Materi Aplikasi Matlab Pada Teknologi Proses STTN

Materi Coaching Matlab

Aplikasi Matlab pada Teknologi Proses Disampaikan pada coaching Matlab STTN-BATAN Yogyakarta

Oleh Gde Pandhe Wisnu Suyantara [email protected]

Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir Badan Tenaga Nuklir Nasional Yogyakarta 2011

Aplikasi Aplikasi Matlab pada Teknologi Proses

2011

Daftar Isi Daftar Isi ............................. ............................................ ............................. ............................. ............................. ............................. .............................. ............................ ............. i 1.

Review Tools Box pada Matlab............................. ........................................... ............................. .............................. ...................... ....... 1

2.

Aplikasi Matlab pada Teknologi Proses............................. ........................................... ............................. ......................... .......... 3 2.1.

Waktu untuk mencapai ketinggian tertentu pada tangki bocor (integrasi numeris) ............................... 3

2.2.

Waktu steady state tangki bocor (mencari nilai nol fungsi/root finding problems dan integrasi numeris) .............................................................................................................................................................. 7

2.3.

Kecepatan dan debit aliran cairan diantara dua tangki (root finding problems) ......................... .......... 10

2.4.

Pencampuran di dalam tan gki dengan pemanas (penyelesaian persamaan diferensial ordiner simultan) ............................................................................................................................................................ 14

2.5.

Distribusi suhu pada batang logam diantara dua dinding panas (penyelesaian persamaan diferensial diferensial ordiner dengan permasalahan nilai batas, boundary value problem)........................ problem)........................ ........................... 20

2.6.

Pengeringan padatan silinder-penyelesaian persamaan diferensial parsial (PDP) .......... ...................... 25

2.7.

Penentuan order reaksi reaksi dan konstanta kecepatan reaksi................................... ................................... 32

3.

Latihan ............................ ........................................... ............................. ............................. ............................. ............................. ............................ ............. 36 3.1.

Penentuan dew point campuran .......................................................................................................... 36

3.2.

Adsorpsi senyawa senyawa limbah ................................... .................................... .................................... .......... 37

3.3.

Reaktor tabung non-adiabatis dan non-isotermal (penyelesaian persamaan diferensial ordiner simultan) ............................................................................................................................................. 37

i


2011

Daftar Isi Daftar Isi ............................. ............................................ ............................. ............................. ............................. ............................. .............................. ............................ ............. i 1.

Review Tools Box pada Matlab............................. ........................................... ............................. .............................. ...................... ....... 1

2.

Aplikasi Matlab pada Teknologi Proses............................. ........................................... ............................. ......................... .......... 3 2.1.

Waktu untuk mencapai ketinggian tertentu pada tangki bocor (integrasi numeris) ............................... 3

2.2.

Waktu steady state tangki bocor (mencari nilai nol fungsi/root finding problems dan integrasi numeris) .............................................................................................................................................................. 7

2.3.

Kecepatan dan debit aliran cairan diantara dua tangki (root finding problems) ......................... .......... 10

2.4.

Pencampuran di dalam tan gki dengan pemanas (penyelesaian persamaan diferensial ordiner simultan) ............................................................................................................................................................ 14

2.5.

Distribusi suhu pada batang logam diantara dua dinding panas (penyelesaian persamaan diferensial diferensial ordiner dengan permasalahan nilai batas, boundary value problem)........................ problem)........................ ........................... 20

2.6.

Pengeringan padatan silinder-penyelesaian persamaan diferensial parsial (PDP) .......... ...................... 25

2.7.

Penentuan order reaksi reaksi dan konstanta kecepatan reaksi................................... ................................... 32

3.

Latihan ............................ ........................................... ............................. ............................. ............................. ............................. ............................ ............. 36 3.1.

Penentuan dew point campuran .......................................................................................................... 36

3.2.

Adsorpsi senyawa senyawa limbah ................................... .................................... .................................... .......... 37

3.3.

