Diktat Perkuliahan Matematika Terapan
TURUNAN, INTEGRAL, PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN TRANSFORMASI TRANSFORMASI LAPLACE DALAM PENERAPANNYA DI BIDANG TEKNIK ELEKTRO
oleh : Deny Budi Hertanto, M.Kom.
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA SEMESTER GANJIL TAHUN 2009/2010
MATEMATIKA TERAPAN Materi I. Review Definisi Dasar Fungsi Variabel Turunan/Derivatif Beberapa aturan pada operasi turunan Latihan Soal Integral Beberapa sifat pada operasi integral Beberapa sifat trigonometri yang perlu diperhatikan diperhatikan Latihan Soal II Persamaan Diferensial Biasa Pengertian persamaan diferensial Pembentukan persamaan diferensial Orde persamaan diferensial Persamaan diferensial biasa Solusi persamaan Diferensial Solusi umum Solusi khusus Masalah nilai awal dan nilai batas Latihan Soal III. Persamaan Diferensial Orde 1 Bentuk Sederhana persamaan diferensial orde pertama Pemisahan Variabel Contoh Soal Cerita IV. Persamaan Diferensial Linear Orde 1 Ciri-ciri sifat linearitas pada Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial Eksak Metode Faktor Pengintegralan Solusi Persamaan Diferensial Non Eksak Dengan Faktor Pegintegaralan V. Persamaan Diferensial Orde 2 Persamaan Diferensial linear Orde 2 Persamaan Diferensial Linear Homogen Orde 2 dengan Koefisien Konstan ( Second ) Order H omoge omogeneous neous L in ear D if f erential Equati ons Wi th Constant Constant Coeff Coeff ici ents Akar-akarnya adalah bilangan riil dan sama Akar-akarnya adalah bilangan riil dan berbeda Akar-akarnya adalah bilangan kompleks Persamaan Diferensial Linear Non-Homogen Orde 2 dengan Koefisien Konstan ( Second Order Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients ) VI. Aplikasi Persamaan Persamaan Diferensial Dalam Dalam Bidang Teknik Elektro
2
I. REVIEW Definisi Dasar Fungsi Secara mudah, fungsi dapat dipandang sebagai “aturan” yang menghubungkan input dan output. Input yang diberikan akan dilewatkan ke sebuah blok fungsi, dan menghasilkan output sesuai dengan karakteristik blok fungsi. Hal ini dapat diilustrasikan sebagai berikut : aturan output
input
Gambar 1. Hubungan antara input, output, dan blok fungsi Sebuah fungsi “pengali input dua kali” akan menghasilkan nilai output dua kali dari nilai input. fungsi tersebut apabila dituliskan secara matematis adalah sebagai berikut : f : x 2 x , atau ditulis secara lebih kompak
f ( x) 2 x
dan digambarkan sebagai berikut : Fungsi input kalikan 2
f output
input
2x
x
Gambar 2. Sebuah fungsi dengan blok fungsi “input kalikan 2” Input suatu fungsi disebut sebagai argumen. Pada fungsi f ( x) 2 x , yang menjadi argumen adalah x. Jika x diganti dengan nilai 3, maka : f (3) 2.3 6 , dengan nilai argumen adalah 3. Sebuah fungsi dapat digambarkan secara grafik dengan memakai kordinat kartesius. Fungsi f ( x) 2 x dapat digambarkan dengan menguji nilai f ( x) untuk beberapa nilai x sebagai berikut. x = 2, f ( x) = 4
4
x = 1, f ( x) = 2 2
x = 0, f ( x) = 0 x = -1, f ( x) = -2 x = -2, f ( x) = -4 dst.
-2
-1
0
1
2
-2 -4
Gambar 3. koordinat kartesius fungsi f ( x) 2 x
Variabel Pada fungsi y f ( x) 2 x , x dan y dapat memiliki kemungkinan sejumlah nilai
tertentu, sehingga x dan y dinamakan sebagai variabel. x adalah variabel independent (variabel
3
bebas) dan y adalah variabel dependent (variabel tak-bebas), mengingat nilai y ditentukan oleh nilai variabel x. Contoh I.1 a. y x b. c.
dq
4
5x 2 , variabel dependent = y. variabel independent = x
6q 3t 2 , variabel dependent = q. variabel independent = t
dt d2 y 2
dt
9 x et , variabel dependent = y, variabel independent = x, t
pada contoh b dan c terlihat bahwa pada persamaan differensial, variabel dependent -nya -nya adalah variabel dalam bentuk turunannya. TURUNAN/DERIVATIF Berikut ini adalah turunan dari beberapa fungsi.
Tabel I.1. Beberapa fungsi yang sering digunakan beserta turunannya Fungsi, y(x) Konstanta
Turunan, y 0 ’
Fungsi, y(x)
Turunan, y ’
1
sin (ax b)
a 1 (ax b )
x n
nx
n 1
cos1 (ax b)
a 1 (ax b )
e x
e x
tan 1 (ax b)
2
2
a
e x ax e ln x ln x
e x
sinh(ax b)
1 (ax b) a cosh(ax b)
aeax 1
cosh(ax b)
a sinh(ax b)
tanh(ax b)
a sec h2 (ax b)
sin x sin x
x cos x cos x
cos ech(ax b)
a cos ech(ax b) coth(ax b)
cos x cos x
sin x sin x
sin(ax b)
a cos(ax b)
sec h(ax b) coth(ax b)
a s ech(ax b) tanh(ax b) a cos ech 2(ax b)
cos(ax b)
a sin(ax b)
sinh 1 (ax b)
2
a (ax b ) 1 2
tan(ax b)
a sec2 (ax b)
cosh 1 (ax b)
a (ax b ) 1 2
cos ec(ax b) a cos ec(ax b) cot(ax b)
tanh 1 (ax b)
a 1 (ax b ) 2
sec(ax b)
a sec(ax b) tan(ax b)
4
Beberapa Aturan Pada Operasi Turunan Jika u dan v adalah sebuah fungsi, dan c adalah konstanta, maka : (u v) ' u ' v ' 1.
(uv) ' u ' v uv ' (cu) ' cu ' u u ' v uv uv ' ( )' v v2
2. 3. 4.
Jika y y( z ) , dan z z( x) , maka :
5.
dy dx
dy dz * dz dx
Contoh I.2 Carilah turunan dari fungsi y berikut ini :
1. y ( x jawab :
sin x)
2
y '
d ( x2 )
d (sin x)
dx dx y ' 2 x cos x 2.
y x sin x . misalkan : u x, v sin x u ' 1 , dan v ' cos x maka y menjadi y uv . y ' (uv) ' y ' u ' v uv ' y sin x x cos x
3. y 10cos x Jawab :
y ' 10si 0sin x
4. y
t 2 2t 1
.
Jawab : Misalkan u t dan v 2t 1 . u ' 2t , dan v ' 2 2
u u u ' v uv uv ' y ( ) , maka y ' ( ) ' v v v2 2t (2t 1) t 2 .2 y ' 2 (2t 1) y '
4t 2 2t 2t 2 (2t 1) 1)2
5. y z , z x 6
2
2t 2 2t (2t 1) 1)2
1. Carilah
dy dx
2t (t 1) (2t 1) 1)2
!
5
Jawab :
y ( x2 1)6 ,
dy dx
dy dz * dz dx
6 z .2 x 12 x. z 5 12 x( x 2 1)5 5
Latihan Soal I.1 Temukan turunan dari
1. 2.
y e7 x y tan(3x 2)
4.
y x5 y sin( x )
5.
y
3.
1
6. 7.
t 5 y cos(4 t ) y
8.
y cos 1(4t 3)
y sin 1 ( 2t 3) 1 10. y sin(5 x 3) 9.
11. y 3sin(5t ) 2e 12. y 2e
3t
13. y 14. y
1
t 3 3 2w 3
15. y
4t
17 4 sin(2t ) cos 5t
2 4w e 2
x ln( x ) 1
1
16. y 3sin (2t ) 5cos (3t ) 17. y
1 2
tan 1 (t 2) 4 cos 1 (2t 1)
18. Sebuah fungsi : y(t ) (a) tentukan
t3 3
5t 2 2
4t 1
dy dt
(b) jika turunan pertama fungsi tersebut adalah nol, berapa nilai t ?
6
Latihan Soal I. 2 Carilah turunan dari fungsi berikut ini : 1. y sin x cos x
2. y
xe x
3. y e sin t cos t t
4. y e sin t cos t (nomor 1-4, gunakan aturan perkalian) t
5. y 6. y 7. y
cos x sin x e 2t t 3 1 3 x 2 2 x 9
x3 1 2 8. y ln( x 1) 9. y sin (3t 2) 3
10. y
1 t 1
INTEGRAL Proses mengintegralkan suatu fungsi merupakan kebalikan turunan/derivatif. Suatu
d ( fx )
fungsi f(x) dapat kita turunkan menjadi :
dx
. Apabila kita ingin mencari suatu fungsi f(x)
dari turunan/derivatif-nya, maka dinamakan : integral Tabel I.2. Beberapa fungsi yangs sering digunakan beserta integral fungsi tersebut Fungsi, f (x)
f ( x)dx
Fungsi, f (x)
f ( x)dx
K, Konstanta
kx c
tan ax
ln | sec ax |
x n
x n1
tan(ax b)
n 1 x
e
c, n 1
e x c
c a ln | sec(ax b) | a
cos ec(ax b)
1 a
e x e
ax
x
1
e x c eax
c
a ln | x | c
s ec(ax b)
1
cot(ax b)
a 1 a
1 a x 2
2
c
ln | co sec(ax b) cot(ax b) | c ln | sec(ax b) tan(ax b) | c ln | sin(ax b) | c
sin
1
x a
c
7
cos x c
sin x
1 a x 2
1 2
a
tan
1
x a
c
cos ax
sin ax
sin(ax b)
c a cos(ax b)
cos x cosax
a sin x c sin ax
cos(ax b)
c a sin(ax b)
tan x
a ln |sec x | c
c
c
Contoh I.3 Temukan fungsi y jika : (a) y ' 6 x
(b) y ' 4 x
3
(c) y ' cos x x jawab : 1.
y 6 xdx y 3x2 c , dengan c adalah suatu konstanta sembarang. Perlu diingat, bahwa turunan dari suatu konstanta adalah nol.
2.
y 4 x3dx y
3.
4 (3 1)
x(31) , y x 4 c
y (cos x x)dx y sin x
1 2
x2 c
Beberapa sifat pada operasi integral (sifat linearitas):
( f g )dx fdx gdx 2. Afdx A fdx 3. ( Af Bg)dx A f dx B gdx 1.
(sifat 1-3 dinamakan sifat linearitas) 4.
uv ' dx uv vu ' dx
8
Beberapa sifat trigonometri yang perlu diingat :
1. sin t cos t 1 2
2
2. cos t 2
3. sin t 2
4. tan t
1 cos2t 2 1 cos2t
2 sin t
cos t 5. sin2t 2sin t cos t 2 2 2 2 6. cos 2t 1 2sin t 2cos t 1 cos t sin t 2 2 7. tan t 1 sec t 2 8. 1 cot 2t co sec t 9. sin( A B) sin A cos B sin B cos A 10. cos( A B) cos A cos B sin A sin B tan( A B ) 11. tan( A B ) 1 tan A tan B 12. 2sin A cos B sin( A B) sin( A B) 13. 2sin A sin B cos( A B) cos( A B) 14. 2cos A cos B cos( A B) cos( A B)
Latihan Soal I.3 Temukan fungsi y jika : 1. y sin(3x 2)
9.
2.
y 5.9
10.
3.
y e
11.
4.
y
1 x5
12.
