b. 1 + 3 + 5 + . . .

1 c. 12 + 2 2 + . . . + n2 = n(n 6

d. 2 + 4 + 6

+ . . . +

+ 1)(2n + 1)

2n = n(n + 1)

Buktikanbahwa12001 + 2 2001 + 3 2001 + . . .

+ 20012001

adalahkelipatan13! Sumber:

Olimpiade Matematika SMU

107


Apakah Keunggulan Buku ini??

v

GameMath berisi soal berupa permainan matematika.

GaMeMath Ututtersesatdisebuahhutan. Ditengah hutantersebut,ia menemukanpohon-pohonyang bertuliskanperbandingan trigonometri.Ia bingung.Namun kemudian, ia menemukan batu yang bertuliskan petunjuk untuk keluar dari hutan itu, yaitu harus melewati pohonpohonyang nilaiperbandingan trigonometrinya1. Bantulah Ututmenemukanjalan pulangtersebut! Pohon-pohontersebutbertuliskan sepertipohon berikutini. pohonmanasajakahyangsamadengan1?

Jawabannya dapat dicari dengan menggunakan logika sehingga dapat mengasah logika dan cara berpikir

1 , sin30

kritis.

sin90°



1 , sin0

tan45



1 cos0



1 tan45

sin60°

cos90°



t an 9 0°

c os 0 °

Sumber: New Syllabus Mathematics 3

E. Identitas Trigonometri PerhatikanGambar 6.7! y

x

Telahdiketa huibahwasinθ = r dancos θ = r . y

Darisin θ = r ⇒ y = r sin θ . r

x Daricos θ = r ⇒ x = r cos θ .

Padasegitiga siku–siku,berlaku teoremaPythagoras, yaitu: x2 + y2 = r 2 (r cos θ )2 + (r sin θ )2 = r 2 r 2 cos2 θ + r 2 sin2 θ = r 2 r 2 (cos2 θ + sin2 θ ) = r 2 cos2 θ + sin2θ = 1 atau sin2 θ + cos2 θ = 1 Perhatikankembalisegitigadiatas!

y

θ x Gambar 6.7 Segitiga siku-

siku.

y

Darisegiti gadiatas diperolehtanθ = x . Bagilahpembilang danpenyebut denganr .

Rangkuman angkuman R 1.

Pertidaksamaanlinearadalahpertidaksamaandenganpangkat tertinggidanvariabelnyasatu.

2.

Sifat-sifatuntuk menyelesaikanpertidaksamaan: a. Sifat-s ifatuntukmenyelesaikanpertidaksamaan adalah • x < y→x ± z < y ± z

y r sinθ tan θ = x = cos θ r sin θ Jadi, tan θ = cos . θ

3.

•

x < y dan z > 0 ⇒ xz < yz dan

x y < z z

•

x > y dan z > 0 ⇒ xz > yz dan

x y > z z

121

Bab 6 Trigonometri

• x > y→x ± z > y ± z b. Sifatperkaliandanpembagiandenganbilanganpositif :

Bentukumum pertidaksamaankuadrat

•

2 2 ax + bx + c < 0 atau ax + bx + c > 0

•

2 2 ax + bx + c ≤ 0 atau ax + bx + c ≥ 0

4.

Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan yang memuat variabel pada penyebutnya.

5.

Bentukumum pertidaksamaanbentukakar

Rangkuman disajikan di akhir materi bab supaya kamu

f < g dengansyarat terdefinisi f ≥ 0 dan g ≥ 0 6.

Defin isinilaimutlakdarisuatubilangan realx adalah

7.

Sifat-sifatnilai mutlak

dapat dengan cepat mengingat kembali materi-materi

 x , ijka x ≥ 0 x =   −x , ijka x < 0

yang telah dipelajari pada bab tersebut.

a.

p = p2

d. p + q ≤ p + q

b.

pq = p q

e.

x < p⇔ − p < x p ⇔ x< − p atau x > p

82


Ulangan Bab 6 Ulangan

Bab

disajikan

untuk

mengukur

I.

4 5

d.

b.

4 3

e.

c.

5 4

a.

kemampuan kamu dalam menguasai semua materi yang telah dibahas dalam bab tersebut.

Pilihlahjawaban yang paling tepat!

2.

1 a. sinα b. cos2 α c. sec2 α 3.

3 5

5.

1.

2.

Nilaidari(0,04)−0,05 + (0,25)0,5 a da la h . . . . a. 0,5 d. 4,5 b. 0,7 e. 5,5 c. 2,5 Bentuk (p−1 + q−1)−1 i d e n ti k d e n ga n . . . a. p

+q

d.

b. p

e.

p + q

3. Jika a

pq 1 pq

1

1

= 22 5 d a n b = 81,dan c = 8maka

nilai

a 2 , b 4 , c 3 a d al ah . . . . a. 3 b. 5 c. 20 4.

Nilaidari a. 3 b. 6 c. 3 2

5.

Nilaidari a. 1 b. 2 c. 3

d. 40 e. 60

48 + 45 7 + 2 10

32 + 90 7+2 10

a d a la h . . . d. e.

2 3 2 6

a da la h . . . . d. 4 e. 16

6.

Bentuk sederhana dari 10 + 2 2 1 adal ah . . . . a. d. 7+ 3 3− 7 b. e. 7 + 3 7− 3 c. 5− 3

7.

Diketahui log 2 = p dan log 3 = q nilai l og 3 1 52 sa ma d e n g an . . . . 2 ( p + q) 2 (1 + p − q ) a. d. 3 3 2 ( p − q) 3 (1 − p + q ) b. e. 3 3 2 (1 − p + q ) c. 3 Tugas Akhir

N i la i d a r i 30 + .... a. 0

16

1 − l og 10

b. 1 c. l o g 1 8 9. Jika

pq p + q

c.

8.

a

log y = 3 dan 3a

48

1 adalah l og 10

a. 2 s i n q cos q b. sin q cos q c. 2 s i n q − 1

1 + a2 2 a2

c.

1 − a2 2 a2

cosα

=.... d. 1 − 2 s i n q e. 2 s i n q

8.

π 4

d.

1 − a2 1 + a2

e.

1 + a2 1 − a2

, m a k a t a n x a da la h . . . .

2tan y 1 + tan y

d.

1 − tan y 1 + tan y

b.

1 + tan y 1 − tan y

e.

2tan y 1 − tan y

c.

1 + 2 tan y 1 + tan y

d. cosec α e.

+ y =

a, maka sin 2 x sama

a. 2

Segitiga ABC siku-siku di A. Jika BC = p, AD tegaklurus BC , DE tegaklurus AC , d a n sudut B = x, makapanjang DE = . . . . a. p sin β cos 2 β b. p sin2 β cos β c. p sin2 β cos β d. p sin β tan β e. p sin β cos β

2tanq Nilaidari 1 + tan2 q

b.

7. Jika x

4. Jika x + y = 2 70 º m ak a . . . . a. cos x + sin y = 0 b. cos x − sin y = 0 c. cos x + cos y = 0 d. sin x − sin y = 0 e. sin x + sin y = 0

T ugas Akhir

tan x d en ga n . . . . 2a a. 1 + a2

3 4

cosα si nα ⋅ c osα sa m a d e ng a n . . . .

=

6. Jika

1. Jika sin α = 45 d a n 0 º < α <90º, makanilai tan α a da la h . . . .

Padasuatu segiti gasiku-siku ABC berlaku cos A cos B

=

1 maka 2

cos ( A

−

B) sama

d en ga n . . . .

−1

d.

1 2

b.

−1

e.

1

c.

2

a.

9.

2

Bila x memenuhipersamaan 2(sin x)2 + 3 s i n x − 2 = 0 dan

− π <

a.

1 2

b.

−1

c.

1 2 2

2

2

x<

π

2

, m a k a c o s x a da la h . . . . c.

1 3 2

d.

−1 2

d. l o g 6 0 e. 10 Bab 6 Trigonometri

3

135

x

logx = 3 nilai y sama

d en ga n . . . . . a. 1 d. 27 b. 3 e. 81 c. 9 10. Persamaan ( p − 1) x2 − 4 px + 4p + 7 = 0 mempunyai akar-akar positif. Akar-akar p o si t i f i t u a d al a h . . . . 7 7 dan a. 3 d a n 5 d. 3 2 7 7 dan 3 b. 3dan e. 2 2 7 dan 5 c. 2 11. Selisih akar-akar persamaan kuadrat 2x2

+

px + 16 = 0 a d al a h 4 . N i la i p yangpositif a da la h . . . . a. 2 3 d. 8 3 b. 3 3 e. 12 3 c. 6 3

12. Akar-akarpersamaan kuadrat3x2 + 5x + a = 0 adalah α 2 + β 2 = 5 α dan β . J i k a α 2 + β 2 = 5

m a ka n i l a i a s a ma d e ng a n . . . . 2 1 a. −6 d. 3 3 3 2 2 b. −3 e. 6 3 3 1 c. −3 3 2x − y = 1 13. Himpunanpenyelesaian dari  4x + 5y = 23 a da la h . . . . a. {2,3} d. {4,2} b. {3,2} e. {3,4} c. {2,4} 1 − 2 = 8 a b 14. Himpinan penyelesaian dari   2 + 1 = 1 a da la h . . . .  a b

Tugas Akhir digunakan untuk mengukur kemampuan kamu mengingat dan menguasai semua materi yang telah dipelajari selama dua semester.

159

vi

vi

Matematika Aplikasi SMA Kelas X

DAFTAR ISI Kata Pengantar

...................................................................................................................

iii

Apakah Keunggulan Buku Ini?? .......................... ....................................................................

iv

BAB 1

BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA ............................

1

A.

Bentuk Pangkat..........................................................................................

2

B.

Bentuk Akar ...............................................................................................

10

C.

Logaritma...................................................................................................

16

D.

Aplikasi Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma ...........................................

19

Rangkuman ........................................................................................................

21

Ulangan Bab 1 ...................................................................................................

22

BAB 2

PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT ................................

A.

Persamaan Kuadrat ..................................................................................

26

B.

Fungsi Kuadrat ..........................................................................................

38

Rangkuman ........................................................................................................

44

Ulangan Bab 2 ...................................................................................................

45

25

BAB 3

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT ....................................

47

A.

Sistem Persamaan Linear .........................................................................

48

B.

Sistem Persamaan Non - Linear ...............................................................

62

Rangkuman ........................................................................................................

65

Ulangan Bab 3 ...................................................................................................

67

BAB 4

PERTIDAKSAMAAN .................................................................................

69

A.

Pertidaksamaan Linear ..............................................................................

70

B.

Pertidaksamaan Kuadrat ...........................................................................

73

C.

Pertidaksamaan Pecahan .........................................................................

75

D.

Pertidaksamaan Bentuk Akar ....................................................................

78

E.

Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak ..........................................................

79

F.

Aplikasi Pertidaksamaan............................................................................

81

Rangkuman ........................................................................................................

80

Ulangan Bab 4 ...................................................................................................

82

BAB 5

LOGIKA MATEMATIKA ............................................................................

85

A.

Pernyataan dan Kalimat Terbuka ...............................................................

86

B.

Ingkaran (Negasi) .......................................................................................

88

C.

Pernyataan Majemuk .................................................................................

89

D.

Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen ........................................................

97

E.

Ingkaran dari Pernyataan Majemuk ............................................................

97

F.

Ingkaran Pernyataan Berkuantor ...............................................................

100

G.

Penarikan Kesimpulan ...............................................................................

101

H.

Bukti dalam Matematika .............................................................................

104

Rangkuman ........................................................................................................

108

Ulangan Bab 5 ...................................................................................................

109

BAB 6

TRIGONOMETRI ....................................................................................

111

A.

Ukuran Sudut dalam Radian ......................................................................

112

B.

Perbandingan Trigonometri Sudut Segitiga Siku-Siku ................................

113

C.

Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Istmewa (00,300,450,600,900) .....

116

D.

Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi ...............................................

118

E.

Identitas Trigonometri ................................................................................

120

F.

Grafik Fungsi Trigonometri .........................................................................

124

G.

Persamaan Trigonometri ...........................................................................

126

H.

Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Luas Segitiga .....................................

127

I.

Aplikasi Trigonometri ..................................................................................

130

Rangkuman ........................................................................................................

133

Ulangan Bab 1 ...................................................................................................

135

BAB 7

DIMENSI TIGA..........................................................................................

137

A.

Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang. ....................................

138

B.

Menggambarkan Bangun Ruang ...............................................................

141

C.

Volume Bangun Ruang ..............................................................................

142

D.

Irisan Bangun Ruang ................................................................................

151

E.

Jarak dan Sudut .........................................................................................

152

Rangkuman ........................................................................................................

156

Ulangan Bab 7 ...................................................................................................

157

Tugas Akhir ........................................................................................................

159

Pustaka Acuan ...................................................................................................

162

viii

viii


B A

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

B

1 TUJUAN PEMBELAJARAN

Berapakah berat bumi kita ini? Berat bumi kita adalah 6 × 1021 ton. Bentuk penulisan dengan menggunakan bilangan berpangkat ini sangat membantu kamu dalam ketelitian melakukan perhitungan. Bayangkan, jika bilangan tersebut ditulis dalam bentuk panjang. Jangankan melakukan perhitungan, menuliskannya saja sulit.


♦

Kamu dapat mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya.

♦

Kamu dapat mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya.

♦

Kamu dapat mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya.

♦

Kamu dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk pangkat, akar, dan logaritma.

♦

Kamu dapat menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat.

♦

Kamu dapat merasionalkan bentuk pangkat.

♦

Kamu dapat membuktikan sifat-sifat yang sederhana tentang bentuk pangkat, akar, dan logaritma.

1

A. Bentuk Pangkat 1. Pangkat Bulat Positif, Negatif dan Nol Di kelas VII SMP, telah dijelaskan bahwa 3n = 3 × 3 × … × 3. n faktor

Bilangan 3 disebut bilangan pokok, sedangkan n disebut pangkat. Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real maka an didefinisikan sebagai perkalian n faktor bilangan a. an = a × a × … × a n faktor

Jika a ≠ 0, a bilangan real dan n bilangan bulat negatif maka a−n didefinisikan sebagai berikut : a−n

= =

1 an 1 1 1 × × ×...× 1 a a a a   n faktor

dan a0

CONTOH

1.

=

1

Tuliskan dalam bentuk perkalian berulang! 3

a.

2

5

= . . . .

b. (−5)

5

= . . . .

c.

1  5  

d.

 − 1  3 =  5   . . . .

= . . . .

= . . . .

e.

n9

f.

(−r )7 = . . . .

Jawab: a. 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 b. (−5)5 = (−5) × (−5) × (−5) × (−5) × (−5) = −3.125 c.

d. e. f.

2

 1  3 = 1 ×  5   5

1 5

×

1 5

=

1 125

 − 1 3 =  − 1  ×  − 1  ×  − 1  = − 1  5   5   5   5  125 n9 = n × n × n × n × n × n × n × n × n (−r )7 = (−r ) × (−r ) × (−r ) × (−r ) × (−r ) × (−r ) × (−r )


2.

Tuliskan dalam bentuk pangkat! a. 5 × 5 × z × z × z = . . . . b. (−1) × (−1) × (−1) × (−1) = . . . . c.

− 1  × − 1  × − 1  × − 1   4   4   4   4  = . . . .

Jawab: a. 5 × 5 × z × z × z = 52 × z3 b. (−1) × (−1) × (−1) × (−1) = (−1)4 = 1 c. 3.

− 1  × − 1  ×  4   4 

 − 1  = − 1  4 =  4   4 

− 1  ×  4 

1 256

Tuliskan dalam bentuk perkalian berulang! a. 4−3 = . . . . c. 140 = . . . . −2

 1  b.   = . . . .  7 

1 2 −3

d.

=

. .. .

Jawab:

a.

4-3 =

1 43

1

= 4 ××

−2

1 4

1 b.   = 12 =   7   1   7  

c.

140 = 1

d.

1 2 −3

=

1 1 23

1

×4 = 1 1 7

×

1 1 7

1 64

=

2.

= 49

= 23 = 2 × 2 × 2 = 8

Asah Kompetensi 1.

1 1 49

1

Nyatakan ke dalam bentuk perkalian berulang! a. −36 = . . . . c. (7 + 3)7 = . . . . b. (−3)6 = . . . . d. 77 + 37 = . . . .

e. f.

3y3 = . . . . (x − y)2 = . . . .

Tuliskan dalam bentuk pangkat! a. 11 × 11 × 11 × 11 × 11 = . . . . b. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = . . . . c. t × t × t × t × t × t = . . . .


3

Hitunglah! a. 10−8 = . . . .

3.

b.

1 −2  1   5  

= . . . .

c.

0 −3

d.

(−5) 0 = . . . .

= . . . .

Nyatakan ke dalam bentuk pangkat! a. 800 = . . . . c. 200 = . . . . b. 64 = . . . . d. 450 = . . . .

4.

Pada 1940, sebuah komputer dapat mengerjakan sekitar 100 operasi per detik. Sejak itu, kecepatan komputer telah berlipat ganda 10 kali setiap 5 tahun. Sekitar berapa operasi per detikkah yang dapat dikerjakan komputer pada tahun 2005? Sumber: Teaching Mathematics

A

ktivitas di

K

elas

1.

Buatlah pola bilangan 7t dari t = 1!

2.

Tentukan angka satuan 7 t untuk setiap nilai t! Amati pola yang terbentuk!

3.

Tentukan angka puluhan 7t untuk setiap nilai t! Amati pola yang terbentuk!

4.

Berdasarkan pola yang kamu buat, tentukan angka satuan dan angka puluhan dari 7 1999!

2. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Bulat

Catatan Menentukan pangkat dari bilangan bulat adalah dengan menggunakan pohon faktor . Contoh: 452 452 = 2 2 113 226

2 2

4

113

× × = 2 × 113

a. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat Ambil a 5 sebarang bilangan real , kemudian hitung a3 × a4 = … a3 × a4

=

(a × a × a) × (a × a × a × a) 3 faktor

4 faktor

= a × a × a × a × a × a × a = a7

2

7 faktor

Jadi, a3 × a4 = a7.


Pangkat dari hasil perkalian merupakan penjumlahan pangkat kedua bilangan, yaitu 7 = 3 + 4. Untuk setiap a bilangan real, m dan n bilangan bulat, berlaku am × an = am +n

CONTOH

Hitunglah nilai pangkat berikut: 3

a.

5

3

×5

4

7

b. 8n

× n

3

c.

 − 1 ×  − 1 ×  − 1   3   3   3 

Jawab: a. 53 × 54 = 5 3 + 4 = 57 = 78.125 b. 8n7 × n3 = 8n7 + 3 = 8n10

 − 1   − 1   − 1  3  − 1  1 + 1 + 3  − 1  5 − 1  3   ×  3   ×  3  =  3  =  3  = 243      

c.

b. Sifat Pembagian dan Pangkat Nol Bilangan Berpangkat

≠0

Ambil a sebarang bilangan real, a a5 sebarang, kemudian hitunglah 3 a

m dan n bilangan bulat positif

!

5 faktor

a5 a3

  

=

a

× a× a× a× a × a× a  

a

=

a

×

a

=

a2



2 faktor

3 faktor

a5 Jadi, 3 a

= a2.

Pangkat dari hasil pembagian merupakan pengurangan pangkat pembilang oleh penyebut kedua bilangan, yaitu 2 = 5 − 3. Untuk setiap a bilangan real tak nol, m dan n bilangan bulat, berlaku

am an

= am − n

Dengan mengambil bilangan bulat m = n, buktikan bahwa a0 = 1! Hasil dari pembuktian akan menghasilkan sifat berikut ini.

Untuk setiap a bilangan real tak nol, berlaku a0 = 1


5

CONTOH

Hitunglah nilai dari: ( −3)3 ( −3)2

a.

b.

y6 y2

c.

(−123)0

Jawab: a.

( −3)3 ( −3)2

b.

y6 y2

c.

= (−3)3 − 2 = (−3)1 = −3

=

y6 − 2 = y 4

(−123)0 = 1

c. Sifat Pemangkatan Bilangan Berpangkat Ambil a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif. Kemudian hitunglah (a ) ! (am)n = (am) × (am) × . . . × (am) m n

n faktor

= (a × a × … × a) × (a × a × … × a) × … × (a × a × … × a) m faktor

m faktor

m faktor

n faktor

= a × a × … × a × a × a × … × a × … × a × a × … × a m × n faktor

= amn Jadi, (am)n = amn.

Untuk setiap a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif, berlaku (am)n = amn

CONTOH

1. 2.

= r 3 × 2 = r 6 (x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y) (r 3)2

d. Sifat Pemangkatan Bentuk dengan Beberapa Faktor Misalkan a dan b bilangan real sebarang. Kemudian hitunglah (a × b)3! (a × b)3

=

(a × b) × (a × b) × (a × b) 3 faktor

= a × b × a × b × a × b = a × a × a × b × b × b 3 faktor



Ayo, gunakan sifat asosiatif perkalian, yaitu a × b = b × a

3 faktor

= a3 × b3 Jadi, (a × b)3 = a3 × b3. 6


Untuk setiap a dan b bilangan real, n bilangan bulat positif, berlaku (a × b)n = an × bn n

 a  Dari sifat tersebut, coba buktikan bahwa   =  b 

an , b ≠ 0! bn

Untuk setiap a dan b bilangan real, n bilangan bulat positif, berlaku: n

 a   b   =

1.

an , b ≠ 0 bn

CONTOH

Hitunglah nilai (2a2)4! Jawab:

(2a2)4 = 2 4 (a2)4 = 16a8 y3 = 1, x dan y bilangan real tak nol, hitunglah 4x 3 !

x 2. Jika y

Jawab: x y

Oleh karena y3 4x 3

1 4

=

3

 y   x   =

= 1, maka 1 13 = 1 ⋅ 4 4

y x

⋅ 1 =

Asah Kompetensi 1.

= 1 1 4

2

Sederhanakanlah setiap perkalian berikut ini! a.

3 4

3 4

⋅

⋅

3 4

=....

c.

b. 2 × 32 × 5 × 32 × 22 × 52 = . . . . 2.

d. a3 × 3a2b × 3ab2 × b3 = . . . .

Sederhanakanlah setiap pembagian berikut ini! a.

98 814

= . . . .

(−1)

5

b. 3.

4x7y7 × 4xy × 10 yx3 = . . . .

(−1)4

= . . . .

c.

4 xy 4 2( xy )4

= . . . .

d.

r 8s3t 4 r 2 s2 t

= . . . .

Tunjukkan bahwa untuk setiap a bilangan real tak nol dan n bilangan bulat positif, berlaku a−n

1

= an !


7

4.

Mari sederhanakan! a. 20050 = . . . . b.

5.

1 −3  − 1   5  

c.

(−1)

5

= . . . .

d.

Mari sederhanakan! a. (65)−3 = . . . .

c.

3

( −1)4

= . . . .

(7−2)−1 = . . . . 3

 3  2  b.  − 5   = . . . .    6.

(−1)−7 = . . . .

 1  d. (y3)−1 −  −1  = . . . .  y 

Mari sederhanakan! 2

a.

(−3a × 3b)5 = . . . .

c.

 2 a ×  − 3 b    3  4     = . . . . −2

 1  2 2  d.  2  2  = . . . .   

b. (x3 ⋅ y−2)4 = . . . . 7.

Buktikan bahwa untuk setiap a bilangan real, m dan n bilangan bulat, berlaku am × an = am +n!

Coba pikirkan berapa banyak angka pada hasil perkalian 2 1999 × 5 2000! Sumber: Olimpiade Matematika tingkat Kota/ Kabupaten , 2002

1

ASAH KEMAMPUAN

Waktu: 60 menit 1.

Tuliskanlah dalam perkalian berulang! a. (−3a)5 = . . . . c. (35)4 = . . . . e. b.

2.

d. (a2)−7 =. . . .

f.

Tuliskan dalam bentuk pangkat! a. 4r × 3r × 2r × r = . . . . b. 9a × 6ab × 3abc = . . . . c.

8

−3a6 = . . . .

(−1)

12

= . . . .

3 −2  1   6  

Bobot soal: 6

= . . . . Bobot soal: 6

1 × −1 ×  1 × − 1  ×  1   2   4   8   16   32  = . . . . Matematika Aplikasi SMA Kelas X

3.

Tentukanlah nilai a, b dan c dari bentuk berikut ini!

Bobot soal: 16

a. 13.475 = 5 a × 7 b × 11 c c. 75.625 = 5 a × 7 b × 11 c b. 15.125 = 5 a × 7 b × 11 c d. 41.503 = 5 a × 7 b × 11 c Kemudian, tentukan pula FPB dan KPK dari bilangan-bilangan tersebut! 4.

5.

6.

Sederhanakanlah!

Bobot soal: 12

a.

9x2y-3 × y4x-1 = . . . .

c.

 1 a−5 b −3   25   × (5a5b3) = . . . .

b.

−2y-2 × (−2xy−1)2 = . . . .

d.

1 3

1 2 ab 3

× (−3ab 2 ) = . . . .

Sederhanakanlah! a.

125a −3 × 3a 6 b 2 5ab 4

b.

16 a 2 b 6 × ab 4 8 ab 4

Bobot soal: 16

= . . . .

c.

9 x −2 y − 3 z − 4 9 x − 2 y − 3 z − 4 27 x −4 y −3 z −2 27 x −4 y −3 z −2 −2

= . . . .

d.

( 3x 2 y 2 ) z4

xz−3 : −4 yz

= . . . .

= . . . .

Untuk x dan y bilangan real tak nol, tentukanlah: 0

 16x 2 y 6 + 8xy 4   = . . . . a.  8xy 4   7.

× ( −3 a ) ×

b.

27 x 4 y 0 + 9x 0 y 2 2 x −3 y 2

Bobot soal: 6

= . . . .

Mari sederhanakan!

Bobot soal: 12

−3

−1

a.

  3  −2   −  − 4      

b.

− p  − p ( − p ) = . . . .

c.

 8m−12 n−2   32m−6n    4

−3

8. Jika k = 3, l =

−3

− 13 , dan m = 5, tentukanlah nilai dari: 3

a.

 a−4 b 2 c  d.  ( ab)−6 c 3  = . . . .  

( 3k 2 l −2 m4 ) 2 ( 2 k −1l 2 m−3 )

Bobot soal: 6 −2

 −2 k − 3l 3 + l 3 (−m)5   b.  k −1 l − 2 m − 3  

Sebuah kubus memiliki panjang rusuk (4r + 3) 3. a. Tentukanlah volume kubus tersebut! b. Jika kubus tersebut dapat memuat 6 buah limas beraturan yang masing-masing kongruen, tentukanlah volume limas!

Bobot soal: 10

10. Hambatan total R dari sebuah rangkaian seri-paralel diberikan oleh persamaan

Bobot soal: 10

9.

−1

 1 1 1  R =  R + R + R  + R4  1 2 3  Hitung nilai hambatan tersebut jika R1 = 5 dan R4 = 6 Ω!


Ω, R2 = 6,5 Ω, R3 = 5,5 Ω,

9

Produksi semen tiga segitiga memenuhi persamaan h = 5 × 2−4 × t2 × 106 di mana h dalam ton dan t bilangan bulat yang menyatakan waktu. Jika keuntungan perusahaan dinyatakan oleh u (dalam rupiah) dari persamaan u h

= 2−5 × 105

Gambar suasana pabrik

Berapakah keuntungan perusahaan te rsebut selama 5 tahun?

B. Bentuk Akar Untuk memahami bentuk akar, lakukanlah aktivitas berikut ini.

A

ktivitas di

K

elas

1.

Gambarlah segitiga siku-siku samakaki dengan panjang sisi siku-sikunya 1 cm!

2.

Ukurlah panjang sisi miringnya dengan menggunakan penggaris sentimeter. Berapa sentimeterkah panjangnya? Catatlah hasil pengukuranmu!

3.

Sekarang, hitunglah panjang sisi miring tersebut dengan menggunakan teorema Pythagoras. Berapa sentimeterkah panjangnya?

Pada langkah ke-2 aktivitas tersebut, kamu akan mendapatkan panjang sisi miring segitiga siku-siku samakaki 1,4 cm lebih. Dengan tingkat ketelitian berapapun, kamu tidak akan dapat mengukur dengan tepat panjang sisi miring ini. Pada langkah ke-3, dengan menggunakan teorema Pythagoras yang telah dipelajari di SMP kelas VII, kamu akan mendapatkan panjang sisi miring tersebut 2 cm. Cara memperolehnya: h

1 cm

h2 h

=

=

12

+ 12 = 1 + 1 =

2

2 cm

1 cm Dengan menggunakan kalkulator, diperoleh

2

= 1,414213562…,

suatu

bentuk desimal yang tidak berulang dan tanpa akhir. Bentuk seperti 2 ini disebut bilangan irasional dalam bentuk akar, karena tidak dapat 10


dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat

a , b b

≠ 0. Bilangan

lain yang merupakan bilangan irasional bentuk akar, di antaranya 7,

3

−16 , 4 9 , dan 5 −30 , sedangkan bilangan-bilangan seperti

9 , 36 ,

−64 dan 5 32 bukan bentuk akar karena: • 9 = 3 merupakan akar pangkat dua dari bilangan pangkat dua 3

sempurna, yaitu 9 = 3 2

•

36

= 6 merupakan akar pangkat dua dari bilangan pangkat dua

sempurna, yaitu 36 = 6 2 •

3

−64 merupakan akar pangkat tiga dari bilangan pangkat tiga

sempurna, yaitu -64 = (-4)3 •

5

32

= 2 merupakan akar pangkat lima dari bilangan pangkat lima

sempurna, yaitu 32 = 2 5

Bentuk akar adalah akar pangkat m dari suatu bilangan yang bukan pangkat m sempurna.

2.

CONTOH

15 adalah bentuk akar karena 15 bukan pangkat dua sempurna.

1. 3

−27 bukan

−27

bentuk akar karena

merupakan pangkat tiga

sempurna.

10 adalah bentuk akar karena 10 bukan pangkat lima sempurna.

3.

Buktikan bahwa

3 merupakan bilangan irasional!

Catatan

1. Sifat-Sifat Bentuk Akar Untuk setiap a, b, p, q bilangan real, m dan n bilangan asli, berlaku: 1.

m

n

am

= an

4.

n

ab

n

a b

m n

2. p a + q a

=

( p + q ) a

5.

3. p n a − q n a

= ( p − q)n a

6.

n

n

n

Dari sifat 1 diperoleh

= n a .n b n

= n a , b ≠ 0 b

a

= mn a

Menyederhanakan akar dari bilangan bulat diselesaikan dengan cara memfaktorkan bilangan tersebut. Contoh: 1800 = 23 ⋅ 52 ⋅ 32 3

900

2

450

2 2

n

a

m

=a

m n

225

2

2

45

5

9

5 3


= 2 ⋅2 ⋅ 5 ⋅ 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5⋅ 3 = 2 ⋅ 5⋅ 3 ⋅ 2 = 30 2

1800

3

11

Jika m = n, maka

n

a

n

n n

= a = a.

Nilai a ini lebih dari atau sama dengan nol untuk n bilangan genap dan semua bilangan real untuk n bilangan ganjil.

CONTOH

1.

3

81 =

2.

5

−160 a7 b 5 =

3.

2 3

4.

15 3

3

⋅ (−

=

25x 5 y

5. 6.

2

x y 3

x

Asah Kompetensi 1.

c.

− 3 −8 3

d.

3.

12

( −2)5 ⋅ 5 ⋅ a5 ⋅ a2 ⋅ b5

5

15 ) =

−2

15 3

=

=

25x 5 y x2 y

3( 5 3)=

=

−2 (

5

(− 2)5 2

3)

= −2 ⋅ 3

5

= −6

5

=5

x3

=5

x2 x

= 5x

x

= 3.2 x = 6 x

3

f.

5

g.

0,27

5

⋅ 5 a5 ⋅ 5 b5 ⋅ 5 5 a2 = − 2 ab5 5 a2

5

Manakah yang merupakan bentuk akar? a. e. 3 300 45 b.

2.

= 3 33 ⋅ 3 = 3 3 3

27 ⋅ 3

h.

15

16.807

i.

−

0,81

j.

−1 1,21 2.025

2,25

Kerjakan operasi hitung berikut ini! a. 3 40 + 6 3 5 f. 3 − 27 + 81 b. 4 12 + 9 27 g. 375 + 192 − 648 h.

(1 + 3 2 ) − ( 4 −

9 4 48 − 18 4 32

i.

9 x 2 y + 5 xy 2

−

x4y

29 7 − 10 63

j.

x3 y 5 27

−

13 3 2 x y 2

c.

4x 7

d. e.

+ 3x

7

+ 2x

7

+3

50 ) + 243

− 12

x

3

x6 y 2

5

25.000

h.

x9 y 2

i.

3

1.458x 6 y 5

1 16 12 x y 8

j.

5

243x 20 y 100

Sederhanakanlah! a.

72

e.

b.

250

f. g.

c.

3

1.512

d.

3

80

8

54 x 3 y 3


4.

Sederhanakanlah! 128 2

a.

f.

5 128x 5 50x

g.

3

6

b.

128 6 1.458

c.

6 2 3

e.

x2 y

h.

4

(

x 3 y2

)

x5y 3 x−y

196 169

d.

 8 27  + 13  10  x y 

xy 

i.

j.

0,0625

( 3 x + 3 y ) ( 3 x 2 − 3 xy + 3 y 2 ) (

x − y )( y + x ) x−y

Sederhanakan bentuk akar berikut ini! 1.

2 + 2 + 2 + ...

2.

6 + 6 + 6 + ...

6 + 6 + 6 + ...

3

20 + 20 + 20 + ...

4.

42 + 42 + 42 + ...

2. Merasionalkan Penyebut Pecahan Merasionalkan penyebut pecahan artinya mengubah bentuk akar pada penyebut pecahan menjadi bilangan rasional. Dapat dilakukan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan akar sekawan dari penyebutnya. Bentuk-bentuk akar sekawan tersebut adalah sebagai berikut: •

a sekawan dengan

a

• ( a + b ) sekawan dengan ( a − b ) •

( a+

b ) sekawan dengan

( a − b)

Dalam buku ini hanya akan dibuktikan bahwa ( a + b ) sekawan dengan

(a −

b ) . Untuk membuktikan pernyataan tersebut, kamu harus menunjukkan

bahwa hasil kali ( a + b ) dengan

( a − b ) merupakan bilangan rasional.

Bukti: 2

( a + b ) ( a − b ) = a2 − a b + a b − ( b ) = a2 − b a2 − b merupakan bilangan rasional sehingga ( a + (a −

b ) sekawan dengan

b ) .


13

Dengan cara yang sama, coba kamu buktikan bahwa a dan

CONTOH

2 3

1.

2.

b ) sekawan dengan

=

2 ⋅ 3 3 3

=

2 3 3

Perkalian dua bentuk akar sekawan

7 7

−3(4 + 7 ) −12 − 3 = 9 16 − 7

7

x+ 2 x− 3

x+ 3 x+ 3

x+ 2 x− 3

= ( =( =

( a − b).



−3 −3 × 4 + = 4− 7 4− 7 4+

= 3.

( a+

a sekawan dengan

×




=−4 −1 3

3

7




x + 2 )( x + 3 ) x − 3 )( x + 3 )

x+( 3 + 2) x + 6 x−3

Asah Kompetensi 4 Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. Kemudian, nyatakan dalam bentuk sederhana! 1.

8 10

2.

7 −5 15

3.

4.

5 − 48 11

x2 2 x

Tunjukkan bahwa jika x =

14

5.

6.

3 x 2

7.

3 4− 5

5 +1 maka (x2 5 −1

+

8.

7− 2 7 −2 24 − 216 2 6 −9

9.

x+ y x− y

1

10. x − x 2 − y 2

1 ) merupakan bilangan irasional! x2


2 Waktu: 60 menit 1.

Gambarlah garis yang panjangnya

2.

Kerjakan operasi hitung berikut ini! a. 2 3 + 192 f. 3x + 12 x + 27 x + 48x b.

567 − 11 7

g.

c.

125 + 50 − 175

h.

d. − 6 + 54 + 404 27 − 2 162

e. 3.

7 cm,

9 x3

3

3

6 × 18

i. x 3 2 − x 2 3 128 + x 3 16 25 − 2 126

j.

c.

3

2 + 3)

(

19 − 336

g.

h.

d. 2 4 ( 3 2 + 16 )

e.

3

3

x2 5 x 2 x2

i.

j.

x

3

2x 2 x x2 x2 3 x

x y xy

Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini. Kemudian, nyatakanlah ke dalam bentuk yang lebih sederhana! a.

30 20

c.

1 10 − 4

b.

9 2

d.

3 3−2 2


Bobot soal: 20

42 35 56 15

3 3

4.

−

14 15 24 35

f.

b. 2 3 ( 3 3 + 6 )

Bobot soal: 20

+ 3 3x 4 y 3 − 3 81xy 6

Kerjakanlah operasi hitung berikut ini!

a.

Bobot soal: 18

3 18 x

+

24x 4

17 cm, dan 2 6 cm!

Bobot soal: 25

15

1

e. f.

3 5

 

1 80

−

5 2

h. −2

  2 

1

g. 5.

1 2

−

5

x4

−2 +

2 2 2 −3

i.

2 + 3 3 −3 2 + 2 3

j.

4 7

+

5 − 2 7 +2 3+ 7

Aplikasi Geometri Pada gambar segitiga ABC di samping, panjang

A

AE : EC = 2 : 3 . Jika DE sejajar dengan BC dan luas segitiga ABC 400 cm2, hitunglah: a. Perbandingan luas segitiga ADE dengan luas segitiga ABC. b. Luas segitiga ADE.

2

D

Bobot soal: 17

E 3

B

C

C. Logaritma

A

K

ktivitas di

elas

1.

Tuliskan persamaan y = 3 x pada bukumu!

2.

Substitusilah nilai y = 1, y = 3, y = 27, dan y =

3.

Sekarang, substitusilah nilai y = 4 dan y = 10. Dapatkah kamu menentukan nilai x?

1 sehingga kamu mendapatkan nilai x! 3

Pada langkah ke−2 aktivitas di atas, dengan mencoba-coba mensubstitusi nilai x, didapatkan nilai x sebagai berikut: Pada persamaan y = 3 x tersebut, kamu dapat mencoba-coba mensubstitusi nilai x untuk memperoleh nilai y tertentu. Namun, tidak demikian pada langkah ke−3.

y = 3x y=1

x=0

y = 3

x = 1

y = 27

x=3



y = 

16

x = –1


Pada langkah ke −3, kamu akan kesulitan jika harus mencoba-coba mensubstitusi nilai x yang memenuhi y = 3x. Untuk menyelesaikan masalah tersebut, seorang Matematikawan asal Skotlandia, John Napier telah menemukan suatu cara yang tepat, yaitu dengan logaritma. Logaritma ditemukannya pada tahun 1614. Untuk p > 0 dan p ≠ 1, berlaku plog a = n jika dan hanya jika pn = a, dengan p adalah bilangan pokok. a adalah numerus, yaitu bilangan yang akan dicari logaritmanya. (a > 0) n adalah logaritma dari a dengan bilangan pokok p Definisi ini sangat berguna untuk menentukan nilai x yang memenuhi y = 3 x, khususnya seperti permasalahan pada langkah ke-3 aktivitas 3. Untuk y = 4, didapat 3x = 4. Akibatnya, x = 3log 4. Untuk y = 10, didapat 3x = 10. Akibatnya, x= 3log 10. 1.

log 100 = 2 karena 100 = 10 2

2.