Reaktor tabung non-adiabatis dan non-isotermal (penyelesaian persamaan diferensial ordiner simultan) ............................................................................................................................................. 37

i


2011

1. Review Tools Box pada Matlab Fungsi

Deskripsi

Optimasi dan root finding problem

Fminbnd Fminsearch

Minimasi fungsi nonlinear skalar pada batas-batas tertentu

Fzero

Pencarian nilai-nilai pembuat nol fungsi

Minimasi fungsi nonlinear multidimensi tak berbatas dengan menggunakan metode pencarian langsung Nelder-Mead

Integrasi Numerik

Quad Quadl Dblquad Triplequad Trapz

Integrasi numerik dengan metode berderajat rendah Integrasi numerik dengan metode berderajat lebih tinggi Integrasi numerik untuk integral ganda Integrasi numerik untuk integral tingkat tiga Integrasi numerik dengan metode trapezoidal

Plotting & Grafik

Ezplot ezplot3 Ezpolar Ezcountour Ezcountourf Ezmesh Ezmeshc Ezsurf Ezsurfc Fplot

Menggambar grafik fungsi 2D Menggambar grafik fungsi parametrik 3D Menggambar grafik fungsi polar Menggambar kontur Menggambar kontur berisi Menggambar kurva permukaan 3D Menggambar kurva permukaan dengan kontur Menggambar permukaan 3D berwarna Menggmabar permukaan 3D dengan kontur Menggambar fungsi 2D

Solver untuk Persamaan Differensial (PD) PD Ordiner dengan masalah initial value (nilai awal)

ode45 ode23 ode113

Menyelesaikan PDO non-stiff dengan metode berderajat menengah Menyelesaikan PDO non-stiff dengan metode berderajat rendah Menyelesaikan PDO non-stiff dengan metode berderajat yang ditentukan

ode23t

Menyelesaikan PDO stiff dan persamaan aljabar diferensial berindeks 1 dengan metode trapezoidal

ode15s

Menyelesaikan PDO stiff dan persamaan aljabar diferensial berindeks 1 dengan metode berderajat yang ditentukan

ode23s ode23tb

Menyelesaikan PD stiff dengan metode berderajat rendah Menyelesaikan PD stiff dengan metode berderajat rendah

PD Ordiner dengan masalah boundary value (nilai batas)

1


bvp4c

2011

Menyelesaikan PDO dengan BVP dua titik dengan collocation

PD Parsial 1D

pdepe

Menyelesaikan PD Parsial parabolic-eliptik dengan masalah nilai awal

Fungsi-fungsi dasar

abs cumprod cumsum cumtrapz max mean median min prod sort

Nilai absolut

std sum

Standar deviasi

Produk kumulatif dari elemen-elemen Produk kumulatif dari penjumlahan elemen Kumulatif integrasi numerik dengan metode trapezoidal Komponen terbesar Nilai rerata Nilai tengah Komponen terkecil Produk dari elemen-elemen Menyusun elemen-elemen array dengan urutan semakin naik atau turun Jumlah dari elemen-elemen

Lebih lengkap lihat pada ketik help funfun dan help elfun pada command window

2

Aplikasi Matlab pada Teknologi Proses

2011

2. Aplikasi Matlab pada Teknologi Proses 2.1.

Waktu untuk mencapai ketinggian tertentu pada tangki bocor (integrasi numeris) 3

Suatu tangki kosong kemudian disi cairan A dengan debit Fin m /jam. Pada saat yang bersamaan bagian dasar tangki mengalami kebocoran sebesar d cm dengan kecepatan cairan keluar sebesar v m/s yang merupakan fungsi dari tinggi cairan di dalam tangki (h). v sebagai fungsi h dapat didekati dengan persamaan berikut : (1.1) 2

Dengan g adalah percepatan gravitasi bumi yang besarnya 10 m/s . Ingin diketahui berapa lama waktu yang diperlukan agar tinggi cairan di dalam tangki mencapai 0,5 m ? Asumsikan bahwa densitas cairan tidak mengalami perubahan. 3

Fin=15 m /jam

D= 3 m

d= 3 cm 3 Fout m /jam

Gambar 1. Sistem untuk kasus 1 dan kasus 2 Diketahui:

Dari neraca massa di dalam tangki diperoleh persamaan sebagai berikut : (1.2) dengan ;

;

Penyelesaian Untuk mencari nilai t pada saat h tertentu dapat dilakukan dengan memodifikasi persamaan neraca massa diatas menjadi: (1.3) Integrasi persamaan diatas dengan batas-batas sebagai berikut:

3


2011

Pada saat t=0 maka h=0 Pada saat t=t maka h=0,5 Menghasilkan persamaan sebagai berikut : (1.4) Algoritma pemrogramannya adalah sebagai berikut: Mulai Perhitungan

Input Data Fin, g, D, d, h

integrasi integ_fun t=quadl(@integ_fun,0,h)

t h

Subroutine function t=integ_fun(h) Hitung A, A0, v, Fout, dan t

Perhitungan Selesai

Gambar 2. Algoritma program untuk kasus 1 Main program run_integ_fun % Kasus 1 % Menghitung waktu pengisian tangki % ================================== clc clear all % definisi global variabel % ================================== global Fin D d g % Input Data % ================================== Fin=15/3600; % m3/jam to m3/s D=3; % m d=3/100; % cm to m g=10; % m/s2

4


2011

% Batas integrasi % ================================== h=0.5; % Integrasi numeris % ================================== t=quadl(@integ_fun,0,h) % Tampilan dalam bentuk grafik % ================================== run_fun_ode

Subroutine integ_fun function t=integ_fun(h) global Fin D d g A=pi*D^2/4; A0=pi*d^2/4; v=sqrt(2*g.*h); Fout=A0*v; t=A./(Fin-Fout);

Program menampilkan grafik run_fun_ode % Kasus 1 & 2 % Menampilkan grafik h versus t % ================================== % Input Data % ================================== tf=12*3600; % jam to s [ts,hs]=ode45(@fun_ode,[0,tf],[0]); plot(t/3600,h,'o',ts/3600,hs) xlabel('waktu, jam') ylabel('tinggi cairan, m') legend('hasil hitungan','Location','Best')

Subroutine fun_ode function dhdt=fun_ode(t,h) global Fin D d g

5


2011

A=pi*D^2/4; A0=pi*d^2/4; v=sqrt(2*g.*h); Fout=A0*v; dhdt=(Fin-Fout)/A;

Hasil Waktu yang diperlukan hingga tinggi cairan = 0,50 m adalah 0,38 jam

Gambar 3. Profil tinggi cairan terhadap waktu

6


2.2.

2011

Waktu steady state tangki bocor (mencari nilai nol fungsi/root finding problems dan integrasi numeris)

Sama seperti pada Kasus 1, hanya saja ingin dicari berapa lama waktu yang diperlukan agar kondisi di dalam tangki mencapai steady state (tinggi cairan didalam tangki tetap)?

Penyelesaian Steady state digambarkan sebagai kondisi dimana tinggi cairan di dalam tangki tetap. Pada gambar 3, kondisi steady tercapai pada saat dh/dt=0 sehingga dari persamaan (1.2) (2.1) Terlebih dahulu dicari berapa nilai h yang memenuhi persamaan (2.1). Kemudian nilai h yang diperoleh digunakan sebagai kondisi batas atas persamaan (1.4) untuk mencari waktu yang diperlukan mencapai ketinggian h steady state dengan cara yang sama seperti pada kasus 1.

Mulai Perhitungan

Input Data Fin, g, D, d

Hitung h pada saat dh/dt=0 sebagai nilai batas integrasi h=fzero(@steady_state,h0)

integrasi integ_fun t=quadl(@integ_fun,0,h)

h f

t h

Subroutine function f=steady_state(h) Hitung A, A0, v, Fout, dan f

Subroutine function t=integ_fun(h) Hitung A, A0, v, Fout, dan t

Perhitungan Selesai

Gambar 4. Algoritma program untuk kasus 2

7


2011

Main program run_integ_fun_2 % Kasus 2 % Menghitung waktu steady state % ================================== clc clear all % definisi global variabel % ================================== global Fin D d g % Input Data % ================================== Fin=15/3600; % m3/jam to m3/s D=3; % m d=3/100; % cm to m g=10; % m/s2 % Menghitung batas integrasi % ================================== h=fzero(@steady_state,1); % Integrasi numeris % ================================== t=quadl(@integ_fun,0,0.999*h) % Tampilan dalam bentuk grafik % ================================== run_fun_ode