3t
nomor 5 dst, gunakan sifat linear integral 5. 6. 7.
y 3t 2 t sin x cos x y 2 y 7 cos ec( ) 2 y 4cos(9 x 2)
13.
cos tdt sin tdt xe dx e sin tdt (3 x 1) dx 2
2
2 x
t
5
2
14.
sin t cos
2
tdt
1
15.
4
(5 x 7)dx
8. nomor 9 dst. Carilah :
9
II. Persamaan Diferensial Biasa (Ordinary Dif ferential Equations )
II. 1 Pengertian Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial/PD adalah persamaan yang di dalamnya berisi turunan (derivative atau differential ) satu atau lebih variabel. Persamaan diferensial orde 1 dengan y sebagai variabel independent dan x sebagai variabel dependent ditulis secara matematis sebagai
dy
berikut :
f ( x, y) . Sedangkan persamaan diferensial dalam orde 2 ditulis secara matematis
dx d2y
sebagai :
dx
2
f ( x, y,
dy dx
) dengan catatan, tidak semua variabel dari fungsi f harus muncul
dalam persamaan. Contoh dari persamaan diferensial antara lain:
dy
(1)
e x si n x
dx
(x adalah variabel independent , y adalah variabel dependent yang nilainya tergantung x) (2) y" 2 y' y cos x
2 u
(3)
x
2
2 u y
2
(4) 3 x dx 2 ydy 2
u t
0
II
Pembentukan persamaan diferensial Persamaan diferensial muncul ketika terjadi perubahan pada suatu besaran, yang biasanya dinyatakan dalam suatu fungsi matematis. Contoh (1), (2), (3) dan (4 ) merupakan persamaan diferensial yang secara matematis diekspresikan tanpa mengetahui latar belakang pembentukan/terjadinya persamaan diferensial tersebut. Contoh pembentukan persamaan diferensial dalam dunia riil adalah persamaan differensial yang terbentuk dari suatu objek yang sedang bergerak. Dimisalkan objek tersebut
bergerak dengan karakteristik persamaan :
d2x 2
dt
6
dx dt
2 x 3t dengan :
x menyatakan jarak
d2x 2
dt dx dt
(yaitu turunan kedua fungsi jarak) menyatakan percepatan, dan
(turunan pertama) menyatakan kecepatan.
Contoh yang lain adalah muatan listrik yang bergerak, dimisalkan memiliki persamaan :
dq dt
8q sin t dengan q merupakan muatan listrik,
dq dt
merupakan laju aliran muatan (yang
diistilahkan sebagai aliran arus listrik). Contoh lain pembentukan persamaan diferensial adalah pada rangkaian listrik yang terdiri dari komponen RC sebagaimana diperlihatkan dalam gambar berikut :
10
R
VR
i Vs
+ C Vc
-
Gambar II.1 Suatu Rangkaian listrik dengan saklar Berdasarkan hukum kirchof, jumlah tegangan pada loop tertutup dari suatu rangkaian listrik adalah nol. Jika dituliskan : VS VR V C , atau V R VS V C . Vs = tegangan sumber Vc = tegangan pada kapasitor VR = tegangan pada resistor Berdasarkan hukum Ohm, arus yang mengalir pada resistor (pada rangkaian tertutup) dapat dicari dengan rumus : i
Vs Vc R
.
dVc
Arus yang mengalir pada kapasitor adalah : i C
dt
.
Oleh karena arus yang mengalir pada kapasitor = arus yang mengalir pada resistor, maka :
Vs Vc R
dVc
C
dt
.
Sehingga didapatkan : RC
dVc dt
Vc Vs .Persamaan ini merupakan persamaan diferensial
dengan Vc adalah variabel dependent , dan t merupakan variabel independent . Lebih lanjut tentang aplikasi persamaan diferensial dalam bidang elektro, dapat dipelajari di bagian akhir bab ini. Orde Persamaan Diferensial Orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi dari turunan yang ada di dalam persamaan diferensial tersebut.
R
dq
dt d
q C
3 , adalah persamaan diferensial orde pertama dalam q
sin( ) , adalah persamaan diferensial orde pertama dalam θ dt x '' 4t 2 0 , adalah persamaan diferensial orde kedua dalam x d 3u dt
3
du
u 4t 2 , adalah persamaan diferensial orde ketiga dalam u
dt
Persamaan Diferensial Biasa Persamaan diferensial yang hanya melibatkan satu variabel independent disebut sebagai persamaan diferensial biasa. Sehingga contoh (1), (2), dan (4) di muka merupakan contoh persamaan diferensial biasa, sedangkan contoh (3) bukan merupakan persamaan diferensial biasa. Selanjutnya, (3) merupakan persamaan diferensial parsial ( partial differential equation,PDE).
11
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang melibatkan dua atau lebih variabel independent . Contoh : persamaan diferensial parsial orde 1 dengan 2 variabel independent
dy dx1
:
x1
dan
x2
ditulis
dalam
bentuk
:
y x1
f ( x1, x2, y) , dan bukan
f ( x1, x2, y) .
Solusi Persamaan Diferensial Solusi persamaan differensial adalah suatu fungsi yang memenuhi persamaan diferensial yang dimaksudkan. Pada kedua kasus di atas adalah dimaksudkan untuk mencari nilai x(t) dan q(t). Solusi persamaan differensial dapat berupa solusi analitis, dimana jawaban dari persamaan t differensial tersebut dapat dinyatakan dalam fungsi-fungsi dasar seperti e , sin t , cos t , dst. Tidak semua persamaan diferensial dapat dicari solusinya secara analitis. Solusi persamaan differensial dapat juga dicari dengan menggunakan metode numerik yang menghasilkan solusi dengan nilai pendekatan. 3
Contoh II.1: Tunjukkan bahwa x = t adalah solusi dari persamaan diferensial :
dx dt
3t 2
Jawab : Untuk membuktikan bahwa x = t 3 adalah solusi dari persamaan diferensial substitusikan x = t 3 kedalam persamaan 3
d (t ) dt dx dt
dx dt
dx dt
3t 2 , maka
3t 2 .
3t 2 , 3t 2 3t 2 , berlaku untuk semua nilai t , sehingga x = t 3 adalah solusi dari
3t 2 .
Contoh II.2 : Tunjukkan bahwa y t
2
3t 3.5 adalah solusi dari persamaan diferensial
y '' 3 y ' 2 y 2t 2 .
3t 3.5 , y ' 2t 3 , y '' 2 . Substistusikan ke dalam persamaan diferensial y '' 3 y ' 2 y 2t 2 , sehingga : 2 3(2t 3) 2(t 2 3t 3.5) 2t 2 2t 6t 9 2t 2 6t 7 2t 2 2t 2 2t 2 2 Solusi ini berlaku untuk semua nilai t. Sehingga y t 3t 3.5 merupakan solusi dari 2 persamaan diferensial y '' 3 y ' 2 y 2t Jawab : y t
2
Solusi Umum dan Khusus Persamaan diferensial boleh jadi memiliki banyak solusi. Sebagai contoh, persamaan
diferensial
dx dt
3t 2 dapat memiliki solusi x = t 3, x = t 3+9, x = t 3-6, dst. Solusi solusi ini disebut
sebagai solusi khusus, sedangkan x = t 3 + C merupakan solusi umum dari
dx dt
3t 2 .
12
Persamaan differensial dalam bidang teknik umumnya digunakan untuk memodelkan sistem dinamis, yaitu sistem yang berubah terhadap waktu. Contoh dari beberapa sistem dinamis antara lain: 1. Rangkaian listrik dengan arus/tegangan yang merupakan fungsi waktu. 2. Dalam produksi kimia, dimana tekanan, laju aliran, dst selalu berubah terhadap waktu. 3. Peralatan semikonduktor, dimana kerapatan hole dan elektron selalu berubah. Masalah Nilai Awal dan Nilai Batas Jika dalam suatu persamaan diferensial diberikan suatu kondisi tambahan dengan sebuah nilai yang sama pada variabel independent -nya (baik fungsi maupun turunannya), maka dikatakan bahwa persamaan diferensial tersebut sebagai masalah nilai-awal ( initial-value problem). Jika kondisi tambahan yang diberikan merupakan nilai yang berbeda pada variabel independent -nya, maka dikatakan sebagai masalah nilai-batas ( boundary-value problem). Contoh II.3 : Sebuah persamaan diferensial :
y 2 y e x ; y( ) 1, y( ) 2 merupakan bentuk initial-value problem, karena terdapat dua kondisi tambahan yaitu pada x , dengan y (π) = 1 dan y’ (π) = 2. Sedangkan pada persamaan diferensial :
y 2 y e x ; y( 0 ) 1, y( 1 ) 1 merupakan bentuk boundary-value problem, karena dua kondisi tambahan diberikan pada nilai x yang berbeda, yaitu pada x 0 and x 1 . Latihan Soal II.1: 1. Tunjukkan bahwa : y 3sin2 x adalah solusi dari persamaan diferensial : 2
d y dx2
4 y 0 dy
2.
Jika y Ae adalah solusi umum dari
3.
y(0) = 3. Identifikasi variabel dependent dan independent dari persamaan diferensial berikut ini. Dan sebutkan orde persamaan diferensial tersebut!
2 x
3
(a)
dx dy
3
5
dy dx
2 y , carilah solusi khusus yang memenuhi
cos x
9 y 0 dx dy d 2 y dy 0 (c) ( )( 2 ) 9 dx dx dx d2y dy y 0 adalah : y Axe x Bex . Carilah solusi Solusi umum dari : ( 2 ) 2 dx dx dy khusus yang memenuhi : y(0) = 0, (0) 1 dx (b)
4.
d y
dx
13
III. Persamaan Diferensial Orde 1
Sebelum membahas persamaan diferensial orde tinggi, akan dibahas terlebih dahulu persamaan diferensial orde 1. Bentuk Sederhana Bentuk sederhana persamaan diferensial orde 1 adalah : dicari dengan cara mengintegralkan f(x), yaitu : y
dy dx
f ( x) . Fungsi y dapat
f (x)dx . Namun d, kebanyakan pada
demikian, persamaan diferensial yang dijumpai dalm soal umumnya tidak sesederhana itu bentuknya.. Contoh III.1
dy dx
5sin2 x . Untuk mencari fungsi y (x), persamaan tersebut diintegralkan : 5
Maka y 5sin2 xdx ,
y cos2 x C 2
Pemisahan Variabel
Jika persamaan diferensial memiliki bentuk :
dy dx
f ( x )g ( y) , maka penyelesaian
persamaan diferensial tersebut dapat dicari dengan metode pemisahan variabel, yaitu :
1
g ( y)dy f ( x)dx . Berikut ini adalah contoh penyelesaian persamaan diferensial dengan metode pemisahan variabel. Perhatikan bahwa variabel dikelompokkan sesuai dengan variabel sejenisnya, yaitu variabel x dengan dx, variabel y dengan dy. Contoh III.2
Temukan solusi persamaan diferensial berikut dengan metode pemisahan variabel : (a)
(b)
(c)
(d)
dy dx dy dx dy dx
dm dt
x 2 y x
2
y 1 x 3
x y
, y(0) = 1
2 m sin t,
m(0) 4
Jawab : (a) Persamaan diferensial
dy dx
x 2 y
menjadi ydy
x 2 d x sehingga
14
yd y x y
(b)
2 x3 3
2
yd y
(c)
1 x
2
x3
3
2x 3
C y
3
2C , cukup ditulis:
C
Persamaan diferensial
x2
dx
y2
dx 3
dy
dx
x 2
y 1 x y2
2
3
menjadi ydy
x2 1 x 3
d x sehingga
1
2
3
3
ln1 x 3 C y
ln 1 x 3 C '
Pisahkan variabel yang sama sehingga persamaan diferensialnya menjadi :
ydy xdx , integralkan kedua ruas :
ydy xdx
1
1 y2 x2 c , 2 2
Kalikan kedua ruas dengan 2 sehingga menjadi : y x c ( seharusnya adalah 2c, namun karena masih bersifat konstanta, cukup ditulis c saja). Untuk mencari nilai c, substitusikan nilai y(0) = 1. 2
2
12 02 c , c 1 Sehingga solusi persamaan diferensial
dm
(d)
dt
dm m
m
2 m sin t,
2sin tdt , 1 2
dy dx
x y
adalah : x
2
y2 1
m(0) 4 . Pisahkan variabel yang sama sehingga :
dm 2 sin t dt ,
dm m
2sin t dt , 1
2m 2 2cos t c ,
oleh karena c = 3, maka m 3 cos t
m cos t c
2
Latihan Soal
1. 2. 3. 4.