2

3.

3

4.

log 16 = 4 karena 16 = 24 log 



=



 36 = 4

 

karena





=





karena 36 = (  )



Pada contoh tersebut, kamu mudah menentukan logaritmanya karena bilangan yang kamu hadapi tergolong istimewa. Bagaimana menentukan 6 log 50, 9log 2, atau 27 log 11? Untuk memudahkanmu dalam menentukan logaritma seperti itu, kamu harus mempelajari sifat-sifat berikut.

Untuk bilangan pokok positif, tidak sama dengan satu, dan numerus positif, berlaku log (ab) = plog a

1.

p

2.

p

3.

p

4.

 a  p p   = log a − log b

log  b 

log an = n ploga 

log a =

 



c.

a

 

log a =

a

1 log p

d.

a

b.

p

a.

p

b.

p

log a = 1

e.

log 1 = 0

p

logan = n

log a × alog q = plog q

5.

p

6.

a.

7.

+ plog b



 

a. 



 

=

=



 



 

b.


log a =

(  ) 



 



   

=



17

Pembuktian dalam buku ini hanya akan dijelaskan untuk sifat 1, 3, dan 6a. Pembuktian sifat 1

p

= plog a + plog b log (ab) =



Gunakan sifat perkalian bilangan berpangkat

Misalkan x = plog a maka a = px y = plog b maka b = py p log (ab) = plog px. py = plog px + y Dengan menggunakan definisi logaritma akan diperoleh p log (ab) = x + y = plog a + plog b Jadi, plog (ab) = plog a + plog b. Pembuktian sifat 3

p

log an = n plog a

Misalkan x = plog a maka a = px. Jika kedua ruas persamaan dipangkatkan n maka an = pxn p log an = xn = n · plog a Jadi, plog an = n ploga. Pembuktian sifat 4a

q

= p log a =

log a log p

q



Ayo, gunakan sifat 3

Misalkan plog a = x maka a = px Logaritma dari kedua ruas dengan bilangan pokok q adalah q log a = qlog px = x qlog p Didapat, x =



 



 

.

Oleh karena x = log a, maka log a = p

Pembuktian sifat 6a

pn

logam

= m p loga n

p



 



 

.

Dengan menggunakan sifat 4a dan 3 , didapatkan 



Jadi,

 

=

 



 



=



 





 

=

   



=  

  

 

  .

Untuk sifat lainnya, coba kamu buktikan sendiri. CONTOH

1.

Tulislah 7log 45 sebagai penjumlahan beberapa bentuk logaritma!

2. 3.

Tulislah 3log 12 sebagai selisih dua bentuk logaritma! Tulislah 9log 32 sebagai perkalian bilangan cacah dengan bentuk logaritma!

4. Jika log 2 = a dan log 3 = b, nyatakan 27log 8 dalam a dan b! 5.

18

2

log 3

⋅ 3log 4 ⋅

log 5 = ….

4


Jawab: 1.

Soal ini termasuk soal terbuka (open ended question). Salah satu jawabannya adalah 7log 45 = 7log 9 + 7log 5. (Jika jenis soalnya seperti ini, mungkin jawabanmu dengan jawaban teman berbeda tetapi kedua jawaban tersebut benar.)

2.

Soal ini juga termasuk soal terbuka (open ended question). Salah satu jawabannya adalah 3log 12 = 3log 24 − 3log 2.

3.

Oleh karena 32 = 2 5, maka kamu dapat menyatakan 9 log 32 = 9log 25 = 59log 2.

4.

27

5.

2

log 8 =

log 3

⋅





3

log 4



=



⋅





=



log 5 = 2log 5

4

Asah Kompetensi 1.

2.



=

 



Ayo, gunakan sifat 6a dan 4a



Ayo, gunakan sifat 5

5

Tuliskan dalam bentuk perkalian berulang! a. 9log 64 = . . . . b. 3log 125 = . . . .

c. d.

6

Sederhanakanlah! a. 2log 6 ⋅ 6log 8 b. 2log 4 ⋅ 4log 3

c. d.

5

⋅ ⋅

log 9 = . . . . 3 log 5 = . . . . 8

log 126 = . . . . 5 log81 = . . . . log 7 6 log 2

⋅ ⋅

log 8 ⋅ 8log 10 = . . . . 2 log 3 ⋅ 3log 6 = . . . . 7

D. Aplikasi Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma Konsep-konsep bentuk pangkat, akar, dan logaritma sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Bilangan berpangkat digunakan untuk menuliskan bilangan yang sangat kecil sampai pada bilangan yang sangat besar. Bentuk akar dikembangkan sampai merasionalkan penyebut pecahan berbentuk akar. Sedangkan logaritma dapat digunakan untuk menentukan besarnya gempa bumi. Lebih jelasnya, pelajari contoh berikut ini.

Dari seismograf diketahui suatu gempa menghasilkan 0,1 milimeter pada jarak 100 km dari pusat gempa. Tentukan besarnya gempa tersebut!

CONTOH

Jawab:

M (x)

= M (0,1)  

 0 

x



0, 1



= log  x  = log  0,001    10−1  = log  10−3  = log 102 = 2   Jadi, besarnya gempa bumi tersebut adalah 2 Skala Richter.


19

1. Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan 100xlog 0,1 =

 

− xlog 100, tentukanlah nilai

   



2. Jika y1 dan y2 memenuhi persamaan y + 3log 8 = log  +  , tentukanlah nilai dari (y1 + 3)(y2 + 3)!

ASAH KEMAMPUAN

3

Waktu : 60 menit 1.

Tentukanlah nilai logaritma berikut. Kemudian, berikan alasannya! 

a.

2.



 

= … , karena . . . .

d.

b.

5

log 0,0016 = …, karena . . . .

e.

c.

log  = …, karena . . . .

f.

 

 = …, karena . . . .

x

log x = …, karena . . . . 

   =

…, karena . . . .

Tulislah dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan beberapa bentuk logaritma! a. log 57 d. 5log 36 b. 9log 5 e. 2log (x3 + x2y) c.

3.



12

log 6

f.

log



Bobot soal: 12

Bobot soal: 18

   

x1 dan x2 memenuhi persamaan

Bobot soal: 14

(log (x − 1) ⋅ log(x + 1))

 



= log 10

Tentukanlah x1 ⋅ x2! 4.

x1 dan x2 memenuhi persamaan 

log



Bobot soal: 13

x 

log x

×



log x

=

 

log x

Tentukanlah    ! 5. Jika x dan y memenuhi persamaan x log xy ylog xy + xlog(x − y) ylog(x − y) = 0 dan x > y > 0 tentukanlah x + y!

20

Bobot soal: 8


6. Jika 5log 3 = a dan 3log 4 = b, nyatakanlah 12log 75 dalam a dan b! 7. Jika 2log 3 = p dan 2log 5 = q, nyatakanlah 6log 50 dalam p dan q! 8.

Sederhanakanlah! a.

2

b. c.

log 27 × log 64 × log 5



4

  +



3

Bobot soal: 5 Bobot soal: 5 Bobot soal: 8

 

 

log 12 + 2 4log 3 – 3 4log 6

9. Jika a = br , b = cs dan c = at, tentukan nilai 2r + st! a b

10. Jika log

+ log

b = log (a + b) maka a2 + b2 = . . . . a

Bobot soal: 8 Bobot soal: 9

angkuman Rangkuman 1. Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real maka:

= a × a ×× a  

an

n faktor

2.

3.

Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat dan nol. a.

am

× a n = am + n

b.

am an

= am − n , a ≠ 0

c.

a0

= 1,

a≠0

Sifat pemangkatan bilangan berpangkat n

4.

= a mn

a.

( a m )n

b.

( a × b )n

= a n × bn

c.

 a  = an  b   bn

d.

a−m

1 am

=

Sifat-sifat bentuk akar a.

n

a

m

n

b. p a c.

p n a

=a

m n

d.

n

ab

a

e.

n

a b

− q n a = (p − q) n a

f.

m n

+q

n

a

= (p + q)

n


=

n

a

⋅nb

n

= na, b≠0 b

a

= mn a

21

5.

Bentuk-bentuk akar sekawan

•

a sekawan dengan − a

•

(a +

•

(

a

b ) sekawan dengan ( a − b )

+

b ) sekawan dengan

(

a

−

b)

pokok p,, maka berlaku: 6. Jika n adalah logaritma dari a dengan bilangan pokok p p

7.

⇔

pn

= a ; a > 0,

p > 0 dan p ≠ 1

Sifat-sifat logaritma p

a.

l o g ( ab ) = p l o g a

+

c.

 a  = p log a −  b   p lo log a n = n p lo g a

d.

•

lo log a

• • • •

p

b.

22

log a = n

p

log

p

p

log a

n

=n

p

p

p

log b

log b

log a

=

n

 q log a  q   log p 

=a

a lo log a = 1

e.

=n p lo lo g 1 = 0 p l o g a ⋅ a l og q = p l og q

f.

•

p n

•

p

a

log a n

lo g a m

log a =

=m n

pn

p

log a

log an


Ulangan Bab 1 I.

Pilihlah jawaban yang paling tepat!

10 log x − 6

1. Jika 25.125 = 3 x ⋅ 5 y . 67 z, maka nilai x, y, dan z adalah . . . . a. b. c. d. e.

= 3, y = 1, z = 1 x = 2, y = 3, z = 1 x = 3, y = 2, z = 1 x = 1, y = 3, z = 1 x = 2, y = 1, z = 1

6.

x

2

a.

1 2 (x x2

− 1)

d.

1 4 x − x2 2 ( x

b.

1 4 (x x2

− 1)

e.

1 4 x − 1) 2 ( x

c.

1 3 (x − 1 ) x2

2 n+ 3

− 6  4 log x   + 2  

x1 + x2 = . . . . a. 20 b. 4 c. 8

d. 16 e. 12

8.

+ 1)

bilangan

cacah

dan

= n 512 , maka n adalah . . . . −1 dan 9 d. 1 −9 e. 1 dan −9

5.

x+2

adalah . . . . a. x > −1 b. x > −2 c. x < −2

d. x < −1 e. −1 < x < 1

− 2 lo g

1 2 b. 16 atau 4 c. 2 atau 4 a.

=

0 maka

2 2a + b) ( log

2

( -2 y + b )

+

b2

=

12ab 12 ab,, maka

= . . . . d. log 2 e. 2

10. Nilai dari

Nilai x yang memenuhi

( 4 log x )2

1

Nilai x yang memenuhi 8 x + 1 = 24 x − 1 adalah . . . . a. 1 + 6 2log 3 d. 1 + 4 2log 3 b. 1 − 6 3log 2 e. 1 + 6 3log 2 c. 1 + 4 3log 2

a. log 4 b. 4 c. 2log 2

a. b. c. 9 4.

d. 10 3 e. 10 4

9. Jika 1 < a 0, maka

 12 −21   21 − 12   x − x  x + x    

x2 1000 a. 10 0 b. 10 1 c. 10 2

8 atau

x

−3 =0, 4

d. e.

−

x + 10

> −2

maka x = . . . .

(−

2

+

3

+2−

5 )( 2

+

3

+2+

5)

adalah . . . . a.

2 3 − 10

d.

4 3 − 2 10

b.

4 10

e.

10 + 2 3

c.

2 3

1 atau 16 2 8 atau 4


23

II. Jawablah pertanyaan berikut dengan jelas dan tepat! 1.

2.

Tentukanlah massa jenis rata-rata bumi jika massa bumi 5,98 × 10 24 kg dan volum 1,08 × 1021 m3! Hambatan total R dari sebuah rangkaian seriparalel diberikan oleh persamaan 1

R = ( R 1

+

1 −1 R2 ) + R3

Jika R1 = 7,5 Ω , R2 = 5 maka R = . . . Ω

Ω dan

R3 = 6,5

Ω,

3.

Hitunglah nilai dari

5

1 34 3

(6x − 5)}(3log a) 4. Jika {alog (6x nilai x! 5.

+3

=20,

289

+

3

1 ! 5 12

tentukanlah

Energi diam E sebuah proton dengan massa diam m dihubungkan oleh persamaan Einstein E = mc2, di mana c = kecepatan cahaya. Jika m = 1,7 × 10 − 27 kg dan c = 3 × 108 m/s, tentukanlah energi diam proton tersebut!

B

Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

A B


Gambar orang melempar batu ke atas

Sebuah batu yang dilempar vertikal ke atas memiliki ketinggian h meter di atas tanah setelah t detik, dinyatakan dengan persamaan h = 30t – 5t 2. Kapankah batu itu berada pada ketinggian 40 m di atas tanah? Untuk menjawabnya, kamu harus mempelajari sebuah fungsi yang dikenal dengan nama fungsi kuadrat. Sebelum mempelajari fungsi tersebut, kamu juga harus mempelajari persamaan kuadrat.

Bab 2 Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

♦

Kamu dapat menentukan akar-akar persamaan kuadrat.

♦

Kamu dapat menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

♦

Kamu dapat menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya memenuhi kondisi tertentu.

♦

Kamu dapat menggambarkan grafik fungsi kuadrat.

♦

Kamu dapat menentukan syarat fungsi kuadrat definit positif dan negatif.

♦

Kamu dapat menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat.

♦

Kamu dapat menentukan sumbu simetri, titik puncak, sifat definit positif atau negatif fungsi kuadrat.

♦

Kamu dapat menentukan fungsi kuadrat yang melalui tiga titik yang tidak segaris.

♦

Kamu dapat menjelaskan karakteristik masalah yang mempunyai model matematika persamaan atau fungsi kuadrat.

♦

Kamu dapat menentukan besaran masalah yang dirancang sebagai variabel persamaan atau fungsi kuadrat.

♦

Kamu dapat merumuskan persamaan atau fungsi kuadrat yang merupakan model matematika dari masalah.

♦

Kamu dapat menentukan penyelesaian dari model matematika.

♦

Kamu dapat memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah. 25

A. Persamaan Kuadrat Panjang suatu kandang yang berbentuk persegi panjang adalah 3 m lebih panjang daripada lebarnya. Jika luas kandang tersebut 40 m 2, berapakah ukurannya? Untuk menyelesaikan masalah ini, kamu harus menggunakan rumus luas persegi panjang, yaitu L = pl. Misalkan, lebarnya x maka panjangnya x + 3, sehingga diperoleh persamaan berikut. (x + 3)x = 40 x2 + 3x − 40 = 0 Pangkat terbesar variabel x pada persamaan tersebut adalah 2 dan pangkat terkecilnya 0. Persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat x2 + 3x − 40 = 0 telah ditulis dalam bentuk umum. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0; a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 , dengan : • x adalah variabel • a adalah koefisien dari x2 • b adalah koefisien dari x • c adalah konstanta

Jika kamu menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut, berarti kamu mencari nilai variabel x yang memenuhi persamaan kuadrat. Nilai variabel x ini disebut akar persamaan kuadrat.

Catatan

1. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

6 x 2 – x –15 = (2 x + 3) (3 x –5) m

p

n

q

Bentuk umum: ax 2 + bx + c = (mx + p) (nx +q) maka: m × n = a mq + np = b p × q = c Sebaliknya,

Ada tiga cara untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu dengan memfaktorkan, melengkapkan kuadrat, dan rumus.

a. Memfaktorkan Jika persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat difaktorkan maka kamu dapat menuliskannya sebagai berikut. 1 (ax + p)(ax + q) a p ax2 + bx + c = (x + )(ax + q) a pq

ax2 + bx + c =

2

1

(2 x + 3) (3 x − 5) 3

= (2 x )(3 x ) + (2 x )(−5)

= =

ax2 + bx + c = ax2 + ( p + q)x +

4

+ 3(−5) 6 x −10 x + 9 x −15 6 x − x − 15 2 2

CONTOH

+ 3(3 x )

Jadi, p + q = b dan pq = ac.

Dengan demikian, untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, kamu harus mencari dua bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya b dan jika dikalikan hasilnya ac. 2

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat berikut! 1. 2.

26

a

x2 + 3x = − 2 2x2 − 5x − 12 = 0


Jawab: 1.

Ubah persamaan x2 + 3x = − 2 ke dalam bentuk umum, yaitu x2 + 3x + 2 = 0 (x + …)(x + …) = 0 (x + 1)(x + 2) = 0 x + 1 = 0

atau

x = −1 Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan x2 + 3x atau x = − 2. 2.

x + 2 = 0 x = −2 = − 2 adalah x = − 1

Faktorkan 2x2 − 5x − 12 = 0 (x + …)(2x + …) = 0 (x − 4 )(2x + 3) = 0 x − 4 = 0

atau

2x + 3 = 0

x = 4

atau

x = −

3 2 3 2

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan adalah x = 4 atau x = − .

b. Melengkapkan Kuadrat Melengkapkan bentuk kuadrat persamaan ax2 + bx + c = 0 dilakukan dengan mengubah persamaan tersebut menjadi bentuk (x + h)2 = k, k ≥ 0. Untuk jelasnya, pelajari contoh berikut ini. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat berikut! 1. 2.

CONTOH

x(x + 2) = 195 2x2 − 11x + 15 = 0

Jawab: 1.

x(x + 2) = 195 • Gunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan. x2 + 2x = 195 2  1 . 2  • Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien x, yaitu   2   pada kedua ruas persamaan. 2

2

 1   1  x + 2x +  2 . 2  = 195 +  2 . 2      2 x + 2x + 1 = 195 + 1 x2 + 2x + 1 = 196 (x + 1)2 = 196 x + 1 = ± 196 = ± 14 x = −1 + 14 atau = 13 2

= −1 − 14 = − 15 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 13 atau −15. Bab 2 Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

x

27

2.

2x2 −11x + 15 = 0 • Tentukan persamaan kuadrat yang ekuivalen dengan 2x2 − 11x + 15 = 0 dan koefisien x2 adalah 1. Untuk itu, bagi 2x2 − 11x + 15 = 0 dengan 2, didapat x2 − •

Tambahkan − x2 −

11 x 2

= 0

15 pada kedua ruas persamaan. 2

11 15 x + 2 2

 15  +  − 2   = 0 + x2 −

•

15 2

+

11 x = 2

 − 15   2  

− 15 2

Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien x, yaitu 2

 1 .  − 11    2  2     pada kedua ruas persamaan. 2 2 1 11 1 11     11 15     +  2 .  − 2     x2 − x +  2 .  − 2   = −   2 2   x2 −

11 x + 2

2

 1 .  − 11   15  2  2     = − 2 +

121 16

2

121 16

120  x − 11   4   = − 16 + 2

 x − 11   4   = 11 4

= ±

11 4

= ±

x − x −

1 16

1 16 1 4

x

=

11 4

+

1 4

=

atau x

=

11 4

−

1 4

=

12 4 10 4

=3

=21 2

Dengan demikian, nilai x yang memenuhi persamaan adalah x = 2

1 2

atau 3.

c. Rumus Rumus untuk menentukan akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 diperoleh melalui langkah-langkah yang sama seperti menentukan akar persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat. Langkah-langkah tersebut adalah sebagai berikut: b c = 0. • Bagi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan a, didapat x2 + x + • 28

c Tambahkan kedua ruas dengan − . a

a

a


b x a

Didapat, x2 + x2 + •

c a

+

b c x = − a a



c 



c 

+  − a   = 0 +  − a  

Tambahkan kedua ruas dengan kuadrat dari setengah koefisien x, yaitu 2

 1 ⋅ b   2 a   . 2

x

+

2

2

c  1 ⋅ b   1 b   2 a   = − a +  2 ⋅ a  

b x + a

2

2

 x + 1 ⋅ b   1 ⋅ b   2 a   =  2 a   − 2

 x + 1 ⋅ b   2 a   = 2

 x + 1 ⋅ b   2 a   = •

b2 4a2

−a

b2 4a2

− 4a2

c a

c

4 ac

Tentukan akar kuadrat dari kedua ruas sehingga diperoleh nilai x. x+

1b 2a

b2

=±

x = − x =

− 4 ac 4a2

b ± 1 2a 2a

−b ±

b2

− 4 ac

b 2 − 4 ac 2a

Rumus umum menentukan akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0; a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 adalah x1

= −b +

b 2 − 4 ac atau x2 2a

= −b −

b 2 − 4 ac 2a

Dari rumus akar persamaan kuadrat tersebut, tentukanlah rumus untuk x1+x2 dan x1x2. x1 + x 2

= = =

−b +

b 2 − 4 ac 2a

+

−b −

b 2 − 4 ac 2a

−b − b 2a

−2b 2a

= −

b a b a

Jadi, x1 + x2 = − .


29

−b +

x1x2 =

b2 − 4 ac 2a

×

−b −

b 2 − 4 ac 2a

2

(−b ) − ( b − 4 ac ) = (2 a ) 2

2

2

=

b 2 − ( b 2 − 4 ac ) 4 a2

=

4 ac 4a2

=

c a

Jadi, x1 x2 =

c . a

Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0; a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 maka jumlah akar-akar tersebut adalah x1+ x2 = − kalinya adalah x1 x2 =

c . a

b dan hasil a

Perhatikan kembali rumus akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, yaitu x1

= −b +

b 2 − 4 ac 2a

atau

x2

= −b −

b2 − 4 ac 2a

Jenis kedua akar tersebut bergantung dari nilai b2 − 4ac yang ada di bawah tanda akar. Nilai b2 − 4ac disebut diskriminan, dilambangkan dengan D. Diskriminan berarti membedakan jenis akar. D=0

mempunyai dua akar yang sama

Dua akar bilangan real dan rasional

D kuadrat sempurna

D>0 D bukan kuadrat sempurna

D < 0

CONTOH

Tidak mempunyai akar bilangan real

Dari persamaan kuadrat 3x2 − 5x + 2 = 0 tentukanlah: a. jenis akarnya b. akar-akar tersebut 1 c. x1 + x2, x1x2, x 12+ x22, x

1

30

Dua akar bilangan real dan irasional

+

1 x2 dan x1 − x 2


Jawab: a. Diskriminan persamaan kuadrat 3x2 − 5x + 2 = 0 adalah D = (−5)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2

= 25 − 24 = 1 Berarti D > 0 maka merupakan kuadrat sempurna. Sehingga persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar bilangan real dan rasional yang berbeda. b. Pada persamaan kuadrat 3x2 − 5x + 2 = 0, diketahui a = 3, b = − 5, dan c = 2. Dengan menggunakan rumus akar persamaan kuadrat, maka akan diperoleh nilai x1 dan x2 sebagai berikut.

=

x1, 2

−b ±

D

2a

=

−(−5) ± 2 ⋅ 3

Jadi, nilai x1 = 1 dan x2 = c.

4 6

1

=

5

±1 6

= 2 . 3

Dengan menggunakan rumus. b

•

x1 + x2 = − a

•

x1 x2 = a = (x1 + x2)2

•

c

x12 + x22

( −5) 5 = − 3 =3 2 3

= x12 + 2x1x2+ x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 2

5 2 =  3    − 2 ⋅ 3 25 −4 9 3 = 25 − 12 9 9 x 2 + x1 x 1 + x 2 = x1 x 2 x1 x 2

=

•

1 x1

+

1 x2 5 3 2 3

=

13 9 

Gunakan sifat komutatif penjumlahan, yaitu x2 + x1 = x1 + x2

=5⋅3 3 2

= •

=

(x1 − x 2)2

5 2

= x12 − 2x1x2 + x22 = x12 + x22 − 2x1x2 =

=

13 9 13 9

x1 − x2

=±

x1 - x2

1 =±3

Jadi, x1 − x2 =

− 2 · −



Gunakan sifat komutatif penjumlahan, yaitu - 2x1x2 + x22 = x22 - 2 x1x2

2 3

1 12 = 9 9

1 9

1 atau x1 - x2 = 3

1

−3


31

Asah Kompetensi 1.

Dengan menggunakan diskriminan, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut. Kemudian, tentukan akar-akar tersebut dengan cara memfaktorkan! a. b. c. d.

2.

e. 3x2 = 7 − 4x f. 2y2 −( − y ) = 0 g. −8z − 30 + 5z2 = 0 h. (2 p + 1)(5 p − 4) − (3 p −2)2

2x2 − 2x − 1 = 0

e.

3x2 − 4 = (x + 1)2

b. 3y2 − 6y + 1 = 0

f.

1 (y − 1) = y2 3

5 p2 − 5 p + 2 = 0

g.

( p + 1)(2 p − 1) = y + 2

h.

y − 1 y2 + 2 = 4 6

c. d.

4.

x2 − 7x − 30 = 0 y2 − 6y − 16 = 0 z2 − 12z + 36 = 0 p2 + 7 = 4 p

= 0

Dengan menggunakan diskriminan, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut. Kemudian, tentukanlah akar-akar tersebut dengan cara melengkapkan kuadrat! a.

3.

1

− h + 4 = 0

Dengan menggunakan diskriminan, tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut. Kemudian, tentukan akar-akar tersebut dengan menggunakan rumus! a. 5x2 − 16x + 2 = 0 c. (x − 1)(x + 1) = 20 b. y2

+

e.

(z

− 1)(z − 1) = 12

f.

( p − 1)2 − 2 p = 0

5y

− 24 = 0

d.

y+4 y−4 + y−4 y+4

g.

2 +

h.

7 z

1 x−1

=

+

= 10 3

4 z2 1

x−2

+

1 x−3

Akar-akar persamaan kuadrat ax2 − 3ax + 5(a − 3) Jika x13 + x23 = 117, tentukanlah nilai a2 + a!

5. Jika x 1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat ax2

=0

= 0 adalah x1 dan x2.

+ bx + c = 0 dan

1

+

1 x1

+

1 x2

= 0, buktikan

bahwa b = c! 6.

Akar-akar persamaan kuadrat x2 − 2x x1 Jika x 2 2

7. 8.

x2 x12

m = 0 adalah x1 dan x2.

= −1 1 , tentukanlah nilai m! 9

Selisih akar-akar persamaan x2 persamaan tersebut!

−

nx

+

24

= 0 adalah 5. Tentukanlah jumlah akar-akar UMPTN 1994*

Tentukanlah nilai ab jika a dan b merupakan akar-akar real persamaan x2 + x =

32

+

+

2 ! x +x+1 2

Olimpiade Matematika SMU*


Nini Sentera dan Cendikia mencoba mencari akar-akar persamaan kuadrat. Saat mengerjakannya, Cendikia melakukan kesalahan ketika menyalin konstanta persamaan kuadrat itu. Ia pun mendapatkan akar persamaan kuadrat 2 dan 8. Sedangkan Nini Sentera melakukan kesalahan ketika menyalin koefisien x sehingga mendapatkan akar −9 dan −1. Coba cari akar persamaan kuadrat yang benar. Tentukan pula persamaan kuadratnya!

2. Membentuk Persamaan Kuadrat Suatu persamaan kuadrat dapat dibentuk apabila diketahui nilai akarakarnya atau nilai akar-akar persamaan kuadratnya berelasi dengan akarakar persamaan kuadrat lain. Pada bagian sebelumnya, kamu telah mengetahui jika akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2 maka kamu dapat menyatakan persamaan kuadrat itu sebagai a(x − x1)(x − x2) = 0. Sekarang, pernyataan tersebut dibalik, jika kamu mengetahui akar-akar persamaan kuadrat maka kamu dapat menyusun persamaan kuadrat tersebut melalui persamaan berikut. a(x − x1)(x − x2) = 0 ⇔ a(x2 − (x1 + x2)x + x1x2) = 0

1.

Bentuklah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5!

2.

Bentuklah persamaan kuadrat yang jumlah akar-akarnya −16 dan hasil kali akarnya 63!

3.

x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + 6x − 1 = 0. Bentuklah persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 + x 2 dan x 12 + x22!

Persaman kuadrat (2x + 3)(3x − 5) dapat dibentuk dengan men-galikan (2x + 3) dan (3x − 5) 2x + 3 3x − 5 --–––––––––––× −10x − 15 2 6x + 9x --–––––––––––--––– × 6x2 − x − 15

CONTOH

Jawab: 1.

Akar-akar persamaan kuadrat tersebut x1 = 2 dan x2 = 5. a(x − 2)(x − 5) = 0 a(x2 − 7x + 10) = 0 Pilih a = 1 sehingga didapat persamaan kuadrat x2 − 7x + 10 = 0.

2.

x1 + x 2 = − 16 dan x1x2 = 63. a(x2 − (−16)x + 63) = 0 a(x2 + 16x + 63) = 0 Pilih a = 1 sehingga didapat persamaan kuadrat x2 + 16x + 63 = 0.


33

x1 dan x 2 akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + 6x − 1 = 0,

3.

6 2

1 2

berarti x1 + x2 = − = −3 dan x1 x2 = − . x12 + x22 diperoleh dengan cara berikut: (x1 + x2)2 = x12 + 2x1x2 + x 22 x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2



1 

= (−3)2 − 2.  − 2   = 9 + 1 = 10 Persamaan kuadrat yang akan dibentuk memiliki akar-akar x1 + x2 = −3 dan x12 + x22 = 10, adalah: a(x − (x1 + x2 ))(x – (x12 + x22 )) = 0 a(x − (−3))(x − 10) = 0 a(x2 − 7x − 30) = 0 Pilih a = 1 sehingga didapat persamaan kuadrat x2 − 7x − 30 = 0.

Asah Kompetensi 1.

2

Bentuklah persamaan kuadrat dengan ketentuan sebagai berikut. a. b.

1 1 2 2 3 + 15 3 − 15 Akar-akarnya adalah dan 2 2

Akar-akarnya adalah 2 dan −1 .

2 3

c. Jumlah dan hasil kali akar-akarnya berturut-turut 1 dan d. Hasil kali dan jumlah kuadrat akar-akarnya berturut-turut e. Kebalikan akar-akarnya adalah

1 . 3

− 7 dan 4

25 . 2

3 1 − 7 dan 3 + 1 7 2 2 2 2

2.

Bentuklah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan kuadrat x2 + 8x + 10 = 0! (UMPTN1996)*

3.

Akar-akar persamaan kuadrat x2 + ax + 1 = 0 adalah m dan n. Bentuklah persamaan kuadrat yang akar-akarnya

4.

3 3 + dan m3 + n3! m n

(UMPTN 1998)*

Akar-akar persamaan kuadrat x2 − 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2. Bentuklah persamaan kuadrat 1

x

1

x

1 2 yang akar-akarnya x 2 + x 2 dan x + x ! 1 2 2 1

5.

Persamaan kuadrat 3x2 − (a − 1)x kuadrat yang akar-akarnya

− 1 = 0 mempunyai akar-akar m dan n, sedangkan persamaan

1 1 dan adalah x2 − (2b + 1)x + b = 0. Tentukanlah 2a + b! m n (UMPTN 2001)*

34


3. Aplikasi Persamaan Kuadrat Bu Cindy akan membuat taman seluas 36 m2 di halaman rumahnya. Di sekeliling taman itu, ia ingin membuat jalan yang lebarnya sama. Jika tanah di halaman rumahnya itu berukuran 10 m × 5 m, berapakah lebar jalan yang akan dibuatnya? Misalkan lebar jalan tersebut x, maka persoalan ini dapat digambarkan seperti berikut. Perhatikan sketsa taman di atas!

x

x

x

x

10 − 2x 5 − 2x

Taman

x

x x

x

Panjang taman (10 − 2x) m dan lebarnya (5 − 2x) m. Luas taman adalah (10 − 2x)(5 − 2x) m2. Karena luas taman 36 m2, maka akan diperoleh persamaan berikut. (10 − 2x)(5 − 2x) = 36 50 − 30x + 4x2 = 36 4x2 − 30x + 14 = 0  Gunakan cara memfaktorkan = 0 2x2 − 15x + 7 (2x − 1)(x – 7) = 0 x =

1 2

atau

x = 7

Jika x = 7 maka panjang taman adalah 10 − 2 ⋅ 7 = −4 < 0. Berarti, x = 7 bukan penyelesaian. Jika x =

1 maka panjang taman adalah 10 2

adalah 5 − 2 Berarti, x =

1

− 2 2 = 9 > 0 dan lebar taman

1 = 4 > 0. 2

1 merupakan penyelesaian. 2

Jadi, lebar jalan di sekeliling taman yang akan dibuat Bu Cindy adalah


1 m. 2

35

Asah Kompetensi

3

Mari kerjakan soal-soal cerita berikut! 1.

Di halaman sebuah gedung yang berukuran 80 m × 60 m akan dibuat taman yang luasnya seperenam kali luas halaman gedung. Di sekeliling taman tersebut harus disediakan tempat parkir yang lebarnya sama. Tentukanlah lebar tempat parkir tersebut!

2.

Nicky Sentera dan Claudia membutuhkan waktu 4 jam untuk mengetik sebuah naskah cerpen bersama-sama. Jika Nicky Sentera dan Claudia mengetik sendiri-sendiri naskah tersebut maka Claudia akan lebih lama 6 jam dibandingkan Nicky Sentera. Berapa lamakah waktu yang dibutuhkan Claudia jika ia mengetik sendiri naskah cerpen tersebut?

3.

Sekelompok siswa sepakat untuk membeli satu unit komputer seharga Rp6.120.000,00 dengan cara patungan(membagi rata pembayaran). Setelah masingmasing membayar, mereka baru menyadari ada tiga temannya yang harusnya ikut bergabung. Jika ketiga teman tersebut ikut maka masing-masing akan membayar Rp340.000,00 kurang dari yang telah mereka bayar. Tentukanlah banyak siswa yang berencana membeli komputer tersebut!

4.

Niko Sentera membengkokkan sepotong kawat yang panjangnya 56 cm untuk membuat sebuah persegi panjang yang luasnya 171 cm 2. Tentukanlah ukuran persegi panjang yang dibuat Niko Sentera tersebut!

36


ASAH KEMAMPUAN

1 1.

Dengan menggunakan diskriminan, tentukanlah jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut. Kemudian, tentukan pula akar-akar itu dengan cara yang menurutmu paling mudah! a. 5x2 + 15x + 1 = 0 b. 2a2 + 3a − 2 = 0 c. t2 − 7t + 15 = 0

f. 5x(x + 1) = −2 g. (3t + 2)(4t − 3) − 10t(t + 1) = 0 h. (2k − 3)(3k + 1) − 2k2 + 22k = 0

d. 3m2 − 2m − 4 = 0

i.

e.

176 − 3y − 35y

2

=0

j.

x x+3 3 (x2

+

2x − 45 x − 3 4( x 2 − 9)

− 11 ) 5

−

2 ( x 2 − 60 ) 7

Bobot soal: 30

=0 = 36

m dan n akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + ax + b = 0. Jika m2 +

1 n2

=

7,

Bobot soal: 10

3. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat x2 + px + q = 0, tentukanlah

Bobot soal: 10

2.

tentukanlah nilai a dan b! 2

 1 1   x − x  !  1 2 

+ ( p −1)x − (4 − 5 p) = 0,

Bobot soal: 10

5. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat x2 − 3x + 1 = 0, tentukanlah

Bobot soal: 10

4.

x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat x2 x ∈ R. tentukanlah x1100 + x2100!

2

 1 1  persamaan kuadrat yang akar-akarnya  x − x  dan  1 2  6.

1 x2

+1 !

Diketahui a = 2,545454… dan b = 0,636363…. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya

a b dan ! b a

7. p dan q akar-akar persamaan kuadrat 2x2 − 6x + c = 0. Jika p2 − q2 = 15, tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya ( p + q) dan ( p − q)! 8.

Bobot soal: 10

Sebuah segitiga memiliki luas 40 cm2. Jika alasnya 2 cm lebih panjang daripada tingginya, berapakah ukuran segitiga tersebut?


Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

37

B. Fungsi Kuadrat 1. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat Sebuah peluru ditembakkan ke atas sehingga ke- tinggiannya setelah x detik dinyatakan dengan fungsi h(x) = 50x − 5x2. Bagaimanakah bentuk lintasan gerak peluru tersebut? Ceritakan pula tentang gerak peluru itu? Untuk itu, kamu harus menggambar grafik fungsi h(x) = 50x − 5x2. Sebelum kamu menggambarnya, pelajari dulu langkah-langkah untuk menggambar grafik fungsi kuadrat secara umum, yaitu grafik fungsi f (x) = ax2 + bx + c. a.

Tentukan titik potong grafik terhadap sumbu y. Syaratnya, x = 0 sehingga f (0) = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c =c Jadi, titik potong terhadap sumbu y adalah (0,c).

b. Tentukan titik potong grafik terhadap sumbu x. Syaratnya, f (x) = 0 sehingga ax2 + bx + c = 0. Nilai x yang memenuhi merupakan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Kamu akan memperoleh nilai x dengan menggunakan cara memfaktorkan, cara melengkapkan kuadrat, ataupun dengan rumus yang telah kamu pelajari pada subbab A. Misalkan, nilai x yang diperoleh adalah x1 dan x2, maka titik potong terhadap sumbu −x adalah (x1, 0) dan (x2, 0). c. Perhatikan koefisien x2, yaitu a. Jika a > 0 maka grafik fungsi terbuka ke atas. Jika a < 0 maka grafik fungsi terbuka ke bawah. d. Tentukan nilai diskriminannya (D). Jika D = 0 maka grafik menyinggung sumbu −x. Jika D > 0 maka grafik memotong sumbu –x pada dua titik. Jika D < 0 maka grafik tidak memiliki titik potong dengan sumbu −x. Koefisien x 2 dan diskriminan ini menentukan posisi grafik fungsi f (x) = ax2 + bx + c pada bidang koordinat.

• a > 0 dan D = 0

• a < 0 dan D = 0 x1 = x2 x

x

x1 = x2

• a > 0 dan D > 0

x1

x2

• a < 0 dan D > 0 x1 x2

x

x

• a > 0 dan D < 0

• a < 0 dan D < 0 x

x 38




Untuk a > 0 dan D < 0, grafik seluruhnya berada di atas sumbu -x. Dikatakan, fungsi f (x) definit positif. Artinya, selalu bernilai positif.



Untuk a < 0 dan D < 0, grafik seluruhnya berada di bawah sumbu-x. Dikatakan, fungsi f (x) definit negatif. Artinya, selalu bernilai negatif. e. Tentukan koordinat titik balik, yaitu menentukan titik maksimum atau minimum fungsi. Caranya sebagai berikut. Dengan melengkapkan kuadrat, kamu dapat menyatakan fungsi f (x) = ax2 + bx + c dalam bentuk lain, yaitu: b x) + c a 2  x + b  − b 2  = a  2 a   4a2  + c  

ax2 + bx + c = a(x2 +

2

b = a  x + 2 a    − 2  x + b  = a  2 a   +

Ingat

b2 + c 4a b 2 − 4 ac −4 a

D = b2 – 4ac

2

D   b   = a  x −  − 2 a     + −4a

x

b = − 2 a merupakan persamaan sumbu simetri dari grafik fungsi

sedangkan

f (x),

D −4a merupakan nilai maksimum atau minimum dari fungsi

f (x).