Subroutine steady_state function f=steady_state(h) global Fin D d g A=pi*D^2/4; A0=pi*d^2/4; v=sqrt(2*g.*h); Fout=A0*v; f=A./(Fin-Fout);

Hasil Waktu yang diperlukan hingga steady state adalah 10,81 jam (tinggi cairan = 1,74 m) 8


2011

Gambar 5. Profil tinggi cairan terhadap waktu dan kondisi steady state

9


2.3.

2011

Kecepatan dan debit aliran cairan diantara dua tangki ( root finding problems)1

2

z2 1 z1

v,Q

D, Le

Gambar 6. Sistem untuk kasus 3 : pengaliran cairan antara dua tangki Suatu cairan akan dialirkan dari tangki 1 menuju tangki 2 melalui pipa dengan diameter D dengan bantuan pompa. Panjang ekuivalen pipa, Le, diketahui. Karakteristik pompa sentrifugal 3 yang dipakai berupa hubungan antara head pompa (Hm, cm) dengan debit (Q, cm /detik) dapat didekati dengan persamaan : (3.1) Ingin dihitung kecepatan cairan di dalam pipa (v) dan debit aliran (Q) Diketahui:

Persamaan Bernoulli (3.2) P1=P2=1 atm. Asumsi bahwa diameter tangki cukup besar sehingga v1 dan v2 dapat dianggap nol, maka persamaan tersebut menjadi : (3.3)

1

W.B. Sediawan dan A. Prasetya, 1997,”Pemodelan Matematis dan Penyelesaian Numeris dalam Teknik Kimia”, hal.115-117, Penerbit Andi : Yogyakarta.

10


2011

Dengan : (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) Sedangkan debit aliran dapat dihitung dengan persamaan berikut: (3.8) Diketahui harga-harga: 3

2

ρ=1 g/cm ; µ=0,01 g/cm/s; g=981 cm/s ; z1=300 cm; z2=800 cm; D=4 cm; Le=20000 cm. Objective function (3.9)

Penyelesaian Harga v dapat ditentukan melalui prosedur trial and error (coba-coba) dengan memasukkan nilai v ke dalam persamaan f obj diatas hingga diperoleh nilai f obj(v)=0 Algoritma perhitungan dan programnya pada gambar 7 Main program pump1

% Kasus 3 % Menghitung v dan Q pada pengaliran cairan % ================================================ clc clear % Definisi global variabel % ================================================ global g Z1 Z2 Le rho miu D % Input data % ================================================ g=981; % cm/s2 Le=20000; % cm Z1=300; % cm 11


Z2=800; rho=1; miu=0.01; D=4;

% % % %

2011

cm g/cm3 g/cm/s cm

%Nilai v trial awal % ================================================ v0=200; % Mencari nilai nol dari fungsi tujuan % (objective function) % ================================================ v=fzero(@obj_fun,v0); % Hitung debit aliran % ================================================ Q=pi/4*D^2*v; % Tampilkan hasil % ================================================ fprintf(' kecepatan cairan (v) = %6.4f cm/s \n',v) fprintf(' debit cairan (Q) = %6.4f cm3/s \n',Q) Subroutine obj_fun function fobj=obj_fun(v) global g Z1 Z2 Le rho miu D Q=pi/4*D^2*v; Hm=3718.5-2.3496*Q+7.8474e-4*Q^2-9.5812e-8*Q^3; Re=rho*v*D/miu; f=0.0596./Re.^0.215; F=f*Le*v^2/2/g/D; W=-Hm; fobj=Z1-Z2-F-W; Hasil kecepatan cairan (v) = 227.6735 cm/s debit cairan (Q)