dx dt dy dx dy dx dx
dt
10 e2 x
e2 x y2 9cos4t
x
2
15
5. 6. 7.
dx dt dy dt dy dx
8.
x2
9.
y
3cos2t 8sin4t
x x 3sin t
, y(0) = 2
y 2
6x
dy
2 y 2 yx
y
dx dy dx
2
, y(0) = 1
sin x
10. temukan solusi umum dari persamaan diferensial :
dx dt
( x2 1) t
. Tentukan solusi
khusus yang memenuhi : x(0) = 5 Contoh Soal Cerita Contoh III.3 Laju pertumbuhan penduduk suatu negara adalah 1,3 kali jumlah penduduk saat ini. Jika jumlah penduduk saat ini adalah 80, berapakah jumlah penduduk setelah 100 minutes ? Jawab : Langkah 1 Pemodelan menjadi persamaan diferensial
dN dt
1.3 N
Langkah 2 Integralkan
dN N
1.3dt , ln | N | 1.3t c
Langkah 3 Jadikan N sebagai subjek :
N e1.3t c Langkah 4 Susun kembali persamaan N dengan konstanta yang bersangkutan:
N e1.3t ec , N Ae1.3t dengan A = ec Langkah 5 Cari nilai konstanta :
80 Ae0 A 80
(didapat dari N(0) = 80)
Langkah 6 Temukan solusinya :
N 80e1.3100 , N 2.2981058 individu Contoh III.4 Jawab : Blok es deng berat 10kg meleleh dalam lingkungan yang temperaturnya naik. Laju pengurangan berat es per detik adalah sebanding dengan 20 dikurangi berat es yang tersisa. Setelah 60 detik, berat es adalah 9.5 kg. berapa berat es setelah 120 detik ? Langkah 1 Susun persamaan diferensialnya :
dM dt
k (20 M ) , M( 0 ) = 10 , M( 60 ) = 9.5
Langkah 2 Integralkan :
16
dM
k (20 M ) ,
dM
20 M k dt
dt ln | 20 M | kt c
Langkah 3 Jadikan M sebagai subjek :
ln | 20 M | kt c , 20 M ekt c , M 20 ekt c Langkah 4 Susun kembali persamaan M dengan konstanta yang bersangkutan:
M 20 ekt ec , M 20 Aekt , dengan A = ec Langkah 5 Cari nilai konstanta Gunakan nilai kondisi awal : M( 0 ) = 10 , M( 60 ) = 9.5
10 20 Ae0 A 10 , 9.5 20 Ae60k , 10e60k 10.5 , e60k 1.05 , 60k ln1.05 , k 0.000813 0.000813t maka M 20 10e Langkah 6 Temukan solusinya :
M 20 10e0.000813t , M (120) 20 10e0.000813120 , M (120) 8.975 kg Contoh III.5 Jawab : Laju pertumbuhan suatu kultur bakteri adalah sebanding (proporsional) dengan fungsi eksponensial pangkat t, dengan t adalah waktu (dalam jam). Disebabkan karena pertumbuhan bakteri yang sangat cepat, maka terjadi overcrowding , sehingga laju pertumbuhan bakteri juga berbanding terbalik dengan pangkat empat dari jumlah bakteri saat itu. Lewat eksperimen diketahui bahwa konstanta proporsionalnya adalah 1. Jika pada awalnya hanya terdapat 1 bakteria, berapa banyak bakteria dalam waktu 5 jam ? Solusi :
pemodelan matematis :
dn dt
t
e
n4
n(0) 1 , ditanyakan : n(5) = ???
,
4 cos 0 c 2 1 c
n dn e d , 4
t
n dn e dt , 4
n
5
5
et c , n5 5et c
1 5e c 1 5 c 5
evaluasi nilai c :
t
0
c 4
n5 5et 4 , n 5 5et 4 ,
n(5) 5 5e5 4
4 IV. Persamaan Linear Orde Pertama
Adakalanya persamaan diferensial memiliki bentuk :
dy dx
P( x) y Q( x) , maka dikatakan
bahwa persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial linear orde pertama. P(x) dan Q(x) merupakan fungsi x. Contoh persamaan diferensial linear orde pertama adalah
17
dy dx dy dx
5 xy 7 x 2 ,
2y
4e x ,
x
P(x) = 5x
Q(x)
= 7x2
P(x)
=
2
x x Q(x) = 4e
Metode Faktor Pengintegralan Persamaan linear orde pertama dapat dicari solusinya dengan metode : faktor pengintegralan, yaitu dengan cara mengalikan persamaan diferensial linear tersebut dengan μ
dy
sehingga :
dx
Py Q , dengan P dan Q merupakan fungsi dengan variabel x.
Faktor pengintegralan/ μ dapat dicari dengan rumus : e . Ide dari penggunaan faktor pengintegaralan ini adalah menjadikan persamaan diferensial tersebut bersifat eksak, yakni Pdx
dy
sisi kiri persamaan diferensial
d
Ingat bahwa :
y
dy
dx
Py
dx d
dx d dx
( y)
dy
dx dy dx
dx d
y
y
d
Py Q dapat ditulis sebagai : ( y) Q( x) .
dx d dx
dx
( dari rumus (uv) ' u ' v uv ' ). Sehingga :
, disederhanakan menjadi :
Py
P ,
d dx
P
maka akan didapatkan : e kembali ke persamaan diferensial mula-mula : Pdx
d dx
( y) Q( x) , y Qdx y
1
Qdx
Contoh IV.1
Tentukan penyelesaian dari :
dy dx
y x
5 dengan faktor pengintegralan
Jawab : dari persamaan diferensial Maka : y
y
1 x
1
dy dx
y x
5 , terlihat bahwa P
1 x
dan Q 5 .
1
x dx eln x x Qdx , dengan e
5xdx
18
y
15 x 2
x 2 C , y
5 2
x C
Latihan Soal :
1. Buktikan bahwa solusi dari persamaan diferensial 2. 3.
dy dx dx dt dy
d dx
P adalah : e
Pdx
.
4 y 8, y(0) 1 3 x 8
y 2 x 8 dx dy y x3 5. x dx 4.
Persamaan Diferensial Eksak Sebuah persamaan diferensial dengan bentuk :
M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 dinamakan persamaan diferensial eksak ( exact differential equation) jika terdapat sebuah fungsi f
f f and N pada daerah tertentu. Oleh karenanya, x y f f dx dy 0 . Solusi dari persamaan ini persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi : x y adalah f ( x, y) k , k adalah nilai konstanta tertentu. sedemikian rupa sehingga M
f f dan N ( x, y) maka persamaan diferensial dalam bentuk x y M N M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 dikatakan eksak jika dan hanya jika . y x Apabila M ( x, y)
Contoh IV.2
Buktikan bahwa persamaan diferensial berikut bersifat eksak dan tentukan solusi persamaan diferensial tersebut :
(a) 9 x
2
y 1dx 4 y x dy 0
(b) e sin y 2 y sin x dx e cos y 2 cos x dy 0 x
x
jawab : (a) Untuk persamaan diferensial
19
M ( x, y) 9 x 2 y 1 N ( x, y) 4 y x
M 1 y
N 1 x
oleh karenanya, persamaan diferensial tersebut eksak. Fungsi diferensialnya adalah :
f 9 x 2 y 1 x f 4 y x y
f ( x , y)
9 x
2
y 1dx 3x 3 x y x C1 ( y )
f ( x , y ) 2 y x y C2 ( x) 2
dengan membandingkan kedua persamaan di atas maka didapatkan :
f ( x, y) 3x 3 x y x 2 y 2 Oleh karenanya, solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah :
3 x 3 x y x 2 y 2 k (b) Untuk persamaan diferensial ini :
M ( x, y) e x sin y 2 y sin x N ( x, y) e x cos y 2 cos x
M x e cos y 2 sin x y N x e cos y 2 sin x x
adalah merupakan persamaan diferensial bersifat eksak. Fungsi diferensialnya adalah :
f x e sin y 2 y sin x x f x e cos y 2 cos x y
x f ( x, y) e sin y 2 y cos x C1 ( y)
x f ( x, y) e sin y 2 y cos x C2 ( x)
dengan membandingkan kedua persamaan di atas maka didapatkan :
f ( x, y) e x sin y 2 y cos x Oleh karenanya, solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah :
e x sin y 2 y cos x k Solusi Persamaan Diferensial Non Eksak Dengan Faktor Pegintegaralan Apabila persamaan diferensial dalam bentuk :
M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0
jika tidak eksak, faktor integralnya dicari terlebih dahulu. Pedoman mencari faktor pengintegralannya adalah sebagai berikut :
20
1 M
N f ( x) , dengan f(x) N y x f ( x ) dx integralnya adalah : e a. jika
adalah fungsi dalam x, maka faktor
N g ( y) , dengan g(y) adalah fungsi dalam y, faktor integralnya N y x g ( y ) dy adalah e
b. jika
1 M
Contoh IV.3 Temukan faktor pengintegralan dari persamaan diferensial biasa berikut dan tentukan solusinya :
3 x
2
y 2 x y y 3 dx x2 y 2 dy 0
solusi:
M ( x, y ) 3x 2 y 2 x y y 3
M y
3 x 2 2 x 3 y 2 dan
N ( x, y) x 2 y 2
terlihat bahwa
N x
x
2 x dan
6x y 2 y N y
2y
N 3 . Oleh karenanya, faktor pengintegralannya adalah : x N y
3d x e
exp
M
1 M
3x
sehingga persamaan diferensial-nya menjadi
e 3 x 3x 2 y 2 x y y 3 dx e3x x2 y2 dy 0 fungsi diferensialnya adalah f ( x, y)
f e 3 x 3x 2 y 2 x y y 3 x f e 3 x x 2 y 2 y
3 2 y f ( x, y) e x y C( x) 3 3x
3 f y 3 x 3 x 2 e 2 x y 3e x y C' ( x ) x 3 f e 3 x 2 x y 3x 2 y y 3 C' ( x ) x
dengan membandingkan kedua persamaan di atas, didapatkan :
C '( x) 0,
sehingga
C ( x) constant
solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah :
21
2 y 3 k f ( x , y ) e x y 3 3x
22
Contoh IV.3 4 y
Selesaikan : (2 xy e
2 xy3 y) dx ( x2 y4 ey x2 y2 3 x) dy 0
Jawab : Kita periksa terlebih dahulu apakah persamaan diferensial tersebut bersifat eksak ataukah tidak.
M 8 xy3e y 2 xy 4e y 6 xy 2 1 y N 2 xy4e y 2 xy 2 3 x N M . Selanjutnya dicari faktor integralnya : x y M N M N y x 4 3 y 2 8 xy e 8xy 4 , dan g ( y) N y y x
persamaannya tidak eksak karena
4
maka faktor integralnya adalah : e
(2 xe 2 y
x y
1 y
1
)dx ( x e 3
Selanjutnya : ambil =
1 y 4
, sehingga persamaan diferensialnya berbentuk :
y 4 2
e4ln y
(2 xy4 e y 2 xy3 y) dx ( x2 y4 ey x2 y2 3 x) dy 0
kalikan persamaan diferensial dengan faktor integralnya, yaitu :
dy
y
y
x2 y2
Mdx
x e 2 y
x
3
x2 y
y3
) 0 dan persamaan diferensial ini eksak.