  Jadi, koordinat titik balik fungsi f (x) adalah  − 2 a , − 4 a  .   b

D

Sekarang, kamu akan menggambar grafik fungsi h(x) = 50x − 5x2. • Titik potong dengan sumbu-h, syaratnya x = 0 sehingga h(0) = 0. Jadi, titik potong dengan sumbu-h adalah (0,0) • Titik potong dengan sumbu-x, syaratnya h(x) = 0 Gunakan cara memfaktorkan: 50x − 5x2 = 0 5x(10 − x) = 0 5x = 0 atau 10 − x = 0 x1 = 0 atau x2 = 10 Jadi, titik potong dengan sumbu-x adalah (0, 0) dan (10, 0). •

•

Koefisien x2 pada fungsi h(x) adalah a = − 5 Karena a < 0 maka grafik terbuka ke bawah. Akibatnya, titik balik fungsi merupakan titik balik maksimum. Persamaan sumbu simetri fungsi h(x) adalah 50

(5,125)

Titik balik maksimum

h 125

Sumbu simetri x = 5

50

x = − 2.( −5) = 10 = 5 Jadi, sumbu simetri fungsi h(x) adalah garis x = 5. Nilai maksimum fungsi adalah

 502 − 4 ⋅ (−5) ⋅ 0   2500  −  = −  −20  = 125 hmaksimum =  4 ( 5) ⋅ −     0


5

10

x 39

Dengan demikian, titik balik maksimum fungsi h(x) adalah (5,125). • • •

Dari grafik tersebut, kamu dapat mengetahui hal-hal berikut. Grafik berbentuk parabola sehingga lintasan gerak peluru berbentuk parabola. Titik puncak grafik (5,125). Berarti, peluru mencapai ketinggian maksimum 125 m pada saat 5 detik setelah ditembakan. Titik potong terhadap sumbu-x adalah (0,0) dan (10,0). Berarti, peluru mencapai tanah 10 detik setelah ditembakkan.

Asah Kompetensi 1.

2.

4

Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut! 1 z (z − 3) 2

a. f (x) = x2− 5x + 6

k. f (z) = −

b. f (x) = x2 + 6x − 5 c. g(x) = 3x + x2 + 10 d. f (y) = 2y2 + y − 10

l. f (m) = 2m2 − 8m + 1 m. g(n) = 1 − 12n + 3n2 n. h(x) = 2x2 − 6x + 4

e.

h(t) = (3 + 2t)(2t + 1)

o.

f (x) = − 2 2 x2+

2 x − 2

f. g. h. i.

f (t) = t − 4 + 3t2 f (z) = 4z2 − 7z – 2 h(x) = (x − 2)2 + (x − 2) + 2 g(t) = 1 + 5t + 4t2

p. g(n) = 2 n2 + 3 q. h(t) = −2t2 − 8t + 18 r. f (y) = 18 − 3y − y2 s. h(n) = n2 + 2n + 8

Berikan contoh fungsi kuadrat yang definit positif dan definit negatif. Kemudian gambarkan grafiknya!

2. Menentukan Fungsi Kuadrat Untuk menentukan suatu fungsi kuadrat, kamu harus memperhatikan hal-hal berikut. a. Jika diketahui titik potong terhadap sumbu−x, misalnya (x1,0) dan (x2,0), maka fungsi kuadratnya adalah f (x) = a(x − x1)(x – x2). b. Jika diketahui titik balik fungsi, misalnya (h,k), maka fungsi kuadratnya adalah f (x) = a(x − h)2 + k. c. Jika diketahui tiga titik yang dilalui grafik, maka fungsi kuadratnya adalah f (x) = ax2 + bx + c. CONTOH

1.

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu −x pada titik (0,0) dan (4,0) serta melalui titik (1,3)! Jawab:

Misalkan, fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu −x pada titik (0,0) dan (4,0) itu adalah f (x) = ax(x − 4). Karena grafik f (x) melalui titik (1, 3) maka 3 = a ⋅ 1 ⋅ (1 − 4) Diperoleh 40

a= −

3 3

= −1 Matematika Aplikasi SMA Kelas X

Dengan mensubstitusi nilai a ke fungsi f (x), akan diperoleh f (x) = −x(x − 4) Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah f (x) = − x(x − 4). 2.

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (0, −35) dan mempunyai titik balik (4,−3)! Jawab:

Misalkan, fungsi kuadrat tersebut f (x) = a(x − h)2 + k dengan koordinat titik balik (h,k) = (4, −3). Fungsi itu adalah f (x) = a(x – 4) 2 − 3. Grafik fungsi f (x) melalui titik (0, −35), sehingga diperoleh nilai a. a(0 − 4)2 − 3 = − 35 (−4)2a − 3 = − 35 16a = − 32 a = −2 Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah f (x) = −2(x − 4)2 − 3. 3.

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (0,6), (2,13), dan (−1,−2)! Jawab:

Misalkan, fungsi kuadrat tersebut f (x) = ax2 + bx + c. Grafik melalui titik (0,6), didapat c = 6 …… (a) Grafik melalui titik (2,13), didapat 4a + 2b + c = 13 …… (b) Grafik melalui titik (−1,−2), didapat a − b + c = − 2 …… (c) Substitusi persamaan (a) ke persamaan (b), didapat 4a + 2b + 6 = 13 4a + 2b = 7 …… (d) Substitusi persamaan (a) ke persamaan (c), didapat a − b + 6 = −2 a − b = −8 …… (e) a = b − 8 Substitusi persamaan (e) ke persamaan (d), didapat 4(b − 8) + 2b = 7 4b − 32 + 2b = 7 6b = 39 b

=

39 6

= 13 2

…… ( f )

Substitusi persamaan ( f ) ke persamaan (e), didapat a =

13 2

− 8

=

13 2

−

16 2

3 = −2

Sekarang, substitusilah nilai a, b, dan c yang telah didapat pada fungsi f (x) = ax2 + bx + c


41

Sehingga kamu memperoleh fungsi kuadrat: 3 2

f (x) = − x2 −

Asah Kompetensi

3 x + 6 2

5

1.

Titik balik grafik fungsi kuadrat f (x) adalah (3,19). Jika fungsi f (x) dinyatakan sebagai f (x) = −x2 + px + q, tentukanlah fungsi f (x) tersebut!

2.

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu−x pada titik (−1,0) dan mempunyai titik balik (1,4)!

3.

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu −x pada titik (−1,0) dan (5,0) serta mempunyai nilai minimum −4!

4.

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu −x pada titik ( melalui titik (

5.

4 ,2)! 5

1 ,0) dan (1,0) serta 2

Tentukanlah fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik-titik berikut! a. (−3,6), (1,−6), dan (−1,−4) b. (−2,9), (−1,4), dan (5,16) c. (4,24), (1,6), dan (−4,16) d. (0,−15), (4,33), dan (1,−15) e. (−4,−3), (0,5), dan (4,13)

3. Aplikasi Fungsi Kuadrat Pada bagian ini akan dibahas tentang beberapa masalah aplikasi yang dapat diubah menjadi model matematika dengan persamaan kuadrat. Untuk lebih jelas, pelajarilah contoh berikut. CONTOH

Tentukanlah hasil kali maksimum dari dua bilangan yang jumlahnya 50! Jawab:

Misalkan dua bilangan tersebut adalah x dan y, maka x + y = 50. Sehingga diperoleh y = 50 − x. Misalkan pula, hasil kali kedua bilangan tersebut dinyatakan dengan fungsi f (x), maka f (x) = xy = x(50 – x) = 50x − x2 Supaya diperoleh hasil kali sebesar-besarnya, kamu harus menentukan sumbu simetri fungsi f (x), yaitu x = −

42

b 2a


x

50 = − 2( −1)

= 25 Substitusi nilai x = 25 ke persamaan y = 50 y = 50 − 25 = 25

−x

Jadi, kedua bilangan tersebut adalah 25.

Asah Kompetensi

6

1. Jika sisi miring sebuah segitiga siku-siku adalah 50 cm dan kelilingnya 112 cm, tentukanlah panjang sisi siku-sikunya! 2.

Dua buah roda berputar, dan setiap menit sebuah roda melakukan 1 putaran lebih banyak daripada yang lainnya. Jika roda yang lebih kecil memerlukan waktu 1 detik lebih cepat 1

daripada roda yang lebih besar untuk melakukan putaran, berapa banyaknya putaran 4 yang dilakukan tiap roda dalam 1 menit? Petunjuk : Kelajuan roda besar = x putaran/menit Kelajuan roda kecil = (x + 1) putaran/menit 3. Jumlah kuadrat sebuah bilangan dan bilangan lain yang dua lebih besar daripada bilangan tersebut adalah 36. Tentukanlah bilangan tersebut!

2

ASAH KEMAMPUAN

Waktu: 120 menit 1.

Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut. a. f (x) = x2 + 4

Bobot soal: 60

b. f (x) = 2 − 3x − x2 c. g(z) = z + z2 − 3 d. g(h) = 25 + 4h2 − 3 e. g(m) = −3 + 2m − m2 f. 2.

h(r ) = 1 − (2 − r )2

Fungsi f (x) mempunyai nilai minimum 21 dan memotong sumbu-y pada titik yang berordinat 25. Jika fungsi f (x) dinyatakan dengan f (x) = (x − 2a)2 + 3b, tentukanlah fungsi f (x) tersebut!


Bobot soal: 10

43

3.

Tentukan titik balik fungsi f (x) yang grafiknya melalui titik (2,5) dan (7,40) serta mempunyai persamaan sumbu simetri x = 1!

Bobot soal: 10

4.

Tentukanlah batas nilai m agar grafik fungsi f (x) = mx2 + (2m − 1)x + m − 2 definit negatif!

Bobot soal: 10

5.

Sebuah pintu berbentuk parabola terbuka ke bawah. Titik tertinggi pintu tersebut terletak 2 m di atas lantai, sedangkan lebarnya di lantai 1,5 m. Tentukanlah fungsi yang menyatakan bingkai pintu tersebut!

Bobot soal: 10

angkuman Rangkuman 1.

Bentuk umum persamaan kuadrat ax 2

2.

+ bx + c = 0 ; a, b, c ∈ R dan a ≠ 0

Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2

x1,2

=

−b ±

b2 2a

− 4 ac

⇒

Rumus abc

3. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat ax 2

• Jumlah akar-akar : x1 • Hasil kali : x1 ⋅ x2 4.

6.

+ bx + c = 0 ; a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 maka

+ x2 = − b

a

=c

a Menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat dengan diskriminan D a. D = 0 ⇒ memiliki dua akar yang sama dan real b. D > 0

5.

+ bx + c = 0 ; a , b, c ∈ R dan a ≠ 0 adalah

⇒

memiliki dua akar bilangan real yang berbeda (x1

≠ x2 )

c. D < 0 ⇒ tidak memiliki akar bilangan real Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x1 dan x2 adalah:

a ( x − x1 )( x − x2 ) = 0 ⇔ a ( x2 − ( x1 + x2 ) x + x1 x2 ) = 0 Langkah-langkah untuk menggambar grafik fungsi a. Tentukan titik potong terhadap sumbu-x b. Tentukan titik potong terhadap sumbu-y c. Perhatikan koefisien x2, yaitu a. •

a > 0 : Grafik terbuka ke atas

a < 0 : Grafik terbuka ke bawah • d. Menentukan nilai diskriminan D D = 0 : Grafik menyinggung sumbu-x •

44

•

D > 0 : Grafik memotong sumbu- x pada dua titik

•

D < 0 : Grafik tidak memiliki titik potong dengan sumbu- x


Ulangan Bab 2 I.


5.

1. Jika a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x − 2 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya a 2b dan ab 2 adalah . . . . a. x2 − 8x + 6 = 0 d. x2 − 6x + 6 = 0 b. x2 − 8x − 8 = 0 e. x2 − 6x + 8 = 0 c. x2 − 6x − 6 = 0 2.

Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 6x + c = 0 adalah x, dan x2. u dan v adalah akar-akar persamaan kuadarat x2 + (x12 + x 22)x + 4 = 0. Jika uv = −u−v, maka x1x23 + x13x2 = . . . . a. −64 d. 64 b. 16 e. −16 c. 4

3. Ji ka x adalah bilangan asli 2x2 − 3x − 5 = 0, maka x = . . . . a.

1

a dan 2 2

d. 1

1

b. 2 2 c. 16 4.

dan

e.

−16

6. Ji ka x 1 dan x 2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 6x + 2 = 0 maka (x12 − x22) + x12 + x22 = . . . . a. b. c.

Grafik di bawah ini berbentuk parabola dengan persamaan . . . . a. y = −x2 − 4x + 3 d. y = x2 − 4x + 3 b. y = −x2 − 4x − 3 e. y = x2 + 4x − 3 c. y = x2 + 4x + 3

O −1

1

2

3

4

x

−2


d. 4 e. 8

22

Akar-akar positif dari (m + 3)x2 + 2(m − 7)x + m − 3 = 0 adalah . . . . . a. −3 < m < 3 d. −3 < m < 7 b. 3 < m < c.

9.

4 3 2 1

32 3 23 3

7. Jika akar-akar persamaan 3x2 + 8x + 4 = 0 adalah p dan q, maka persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar p 2 dan q 2 adalah . . . . a. 9x2 −40x + 16 = 0 b. 3x2 + 40x + 4 = 0 c. 9x2 − 64x + 16 = 0 d. 9x2 + 64x + 16 = 0 e. 3x2 − 40x − 4 = 0 8.

y

Bentuk pemfaktoran dari persamaan kuadrat (4x + 1)2 = x(8x − 1) adalah . . . . a. (4x + 1(x + 1) d. (x − 1)(4x + 1) b. (x − 1)(8x + 1) e. (8x + 1)(x + 1) c. (x + 1)(4x − 1)

29 7

e.

−7 <

m<3

−3 < m < −7

Grafik suatu fungsi kuadrat memotong sumbu-x di titik A(−1, 0), B(4, 0) dan memo– tong sumbu-y di titik C (0, 8). Persamaan grafik fungsi tersebut adalah . . . . a. y = 2x2 + 10x + 8 b. y = −2x2 − 10x + 8 c. y = −2x2 + 4x + 8 d. y = −2x2 + 6x + 8 e. y = 2x2 − 10x − 8 45

10. Luas suatu bidang dibatasi oleh kurva y = x2 −5x + 6 dan sumbu-x adalah . . . . a. b. c.

−1 2 −1 3 −1 6

1 d. 6 1 e. 3

x

2.

46

Etrick akan membuat sebuah kotak yang alasnya berupa bujur sangkar dan volumenya 187,5 cm3. Biaya bahan untuk pembuatan alas kotak adalah Rp500,00/cm 2, untuk bagian atasnya Rp700,00/cm2, dan untuk bagian sisinya Rp400,00/cm 2. Berapakah ukuran yang harus ia buat agar biaya pembuatan kotak sekecil mungkin? Seekor semut merayap pada bidang XOY sampai berada di titik (x, y) dengan

1 2

(t

+ 1)

dan y

=

t2 + 2. Jika lintasan

semut itu membentuk kurva, berapakah panjang lintasan yang ditempuh pada saat t? 3.

Sebuah jendela berbentuk parabola terbuka ke bawah. Tinggi jendela terbuka ke bawah. Tinggi jendela tersebut 1 m dan lebarnya 0,75 m. Tentukanlah fungsi yang menyatakan bingkai jendela tersebut!

4.

Sebuah triplek berbentuk segitiga siku-siku. Jika sisi miring triplek adalah 61 cm dan kelilingnya 132 cm, tentukanlah panjang sisi siku-siku triplek tersebut!

5.

Rita akan membuat sebuah taplak meja yang berbentuk persegi panjang. Jika penjumlahan panjang dan lebar taplak meja tersebut 150 cm, berapakah luas maksimum taplak meja?


=


B A

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

B


Gambar Pak Delon menjual melon dan semangka (cari di majalah)

Mr. Delon, seorang pedagang buah. Ia menjual 2 kg melon dan 3 kg semangka dengan harga Rp37.000,00. Kemudian, ia juga menjual 3 kg melon dan 2 kg semangka ini dengan harga Rp38.000,00. Berapakah harga melon dan semangka tersebut perkilogramnya? Masalah ini adalah salah satu masalah yang dapat diselesaikan dengan menggunakan sistem persamaan linear. Untuk lebih jelas mengenai sistem persamaan linear ini dan penerapannya, pelajarilah bab berikut dengan baik.

♦

Kamu dapat menjelaskan arti penyelesaian suatu sistem persamaan.

♦

Kamu dapat menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel.

♦

Kamu dapat memberikan tafsiran geometri dari penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel.

♦

Kamu dapat menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel.

♦

Kamu dapat menentukan penyelesaian sistem persamaan linear kuadrat dua variabel.

♦

Kamu dapat menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya sistem persamaan linear.

♦

Kamu dapat menentukan besaran dalam masalah yang dirancang sebagai variabel sistem persamaan linear.

♦

Kamu dapat merumuskan sistem persamaan linear yang merupakan model matematika dari masalah.

♦


♦

Kamu dapat memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah.

A. Sistem Persamaan Linear 1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Di kelas VIII SMP telah dipelajari persamaan-persamaan linear seperti berikut: a. x − y = 1 b. x + y = 3 Jika kedua persamaan tersebut digabung maka akan terbentuk sebuah sistem persamaan, yaitu sistem persamaan linear. Perhatikan sistem persamaan tersebut. Sistem persamaan tersebut melibatkan dua variabel, yaitu x dan y, sehingga dikatakan sebagai sistem persamaan linear dua variabel. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 di mana a1, b1, c1, a2, b2 dan c2 bilangan real. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ini, dapat digunakan empat cara, yaitu: a. Metode Grafik b. Metode Substitusi c. Metode Eliminasi d. Gabungan Metode Eliminasi dan Substitusi

a. Metode Grafik Di kelas VIII SMP telah dipelajari cara menggambar grafik persamaan linear. Sekarang, lakukanlah aktivitas berikut dengan menggunakan kemahiran yang telah kamu miliki tersebut.

A

ktivitas di

K

elas

1. 2.

Gambarlah garis x − 3y = − 3 dan x + y = 1 pada satu sistem koordinat! Apakah kedua garis tersebut berpotongan? sejajar? atau berimpit? Jika berpotongan, tentukanlah titik potongnya!

3.

Gambarkan pula garis x + y = − 1 dan x + y = 3 pada satu sistem koordinat yang lain.

4.

Apakah kedua garis tersebut berpotongan? sejajar? atau berimpit? Jika berpotongan, tentukanlah titik potongnya!

5.

Sekarang, gambarlah garis x − y = 1 dan 3x − 3y = 3 pada satu sistem koordinat yang lain!

6.

Apakah kedua garis tersebut berpotongan? sejajar? atau berimpit? Jika berpotongan, tentukanlah titik potongnya!

48


Pada langkah 1 aktivitas tersebut, akan diperoleh grafik berikut. y x + y = 1 3 2 1

− 4 −3 −2 − 1 O −1 −2 −3

y = x 3

3

−

−

1

x

2

Gambar grafik pada langkah 1

Kedua garis tersebut berpotongan pada satu titik, yaitu titik (0,1). Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan linear tersebut memiliki tepat satu penyelesaian. Sekarang, amati grafik yang digambar pada langkah 3 dan langkah 5! y

x + y = 1

y

3 2 1

−2 − 1 O −1 −2 −3

3 2 1

x + y = 3

1

2 3

x

−2 −1 O −1 −2 −3

x − y = 1

1

2 3 4

x

3x − 3y = 3

y Gambar grafik pada langkah 3

Gambar grafik pada langkah 5

Pada langkah 3, kedua garis yangdigambar akan sejajar satu sama lain sehingga menyebabkan sistem persamaan linear tersebut tidak memiliki penyelesaian. Sedangkan, pada langkah 5, kedua garis tersebut berimpit sehingga menyebabkan sistem persamaan linear tersebut memiliki tak berhingga penyelesaian. Aktivitasmu ini menggambarkan tiga kemungkinan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel, yaitu sebagai berikut: • Sistem persamaan linear dua variabel memiliki tepat satu penyelesaian. Kamu telah mengetahui bahwa dua garis akan berpotongan dalam satu sumbu koordinat jika kedua garis tersebut memiliki gradien yang berbeda. Ini berarti, sistem persamaan linear dua variabel memiliki tepat satu penyelesaian jika gradien kedua garis berbeda. Jika digambarkan dalam bentuk grafik seperti Gambar 3.1. • Sistem persamaan linear dua variabel tidak memiliki penyelesaian. Kedua garis sejajar jika memiliki gradien yang sama dan titik potong yang berbeda terhadap sumbu-y. Ini berarti, sistem persamaan linear dua variabel tidak memiliki penyelesaian jika gradien kedua garis sama sedangkan titik potong terhadap sumbu-y berbeda. Jika digambarkan dalam bentuk grafik seperti Gambar 3.2. Bab 3 Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

k2

titik potong k1 x

O Gambar 3.1 Kedua garis berpotongan di satu titik

y l2 l1 O

x

Gambar 3.2 Kedua garis sejajar

49

y

•

m2 m1 O Gambar 3.3 Kedua garis berhimpit

x

Sistem persamaan linear dua variabel memiliki tak berhingga penyelesaian . Jika digambarkan dalam bentuk grafik seperti Gambar 3.3.

Kedua garis berimpit jika memiliki gradien yang sama dan titik potong yang sama terhadap sumbu-y. Ini berarti, sistem persamaan linear dua variabel memiliki tak berhingga penyelesaian. Dengan metode grafik, dapat diselesaikan suatu sistem persamaan linear. Namun, metode ini tidak efektif, efisien, dan tidak akurat. Berikut ini akan dibahas metode metode substitusi dan eliminasi yang lebih efektif, efisien, dan akurat.

b. Metode Substitusi Metode substitusi dilakukan dengan mensubstitusi salah satu peubah. Langkah-langkahnya sebagai berikut. Misalkan, diketahui sistem persamaan linear berikut ini. ax + by = k … Persamaan 1 cx + dy = h … Persamaan 2 bc − ad ≠ 0 Langkah 1 Pada salah satu persamaan, nyatakan salah satu variabel dalam variabel yang lain. k − ax Misalnya dari persamaan 1, nyatakanlah y = , b ≠ 0 … Persamaan 3 b Langkah 2 Substitusi Persamaan 3 ke Persamaan 2, sehingga akan diperoleh nilai variabel x.

 k − ax   b   = h

cx + d 

bcx + dk − adx =h b Kalikan kedua ruas dengan b sehingga diperoleh bcx + dk – adx = bh Sekarang, kurangkan kedua ruas dengan dk. bcx − adx = bh − dk (bc − ad)x = bh − dk Karena bc − ad ≠ 0, maka dapat dibagi kedua ruas dengan bc − ad sehingga diperoleh

x =

bh − dk bc − ad

… Persamaan 4

Langkah 3 Nilai variabel x ini, substitusikan ke salah satu persamaan, misalkan di substitusikan ke Persamaan 3 akan diperoleh

y

=

= 50

k − a

bh − dk  bc − ad b

bck − adk − abh + adk bc − ad b


=

bck − abh b (ck − ah ) b(bc − ad ) = b (bc − ad )

ck − ah bc − ad Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut

=

 bh − dk

ck − ah  

adalah  bc − ad , bc − ad   .   

c. Metode Eliminasi

TTS Isilah lingkaran-lingkaran kosong di bawah ini sehingga bilanganbilangan pada setiap garis mempunyai jumlah yang sama. 7

Dalam metode eliminasi, salah satu variabelnya dihilangkan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan linear. Agar variabel tersebut dapat dihilangkan saat dijumlahkan atau dikurangkan maka koefisien variabel tersebut harus sama atau disamakan. Langkah-langkahnya sebagai berikut. Misalkan diketahui sistem persamaan linear dua variabel berikut. ax + by = k … Persamaan 1 cx + dy = h … Persamaan 2 di mana bc − ad ≠ 0 Langkah 1 Misalkan, kamu ingin menghilangkan variabel x. Perhatikan koefisien variabel x tersebut. Oleh karena koefisiennya berbeda, maka kalikan Persamaan 1 dengan c dan Persamaan 2 dengan a. acx + bcy = ck … Persamaan 3 … Persamaan 4 acx + ady = ah

12

3

14

20

8

(Final Kompetisi Matematika SMU XVIII Jakarta September 2001)

Langkah 2 Kurangkan Persamaan 3 dengan Persamaan 4. acx + bcy = ck acx + ady = ah −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− − (bc − ad)y = ck − ah

Oleh karena bc − ad ≠ 0, kamu dapat membagi kedua ruas dengan bc − ad sehingga memperoleh y =

ck − ah . bc − ad

Langkah 3

Untuk mendapatkan nilai variabel x, maka dapat dilakukan dengan cara menghilangkan variabel y seperti cara menghilangkan variabel x pada langkah 1 dan 2. Kita akan coba mengulangi langkah 1 dan 2 untuk menghilangkan variabel y. Untuk itu, kalikanlah persamaan 1 dengan d dan persamaan 2 dengan b. adx + bdy = dk …… Persamaan 5 bcx + bdy = bh …… Persamaan 6 Langkah 4 Kurangkanlah Persamaan 5 dengan Persamaan 6. adx + bdy = dk bcx + bdy = bh

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− − (ad − bc)x = dk − bh

Bab 3 Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

51

Karena ad – bc ≠ 0, kedua ruas dapat dibagi dengan ad − bc sehingga diperoleh dk − bh ad − bc Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut

x =

adalah  bh − dk , ck − ah   .

  bc − ad

CONTOH

1.

x + y = 3 2x + y = 4



bc − ad  

Selesaikan dengan metode grafik!

Jawab:

• •

x + y = 3 … Persamaan 1 2x + y = 4 … Persamaan 2 Titik potong terhadap sumbu-x adalah (2, 0) dan (3, 0) Titik potong terhadap sumbu-y adalah (0, 4) dan (0, 3) y 2x + y = 4

4 3 2 1 1 2 3 x + y = 3

x

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 2)}. 2.

2x − y = 11 x + 4y = 1

Selesaikan dengan metode substitusi!

Jawab:

2x − y = 11 … Persamaan 1 x + 4y = 1 … Persamaan 2 Dari Persamaan 2 diperoleh x = 1 − 4y … Persamaan 3 Substitusi nilai x ke Persamaan 1 2(1 − 4y) − y = 11 2 − 8y − y = 11 −9y = 11 − 2 −9y = 9 y = −1 Substitusi y = − 1 ke Persamaan 3 sehingga diperoleh nilai x x = 1 − 4 (−1) = 1 + 4 = 5 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, −1)} .

52


3.

−5x − 2y = 4 x + y = 1

Selesaikan dengan metode eliminasi

Jawab:

−5x − 2y = 4 x + y = 1

… Persamaan 1 … Persamaan 2 Misalkan, kamu terlebih dahulu ingin mengeliminasi variabel y. Caranya, kalikan Persamaan 1 dengan 1 dan Persamaan 2 dengan 2. Jika mengeliminasi variabel x, kalikan Persamaan 1 dengan 1 dan Persamaan 2 dengan 5. −5x − 2y = 4 × 1 −5x – 2y = 4 × 1 × 2 × 5 x + y = 1 x + y = 1

−5x – 2y = 4 2x + 2y = 2 + −3x = 6 x = −2

−5x – 2y = 4 5x + 5y = 5 3y = 9 y =3

+

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(−2, 3 )} .

Asah Kompetensi 1.

1

Selidiki, apakah sistem persamaan linear berikut memiliki penyelesaian? Kemudian, tentukanlah himpunan penyelesaiannya dengan menggunakan metode grafik! a.

3x − y = 0

f.

2x + y = 5 b. 3x − 5y = 6

g.

2x − 3y − 5 = 0 c.

3y + 5x − 11 = 0

h.

d.

−5x − 3y = 9 6y − 2x = 8

i.

x − 3y + 4 = 0 e. 2.

2x − 3y = 4 x − 5y = 9

x 5 x 3

+ y = −2 − y = 10

x+y 3

= 3 3x + 3y − 27 = 0 x y + 3 2

= 4 2x + 3y = 4 4y = x + 1 2y =

j.

3 + 2x 2

5x + 5y = 3 4y − x = 6

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan metode substitusi! a.

7x + 2y = 10 5x + 2y = 6

b.

−2x + y = 4 8x − 4y + 16 = 0


c.

2x + 0,4y = 8 1,2y − 5x − 9 = 0

d. 2(x − 1) + 3(y + 1) = 4

5(x − 2) + 2(2 + y) = 7

53

e.

2x + 3y = 12 3x + y = 11

h. 2x + 3y = 5 7x − 4y = 3

f.

5x − 3y = 2 9y − 15x = 8

g. 4x + 3y = 0 5y + 53 = 11x

5 3 − x y

j.

g.

= 1

17 30 + = 16 x y

3.

4 15 + x y

= 15

7 6 − 5x y = 3

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi! a.

2x + 3y = 11

f.

5x + 3y = 23 b. 7y + 3x = 25

g.

3x − 4y = 5

x y + 3 5

h.

=2

i.

+

= 11

5

x 2x + 2 5

=

=6

x +y 15

j.

6x + 4y − 21 = 0

=3

8

3x + 2y = − 2 3x + 2 y − 2 + 2 3

3x + 2y = 17

4. Jika garis (x − 2y) nilai a!

x+ y y −x

2y − 5 x − 2 − 6 4

6y + 10x = 60 e.

8

+

y+x x −y

12x − 16y = 20 d.

9 3

4x + 6y = 20 c.

8 3 + x y = 3 9 4 + y x = 4

x y + 5 3

x

−

=0

=4 y 2

= 7

+ a(x + y) = a sejajar dengan garis (5y − x) + 3a(x + y) = 2a, tentukanlah (Soal Olimpiade Matematika SMU)*

5. Jika perbandingan 2x − y dengan x + y adalah 2 : 3, berapakah perbandingan x dengan y? (Soal Olimpiade M atematika SMU)*

d. Gabungan Metode Eliminasi dan Substitusi Gabungan metode eliminasi dan substitusi dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear sehingga mengerjakannya lebih singkat dan mudah.

54


Tentukanlah himpunan penyelesaian dari: x + 3y = 10 … Persamaan 1 3x + 4y = 15 … Persamaan 2

CONTOH

Jawab:

Untuk mendapatkan nilai y eliminasi nilai x

x + 3y = 10 3x + 4 y = 15

×3 ×1

→ →

3x 3x

+ +

= 30 = 15 − 5y = 15 y = 3

9y 4y

Subtitusikan y = 3 pada salah satu, Persamaan 1 atau Persamaan 2. Misalkan dipilih Persamaan 2, sehingga diperoleh 3x + 4y = 15 3x + 4(3) = 15 3x + 12 = 15 3x = 3 x = 1 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,3)}.

Asah Kompetensi

2

Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut! 1.

x + 4y = 18

4.

3x + 4y = 11

5.

x

y

1 2 + a b

=1

−2 + 1 =8

−2x + 5y = 8 3.

= 16

−6 + 5 = 1

4x + 3y = 20 2.

30 17 + x y

a

a

3x + 2y = 21 7x − 3y = 26

2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Penyajian tiga persamaan linear yang masing-masing memuat paling banyak tiga variabel disebut sistem persamaan linear tiga variabel. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut: a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 Bab 3 Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

55

Pasangan (x,y,z) yang memenuhi sistem persamaan di atas disebut himpunan penyelesaian sistem persamaan.

a. Metode Substitusi Metode substitusi dilakukan dengan mensubstitusi salah satu peubah. Untuk lebih jelas pelajarilah contoh berikut: CONTOH

Tentukanlah himpunan penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV ) berikut! 2x + y − 3z x + 2y + z x − 2y + 3z

= −5 = 8 = 6

. . . Persamaan 1 . . . Persamaan 2 . . . Persamaan 3

Jawab:

Nyatakan z pada Persamaan 1 dalam x dan y. 2x + y − 3z = − 5

⇔

3z = 2x + y + 5 z =

2x + y + 5 . . . Persamaan 4 3

Substitusi nilai z ke salah satu persamaan asli yang belum digunakan (Persamaan 2 atau Persamaan 3)  2x + y + 5  x + 2y +  3   = 8

⇔

. . . kedua ruas dikali 3

3x + 6y + (2x + y + 5) = 24 5x + 7y = 19

. . . Persamaan 5

Nyatakan y pada Persamaan 5 dalam x 5x + 7y = 19

⇔ 7y = −5x + 19 −5x + 19 y = 7

. . . Persamaan 6

Substitusi Persamaan 6 ke Persamaan 4.

z

=

z

=

z

=

z

=

−5x + 19  + 5  7  

2 x + 

. . . penyebut dan pembilang dikali 7

3 14 x + ( −5 x + 19) + 35 21 9 x + 54 21 3x + 18 7

. . . Persamaan 7

Substitusi Persamaan 6 dan Persamaan 7 ke dalam persamaan asli yang belum digunakan, yaitu Persamaan 3.

 −5x + 19   3x + 18   + 3   7   7   = 6 10x − 38 9 x + 54

x − 2 

⇔ 56

x +

7

+

7

= 6 Matematika Aplikasi SMA Kelas X

⇔

7x + 10x − 38 + 9x + 54 26x + 16

= 42 = 42 = 42 − 16 = 26 =1

. . . kedua ruas dikali 7

26x + 16 − 16 26x x Substitusi nilai x = 1 ke Persamaan 6 dan Persamaan 7 y= z=

−5(1) + 19 7 3(1) + 18 7

⇔ y = −5 + 19 ⇔ y = 2 7

⇔ z = 3 + 18 ⇔ z = 3 7

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1, 2, 3}.

b. Gabungan Metode Eliminasi dan Substitusi Untuk menentukan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV), kamu dapat menggunakan gabungan metode substitusi dan metode eliminasi. Lebih jelasnya, pelajarilah contoh berikut:

Tentukanlah himpunan penyelesaian SPLTV berikut! 2x + y − 3z = − 5 x + 2y + z = 8 x − 2y + 3z = 6

CONTOH

… Persamaan 1 … Persamaan 2 … Persamaan 3

Jawab:

Eliminasi variabel x pada Persamaan 1 dan Persamaan 2 2x + y − 3z = − 5 x + 2y + z = 8 2x + y − 3z = −5 2x + 4y + 2z = 16 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −3y − 5z = − 21

× 1 × 2 −

… Persamaan 1 … Persamaan 2

… Persamaan 4

Eliminasi variabel x pada Persamaan 2 dan Persamaan 3 x + 2y + z = 8 x − 2y + 3z = 6

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− − 4y − 2z = 2 2y − z = 1

… Persamaan 2 … Persamaan 3 … kedua ruas dibagi 2 … Persamaan 5

Nyatakan z pada Persamaan 5 dalam y … Persamaan 6 z = 2y − 1 Substitusi nilai z ini ke Persamaan 4 −3y − 5(2y − 1) = −21 −3y − 10y + 5 = −21 −13y = −26 y = 2


57

Substitusi nilai y = 2 ini ke Persamaan 6 z = 2 (2) − 1 z = 3 Substitusi nilai y = 2 dan z = 3 ke Persamaan 2 x + 2 (2) + 3 = 8 x + 7 = 8 x = 8 − 7 x = 1 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,2,3 )} .

Asah Kompetensi

3

Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut! 1.

2.

3.

2x + 3y − z = 5 4x − y + 2z = 8 3x − y + 3z = 10

4.

6 3 4 + + x y z

= 7

3 5 6 + + x y z = 9

2x – 3y + z = 6 x + 2y + 2z = −6 4x − 5y + 3z = 10

3 4 2 + + x y z = 6

3x + 2y − z = 11 x + 3y + z = 15 9x + 6y − 3z = 33

5.

4 x+1 8 x+1 6 x+1

+

5 y+3

+

3

z + 4 = 6

−

10 + 5 = 7 y+3 z+4

+

15 + 2 = 8 y+3 z+4

Diketahui : a + 3b + 2d = 6160

6a + 2b = 7680 6c + 3d = 8820 Tentukanlah a + b + c + d! Sumber:

58



3. Aplikasi Sistem Persamaan Linear Dalam kehidupan sehari-hari banyak masalah yang dapat diselesaikan dengan sistem persamaan linear . Langkah yang harus dilakukan adalah membuat model matematika dari permasalahan tersebut menjadi bentuk umum persamaan linear. Lebih jelasnya pelajari contoh berikut ini.

1.

Forte Farma adalah sebuah pabrik farmasi yang memproduksi dua jenis sirup obat flu yang diberi nama Fluin dan Fluon. Satu botol Fluin mengandung 20 ml Aspirin dan 30 ml Kodein sedangkan satu botol Fluon mengandung 10 ml Aspirin dan 20 ml Kodein. Forte Farma menjual Fluin dan Fluon masingmasing dengan harga Rp14.000,00 dan Rp8.000,00 per botol. Berapakah harga maksimal 1 ml Aspirin dan 1 ml Kodein sebagai bahan untuk membuat kedua jenis obat tersebut?

CONTOH

Jawab:

Misalkan, harga 1 ml Aspirin = x rupiah dan harga 1 ml Kodein rupiah. Maka masalah di atas dapat dimodelkan seperti berikut: 20x + 30y = 14.000 10x + 20y = 8.000

=y

… Persamaan 1 … Persamaan 2

Selesaikan sistem persamaan linear tersebut dengan metode eliminasi, yaitu dengan mengeliminasi variabel x. Untuk itu, kalikan persamaan 2 dengan 2. 20x + 30y = 14.000 … Persamaan 1 20x + 40y = 16.000 … Persamaan 2 − −10y = −2.000 200 y = Substitusi y = 200 ke Persamaan 2 10x + 20 (200) = 8.000 10x + 4000 = 8.000 10x = 4.000 x = 400 Jadi, harga 1 ml Aspirin Rp400,00 sedangkan 1 ml Kodein Rp200,00. 2. Jika uang Anton, Bella dan Cindy digabung maka hasilnya adalah Rp 800.000,00. Apabila uang Bella diambil Rp50.000,00 dan diberikan kepada Anton maka uang Anton akan sama dengan uang Bella. Jika uang Cindy ditambah Rp100.000,00 maka uang Cindy akan sama dengan jumlah uang Anton dan Bella. Berapakah uang mereka masing-masing?


59

Jawab:

Misalkan, uang Anton Cindy = z rupiah.