= 2861.0300 cm3/s

12

Aplikasi Matlab pada Teknologi Proses Langkah Perhitungan Manual

Algoritma Program

Mulai perhitungan

Mulai perhitungan

Input data µ, ρ, g, z1, z2, D, Le

Input data µ, ρ, g, z1, z2, D, Le, vtrial

Masukkan nilai vtrial

Hitung v v=fzero(@obj_fun,vtrial) Hitung Q=f(v)

Hitung Q=f(vtrial) Hitung Hm=f(Q) Hitung Re=f(v) Hitung f=f(Re) Hitung vhitung=f(Hm,f,vtrial)

Perhitungan selesai

2011

Subroutine function fobj=obj_fun(v) Hitung Q=f(vtrial) Hitung Hm=f(Q) Hitung Re=f(v) Hitung f=f(Re) Hitung fobj(v)

vhitung=vtrial? Tidak coba nilai v baru Ya Perhitungan selesai

Gambar 7. Algoritma perhitungan dan pemrograman kasus 3

13


2.4.

2011

Pencampuran di dalam tangki dengan pemanas (penyelesaian persamaan diferensial ordiner simultan)

3

C1,kg/m 3 Fv1, m /jam o T1, C o Cp1, J/kg/ C

3

C2,kg/m 3 Fv2, m /jam o T2, C o Cp2, J/kg/ C 3

C, kg/m 3 V, m o T, C

3

C,kg/m 3 Fv, m /jam o T, C o Cp,J/kg/ C

2 o

U, watt/m / C 2 A, m

Fs, kg/jam Fs, kg/jam o o Ts, C Ts, C Gambar 8. Sistem tangki pencampuran dengan pemanas Sebuah tangki dilengkapi dengan pengaduk dan pemanas akan digunakan untuk mencampur cairan B berkonsentrasi C1 dan bersuhu T1 dengan cairan B berkonsentrasi C2 dan bersuhu T2. Campuran keluar tangki dengan konsentrasi C dan suhu T. Untuk mencapai suhu T, fluida pemanas sebanyak Fs dengan suhu Ts, dialirkan melalui koil pemanas yang sepenuhnya terendam di dalam cairan B. Ingin diketahui bagaimanakah profil suhu dan konsentrasi terhadap waktu jika tangki dioperasikan selama 3 jam. Diketahui mula-mula di dalam tangki ada sebanyak V cairan A dengan suhu T0 dan konsentrasi C0. Nilai kapasitas panas cairan dapat dianggap tetap. Diketahui: 3

3

3

o

o

o

o

C1 = 10 kg/m ; C 2 = 2 kg/m ; C 0 = 8 kg/m ; T 1 = 35 C; T 2 = 95 C; Ts = 120 C; T 0 = 35 C; Fv1 3 3 3 3 2 o = 5 m /jam; Fv2 = 3 m /jam; Fv= 5 m /jam; Fs = 60 kg/jam; V =1 m ; U=15 watt/m / C ; A=25 2 o m ; Cp=Cp1=Cp2= 3 J/kg/ C

14


2011

Neraca massa total

kecepatan massa masuk- kecepatan massa keluar = kecepatan massa terakumulasi (4.1) Jika densitas cairan dapat dianggap konstan maka persamaan tersebut menjadi:

(4.2) Kondisi awal: Pada t=0 maka V=V

(4.3)

Neraca massa komponen

kecepatan B masuk- kecepatan B keluar = kecepatan B terakumulasi (4.4)

(4.5) Kondisi awal: Pada t=0 maka C=C0

(4.6)

Neraca panas

kecepatan panas masuk - kecepatan panas keluar= kecepatan panas terakumulasi

(4.7) 15


2011

Kondisi batas: Pada t=0 maka T=T0

(4.8)

Penyelesaian Diperoleh persamaan diferensial ordiner simultan dengan permasalahan kondisi awal sebagai berikut:

Kondisi awal Pada t=0 maka V=V;C=C0,T=T0 Untuk menyelesaikan ketiga persamaan tersebut secara simultan maka dapat digunakan metode Runge-Kutta. Di dalam toolbox Matlab, metode ini digunakan dalam ode45 . Sintaks ode45 adalah sebagai berikut :

[t,Y] = ode45(odefun,tspan,y0) [t,Y] = ode45(odefun,tspan,y0,options) [t,Y,TE,YE,IE] = ode45(odefun,tspan,y0,options) sol = ode45(odefun,[t0 tf],y0...) Algoritma pemrograman penyelesaian permasalahan ini diberikan pada gambar 9. Main program mix_heat % Kasus 4 % Pencampuran cairan dalam tangki berpengaduk dengan koil pemanas % =============================================================== % definisi global variabel % =============================================================== global Fv1 Fv2 Fv C1 C2 global T1 T2 Ts Tref U A Cp % input data % ===============================================================

16

Aplikasi Matlab pada Teknologi Proses C1 = 10; % C2 = 2; % C0 = 8; % T1 = 35+273; T2 = 95+273; Ts = 120+273; T0 = 35+273; Fv1 = 5; % Fv2 = 3; % Fv= 5; % Fs = 60; % V = 1; % U = 15; % A = 25; % Cp = 3; % tf=3; Tref=298;

2011

kg/m3 kg/m3 kg/m3 % C % C % C % C m3/jam m3/jam m3/jam kg/jam m3 watt/m2/C m2 J/kg/C

% jam % K

% menyelesaian ode simultan dengan ode45 % =============================================================== [t,Y]=ode45(@mix_heat_ode_fun,[0,tf],[V,C0,T0]); % menampilkan hasil perhitungan dalam bentuk grafik % =============================================================== figure(1) % menampilkan volum & konsentrasi cairan terhadap waktu [AX,H1,H2]=plotyy(t,Y(:,1),t,Y(:,2)) set(get(AX(1),'Ylabel'),'String','volum cairan di dalam tangki, m3') set(get(AX(2),'Ylabel'),'String','konsentrasi cairan di dalam tangki, kg/m3') xlabel('waktu, jam')

figure(2) % menampilkan profil suhu sepanjang waktu plot(t,Y(:,3),'r') xlabel('waktu, jam') ylabel('Suhu, K') legend('T','Location','Best')

subroutine mix_heat_ode_fun function dYdt=mix_heat_ode_fun(t,Y) global Fv1 Fv2 Fv C1 C2 global T1 T2 Ts Tref U A Cp V=Y(1); C=Y(2); T=Y(3);

17


2011

dYdt=zeros(3,1); dYdt(1)=(Fv1+Fv2-Fv); dYdt(2)=(Fv1.*C1+Fv2.*C2-Fv.*C-C.*dYdt(1))./V; dYdt(3)=(Fv1.*C1.*(T1-Tref)+Fv2.*C2.*(T2-Tref)+U.*A.*(Ts-T)./Cp... -Fv.*C.*(T-Tref)-T.*(C.*dYdt(1)+V.*dYdt(2)))./V./C;

Mulai perhitungan

Input data C1 ; C2 ; C0 ; T 1 ; T 2 ; Ts ; T0 ; Fv1 ; Fv2 ; Fv ; Fs ; V ; U; A ; Cp ; Cp1 ; Cp2 ; tf ; Tref

Perhitungan ode simultan [t,Y]=ode45(@mix_heat_ode_fun,[0,tf],[V,C0,T0])

t Y=V,C0,T0 dYdt

Subroutine function dYdt=mix_heat_ode_fun(t,Y) dVdt=f(V) dCdt=f(V,C) dTdt=f(V,C,T) dYdt=[dVdt;dCdt;dTdt]

Tampilkan hasil perhitungan dalam bentuk grafik

Perhitungan selesai

Gambar 9. Algoritma program kasus 4

18


2011

hasil

Gambar 10. Profil volum dan konsentrasi terhada p waktu

Gambar 11. Profil suhu terhadap waktu

19


2.5.