(2 xe y 2
x y3
x y
1 y3
)dx
( y)
x 2 y x 2 sehingga : x e 2 3 4 '( y ) = N y y y x e 2 y
x 2
3
x
'( y ) x e 2
y
x2
3
x
y 2 y4 y2 y4 sehingga '( y) 0 , maka ( y) konstanta oleh karenanya, solusi persamaan diferensial
(2 xy4 e y 2 xy3 y) dx ( x2 y4 ey x2 y2 3 x) dy 0 2 y
adalah : x e
x2 y
x y3
C
Soal latihan periksalah apakah persamaan diferensial di bawah ini eksak atau tidak, kemudian carilah solusinya. 1. ( x2 y2 x) dx ( xy) dy 0 3
2. (2 x y
2
4 x2 y 2 xy2 xy4 2 y) dx 2( y3 x2 y x) dy 0 23
V. Persamaan Diferensial Orde 2 Persamaan Diferensial linear Orde 2 Persamaan diferensial linear orde 2 memiliki bentuk umum sebagai berikut : : 2
d y 2
q( x)
dy
r ( x) y f ( x) dx dx dengan p( x) ,q( x) , r ( x) dan f ( x) adalah fungsi dengan variabel x. Apabila f ( x) = 0, maka persamaan diferensial ini dikatakan homogen. Sebaliknya, jika f ( x) 0 , maka dikatakan p( x)
sebagai persamaan diferensial linear tidak homogen orde 2. 2
p( x) p( x)
d y 2
q ( x)
2
q( x)
dx 2 d y dx
dy dx dy dx
r ( x) y 0 ,
homogen
r ( x) y sin x ,
tidak homogen
contoh persamaan diferensial linear orde 2 antara lain : 2
x
2
d y dx
2
x
dy dx
1 x
y sin x
Persamaan Diferensial Linear Homogen Orde 2 dengan Koefisien Konstan ( Second Or der ) H omogeneous L in ear Di ff er enti al Equati ons Wi th Constant Coeff ici ents Orde 2 : pangkat tertinggi dari turunan (derivatif) yang terdapat pada persamaan diferensial :
Contoh :
d2x dt 2
Homogen : tiap elemen mengandung unsur : 2
Contoh : x
d 2x dt 2
3
d x
dx
dt
2
3
t 3
dt
dx
dt
x
0
t
tidak
d2x dx , , x dt 2 dt
homogen
homogen 2
d x dx , , x dan Linear : tiap elemen persamaan mengandung setidaknya satu unsur : dt 2 dt 2
tidak
d x dx x terdapat unsur : atau . 2 dt dt 2
Persamaan diferensial dikatakan linear jika : 2
dx 1. Variabel dependent dan turunannya berpangkat satu. Jadi bentuk adalah non dt linear (mengapa ??) 2. Tidak ada perkalian antara varibel dependent dan turunannya. Sehingga bentuk x
d2x 2
dt
adalah non-linear (mengapa??) 3. Variabel dependent tidak berbentuk fungsi non-linear, seperti fungsi sinus, cosinus,
24
eksponensial, dst.
dx
Contoh :
4t
dt d 2x
4t dt 2 d 2x dx x t 2 3 0 Linear, karena syarat (1),(2),(3) terpenuhi dt dt t 2
2
dx x t 2 3 0 , Tidak linear karena menyalahi syarat (2) dt dt t d x
2
d y
y 2 0 , Tidak linear karena menyalahi syarat (1)
2
dx dy
cos y 0 , Tidak linear karena menyalahi syarat (3)
dx
d2x dx Koefisien Konstan : koefisien , , x adalah konstanta 2 dt dt Solusi Umum Contoh dari persamaan diferensial linear homogen orde 2 dengan koefisien konstan antara lain :
:
d2x dt 2
dx
2
6 x 0 ,
dt
d x 2
dt
4 x 0 , dst
Berikut ini contoh dalam mencari solusi umum persamaan diferensial linear homogen orde 2 dengan koefisien konstan Contoh V.1
Carilah solusi dari persamaan diferensial :
d 2x dt
2
4
dx
3 x 0 .
dt
Jawab : Misalkan x Ce , maka t
dx dt
C e , dan t
d 2x 2
C 2e t
dt 2 t t Substitusikan sehingga menjadi : C e 4C e 3Ce 0 , 4 3 0 2 t
Bentuk
2
4 3 0 merupakan persamaan karakteristik. Selanjutnya substitusikan
x Ce ke persaman t
d 2x dt
2
4
dx
3 x 0 menghasilkan persamaan 2 4 3 0 , dengan
dt
3t
= -3, -1. oleh karenanya terdapat 2 solusi, yaitu x Ce 2
solusi umum persamaan diferensial
d x dt
2
4
dx
dan x Cet . Oleh karenanya,
3 x 0 adalah : x C1e3t C2et
dt
Contoh V.2 Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut :
25
2
d x
2
dt 2
dx
15 x 0
dt
jawab : misalkan x Ce , maka t
dx
C e , dan t
d 2x 2
dt dt C 2et 2C et 15 Ae t 0 , 2 2 15 0
C 2e t
Didapatkan = 5, -3. Solusi umum : x C1e
5t
C2e 3t
Catatan : 2
d x dt
2
dx
4
dt
2
d x dt
2
2
3 x 0 memiliki persamaan karakteristik 2 4 3 0
dx
15 x 0 memiliki persamaan karakteristik 2 2 15 0
dt
2
jadi :
d x 2
2 ,
dt d 2x
maka :
dt
2
5
dx
dx dt
, x 1
6 x 0
dt
2 5 6 0
Akar-akar persamana karakteristik dapat memiliki 3 kemungkinan : 1. Akar-akarnya adalah bilangan riil dan berbeda 2. Akar-aknya adalah bilangan kompleks dan sama 3. Akar-akarnya adalah bilangan kompleks 4. Akar-aknya adalah bilangan riil dan sama Latihan Soal : Tuliskan persamaan karakteristik dari : 2
(a) (b) (c)
d x 2
dt d 2x
3
2
dt d 2x dt 2
dx
x 0
dt dx
0
dt
3 x 0
Akar-akarnya adalah bilangan riil dan berbeda
Jika akar persamaan karakteristik adalah dan , maka solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah : y C1e
x
C2e x , jika y adalah variabel dependent dan x adalah variabel
independent . Contoh V.3 Temukan solusi dari persamaan diferensial :
d 2x dt
2
4
dx
3 x 0
dt
x(0) 1, x (0) 0
3 langkah penyelesaian :
26
1. Tuliskan persamaan karakteristik dan cari nilai 2. Tuliskan solusi umum 3. Cari nilai konstanta dari solusi umum Jawab :
4 3 0 ( 3)( 1) 0 3, 1 3t t (2) x C1e C2e (3) (i) x(0) 1 1 C1 C 2 3t t (ii) x 3C1e C2e , x(0) 0 0 3C1 C 2 (1)
2
maka dicari nilai C 1 dan C 2 dari persamaan : 1 = C 1 + C 2 dan 0 = -3C 1 -C 2
C1 1 C 2 , 0 3(1 C2 ) C 2 1 3 C 2 , C1 2 2 2 1 3t 3 t d x dx sehingga solusi dari 4 3 x 0, x (0) 1, x (0) 0 adalah x e e dt 2 dt 2 2 apabila digambar dalam grafik akan terlihat seperti gambar berikut : 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
1
Gambar. Grafik dari x
12 2
e
3t
3
3
e
4
t
2
Contoh V.4 Temukan solusi dari persamaan diferensial : 2
d x dt
2
7
dx
12 x 0 x(0) 1 x( 0 ) 0
dt
Jawab :
7 12 0 ( 3)( 4) 0 3, 4 3t 4t (2) x C1e C2e , x(0) 0 0 3C1 4C 2
(1)
2
(3) 1 = C 1 + C 2 dan 0 = 3 C 1 + 4 C 2
C 2 3 , C1 4 d 2x
Jadi
x(0) 1
selengkapnya
dari
persamaan
diferensial
2
7
dx
12 x 0 dengan dt dt x( 0 ) 0 adalah : x 4e3t 3e4t . Grafik x 4e3t 3e4t ditunjukkan pada gambar
solusi
27
50 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-50 -100 -150 -200 -250 -300 -350 -400
Gambar V.1 grafik fungsi x 4e
3t
3e4t
Jika akar-akar persamaan karakteristik merupakan bilangan kompleks dan sama. Jika akar persamaan karakteristik adalah , maka solusi dari persamaan diferensial tersebut
adalah : y C1 cos x C2 sin x Perhatikan contoh soal berikut : Contoh V.5
Tentukan solusi dari :
d2y dx2
4 y 0
Jawab :
d2y
4 y 0 adalah : 2 dx 2 4 0 , 2 4 , maka 2
Persamaan karakteristik dari
oleh karenanya, solusi umum yang didapatkan adalah :
y C1e2 jx C2e2 jx berdasarkan sifat trigonometri :
e2 jx cos 2x j sin 2 x e2 jx cos 2x j sin 2 x maka didapatkan :
y C1 (cos 2x j sin 2 x) C2 (cos 2 x j sin 2 x) jika C1 C2
A C1 j C2 j B maka : y A cos 2x B sin 2 x Jika akar-akar persamaan karakteristik merupakan bilangan kompleks Jika akar persamaan krakteristik adalah a bj , maka solusi dari persamaan diferensial
tersebut adalah :
y e ax (C1 cos bx C2 sin bx) Contoh V.6 Tentukan solusi dari persamaan diferensial :
y '' 2 y ' 4 y 0
28
jawab : Persamaan karakteristik : 2 4 0 Akar persamaan dicari dengan menggunakan rumus abc : 2
b b2 4ac 2a
2 22 4.1.4 2.1
2 4 16 2
, 1 3 j
maka solusi umumnya adalah :
y e x ( A cos 3x B sin 3x) Jika akar persamaan karakteristik berupa bilangan riil dan sama
maka solusi umumnya berbentuk : y x.e
x
Contoh V.6
y '' 9 0
2
Persamaan karakteristik :
9 0 , 3
Solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah : y x.e
3x
Latihan Soal
1. tentukan persamaan karakteristik dari : L
di 2 dt
2
R
di dt
1
i0 C
2. tentukan solusi dari persamaan diferensial homogen orde 2 berikut : a. b. c.
d2y dx 2 d2y dx2 2 d x dt 2
d. e.