= x rupiah, uang Bella = y rupiah, dan uang

Maka masalah di atas dapat dimodelkan x +y +z = 800.000 y − 50.000 = x + 50.000 z + 100.000 = x + y Kemudian diubah ke bentuk umum SPL x + y + z = 800.000 . . . Persamaan 1 x − y = −100.000 . . . Persamaan 2 x + y − z = 100.000 . . . Persamaan 3 Eliminasi variabel x pada Persamaan 1 dan Persamaan 2 x + y + z = − 800.000 x − y = −100.000

−

2y + z = − 900.000 . . . Persamaan 4 Eliminasi variabel x pada Persamaan 2 dan 3 x − y = −100.000 x + y − z = − 100.000

−2y + z = −200.000

−

. . . Persamaan 5

Nyatakan z pada Persamaan 5 dalam y z = 2y − 200.000 . . .Persamaan 6 Substitusi nilai z ke Persamaan 4 2y + (2y − 200.000) = 900.000 4y = 1.100.000 y = 275.000 Substitusi nilai y = 275.000 ke persamaan 6 z = 2 (275.000) − 200.000 = 350.000 Substitusi nilai y = 275.000 dan z = 350.000 ke persamaan 1 x + 275.000 + 350.000 = 800.000 x = 175.000 Jadi, uang Anton Rp175.000,00, uang Bella Rp275.000,00 dan uang Cindy Rp350.000,00.

Asah Kompetensi 1.

60

4

Bu Jasmin dan Pak Sportivo adalah dua guru olahraga di SMA Alfarabi. Suatu hari, Bu Jasmin membeli 3 bola voli dan 2 bola basket dengan harga Rp210.000,00. Karena keperluan terhadap kedua jenis bola tersebut belum mencukupi maka Pak Sportivo membeli 2 bola voli dan 5 bola basket lagi dengan harga Rp305.000,00. Berapakah satuan bola voli dan bola basket yang dibeli SMA Alfarabi?


2.

Seorang penjual permen telah menjual 16 bungkus permen merah dan putih. Harga sebungkus permen merah Rp200,00 dan sebungkus permen putih Rp250,00. Ia memperoleh uang Rp3700,00 dari penjualan permen-permen ini. Berapa banyakkah masing-masing permen yang terjual?

3.

Penonton sebuah bioskop ada 95 orang yang terdiri dari bapak-bapak, ibu-ibu, dan anak-anak. Harga tiket bioskop untuk bapak-bapak Rp7.500,00, untuk ibu-ibu Rp7.000,00, dan untuk anak-anak Rp4.000,00. Total pendapatan bioskop dari penjualan tiket Rp525.000,00. Jika setiap satu ibu membawa dua anak, tentukanlah banyak bapak-bapak, ibu-ibu, dan anak-anak yang menonton bioskop tersebut!

Asah KEMAMPUAN


Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan cara yang menurutmu paling mudah! a.

b.

f.

2x y + = −2 5 4 x +1= y 5

c.

5y + 2x = 12 4x + 3y = − 4

d.

x+2 y+1

=1

x+2 y−2

=3

e.

2.

5x – y = 5 3x + 2y = 29

g.

h.

2

5

3x + 4y − 5z = 2 2x + 5y + z = 8 6x − 2y + 3z = 7

2x + 3y + 5z = 33 4x + 2y + z = 11 2x + y + 2z = 16 4 3 1 + + =9 x y z 3 4 2 − + =3 x y z 2 5 1 + − =5 x y z 2 1 3 − − = −1 x y z 2 1 1 − + = −9 x y z 1 2 4 + − = 17 x y z

Perhatikan sistem persamaan linear berikut! 123x + 321y = 345 321x + 123y = 543

Bobot soal: 32

Bobot soal: 18

Tentukanlah nilai x2 + y2!


61

3.

Sebuah segitiga samasisi memiliki panjang sisi−sisi 2x 2x – 7, y + 5, dan x + y – 9 . Tentukanlah keliling dan luasnya!

Bobot soal: 10

4.

Tentukan keliling dan luas persegi panjang dan jajarangenjang berikut!

Bobot soal: 20

a.

b.

x + y + 2 x + 2

2y

x + y + 1 x + 2

2x + 1

5.

2y – x 3x – 4

Suatu bilangan x terdiri atas dua angka. Jika bilangan itu ditambah dengan 45, didapat bilangan yang terdiri dari angka itu dalam urutan terbalik. Jika di antara angka puluhan dan angka satuan disisipkan

Bobot soal: 20

2

angka nol maka diperoleh bilangan yang nilainya 7 3 kali nilai bilangan x. Tentukanlah nilai x tersebut!

Ketika Pak Nyoto berumur dua kali umurnya sekarang, maka ia akan empat kali lebih tua dari anak gadisnya, Maya dalam lima tahun berikutnya. berikutnya . Jika empat tahun yang lalu umurnya empat kali umur Maya, tahun berapakah Maya dilahirkan?

B. Siste Sistem m Persama Persamaan an Non-Lin Non-Linear ear 1. Si Sist stem em Pe Pers rsam amaa aan n Li Line near ar-Kuadrat Bentuk umum sistem persamaan linear-kuadrat adalah sebagai berikut. y = px + q y = ax2 + bx + c

… persamaan linear … persamaan kuadrat

Penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat tersebut dapat kamu tentukan dengan metode grafik dan metode substitusi.

a. Metode Gr Gra afik Dengan metode grafik, kamu akan memperoleh gambar grafik pada koordinat Cartesius yang terdiri dari garis lurus dan parabola. Posisi garis 62


dan parabola ini menentukan banyak penyelesaian sistem persamaan linearkuadrat tersebut. y

y

y

Ji ka gar is me Jika memot mot on ong g par abo la, maka sistem persamaan memiliki dua penyelesaian.

x

x

x

Jika garis menyinggung parabola, maka sistem persamaan memiliki satu penyelesaian.

Ji ka ga ri s ti da k me ny in gg un g da n ti da k memotong parabola, maka sistem persamaan linear-kuadrat tidak memiliki penyelesaian.

b. Met etod odee Sub Subst stit itus usii Seperti halnya pada sistem persamaan linear dua variabel, kamu akan kesulitan jika menentukan penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat menggunakan metode grafik. Untuk itu, sebaiknya kamu menggunakan metode substitusi. Agar lebih jelas, pelajarilah contoh berikut. CONTOH

Tentukanlah himpunan penyelesaian penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat linear-kuadrat berikut! 3xx y = 3 y = x2 + 2 Jawab:

Substitusilah nilai y persamaan linear ke nilai y persamaan kuadrat. 3x = x2 + 2 x2 − 3 3xx + 2 = 0 Faktorkanlah persamaan kuadrat tersebut. x2 − 3 3xx + 2 (x − 1)( 1)(xx − 2) x1

= 0 = 0 = 1 atau x2 = 2 Substitusi x1 = 1 ke persamaan y = 3 3xx, didapat y1 = 3 (1) = 3 Substitusi x2 = 2 ke persamaan y = 3 3xx, didapat y2 = 3 (2) = 6 Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat tersebut t ersebut adalah {(1, 3 ) , (2 , 6 )} .

2. Sis Sistem tem Per Persama samaan an Kua Kuadra dratt Dua Dua Varia Variabel bel Bentuk umum sistem persamaan kuadrat dua variabel adalah sebagai berikut: y = ax2 + bx + c y = px2 + qx + r Bab 3 Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

63

Seperti saat menentukan penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat, kamu dapat menentukan penyelesaian sistem persamaan kuadrat dua variabel ini dengan metode substitusi. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah pelajari lah contoh berikut.

CONTOH

Tentukan himpunan penyelesaian penyelesaian sistem persamaan kuadrat kuadrat dua variabel berikut: y = 2 2xx2 + 3 3xx + 4 2 y = x + 4 4xx + 10 Jawab:

Substitusilah nilai y dari kedua persamaan tersebut. 2x2 + 3 3xx + 4 = x2 + 4 4xx + 10 2 2 2x – x + 3 3xx – 4x 4 x + 4 – 10 = 0 x2 − x − 6 = 0 Faktorkanlah persamaan kuadrat tersebut. x2 − x − 6 = 0 (x + 2)( 2)(xx − 3) = 0 x1 = −2 atau x2 = 3 Substitusi x1 = −2 ke persamaan y = x2 + 4 4xx + 10, didapat y1 = (−2)2 + 4 4((−2) + 1 100 = 6 6.. 2 2 Substitusi x2 = 3 ke persamaan y = x + 4 4xx + 10, didapat y2 = 3 + 4 . 3 + 10 = 31 31.. Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat tersebut adalah 31 )} . {(−2 , 6 ) , (3, 31

2 1.

Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut! a. b. c. d. e.

64

Asah KEMAMPUAN

y = 2 2xx 1 y = x2 − x

+ 3 2x + y − 3 = 0 y = 4 4xx2 − 4 4xx + 1 y = 9 − x2 y – x − 3 = 0 y = x2 − 7 7xx + 10 y = 2 − x 4xx − x2 y = 4 y = 4 − 6 6xx

f.

Bobot soal: 60

y = x2 − 4 2xx2 y = 8 − 2

(xx + 2)2 g. y = ( 10 − x2 = y h.

y = 4 4xx − x2 y = − x2 + 4 4xx − 6

i.

y = (1 − 3 3xx)2 y = ( (xx − 3)2

j.

y = −x2 − 3x + 6 y = −x2 + 5 5xx − 4


2.

Gambarlah grafik y = −2x2 − 3x + 2 dan y = −x − 2 pada satu sistem koordinat. Tentukan titik potongnya!

Bobot soal: 10

3.

Gambar grafik y = x2 + 6x + 8 dan y = − x2 − 8x − 15 pada satu sistem koordinat. Tentukan titik singgungnya!

Bobot soal: 10

4.

Selisih dua bilangan positif adalah 5, sedangkan jumlah kuadratnya 2100 kurangnya dari kuadrat jumlah kedua bilangan itu. Tentukanlah jumlah kedua bilangan tersebut!

Bobot soal: 20

(Soal Olimpiade Matematika SMU)*


Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel a1 x + b1 y a2 x + b2 y

= c1  = c 2 

di mana a1 , b1 , c 1 , a2 , b2 , c 2

∈R

2.

Penyelesaian SPL ada empat cara, yaitu: • Metode Grafik: dilakukan dengan menggambar grafik dari SPL • Metode Substitusi: dilakukan dengan mensubstitusi salah satu peubah • Metode Eliminasi: salah-satu variabelnya dihilangkan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan linear • Gabungan Metode Eliminasi dan Substitusi

3.

Bentuk Umum SPL Tiga Variabel a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3

4.

Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear-Kuadrat y = px + q … Persamaan Linear y = ax 2 + bx + c … Persamaan Kuadrat

5.

Menentukan banyaknya penyelesaian SPL Kuadrat adalah sebagai berikut : a.

Jika garis memotong parabola, maka sistem persamaan memiliki dua persamaan. y

SPL

SPK x


65

b. Jika garis menyinggung parabola, maka sistem persamaan memiliki satu penyelesaian. y SPK SPL x

c.

Jika garis tidak menyinggung parabola, maka persamaan linear-kuadrat tidak memiliki penyelesaian. y

SPL

SPK

6.

x

Bentuk Umum Sistem Persamaan Kuadrat Dua Variabel y = ax 2 y = px 2

+ bx + c  + qx + r 

dengan a , b , c , p, q , r ∈ R

66


Ulangan Bab 3 I.


1.

Penyelesaian dari persamaan 83 x + 2 a. 0 b. c.

2.

3.

2y + x xy

adalah . . . .

7 18 18

d.

−9

e.

−1

Garis yang melalui titik potong dua garis x + 2y + 1 = 0 dan 2x − y + 5 = 0 dan tegak lurus pada garis x + y + 1 = 0 adalah . . . . a. x − y = 0 b. x − y + 14 = 0 x

− y +

d. x − y

−

x − y

+

e.

14 5

1 x

a.

c.

{(x1,

Nilai x1 + x 2 = . . . . a. –7 b. –1 c. 7

d. 8 e. 15


8

= . . . .

−3

2

d.

5 6

e.

6

6 5

Garis lurus melalui titik (−2, −4) dan sejajar dengan garis 8x + 2y − 3 = 0 mempunyai persamaan . . . . a. 4x − y + 4 = 0 d. 2x + y + 2 = 0 b. x − 2y = 0 e. x + 3y + 4 = 0 c. x + y + 2 = 0

7.

Persamaan garis yang melalui (4, 3) dan sejajar dengan garis 2x + y + 7 = 0 adalah . . . . a. 2x + 2y – 14 = 0 b. y – 2x + 2 = 0 c. 2y + x – 10 = 0

8.

y 1 ) , ( x2, y 2 )} .

=

1

6.

9.

d. y + 2x – 11 = 0 e. 2y – x – 2 = 0

Persamaan garis lurus yang melalui titik potong garis x − y − 5 = 0 dan tegak lurus garis x + 2y = 0 adalah . . . . . a. 2x – y = 0 b. x – y + 1 = 0 c. 2x – y – 1 = 0

Himpunan penyelesaian sistem persamaan x + y = 7 x2 + y2 = 25 adalah

2 y

=

b. 5

=0

14 =0 5 5=0

−

1 maka x + y

3

Penyelesaian dari persamaan 3x − 2y + 4z = 1 2x − y + z = 3 x + 3y − 2z =11 adalah . . . . a. x = 3, y = 2, z = −1 b. x = 2, y = 3, z = −1 c. x = 3, y = 2, z = 3 d. x = 3, y = −1, z = 3 e. x = −3, y = −1, z = −3

c.

4.

=

3 (16) 4

5. Jika x dan y memenuhi persamaan

d. 2x – y + 7 = 0 e. 2x – y – 7 = 0

Himpunan penyelesaian persamaan

(x − 3)2 = 3 – x adalah . . . .

67

a.

Ø

d.

{x x ≥ 3}

b.

{x x = 3}

e.

{x x = 0}

c.

{x x ≤ 3}

Risoles dibuat dengan menggunakan satu satuan bahan x , dua satuan bahan y, dan dua satuan bahan z. Sebuah Donat dibuat dengan menggunakan satu satuan bahan x, tiga satuan bahan y, dan dua satuan bahan z, sedangkan untuk membuat sebuah Bakpau digunakan dua satuan bahan x, dua satuan bahan y dan a satuan bahan z. Toko kue itu mempunyai bahan x sebanyak 400 satuan, bahan y sebanyak 700 satuan, dan bahan z sebanyak 900 satuan bahan. Berapa banyaknya masing-masing kue yang dibuat agar semua bahan habis terpakai ?

10. Himpunan penyelesaian dari persamaan 3 p +2q + r = −11 3 p +q – 2r = 23 p +3q + r = 6 –

adalah {( p , q , r )} . Nilai pqr adalah . . . . a. – 7 0 b. – 21 c. 14

d. 49 e. 52

4.

Rokok Asoy harganya Rp2.000,00 per bungkus dan dijual dengan laba Rp400,00 per bungkus. Rokok Bibes harganya Rp1.000,00 per bungkus dan dijual dengan laba Rp300,00 per bungkus. Seorang pedagang mempunyai modal Rp800.000,00. Jika warungnya dapat menampung 500 bungkus rokok, tentukanlah banyaknya rokok Asoy dan Bibes yang harus ia beli agar mendapat keuntungan yang sebesar-besarnya!

5.

Berat sebuah emas balok ditentukan dengan suatu neraca yang lengannya tidak sama panjang, dengan piringan-piringan P1 dan P2 yang sangat ringan (anggap beratnya nol), yang digantung pada ujung-ujung lengan neraca. Supaya neraca seimbang maka emas balok diletakkan pada piring P1 dan P2 harus diletakkan anak timbangan seberat 25 kg. Berapakah berat emas balok tersebut?


Harga tiket kereta api dari Bogor ke Depok Rp2.000,00 dan dari Bogor ke Jakarta Rp3.000,00. Hasil penjualan 180 tiket dalam seminggu Rp420.000. Berapakah tiket kereta api ke Depok dan Jakarta yang terjual dalam seminggu?

2.

Sebuah mobil melaju dari kota P ke kota Q dengan kecepatan 40 km/jam. Jika jarak dari P ke R melalui Q adalah 200 km dan ditempuh 4 jam maka tentukanlah jarak kota P ke Q!

3.

Sebuah toko kue memproduksi tiga jenis kue yaitu Risoles, Donat dan Bakpau. Sebuah

68


B A

Pertidaksamaan

B


Utut memiliki sebuah penggaris yang panjangnya 30 cm. Angkaangka pada penggaris ini semuanya tidak lebih dari 30. Pernyataan “tidak lebih dari” ini menunjukkan sebuah pertidaksamaan, dilambangkan dengan “ ≤ ”. Untuk lebih jelas mengenai pertidaksamaan ini, pelajarilah bab berikut.

♦

Kamu dapat menjelaskan arti penyelesaian pertidaksamaan satu variabel.

♦

Kamu dapat menentukan penyelesaian pertidak-samaan yang memuat bentuk linear dan kuadrat satu variabel.

♦

Kamu dapat menentukan penyelesaian pertidaksamaan pecahan yang memuat bentuk linear atau kuadrat.

♦

Kamu dapat menentukan penyelesaian pertidaksamaan yang memuat bentuk akar linear.

♦

Kamu dapat menjelaskan sifat dan aturan yang digunakan dalam proses penyelesaian pertidaksamaan.

♦

Kamu dapat menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear yang memuat nilai mutlak.

♦

Kamu dapat menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya berbentuk pertidaksamaan satu variabel.

♦

Kamu dapat menentukan besaran dalam masalah yang dirancang sebagai variabel pertidaksamaannya.

♦

Kamu dapat merumuskan pertidaksamaan yang merupakan model matematika dari masalah.

♦


♦

Kamu dapat memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah.

A. Pertidaksamaan Linear Suatu pertidaksamaan linear dapat kamu selesaikan dengan membentuk pertidaksamaan lain yang ekuivalen dengan pertidaksamaan tersebut.

DEFINISI Pertidaksamaan linear adalah suatu persamaan di mana ruas kiri dan ruas kanan dihubungakn oleh salah satu dari tanda ketidaksamaan ”<, ≤, >, ≥ ” atau ”≠”

Untuk membentuk pertidaksamaan yang ekuivalen, kamu membutuhkan sifat-sifat berikut:

Catatan

1.

Notasi pada pertidaksamaan: • •

< : kurang dari ≤ : kurang dari

atau sama dengan (tidak kurang dari)

> : lebih dari • ≥ : lebih dari

Sifat penjumlahan dan pengurangan Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama maka tanda ketidaksamaan tetap.

• x < y ⇒ x ± z < y ± z • x
•

atau

sama dengan (tidak

Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan positif Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama maka tanda ketidaksamaan tetap.

⇒

< xz < yz dan z z

0

⇒

xz

lebih dari)

• x 3.

x z

<

y z

Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan negatif Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama maka tanda ketidaksamaan berubah. x z

y z

• x < y dan z < 0

⇒

xz

y dan z < 0

⇒

< xz < yz dan z z

• x

CONTOH

y

x

• x < y dan z > 0

<

yz dan

<

x

<

y

Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut di mana x adalah bilangan real! 1.

−3x + 4 < x + 8

2. x − 1 + 3 ≥ x + 2 − 4 2

3

3. x − 5 < 2x − 3 < x + 4

Jawab: 1.

−3x + 4 < x + 8 Kedua ruas dikurang 4, tanda ketidaksamaan tetap. −3x + 4 − 4 < x + 8 − 4 −3x < x + 4

70


Kedua ruas dikurang x, tanda ketidaksamaan tetap. −3x – x < x + 4 − x −4x < 4 Kedua ruas dikali − 14 , tanda ketidaksamaan berubah.

 1  −4x  − 4  

  > 4  −  

1 4 

−1

x > −1

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah {x|x > −1, x ∈ R}. 2.

x−1 +3≥ x+2 −4 2 3

Kedua ruas dikurang 3 dan tanda ketidaksamaan tetap. x−1 +3−3 ≥ x+2 −4−3 2 3 x−1 x+2 ≥ −7 2 3

Kedua ruas dikali dengan KPK dari 2 dan 3, yaitu 6. Tanda ketidaksamaan tetap. x−1  x + 2 − 7  (6) (6) ≥    2  3

3x – 3 ≥ 2x + 4 – 42 3x – 3 ≥ 2x – 38 Kedua ruas ditambah 3, tanda ketidaksamaan tetap. 3x − 3 + 3 ≥ 2x − 38 + 3 3x ≥ 2x − 35 Kedua ruas dikurang 2x, tanda ketidaksamaan tetap. 3x − 2x ≥ 2x − 35 − 2x x ≥ − 35

−35

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah {x|x x ∈ R}. 3.

≥ − 35,

x − 5 < 2x − 3 < x + 4 Ketiga ruas ditambah 3, tanda ketidaksamaan tetap x − 5 + 3 < 2x – 3 + 3 < x + 4 + 3 x − 2 < 2x < x + 7 Ketiga ruas dikurang x , tanda ketidaksamaan tetap x − 2 − x < 2x − x < x + 7 − x −2 < x < 7 Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah {x|−2 < x < 7, x ∈ R}.

Bab 4 Pertidaksamaan

71

Asah Kompetensi

1

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut di manax adalah bilangan real! 1.

4x + 5 > −3x −6

6.

7x − 2 < 4x − 6 3

2.

2x − 7 ≤ 4x − 27

7.

x + 3 < 2x + 1 < 3x + 4

3.

2x + 3 > 3 4

8.

2x + 1 3

4.

4 x − 5 3x − 2 ≤ 3 7

9.

7+x 7 > 3 2x + 1

5.

x+6 + 4 ≥ 2x − 3 − 5 3 4

10.

4 2x + 3 8 + 3x < < x+1 5 2

≤ 4x − 1 ≤

x + 10 6

ASAH KEMAMPUAN


Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut! a. 3x – 2 > 18 – 2x e. −4 ≤ 2x ≤ 3x - 2 b. 7 – 2x < 11 + x c.

f.

2(3x + 5) ≥ 2(2x + 2) + 8

Bobot soal: 30

1 − x < −2 ≤ 3 − x

g. 3x + 5 > x + 6 ≥ 2x

d. 5x + 3 < 3(2 + x) 2.

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaanpertidaksamaan berikut di mana x adalah bilangan real! a.

1 3 (2x − 1) ≥ x 3 5

d.

b.

x 1 + 2 5

e.

≥ 2 x > x − 5 5

1 1 1 (2 − x) ≤ (3 − x) + 2 4 2 x+1 x+3 − 2 3

< 3x − 1 + 2 4

3. Jika −5 < 2x ≤ 7, tentukanlah: a. nilai x bilangan bulat terbesar b. nilai x bilangan bulat terkecil c. nilai x bilangan rasional terbesar 4.

Untuk setiap a, b, c, dan d bilangan real, tunjukkan bahwa: a. Jika a 0 maka

72

Bobot soal: 25

Bobot soal: 25

Bobot soal: 20

1 >0 a


Utut mengerjakan soal ulangan Matematika yang terdiri atas 20 soal pilihan ganda. Setiap jawaban yang benar dari soalsoal ini mendapatkan nilai 3 dan setiap jawaban yang salah mendapat pengurangan nilai 1. Jika Utut mengerjakan 19 soal, berapakah minimal jawabannya yang harus benar supaya dapat nilai paling kecil 32? Sumber: New Syllabus Mathematics 3

B. Pertidaksamaan Kuadrat Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum ax2 + bx + c = 0. Jika tanda “=” pada persamaan tersebut diganti dengan tanda-tanda ketidaksamaan (<, ≤, >, atau ≥) maka kamu memperoleh pertidaksamaan kuadrat yang bentuk umumnya seperti berikut: • ax2 + bx + c < 0 • ax2 + bx + c > 0 • ax2 + bx + c ≤ 0 • ax2 + bx + c ≥ 0

Catatan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dapat dicari dengan mengguna kan garis bilangan.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, kamu terlebih dahulu dapat mengubahnya menjadi bentuk persamaan, kemudian menentukan nilai variabel yang memenuhi persamaan tersebut. Nilai variabel ini disebut titik pembuat nol. Setelah itu, gambarkan titik pembuat nol ini pada garis bilangan. Ujilah tanda ketidaksamaan pada setiap interval yang dibatasi oleh titik pembuat nol tersebut.

1.

Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan x2 – 3x – 10 > 0!

CONTOH

Jawab: Terlebih dahulu, ubah menjadi bentuk persamaan. x2 − 3x − 10 = 0 Tentukan nilai x dengan cara memfaktorkan. (x + 2)(x – 5) = 0 Didapat x = − 2 dan x = 5 sebagai titik pembuat nol. Titik-titik ini membagi garis real menjadi tiga interval, yaitu (−∞, − 2), (−2, 5), dan (5, ∞). Untuk menentukan tanda ketidaksamaan pada tiap interval, pilihlah titik-titik uji sebarang pada tiap interval. Misalnya, −3, 0, dan 6. Titik pembuat nol

−3 − 2 Titik uji


0

Titik uji

Titik pembuat nol

5

6

Titik uji

73

Untuk x = − 3, diperoleh: x2 − 3 3xx − 10 = (−3)2 − 3(−3) – 10 = 8 > 0 sehingga pada interval (−∞, −2), x2 − 3 3xx − 10 > 0 Untuk titik uji x = 0, diperoleh: diperoleh: 2 2 x − 3 3xx − 10 = (0) − 3 (0) − 10 = −10 < 0 sehingga pada interval (–2, 5) 3xx − 10 < 0 x2 − 3 Sedangkan untuk x = 6 diperoleh x2 − 3 3xx − 10 = (6)2 − 3 (6) − 10 = 8 > 0 sehingga pada interval (5, ∞), x2 − 3 3xx − 10 > 0

…(bertanda +)

… (bertanda −)

…(bertanda +)

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan x2 − 3x − 10 > 0 adalah semua nilai x x pada pada interval (−∞, −2) ∪ (5, ∞) atau x < −2 atau x > 5. 2.

Tentukan nilai p nilai p supaya supaya persamaan kuadrat x2 − px + p = 0 memiliki akar-akar real! Jawab: Syarat agar persamaan kaudrat memiliki akar-akar real adalah jika D ≥ 0, maka diperoleh b2 − 4 4ac ac ≥ 0 2 (− p p)) − 4 (1) p (1) p ≥ 0 2 p − 4 4 p p ≥ 0 p(( p p p − 4) ≥ 0

Untuk menentukan titik pembuat nol, ubah pertidaksamaan tersebut menjadi persamaan p persamaan p(( p p − 4) = 0. Dari persamaan tersebut didapat, p = 0 dan p dan p = 4 sebagai titik pembuat nol yang membagi garis real menjadi tiga interval, yaitu (−∞, 0], [0, 4], dan [4, ∞). Untuk menentukan tanda ketidaksamaan pada tiap interval, pilihlah titik-titik uji sebarang pada tiap interval. Misalnya, −1, 1, dan 5. Titik pembuat nol

−1

0

Titik uji

Titik pembuat nol

1

4

5

Titik uji

Titik uji

Oleh karena p karena p2 – 4 p ≥ 0, maka interval nilai p nilai p yang yang memenuhi adalah (−∞, 0] ∪ [4, ∞). Jadi, penyelesaian pertidaksamaan pertidaksamaan p p2 – 4 p ≥ 0 adalah x ≤ 0 atau x ≥ 4.

74


Asah As ah Komp Kompet etens ensi i

2

Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut! 1. 2. 3. 4. 5.

2x2 − 3 3xx − 9 > 0 2 14xx − 1 155 > 0 x + 14 2 8x + 18 18xx + 5 < 0 9x2 + 6 6xx ≤ 8 7xx + 6 −x2 ≥ 7

2

6. 7. 8. 9. 10.

12x2 > 24 12x 24xx + 15 2 16xx ≤ 9 16 x2 − 7 7xx ≤ 18 20xx2 + x ≥ 12 20 23xx + 5 < 10x 23 10x2

ASAH KEMAMPUAN

Waktu: 60 menit 1.

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan–pertidaksamaan berikut! 2xx − 24 > 0 3xx2 + 5 5xx − 1 < 2x 2 x2 + 5 5xx + 15 a. x2 − 2 e. 3 2 2 2xx − 8 < 0 2xx + 5 5xx + 1 > 7 + x b. x − 2 f. 2 2 c. 2x − x − 1 ≥ 0 g. (x − 1)2 > (x (x + 1)( 1)(xx − 3) 2 2 2 2xx + 15 ≤ 0 6(xx − 1) + 5( 5(xx2 − 1) + 1 ≤ 0 d. −x + 2 h. 6(

2.

Tentukan nilai m supaya persamaan kuadrat mx2 − ( (m m + 4) 4)xx − tidak memiliki akar real!

= 0

Bobot soal: 10

3.

Tentukan nilai n supaya persamaan kuadrat x2 − nx + 9 = 0 mempunyai dua akar real yang berbeda!

Bobot soal: 10

4.

Tentukan nilai t supaya persamaan kuadrat tx2 − ( (tt − 2) 2)xx + t = 0 tidak memiliki akar real!

Bobot soal: 10

5.

Tentukan nilai m supaya fungsi kuadrat f kuadrat f (x) = m2x2 − 2 2m m2x + 3 definit positif. Kemudian, tentukan pula nilai m supaya fungsi kuadrat tersebut definit negatif!

6.

Tentukan nilai x supaya fungsi kuadrat f kuadrat f (m) = m2x2 − 2 2m m2x + 3 definit positif. Kemudian, tentukan pula nilai x supaya fungsi kuadrat tersebut definit negatif!

1 2

Bobot soal: 50

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

C. Per Pertida tidaksa ksamaa maan n Pecahan Pecahan Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan yang memuat variabel pada penyebut, contohnya

x+1 < 0 dan 2 x − 4 ≥ 0 . x−3 x + 2x − 3

Untuk menentukan penyelesaian dari kedua pertidaksamaan pada contoh tersebut, kamu dapat mengerjakannya seperti berikut. Bab 4 Pertidaksamaan

75

CONTOH

1.

Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan

x+1 < 0 , x ≠ 3! x−3

Jawab:

Titik pembuat nol pertidaksamaan adalah x = − 1 dan x ≠ 3. Titik pembuat nol

−2 − 1 Titik uji

Titik pembuat nol

0

3

4

Titik uji

Titik uji

Dengan mengambil titik uji sebarang di sekitar titik pembuat nol, misa mi saln lnya ya –2, 0, dan 4, kamu kamu akan mendapatkan mendapatkan penyelesai penyelesaian an pertidaksamaan tersebut. Karena 2.

x+1 < 0 , maka nilai x yang memenuhi adalah –1 < x < 3. x−3

Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan x−4 ≥0 2 x + 2x − 3

⇒

x−4 ≥0 ( x + 3)( x − 1)

Jawab:

Titik pembuat nol pertidaksamaan adalah x = 4, x ≠ − 3, dan x ≠ 1. Titik pembuat nol

−4 −3 Titik uji

Titik Titik pembuat nol pembuat nol

0

1

2

Titik uji Titik uji

4

5

Titik uji

Dengan mengambil titik uji sebarang di sekitar titik pembuat nol, misalnya –4, 0, 2, dan 5, maka akan diperoleh penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Karena

x−4 ≥ 0 , maka nilai x yang memenuhi adalah –3 x + 2x − 3 2

≤ x ≤

atau x ≥ 4.

76


1

Asah Kompetensi

3

Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut! 6.

3a − 1 2

≤

a2

7.

1 2 y ≥ 2 2

−y

≥ 0

8.

4 l + 3 < l 4

1 2

9.

1 b2

1 x

1.

2x ≥

2.

2k 3

3.

x2 +

4.

2 p 2 − 5 3 p

5.

3y 2 + 8 > 14 y

9−k k

≤ x 5

≤

>4−

 

10. 2r  r −

1 b

3   < 12 r r 

ASAH KEMAMPUAN

3

Waktu: 60 menit


x ≤

1 x

9.

2.

x−2 ≤ 0 x+1

10.

3.

x−3 < −1 2x + 1

11.

3 x 1 >0 1− x

12.

1+

4.

5

−1 > 1 x 2 − 4x + 4 ≤ 0 x 2 − 5x + 4 x 2 − 5x + 6 ≥ 0 x 2 − 5x + 4 x2

x 2 + 3x − 10 x2 − x + 2

x+8 4

>0

5.

x ( x − 2) 2 + 16 < 0

13.

1+

6.

x+1 ≤ 0 x +x+1

14.

x−1 x−2

15.

 x2 + 4  − 7  x + 2     x  + 16 < 0 x2  

2

x−3 ≥ 0 x2 − 4 x+2 <0 8. 2 x −x−2

7.


Bobot soal: 100

>x

3

> x−3 x−4

77

1.

Untuk bilangan real a, b, dan c yang memenuhi a ≥ b ≥ c > 0, buktikan bahwa a2

− b 2 + c 2 − b 2 + a 2 − c 2 ≥ 3 a − 4b + c ! c

2.

1 1 1 1 + + + a b c d

≥ 16 !

Untuk setiap a, b, c, dan d bilangan real positif, jika a b

4.

b

Untuk setiap a, b, c, dan d bilangan real positif, jika a + b + c + d = 1, tunjukkan bahwa

3.

a

< a+c < c ! b+d d

Buktikan bahwa

1 3 5 ⋅ ⋅ 2 4 6

⋅ ⋅⋅⋅ ⋅

99 100

<

a b

< c , tunjukkan bahwa d

1 ! 10 Sumber:

Soal Olimpiade Matematika SMU

D. Pertidaksamaan Bentuk Akar Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar adalah sebagai berikut:

<

Menggunakan salah satu tanda ketidaksamaan Syarat terdefinisi adalah f ≥ 0 dan g ≥ 0. f

g



CONTOH

Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan

x <

x+5 !

Jawab: Syarat terdefinisi x ≥ 0 x + 5 ≥ 0 x ≥ −5.

Karena x < x + 5 maka dengan mengkuadratkan kedua ruas x < x + 5 yang dipenuhi untuk setiap x bilangan real. x ≥ 0 x ≥ –5

–5

0

Daerah yang berwarna abu-abu menyatakan penyelesaian pertidaksamaan. Jadi, penyelesaiannya adalah x ≥ 0.

78


Asah Kompetensi 4 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut! 1.

2x 2

− 3x < 3

4.

2 x ≥ 15x + 4

2.

3x <

5.

2 x ≥ 15x + 4

3.

2x >

−6x − 8 8x − 3

Asah KEMAMPUAN

4

Waktu: 30 menit


2x − 3

2. 3.

>3

6.

2x − 8

>

8x − 2

x−1 < 2

7.

3x + 2

>

4−x

6−x

8.

7−x

≤ −10

4.

5 ≥

5x + 9

9.

5.

0>

0, 5x + 0, 4

10. 1 +

−2 +

≤

Bobot soal: 100

7+x

4x − 5

>

6x + 5

x−3 ≥

1 1 + 3x 2

Diketahui x, y, dan z bilangan real positif yang berbeda, buktikan bahwa 1 1 1 + + x y z

>

1 xy

+

1 xz

+

1 yz Sumber:


E. Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak Nilai mutlak dari suatu bilangan real x didefinisikan sebagai x, jika x ≥ 0 |x| = −x, jika x < 0 Bab 4 Pertidaksamaan

79

Sifat-sifat nilai mutlak yang dapat kamu gunakan untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah sebagai berikut. Untuk setiap p dan q bilangan real, berlaku: 1.

| p| = p 2

4.| p+q|≤| p|+|q|(ketidaksamaan segitiga)

2.

| pq| = | p||q|

5. |x| p

⇔

x < − p atau x > p

Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan |x – 2| > 2! Jawab: Berdasarkan sifat 6, jika |x – 2| > 2 maka x – 2 < −2 atau x – 2 > 2 Untuk x – 2 < −2, didapat x < 0 Untuk x – 2 > 2, didapat x > 4 Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah x < 0 atau x > 4.

5

ASAH KEMAMPUAN

Waktu: 45 menit 1.

Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan−pertidaksamaan berikut! a. |2x − 7| > 3

e.

x+1 < 1 x−2

b. 2|x − 7| < 3

f.

2x + 7 x−1

≥1

c. |5 − 3x| > 4

g. x + x

<8

d. |x2 − 10| < 6

h. x − 3 2

> 4 x − 3 + 12

2. Jika x < −2, tentukanlah 1 − 1 + x !

Bobot soal: 80

Bobot soal: 20

Berapakah bilangan real x terkecil yang memenuhi sekaligus x2 ≥ 4 dan x - 1  ≤ 2? Sumber:

80



F. Aplikasi Pertidaksamaan Pertidaksamaan sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Lebih jelsnya, perhatikanlah contoh berikut ini.

Selisih kuadrat dua bilangan asli berurutan adalah antara 17 dan 21. Tentukanlah kedua bilangan asli tersebut!

CONTOH

Jawab: Misalkan, kedua bilangan asli tersebut x dan x + 1. Selisih kuadrat antara 17 dan 21, berarti 17 < (x + 1)2 – x2 < 21. 17 < (x + 1)2 – x2 < 21 17 < x2 + 2x + 1 − x2 < 21 17 < 2x + 1 < 21 17 – 1 < 2x + 1 – 1 < 21 – 1 16 < 2x < 20 8 < x < 10

Jadi, x adalah bilangan asli antara 8 dan 10, yaitu 9 sehingga x + 1 = 10. Dengan demikian, kedua bilangan asli tersebut adalah 9 dan 10.

6

ASAH KEMAMPUAN

Waktu: 45 menit 1.

Tentukan dua bilangan yang berjumlah 66 agar hasil kali yang paling besar dari dua bilangan tersebut!

Bobot soal: 30

2. Jumlah dua bilangan adalah 2n. Tentukanlah kedua bilangan itu agar jumlah kuadrat minimum!

Bobot soal: 30

Dalam empat kali ulangan Matematika, Utut mendapatkan nilai 90, 35, 45, dan 60. Tentukanlah nilai ulangan yang kelima agar nilai ratarata Utut lebih besar atau sama dengan 60!

Bobot soal: 40

3.

Sebuah saluran air seharusnya dibuat dengan menggunakan pipa berdiameter 10 cm. Akan tetapi yang tersedia hanyalah pipa-pipa kecil yang berdiameter 3 cm. Supaya kapasitas saluran tidak lebih kecil daripada yang diinginkan, berapakah banyaknya pipa 3 cm yang perlu dipakai sebagai pengganti satu pipa 10 cm? Sumber:



81


Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dan variabelnya satu.

2.

Sifat-sifat untuk menyelesaikan pertidaksamaan: a. Sifat-sifat untuk menyelesaikan pertidaksamaan adalah • xy→x±z>y± z b. Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan positif:

•

3.

•

x < y dan z > 0 ⇒ xz < yz dan

x y < z z

•

x > y dan z > 0 ⇒ xz > yz dan

x y > z z

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat

•

ax 2

•

ax 2

+ bx + c < 0 + bx + c ≤ 0

atau ax2 atau ax2

+ bx + c > 0 + bx + c ≥ 0

4.

Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan yang memuat variabel pada penyebutnya.

5.

Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar

f

<

g

dengan syarat terdefinisi f ≥ 0 dan g ≥ 0 6.

Definisi nilai mutlak dari suatu bilangan real x adalah x

7.

Sifat-sifat nilai mutlak a. b. c.