2011

Distribusi suhu pada batang logam diantara dua dinding panas (penyelesaian persamaan diferensial ordiner dengan permasalahan nilai batas, boundary value problem)

Suatu batang dengan panjang L dan diameter D, kedua ujungnya ditempelkan pada dinding panas dengan suhu yang dijaga konstan masing-masing Ta dan Tb (gambar 12). Ingin diketahui distribusi suhu pada batang logam sebagai fungsi panjang logam pada saat steady state. Diketahui : o

Konduktifitas panas logam (k) =0,2 cal/s/cm/ C 2 o Koefisien perpindahan panas secara konveksi (h) =0,0 02 cal/s/cm / C L=15 cm; D=1.5 cm

o

Tu=35 C qkonveksi o

qkonduksi

Ta=500 C

o

qkonduksi x

Tb=100 C

x+ Δx qkonveksi

x=0

x=L

Gambar 12. Batang logam diantara dua dinding bersuhu tetap Neraca panas pada elemen volum = A.Δx Kecepatan panas masuk – kecepatan panas keluar = kecepatan panas terakumulasi qkonduksi pada x- (qkonduksi pada x+Δx + qkonveksi ) = 0 =0 Dengan:

;dan

A

= luas perpindahan panas secara konduksi; A=

A’

= luas perpindahan panas secara konveksi

20


2011

— Persamaan tersebut diatur ulang dan dibagi de ngan elemen volum serta diambil limit Δx

Karena nilai k tetap maka diperoleh PD ordiner order dua sebagai berikut: (5.1) dengan batas-batas: pada x=0, T=Ta pada x=L, T=Tb

Penyelesaian Persamaan matematis yang diperoleh merupakan permasalahan PD ordiner dengan permasalahan nilai batas. Matlab menyediakan tools berupa bvp4c untuk menyelesaikan permasalahan jenis ini. Akan tetapi, bvp4c hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan PD ordiner order satu sehingga terlebih dahulu persamaan (5.1) dimanipulasi sedemikian sehingga menjadi PD ordiner order 1 simultan. Misalkan :

maka

Substitusi persamaan tersebut ke persamaan (5.1) me nghasilkan PD ordiner simultan sebagai berikut : (5.2) (5.3)

21


2011

Sintaks dari bvp4c adalah sebagai berikut:

sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit) sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options) sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options,p1,p2...) Algoritma pemrograman dengan Matlab diperlihatkan pada gambar 13. Mulai perhitungan

Input data Ta,Tb, Tu, h, k, L, D

Tentukan jumlah inkremen panjang (xint) serta nilai tebakan penyelesaian PDO dengan permasalahan nilai batas dalam solinit=bvpinit(xint,Y0)

bc_res Perhitungan numeris dengan bvp4c sol = bvp4c(@ode_fun,@bc_fun,solinit)

Subroutine function bc_res=bc_fun(Ya,Yb) Pada x=0, T=Ta Pada x=L, T=Tb

Ya,Yb dy x,y

Subroutine function dy=ode_fun(x,y) dTdx=f(y) dydx=f(T) dy=[dTdx;dydx]

Ekstrak hasil hitungan sol dengan : Yxint=deval(sol,xint)


Perhitungan selesai

Gambar 13. Algoritma kasus 5

22


2011

Main program run_ode_bvp % Kasus 5 % Distribusi suhu pada batang logam % ================================= % definisi global variabel % ================================= global Tu k D h global Ta Tb % Input data % ================================= Ta=400; % deg C Tb=100; % deg C Tu=35; % deg C k=0.2; % cal/s/cm/deg C D=1.5; % cm L=15; % cm h=0.002; % cal/s/cm2/deg C % Menentukan jumlah inkremen % ================================= xint = linspace(0,L,20); % Menentukan tebakan awal penyelesaian % ===================================== solinit=bvpinit(xint,[0 1]); % Penyelesaian PDO dengan BVP % ================================= sol = bvp4c(@ode_fun,@bc_fun,solinit); % Mengekstrak hasil penyelesaian % ================================= Yint = deval(sol,xint); % Menampilkan hasil perhitungan % ================================= plot(xint,Yint(1,:)) xlabel('x, cm') ylabel('T, \circ C')

subroutine ode_fun function dy=ode_fun(X,Y) global Tu k D h dy=zeros(2,1);

23


2011

dy(1)=Y(2); dy(2)=4*h/k/D*(Y(1)-Tu);

subroutine bc_fun function bc_res=bc_fun(Ya,Yb) global Ta Tb bc_res=[Ya(1)-Ta Yb(1)-Tb];

Hasil

Gambar 14. Distribusi suhu pada batang logam

24


2.6.