2
dt d2y dx
2
dx dy dx
8 y 0 2 y 0
16 x 0
2
d x
dy
5dx dt dy dx
6 x 0
y 0
Persamaan Diferensial Linear Non-Homogen Orde 2 dengan Koefisien Konstan ( Second ) Order H omogeneous L in ear D if ferential Equations With Constant Coeff ici ents
Dari bentuk umum persamaan diferensial linear orde 2 2
p( x)
d y dx2
q( x)
dy dx
r ( x) y f ( x) 29
jika f ( x) 0 , maka solusi khusus persamaan diferensial tersebut dicari dengan mencobanya dengan menggunakan ketentuan sebagai berikut : : f(x) Konstanta Polinomial x dengan derajat n
Solusi coba-coba Konstanta Polinomial x dengan derajat n
coskx sin kx
a cos kx b sin kx a cos kx b sin kx aekx
aekx
Solusi total merupakn penjumlahan dari solusi khusus dan solusi umum. Solusi_total = Solusi_Umum + Solusi_Khusus Contoh V.7 Carilah solusi dari persamaan diferensial :
d2y dx 2
6
dy dx
8 y 3cos x
(1). Mencari solusi umum Persamaan karakteristik dari
( 4)( 2) 0
d2y dx
2
6
dy dx
8 y 0 adalah : 2 6 8 0
1 2, 2 4 Sehingga solusi umumnya adalah : C1e
2 x
C2 e4 x
(2) Mencari solusi khusus Beberapa langkah yang harus dilakukan dalam mengerjakan solusi khusus : 1. Cari fungsi yang merupakan solusi khusus berdasarkan tabel Berdasarkan tabel, maka solusi khusus dimisalkan adalqh fungsi :
y p ( x) a cos x b sin x 2. Cari turunan pertama dan kedua, kemudian substitusikan ke dalam persamaan diferensial Turunan pertamanya : y ' p ( x) a sin x b cos x Turunan keduanya : y '' p ( x) a cos x b sin x Selanjutnya substitusikan ke persamaan diferensial
d2y
6
dy
dx2 dx ( y '' p ( x) a cos x b sin x ) – 6( y ' p ( x) a sin x b cos x )+
8 y 3cos x (
y p ( x) a cos x b sin x ) = 3cos x 2. Kelompokkan koefisien- koefisien yangs sejenis, dan cari nilai konstantanya Untuk koefisien cos x :
(a 6b 8a)cos x (b 6a 8b)sin x 3cos x (a 6b 8a) cos x 3cos x (7a 6b) 3
30
Untuk koefisien sin x :
(b 6a 8b)sin x 0 (b 6a 8b) 0 (6a 7b) 0
Maka dapat dicari nilai a dan b, yaitu : a
21 85
,b
18 85
3. Substitusikan nilai konstanta yang didapat ke dalam solusi khusus persamaan diferensial Solusi khusus : y p ( x) a cos x b sin x adalah :
y p ( x) solusi_total
21 85
cos x
18 85
sin x
= Solusi_Umum + Solusi_Khusus = C1e
2 x
C2e4 x +
21 85
cos x
18 85
sin x
Latihan Soal : Temukan solusi khusus dari :
1.
d2y dx
2
6
dy dx
8 y x
LATIHAN SOAL TERPADU
1. Tentukan solusi dari persamaan diferensial
dy dx
y y
, dengan , , , adalah
konstanta. 2. Temukan solusi persamaan diferensial berikut dengan metode pemisahan variabel :
dy
(a)
dx
y 2 sin x 0
3. Pergerakan suatu benda yang jatuh ke bumi memiliki persamaan :
dv d t
g bv
Tentukan kecepatan benda tersebut pada waktu t, jika v(0) 0 . 4. Inti bahan radioaktif mengalami peluruhan dengan fungsi peluruhan :
dN d t
N
N adalah konsentrasi(massa) inti bahan radioaktif tersebut and peluruhan. Temukan N (t ) dengan kondisi awal N (0) N o .
adalah konstanta
5. Dari persamaan diferensial berikut, tentukan : (a) apakah bersifat linear (b) sebutkan orde persamaan diferensial tersebut
31
(c) buktikan bahwa fungsi yang diberikan merupakan solusi dari persamaan diferensial tersebut :
t
i.
dy
ii. y iii. t
dt dy
y, y ct 4
dt d2y dt
iv. 3 y
2
2
t , y 2 t 2 c, y 0 t
d2y dt
2
dy
y 4, y 3t .e t 4
dt
6 y(
dy
2 3 2 ) 2, y t dt
6. Temukan solusi dari persamaan diferensial dengan kondisi awal berikut ini :
dy
a.
dt dy
b.
dt dy
6t 0, y(1) 6 5 y sin(12t ), y(0) 0
3 y 0, y(0) 1 dt dy 4 y 4, y(0) 2 dt 1 dy 6 y 3sin(5t ) 2 cos(5t ), y(0) 0 2 dt dy 3 2 y et , y(0) 3 dt
c. d. e. f.
7. Temukan faktor pengintegralan dari persamaan diferensial biasa berikut dan tentukan solusinya : (a)
y 2 dx xydy 0
(b) ( x y x)dx xy dy 0 8. Buktikan bahwa persamaan diferensial berikut bersifat eksak dan tentukan solusi dari persamaan diferensial tersebut : 2
2
(a)
ax bydx bx cydy 0
(b)
2 x
2
y 2 x dy 2 x y 2 2 y dx 0
Aplikasi Persamaan Diferensial Dalam Bidang Teknik Elektro Rangkaian LRC pada gambar dapat dimodelkan ke dalam persamaan diferensial dengan aturan-aturan sebagai berikut : 1. Hukum II Kirchoff’s tentang tegangan : jumlah/sigma keseluruhan tegangan dalam loop tertutup adalah nol (the sum of all the voltage drops around any closed loop is zero). 2. Tegangan pada pada resistor, V R, adalah sebanding dengan arus yang melewatinya, yang dirumuskan dengan : V R = iR (Hukum Ohm’s ), dengan R adalah resistansi dari resistor.
32
3. Tegangan pada kapasitor adalah sebanding dengan muatan elektrik pada kapasitor, yaitu q, yang dirumuskan dengan : Vc
1
.q , dengan C adalah kapasitansi kapasitor (dalam C
satuan farad) dan muatan q dalam satuan coulombs. 4. Tegangan pada induktor sebanding dengan laju perubahan arus listrik yang mengalir dalam satu satuan waktu. Dirumuskan sebagai : V L L
di dt
, dengan L adalah induktansi
induktor yang diukur dalam satuan : henri.
Gambar VI. Rangkaian RLC dalam loop tertutup. Berdasarkan hukum II Kirchof (KVL II) :
L
di dt
iR
1 C
q v(t ) .
d dq d 2q ( ) 2 . Sehingga persamaan Oleh karena i(t ) , maka: dt dt dt dt dt 2 d q dq q di 1 v (t ) L iR q v(t ) menjadi : L 2 R dt dt c dt C di
dq
Contoh VI.1 Sebuah rangkaian listrik yang terdiri dari komponen R, C, dan sumber tegangan sebagai berikut :
R
VR
i Vs
+ C -
Vc
Jika pada saat t=0 switch tertutup, tegangan pada kapasitor adalah Vo, yaitu Vc (0) = Vo maka : 1. Buktikan bahwa persamaan diferensial yang terbentuk merupakan persamaan diferensial linear orde pertama 2. Carilah solusi dari persamaan diferensial tersebut menggunakan metode faktor pengintegaraln 3. Carilah solusi khusus dari persamaan diferensial tersebut jika tegangan pada kpasitor mula-mula adalah Vo = 0. Solusi pada kondisi ini dinamakan : respon keadaan nol ( zero state- response) 4. Carilah solusi persamaan diferensial yang terbentuk, jika tegangan sumber = 0 (Vs = 0). Solusi pada kondisi ini dinamakan : respon input nol ( zero input- response) 5. buktikan bahwa solusi (2) merupakan penjumlahan antara zero state- responsedan zero input- response
33
Jawab : 1. berdasark hukum II Kirchof tentang tegangan : Vs(t ) V R
Vc .
Arus yang mengalir pada resistor = arus yang mengalir pada kapasitor
Vs V R
dVc
C
, sehingga persamaan diferensial yang terbentuk adalah :
R dt dVc RC Vc Vs , yang dapat disederhanakan menjadi bentuk : dt dVc Vc Vs dt 2.
RC
(persamaan diferensial orde pertama linear)
RC
dari pembentukan persamaan diferensial di atas terlihat bahwa : P=
1 RC
Vs
, Q=
RC
, sehingga faktor pengintegralan ( ) diberikan sebagai : 1
Pdt Pdt dt e , e , e RC
e
t
RC
solusi dapat dicari dengan rumus : Vc t
1
Vc
t
e
( RC )
e ( RC )
V cos t RC
Qdt , dengan Vs V cos
t . Maka :
t
V
Vc
1
1
e
t
( RC )
cos t .
RC.e ( RC ) t t
Sedangkan
cos t sin t + K. Maka : R C 1 RC 2
e ( RC ) cos t
2
RC e 2
2
( RC ) 2
t 2
2
V .R C e
Vc
( RC )
t
RCe
( RC )
( R 2C 2 2 1)
t
cos t ( RC ) sin t RC + K. e t
cos t ( RC ) Vc 2 2 2 sin t e + K. ( R C 1) RC
VR C
Dengan kondisi pada saat t=0, Vc = Vo, maka : t
cos t ( RC ) Vc 2 2 2 sin t e + K. ( R C 1) RC
VR C
dengan menerapkan t=0, Vc = Vo
Vo
1 K , sehingga : ( R 2C 2 2 1) RC VR C
34
K Vo
V ( R 2C 2 2 1)
. Substitusikan nilai K ke persamaan sehingga : t
cos t V Vc 2 2 2 sin t ) e ( RC ) (Vo 2 2 2 ( R C 1) RC (R C 1)
VR C
3.
Dengan mengganti Vo = 0, maka didapatkan :fungsi zero state- response nya adalah : t
cos t V Vc 2 2 2 sin t e ( RC ) 2 2 2 ( R C 1) RC (R C 1)
VR C
4.
Dengan mengganti Vs = V = 0,maka dari persamaan diferensial t
cos t V ( RC ) didapatkan Vc 2 2 2 sin t ( Vo ) e 2 2 2 ( R C 1) RC (R C 1)
VR C
fungsi zero input- response nya adalah :
Vc Vo.e 5.
t ( RC )
Terlihat bahwa solusi persamaan diferensial dari point (2) merupakan jumlah antara zero state- response dan zero input- response
Vtotal Vo.e
t ( RC )
+( Vc
cos t V ) sin t ( R 2C 2 2 1) RC (R 2C 2 2 1) VR C
yang merupakan solusi yang didapatkan dari (2), yaitu : t
cos t V ( RC ) Vc 2 2 2 sin t ( Vo ) e 2 2 2 ( R C 1) RC (R C 1)
VR C
Latihan soal : t t
1. Buktikan bahwa :
e
( RC )
cos t sin t R C 1 RC 2
cos t
2
RC e 2
2
( RC ) 2
Contoh VI.2 Sebuah rangkaian listrik yang terdiri dari R, L, n C tersusun paralel seperti pada gambar :
Is(t)
R
L
C
Sumber arus adalah Is(t), arus yang mengalir adalah I, dengan persamaan :
LC
d 2i dt 2
L di
i i s (t ) , untuk t 0
R dt
dengan i merupakan arus yang mengalir pada induktor. Jika L = 10 H, R = 10 , dan C = 0.1 F, dengan sumber arus i s (t ) e awal i=1 dan
di dt
2t
. Dengan nilai kondisi
2 pada saat t=0.