82

x , jika x ≥ 0 =  −x , jika x < 0

= pq =

p2

d. p + q

p q

e.

x

f.

x > p ⇔ x < − p atau x > p

p

p q

=

p q

, q

≠0

≤p+q

 q3 b. p2 >q2 c.

−2 p

c. d.

samaan

> −2q

p <

q

− p > −2q

2. Jika bi la ngan -bil angan re al a, b, dan c memenuhi pertidaksamaan a > b dan b > c maka . . . . a. a + b > a + c c. b + c > 2a 2 2 b. a > b > a d. a < c c. b + c < 2a

8.

Apabila a < x 0 adalah . . . . a. { x x > 1 atau x > 3} c.

{ x x < −1 atau x > 3} {x x < 1 atau x > 3}

d.

{x x > −1 atau x > 3}

e.

{ x x < −1 atau x < 3}

b.

6.

− a) < x − a
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan −x2 + x + 6 > 0 adalah . . . . a. x > 3 b. −2 < x < 3 c. x > −2 d. x < 3 atau x < −2 e. −2 > x > 3 Bab 4 Pertidaksamaan

3 x−2

>

2 adalah . . . . x

a.

{x − 4 < x < 0 atau x < 2}

b. c.

{x x < − 2 atau 0 < x < 4} {x x > − 2 atau -4 < x < 0}

d.

{x 0 < x < 4 atau x < 2}

e.

{x 0 < x < 4 atau x < 2}

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

82 + 63 + 78 + 90 + x 5 80 ≤ x ≤ 90

80 ≤

3. JIka ab > 0 maka . . . . a. a < 0 b. a < 0 dan d < 0 c. b < 0 d. a > 0 dan d < 0 e. a dan b bertanda sama 4.

Himpunan penyelesaian dari pertidak-

a. b. c. d. e. 9.

≤ 90 adalah . . . .

− 87 ≤ x ≤ − 137 87 ≤ x ≤ 137 − 137 ≤ x ≤ 87 − 80 ≤ x ≤ 90

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |3x − 2| < 4| adalah . . . . a. 2 < x < 6 d. −2 < x < 6 b.

−2
c.

2

e.

3

< x < 16

2 3

10. Nilai-nilai x yang memenuhi pertidak saman |x − 3|2 > 4|x − 3| + 12 adalah . . . . a. −2 < x < 9 b. −3 < x < 9 c. x > −9 atau x < 2 d. x > 9 atau x < −3 e. x < −9 atau x < −3 11. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 < 3x − 2 x−1 x−1 adalah . . . .

+

2

83

a.

{x x < 1 atau 1 < x < 4}

b.

{x 1 < x < 4}

c.

{x − 4 < x < − 1}

d.

{x x < 4}

e.

{x − 4 < x < − 4}

−

12. Jika 2 x a.

3 < 1 dan 2x < 3, maka . . . .

1
d.

3 2

b.

x <

c.

1
II. Jawablah pertanyaan berikut dengan jelas dan tepat!

e.

x >

1.

Ibu membeli permen untuk Tika, Diah, dan Erik. Jumlah permen Tika dan Diah lebih banyak daripada dua kali permen Erik, sedangkan permen Diah lebih sedikit daripada permen Erik. Siapakah yang mendapatkan permen lebih banyak?

2.

Diketahui suhu Celcius antara 10 ° C dan 30° C. Jika hubungan antara Fahrenheit (F) dan Celcius (C) adalah

3 2

C=

x>2

3 2

tentukanlah batas suhu yang ditunjukkan oleh suhu Fahrenheit! 3.

13. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

x2 9 − x2

>

a.

x

≠

0

b.

0

<

x

c.

P = 400b d. 3 < x e.

x

a.

{x x < 1}

d.

{x x > 2}

b.

{x x > 2}

e.

{x x > 1}

c.

{x x > 1}

15. Himpunan nilai x yang memenuhi pertidak-

samaan x

84

− 22 <

4x

−2 +

a.

Ø

b.

{x x < 8}

c.

{x − 4 < x < 8}

d.

{x − 8 < x < 4}

e.

{x x ∈ R}

12 adalah . . . .

−

⋅

b

b2

di mana B adalah biaya, P adalah pendapatan, dan b adalah harga boneka Barbie per satuan. Tentukanlah harga satuan boneka Barbie agar perusahaan memperoleh keuntungan!

≠ ±3

14. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x − 1 < x + 1 < 3 − x adalah . . . . .

akan

Sebuah perusahaan memproduksi boneka Barbie. Untuk suatu model tertentu diperkirakan bahwa B = 60.000 − 100

0 adalah . . . .

<3 −3 < x < 3

5 (F − 32) 9

4.

Dalam delapan kali ulangan matematika, Desi mendapatkan nilai 75, 80, 75, 70, 85, 90, 65, 70. Tentukanlah nilai ulangan yang kesembilan agar nilai rata-rata Desi lebih besar atau sama dengan 78!

5.

Lili ingin membeli selang yang berdiameter 3 cm. Tetapi persediaan di toko sudah habis, yang tersedia hanyalah selang yang berdiameter 2 cm. Supaya kapasitas selang tidak lebih kecil daripada yang diinginkan, berapakah banyaknya selang 2 cm yang perlu dipakai sebagai pengganti satu selang 3 cm?


B A

Logika Matematika

B


Dalam kehidupan sehari-hari, tanpa sepenuhnya kita sadari, kita sering mengambil keputusan. Pengambilan keputusan ini didasarkan pada pernyataan yang benar. Prinsip-prinsip pengambilan keputusan ini dipelajari dalam logika matematika. Agar kamu lebih memahami tentang logika matematika ini, pelajarilah bab berikut dengan seksama.

♦

Kamu dapat menentukan kebenaran dan ingkaran pernyataan.

♦

Kamu dapat menentukan nilai kebenaran dari disjungsi, konjungsi, dan ingkaran.

♦

Kamu dapat menentukan nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers dan kontraposisi beserta ingkaran.

♦

Kamu dapat menjelaskan arti kuantor universal dan eksistensial beserta ingkaran.

♦

Kamu dapat membuat ingkaran dari suatu pernyataan berkuator.

♦

Kamu dapat menarik kesimpulan dengan silogism, modus ponen dan modus tolen.

♦

Kamu dapat membuktikan sifat matematika dengan bukti langsung.

♦

Kamu dapat membuktikan sifat matematika dengan bukti tak langsung (kontraposisi dan kontradiksi).

♦

Kamu dapat membuktikan sifat dengan induksi matematika.

nilai suatu

A. Pernyataan dan Kalimat Terbuka 1. Pernyataan Utut dan Samson adalah dua sahabat yang hobi menonton pertandingan tinju di televisi. Ketika sedang menonton sebuah pertandingan tinju, Samson berkata kepada Utut: ”Sekarang, kita memiliki juara tinju dunia, namanya Chris John. ” “Ya, dulu juga petinju kita, Ellyas Pical pernah jadi juara dunia,” kata Utut menanggapi. Samson menyangkal perkataan Utut ini, ”Kamu yang benar aja, Ellyas Pical itu pecatur. ” Perhatikan perkataan-perkataan dua sahabat tersebut. 1. 2. 3.

Sekarang, kita memiliki juara tinju dunia, namanya Chris John. Dulu juga petinju kita, Ellyas Pical pernah jadi juara dunia. Ellyas Pical itu pecatur.

Kalimat 1 dan 2 bernilai benar berdasarkan fakta yang ada, sedangkan kalimat 3 bernilai salah. Kamu dapat mengecek kebenarannya dari berbagai media massa. Kalimat-kalimat yang sudah pasti bernilai benar atau salah ini disebut pernyataan. Pernyataan adalah kalimat tertutup yang memiliki nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Pernyataan yang muncul dalam pembicaraan antara Utut dan Samson tersebut disebut juga pernyataan Empiris karena nilai kebenarannya didasarkan pada fakta yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Selain pernyataan empiris, ada juga pernyataan tidak empiris yaitu pernyataan yang nilai kebenarannya berdasarkan bukti atau perhitungan dalam matematika. Contoh pernyataan tidak empiris ini seperti berikut. 1. Persamaan kuadrat memiliki tepat satu akar real jika diskriminannya 0. (pernyataan yang benar). 2. Fungsi kuadrat f (x) = x2 + 2x + 5 definit negatif.(pernyataan yang salah) Pernyataan yang benar memiliki nilai kebenaran B (benar) sedangkan pernyataan yang salah memiliki nilai kebenaran S (salah). Sebuah pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya: p, q, r , …

2. Kalimat Terbuka Saat istirahat di sekolah, tampak Utut dan Ling Ling sedang mengobrol. “Ling, aku dengar rumahmu kemalingan? Siapa pelakunya?” tanya Utut. “Aku nggak enak mengatakannya, sebut sajalah pencuri itu si x.” jawab Ling Ling. “Si x? si x itu si Baron?” tebak Utut. “Bukan,” jawab Ling Ling. Perhatikan pembicaraan antara Utut dan Ling Ling di atas! Ling Ling mengatakan pencuri itu si x. Ini merupakan kalimat yang belum pasti kebenarannya karena memuat variabel. Kalimat seperti ini disebut kalimat terbuka.

86


Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum pasti nilai kebenarannya.

Kemudian, Utut menebak si x itu si Baron dan dijawab ‘bukan’ oleh LingLing sehingga tebakan Utut salah. Tebakan Utut ini membuat kalimat terbuka tersebut menjadi sebuah pernyataan, yaitu “pencuri itu si Baron”. Nilai kebenaran pernyataan ini adalah salah. Jadi, kalimat terbuka akan menjadi pernyataan jika variabel pada kalimat terbuka tersebut kamu ganti dengan konstanta tertentu. 1.

Pada tahun 2005, x adalah presiden Indonesia. Bagaimana jika x diganti dengan Gusdur?

CONTOH CONTOH

Jawab:

Jika x diganti dengan Gusdur maka diperoleh pernyataan yang salah. Namun, jika x kamu ganti dengan Susilo Bambang Yudhoyono, kamu akan memperoleh pernyataan yang benar. 2.

x + 5 < 9 merupakan kalimat terbuka. Untuk x bilangan cacah, tentukanlah nilai x sehingga diperoleh pernyataan yang benar! Jawab:

Kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan yang benar jika x diganti dengan 0, 1, 2, dan 3.

Asah Kompetensi 1.

Manakah yang merupakan kalimat terbuka atau pernyataan dari kalimat-kalimat berikut. Jika merupakan pernyataan, tentukanlah nilai kebenarannya! a. b. c. d. e. f. g. h.

2.

1

Apakah 2 bilangan rasional? Kucing adalah hewan berkaki empat. Penjumlahan dua bilangan prima menghasilkan bilangan genap. x = 6. Sebutkan alat untuk mengukur panjang! x2 + y2 = 16 x2 ≤ 0 ‘Dewa’ grup band asal Surabaya

Untuk setiap x ∈ R, tentukanlah nilai x sehingga kalimat terbuka berikut menjadi pernyataan yang benar! a.

x2 + (x − 1)2 = x

b. 2x = 30 c.

x

log 3 = 3


d.

13x + 39 x + 12

e.

x 2 + 2 x

<0

=2

f. |x – 2|2 > 4 87

B. Ingkaran (Negasi) Seorang wartawan dari tabloid olah raga mewawancarai Kurniawan Dwi Julianto, pemain sepakbola Indonesia,” Kurniawan, saya dengar kabar tahun depan anda akan bermain di Persib.” Mendengar pernyataan ini, Kurniawan langsung menyangkalnya, ”Tahun depan saya tidak bermain di Persib, saya akan tetap di Persebaya.” Sangkalan Kurniawan ini disebut ingkaran dari pernyataan wartawan itu. Jika Kurniawan berkata benar maka nilai kebenaran sangkalannya benar. Akibatnya, nilai kebenaran pernyataan wartawan tersebut salah. Ingkaran suatu pernyataan p adalah pernyataan ∼ p yang bernilai benar jika p bernilai salah dan bernilai salah jika p bernilai benar. Pada tabel kebenaran, sifat tersebut disajikan sebagai berikut.

CONTOH

p

∼ p

B S

S B

(Nilai kebenarannya salah) 1. p: Indonesia negara terkaya di dunia Ingkarannya adalah: ∼ p: Indonesia bukan negara terkaya di dunia (Nilai kebenarannya benar) atau ∼ p: Tidak benar Indonesia negara terkaya di dunia (Nilai kebenarannya benar)

2.

q: 2x bilangan genap untuk x bilangan asli (Nilai kebenarannya benar ) Ingkarannya adalah: ∼q: 2x bilangan ganjil untuk x bilangan asli (Nilai kebenarannya salah) atau ∼q: Tidak benar 2x bilangan genap untuk x bilangan asli (Nilai kebenarannya salah)

Asah Kompetensi

2

Buatlah ingkaran dari pernyataan-pernyataan berikut. Kemudian, tentukanlah nilai kebenarannya! 1.

Buaya adalah reptilia.

2.

Kalkulator adalah satu-satunya alat hitung.

3. Jumlah dari suatu bilangan rasional dengan bilangan irasional merupakan bilangan irasional. 4. p merupakan bilangan irasional. 5.

Bilangan desimal berulang 0,999… sama dengan 1.

6.

Grafik fungsi f (x) = 3x2 + x − 5 terbuka ke bawah.

88


7.

Tahun 2004 merupakan tahun kabisat.

8.

 1   5   > 0 untuk x bilangan real.

n

C. Pernyataan Majemuk DEFINISI Pernyataan majemuk adalah gabungan dua buah pernyataan dengan menggunakan kata penghubung “dari, atau, jika . . . maka . . . , jika dan hanya jika”.

1. Konjungsi Sebuah perusahaan otomotif membuka lowongan untuk posisi sales. Syarat yang harus dipenuhi oleh pelamar adalah harus seorang laki-laki dan memiliki motor. Jika seorang pelamar seorang laki-laki dan memiliki motor maka pelamar tersebut berkesempatan untuk mengikuti tes tahap berikutnya. Jika pelamar tersebut seorang laki-laki tapi tidak memiliki motor atau memiliki motor tapi seorang perempuan maka lamarannya tidak akan diproses. Apalagi, jika ia tidak memenuhi kedua syarat tersebut. Sekarang, uraikan pernyataan majemuk seorang pelamar harus seorang laki-laki dan memiliki motor menjadi dua pernyataan tunggal yang dilambangkan dengan p dan q. seperti berikut: p : Seorang pelamar harus seorang laki-laki. Pernyataan ini bernilai benar (B), jika pelamar tersebut laki-laki dan bernilai salah (S), jika pelamar tersebut perempuan. q : Pelamar harus memiliki motor. Pernyataan ini benar (B), jika pelamar tersebut memiliki motor dan bernilai salah (S), jika pelamar tersebut tidak memiliki motor. Tabel kebenaran dari pernyataan tersebut adalah sebagai berikut. p B B S S

q B S B S

∧q p ∧ B S S S

Uraian tersebut menggambarkan nilai kebenaran konjungsi, di mana p ∧ q dibaca p dan q. Konjungsi bernilai benar jika dan hanya jika pernyataan-pernyataan tunggalnya bernilai benar.


89

CONTOH

1.

Perhatikan pernyataan-pernyataan tunggal berikut!

(Pernyataan yang benar) a. p : Kang Ibing pelawak asal Jawa Barat. q : Kang Ibing pernah bermain film. (Pernyataan yang benar) Maka p ∧ q : Kang Ibing pelawak asal Jawa Barat dan pernah bermain film. (Pernyataan yang benar)

b. r : 9 merupakan bilangan kuadrat sempurna. (Pernyataan yang benar) s : 9 tidak habis dibagi 9. (Pernyataan yang benar) Maka r ∧ s : 9 merupakan bilangan kuadrat sempurna dan tidak habis dibagi 9. (Pernyataan yang benar) 2.

Tentukan nilai n sehingga konjungsi berikut benar. Jakarta ibu kota Indonesia dan n2 = 100. Jawab: Terlebih dahulu, uraikan konjungsi tersebut menjadi pernyataanpernyataan tunggal. p : Jakarta ibu kota Indonesia (Pernyataan yang benar) 2 q : n = 100 (Kalimat terbuka) Supaya konjungsi benar haruslah kedua pernyataan tunggal yang membentuknya benar. Jadi, kalimat terbuka n2 = 100 harus menjadi pernyataan yang benar. Nilai n haruslah 10.

2. Disjungsi a. Disjungsi Inklusif Malam ini, Utut belajar di kamarnya. Ia membaca buku pelajaran atau mengerjakan PR. Arti dari pernyataan ini adalah sebagai berikut: • Utut membaca buku pelajaran sambil mengerjakan PR. • Utut membaca buku pelajaran, tetapi tidak mengerjakan PR. • Utut tidak membaca buku pelajaran, tetapi mengerjakan PR. Jika Utut tidak membaca buku pelajaran dan tidak mengerjakan PR, berarti ia tidak belajar. Pernyataan seperti itu disebut disjungsi inklusif. Perhatikanlah tabel kebenaran disjungsi inklusif!

p

q

∨q p ∨

B B S S

B S B S

B B B S

Uraian tersebut menggambarkan nilai kebenaran disjungsi inklusif, di mana p ∨ q dibaca: p atau q 90


Disjungsi inklusif bernilai benar jika salah satu pernyataan tunggalnya bernilai benar.

b. Disjungsi Eksklusif Utut pergi ke sekolah menggunakan motor atau angkot. Arti dari pernyataan ini adalah Utut pergi ke sekolah menggunakan salah satu kendaraan tersebut, tapi tidak kedua-duanya. Pernyataan seperti itu disebut disjungsi eksklusif. Perhatikan tabel kebenaran disjungsi eksklusif berikut ini! q

p B B S S

∨q p ∨ S B B S

B S B S

Disjungsi eksklusif bernilai benar hanya jika salah satu pernyataanpernyataan tunggalnya bernilai benar.

1.

Perhatikan pernyataan-pernyataan tunggal berikut!

CONTOH

a. p: Sempoa merupakan alat untuk menghitung. (Pernyataan yang benar) q: Sempoa sebuah alat elektronik. (Pernyataan yang salah) maka p ∨ q : Sempoa merupakan alat untuk menghitung atau alat elektronik. (Pernyataan yang benar) b. r : Fungsi kuadrat x2 − 4 definit positif s: Grafik fungsi kuadrat x2 − 4 berupa garis lurus maka r ∧ s : Fungsi kuadrat x2 − 4 definit positif atau grafiknya berupa garis lurus. 2.

(Pernyataan yang benar) (Pernyataan yang salah) (Pernyataan yang salah)

Tentukan nilai x bilangan real sehingga disjungsi berikut salah! x

= 0 atau −1 merupakan bilangan asli

Jawab:

Terlebih dahulu, uraikan disjungsi tersebut menjadi pernyataanpernyataan tunggal. p : x = 0 (Kalimat terbuka) q : − 1 merupakan bilangan asli (Pernyataan yang salah) Supaya disjungsi salah haruslah kedua pernyataan tunggal yang membentuknya salah. Jadi, kalimat terbuka Nilai x adalah x ≠ 0.


x

= 0 harus

menjadi pernyataan yang salah.

91

Asah Kompetensi 1.

3

Tentukanlah konjungsi dari pernyataan-pernyataan tunggal berikut. Kemudian, tentukan nilai kebenarannya! a. p : Roda mobil berbentuk persegi q : Petak-petak pada papan catur berbentuk lingkaran b. r : a0 = 1 untuk a bilangan real s : 1n = 1 untuk n bilangan real c.

t :

6 2 merupakan bentuk lain dari 9 3

u :

2 6 merupakan bentuk sederhana dari 3 9

d. v : Jakarta ibu kota Amerika w : Jakarta terletak di pulau Jawa 2.

Tentukanlah disjungsi dari pernyataan tunggal-pernyataan tunggal berikut. Kemudian, tentukan nilai kebenarannya! a. p : Bandara Soekarno-Hatta ada di Banten q : Bandara Adi Sucipto ada di Semarang b. r : Faktor dari suatu bilangan asli lebih besar daripada kelipatannya s : Faktor dari suatu bilangan asli adalah bilangan yang dapat membagi habis bilangan itu c. t : 11 merupakan faktor dari 6.161.617 u : 11 merupakan bilangan komposit d. v : Imelda Fransisca adalah Miss Indonesia tahun 2005 w : Michael Jackson adalah seorang penyanyi

3.

Tentukanlah nilai x bilangan real sehingga konjungsi atau disjungsi berikut benar! a. 269 dan x2 + x + 17 merupakan bilangan prima b. 0 habis dibagi 2 atau x2 − 2 = 2x + 17 c. Soeharto adalah presiden Indonesia terlama atau x2 − 1 < 3 d. 930 cm + 7 dm = 10 m dan 3x − 1 < 2 x + 6 e.

92

Surabaya dijuluki kota buaya atau

x = 0


1

ASAH KEMAMPUAN

Waktu: 30 menit 1.

Manakah yang merupakan kalimat terbuka, pernyataan tunggal, dan pernyataan majemuk? Jika merupakan pernyataan majemuk, tentukanlah pernyataan-pernyataan tunggalnya! a. Utut seorang remaja yang pintar meskipun jarang belajar. b. x2 + 2x + 3 = 0 merupakan persamaan kuadrat. c. p adalah faktor dari 24. d. Penampang buku selalu berbentuk persegi panjang. e. Yusril Ihza Mahendra tidak mungkin lahir di Belitung walaupun orang tuanya di sana.

2.

Tentukanlah nilai kebenaran pernyataan berikut. Kemudian, buat ingkarannya! a. Indonesia adalah negara agraris. b. 4 + 4 : 4 = 2 c. Jumlah dua sudut berpelurus adalah 180°. d. Indonesia terdiri dari 33 propinsi. e. Tim nasional sepakbola Indonesia pernah ikut Piala Dunia.

3.

Diketahui pernyataan-pernyataan berikut. p: Deddy Corbuzier seorang pesulap. q: Deddy Corbuzier selalu berpakaian hitam-hitam.

Bobot soal: 20

Bobot soal: 20

Bobot soal: 30

Buatlah pernyataan-pernyataan dengan lambang berikut ini! a. p ∧ q f. p ∨ q b. p ∧ ∼q g. ∼ p ∨ q c. ∼ p ∧ q h. ∼ p ∨ ∼q d. p v q i. ∼( p ∨ q) e. ∼ ( p ∧ q) j. ∼( p ∨ ∼q) 4.

Lengkapilah tabel kebenaran berikut! p

q

∼q

B B S S

B S B S

... ... ... ...


Bobot soal: 30

∧ ∼q p ∧ ... ... ... ...

∨ ∼q p ∨ ... ... ... ...

∧ ∼q) ∨∨ ( p ∨∨ ∼q) ( p ∧ ... ... ... ...

93

3. Implikasi Dari pernyataan p dan q dapat dibuat pernyataan majemuk dalam bentuk “Jika p maka q” yang disebut implikasi atau kondisional. Implikasi “jika p maka q” ditulis “ p ⇒ q”. Pernyataan p disebut hipotesa atau alasan, sedangkan q disebut konklusi atau kesimpulan. Implikasi “ p ⇒ q” dapat juga dibaca sebagai berikut. • p hanya jika q • q jika p • p syarat cukup bagi q • q syarat perlu bagi p Perhatikan uraian berikut! Ketika sedang berolahraga pagi, ayah mengatakan kepada Jack: ”Jika kamu giat berolahraga, maka tubuhmu akan bugar.” Pernyataan tersebut mengandung arti sebagai berikut: •

Jack giat berolahraga sehingga tubuhnya menjadi bugar. Ini membuat ayahnya senang. • Jack giat berolahraga, tetapi tubuhnya lemas. Ini membuat ayahnya kecewa. • Jack jarang berolahraga, tetapi tubuhnya tetap bugar. Ini membuat ayahnya tetap senang. • Jack jarang berolahraga sehingga tubuhnya menjadi lemas. Ini wajar menurut ayahnya. Dengan menguraikan pernyataan majemuk,”Jika kamu giat berolahraga, maka tubuhmu akan bugar.”menjadi pernyataan-pernyataan tunggal berikut: p: Kamu giat berolahraga. q: Tubuhmu akan bugar. Dapat dibuat tabel kebenaran implikasi seperti berikut. p B B S S

q B S B S

⇒q p ⇒ B S B B

Suatu implikasi bernilai salah hanya jika hipotesa bernilai benar dan konklusi bernilai salah.

CONTOH

1.

Perhatikan pernyataan tunggal-pernyataan tunggal berikut. p : Jumlah sudut segitiga 240° (Pernyataan yang salah) q : Besar masing-masing sudut segitiga (Pernyataan yang salah) samasisi 80° Selidikilah nilai kebenaran pernyataan di atas! Jawab:

p ⇒ q : Jika jumlah sudut segitiga 240° maka besar masing-masing sudut segitiga samasisi 80°

94


Oleh karena p dan q bernilai salah, maka p ⇒ q bernilai benar. q ⇒ p: Jika besar masing-masing sudut segitiga samasisi 80° maka jumlah sudut segitiga 240° Oleh karena p dan q bernilai salah, maka q ⇒ p bernilai benar. 2.

Selidikilah nilai kebenaran pernyataan berikut! Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan x2 + 2x + 3 = 0 maka x1 + x2 = 2. Jawab: Jumlah akar-akar persamaan x2 + 2x + 3 = 0 adalah x1 + x2 = − 2.

Jadi, hipotesa benar dan konklusinya salah sehingga implikasinya bernilai salah.

4. Biimplikasi Dari pernyataan p dan q dapat dibuat pernyataan majemuk dalam bentuk “ p jika dan hanya jika q” yang disebut biimplikasi atau bikondisional. Biimplikasi “ p jika dan hanya jika q” ditulis “ p ⇔ q”, yang merupakan gabungan dari dua implikasi, yaitu p ⇒ q dan q ⇒ p. Dengan demikian, p ⇔ q ekuivalen dengan ( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p), artinya p ↔ q da n ( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) memiliki nilai kebenaran yang sama. Perhatikan tabel kebenaran biimplikasi p ⇔ q yang dibentuk dari ( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)! p

q

p ⇒ q

q ⇒ p

∧ (q ⇒ p) ( p ⇒ q) ∧

B B S S

B S B S

B S B B

B B S B

B S S S

Dari tabel tersebut dapat disimpulkan nilai kebenaran ( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p). Suatu biimplikasi p ⇔ q bernilai benar jika pernyataan p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama.

1.

Perhatikan pernyataan tunggal-pernyataan tunggal berikut! p : Becak adalah kendaraan beroda tiga q : Bus adalah kendaraan beroda empat

CONTOH

Jawab: p ⇔ q : Becak adalah kendaraan beroda tiga jika dan hanya jika bus adalah kendaraan beroda empat. Oleh karena p bernilai benar dan q bernilai salah, maka p ⇔ q bernilai salah. q ⇔ p : Bus adalah kendaraan beroda empat jika dan hanya jika becak adalah kendaraan beroda tiga.

Oleh karena q bernilai salah dan p bernilai benar, maka q ⇔ p bernilai salah.


95

2.

Selidikilah nilai kebenaran pernyataan berikut! x adalah bilangan prima jika dan hanya jika x bilangan bulat. Jawab: Pernyataan-pernyataan tunggal dari biimplikasi tersebut adalah sebagai berikut. p : x adalah bilangan prima q : x bilangan bulat Selidiki nilai kebenaran p ⇒ q dan q ⇒ p. p ⇒ q : Jika x adalah bilangan prima maka x bilangan bulat. Kamu telah mengetahui bahwa setiap bilangan prima adalah bilangan bulat sehingga implikasi p ⇒ q bernilai benar. q ⇒ p : Jika x bilangan bulat maka x adalah bilangan prima. Karena ada bilangan bulat yang bukan bilangan prima, misalnya 4 maka implikasi q ⇒ p bernilai salah. Akibatnya, p ⇔ q bernilai salah.

Asah Kompetensi 1.

4

Pehatikanlah pernyataan-pernyataan tunggal berikut! a. f : Rudi Hartono atlet bulutangkis g : Rudi Hartono pernah menjadi juara All England 7 kali berturut-turut Tentukanlah f ⇒ g, g ⇒ f, f ↔ g, dan g ⇔ f . Kemudian, tentukan pula masing-masing nilai kebenarannya! b. h i

: :

2 bilangan prima 2n bilangan prima untuk n bilangan prima

k

:

1 tahun =

1 abad 100

Tentukanlah h ⇒ i, i ⇒ h, h ⇔ i, dan i ⇔ h. Kemudian, tentukan pula masing- masing nilai kebenarannya! Tentukan juga j ⇒ k, k ⇒ j, j ⇔ k, dan k ⇔ j. Kemudian, tentukan pula masing- masing nilai kebenarannya! d. l : log 2 = log 10 − log 5 m : log 8 = log 4 + log 4 Tentukanlah l ⇒ m, m ⇒ l, l ⇔ m, dan m ⇔ l. Kemudian, tentukan pula masing-masing nilai kebenarannya! e. n : Astronomi adalah ilmu yang mempelajari benda-benda langit o : Geografi adalah ilmu yang mempelajari bumi Tentukanlah n ⇒ o, o ⇒ n, n ↔ o, dan o ⇔ n. Kemudian, tentukan pula masing-masing nilai kebenarannya! 2.

96

Selidiki nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut. a. Jika x + 1 > 0 maka x2 + 4x + 3 > 0 b. Jika x > 0 dan y > 0 maka x, y > 0 c. Jika 1 + x + 5 + … adalah deret aritmetika maka x + 6 + 12 + … adalah deret geometri d. 1 + 2 + 3 + … adalah deret geometri jika dan hanya jika 1 2 + 22 + 32 + … adalah deret aritmetika. e. Akar-akar persamaan kuadrat x2 − 3x − 5 = 0 adalah x1 dan x2 jika dan hanya jika 2x1 = x2 dan 2x2 = x1


D. Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen • • •

Dari suatu implikasi p → q dapat dibentuk pernyataan majemuk berikut. q → p disebut konvers dari implikasi p → q ∼ p → ∼q disebut invers dari implikasi p → q ∼q → ∼ p disebut kontraposisi dari implikasi p → q

Sekarang, perhatikan tabel kebenaran keempat bentuk pernyataan tersebut. p

q

∼ p

∼q

→q p →

→ p q →

B B S S

B S B S

S S B B

S B S B

B S B B

B B S B

∼ p → → ∼∼q B B S B

∼q → → ∼∼ p B S B B

Ekuivalen Ekuivalen Dari tabel kebenaran tersebut dapat disimpulkan hubungan berikut. • p → q ≡ ∼q → ∼ p, artinya implikasi ekuivalen dengan kontrapositifnya • q → p ≡ ∼ p → ∼q, artinya konvers dari implikasi ekuivalen dengan invers dari implikasi tersebut. Tuliskanlah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan berikut! “Jika hewan itu kuda maka hewan itu berkaki empat” Jawab: Konvers : Jika hewan itu berkaki empat maka hewan itu kuda. : Jika hewan itu bukan kuda maka hewan itu tidak berkaki Invers empat. Kontraposisi : Jika hewan itu tidak berkaki empat maka hewan itu bukan kuda.

CONTOH

E. Ingkaran dari Pernyataan Majemuk Perhatikanlah tabel kebenaran berikut! p

q

∼ p

∼q

∧q p ∧

∼( p ∧∧ q)

∼ p∨ ∼∼q

B B S S

B S B S

S S B B

S B S B

B S S S

S B B B

S B B B

Ekuivalen Tampak bahwa, ∼( p ∧ q) ≡ ∼ p ∨ ∼q. Artinya, ingkaran dari p ∧ q adalah ∼ p ∨ ∼q. Bab 5 Logika Matematika

97

Sekarang, perhatikan tabel kebenaran berikut! p

q

∼ p

∼q

∨q p ∨

B B S S

B S B S

S S B B

S B S B

B B B S

∼ ( p ∨∨ q) ∼ p ∧∧ ∼∼q S S S B

S S S B Ekuivalen

Tampak bahwa, ∼( p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼q. Artinya, ingkaran dari p v q adalah ∼ p ∧ ∼q. Dengan cara yang sama, akan diperoleh ingkaran dari implikasi dan biimplikasi. • ∼( p → q) ≡ p ∧∼q. Artinya, ingkaran dari p → q adalah p ∧ ∼q. • ∼( p ↔ q) adalah ( p ∧ ∼ q) ∨ (q ∧ ∼ p). Artinya, ingkaran dari p ↔ q adalah ( p ∧ ∼q) ∨ (q ∨ ∼ p). CONTOH

1.

2.

Ingkaran dari pernyataan,”Mama panggilan untuk ibu dan papa panggilan untuk ayah” adalah “Mama bukan panggilan untuk ibu atau papa bukan panggilan untuk ayah.” Ingkaran dari pernyataan,”Jika harga motor turun saya akan membeli motor.” adalah “Meskipun harga motor turun, saya tidak akan membeli motor.”

Asah Kompetensi

5

Tentukanlah konvers, invers, dan kontrapositif dari pernyataan-pernyataan berikut! a. Jika x bilangan genap maka 2x bilangan genap dan 2x − 1 bilangan ganjil. b. Jika ABC sebuah segitiga samasisi maka besar masing-masing sudutnya 60°. c. Jika ayam berkokok tiga kali maka hari sudah siang. d. Jika nenek memakai tongkat maka nenek sudah tua e. Jika 8 habis 2 maka 2 tidak habis dibagi 8. 2. Tentukanlah ingkaran dari pernyataan majemuk-pernyataan majemuk berikut! a. Persamaan kuadrat x2 + 3x + 4 = 0 dan x2 + 2x + 3 = 0 mempunyai akar-akar real. b. Katak hidup di air atau di darat. c. Jika bunga itu melati maka banyak orang menyukainya. d. 7 + 3 ≠ 10 jika dan hanya jika 10 bilangan genap. 1.

Dengan tabel kebenaran, tunjukkan bahwa untuk implikasi [( p → q) ∧ p] → q, konversnya adalah q → [( p → q) ∧ p], inversnya adalah ∼[( p → q) ∧ p] → ∼q, dan kontrapositifnya adalah ∼q → ∼[( p → q) ∧ p]. 98


2

ASAH KEMAMPUAN

Waktu: 60 menit 1.

Selidiki nilai kebenaran implikasi-implikasi berikut. Manakah yang dapat diubah menjadi biimplikasi? Buatlah biimplikasi itu! a. Jika sepakbola olahraga terpopuler di Indonesia maka sepakbola ditemukan di Inggris. b. Jika Arifin C. Noor seorang penyair maka Farhan seorang penyiar. c. Jika 5 bilangan ganjil maka 0,5 merupakan pecahan. d. Jika –x bilangan real positif maka x bilangan real negatif. e. Jika hujan tidak turun maka Jakarta banjir. f. Jika besar sudut berpenyiku adalah sama maka besar sudut bertolak belakang juga sama. g. Jika 42 = 24 maka xy = yx, untuk x dan y bilangan real. h. Jika 1 < log x < 2 maka 10 < x < 100

2.

Diketahui konvers ( p ∧ q) → ∼ p, tentukanlah implikasi, invers, dan kontraposisinya!

Bobot soal: 10

3.

Diketahui kontraposisi (∼ p dan inversnya!

Bobot soal: 10

4.

Diketahui invers ( p kontraposisinya!

5.

Tunjukkan bahwa: a. Invers dari konversnya implikasi adalah kontraposisi implikasi b. Invers dari kontraposisinya implikasi adalah konvers implikasi c. Konvers dari inversnya implikasi adalah kontraposisi implikasi d. Konvers dari kontraposisinya implikasi adalah invers implikasi e. Kontraposisi dari konversnya implikasi adalah invers implikasi f. Kontraposisi dari inversnya implikasi adalah konvers implikasi

6.

∨ q) → ∼ p, tentukanlah implikasi, konvers,

∧ q) → p,

tentukanlah implikasi, konvers, dan

dari


dari dari dari dari dari

Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut. Kemudian, selidiki dengan menggunakan tabel kebenaran! a. (∼q ∧ r ) → r b. ∼ (∼ p → ∼q) c. ( p → q) ∧ ( p ∨ ∼q)


Bobot soal: 10

Bobot soal: 30

99

F. Ingkaran Pernyataan Berkuantor Kuantor adalah imbuhan di depan suatu kalimat terbuka yang dapat mengubah kalimat terbuka itu menjadi suatu pernyataan. Ada dua macam kuantor, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.

1. Kuantor Universal Kuantor universal dilambangkan dengan ∀ x, dapat dibaca untuk setiap x atau untuk semua x. Jika M (x) menyatakan suatu kalimat terbuka, maka ∀ x M (x) memiliki arti “untuk setiap x, berlaku M (x).” Dengan penambahan kuantor ∀ x di depan M (x), maka M (x) menjadi sebuah pernyataan. CONTOH

1.

∀ x bilangan cacah, x + 2 ≥ 2

Bilangan cacah paling kecil adalah 0 sehingga ∀ x bilangan cacah, x ≥ 0. Dengan menambahkan 2 pada kedua ruas, akan diperoleh x + 2 ≥ 2. Jadi, ∀ x bilangan cacah, x + 2 ≥ 2 merupakan pernyataan yang benar. 2.

∀ x ∈ R, 2log x > 0.

Merupakan pernyataan yang salah karena ada x ∈ R yang menyebabkan 2 log x ≤ 0, salah satunya x = 1.

2. Kuantor Eksistensial Kuantor eksistensial dilambangkan dengan ∃x, dapat dibaca ada x atau beberapa x atau terdapat x. Jika M (x) menyatakan suatu kalimat terbuka maka ∃x M (x) memiliki arti “Ada x, sehingga berlaku M (x)” atau “Beberapa x, sehingga berlaku M (x)” Dengan penambahan kuantor ∃x di depan M (x), maka M (x) menjadi sebuah pernyataan. CONTOH

Τentukanlah nilai kebenaran dan ingkaran dari ∃x ∈ R, 2x + 1 = 0! Jawab: 1

Ada x ∈ R yang memenuhi 2x + 1 = 0, yaitu x = − . 2 Jadi, ∃x ∈ R, 2x + 1 = 0 merupakan pernyataan yang benar. Jika kamu menentukan ingkaran pernyataan tersebut, kamu mendapatkan ∼(∃x ∈ R, 2x + 1 = 0) ≡ ∀x ∈ R, 2x + 1 ≠ 0. Artinya, “tidak ada x bilangan real yang menyebabkan 2x + 1 = 0”. Pernyataan ini ekuivalen dengan pernyataan “untuk setiap x bilangan real berlaku 2x + 1 ≠ 0”. Karena nilai kebenaran pernyataannya benar maka nilai kebenaran ingkarannya salah.

Ingkaran pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan berkuantor universal dengan kalimat terbukanya menjadi ingkaran. Secara matematis, ditulis ∼[∃x M (x)] ≡ ∀x [∼ M (x)]. Sebaliknya, Ingkaran pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial dengan kalimat terbukanya menjadi ingkaran. Secara matematis, ditulis ∼[∀x M (x)] ≡ ∃x [∼ M (x)]. 100


CONTOH

Ingkaran dari pernyataan “x ∈ R, 1 < x < 2 adalah ∃x ∈ R, x ≤ 1 atau x ≥ 2.