35
2
d i dt 2
L di
i i s (t ) ? R dt 2 d i L di i i s (t ) 2. Carilah solusi untuk persamaan diferensial LC 2 dt R dt 3. Carilah zero input- response, yaitu kondisi pada saat i s (t ) 0 1. Persamaan diferensial bentuk apakah LC
4. Carilah zero state- response, yaitu saat i=0 dan
di dt
2 untuk t=0
5. Tunjukkan bahwa solusi (1) merupakan penjumlahan antara zero input- response dan zero state- response jawab : 2
1. LC
d i 2
L di
i i s (t ) ,
d 2i 2
di
i e2t
dt dt 2 persamaan karkteristik adalah : 1 0 .
dt
R dt
Akar persamaan karkteristik adalah :
1 12 4.1.1 2.1
1 3 2
b b2 4ac 2a
,
,
1 2
3 j
solusi umumnya oleh karenanya adalah :
i e t / 2 ( A cos
3 2
t B sin
3 2
t)
solusi khusus dicari dengan mencoba-coba, oleh karena f(x) = e
2t
, maka diandaikan
i e2t , i ' 2 e2t , i '' 4 e2t , subtitusikan ke persamaan diferensial : i " i ' 1 e2t 2t 4 e 2t 2 e 2t + e 2t = e 1 sehingga 3 1 , 3 1 2t sehinggs solusi khususnya adalah : i e 3 solusi keseluruhan
=solusi umum + solusi khusus
i et / 2 ( A cos
3 2
t B sin
1 t ) + e 2 t 3 2 3
untuk mencari nilai konstanta A dan B, maka digunakan bantuan kondisi awal. Saat t=0, i=1, sehingga :
i A
di dt
1 3
, A
2 3
:
36
di dt
et / 2 (
3 2
saat t=0,
2 2 2
3
3 2 3 2 3 2
A sin di dt
3 2
t
3 2
B cos
3
1 3 3 2 t ) et / 2 ( A cos t B sin t ) et / 2 2 2 2 2 3
2 , sehingga
B
1
B
1 2 2 ( ) 2 3 3
2
A
2 3
B 1
3
B 2 B 2 3 sehingga solusi lengkapnya adalah :
1 2 3 3 i e t / 2 ( cos t 2 3 sin t ) + e 2 t 3 3 2 2 2. zero input- response, yaitu kondisi pada saat i s (t )
0
dari (1) telah didapatkan solusi umumnya, yaitu :
i s (t ) et / 2 ( Acos
3 2
t B sin
3 2
t)
3. kerjakan 4. kerjakan
MATLAB Solusi persamaan diferensial biasa linear
MatLab merupakan perangkat lunak yang dapat digunakan untuk mencari solusi persamaan diferensial secara mudah. Sintaks perintah yang digunakan untuk mencari persamaan diferensial adalah perintah dsolve. Sebagai contoh, persamaan diferensial orde 2 sebagai berikut : y'' + y = cos(2x) dengan kondisi y'(0) = 0 dan y(0) = 1, dengan y'' = d 2y/dx2 dan y' = dy/dx. y=dsolve('D2y + y = cos(2*x)', 'Dy(0)=0', 'y(0)=1') y = -2/3*cos(x)^2+1/3+4/3*cos(x) pretty(y) - 2/3 cos(x)2
+ 1/3 + 4/3 cos(x)
37
solusi tersebut dapat disederhanakan : y = simple(y) y = -1/3*cos(2*x)+4/3*cos(x) pretty(y) - 1/3 cos(2 x) + 4/3 cos(x)
contoh 2 : cari solusi persamaan diferensial homogen linear orde 2 dengan koefisien konstan berikut : y'' + 2y' + 5y = 0. Jawab : dsolve('D2y+2*Dy+5*y') ans = C1*exp(-x)*sin(2*x)+C2*exp(-x)*cos(2*x)
Apabila persamaan diferensial di atas berbentuk y'' + 2y' + 5y = -sin(x),dengan y'(0) = 0 and y(0) = 1. y = dsolve('D2y+2*Dy+5*y = -sin(x)', 'Dy(0)=0','y(0)=1') y = 3/40*sin(2*x)*cos(3*x)-1/40*sin(2*x)*sin(3*x)1/8*sin(2*x)*cos(x)+1/8*sin(2*x)*sin(x)+1/8*cos(2*x)*cos(x)+1/8*c os(2*x)*sin(x)-1/40*cos(2*x)*cos(3*x)3/40*cos(2*x)*sin(3*x)+11/20*exp(-x)*sin(2*x)+9/10*exp(x)*cos(2*x) y = simple(y) y = -1/5*sin(x)+1/10*cos(x)+11/20*exp(-x)*sin(2*x)+9/10*exp(x)*cos(2*x)
apabila digambarkan/diplot : fplot(y,[0 20]) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 0
5
10
15
20
persamaan diferensial untuk orde ketiga : 2 y''' - 2y'' - y' +2y =2x - 6x + 4 dengan y''(0) = 1, y'(0) = -5, dan y(0) = 5 y=dsolve('D3y-2*D2y-Dy+2*y=2*x^2-6*x+4','D2y(0)=1','Dy(0)=5','y(0)=5') y = -2*x+3+x^2+exp(x)-exp(2*x)+2*exp(-x)
38
fplot(y,[0 2]) 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 0
0.5
1
1.5
2
BAB 2. TRANSFORMASI LAPLACE 2.1 Pengertian Transformasi 2.1.1 Latar Belakang Penggunaan Transformasi 2.1.2 Contoh Sederhana Penggunaan Transformasi 2.2 Pengertian Transformasi Laplace dan inverse Transformasi Laplace 2.2.1 Latar Belakang Penggunaan Transformasi Laplace 2.2.2 Mengubah Persamaan Deferensial ke kawasan S 2.2.3 Transformasi Laplace Beberapa Fungsi Sederhana 2.3 Beberapa Sifat Transformasi Laplace 2.3.1 Linearitas 2.3.2 Pergeseran dalam s 2.3.3 Pergeseran dalam S dan inversenya 2.3.4 Konvolusi 2.3.5 Integrasi 2.3.6 perkalian dengan konstanta 2.3.7 scaling 2.4 Menyelesaikan Partial Fraction dari Transformasi Laplace 2.4.1. Metode Cover Up 2.4.2. Metode Substitusi 2.4.3. Metode Equate Coefficient 2.5 Transformasi Laplace Untuk Mencari Solusi Persamaan Deferensial Biasa 2.6 Contoh Soal & Aplikasi Transformasi Laplace 2.7 Menyelesaikan Transformasi Laplace Dengan Bantuan Matlab
39
BAB 2. TRANSFORMASI LAPLACE 2.1
Pengertian Transformasi
Transformasi adalah teknik atau formula matematis yang digunakan untuk mengubah representasi persamaan matematika dari satu bentuk ke bentuk representasi yang lain. Adanya transformasi mengharuskan juga adanya inverse transformasi, yang melakukan hal yang sebaliknya. 2.1.1
Latar Belakang Penggunaan Transformasi
Transformasi diperlukan sebagai alat bantu untuk memecahkan persoalan matematika yang rumit. Penggunaan transformasi dan inversenya dapat diilustrasikan pada gambar di bawah ini.
Permasalahan dalam bentuk asal
Solusi Transformasi
Transformasi
Solusi permasalahan dalam bentuk asal
inverse Transformasi
Gambar. Penggunaan Transformasi dan Inversenya
Terdapat beberapa tipe/jenis transformasi yang digunakan, tergantung pada persamaan
matematika
yang
ingin
dicari
penyelesaiannya.
Beberapa
contoh
transformasi yang digunakan dalam bidang teknik antara lain : 1. Transformasi Laplace 2. Transformasi Z 3. Trasnformasi Fourier 4. Trasnformasi Wavelet 5. DLL Dalam hal ini, Transformasi Laplace digunakan untuk memecahkan Persamaan Differensial Biasa (ODE, Ordinary Differential Equation). 2.1.2
Contoh Sederhana Penggunaan Transformasi
Contoh
sederhana
pemakaian
transformasi
dalam
matematika
adalah
penggunaan logaritma dan inverse-nya, yaitu fungsi perpangkatan. Apabila diinginkan untuk menghitung hasil dari : 1234 x 5678 tanpa menggunakan kalkulator, namun dengan menggunakan tabel logaritma, maka solusi hasil perhitungan 1234 x 5678 dapat dicari dengan mudah.
40
Langkah pertama adalah mengubah/lakukan transformasi perhitungan 1234 x 5678 menjadi logaritma basis 10. Langkah ke dua adalah menyelesaikan kalkulasi algoritmanya. Langkah terakhir adalah mencari inverse logaritma ( 10 x ), sehingga hasil akhir dari inverse logaritma ini adalah solusi dari 1234 x 5678. Apabila dikerjakan menjadi : Langkah ke-1. Ubah/transformasi ke logaritma basis 10 1234 x 5678
=> Log (1234 x 5678)
Langkah ke-2. Selesaikan kalkulasi algoritma. Log (1234) + Log (5678)
= 3,0913 + 3,7542 = 6,8455
Langkah ke-3. Gunakan inverse transformasi untuk mencari solusi dari 1234 x 5678. Dalam hal ini, inverse transformasinya adalah : 10 x, sehingga : 6,8455 => 10
6,8455
= 7.006.482 Dengan menggunakan kalkulator, didapatkan jawaban eksak dari 1234 x 5678 = 7.006.652. Tampak bahwa jawaban yang didapat dengan menggunakan transformasi logaritma (dan inverse logaritma) mendekati jawaban eksaknya. Perhitungan menggunakan transformasi Laplace dapat dilakukan secara langsung melalui penggunaan formula/rumus transformasi, dan dengan menggunakan bantuan tabel Tranformasi Laplace. Pada tabel telah dicantumkan Transformasi Laplace dari bentuk-bentuk umum Persamaan Differensial Biasa yang sering digunakan. Penggunaan tabel Transformasi Laplace ini memudahkan pencarian solusi, karena tidak diperlukan kalkulasi Transformasi Laplace dengan menggunakan rumus transformasi.
2.2
Pengertian Transformasi Laplace
Transformasi Laplace Y ( s) dari fungsi y(t), untuk t > 0 adalah :
Y ( s) L{ y (t )} e st y (t )dt 0
Transformasi Laplace digunakan untuk mengubah fungsi y(t ) yang berada dalam kawasan waktu ke kawasan s. Solusi dari persamaan diferensial didapat dengan mengubah persamaan diferensial (yang merupakan fungsi waktu) dari kawasan waktu ke kawasan s dengan menggunakan transformasi laplace, sebagaimana ditunjukkan pada gambar di bawah.
41
Permasalahan dalam kawasan waktu
Transformasi Laplace
Solusi Transformasi Laplace
Inverse Transformasi Laplace
Solusi permasalahan dalam kawasan waktu
Gambar. Penggunaan Transformasi Laplace dan Inversenya
Rumus Tranformasi Laplace di atas, apabila digunakan secara langsung pada permasalahan. maka akan seringkali dijumpai kesulitan dalam kalkulasinya, sehingga dianjurkan untuk menggunakan bantuan tabel transformasi laplace. Penggunaan tabel transformasi laplace menghindarkan dari rumitnya perhitungan transformasi.
2.2.1 Latar Belakang Penggunaan Transformasi Laplace
Adapun Latar belakang penggunaan Transformasi Laplace adalah : 1. Solusi Persamaan Diferensial Biasa Linear Homogen melibatkan bentuk eksponensial yang relatif cukup sulit untuk dikerjakan 2. Transformasi Laplace dapat digunakan untuk mengubah persamaan diferensial menjadi bentuk persamaan aljabar,sehingga mengurangi kerumitan penggunaan bentuk eksponensial menjadi bentuk ekspresi persamaan aljabar 3. Solusi persamaan dalam bentuk aljabar dapat ditulis sebagai penjumlahan tiaptiap komponennya dengan tiap komponen merupakan Transformasi Laplace dari bentuk eksponensial.