ASAH KEMAMPUAN

3 Waktu: 30 menit

Tentukanlah ingkaran masing-masing pernyataan berikut. Kemudian, tentukan nilai kebenarannya! 1.

∀x ∈ R, 5x > 0

2.

∃x ∈ R, xlog

3.

∀x ∈ R, x ≥ 0

4.

∃x ∈ R, 1 − x = x − 1 ∀x ∈ R, x2 < 1 + x2

5. 6.

Bobot soal: 100

1 <1 5

Semua supir mematuhi peraturan lalu lintas dan jalan tidak macet.

7.

Ada pejabat yang korupsi atau masyarakat akan sejahtera.

8.

Semua siswa berdemonstrasi sehingga semua kelas kosong.

9. Semua bilangan cacah merupakan bilangan bulat. 10. Tidak ada bilangan komposit yang lebih dari 100.

G. Penarikan Kesimpulan Suatu kesimpulan atau konklusi dapat ditarik dengan menggunakan sejumlah pernyataan yang disebut premis. Penarikan kesimpulan dengan menggunakan sejumlah pernyataan ini disebut argumen. Suatu argumen ini dikatakan sah jika dan hanya jika konjungsi dari premis-premisnya benar.

1. Modus Ponens Modus ponens adalah argumen yang merupakan implikasi dari [( p → q) ∧ p] → q atau [ p ∧ ( p → q)] → q. Argumen ini sah. Kamu dapat membuktikannya dengan menggunakan tabel kebenaran. p

q

→q p →

→ q) ∧∧ p ( p →

B B S S

B S B S

B S B B

B S S S


→ q) ∧∧ p] → →q [( p → B B B B

101

Nilai kebenaran [( p → q) ∧ p] → q adalah benar. Jadi, terbukti bahwa [( p → q) ∧ p] → q sah. Begitu juga dengan [ p ∧ ( p → q)] → q. Silahkan kamu buktikan sendiri. Penarikan kesimpulan p → q q → r

p → q p

∴ p → q ∴q

p → q q

∼

∴∼ p

CONTOH

Modus ponens ini dinyatakan sebagai berikut. (Pernyataan yang benar) Premis (1) : p → q (Pernyataan yang benar) Premis (2) : p ––––––––––––––––––––– (Pernyataan yang benar) Konklusi : q atau (Pernyataan yang benar) Premis (1) : p (Pernyataan yang benar) Premis (2) : p → q ––––––––––––––––––––– (Pernyataan yang benar) Konklusi : q

Tentukanlah penarikan kesimpulan yang benar berdasarkan modus ponens! Premis (1) : Jika saya gemar membaca buku maka saya akan pintar Premis (2) : Saya gemar membaca buku –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Konklusi : Saya akan pintar

2. Modus Tollens Mo du s to ll en s adalah argumen yang merupakan implikasi dari [( p → q) ∧ ∼q ] → ∼ p atau [∼q ∧ ( p → q)] → ∼ p. Argumen ini sah. Kamu dapat membuktikannya dengan menggunakan tabel kebenaran. p

q

→q p →

∼q

→ q) ∧∧ ∼∼q ] [( p →

→ q) ∧∧ ∼∼q ] → ∼∼ p [( p →

B B S S

B S B S

B S B B

S B S B

S S S B

B B B B

Nilai kebenaran [( p → q) ∧ ∼q ] → ∼ p adalah benar. Jadi, terbukti bahwa [( p → q) ∧ ∼q ] → ∼ p valid atau sah. Begitu juga dengan [ ∼q ∧ ( p → q)] → ∼ p. Silahkan kamu buktikan sendiri. Modus tollens ini dinyatakan sebagai berikut. (Pernyataan yang benar) Premis (1) : p → q Premis (2) : ∼q (Pernyataan yang benar) ––––––––––––––––––––– (Pernyataan yang benar) Konklusi : ∼ p atau (Pernyataan yang benar) Premis (1) : ∼q (Pernyataan yang benar) Premis (2) : p → q ––––––––––––––––––––– (Pernyataan yang benar) Konklusi : ∼ p

102


Tentukanlah penarikan kesimpulan yang benar berdasarkan modus tollens!

CONTOH

Jawab:

:

Jika ia juara Olimpiade Matematika maka ia termasuk siswa yang cerdas Premis (2) : Ia bukan siswa yang cerdas ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Konklusi : Ia bukan juara Olimpiade Matematika Premis (1)

3. Silogisme Silogisme adalah argumen yang merupakan implikasi dari [( p → q) ∧ (q → r )] → ( p → r ) Argumen ini sah. Kamu dapat membuktikannya dengan menggunakan tabel kebenaran. p

q

r

B B B B S S S S

B B S S B B S S

B S B S B S B S

→ q p → B B S S B B B B

→ r q → B S B B B S B B

→ r p →

→ q) ∧∧ (q → → r ) ( p →

B S B S B B B B

B S S S B S B B

→ q) ∧∧ (q → → r ) ( p → B B B B B B B B

Nilai kebenaran [( p → q) ∧ (q → r )] → ( p → r ) adalah benar. Jadi, terbukti bahwa [( p → q) ∧ (q → r )] → ( p → r ) valid atau sah. Silogisme ini dinyatakan sebagai berikut. (Pernyataan yang benar) Premis (1) : p → q : q → r (Pernyataan yang benar) Premis (2) ––––––––––––––––––––––––––– (Pernyataan yang benar) Konklusi : p → r

Tentukanlah penarikan kesimpulan yang benar berdasarkan silogisme! Premis (1) : Jika kita rajin belajar maka kita akan berprestasi Premis (2) : Jika kita berprestasi maka kita akan sukses –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Konklusi : Jika rajin belajar maka kita akan sukses


CONTOH

103

ASAH KEMAMPUAN


Tentukanlah penarikan kesimpulan yang benar! a. Jika Mike Tyson seorang petinju maka ia pernah menjadi juara dunia Mike Tyson seorang petinju –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Jadi, … b. Jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0 a ≠ 0 dan b ≠ 0 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Jadi, … c. Jika bunga itu tidak berduri maka bunga itu bukan mawar Jika bunga itu berduri maka bunga itu harum baunya Jadi, … d. Utut tidak suka memancing atau Utut suka lari pagi Utut tidak suka lari pagi ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Jadi, … e. Jika saya pegawai maka saya akan mendapat gaji bulanan Jika saya mendapat gaji bulanan maka saya akan menabung tiap bulan Saya tidak menabung tiap bulan ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Jadi, …

2.

Dengan menggunakan tabel kebenaran, periksa sah atau tidakkah argumen berikut! a.

p q

→∼ q

∴∼ p

∼ p v q ∼q b. ∴∼ p

104

c.

d.

∼ p → q ∼ r →∼ q ∴ p → r

Bobot soal: 25

Bobot soal: 75

∼ p →∼ q e.

q

∴ p

∼ p v q ∼ p ∴∼ q


Sahabat Alfarabi Siapakah orang yang pertama kali memperkenalkan penggunaan simbolsimbol aljabar dalam penarikan sebuah kesimpulan? Dia adalah George Boole, Matematikawan Inggris yang lahir pada tahun 1815. Dalam teorinya, Boole menyatakan bahwa premis-premis dan kesimpulan dalam sebuah argumen dapat diwakili oleh simbol-simbol aljabar dan dihubungkan oleh simbol-simbol lain untuk membentuk sebuah argumen logis. Teori Boole ini sering digunakan para ahli untuk memecahkan sebuah teka-teki sains. Boole meninggal tahun 1864. Sumber:

Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia

H. Bukti Dalam Matematika 1. Bukti Langsung Bukti langsung dilakukan dengan memperlihatkan suatu kebenaran sebagai akibat pernyataan lain yang telah diterima sebagai hal yang benar, seperti definisi, aksioma, dan dalil-dalil yang telah dibuktikan. Buktikan bahwa jika p > 0, p ≠ 1, a,b > 0 berlaku plog (ab) = plog a + plog b!

CONTOH

Jawab: Misalkan, x = plog a maka a = px y = plog b maka b = py p log (ab) = plog px. py Gunakan sifat perkalian bilangan berpangkat = plog px + y Dengan menggunakan definisi logaritma, kamu akan memperoleh p log (ab) = x + y = plog a + plog b Jadi, plog (ab) = plog a + plog b 

a. Bukti Tak Langsung dengan Kontrapositif Misalkan, harus dibuktikan p → q benar. Andaikanlah ∼q benar, kemudian dengan langkah logis turunkanlah supaya ∼ p benar sehingga ∼q → ∼ p benar. Oleh karena p → q ≡ ∼q → ∼p dan ∼q → ∼ p benar maka p → q benar.

Untuk setiap n bilangan bulat, buktikanlah bahwa jika n2 bilangan ganjil maka n + 1 bilangan genap!

CONTOH

Bukti: Misalkan, n + 1 bilangan ganjil. Ini mengakibatkan n bilangan genap sehingga n dapat ditulis sebagai n = 2a. Akibatnya, n2 = (2a)2 = 4a2 = 2.(2 a2) Ini berarti, n2 bilangan genap. Jadi, “jika n + 1 bilangan ganjil maka n2 bilangan genap.” Pernyataan ini ekuivalen dengan pernyataan,”jika n2 bilangan ganjil maka n + 1 bilangan genap.”


105

b. Bukti Tak Langsung dengan Kontradiksi CONTOH

Buktikanlah bahwa jumlah dari suatu bilangan rasional dengan bilangan irasional adalah bilangan irasional! Bukti:

p Misalkan, x bilangan rasional maka x dapat dinyatakan sebagai x = q , p,

q bilangan bulat dan q ≠ 0. Jika x dijumlahkan dengan bilangan irasional y, haruslah x + y irasional. Untuk membuktikan ini, misalkanlah x + y

m , m, n bilangan bulat dan n ≠ 0. n p = mq − np . q nq

rasional sehingga dapat ditulis x + y = Dari x + y =

m m , didapat y = n n

− x = −

Ini berarti, y bilangan rasional. Hal ini bertentangan dengan pemisalan. Jadi, jumlah dari suatu bilangan rasional dengan bilangan irasional adalah bilangan irasional.

3. Induksi Matematika Induksi matematika adalah proses pembuktian rumus umum dari beberapa hal khusus. Rumus ini harus berlaku untuk setiap bilangan asli. Tahap-tahap pembuktian dengan induksi matematika sebagai berikut. 1. Buktikan rumus tersebut berlaku untuk n = 1. 2. Misalkan rumus tersebut berlaku untuk n = k, buktikanlah bahwa rumus tersebut berlaku juga untuk n = k + 1.

CONTOH

Buktikan bahwa 13 + 23 + 33 + … + n3 = (

1 n (n + 1))2! 2

Jawab: 1 Misalkan p(n) = (n (n + 1))2 2

1 ⋅ 1 2

1

•

Untuk n = 1 ⇒ p(1) = (

•

Untuk n = 1, rumus berlaku sebab ruas kiri dan ruas kanan menghasilkan bilangan yang sama, yaitu 1. Misalkan rumus tersebut berlaku untuk n = k, maka 13 + 23 + 33 + … + k3 = (

•

⋅ (1 + 1))2 = ( 2 ⋅ 2)2 = 12 = 1.

1 k (k + 1))2 2

Selidiki, apakah rumus berlaku untuk n = k + 1? Untuk n = k + 1, didapat ruas kiri persamaan, 13 + 23 + 33 + … + k3 + (k + 1)3 (

1 k (k + 1))2 + (k + 1)3 2

1

= ( 2 k)2 (k + 1)2 + (k + 1) (k + 1)2 1



=  4 k 2 + k + 1   (k + 1)2 =

106

1 2 (k + 4k + 4) (k + 1)2 4


=

1 (k + 1)2(k + 2)2 4 2

1 =  2 ( k + 1)( k + 2)   

Pada ruas kanan persamaan, didapat ( 12 (k + 1) (k + 2)) 2. Untuk n = k + 1, ruas kiri dan ruas kanan menghasilkan bilangan yang sama. Jadi, 1 3 + 23 + 33 + … + n3 = ( 21 n (n + 1))2 berlaku untuk n = k dan untuk n = k + 1 atau untuk semua n bilangan asli.

ASAH KEMAMPUAN


Dengan bukti langsung, buktikan bahwa akar-akar persamaan kuadrat 2

ax

+ bx + c = 0 adalah

x1

= −b +

b 2 − 4 ac atau x2 2a

2.

Dengan bukti tak langsung, buktikan bahwa

3.

Buktikanlah bahwa: a. 1 + 2 b.

n − 1

= −b −

b 2 − 4 ac 2a

1 tidak terdefinisi! 0


+ 2 + . . . + 2 = 2 − 1 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 1

2

1 n(n 6

n

c. 12 + 22 + . . .

+ n2 =

d. 2 + 4 + 6

. . . + 2n = n(n + 1)

+

Bobot soal: 30

+ 1)(2n + 1)

Buktikan bahwa 12001 + 2 2001 + 3 2001 + . . . + 20012001 adalah kelipatan 13! Sumber:



107


Pernyataan adalah kalimat tertutup yang memiliki nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

2.

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum pasti nilai kebenarannya karena memuat variabel.

3.

Ingkaran suatu pernyataan p adalah pernyataan ~ p yang bernilai benar jika p bernilai salah dan bernilai salah jika p bernilai benar.

4.

Konjungsi bernilai benar jika dan hanya jika pernyataan-pernyataan tunggalnya bernilai benar.

5.

Disjungsi inklusif bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar atau salah satu pernyataan tunggalnya bernilai benar.

6.

Disjungsi eksklusif bernilai benar hanya jika salah satu pernyataan tunggalnya bernilai benar.

7.

Suatu implikasi bernilai salah hanya jika hipotesa bernilai benar dan konklusi salah.

8.

Suatu biimplikasi p ↔ q bernilai benar jika pernyataan p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama.

9.

Pernyataan majemuk yang ekuivalen q → p disebut konvers dari implikasi p → q " ~ p → ~ q disebut invers dari implikasi p → q " ~ q → ~ p disebut kontraposisi implikasi p → q " p → q ≡ ~ q → ~ p artinya implikasi ekuivalen dengan kontraposisi " q → p ≡ ~ p → ~ q artinya konvers dari implikasi ekuivalen dengan invers dari impliksi " tersebut

10. Ingkaran dari pernyataan majemuk ~ ( p → q ) ≡ p ∧ ~ q artinya ingkaran dari p → q adalah p ∧ ~ q " "

" "

≡ ( p ∧ ~ q ) ∨ ( q ∧ ~ p ) artinya ingkaran dari adalah ( p ∧ ~ q ) ∨ ( q ∧ ~ p ) ~ ( p ∧ q ) ≡ ~ p ∨ ~ q artinya ingkaran dari p ∧ q adalah ~ p ∨ ~ q ~ ( p ∨ q ) ≡ ~ p ∧ ~ q artinya ingkaran dari p ∨ q adalah ~ p ∧ ~ q ~ ( p

↔

q)

p

↔

q adalah

11. Ingkaran pernyataan berkuator eksistensial adalah pernyataan berkuator universal dengan kalimat

terbukanya menjadi ingkaran. Dinotasikan dengan, ~ [∃x M( x )] ≡ ∀x [~M( x )] 12. Ingkaran pernyataan berkuator universal adalah pernyataan berkuator eksistensial dengan kalimat

terbukanya menjadi ingkaran. Dinotasikan dengan, ~ [∀x M( x )] ≡ ∃x [~M( x )]

108


Ulangan Bab 5 I.


1.

Nilai kebenaran dari ~ p ⇒ q adalah . . . . a. p ∨ q d. q ⇒ ~ p b. p ∧ q e. ~p ∨ ~q c. q ⇒ p

2. Ji ka pe rn ya ta an p bernilai salah dan pernyatan q bernilai benar, maka pernyataan berikut yang bernilai salah adalah . . . . a. ~p ∨ q d. ~p ⇒ ~q b. p ⇒ q e. ~p ∧ q c. p ∧ q 3.

Pernyataan (~ p ∨ q) ∧ dengan pernyataan . . . a. p ⇒ q b. p ⇒ ~q c. ~p ⇒ ~q

Perhatikan kalimat berikut! “Meskipun hari ini hujan pak Dodi harus berangkat bekerja.” Pernyataan tersebut ekuivalen dengan . . . . a. Hari ini hujan sehingga Pak Dodi tidak berangkat bekerja b. Memang benar hari ini hujan dan Pak Dodi tidak berangkat bekerja c. Hari ini tidak hujan dan Pak Dodi berangkat bekerja d. Hari ini tidak hujan dan Pak Dodi tidak berangkat bekerja e. Memang hari ini hujan dan Pak Dodi tidak berangkat bekerja.


Ingkaran yang benar dari kalimat majemuk “Saya lulus SPMB dan saya senang.” adalah . . . . a. saya lulus SPMB dan saya tidak senang b. Saya tidak lulus SPMB dan saya senang c. Tidak benar saya lulus SPMB dan saya tidak senang d. saya tidak lulus SPMB atau saya tidak senang e. saya tidak lulus SPMB atau saya senang

7.

Perhatikan kalimat ”Jika ia berusaha, maka ia berhasil” Kontraposisi kalimat tersebut adalah . . . . a. Jika ia tidak berusaha, maka ia tidak berhasil b. Jika ia berhasil maka ia berusaha c. Jika ia berhasil maka ia tidak berusaha d. Jika ia tidak berhasil, maka ia tidak berusaha e. Ia tidak berusaha, tetapi ia berhasil

8.

Perhatikan kalimat berikut! “Sepertinya Andini lulus Matematika dan mendapat nilai 10 jika dan hanya jika tidak pernah bolos sekolah.” p: Andini lulus Matematika q: Andini mendapat nilai 10 r : Andini pernah bolos sekolah Maka pernyataan tersebut ekuivalen dengan . . . . a. ( p ∨ q) ⇔ r d. ( p ∨ q) ⇔ ∼ r b. r ⇔ ( p ∧ q) e. ( p ∧ q) ⇔ ∼ r c. ( p ∨ q) ⇔ r

9.

Pasangan pernyataan p dan q yang memenuhi p ⇔ q adalah . . . . a. p : x ganjil, q : 3x genap b. p : x ganjil, q : 2x + 1 genap c. p : x genap, q : −3x genap

( p ∨ ~q) ekuivalen . d. ~p ⇒ q e. p ⇔ q

4. Jika ~ p menyatakan ingkaran p dan ~q menyatakan ingkaran q, maka kalimat p ⇒ q ekivalen dengan . . . . a. ~p ∨ q d. ~p ⇒ q b. ~q ⇒ p e. q ⇒ p c. q ⇒ ~p 5.

6.

109

d. p : x2 − x < 2, q : −1 < x < 2 e. p : x2 − x < 2, q : −6 < x < -3 10. Diberikan pernyataan “Jika x = 3 maka x2 = 9” Ingkaran dari pernyatan tersebut adalah . . . . a. x ≠ 3 dan x2 = 4 b. x ≠ 3 atau x2 = 4 c. x = 2 dan x2 ≠ 4 d. x ≠ 2 atau x2 ≠ 4 e. x ≠ 3 atau x2 = 2

d. Jika 4 < 2 maka 7 < 10 e. Syarat perlu dan cukup supaya segitiga ABC samasisi adalah ketiga sisinya sama panjang 3.

Misalkan p: Dedi siswa SMA q: Dedi tidak suka Matematika Tuliskan lambang-lambang penyataan berikut menjadi kalimat yang sederhana! a. p ∧ q d. ~( p ∨ q) b. p ∨ q e. ~ p → ~q c. ~( p ∧ q)

4.

Buktikan bahwa untuk semua bilangan asli


2.

110

“Jika saya rajin belajar maka saya akan lulus ujian” Dari pernyatan tersebut, tentukanlah: a. Kontraposisi b. Invers c. konvers Nyatakan tiap pernyataan berikut ke dalam bentuk lambang dan tentukanlah nilai kebenarannya! a. Pemenangnya Jelita atau Selly b. Sumbangan diharapkan berupa uang atau barang c. 1 > 3 jika dan hanya jika 1 > 4

n, 1

+ 2 + . . . + n = n + 1 2

5.

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, (2n + 1)2 − 1 habis dibagi 8!

6.

Tentukan ingkaran dari tiap pernyataan berikut! a. Ada siswa yang bolos sekolah b. Setiap orang suka olah raga c. Semua peserta seminar mendapatkan setifikat d. Beberapa guru berasal dari Solo


B A

Trigonometri

B


♦

Kamu dapat mengubah ukuran Sudut dari derajat ke radian dan sebaliknya.

♦

Kamu dapat menentukan sinus, kosinus, dan tangen suatu sudut. Kamu dapat menentukan besarnya

♦

suatu sudut yang nilai sinus, kosinus dan tangennya diketahui.

♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Utut bermain layang-layang tepat pukul 12.00. Pada ketinggian tertentu,ia ingin mengetahui tinggi layang-layangnya. Untuk itu, ia mengulur benangnya dan mengukur sudut yang dibentuk oleh benang dengan tanah menggunakan busur derajat. Setelah itu, dengan menggunakan salah satu perbandingan trigonometri, ia mengukur tinggi layang-layangnya. Perbandingan trigonometri apakah yang digunakan Utut? Untuk mengetahuinya dan memahami konsep-konsepnya, marilah kita pelajari bab berikut dengan baik.

Kamu dapat menggunakan kalkulator untuk mentukan nilai perdekatan fungsi trigonometri dari besar sudutnya. Kamu dapat menggunakan rumus sinus dan kosinus dalam penyelesaian soal. Kamu dapat mengkontruksi grafik fungsi sinus dan kosinus menggambarkan grafik fungsi tangen. Kamu dapat menggunakan identitas trigonometri dalam penyelesaian soal. Kamu dapat membuktikan beberapa identitas trigonometri yang sederhana.

♦

Kamu dapat menghitung luas segitiga yang komponennya diketahui.

♦

Kamu dapat membuktikan rumus sinus dan rumus kosinus.

♦

Kamu dapat menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya memuat ekspresi trigonometri.

♦

Kamu dapat menentukan besaran dalam masalah yang dirancang sebagai

♦

variabel yang berkaitan dengan ekspresi trigonometri. Kamu dapat merumuskan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan fungsi trigonometri, rumus sinus, dan rumus kosinus.

A. Ukuran Sudut dalam Radian

1 rad

Dalam trigonometri, selain menggunakan ukuran sudut dalam derajat, dapat juga digunakan ukuran sudut yang lain, yaitu radian. Ukuran suatu sudut dalam radian adalah perbandingan antara panjang busur di depan sudut itu dengan panjang jari–jari lingkaran dari busur itu. Dengan demikian, dapat didefinisikan ukuran sudut satu radian sebagai ukuran sudut yang terbentuk pada lingkaran dengan panjang busur sama dengan jari–jarinya. Besar sudut satu putaran penuh dalam derajat adalah 360°. Jika dinyatakan

r

A

B r

dalam radian, 360°

=

Keliling lingkaran Jari-jari lingkaran

= π r rad = 2π rad 2 r

O

Dari uraian tersebut, diperoleh: 2π rad = 360°

π rad =

360 2

=

180 π

1 rad



= 180°



180 = 57,3°. 3,14 

Jika π = 3,14 maka 1 rad =

Karena 1° = 60’ (60 menit) maka 1 rad = 57,3° = 57°18’. Dari 1 rad = 57,3°, bagilah kedua ruas dengan 57,3 . 1 57, 3 rad = 57, 3 57, 3



⇒ 0,017 rad = 1°

Satuan sudut dalam radian biasa disingkat rad atau biasanya tidak ditulis. • • •

π rad = 180° 1 rad = 57,3° = 57°18’ 1° = 0,017 rad

Jadi, 1° = 0,017 rad.

CONTOH

1.

30 rad = 30 ⋅ 1 rad = 30 ⋅ 57,3° = 1719°

2.

30° = 30 ⋅ 1° = 30 ⋅

π π rad = rad 180 6

28 60



3.

112

286°28’48’’

+

48 3600 

= 286° + = 286° + 0,467° + 0,013° = 286,48° = 286,48 ⋅ 1° = 286,48 ⋅ 0,017 rad = 4,87 rad Matematika Aplikasi SMA Kelas X

Asah Kompetensi

1

1.

Ubahlah dari derajat ke radian! a. 5° e. 175° b. 25° f. 120° c. 45° g. 310° d. 220° h. 130°

2.

Ubahlah dari radian ke derajat. Nyatakanlah jawabannya sampai ke menit dan detik! a.

b. 1 c.

1 4

e.

3,2 rad

5 5 π rad 6 6

f.

−0,9 rad −11,4 rad

1 π rad

1 − π rad

d. 0,3 π rad 3.

g.

h. 69,96 rad

Pagi ini, Utut terbangun karena mendengar weker berdering. Weker tersebut berdering tepat pukul 05.00. Berapa derajat dan berapa radiankah besar sudut yang dibentuk oleh jarum panjang dan jarum pendek jam weker tersebut ketika berdering?

B. Perbandingan Trigonometri dari suatu Sudut Segitiga Siku-siku B

Perhatikan segitiga ABC di samping! Segitiga ABC siku–siku di A. BC disebut sisi miring dengan panjang r . AB disebut sisi di depan sudut C dengan panjang y, sedangkan AC disebut sisi di samping sudut C dengan panjang x.

r

Pada segitiga siku–siku ABC ini didefinisikan perbandingan trigonometri sebagai berikut.

θ

•

sin ∠C =

sisididepan ∠C sisimiring

•

cos ∠C =

sisidisamping ∠C x = sisimiring r

•

tan ∠C =

sisididepan∠C y = sisi di samping sudutθ x

Bab 6 Trigonometri

=

C

y

x

A

y r

113

CONTOH

1.

Perhatikan segitiga PQR yang siku–siku di Q berikut! R 13 cm 5 cm P

Q

Hitunglah nilai sin ∠P, cos ∠P, tan ∠P, dan besar ∠P! Jawab:

Pada segitiga PQR yang siku–siku di Q, kamu dapat menentukan panjang PQ dengan teorema Pythagoras. PR2 = PQ2 + QR2 13 2 = PQ2 + 5 2 169 = PQ2 + 25 PQ 2 = 169 − 25 PQ2 = 144 PQ = 12 cm sehingga, sin ∠P =

QR PR

=

cos ∠P =

PQ PR

= 12

QR PQ

=

5 13 13

maka tan ∠P

=

5 12



5



∠P = tan–1  12   = 22,62°.  5   12   = 22,62° diperoleh dengan menggunakan kalkulator.

Nilai tan–1 

Tekan tombol

5

:

=

12

inv

Pada layar kalkulator akan tampil angka

tan 22,61986495

Pembulatan sampai dua desimal menghasilkan 22,62. Jadi, besar ∠P adalah 22,62°. 2.

Perhatikan segitiga ABC yang siku-siku di B berikut! Jika ∠C = 40° dan panjang sisi AB = 20 cm, tentukanlah panjang sisi AC dan BC ! C 40°

A

114

20 cm

B


Jawab: Karena segitiga ABC siku-siku, maka pada segitiga ABC berlaku

perbandingan trigonometri, yaitu sin 40° = • sin 40° =

AB AC

⇒ AC =

AB sin 40



=

20 0, 64

AB dan tan 40° AC

=

AB . BC

= 31,25

Jadi, panjang sisi AC adalah 31,25 cm. • tan 40° =

AB AB ⇒ BC = tan 40 BC



=

20 0, 84

= 23,81

Jadi, panjang sisi BC adalah 23,81 cm.

Asah Kompetensi 1.

2

Perhatikan segitiga ABC yang siku-siku di C di bawah! Tentukanlah: B C a. Panjang sisi BC b. sin ∠ A, cos ∠A, tan ∠ A 7 cm c. sin ∠B, cos ∠B, tan ∠B d. sin ∠C , cos ∠C , tan ∠C 24 cm A e. Besar ∠ A, ∠B, dan ∠C

S

   

2.

3.

Perhatikan gambar di samping! Coba tentukanlah besar sudut θ dan panjang PQ!

P

θ

θ

Perhatikan segitiga DEF yang siku-siku di E di samping! Tentukanlah: a. Panjang sisi DE dan DF b. sin ∠F , cos ∠F , tan ∠F c. Besar ∠F



y

R

Q

F

61°

17 cm

D E

Dua pos pengamat hutan terletak di sisi jalan. Pengamat di pos pertama melihat kebakaran dengan sudut 38°, sedangkan pengamat di pos kedua melihat kebakaran tersebut dengan sudut 53° arah barat. Jika jarak pengamat kedua pos tersebut 25 km, tentukanlah: a. ja ra k lo ka si ke bak ar an de ng an ma si ng –m as in g pengamat! b. jarak terpendek lokasi kebakaran dengan jalan!

Bab 6 Trigonometri

115

C. Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Istimewa (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) • Y B

P (x, y)

r

O

α x

y

sin 0°

A

Q

y 0 = r = r = 0 , cos 0° =

Akibatnya, sin 90° =

y r

= r = 1

cos 90° =

x r

= 0 =0

B

tan 90° 60º

D Gambar 6.1 Segitiga ABC yang siku-siku di B.

r

Jika α = 90° maka titik P berimpit dengan titik B dan titik Q berimpit dengan titik O sehingga x = 0 dan y = r .

60º

30º 30º

= r = 1 ,

tan 0°

•

A

x r

y 0 = x = r = 0 . Jadi, sin 0° = 0, cos 0° = 1, dan tan 0° = 0.

X

C

Jika α = 0° maka segitiga PQO menjadi garis lurus sehingga titik P dan titik Q berimpit di titik A. Akibatnya, x = r dan y = 0. Perbandingan trigonometri untuk a = 0° adalah:

=

r

r

y x

= r (tidak terdefinisi) 0

Jadi, sin 90° = 1, cos 90° = 0, dan tan 90° tidak terdefinisi. Sekarang, perhatikan Gambar 6.1! Besar ∠BAC = 30° sehingga besar ∠ ACB = 60°. Pencerminan segitiga ABC terhadap sisi AB menghasilkan segitiga ABD yang kongruen dengan segitiga ABC . Sisi AB pada segitiga ABC berimpit dengan sisi AB pada segitiga ABD sehingga menghasilkan segitiga ADC yang merupakan segitiga samasisi. Akibatnya, besar ∠DAC = 60° dan sisi AC = DC = AD. Misalkan, panjang sisi AC = r maka BC =

1 1 DC = r. 2 2

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kamu dapat menentukan panjang sisi AB. AB2 = AC 2 – BC 2 AB2 = r 2 – (

1 2 r ) 2

⇒ AB2 = r 2 – AB2 = AB =

cos 30°

116

= =

3 2 r 4

3 r 2 4

BC = AC

1 r 3 2 1 r 2 =1 r 2

AB AC

1 r 3 2 r

AB = Akibatnya, sin 30°

1 2 r 4

=

=1 2

3


BC AB 1 r 2 =1 = 1 =1 3 3 3 r 3 2 1 1 1 3 . 3 , dan tan 30° = Jadi, sin 30° = , cos 30° = 3 2 2

tan 30°

=

Perhatikan kembali segitiga ABC dengan ∠C = 60°. 1 r 3 sin 60° = AB = 2 =1 3 AC r 2 1 r cos 60° = BC = 2 = 1 AC r 2 1 r 3 AB 2 tan 60° = BC = 1 = 3 r 2 1 1 3 , cos 60° = , dan tan 60° Jadi, sin 60° = 2 2

=

3 .

Perhatikan Gambar 6.2! Segitiga DEF siku–siku di E. Dapat digunakan teorema Pythagoras untuk menentukan panjang sisi DF .

F 45º

DF 2 = DE2 + EF 2 = x2 + x2 = 2x2 DF = x 2 Dengan menggunakan perbandingan trigonometri akan diperoleh sin 45°

=

EF = x DF x 2

=

1 2

=1

2

cos 45°

=

DE = x DF x 2

=

1 2

=1

2

tan 45°

=

Jadi, sin 45° =

EF DE

2

2

45º

D

x

E

Gambar 6.2 Segitiga DEF siku-siku samakaki.

= x =1 x

1 2 , cos 45° 2

=

1 2 , dan tan 45° =1. 2

Untuk memudahkanmu menggunakan perbandingan trigonometri sudut istimewa ini, berikut disajikan dalam bentuk tabel. Fungsi Trigonometri

Sudut

0°

30°

45°

60°

90°

Sinus

0

1 2

1 2 2

1 3 2

1

Kosinus

1

1 3 2

1 2 2

1 2

0

Tangen

0

1 3 3

1

Bab 6 Trigonometri

3

∞ 117

Tentukanlah nilai dari: sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°! Jawab:

CONTOH

sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°

=

1 1 1 1 3⋅ 2+ ⋅ 2 2 2 2 2

=1

2 (1 + 3 )

4

D. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi 1. Relasi di Kuadran I A

Perhatikan Gambar 6.3! Karena jumlah sudut–sudut pada segitiga 180°, maka pada segitiga ABC di samping, haruslah 90° + θ + α = 180°. Jadi, α = 90° − θ Dengan perbandingan trigonometri, kamu dapatkan:

α r

y

θ

x

C

B

x = cos θ r y = sin θ cos (90° − θ ) = cos α = r x 1 tan (90° − θ ) = tan α = y = tan α

sin (90° − θ ) = sin α =

Jadi, sin (90° − θ ) = cos θ , cos (90° − θ ) = sin θ , dan tan (90° − θ ) =

Gambar 6.3. Segitiga ABC .

1 . tan θ

sin25 cos65 ! 

CONTOH

Tentukanlah nilai tan 25° ⋅ tan 65° −



Jawab:

tan 25°⋅ tan 65° −

sin25 cos65





sin25 = tan 25°⋅ tan (90° – 25°) − cos(90 − 25 ) 



1 = tan 25°⋅ tan 25





sin25 sin 25 ) 

−



= 1 − 1 = 0 y A′ (–x,y)

A(x, y) r

r y

180º – θ

−x

θ

O

P x

x

2. Relasi di Kuadran II Perhatikan Gambar 6.4! Sudut(180°− θ ) pada gambar di samping merupakan pelurus sudut θ . Titik A(x,y) dicerminkan terhadap sumbu–y menghasilkan bayangan A’(– x,y). Dengan perbandingan trigonometri, kamu dapat:

Gambar 6.4. Titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu-y.

sin (180° − θ ) = cos (180° − θ ) = tan (180° − θ ) =

y r

= sin θ

−x r y −x

= −cos θ = −tan θ

Jadi, sin (180° − θ ) = sin θ , cos (180° − θ ) = −cos θ , dan tan (180° − θ ) = −tan θ . 118


CONTOH

Tentukanlah nilai cos 120°! Jawab:

cos 120° = −cos (180° − 60°) = −cos 60° = −

1 2

3. Relasi di Kuadran III

Y

Perhatikan Gambar 6.5! Titik A(x,y) diputar setengah putaran terhadap titik O menghasilkan bayangan A’(−x,−y). Dengan perbandingan trigonometri akan diperoleh sin (180° + θ ) =

−y

r x cos (180° + θ ) = r

tan (180° + θ ) =

= −sin θ

x

180º + θ

θ O x

−x

X

A′( − x, − y)

= −cos θ

−y

A(x, y) r y

= tan θ

Jadi, sin (180° + θ ) = −sin θ , cos (180° + θ ) = −cos θ , dan

tan (180° + θ ) = tan θ .

Gambar 6.5. Titik A( x, y) diputar setengah putaran terhadap titik O.

CONTOH

Tentukanlah nilai dari: cos 240°! Jawab:

tan 240° = tan (180° + 60°) = tan 60° =

3

4. Relasi di Kuadran IV Perhatikan Gambar 6.6! Titik A(x,y) dicerminkan terhadap sumbu-x menghasilkan bayangan A′(x,−y). Dengan perbandingan trigonometri akan diperoleh sin (360° − θ ) cos (360° − θ ) tan (360° − θ )

−y

Y

= r = −sin θ x = r = cos θ

360° − θ

O

−y

= x = −tan θ Jadi, sin (360° − θ ) = −sin θ , cos (360° − θ ) = cos θ , dan tan

r

(360° − θ ) = − tan θ .

A(x, y) r y

−θ θ

X

A′(x, –y)

Gambar 6.6. Titik A dicerminkan terhadap sumbu-x.

5. Relasi Antara Sudut Positif dan Sudut Negatif Perhatikan kembali Gambar di atas! Pada gambar, tampak sudut (360° − θ ) = sudut (−θ ) Akibatnya, sin (−θ ) = sin (360° − θ ) = −sin θ cos (−θ ) = cos (360° − θ ) = cos θ tan (−θ ) = tan (360° − θ ) = −tan θ Jadi, sin (−θ ) = −sin θ , cos (−θ ) = cos θ , dan tan (−θ ) = −tan θ . Bab 6 Trigonometri

119

CONTOH

Tentukanlah nilai sin (−315°)! Jawab:

sin (−315°) = −sin 315° = −sin (360° − 45°) = −(−sin 45°) =

Asah Kompetensi 1.

sin 240°

b. cos 225 ° c.

tan 120°

d. sin (−225°)

5π ) 3

e.

tan 390°

i.

sin ( −

f.

tan 315°

j.

tan (1 21 π )

g.

cos (–45°)

h. cos

7π 4

Diketahui perbandingan trigonometri berikut. Tentukanlah perbandingan trigonometri lainnya! a.

sin α =

b. cos β = c. 3.

3

Tentukanlah nilai dari: a.

2.

1 2 2

4 , α di kuadran II 5 4 − 5 , β di kuadran III

tan γ = 2,4, γ di kuadran III

Sederhanakanlah! a. cos (270° + θ ) + cos (270° − θ ) + tan (270° + θ ) b. sin x

+

sin 45 sin15 cos135 cos105 

c.

3π – x) 2

cos ( 





d. (sin 20° − cos 110°)(sin 20° + cos 110°) 4.

Selidiki kebenaran pernyataan berikut! a.

tan θ

+ tan (180° − θ ) +

b. Jika x + y = c.

sin 0,7π

−

d. sin (π + x)

120

1 tan(90



+ θ ) = tan (360° − θ )

3π , maka cos x − sin y = 0 2

sin 0,3π = 0

+

cos (x − 0,5π) = 0


GaMeMath Utut tersesat di sebuah hutan. Di tengah hutan tersebut, ia menemukan pohon-pohon yang bertuliskan perbandingan trigonometri. Ia bingung. Namun kemudian, ia menemukan batu yang bertuliskan petunjuk untuk keluar dari hutan itu, yaitu harus melewati pohonpohon yang nilai perbandingan trigonometrinya 1. Bantulah Utut menemukan jalan pulang tersebut! Pohon-pohon tersebut bertuliskan seperti pohon berikut ini. pohon mana sajakah yang sama dengan 1? 1 , sin 30

sin 90°



1 , sin0 

1 cos0

tan 45



sin 60°

1 tan 45



cos 90°

tan 90°

cos 0°

Sumber: New Syllabus Mathematics 3

E. Identitas Trigonometri Perhatikan Gambar 6.7! Telah diketahui bahwa sin θ = Dari sin θ = Dari cos θ =

y r x r

y x dan cos θ = . r r

⇒ y = r sin θ . r

⇒ x = r cos θ .

Pada segitiga siku–siku, berlaku teorema Pythagoras, yaitu: x2 + y2 = r 2 (r cos θ )2 + (r sin θ )2 = r 2 r 2 cos2 θ + r 2 sin2 θ = r 2 r 2 (cos2 θ + sin2 θ ) = r 2 cos2 θ + sin2θ = 1 atau sin2 θ + cos2 θ = 1 Perhatikan kembali segitiga di atas! Dari segitiga di atas diperoleh tan θ =

y

θ x Gambar 6.7 Segitiga sikusiku.

y . x

Bagilah pembilang dan penyebut dengan r . tan θ =

y r x r

=

Jadi, tan θ =

sin θ cos θ sin θ . cos θ

Bab 6 Trigonometri

121

Identitas trigonometri untuk setiap sudut adalah sebagai berikut. • sin2 θ + cos2 θ = 1 • tan θ =

1.

CONTOH

sin θ cosθ

Tentukanlah nilai dari sin2 25° + sin 2 65°! Jawab:

sin2 25° + sin 2 65° = sin2 25° + sin2 (90° − 25°) = sin2 25° + cos2 25° = 1 2.

Buktikan bahwa 3 cos4θ + 6 sin2θ = 3 + 3 sin4θ ! Jawab: 3 cos4θ + 6 sin2θ = 3 (cos2θ )2 + 6 sin2θ = 3 (1 − sin2θ )2 + 6 sin2θ = 3 (1 − 2 sin2θ + sin4θ ) + 6 sin2θ = 3 − 6 sin2θ + 3 sin4θ + 6 sin2θ = 3 + 3 sin4θ

Asah Kompetensi

4 1 3

1. Jika θ di kuadran IV dan sin θ = − , tentukanlah nilai cos θ dan tan θ ! 2. Jika p − q

= cos A dan =

3. Jika tan B =

2 pq sin A, tentukanlah p2 + q 2 !

3 14 sin B − 3 cos B , tentukan ! 7 7 sin B − 5 cos B

4.

tan 2 θ − sin 2 θ = tan 4 θ ! Buktikan bahwa 2 1 − sin θ

5.

Buktikan bahwa

tan θ − 1 sin θ + cos θ × tan θ + 1 sin θ − cosθ

= 1!

Info sains Trigonometri pertama sekali diperkenalkan oleh bangsa Yunani Kuno. Tetapi bukti sejarah menunjukkan bahwa kebudayaan Mesir Kuno telah menggunakan trigonometri dalam membangun piramida.

122


ASAH KEMAMPUAN

1

Waktu: 60 menit 1.

Gambarlah segitiga siku–siku dengan ukuran tertentu sesuai dengan perbandingan trigonometri berikut! a. tan ∠ A = 1,2 b. cos ∠E = 0,35 c. sin ∠H = 0,7

Bobot soal: 10

E D C

2.

Pada gambar berikut, panjang OA = AB = BC = CD = DE = x cm. Tentukanlah cos ∠DOE!

Bobot soal: 20 O

3.

B

Hitunglah!

A

a. sin 120° × cos 45° × (cos 45°) 2

2

Bobot soal: 20

2

2 2 2 b. cos 120 × sin 240 tan 60 





tan 2 ( −315 ) 

c. cos232 + cos 258

4.

1 − tan 2 t Buktikan bahwa 1 + tan 2 t

5.

Buktikan bahwa

Bobot soal: 25

= 1 − 2 sin 2 t !

1 − sin t = cos t ! sin t tan t

Bobot soal: 25

A

Pada gambar berikut, AP dan CQ masing–masing tegak lurus terhadap BC dan AB. Jika AP : CQ= 3 : 4, tentukan nilai dari AP dan BC ? Sumber: New

Q

Syllabus Mathematics 2

B

Bab 6 Trigonometri

P

C

123

f(x) sin x

F. Grafik Fungsi Trigonometri

1 1 3 2 1 2

1. Grafik Fungsi Sinus

2 1 2

Untuk menggambar grafik fungsi sinus, tuliskan dulu nilai sinus sudut– sudut istimewa pada kuadran I sampai kuadran IV seperti pada tabel berikut.

π

0

π 2

3π 2

1 2

2 π

1 2 1 2

π f ( x ) = sin x , 0 ≤ x ≤ π

2

-1

Gambar 6.8 Grafik f (x) = sin x

x

0

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π 6

π

f ( x )

0

1 2

1 2 2

1 3 2

1

1 3 2

1 2 2

1 2

0

π < x ≤ 2π f ( x ) = sin x , π 7π 6

–

1 2

5π 4

–

1 2 2

–

4π 3

3π 2

1 3 2

–1

5π 3

–

1 3 2

–

7π 4

11π 6

2π

1 2 2

–

1 2

0

Dengan nilai–nilai fungsi sinus ini, buatlah grafik f (x) = sin x, 0 ≤ x ≤ 2π . Gambar grafik fungsi f (x) = sin x, domainnya 0 ≤ x ≤ 2π (dalam radian)

Dari grafik tersebut, kamu dapat menyimpulkan sifat–sifat fungsi sinus sebagai berikut: a.

 π 

Titik balik maksimum pada interval 0 ≤ x ≤ 2π adalah titik  2 , 1  .  

 3π , −1    . 2

b. Titik balik minimum pada interval 0 ≤ x ≤ 2π adalah titik 

c. Titik potong dengan sumbu–x adalah (0, 0), (π , 0), dan (2 π, 0). d. Untuk 0 < x < π , f (x) > 0 dan untuk π < x < 2 π , f (x) < 0.

2. Grafik Fungsi Kosinus

f(x) cos x

Untuk menggambar grafik fungsi kosinus, tuliskan dulu nilai kosinus sudut–sudut istimewa pada kuadran I sampai kuadran IV seperti pada tabel berikut.

1 1 3 2 1 2

2

1 2

π 2

0 1 2

π 3π 2

2 π

π f ( x ) = cos x , 0 ≤ x ≤ π

2

1 2 2

1 2

x

0

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

f ( x )

1

1 3 2

1 2 2

1 2

0

−2 −2

1

1

5π 6

π

-1

Gambar 6.9 Grafik f (x) = cos x

124

2

1

−2

3

−1


π < x ≤ 2π f ( x ) = cos x , π 7π 6

1

−2

4π 3

5π 4 3

1

−2

3π 2

5π 3

7π 4

11π 6

2π

0

1 2

1 2 2

1 3 2

1

1

−2

2

Dengan nilai–nilai fungsi kosinus ini, buatlah grafik f (x) = cos x, 0 ≤ x ≤ 2π. Gambar grafik fungsi f (x) = cos x, domainnya 0 ≤ x ≤ 2π (dalam radian)

Dari grafik tersebut, kamu dapat menyimpulkan sifat–sifat fungsi kosinus sebagai berikut: a. Titik balik maksimum pada interval 0 ≤ x ≤ 2π adalah titik (0, 1) dan (2π , 1). b. Titik balik minimum pada interval 0 ≤ x ≤ 2π adalah titik (π , –1).

    Titik potong dengan sumbu–x adalah  2 , 0  dan  2 , 0  .     π π 3π 3π d. Untuk 0 ≤ x < dan < x ≤ 2π , f (x) > 0 dan untuk < x < , f (x) < 0. π

c.

2

3π

2

2

2

f(x) = tan x

3. Grafik Fungsi Tangen Nilai–nilai tangen untuk sudut–sudut di kuadran I sampai kuadran IV disajikan pada tabel berikut. f ( x ) = tan x , 0 ≤ x ≤ 2π

π 2

x

0

π 4

π 2

3π 4

π

5π 2

3π 2

7π 4

2π

f ( x )

0

1

∞

−1

0

1

∞

−1

0

π

3π 2

2 π

Gambar 6.9 Grafik f (x) = tan x.

Dengan nilai–nilai fungsi tangen ini, buatlah grafik f (x) = tan x, 0

≤ x ≤ 2π .

Gambar grafik fungsi f (x) = tan x, domainnya 0 ≤ x ≤ 2π (dalam radian)

Dari grafik tersebut, kamu dapat menyimpulkan sifat–sifat fungsi tangen sebagai berikut. a.

Tidak mempunyai titik balik

b. Garis x = c.

3π π dan x = disebut asimtot 2 2

Titik potong dengan sumbu–x adalah (0, 0), (π, 0), dan (2π , 0) 3π π dan π < x < , f (x) > 0 2 2 3π π Untuk < x < π dan < x < 2π , f (x) < 0 2 2

d. Untuk 0 < x < e.

Bab 6 Trigonometri

125

2

ASAH KEMAMPUAN

Waktu: 90 menit Gambarlah grafik fungsi trigonometri berikut untuk 0 ≤ x ≤ 2π . Kemudian, tentukanlah ciri-cirinya! 1. f (x) = 2 sin x 4. f (x) = −2 cos 2x 2. g(x) = 1 + sin 2x 5. g(x) = 1 + 2 tan x 3. h(x) = 2 cos x

Bobot soal: 100

G. Persamaan Trigonometri Persamaan trigonometri adalah persamaan yang variabelnya merupakan besar sudut dalam trigonometri tersebut. Misalnya, sin x = 21 2 dan sin x = tan x. Menyelesaikan persamaan trigonometri berarti menentukan besar sudut yang memenuhi persamaan tersebut.

CONTOH

1.

Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan 3 tan x = 1! Jawab: 3 tan x = 1 1 3 tan x = 3 π

tan x = tan

6

Jika x pada kuadran I dan III maka tan x > 0.

π . 6 π 7π 7π Pada kuadran III, tan x = tan (π + ) = tan . Didapat x = . 6 6 6 7π π Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah atau . 6 6

Pada kuadran I, didapat x =

2.

Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan 8 sin3 x = 1! Jawab: 8 sin3x

sin3x

= 1 1 =8

sin x

=

1 2

Untuk sin x =

1 2

didapat sin x = sin

π 6

Jika x pada kuadran I dan II maka sin x > 0. Pada kuadran I, didapat x =

π . 6

5π 5π π ) = sin . Didapat x = . 6 6 6 5π π Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah atau . 6 6

Pada kuadran II, sin x = sin (π −

126


3

ASAH KEMAMPUAN

Waktu : 60 menit Bobot soal: 100

Untuk 0 ≤ x ≤ 2π , tentukan nilai variabel yang memenuhi persamaanpersamaan berikut! 5. 6.

(sin y + cos y )2 = 1 2 cos22x + cos 2x − 3 = 0

3.

4 cos2x =3 π 2 cos (3x + ) = 3 6 − cos r 3 sin r = 0 3

7.

3 tan2x − tan x = 2

4.

tan2 2x − 3 = 0

8.

sin2t = 2 cos t

1. 2.

H. Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Luas Segitiga 1. Aturan Sinus

C

Perhatikan segitiga ABC di samping! Pada segitiga ADC , sin A = Pada segitiga BDC , sin B =

t . Didapat t = b sin A. b t . Didapat t = a sin B. a

Dari t = b sin A dan t = a sin B, diperoleh: b sin A = a sin B

a

b

A

t

D

c

B

a = b sin A sin B a = c sehingga sin A sin C b = c sin B sin C

Dengan cara yang sama, akan diperoleh a = sin A

Aturan ini disebut aturan sinus.

Pada setiap segitiga, perbandingan antara panjang sebuah sisi dengan sinus sudut di depannya sama dengan perbandingan panjang sisi lain dengan sinus sudut di depan sisi itu pula.

Bab 6 Trigonometri

127

CONTOH

Segitiga PQR memiliki panjang sisi PQ = 7,6 cm. Jika besar sudut PQR = 45,5° dan besar sudut PRQ = 66,9°, tentukanlah panjang sisi PR! Jawab: Panjang sisi PQ adalah r = 7,6 cm. Dengan menggunakan aturan sinus, didapat: q sin Q

=

r sin R

q sin 45, 5



=

7, 6 sin 66, 9



7, 6

q = sin66,9 .sin 45,5 = 5,89 Jadi, panjang sisi PR adalah q = 5,89 cm. 



2. Aturan Kosinus C b

a

t x

A

B

D c

Perhatikan segitiga ABC berikut ini. Segitiga ABC adalah segitiga sebarang dengan panjang sisi AB = c, panjang sisi BC = a, dan panjang sisi AC = b. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kamu dapat menentukan panjang garis tinggi seperti berikut. t2 = b2 − x2 … Persamaan 1 2 2 2 t = a − (c − x) … Persamaan 2 t2 pada Persamaan 1 substitusi ke Persamaan 2, didapat b2 − x2 = a2 − (c − x)2 b2 − x2 = a2 − c2 + 2cx − x2 b2 = a2 − c2 + 2cx b2 = a2 − c2 + 2cb cos A a2 = b2 + c2 − 2bc cos A Persamaan tersebut adalah aturan kosinus untuk menentukan panjang sisi BC atau a. Dengan cara yang sama, kamu dapat menurunkan aturan kosinus untuk menentukan panjang sisi AB dan AC .

Aturan kosinus untuk menentukan panjang sisi AB adalah c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

C

sedangkan aturan kosinus untuk menentukan panjang sisi AC adalah b2 = a2 + c2 − 2ac cos B

b a

Aturan kosinus untuk segitiga ABC sebarang adalah sebagai berikut.

A c B

128

•

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 = a2 + c2 − 2ac cos B c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

•

cos A

• •

=

b2

+ c 2 − a2

•

cos B

=

•

cos C

=

a2

+ c 2 − b2

2 ac a2 + b2 − c 2 2 ab

2 bc


CONTOH

Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi AB = 12 cm, AC = 9 cm, dan BC = 8 cm. Tentukanlah besar sudut BAC ! Jawab: Besar sudut BAC ditentukan sebagai berikut. a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

cos A =

a2

− b2 − c 2 = 82 − 9 2 − 12 2 = −161 = 0,745 −2bc −2 ⋅ 9 ⋅ 12 −216

Jadi, besar sudut A = 41,84° Dengan demikian, besar sudut BAC adalah 41,84°.

3. Luas Segitiga

C

Perhatikan segitiga ABC di samping! Segitiga ABC adalah segitiga sebarang dengan tinggi t dan luas L =

1 2

×

b

alas × tinggi.

Dengan demikian, luas segitiga ABC di samping adalah L = Perhatikan segitiga ADC . t Pada segitiga ADC , sin A =

b

1 2

⋅ c ⋅ t.

A

a

t

D

B c

⇒ t = b sin A

Dengan mensubstitusi nilai t ke persamaan L =

⋅ c ⋅ t akan diperoleh

1 2

L = 21 ⋅ c ⋅ b ⋅ sin A Dengan cara yang sama akan diperoleh L = L =

⋅ a ⋅ b ⋅ sin C

1 2 1 2

⋅ a ⋅ c ⋅ sin B

Luas segitiga ABC sebarang adalah sebagai berikut. • L = 21 ⋅ c ⋅ b ⋅ sin A • •

L =

⋅ a ⋅ c ⋅ sin B L = ⋅ a ⋅ b ⋅ sin C 1 2 1 2

Tentukan luas segitiga ABC , jika besar sudut B = 45°, panjang sisi AB dan BC berturut-turut 6 cm dan 8 cm!

CONTOH

Jawab: 1 ⋅ a ⋅ c ⋅ sin A 2 1 = 2 ⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ sin 45° 1 = 24 ⋅ 2 2 = 12 2

Luas =

Jadi, luas segitiga ABC = 12 2 cm 2.

Bab 6 Trigonometri

129

Asah Kompetensi 1.

Pada

∆

PQR diketahui

5

∠P = 30°, ∠R = 120°, dan panjang R = 8 cm. Tentukanlah:

a. Besar ∠Q b. Panjang sisi q c. Panjang sisi p 2.

Diketahui ∆ PQR dengan q = 6 cm, r = 12 cm dan ∠P = 45°. Tentukanlah panjang sisi p!

3.

Diketahui ∆ PQR diketahui panjang sisi-sisinya 3 cm, 5 cm, dan 7 cm. Tentukanlah besar sudut terbesar dari ∆ PQR!

4.

Tentukanlah luas daerah AB = 6 cm!

4

∆ ABC jika diketahui

besar ∠ A = 45°. Panjang AC = 5 cm, dan

ASAH KEMAMPUAN

1.

Pada segitiga PQR, diketahui panjang sisi QR = 7 cm, besar ∠PQR = 45° dan besar ∠PRQ = 30°, tentukanlah panjang sisi PQ!

Bobot soal: 30

2.

Pada segitiga DEF , panjang sisi EF = 7 cm, sisi DF = 5 cm, dan DE = 3 cm. Tentukanlah besar sudut ABC , BAC , dan ACB!

Bobot soal: 30

3.

Tentukanlah luas daerah segitiga jika diketahui besar AB = 12 cm dan BC = 15 cm!

∠B = 60°,

Bobot soal: 40

H. Aplikasi Trigonometri Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering dihadapkan dengan permasalahan yang berhubungan dengan trigonometri. Lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut. CONTOH

130

1.

Sukiman berada sejajar dengan dasar sebuah bangunan. Ia memandang ke puncak bangunan tersebut dengan sudut pandang 40°. Kemudian, ia mendekat ke arah puncak bangunan tersebut. Setelah berjalan 100 m, sudut pandangnya ke puncak bangunan menjadi 60 °. Berapakah tinggi bangunan tersebut? (Untuk menentukan tinggi bangunan, terlebih dahulu buatlah gambar supaya lebih mudah dalam membuat model matematika dari masalah tersebut)


Jawab:

Dari gambar berikut dapat diketahui besar dua sudut dan panjang sisi yang diapitnya. ∠ CAB = 40° dan ∠ ABC = 180° − 60° = 120° C Jadi, ∠ ACB = 180° − 40° − 120° = 20°. Panjang sisi AB = 100 m. Dengan menggunakan aturan sinus diperoleh BC Sin A° BC Sin A°

= =

AB Sin C

40 0 A

100 Sin20°

60 0 100

B

D C 20 0

Sin 40



BC = 100 × Sin20





Persamaan 1

Tinggi bangunan, yaitu CD dapat dihitung menggunakan perbandingan trigonometri. Sin 60° CD

=

CD BC

= BC ×

40 0

A

120 0

100

B C

Sin 60°



Persamaan 2

Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2 Sin 40 Sin 60° Sin 20 × 

CD

= 100 ×



60 0

Sin 40



1

= 100 × Sin 20 × 2 

=

B

3

D

162,76 m

Jadi, tinggi bangunan adalah 162,76 m

Salah satu ujung dari batang sepanjang 8 kaki dihubungkan ke piston yang bergerak naik dan turun. Ujung lainnya dihubungkan ke roda dengan cara lengan horizontalnya disesuaikan dengan pegas P. Dimulai pada posisi awal θ =

π , roda dengan jari-jari 2 4

kaki berputar 3 radian per detik. Temukan rumus untuk d, jarak vertikal dari piston ke roda, setelah t detik.

Bab 6 Trigonometri

d = y + 8

8 p(x,y) Y

θ

x

131

5

ASAH KEMAMPUAN

contoh

Kerjakanlah soal-soal berikut! 1.

Dari suatu posisi, seorang pengamat mengetahui bahwa sudut pandang ke puncak antena 45°. Setelah berjalan 1 km ke arah kaki antena, sudut pandang pengamat itu ke puncak antena menjadi 60°.Berapakah tinggi antena?

2.

Tentukanlah panjang penopang d, yang diperlukan untuk menopang lampu jalan seperti ditunjukkan pada gambar berikut!

Bobot soal: 20

Bobot soal: 20

3m

3 3 m

30 0

d

3.

Sebuah balon udara diterbangkan dalam suatu keramaian. Dua pengamat yang berjarak 2,32 km masing-masing dapat melihat balon dengan sudut pandang 28° dan 37°. Berapakah tinggi balon saat itu?

4.

Sebuah kapal pesiar berlayar ke timur sejauh 96 km. Kemudian, berbelok dengan arah 075°. Setelah menempuh 128 km pada arah ini, berapa jauhkah jarak kapal tersebut dari tempat berangkat semula?

5.

Suatu tiang telepon berdiri tegak di pinggir jalan yang mendaki dengan kemiringan sinar 15° terhadap arah horizontal. Jika pada sudut kemiringan sinar matahari 62°, tiang telepon memberikan bayangan sepanjang 16 m arah turun. Tentukanlah tinggi tiang telepon!

132

Bobot soal: 20

Bobot soal: 20

Bobot soal: 20


Rangkuman angkuman 1.

Perbandingan trigonometri dari suatu sudut segitiga siku-siku B A

y

2.

x

r

cos ∠C =

r B

y

sin ∠C =

x r

tan ∠C =

C

y

r Perbandingan trigonometri sudut-sudut Istimewa

Fungsi

Sudut

Trigonometri

0°

Sinus

0

Kosinus

1

30°

1 2

Tangen 3.

0

1 3

45°

60°

1

1

1

2

2 1 3

3

2 2

2

1

3

2

1 2

3

90° 1 0

∞

Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi a. Relasi di Kuadran I (semua bernilai positif )

sin (90° − θ ) = cosθ cos (90° − θ ) = sinθ tan (90° − θ ) = tanθ b. Relasi di Kuadran II (sinus bernilai positif ) sin (180° − θ ) = sin θ cos (180° − θ ) = − cosθ tan (180° − θ ) = − tanθ c.

Relasi di Kuadran III (tangen bernilai positif )

sin (180° + θ ) = − sinθ cos (180° + θ ) = − cosθ tan (180° + θ ) = tanθ d. Relasi di Kuadran IV (cosinus bernilai positif )

sin (360° − θ ) = − sinθ cos (360° − θ ) = cosθ tan (360° − θ ) =− tanθ

Bab 6 Trigonometri

133

4.

Identitas Trigonometri untuk setiap sudut

+ cos2 θ = 1

"

sin 2 θ

"

tanθ =

sinθ cosθ C

5. Aturan sinus

a = b = c sin A sin B sinC

b

a

Aturan kosinus

6.

•

a2

= b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A

•

b2

= a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos B

•

c2

= a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C

•

cos A

=

b2

•

cos B

=

a2

•

cos C

=

a2

c

B

+ c 2 − a2 2 bc

+ c 2 − b2 2 ac

+ b2 − c 2 2 ab

Luas segitiga sebarang

L =

C a

b

A

D c

1 × alas × tinggi 2

Jika tinggi segitiga tidak diketahui, pergunakanlah rumus berikut:

t

134

A

•

L=

1 ⋅ c ⋅ b ⋅ sin A 2

•

L=

1 ⋅ a ⋅ c ⋅ sin B 2

•

L

B

= 1 ⋅ a ⋅ b ⋅ sin C 2


Ulangan Bab 6 I.

Pilihlah jawaban yang paling tepat! 1. Jika sin α = 45 dan 0º < α < 90º, maka nilai tan α adalah . . . .

2.

a.

4 5

b.

4 3

c.

5 4

e.

3 5

cosα sin α ⋅ cosα sama dengan . . . . 1 sinα b. cos2 α c. sec2 α

b.

1 + a2 2 a2

e.

cos α

Segitiga ABC siku-siku di A. Jika BC = p, AD tegak lurus BC , DE tegak lurus AC , dan sudut B = β , maka panjang DE = . . . . a. p sin β cos2 β b. p sin2 β cos β c. p sin2 β cos β d. p sin β tan β e. p sin β cos β

2tan q

Nilai dari 1 + tan 2 q a. 2 sin q cos q b. sin q cos q c. 2 sin q − 1

Bab 6 Trigonometri

= . . . . d. 1 − 2 sin q e. 2 sin q

8.

a, maka sin 2x sama

d. e.

1 − a2 1 + a2 1 + a2 1 − a2

1 − a2 2 a2

+y=

7. Jika x

π , maka tan x adalah . . . . 4

a.

2tan y 1 + tan y

b.

1 + tan y 1 − tan y

c.

1 + 2 tan y 1 + tan y

d. cosec2 α

4. Jika x + y = 270º maka . . . . a. cos x + sin y = 0 b. cos x − sin y = 0 c. cos x + cos y = 0 d. sin x − sin y = 0 e. sin x + sin y = 0 5.

a.

2a 1 + a2

c.

a.

3.

d.

3 4

=

6. Ji ka ta n x dengan . . . .

d.

1 − tan y 1 + tan y

e.

2tan y 1 − tan y

Pada suatu segitiga siku-siku ABC berlaku cos A cos B

=

1 2

maka cos ( A

−

B) sama

dengan . . . .

9.

a.

−1

d.

1 2

b.

−1

e.

1

c.

2

2

Bila x memenuhi persamaan 2(sin x)2 + 3 sin x − 2 = 0 dan

− π

a.

1 2

d.

1 3 2

b.

−1

e.

−1

c.

1 2 2

2

2

π , maka cos x adalah . . . . 2

2

3

135

10. tan x sin x − cos x = sin x, maka tan x sama dengan . . . . a. b. c. d. e.

−1+ 1 2

2

3 atau

−1−1 2

2

3

1 1 − 3 atau 1 − 1 3 2 2 2 2 − 1 + 1 5 atau − 1 − 1 5 2 2 2 2 1 1 + 5 atau 1 − 1 5 2 2 2 2

− 1 − 1 3 atau 1 − 1 3 2 2 2 2

11. Dari sebuah segitiga ABC , sisi AB = 6, BC = 5, dan AC = 4. Nilai tangen sudut ABC sama dengan . . . . a. b. c.

4 6 3 4 7 16

d. e.

1 7 3 1 7 4

12. Sisi-sisi sebuah segitiga adalah 3 cm, 8 cm, dan 10 cm. Maka luas segitiga tersebut adalah . . . . a.

15 7 cm2 16

d.

15 7 cm2 4

b.

15 7 cm2 4

e.

45 7 cm

c.

15 7 cm2 2

2

13. U , W , R terletak pada suatu garis lurus. Dalam segitiga SRW panjang RS = RW , dalam segitiga STW panjang ST = SW , dalam segitiga TUW panjang WT = WU . Jika ∠WRS = ∠TSW = xo, maka . . . . a. ∠TSW = ∠TUW d. ∠TUW = x ° = x° b. ∠WTU = x ° e. ∠SWR = c. ∠TWU = x °

14. Dalam segitiga ABC , AC = 5, AB = 8, dan ∠CBA = 60°. Jika γ = ∠ ACB, maka cos γ = . . . . a.

1 3 7

d.

1 7

b.

3 3 7

e.

3 7

c.

4 3 7

II. Jawablah pertanyaan berikut dengan jelas dan tepat! 1. Seorang siswa berdiri sejajar dengan sebuah tiang bendera Ia memandang ke puncak bangunan tersebut dengan sudut pandang 30º. Setelah ia berjalan 50 m, sudut pandang kepuncak menjadi 60º. Berapakah tinggi tiang bendera tersebut? 2. Sebuah kotak yang berbentuk kubus diberi nama kubus ABCD.EFGH . Jika q adalah sudut antara bidang FHA dan FHE, hitunglah nilai sin q! 3. Dua buah kertas berpotongan tegak lurus sepanjang garis k. Garis l membentuk sudut 45º dengan kertas I dan 30º dengan kertas II. Tentukanlah sinus dari sudut antara k dan l ! 4. Dua buah uang logam menyinggung sumbu-y dan garis y =

3 . Jika pusat kedua

uang logam terletak pada garis y = 3 , tentukanlah jarak kedua pusat uang logam tersebut! 5. A dan B titik-titik ujung sebuah terowongan yang dilihat oleh micky dari titik C dengan sudut lihat 45º. Jika garis CB = p da n CA = 2 p 2 , tentukanlah panjang terowongan! B

p A

136

1 3

45º

2 p p

C


B A

Dimensi Tiga

B


Pernahkah kamu menempelkan selembar kertas pada selembar karton? Bagaimanakah kedudukan kertas tersebut terhadap karton? Kertas tersebut berimpit dengan karton karena jika kamu membuat sembarang titik pada kertas tersebut maka titik itu juga terletak pada karton atau pada perpanjangan karton . Dalam geometri, hal ini menunjukkan kedudukan dua bidang, yaitu dua bidang berimpit.

♦

Kamu dapat menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang.

♦

Kamu dapat menentukan volum bendabenda ruang.

♦

Kamu dapat menghitung perbandingan volum dua benda dalam suatu bangun ruang.

♦

Kamu dapat menjelaskan bidang frontal, sudut surut, dan perbandingan proyeksi dalam menggambarkan bangun ruang.

♦

Kamu dapat menggambar dan menghitung jarak titik ke garis dan titik ke bidang.

♦

Kamu dapat menggambar dan menghitung jarak dua garis bersilangan pada benda ruang.

♦

Kamu dapat mengambar dan menghitung jarak dua bidang sejajar pada benda ruang.

♦

Kamu dapat menggambar dan menghitung sudut antara garis dan bidang.

♦

Kamu dapat menggambarkan dan menghitung sudut antara dua bidang.

♦

Kamu dapat menggambarkan irisan suatu bidang dengan benda ruang.

A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang 1. Kedudukan Titik pada Garis Dalam Bidang Perhatikan Gambar 7.1!

• D

C

• P

Q

T

Perhatikan kembali titik-titik S, P, dan Q. Titik-titik ini tidak segaris. Sebagai akibat kaidah sebelumnya, kamu dapat mengatakan melalui tiga titik yang tidak segaris dapat dibuat tepat sebuah bidang.

S

B

A

2. Kedudukan Titik pada Bidang Dalam Ruang

Gambar 7.1 Kedudukan titik pada garis dalam bidang.

H

Perhatikan letak titik-titik pada Gambar 7.2! • Titik-titik A, D, H , dan E terletak pada bidang ADHE. • Titik-titik B, C , G, dan F terletak di luar bidang ADHE.

G

E

Titik P dan T terletak pada garis PQ. Ini menunjukkan melalui dua titik dapat dibuat sebuah garis. Titik S terletak di luar garis PQ. Titik-titik S, P, dan Q berada pada bidang ABCD. Ini menunjukkan bahwa melalui sebuah garis dan sebuah titik di luar garis tersebut dapat dibuat tepat sebuah bidang.

F

Titik B di luar bidang ADHE dan titik B berada pada bidang BCGF . Bidang ADHE sejajar dengan bidang BCGF . Ini menunjukkan bahwa melalui sebuah bidang dan sebuah titik di luar bidang tersebut dapat dibuat tepat sebuah bidang yang sejajar dengan bidang tersebut.

D C

3. Kedudukan Dua Garis dalam Ruang

B

A

a. Dua garis sejajar

Gambar 7.2 Kedudukan titik pada bidang dalam ruang.

H

G

b. Dua garis berpotongan

F

E

Pada Gambar 7.3 tampak garis AC berpotongan dengan garis BD di titik T . Kedua garis ini terletak pada bidang ABCD sehingga dapat berpotongan. Jadi, kamu dapat mengatakan bahwa melalui dua garis yang berpotongan dapat C dibuat tepat satu bidang.

D T

c. Dua garis bersilangan

B

A

Pada Gambar 7.3 tampak EF //HG. Kedua garis ini terletak pada bidang EFGH , sehingga dapat dikatakan melalui garis EF dan HG yang sejajar dapat dibuat bidang EFGH . Secara umum dapat dikatakan, melalui dua garis yang sejajar dapat dibuat tepat satu bidang.

Gambar 7.3 Kedudukan dua garis dalam ruang.

D

C

Pada Gambar 7.3 tampak garis AC dan BH bersilangan dan tidak sebidang. Kamu dapat mengatakan bahwa melalui dua garis yang bersilangan seperti AC dan BH ini tidak dapat dibuat sebuah bidang. Jadi secara umum, melalui dua garis yang bersilangan tidak dapat dibuat sebuah bidang.

4. Kedudukan Garis terhadap Bidang dalam Ruang g

Kedudukan sebuah garis terhadap bidang dalam ruang dapat terletak pada bidang, sejajar, atau berpotongan dengan bidang tersebut.

a. Garis terletak pada bidang A

B

Gambar 7.4 Garis terletak pada bidang

138

Pada Gambar 7.4 tampak garis g terletak pada bidang ABCD. Semua titik pada garis g terletak pada bidang ABCD, sehingga kamu dapat


mengatakan sebuah garis terletak pada sebuah bidang jika semua titik pada garis tersebut terletak pada bidang itu.

l



D

C

b. Garis sejajar dengan bidang Pada Gambar 7.5 garis g terletak pada bidang ABCD. Garis g ini sejajar dengan garis l yang terletak di luar bidang ABCD. Akibatnya, garis l sejajar dengan bidang ABCD. Jadi, dapat dikatakan bahwa sebuah garis sejajar dengan sebuah bidang jika garis tersebut sejajar dengan salah satu garis pada bidang itu.

c. Garis menembus bidang

A

Dua bidang dalam ruang dapat sejajar, berpotongan, atau berimpit.

a. Dua bidang sejajar Pada Gambar 7.7 tampak garis AH //BG. Bidang ABGH merupakan persegi panjang. AH pada bidang ADHE, sedangkan BG pada bidang BCGF . Dikatakan bahwa bidang ADHE sejajar bidang BCGF .

B

Gambar 7.5 Garis sejajar dengan bidang

Pada Gambar 7.6 garis TE menembus bidang ABCD di titik E. Titik E terletak pada garis g sedangkan garis g pada bidang ABCD. Oleh karena itu, Titik E merupakan titik potong antara garis TE dan bidang ABCD. Garis TE ini disebut menembus bidang ABCD. Jadi, sebuah garis menembus sebuah bidang jika terdapat titik persekutuan(titik potong) antara garis dan bidang tersebut.

5. Kedudukan Dua Bidang Dalam Ruang

c. Dua bidang berimpit Dua bidang berimpit jika semua titik pada salah satu bidang terletak pada bidang lainnya.

T

D

C E

g

A

B

Gambar 7.6 Garis menembus bidang

H

G F

E

b. Dua bidang berpotongan Pada Gambar 7.8 garis g merupakan garis potong antara bidang α dan bidang β sehingga dikatakan bidang α berpotongan dengan bidang β . Garis potong ini disebut garis tumpuan. Jadi, dapat disimpulkan bahwa dua bidang berpotongan jika memiliki garis persekutuan atau garis perpotongan.

g



D

C B

A

Gambar 7.7 Dua bidang sejajar

g

β α Gambar 7.8 Dua bidang berpotongan

Pada gambar berikut ini, titik P pada bidang DCFE, titik Q dan R pada bidang ABCD. Lukislah garis potong antara bidang DCFE dan bidang yang melalui titik-titik P, Q, dan R. E

CONTOH

F

•

P

D

• A

Bab 7 Dimensi Tiga

C R B

•Q 139

Jawab: a. Buat garis QR memotong garis CD yang merupakan garis tumpuan bidang ABCD dan bidang DCFE. Perpotongan garis ini adalah titik H . b. Buatlah garis PH . c. Terbentuklah bidang PQR. Bidang ini berimpit dengan bidang UQST . d. Garis g pada gambar merupakan garis potong antara bidang DCFE dan bidang yang melalui titik-titik P, Q, dan R. E

g

F U P

T H

D

S

C R Q

A

B

ASAH KEMAMPUAN


Gambarlah sebuah kubus. Kemudian, jawab pertanyaan berikut! a. Tulislah pasangan garis yang saling sejajar b. Tulislah pasangan garis yang saling berpotongan c. Tulislah pasangan garis yang saling bersilangan d. Tulislah pasangan bidang yang saling sejajar e. Tulislah pasangan bidang yang saling berpotongan

2.

Pada gambar berikut ini, titik P dan Q pada bidang DCFE, titik R pada bidang ABCD. Lukislah garis potong antara bidang ABCD dan bidang yang melalui titik-titik P, Q, dan R. Lukislah juga garis potong antara bidang DCFE dan bidang yang melalui titik-titik P, Q, dan R! E

Bobot soal: 50

Bobot soal: 50

F P Q C

D R

A

140

B


B. Menggambar Bangun Ruang Kamu dapat menggambar bangun ruang, seperti kubus dan balok dengan bentuk-bentuk yang berlainan. Dalam menggambar bangun-bangun tersebut, kamu sebaiknya mengikuti aturan-aturan yang benar. Berikut ini akan dibahas aturan-aturan tersebut beserta beberapa istilah yang harus kamu ketahui. •

Bidang gambar Bidang gambar adalah bidang datar yang akan digunakan untuk menggambar bangun ruang, misalnya buku gambar.

•

Bidang frontal Bidang frontal adalah bidang gambar itu sendiri atau bidang lain yang sejajar dengan bidang gambar. Bidang frontal digambar dengan ukuran sebenarnya. Pada bidang frontal, terdapat garis yang membatasi bidang frontal ini. Garis ini disebut garis frontal. Garis frontal ini terdiri atas garis frontal horizontal dan garis frontal vertikal.

•

Bidang ortogonal Bidang ortogonal adalah bidang yang tegak lurus terhadap bidang frontal. Bidang ortogonal ini terdiri atas bidang ortogonal vertikal, yaitu bidang ortogonal yang menghadap ke kiri atau ke kanan dan bidang ortogonal horizontal, yaitu bidang ortogonal yang menghadap ke atas atau ke bawah.

•

Perbandingan proyeksi

Perbandingan proyeksi = •

panjang garis ortogonal pada gambar panjang garis ortogonal sebenarnya

Sudut surut Sudut surut adalah sudut pada gambar yang dibentuk oleh garis frontal horizontal arah ke kanan dengan garis ortogonal arah ke belakang yang berpotongan. Pada kubus di samping, ♦ Bidang frontalnya, bidang ABFE dan DCGH ♦ Bidang ortogonal horizontalnya, bidang ABCD dan EFGH ♦ Bidang ortogonal vertikalnya, bidang ADHE dan BCGF

CONTOH

H

G

F

E D A

C B Sudut surut

Gambarlah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm, ABFE frontal dan AB frontal horizontal, sudut surut 40° dan perbandingan proyeksi

3 4

!

Jawab: Langkah-langkahnya: 1. 2.

Gambarlah bidang frontal ABFE berbentuk persegi dengan panjang sisi 4 cm. Sisi AB frontal horizontal. Tentukan panjang garis ortogonal, yaitu panjang AD. Panjang AD =

3 4

× 4 cm = 3 cm.

Gambarlah garis AD ini dengan panjang 3 cm dan membentuk sudut 40° terhadap garis frontal AB.

Bab 7 Dimensi Tiga

141

3. 4. 5.

Gambar bidang sisi alas ABCD berbentuk jajargenjang. Gambarlah garis-garis vertikal CG dan DH yang masing-masing sejajar dan sama panjang dengan AE, yaitu 4 cm. Hubungkan titik-titik E, F, G, dan H sehingga membentuk jajargenjang EFGH . Terbentuklah gambar kubus ABCD.EFGH . H

G F

E

4 cm 3

A

c m

D

C

40° B

Untuk menggambar bangun ruang lain seperti balok, caranya sama seperti menggambar kubus tersebut.