2.2.2 Mengubah Persamaan Diferensial ke kawasan S
Untuk melakukan transformasi laplace terhadap persamaan diferensial, maka harus diingat terlebih dahulu bahwa : d u v dt
u
dv dt
u
dv dt
dt u v
du
v dt du
dt vdt
st Bila Transformasi Laplace adalah : Y ( s) L y (t ) e y (t )dt , maka Transformasi 0
dy st dy dt Laplace dari turunan (derivative) pertama adalah : L e dt dt 0 42
jika u adalah e – st dan v adalah y, maka : de st dy st dy st L e dt e y ydt 0 dt dt dt 0 0
dy L e st y 0 se st ydt dt 0
dy L e st y 0 s e st ydt dt 0
Jika diasumsikan bahwa pada saat t grafik y(t) mengalami kenaikan cukup lambat dibanding dengan grafik e – st, maka e st y(t ) 0 untuk t
Sehingga : e st y 0 e0 y(0) y(0) 0
dy Bentuk di atas dapat disederhanakan menjadi : L e st y s e st ydt 0 dt 0
dy L y(0) sY (s ) dt Dari uraian di atas, maka Transformasi Laplace dari turunan pertama sebuah fungsi
dy dy sY (s ) y (0) atau L sL y(t ) y (0) dt dt
adalah : L
Transformasi Laplace dari turunan kedua suatu fungsi juga dapat dicari dengan cara yang sama.
d2 y 2 dy L 2 s Y (s) (0) sy(0) dt dt Sedangkan transformasi Laplace dari turunan ke-n suatu fungsi adalah :
dn y n d n 1 y n s Y (s) n 1 (0) dt dt
s n2
dy
(0) s n1 y (0) dt
contoh 1.
Ubah persamaan diferensial berikut dari kawasan t ke kawasan s dengan menggunakan metode Transformasi Laplace. L
d2y 2
dt
y 0 , dengan y(0) 1,
dy dt
(0) 0
43
j awab:
Langkah ke-1. Lakukan Transformasi Laplace
Y ( s) L y (t ) e st y (t )dt 0
2 d2 y st d y L 2 y L 0 e 2 y dt e st 0 dt dt dt 0 0
e
st
d2y 2
dt
0
dt e
st
ydt 0
0
Gunakan secara langsung Transformasi Laplace untuk turunan kedua, maka didapatkan: dy 2 s Y ( s ) (0) sy (0) Y (s ) 0 dt dy 2 susun kembali menjadi : s 1 Y ( s ) (0) sy(0) dt Langkah ke-2. Cari Persamaan polinomial Y(s) dengan bantuan nilai awal y (0) 1,
dy dt
(0) 0
s 2 1 Y (s) 0 s Y (s)
s s 1 2
Yang perlu diingat adalah bentuk L f (t ) F (s ) merupakan Transformasi Laplace dari fungsi f (t ).
2.2.3
Transformasi Laplace Beberapa Fungsi Sederhana
berikut adalah transformasi Laplace dari beberapa fungsi 1. Konstanta Transformasi Laplace dari sebuah konstanta C ( y(t ) = C ), adalah :
C 1 C C L C e Cdt e st C 0 , sehingga L C s s 0 s s 0 st
2. Transformasi Laplace fungsi y(t) = t
44
1 1 1 1 1 L t e tdt e stt e st dt L t 0 0 e st 2 s s s 0 s 0 0 s 0 st
sehingga L t
1 s 2
3. Transformasi Laplace fungsi y(t) = t n
1 1 L{t } e t dt e stt n e st nt n 1dt s 0 0 s 0 st n
n
L{t } 0 0 n
n
e s
st
nt
n 1
dt
0
L{t n }
n s
L{t n 1}
dengan cara yang sama : n 1
L{t n 1}
s n2
L{t n 2 }
L{t1}
s 1 s
L{t n 2 } L{t n3}
L{t 0 }
sehingga L{t } n
n! s
n 1
4. Transformasi Laplace fungsi eksponensial, y(t) = eat
L{e } e e dt e ( s a )t dt at
st at
0
0
L{e } e at
( s a )t
0
1 ( s a )t e s a 0
1 1 0 L{eat } 0 e s a s a , sehingga L{e } at
1 s a
5. Fungsi cosinus dan sinus
45
1 1 1 1 1 it 1 -i t L cos t L e e L cos t 2 2 s i 2 s i 2 1 s i s i s L cos t 2 2 2 2 2 2 s s s 2
sehingga L{cos t }
s s 2
2
dengan cara yang sama, Transformasi Laplace dari fungsi sinus adalah : L{sin t }
s 2
2
Ringkasan Transformasi Laplace beberapa fungsi tersebut dapat ditulis dalam tabel berikut.
Tabel. Transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana Fungsi y(t)
Transformasi Laplace Y(s)
C y(t) = C
s 1
(t) = t
s 2 n!
y(t) = t
n
s n 1 1
y(t) = e
at
s a s
2.3
t = cos ωt
s 2 2
t = sin ωt
s 2 2
Beberapa karakteristik Transformasi Laplace
Beberapa karakteristik Transformasi Laplace antara lain : 1. Linearitas
Jika f (t ) dan g (t ) adalah sebuah fungsi, dengan :
F (s) L f (t ) e st f (t )dt dan 0
G(s) L g (t ) e st g (t )dt 0
46
maka L cf (t ) cF (s ) dan L af (t ) bg (t ) aF (s ) bG(s ) 2. Pergeseran dalam S
Jika F (s) L f (t ) e
st
f (t )dt
0
Maka
L e f (t ) e e f (t )dt e ( s a )t f (t )dt F (s a ) , at
st at
0
sehingga
0
L eat f (t ) F ( s a) 3. Pergeseran dalam S dan inversenya
Jika L eat f (t ) F ( s a) , maka L1 F (s a ) e at L1 F (s ) e at f ( t )
contoh 2. Gunakan sifat pergeseran dalam s untuk mecari Inverse Transformasi Laplace
dari :
1 ( s a) 2
j awab : F (s a )
1 ( s a )
2
, F (s )
1 s
2
at 1 1 at e L 2 e t ( s a ) s
sehingga L1 F (s a ) e at L1 F (s ) , L1
1
2
1 at L1 e t 2 ( s a) 4. Teorema Konvolusi
Jika Transformasi Laplace dari fungsi f (t ) dan g (t ) adalah F ( s) dan G( s), dengan
F (s) L f (t ) e
st
f (t )dt
st
, G( s) L g (t ) e g (t )dt
0
0
Maka :
t L f (t ) g ( ) d F ( s )G ( s ) 0 yang disebut sebagai integral konvolusi. Jika inverse Transformasi Laplace dari F ( s) dan G( s) adalah f (t ) dan g (t ), dengan : L1 F (s) f (t ) , dan L1 G(s) g (t ) maka t
1
L
t
F (s )G (s ) f (t )g ( )d , atau L F (s)G (s ) f ( )g (t )d 1
0
0
47
: Gunakan teorema konvolusi untuk mencari inverse Transformasi Laplace contoh 3 s
dari: : F (s ) j awab
( s 2 1)2
s ( s 2 1)
, G(s)
1 ( s 2 1)
, maka f (t ) cos t , dan g (t ) sin t
gunakan teorema konvolusi :
s t cos(t ) sin( )d L F (s )G (s ) f (t ) g ( )d , maka L 2 2 ( s 1) 0 0 t
1
1
ekspansikan menjadi :
s t cos(t ) sin( )d L 2 2 ( s 1) 0 1
t
t
0
0
cos t cos sin d sin t sin sin d
1 t sin t ( s 1) 2
Apabila diselesaikan menjadi : L1
s
2
2
5. Integrasi
Jika F (s ) L f (t ) e 0
t
st
1 f (t )dt , maka L F (s ) f ( )d s 0 1
contoh 4 : Gunakan teorema integrasi untuk mencari inverse dari :
Jawab : F ( s )
1 ( s 1)
1 s( s 1)
f (t ) e t (dari tabel), maka : t
t 1 1 L ) e d e 0 s s 1 0
1
et ( 1) 1 et 2.4 Menyelesaikan Partial Fraction dari Transformasi Laplace
Di dalam penggunaannya, transformasi laplace seringkali melibatkan bentuk Q( s ) P( s)
dengan banyak fraksi, dimana P ( s) dan Q( s) merupakan suku polinomial. Oleh
karenanya, terlebih dahulu dipelajari bagaimana fraksi-fraksi yang terlibat/dihasilkan diubah ke fraksi pecahan ( partial fraction) agar didapatkan solusi dari Persamaan 48
Differensial Biasa, Jadi, terlebih dahulu dipelajari bagaimana menggunakan partial fraction sebelum memecahkan Persamaan Differensial Biasa. Mengubah Fraction Menjadi Partial Fraction
Jika : Q( s ) P( s)
a1 ( s 1 )
a2
(s 2 )
dengan P( s) ( s 1 )( s 2 )
an ( s n ) ( s n )
Maka terdapat 3 kemungkinan penyelesaian dari P(s) a. P(s) akar-akarnya riil dan berbeda. Tuliskan masing-masing faktor P(s), dan tambahkan koefisien yang sesuai (A, B, dst) pada bagian pembilang Contoh : 1.
s 1 s 4s 3 2
1
2.
( s 2)(s 1)
A ( s 1)
B
(s 3)
A (s 2)
B (s 1)
b. P(s) akar-akarnya riil dan sama, yaitu 1 2
n . Jika
Q( s ) P(s)
a1 (s 1 )n
Maka uraikan menjadi : Q( s ) P( s)
a1 ( s 1 )
a2
( s 1 )
ak 1
( s k 1 )
2
ak
( s k ) an ( s n )
Contoh : 1 s 2 6s 9
1 (s 3)2
A (s 3)
B (s 3) 2
c. Jika akar-akarnya merupakan bilangan pasangan bilangan kompleks 1 a bi, 2 a bi,
Q(s) P(s )
A Bs (s a ) b 2
2
a3 (s 3 )
an (s n )
Contoh : 1 s s 2 3
2
1 ( s 1)( s 2 s 2) 2
1 ( s 1)( s 1 i )( s 1 i)
A s 1
B Cs ( s 1) 2 1
49
Dari pemecahan fraksi di atas, perlu dicari nilai dari koefisien A,B,C dan seterusnya. Terdapat 3 cara untuk menyelesaikan parsial fraksi di atas, yaitu : 1. Cover up Rule 2. Substitusi 3. Equate coefficient
1. Metode Cover Up Langkah penyelesaian parsial fraksi dengan Cover Up adalah : a. Kalikan dengan s-αi b. Subtitusikan s = α i 1. Jika P(s) akar-akarnya riil dan berbeda. contoh 5. Cari Parsial fraksi dari :
s 1 ( s 1)( s 3)
j awab :
s 1 ( s 1)( s 3) ( s 1)
A ( s 1)
( s 1)
B ( s 3)
A ( s 1)
( s 3)
B ( s 3)
kalikan dengan (s-1), substitusikan s = 1, 2
s 1
A A 1
2
Selanjutnya kalikan dengan (s – 3) s 1 ( s 1)( s 3)
s 3
A ( s 1)
( s 1) ( s 1)
B ( s 3)
( s 3)
A ( s 1)
B
substitusikan s = 3, s 3 Maka diperoleh :
4 2
B B 2 s 1
( s 1)(s 3)
1 (s 1)
Contoh 6. Cari Parsial fraksi dari :
: Jawab
1 s(s 1)
A s
2 (s 3)
1 s ( s 1)
B (s 1)
50
Untuk mencari nilai A, kalikan persamaan di atas dengan s, dan subtitusikan nilai s = 0 1 A B sehingga menjadi : s(s 1) s (s 1) 1
s :
A s
( s 1) 1
s 0 :
1
B (s 1)
A 0 A 1
Untuk mencari nilai B, kalikan dengan ( s + 1) dan subtitusikan nilai s = -1
( s 1) :
1
(s 1) A B
s 1
s 1:
1
0 B B 1
Sehingga bentuk parsial fraksinya adalah : 1 (
s s
1)
1
s
1 ( s 1)
2. Jika P(s) akar-akarnya riil dan sama contoh 7. Cari Parsial fraksi dari :
: j awab
s 2 3s 4 ( s 1)3
=
A ( s 1)
s 2 3s 4 ( s 1)3
B
(s 1)2
C (s 1)3
untuk mencari nilai C, kalikan dengan ( s + 1)3
s 2 3s 4 A( s 1) 2 B( s 1) C , substitusikan s = -1
1 3 4 C, C 2 Untuk mencari nilai A dan B, digunakan metode substitusi. Ambil s = 0 dan subtitusikan ke persamaan.