ASAH KEMAMPUAN

2

Waktu: 60 menit 1.

Gambar kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm, bidang ABFE frontal dengan AF vertikal, sudut surut 120° dan perbandingan proyeksi

2 3

!

2.

Gambarlah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm, bidang ACGE frontal dengan AC horizontal, sudut surut 45° dan perbandingan proyeksi 94 !

3.

Gambarlah balok ABCD.EFGH dengan panjang 8 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 4 cm. ABFE frontal dan AB frontal horizontal, sudut surut 20° dan perbandingan proyeksi 13 !

142

Bobot soal: 30

Bobot soal: 40

Bobot soal: 30


C. Volume Bangun Ruang 1. Volume Prisma Butet memiliki sebuah keju batangan.Keju ini dibelahnya menjadi dua bagian yang berbentuk prisma yang sama dan sebangun. Dari peragaan ini, Butet dapat mengetahui volume prisma, yaitu setengah volume keju. Oleh karena keju berbentuk seperti balok, maka volume prisma sama dengan setengah volume balok.

Volume prisma

=

1 2

×

=

1 2

× p × l × t

volume balok 

Karena alas prisma ini berbentuk segitiga,

Luas alas

=

maka luas alasnya L =

1 2

× p × l

Luas alas × t Volume prisma = Luas alas × t

Rumus ini berlaku untuk semua jenis prisma.

Alas sebuah prisma berbentuk belahketupat dengan panjang diagonalnya masing-masing 12 cm dan 8 cm. Jika tinggi prisma 9 cm, tentukanlah volume prisma tersebut!

CONTOH

Jawab: Alas prisma berbentuk belahketupat sehingga luas alasnya adalah luas belahketupat. Pada bab 7, kamu telah mengetahui bahwa luas belahketupat adalah

L =

1 × d1 × d2. 2

Dengan pengetahuanmu ini, kamu dapat menentukan luas alas prisma, yaitu: L =

1 2

× 12 cm × 8 cm = 48 cm2 . Volume prisma = Luas alas × tinggi = 48 × 9 = 432 cm3 Jadi, volume prisma adalah 432 cm3.

Bab 7 Dimensi Tiga

H G E F D C

A B

143

Asah Kompetensi No

1

Alas Prisma

Tinggi Prisma Volume Prisma

1.

Persegi panjang dengan panjang 6 cm dan lebar 4 cm

…cm

9 cm 3

2.

Segitiga samasisi dengan panjang sisi 6 cm

…mm

124,8 cm 3

3.

Persegi yang panjang sisi-sisinya 8 cm

6 5

dm

... cm3

4.

Segienam beraturan dengan luas …

3 2

dm

900 cm3

5.

Segitiga siku-siku dengan panjang sisisisinya 9 cm, 12 cm, dan 15 cm.

0,1 m

. . .cm 3

Suatu kolam renang mempunyai ukuran panjang 20 m dan lebar 5 m. Kedalaman air pada ujung yang dangkal 1 m dan terus melandai sampai 3 m pada ujung yang paling dalam. Berapa literkah banyak air dalam kolam itu?

2. Volume Tabung Perhatikan gambar bangun ruang-bangun ruang berikut!

prisma segienam

prisma segi-24

tabung

Jika rusuk pada sisi alas dan sisi atas prisma segienam ditambah terusmenerus, kamu akan mendapatkan sebuah prisma yang sisi alas dan sisi atasnya menyerupai lingkaran. Hingga akhirnya, kamu akan mendapatkan sebuah tabung. Dari uraian tersebut, kamu dapat menyatakan volume tabung sebagai volume prisma yang alasnya berbentuk lingkaran. Jadi, volume tabung

= luas alas × tinggi = π × r 2 × t



Volume tabung 144

= π × r 2 × t

Karena alasnya berbentuk lingkaran, maka luas alasnya π × r 2


Tentukan volume tabung berdiameter 14 cm, jika tingginya 5 cm!

CONTOH

Jawab:

Diameter tabung 14 cm, berarti jari-jarinya = Volume tabung = π × r 2 × t = π × (7 cm)2 × 5 cm

14cm 2

Untuk memudahkan perhitungan, coba ambil π = Volume tabung =

22 7

= 7 cm. 22 . 7

× 49 cm2 × 5 cm

= 22 × 7 cm2 × 5 cm = 770 cm3 Jadi, volume tabung adalah 770 cm3.

Asah Kompetensi

2

Tentukanlah volume tabung dengan ukuran seperti berikut! 1. 2. 3. 4. 5.

Panjang jari-jari alas 0,7 cm dan tinggi 3,5 cm. Panjang jari-jari alas 20 mm dan tinggi 7 mm. Diameter alas 28 cm dan tinggi 2,2 dm. Diameter alas dan tinggi 125 cm. Luas alas 321 cm2 dan tinggi 12,3 cm.

Lengkapilah titik-titik pada tabel berikut dengan jawaban yang tepat pada buku tugas! No.

Diameter Tabung

Jari-jari Tabung

Tinggi Tabung

1.

…cm

16 cm

14 cm

…cm3

2.

56 cm

…cm

9 cm

…cm3

3.

…cm

…cm

15 cm

6.782,4 cm3

4.

… cm

… cm

8 mm

7.392 mm3

5.

… cm

2 cm

…dm

176 cm3

A

ktivitas di

Volume Tabung

K

elas

1.

Sediakan selembar kertas berbentuk persegi panjang berukuran 3,14 cm × 6,28 cm!

2.

Buatlah dua macam tabung yang berbeda dengan mempertemukan sisi-sisi kertas tersebut!

3. Amati kedua tabung itu. Menurutmu, tabung manakah yang volumenya lebih besar? 4.

Coba cari volume kedua tabung tersebut dengan menggunakan rumus!

5. Ayo, bandingkan volume yang telah kamu hitung tersebut. Berapakah perbandingannya?

Bab 7 Dimensi Tiga

145

3. Volume Limas Di dalam sebuah kubus dapat dibuat enam buah limas yang sama dan sebangun. Masing-masing limas ini beralaskan sisi kubus dan tingginya setengah panjang rusuk kubus.

Enam buah limas di dalam kubus

Limas

Berdasarkan uraian ini, kamu dapat menemukan volume limas dengan menggunakan volume kubus. Volume 6 limas = Volume kubus = rusuk × rusuk × rusuk Karena limas beralaskan 

sisi kubus

Luas alas Luas alas × rusuk Luas alas × 2 × tinggi

= = = 2 × Luas alas × tinggi

Volume untuk sebuah limas adalah V =

=

Volume limas

=

1 3



Karena panjang rusuk kubus dua kali tinggi limas

2 6

× Luas alas × tinggi

1 3



CONTOH

Alas sebuah limas berbentuk persegi panjang dengan panjang 12 cm dan lebar 8 cm. Jika volumenya 320 cm3, tentukanlah tinggi limas tersebut! Jawab:

Volume limas 320 cm3 320 cm3 tinggi

=

1 × luas alas × tinggi 3 1 × (12 cm × 8 cm) × tinggi 3

= = 32 cm2 × tinggi =

320cm 3 32cm 2

= 10 cm Jadi, tinggi limas 10 cm.

146


Asah Kompetensi

3

Lengkapilah titik-titik pada tabel berikut dengan jawaban yang tepat pada buku tugas! No

Alas Limas

Tinggi Liams

Volume Limas

1.

Segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi 3 cm, 4 cm, dan 5 cm.

9 cm

…cm3

2.

Segitiga sama sisi dengan panjang sisi 6 cm

14 cm

…cm3

3.

Trapesium dengan luas 350 cm 2

…dm

1.400 cm3

4.

Segidelapan beraturan dengan luas …

3 dm 2

450 cm3

5.

Persegi dengan panjang sisi 10 cm

17 cm

…mm3

4. Volume Kerucut Kerucut dapat dipandang sebagai limas yang alasnya berbentuk lingkaran sehingga kamu dapat menenmukan volume kerucut dari volume limas. Volume kerucut = Volume limas 1 × Luas alas × tinggi 3 1 Karena alas kerucut berbentuk × π × r 2 × tinggi lingkaran maka luas alasnya π x r2 3

= =



=

1 3

Volume kerucut

=

× π × r 2 × t

1 × π × r 2 × t 3

Panjang jari-jari alas sebuah kerucut 7 cm. Jika tinggi kerucut 30 cm, tentukanlah volumenya!

CONTOH

Jawab:

Volume kerucut

= =

1 ×π 3 1 ×π 3

× r 2 × t × (7 cm)2 × 30 cm

Untuk memudahkan perhitungan, coba ambil π = Jadi, volume kubus =

Bab 7 Dimensi Tiga

1 3

×

22 7

22 . 7

× 49 cm2 × 30 cm = 1.540 cm3.

147

Asah Kompetensi

5

Tentukanlah volume kerucut dengan ukuran seperti berikut!

1. 2. 3. 4. 5.

Panjang jari-jari alas 21 cm dan tinggi 20 cm Panjang jari-jari alas 10 mm dan tinggi 14 mm Diameter alas 24 cm dan tinggi 14 cm Diameter alas dan tinggi 3 dm Luas alas 456 cm2 dan tinggi 65,4 cm

Lengkapilah titik-titik pada tabel berikut dengan jawaban yang tepat pada buku tugas! No.

Diameter Kerucut

Jari-jari Kerucut

Tinggi Kerucut

Volume Kerucut

1.

560 mm

… cm

330 mm

… mm3

2.

… mm

…mm

9 mm

462 mm3

3.

70 mm

…cm

15 cm

… cm3

4.

… cm

… cm

12 dm

1.256 dm3

5.

… cm

7 cm

… dm

308 cm3

5. Volume Bola Gambar berikut merupakan gambar kerucut yang memiliki tinggi dan panjang jari-jari yang sama, yaitu r dan gambar setengah bola yang memiliki panjang jari-jari yang sama dengan jari-jari kerucut. r

r r

setengah bola dengan jari-jari r

kerucut dengan jari-jari r dan tinggi r

Kerucut diisi air hingga penuh. Kemudian, air dari kerucut dituangkan ke dalam setengah bola, ternyata setengah bola tersebut dapat menampung dua kerucut berisi air. Ini menunjukkan volume setengah bola sama dengan volume dua kerucut yang memiliki tinggi dan panjang jari-jari yang sama dengan panjang jari-jari setengah bola. Volume setengah bola = 2 × Volume kerucut Volume satu bola = 4 × Volume kerucut

= 4 ×

1 3

× π × r 2 × t

Karena tinggi dan panjang jari-jari kerucut sama (t = r ), maka Volume satu bola = 4 ×

1 3

× π × r 2 × r

4 = 3 πr 3 148


Volume bola =

4 3 πr 3

Tentukanlah volume bola yang memiliki panjang jari-jari 10 cm!

CONTOH

Jawab:

Volume bola

=

4 3 π r 3

=

4 π ⋅ 10 3 3

Untuk memudahkan perhitungan, ambillah π = 3,14. 4 3

Volume bola = ⋅ 3,14 ⋅ 10 3 = 4186,66 cm3 Jadi, volume bola adalah 4186,66 cm3.

6. Aplikasi Volume Bangun Ruang Dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali bangun ruang yang volumenya dapat dihitung untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Utut mengukur ketinggian 1 cm 3 cairan menggunakan gelas ukur berdiameter 3 cm. Berapakah ketinggian air tersebut?

CONTOH

Jawab: Diameter gelas 3 cm sehingga

panjang jari-jari gelas Volume air

3 cm = 1,5 cm. 2

= Volume tabung = π × r 2 × t = π × (1,5 cm)2 × t

1 cm3 Untuk memudahkan perhitungan, coba ambil π = 3,14. 1 cm 3 = 3,14 x 2,25 cm2 × t 1 cm 3 = 7,065 cm2 × t t

=

1 cm 3 7,065cm 2

= 0,14 cm

Jadi, ketinggian air tersebut adalah 0,14 cm.

Bab 7 Dimensi Tiga

149

3

ASAH KEMAMPUAN

Waktu: 30 menit 1.

Atap suatu rumah berbentuk limas dengan panjang 25 m, lebar 15 m, dan tinggi 7 m. Berapa meter kubikkah udara yang ada dalam ruangan atap?

2.

Sebuah bandul berbentuk kerucut terbuat dari timah dengan jari-jari alas 5 cm dan tinggi 10 cm. Jika 1 cm3 timah beratnya 8 gram, berapa gramkah berat bandul tersebut?

3.

Utut menuangkan minyak ke sebuah kaleng yang berbentuk tabung hingga penuh. Jika jari-jari dan tinggi kaleng berturut-turut 28 cm dan 50 cm, berapa literkah minyak yang dituangkan Utut ke kaleng tersebut?

4.

Sebuah pabrik obat memproduksi obat demam yang berbentuk tablet dengan tebal 3 mm dan diameter 1 cm. Berapakah volume obat ini?

5.

Sebuah mangkuk berbentuk setengah bola. Jika mangkuk itu dapat memuat 486 π cm3 sop, berapakah diameter mangkuk tersebut?

150

Bobot soal: 20

Gambar atap rumah

Bobot soal: 20

Gambar Utut menuangkan minyak ke dalam kaleng

Bobot soal: 20

Bobot soal: 20

Bobot soal: 20


D. Irisan Bangun Ruang Sebuah bidang datar dapat digunakan untuk memotong sebuah bangun ruang sehingga menghasilkan bidang datar lain yang merupakan irisan antara bidang datar itu dengan bangun ruang. Bidang datar hasil irisan ini disebut bidang irisan. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik k pada rusuk AE sehingga panjang Ak = 3 cm. Titik pada rusuk BF sehingga panjang BL = 1 cm. Bidang α melalui titik H, K, dan L. Gambarlah irisan antara bidang α dengan kubus ABCD.EFGH.

CONTOH

Langkah-langkah untuk melukis irisan tersebut sebagai berikut: 1. Gambarkan sumbu efinitasnya seperti pada gambar (a). • Garis HL dan KL menembus bidang alas ABCD di titik P dan Q • Garis PQ adalah sumbu efinitasnya 2. Gambar garis potong bidang α dengan bidang sisi BCGF seperti pada gambar (b). • Garis GB memotong sumbu efinitas PQ di titik R • Garis RL memotong rusuk CG di titik M , sehingga garis LM adalah garis potong bidang α dengan bidang sisi BCGF 3. Gambarkan garis potong bidang α dengan bidang sisi CDHG, yaitu garis HM. 4. Garis potong HK, KL, LM, dan HM membentuk segi empat HKLM. Segi empat HKLM adalah irisan antara bidang a dengan kubus ABCD.EFGH yang diminta seperti bagian yang diarsir pada gambar (b). H

G

E

F

H

G

E

K

F

K C sumbu efinitas

D A

B

M D

C

A R

(a)

4

BP Q

(b)

ASAH KEMAMPUAN

Waktu: 60 menit 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH . Titik P di tengah-tengah rusuk EH , titik Q pada pertengahan bidang ABFE, dan titik R terletak pada rusuk BF sehingga BR : BF = 1 : 4. Lukislah irisan bidang dengan kubus melalui titik-titik P, Q, dan R!

Bab 7 Dimensi Tiga

Bobot soal: 30

151

2.

Pada limas T. ABC di samping, titik P pada T rusuk TA, titik Q pada bidang TAC , dan titik R P pada perluasan bidang ABC . Lukislah irisan Q bidang yang melalui titik-titik P, Q, dan R A dengan limas!

Bobot soal: 40

C

B

3.

Diketahui kubus ABCD.EFGH . Titik P pada rusuk CG sehingga CP : CG = 4 : 5, dan titik Q pada pertengahan rusuk BF . Lukislah irisan bidang dengan kubus melalui titik-titik P, Q, dan H !

Bobot soal: 30

E. Jarak dan Sudut 1. Jarak a. Jarak antara dua titik P

Q

Gambar 7.9. Jarak antara titik

A

Jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Misalnya, ruas garis PQ menunjukkan jarak antara titik P dan titik Q.

b. Jarak antara titik dan garis g

T

Gambar 7.10. Jarak antara titik dan garis.

A

Jarak antara titik dan garis adalah panjang ruas garis tegak lurus yang ditarik dari titik tersebut ke garis. Pada gambar di samping, jarak antara titik A dan garis g ditunjukkan oleh ruas garis AT yang tegak lurus garis g.

c. Jarak antara titik dan bidang Jarak antara titik dan bidang adalah panjang ruas garis tegak lurus yang menghubungkan titik tersebut dengan bidang. Pada gambar di samping, jarak antara titik A dan bidang ditunjukkan oleh ruas garis r yang tegak lurus bidang.

r

Gambar 7.11. Jarak antara titik dan bidang.

m r n Gambar 7.12. Jarak antara garis sejajar.

152

d. Jarak antara dua garis sejajar atau bersilangan Jarak antara dua garis sejajar atau bersilangan adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap kedua garis tersebut. Pada gambar di samping, jarak antara garis m dan n ditunjukkan oleh ruas garis r yang tegak lurus terhadap garis m dan n.


e. Jarak antara garis dan bidang yang saling sejajar

A

Jarak antara garis dan bidang yang sejajar adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap garis dan tegak lurus terhadap bidang tersebut. Pada gambar di samping, ruas garis r yang tegak lurus terhadap garis g dan tegak lurus terhadap bidang menunjukkan jarak antara garis g dan bidang.

g

r

B

Gambar 7.13. Jarak antara garis dan bidang yang saling sejajar.

f.

Jarak antara dua bidang

B

Jarak antara dua bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap kedua bidang tersebut. Pada gambar di samping, ruas garis s yang tegak lurus terhadap kedua bidang menunjukkan jarak antara kedua bidang tersebut.

s

A Gambar 7.14. Jarak antara dua bidang.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Tentukanlah jarak garis EB dengan bidang CDHG! H G Jawab: E Perhatikan kubus di samping! Garis CH pada bidang CDHG sejajar dengan garis EB. Garis BC tegak lurus EB dan tegak lurus CH . Oleh karena itu, jarak EB dengan bidang CDHG sama dengan panjang rusuk BC = 4 cm.

CONTOH

F

D

A

4 cm

C B

B

2. Sudut Antara Garis dan Bidang Jika suatu garis menembus bidang maka garis dan bidang tersebut akan membentuk sebuah sudut. Besar sudut yang terbentuk sama dengan besar sudut yang dibentuk oleh garis tersebut dengan proyeksinya pada bidang. Pada gambar di samping, garis g menembus bidang pada titik A. Titik B pada garis g diproyeksikan pada bidang. Didapat proyeksinya B′. Jadi, proyeksi garis g pada bidang tersebut adalah AB′. Akibatnya, sudut antara garis g dan bidang tersebut adalah ∠ BAB’.

Bab 7 Dimensi Tiga

g A

B′

Gambar 7.15. Sudut antara garis dan bidang

153

CONTOH

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Tentukanlah besar sudut yang dibentuk oleh garis CE dengan bidang ABCD! Jawab: Perhatikan gambar kubus di samping! Proyeksi garis CE pada bidang ABCD adalah garis AC sehingga sudut yang dibentuk oleh garis CE dengan bidang ABCD adalah ∠ ACE. Perhatikan segitiga ACE yang tegak lurus di A. Pada segitiga ACE, AE = 4 cm, AC = 4 2 karena CE = 4 3 merupakan diagonal bidang.

sin ∠ AC E =

AE CE

=

4 4 3

∠ ACE = arc sin = 35,26°

1 3

=

1 3

=

H

G

E

F

D

C

A

1 3 3

B

3

Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh garis CE dengan bidang ABCD adalah 35,26°.

3. Sudut Antara Dua Bidang Dua bidang yang berpotongan akan membentuk sebuah sudut. Sudut yang dibentuk kedua bidang dapat diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh dua garis. Garis pertama terletak pada bidang pertama, garis kedua terletak pada bidang kedua. Kedua garis tersebut tegak lurus dengan perpotongan kedua bidang pada titik tertentu.

CONTOH

Diketahui limas T.ABC , dengan TA tegak lurus ABC . TA = 2 6 cm, AC = AB = 4 cm, dan AC tegak lurus AB. Tentukanlah besar sudut yang dibentuk oleh bidang TBC dengan bidang ABC ! Jawab: Bidang ABC berpotongan dengan bidang T TBC pada garis BC . Garis AE pada bidang ABC tegak lurus BC . Garis TE pada bidang TBC tegak lurus BC . Dengan demikian, sudut antara bidang TBC dan bidang ABC sama dengan sudut yang 2 6 cm dibentuk oleh garis AE dan garis TE, yaitu ∠ AET . Terlebih dahulu, perhatikan segitiga ABC A yang siku-siku di A. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, didapat: BC 2 = AB2 + AC 2 = 42 + 42 = 32 BC = 4 2 Titik E di tengah-tengah BC sehingga BE = 21 BC = 21 Perhatikan segitiga ABE yang siku-siku di E!

154

C

4 cm 

4 cm

⋅

E B

4 2 = 2 2 cm


Dengan menggunakan teorema Pythagoras, didapat: AE2 = AB2 − BE2

= 42 − (2 2 )2 = 16 − 8 = 8 AE = 2 2 cm Sekarang perhatikan TAE TAE yang yang siku-siku di A. di A. Dengan menggunakan perbandingan trigonometri, didapat: tan ∠ AET

=

∠ AET =

TA 2 6 = AE 2 2

=

arc tan

3

6 2

=

3

= 60°

Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh bidang TBC dengan bidang ABC adalah 60°.

Garis h yang bergradien 2 sejajar dengan d engan garis k. Jarak antara garis h dan garis k adalah 2 satuan. Jika garis h melalui titik (2,3), tentukanlah persamaan garis k!

5

ASAH KEMAMPUAN

Waktu: 120 menit 1.

Diketahui kubus ABCD ABCD..EFGH dengan panjang rusuk 3 cm. Titik P terletak pada garis BC dengan dengan BP : PC = = 1 : 2 dan titik Q terletak pada = 2 : 1. Tentukanlah jarak titik P diagonal ruang BH dengan dengan BQ : QH = ke titik Q!

2.

Diberikan limas beraturan T . ABCD ABCD dengan ABCD ABCD persegi dengan panjang rusuk 4 cm. Jika TA = 6 cm, tentukanlah jarak titik C ke ke garis AT !

3.

Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk 4 cm. Tentukanlah jarak titik C ke ke bidang TAB!

4.

Dalam kubus ABCD kubus ABCD..EFGH , AB = 6 cm. Titik S dan R berturut-turut pada pusat bidang EFGH dan ABCD dan ABCD.. Tentukanlah jarak antara garis RF dan dan DS DS!!

Bab 7 Dimensi Tiga

Bobot soal: 12,5

Bobot soal: 12,5

Bobot soal: 12,5

Bobot soal: 12,5

155

5.

Diketahui balok ABCD ABCD..EFGH dengan AB = 5 cm, BC = 2 cm, dan BF = 3 cm. Titik P pada pada AE AE dengan dengan EP = 1 cm. Titik Q pada BF dengan dengan FQ = 1 cm. Titik R pada HD HD dengan HR = 2 cm. Tiitk S pada CG dengan SG = 2 cm. Tentukanlah jarak antara bidang PQGH dengan dengan bidang ABSR bidang ABSR!!

6.

Diketahui balok ABCD ABCD..EFGH dengan AB = 8 cm, BC = 3 cm, dan = 6 cm. Titik P terletak pada pertengahan GH dan titik Q pada BF = pertengahan CD CD.. Tentukanlah besar sudut yang yang dibentuk garis oleh oleh AF dengan dengan bidang AQPE bidang AQPE!!

7.

Diketahui kubus ABCD kubus ABCD..EFGH dengan dengan panjang rusuk a cm. Misalkan a sudut yang dibentuk oleh bidang BDE BDE dengan bidang BDG BDG,, tentukanlah nilai sin a!

Bobot soal: 12,5

8.

Pada kubus ABCD kubus ABCD..EFGH , tentukanlah kosinus sudut terkecil yang dibentuk oleh garis AG garis AG dan dan BH !

Bobot soal: 12,5

Bobot soal: 12,5

Bobot soal: 12,5


Bidang gambar adalah adalah bidang datar yang akan digunakan untuk bangun ruang. Bidang frontal adalah bidang gambar yang sejajar dengan bidang gambar lain. Bidang ortogonal adalah ortogonal adalah bidang yang tegak lurus terhadap bidang frontal.

2.

Bidang ortogonal terdiri atas bidang ortogonal vertikal dan bidang ortogonal horizontal.Bidang horizontal. Bidang ortogonal vertikal adalah vertikal adalah bidang ortogonal yang menghadap ke kiri atau ke kanan. Bidang ortogonal horizontal adalah horizontal adalah bidang ortogonal yang menghadap ke atas atau ke bawah.

3.

Perbandingan Proyeksi =

4.

Sudut surut adalah surut adalah sudut pada gambar yang dibentuk oleh garis frontal horizontal arah ke kanan dengan garis ortogonal arah ke belakang yang berpotongan.

5.

156

Panjang garis ortogonal pada gambar Panjang garis ortogonal sebenarnya

No.

Bangun Ruang

Volume

1.

Prisma

Luas alas × t

2.

Tabung

π r 2 × t

3.

Limas

4.

Kerucut

5.

Bola

1 × Luas alas × t 3 1 2 π r t 3 4 3 π r 3


Ulangan Bab 7 I.


1.

Diketahui kubus AB CD CD.E .EFG FG H dengan panjang rusuknya 2a 2 a. Jika p p titik tengah BF dan Q titik tengah EH , maka panjang PQ adalah . . . . a.

a 3

b. 2a c. 2.

d.

a 5

e.

a 6

6.

Diketahui limas T.ABCD T.ABCD.. Pada rusuk TA dipilih titik P, pada rusuk TB dipilih titik Q, dan pad padaa rusu rusuk k TC dipilih titik R, sehingga TP : PA = 1 : 2 TQ : QB = 2 : 3 TR : RC = 3 : 4 Maka perbandingan isi limas T.ABCD dan T.PQR adalah . . . . T.PQR a. 3 : 2 d. 5 : 1 b. 35 : 98 e. 4 : 1 c. 5 : 2

7.

Kubus ABCD.EFGH Kubus ABCD.E FGH mempunyai mempunyai rusuk a cm. dari AD,, AB P, Q, R adalah titik tengah dari AD AB,, dan BF . Penampang bidang PQR PQR dengan kubus berupa . . . . a. bujur sangkar b. segitiga samasisi c. segi empat beraturan d. segi lima beraturan e. segi enam beraturan

a 2

Panjang rusuk kubus ABCD.E adalah a. ABCD.EFGH FGH adalah Jarak G ke diagonal BH adalah . . . . a.

1 a 6 2

d.

1 a 6 4

b.

1 a 6 3

e.

1 a 6 5

c.

a 6

3.

Segitiga ABC samakaki Segitiga ABC samakaki pada bidang horizontal dan BCDE BCDE persegi panjang pada bidang vertikal dengan AC = AB AB,, AD AD = 17 cm, = 8 cm, dan ED = 18 cm. Maka jarak titik CD = CD ED = A ke bidang BCDE adalah . . . . A a. 12 cm d. 9 cm b. 15 cm e. 17 cm c. 11 cm

4.

Limas T.ABCD T.ABCD mempunyai alas AB ABCD CD yang berbentuk persegi panjang dengan AB dengan AB = = 12 cm, BC = = 5 cm, dan TA TA = = TB = TC = TD TD = 7 cm. Tinggi limas tersebut adalah . . . . 3 3 cm a. 12 cm d. 2 b. 3 3 cm e. 13 cm c. 3 cm

5.

tersebut maka . . . . g dan h a. k memotong g b. k dan h bersilangan c. k sejajar h dan memotong g g dan memotong h d. k sejajar dengan g g memotong k dan h e. g

Garis g g dan h bersinggungan. Bidang v melalui g melalui dan sejajar dengan garis h. Bidang g dan w melalui h dan berpotongan dengan bidang v . Jika k adalah garis potong kedua bidang

Bab 7 Dimensi Tiga

Jara k ant antara ara tit titik ik C dengan bidang BDG 8. Jarak dalam kubus ABCD ABCD.EFG .EFGH H yang panjang rusuknya 6 cm adalah . . . . a. 3 2 d. 3 b. 2 6 e. 2 3 c. 3 3 9.

Pada suatu kubus ABCD.E kubus ABCD.EFGH FGH sudut sudut antara garis AH dan bidang diagonal BFHD BFHD sama dengan . . . . a. 15° d. 45° b. 30° e. 60° c. 90° 157

10. ABCD adalah persegi panjang pada bidang horizontal. ADEF adalah persegi panjang pada bidang vertikal. Panjang AF = 3 cm, BC = 4 cm, dan CE = 7 cm. Jika α adalah sudut antara BE dengan bidang ABCD dan β adalah sudut antara BE dengan bidang

ADEF , maka tan α tan β = 3 a. d. 35 4 b. e. 35 c.

.... 5 35 4 21

2.

Hitunglah luas plat seng yang diperlukan untuk membuat kaleng berbentuk silinder (termasuk alas dan atas) yang berisi satu liter dengan tinggi x dm!

3.

Sebuah bola dimasukkan ke dalam kotak berbentuk kubus. Kemudian sebuah kotak yang berbentuk kubus dimasukkan ke dalam bola. Tentukanlah perbandingan antara isi bola dalam dan isi bola luar kubus!

4.

Sebuah topi ulang tahun berbentuk kerucut. Tinggi topi tersebut 16 cm, sedangkan diameter alasnya 24 cm. Apabila sebuah bola dimasukkan ke dalam topi tersebut, tentukanlah perbandingan antara isi bola dalam topi dan isi topi tersebut!

5.

Perhatikan gambar berikut!

3 21


158

Sebuah kotak berbentuk kubus memiliki panjang rusuk 5 cm. Kotak tersebut disebut kubus ABCD.EFGH . Titik P terletak pada garis BC dengan BP : PC = 2 : 3 dan titik Q terletak pada diagonal ruang BH dengan BQ : QH = 3 : 2. Tentukanlah: a. Jarak titik P ke titik Q b. Kosinus sudut terkecil yang dibentuk oleh garis AG dan BH

H E

G F

D A

C B

Tentukan tangen sudut antara CG dengan bidang BDG!


T ugas Akhir 1.

2.

Nilai dari (0,04)−0,05 + (0,25)0,5 adalah . . . . a. 0,5 d. 4,5 b. 0,7 e. 5,5 c. 2,5 Bentuk ( p−1 + q−1)−1 identik dengan . . . a. p

+q

d.

b. p

e.

p + q pq 1 pq

pq p + q

c.

3. Jika a = 25 dan b = 81, dan c = 8 maka nilai 1 2

1 4

2 3

a , b , c adalah . . . . a. 3 b. 5 c. 20 4.

Nilai dari a. 3 b. 6 c. 3 2

5.

Nilai dari a. 1 b. 2 c. 3

d. 40 e. 60

48 + 45 7 + 2 10

32 + 90 7 + 2 10

adalah . . . d. e.

2 3 2 6

adalah . . . . d. 4 e. 16

6.

Bentuk sederhana dari 10 + 2 21 adalah . . . . a. d. 7+ 3 3− 7 b. e. 7 + 3 7− 3 c. 5− 3

7.

Diketahui log 2 = p dan log 3 = q nilai log 3 152 sama dengan . . . . 2 ( p + q ) 2 ( 1 + p − q ) a. d. 3 3 2 ( p − q ) 3 ( 1 − p + q ) b. e. 3 3 2 ( 1 − p + q ) c. 3 Tugas Akhir

8.

Nilai dari log 30 +

16

1 − log 10

48

1 log 10

adalah . . . . a. 0 b. 1 c. log 18 9. Jika

a

log y = 3 dan

dengan . . . . a. 1 b. 3 c. 9

d. log 60 e. 10 3a

log x = 3 nilai

x y

sama

d. 27 e. 81

10. Persamaan ( p − 1)x2− 4 px + 4 p + 7 = 0 mempunyai akar-akar positif. Akar-akar positif itu adalah . . . . 7 7 dan a. 3 dan 5 d. 3 2 7 7 dan 3 b. 3 dan e. 2 2 7 dan 5 c. 2 11. Selisih akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + px + 16 = 0 adalah 4. Nilai p yang positif adalah . . . . a. 2 3 d. 8 3 b. 3 3 e. 12 3 c. 6 3 12. Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 5x + a = 0 adalah α dan β . Jika α 2 + β 2 = 5 maka nilai a sama dengan . . . . 2 1 a. −6 d. 3 3 3 2 2 b. −3 e. 6 3 3 1 c. −3 3 2 x − y = 1 13. Himpunan penyelesaian dari   4x + 5y = 23 adalah . . . . {4,2} a. {2,3} d. {3,4} b. {3,2} e. c. {2,4} 159

19. Ji ka p → q : p = q maka p + r = q + r ,  q : p + q ≠ q + r kongruensi dari pernyataan di atas adalah . . . . a. p ≠ q d. p + r ≠ q + r b. q ≠ r e. p + r = q + r c. p ≠ r

14. Himpunan penyelesaian dari

1 − 2 = 8  a b 2 1  + =1  a b adalah . . . . a. b. c.

{ } {21 , 13} 1 1 − { 2 , 3} 1 1 ,− 2 3

d. e.

20. Misalkan terdapat beberapa trang dan beberapa tring dan beberapa trung. Misalkan pula semua trang adalah tring, dan beberapa trung adalah trang. X = Semua trang adalah trung Y = Beberapa trang adalah trung Z = Beberapa trung adalah tring

{ } 1 1 − { 2 , 3} 1 1 ,− 3 2

15. Sebuah kolam ikan berbentuk persegi panjang, jika lebarnya ditambah 10 m, dan panjangnya ditambah 5 m maka luas akan bertambah 350 m2. Tetapi jika lebarnya dikurangi 5 m dan panjangnya ditambah 10 m, maka luasnya akan berkurang 25 m2. Luas daerah persegi panjang mula-mula adalah . . . m2. a. 14 d. 322 b. 23 e. 422 c. 37 16. Himpunan penyelesaian dari

adalah . . . . a. x < 2 b. x > 4 c. 2 < x < 4

x−1 x−2

> x−3 x−4

dari

18. Himpunan penyelesaian −x + 3 ≤ 2 x + 1 adalah . . . . 2 ≤x≤3 a. d. x ≤ 3 3 2 1 b. − ≤ x ≤ 3 e. x ≥ − 3 2 2 c. −3 ≤ x ≤ − 3 160

21. Ingkaran dari pernyataan 16 25 = 52 adalah . . . . a. 16 + 9 ≠ 25 atau 25 ≠ 52 b. 16 + 9= 25 atau 25 = 52 c. 16 + 9 ≠ 25 atau 25 = 52 d. 16 + 9 ≠ 25 dan 25 ≠ 52 e. 16 + 9 ≠ 25 dan 25 = 52

= . . .

22. Sin 225°

d. x > 0 e. x < 0

penyelesaian 17. Himpunan 3x + 2 > 4 − x adalah . . . . 1 1 a. − < x ≤ 4 d. −4 ≤ x < − 2 2 1 1 b. − < x ≤ −4 e. −4 ≤ x < 2 2 1
Berdasarkan informasi tersebut yang mana saja dari pernyataan X , Y , Z yang pasti benar? a. X saja d. X dan Y saja b. Y saja e. Y dan Z saja c. Z saja

a.

−1

b.

−1 −

c.

−

2

2 2

+

0

b. 1 c.

= 25

dan

2

e.

1 2

2

23. cos2 45° a.

9

. d.

2

+

sin2 45° = . . . . 1 2 d. 2 1 e. 2

2

24. 2 cosα sin α a. 0 b. 1 c. sin α

+ ( cosα −

2

sin α ) = . . . . d. cosα e. tan α


25. Diketahui segitiga siku-siku PQR dan sikusiku di Q. Jika panjang PQ = 4 cm dan PR = 5 cm, maka tan ∠QPR adalah . . . . 4 5 a. d. 3 4 3 4 b. e. 4 3 3 c. − 4 4 26. Diketahui cos p = − dan 90° < p < 180° 5 nilai tan p adalah . . . . a. b. c.

9 25 −3 5 −3 4

d.

3 5

e.

−4 5

28. Jika diameter alas sebuah tabung sama dengan tingginya yaitu 8 cm maka luas permukaan tabung adalah . . . . a. 4π cm2 d. 48π cm2 b. 256π cm2 e. 128π cm2 c. 266π cm2 29. Luas permukaan kerucut jika jari-jari 6 cm dan garis pelukis 8 cm adalah . . . . a. 14π cm2 d. 128π cm2 b. 64π cm2 e. 288π cm2 c. 20π cm2 30. Volume kerucut dengan jari-jari lingkaran 6 cm dan tinggi 8 cm adalah . . . . a. 12π cm2 d. 144π cm2 b. 72π cm2 e. 288π cm2 c. 96π cm2

27. Pada segitiga ABC diketahui panjang sisisisinya adalah 3 cm, 5 cm, dan 7 cm. Besar sudut terbesar dari segitiga ABC adalah . . . . a. 30° d. 120 ° b. 45° e. 180° c. 60°

Tugas Akhir

161

PUSTAKA ACUAN Arsyad, M. 2004. Contextual Mathematics. Jakarta: Literatur Aminulhayat. 2004. Matematika. Bogor: Regina Bostock, L., cs. 2002. STP National Curriculum Mathematics 7A . United Kingdom: Nelson Thornes Collins, W. 2001. Mathematics Aplications and Connection. New York: Mc Graw-Hill Daiman, E. 2004. Penuntun Belajar Matematika. Bandung: Ganesha Exact Demana, F. and Waits, B. 1990. College Algebra and Trigonometri. New York: Addison Wesley Keng Seng, T. , dan Chin Keong, L. 2002. New Syllabus. Singapura: Shinglee Nasution, A. H. 1995. Matematika. Jakarta: Balai Pustaka Neswan, O. dan Setya Budhi, W. 2003. Matematika. Bandung: ITB Phillips, D., cs. 2000. Maths Quest for Victoria. Australia: John Wiley Purcell, E. J., dan Varberg, D. 1995. Kalkulus dan Geometri Analitik. Jakarta: Erlangga Swee Hock , L., cs. 2001. Matematik Tingkatan 4. Kuala Lumpur: Darul Fikir Sobel, M. A., dan Maletsky, E. M. 2001. Teaching Mathematics. New York: Pearson Sembiring, S. 2002. Olimpiade Matematika. Bandung: Yrama Widya Simangunsong, W. dan Poyk. F. M. 2002. Matematika Program Pemantapan Kemampuan Siswa. Jakarta: Gematama Soka, Y. 1986. Logika Matematika Elementer . Bandung: Tarsito Tampomas, H. 1999. Seribu Pena Matematika SMU . Jakarta: Erlangga

, 2004. Matematika Plus. Bogor: Yudhistira Wahyudin, H. 2002. Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia. Jakarta: Tarity Samudra Berlian

Sumber Gambar:

Microsoft Encarta Reference Library 2005. www.google.com

C atatan

Matematika SMA Kelas 1 - X

Recommend Documents