004 1
A 1
B 1
C 1
4 A B C . Subtitusikan C =2 sehingga
2 = A + B, ambil s = 1:
1 3 4 3
2
A 2
B 2
2
C 3
2
1
A 2
B 4
C 8
, kalikan dengan 8 menjadi :
8 4 A 2B C , substitusikan C =2 6 4 A 2B, apabila diselesaikan akan didapatkan : A = 1, B = 1, C = 2.
51
s 2 3s 4
=
( s 1)3
1
1
( s 1)
(s 1)
2
2
(s 1)
3
3. Jika P(s) akar-akarnya kompleks
1
contoh 8. Cari parsial fraksi dari :
( s 2) (s 1) 2
2
2
j awab : karena P ( s) mengandung (s + 1), maka berikan koefisien Cs + D pada bagian
pembilang. 1
( s 2) 2 ( s 2 1)
( s 2 1) 1
1 ( s 2) ( s 1) 2
( s 2)2
Cs D ( s2 1) Cs D
( s 2) A B ( s 2)2
B B
(4 1) 2
B
( s 2)
1
( s 2)2 s 2
A
( s 2 1)
1 5
A ( s 2)
1 5( s 2)
2
Cs D
( s2 1)
Untuk mencari nilai koefisien yang lain (A,C dan D), maka digunakan metode substitusi 1
( s 2) 2 ( s 2 1) s 0
A
( s 2)
1 (0 2) 2 (02 1)
1 5( s 2) 2 A
(0 2)
Cs D ( s2 1) 1
5(0 2) 2
D (0 2 1)
14 12 A 201 D 5 A 10 D 2 Untuk s 1
1 (1 2)2 (12 1)
A (1 2)
1 5(1 2)2
CD (12 1)
12 A 15 12 C 12 D 10 A 5C 5D 3 Untuk s 3
1 (3 2)2 (32 1)
A (3 2)
1 5(3 2)
2
3C D (32 1)
101 A 15 103 C 101 D 10 A 3C D 1 Sehingga :
1 ( s 2)2 (s 2 1)
2. Metode Subtitusi
4 25(s 2)
Q(bi )
Jika Parsial fraksi adalah : P (b ) i
1 5(s 2)2
a1 (bi 1 )
4 s 3 25(s 2 1)
a2 (bi 2 )
an (bi n )
Maka lakukan : 52
1. Subtitusikan s = bi, dengan i = 1, 2, ..., n 2. pecahkan nilai a1, a2, ..., a n Contoh 9. Cari nilai koefisien A dan B pada :
1
s(s 1)
A s
B (s 1)
j awab :
Untuk s = 1,
1
Untuk s = 2,
1
2 6
A
A
1 2
B
B
2
1 2
1
A B 2
1
2
3
3
A
3
B
(kurangkan persamaan 1 dan 2 ), Maka didapatkan :
1
B
6
6
B 1 A 1
maka 1 (
s s
1)
1
s
1 (s 1)
Contoh 10. Tentukan nilai koefisin A, B dan C pada :
1 s (s 1) 2
A s
B s
2
C (s 1)
Jawab :
Gunakan aturan Cover Up 1 s (s 1) 2
1 ( s 1)
A s
B s
2
As B
C
(s 1)
Cs2
, kalikan dengan s 2, dan subtitusikan nilai s = 0 sehingga
(s 1)
1 (0 1)
B B 1
untuk mendapatkan nilai C, kalikan dengan ( s + 1) 1 s 2 (s 1) 1 s 2
A s
A(s 1) s
B s2
C
substitusikan s = -1.
(s 1)
B(s 1)
C
s2
1 (1)2
Oleh karenanya telah kita dapatkan :
C C 1 1
s (s 1) 2
A s
1 s
2
1 (s 1)
Untuk mencari nilai A, maka kita substutusikan nilai s yang mudah dikalkulasi. Ambil s = 1, maka :
1 1 (1 1) 2
A 1
1 2
1
1 (1 1)
1 2
1
A 1 A 1 2
Persamaan Parsial fraksi yang kita dapatkan oleh karenanya adalah 1 s ( s 1) 2
1
1
s
2
s
1 ( s 1) 53
3. Metode Equate Coef fi cient Langkah mengerjakan parsial fraksi dengan metode ini adalah : 1. Kalikan dengan P(s) dengan sehingga menjadi bentuk : 2. Samakan koefisien s di ruas kanan persamaan dengan di ruas kiri.
contoh 11. Gunakan metode equate coefficient untuk mencari nilai koefisien A dan B
1 A B pada : s(s 1) s (s 1) j awab :
1. Kalikan dengan s( s + 1), 1 A( s 1) Bs 1 = As + Bs + A,
=> 1 = ( A+B) s + A
2. Untuk koefisien s1 : A+B = 0 3. Untuk koefisien s0 : A = 1, sehingga B = -1
contoh 12. Gunakan metode equate coefficient untuk mencari nilai koefisien A, B dan
C pada :
1 ( s 1)(s 2 1)
A (s 1)
Bs C (s 2 1)
j awab :
1. kalikan dengan ( s + 1)( s2 + 1), sehingga menjadi :
1 A(s 2 1) ( Bs C)( s 1) 1 ( A B) s2 (B C) s ( A C ) 2. penyamaan koefisien s untuk s 2 => 0 = A + B, untuk s 1 => 0 = B + C, untuk s 0 => 1 = A + C maka didapatkan :
1
1
1
2
2
2
A , B , C
Contoh 8 dapat juga dikerjakan dengan menggunakan metode Equate Coefficient sebagai berikut : 1 ( s 2) ( s 1) 2
2
A ( s 2)
B ( s 2)
2
Cs D ( s2 1)
, kalikan dengan (s - 2)2(s2 + 1)
1 ( s 2)( s 2 1) A B( s2 1) ( s 2) 2 (Cs D) sehingga 1 As3 2 As2 As 2 A Bs2 B ( s2 4 s 4)(Cs D) 54
1 As3 2 As 2 As 2 A Bs 2 B Cs 3 4Cs 2 4Cs Ds 2 4Ds 4D 1 ( A C )s 3 (2 A B 4C D )s 2 ( A 4C 4D )s ( 2A B 4D ) s 3 : A C 0
maka didapatkan :
s 2 : 2 A B 4C D 0 s : A 4C 4 D 0 1: 2 A B 4 D 1
apabila diselesaikan, didapat : A 254 , B 15 , C 2.5
4 25
, D 253
Solusi Persamaan Differensial Biasa Menggunakan Transformasi Laplace
Persamaan Diffrensial Linear dengan bentuk : ak
d k y dt
k
a2
d2y dt
2
a1
dy
a0 y g (t )
dt
dapat diselesaikan dengan menggunakan transformasi laplace. Sebagai contoh, kita dapat menyelesaikan persamaan diferensial : 1. 2
d y dt 2
4
d2y dt 2
dy
4
dy
3 y 0, y(0) 1, y(0) 0
dt
4 y sin(t ), y(0) 1, y (0) 1
dt
2.
Pada
contoh kasus 1 (Persamaan Differensial Linear Homogen), ubah persamaan diferensial dengan transformasi laplace :
dk y k d k 1 y L k s Y (s) k 1 (0) dt dt
s k 2
dy
(0) s k 1 y (0) dt
Yang juga dapat ditulis dalam bentuk :
dk y k d k 1 y k 1 k 2 dy L k s Y (s ) s y (0) s (0) ... k 1 (0) dt dt dt untuk memudahkan dalam mengingatnya. Perlu dicermati bahwa pangkat dari s menurun, sedangkan turunan y mengalami kenaikan. Selanjutnya, transformasikan ke kawasan s dengan transformasi laplace : d2y dt 2 L(
d2y dt 2
4
) L(4
dy
3 y 0
dt dy
) L(3 y) 0 dt
{ s 2Y ( s) y(0) sy(0)} {4 sY ( s) 4 y(0)} 3Y ( s) 0 y (0) 1, y(0) 0 s 2Y (s ) s 4sY (s ) 4 3Y (s ) 0
( s 2 4s 3)Y (s ) s 4 55
didapatkan : ( s 2 4s 3)Y ( s) s 4 Y ( s)
s 4 ( s 4 s 3) 2
s 4
Y ( s)
( s 1)( s 3)
Dari bentuk ini, kita ubah bagian fraksinya : Y ( s) Kalikan dengan ( s - 1)
A
( s 4) ( s 3)
A
B(s 1) (s 3)
s 4 ( s 1)(s 3)
=
A ( s 1)
, substitusi s = 1,
B ( s 3)
(1 4) (1 3)
A 0
3 2
kalikan dengan (s – 3), substitusi s = 3, untuk mendapatkan koefisien B.
( s 4) ( s 1)
A(s 3) (s 1)
B , s = 3,
(3 4) (3 1)
0 B , maka B
1 2
sehingga parsial fraksinya menjadi: Y ( s)
3 2
1 ( s 1)
1
1
2
(s 3)
untuk mencari solusi Persamaan Deferensial asal, ubah Y ( s) dari kawasan s ke kawasan t menggunakan inverse transformasi dengan bantuan tabel. Y (s)
3 2
1 ( s 1)
1
1
2
(s 3)
3 1 1 1 L1 Y ( s) L1 2 ( s 1) 2 (s 3) 1 1 1 1 3 L1 L 2 ( s 1) 2 ( s 3) 3
1
2
2
y(t ) et e3t Pada contoh kasus ke-2 (Persamaan Diferensial Linear Tak Homogen) : d2y dt d2y
2
4
4 y sin(t )
dt
dy
) L(4 y ) L{sin(t )} dt 2 dt Langsung kita ubah ke kawasan s dengan transformasi laplace : L(
) L(4
dy
{ s 2Y ( s) y(0) sy(0)} {4 sY ( s) 4 y(0)} 4Y ( s) L{sin( t )} Dengan kondisi
56
y(0) 1, y(0) 1
s 2Y ( s) 1 s 4 sY ( s) 4 4Y ( s) ( s 2)2 Y ( s)
1 s 2 1
1 s 1 2
s5
Sehingga bentuk Y(s) nya adalah : ( s 2) 2 Y ( s)
Y (s)
1 s 1 1 2
s5
( s 2) ( s 1) 2
2
s 5 ( s 2) 2
Gunakan partial fraction untuk mengubah Y ( s) Y (s)
1 ( s 2) 2 ( s 2 1)
s 5 (s 2)2
A
( s 2)
B
( s 2)2
Cs D ( s2 1)
E (s 2)
F (s 2)2
4 1 1 1 4 s 3 s 5 Y (s) 2 2 2 25 ( s 2) 5 ( s 2) 25( s 1) ( s 2) 4 1 1 1 4 s 3 1 1 1 3 Y (s) 2 25 s 2 5 s 2 2 25 s 2 1 25 s 2 1 s 2 s 2 Y (s)
29
1
25 s 2
14 15
1
s 2
2
4 25
s s2 1
3 25
1 s2 1
Gunakan inverse transform untuk mendapatkan solusi akhir Y (s)
29
1
25 s 2
14 15
1
s 2
2
4 25
s s2 1
3 25
1 s2 1
29 1 14 1 4 s 3 1 L1 Y ( s) L1 2 2 2 25 s 2 15 s 2 25 s 1 25 s 1
1 14 1 1 4 1 s 3 1 1 L Y (s) L L 2 L 2 L 2 25 s 2 15 s 2 25 s 1 25 s 1 29
1
y
29 25
e2t
14 15
1
te 2t
4 25
cos(t )
3 25
sin(t )
Soal-soal
s 1
1.
( s 2) (s 3) 2
d y dt 2
6
dy
A s2
B s3
8 y 2 y(0) y '(0) 0
dt
57