2011

Pengeringan padatan silinder-penyelesaian persamaan diferensial parsial (PDP)2

Suatu padatan berbentuk silinder panjang, berjari-jari R, dengan kadar air mula-mula C0 (g/cm ) dikeringkan dengan udara yang mengandung uap air sebesar yud ( g air/g udara). Kesetimbangan H2O di fasa padat dan di udara dapat didekati dengan hokum Henry berbentuk 3

y=H.C

(6.1)

Kecepatan perpindahan massa uap air dari permukaan padatan ke udara mengikuti persamaan (6.2) Dengan y* adalah kadar H2O di udara setimbang dengan kadar H2O pada permukaan silinder. Karena kadar air dalam silinder sudah cukup rendah, maka kecepatan difusi H2O dari dalam silinder ke permukaan berpengaruh dan karena silinder sangat panjang (R<
Δr

L r

R r+ Δr

Gambar 15. Skema sistem pengeringan dan elemen volum pada silinder Analisis matematis terhadap sistem pengeringan silinder menghasilkan sebuah PDP sebagai berikut : 2

Soal diambil dari buku Pemodelan Matematis dan Penyelesaian Numeris dalam Teknik Kimia, hal.147, karya W.B. Sediawan dan A. Prasetya dengan modifikasi.

25


2011 3

(6.3) dengan batas-batas sebagai berikut : C(r,0)=C0 C(0,t)=finite atau C(R,t)=NAA=k GA(H.C-yud) A merupakan luas perpindahan transfer massa, A= Nilai-nilai tetapan yang diketahui adalah sebagai berikut : 2

2

3

De=0,04 cm /jam; k G=0,08 g/cm /jam; H=0,2; R=0,2 cm; C0=0,2 g/cm ; yud=0,002 g/g udara; waktu pengeringan=25 jam ;L=10 cm;

Penyelesaian Penyelesaian persamaan differensial parsial (PDP) tersebut secara numeris dapat dilakukan dengan menggunakan metode implisit, eksplisit atau dengan metode Crank-Nicolson. Khusus untuk penyelesaian numeris PDP parabolik dan elliptik dengan satu variabel bebas ruang (x) dan satu variabel bebas waktu (t), Matlab menyediakan tools yang bernama pdepe untuk menyelesaikan PDP tersebut. Secara umum untuk permasalahan nilai awal, sintaks yang dapat digunakan adalah sebagai berikut :

sol = pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan) sol = pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan,options) sol = pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan,options,p1,p2...)

Algoritma penyelesaiannya disajikan pada gambar 16.

3

Penurunan persamaan dapat dilihat pada buku Pemodelan Matematis dan Penyelesaian Numeris dalam Teknik Kimia, hal.147, karyaW.B. Sediawan dan A. Prasetya

26


2011

Mulai perhitungan

Input data De; k G; H; R; C 0; yud; t0; tf; L

Tentukan jumlah inkremen radius (xmesh) serta nilai kisaran untuk waktu (tspan). Masukan faktor geometri (m)

Subroutine function [c,f,s]=pdefun(x,t,u,DuDx)

Perhitungan numeris dengan pdepe sol=pdepe(m,@pdefun,@icfun,@bcfun,xmesh,tspan)

Subroutine function u0=icfun(x) Subroutine function [pl,ql,pr,qr]=bcfun(xl,ul,xr,ur,t)


Perhitungan selesai

Gambar 16. Algoritma pemrograman kasus 6

Untuk menggunakan pdepe, persamaan matematis yang diperoleh harus menyesuaikan dengan kehendak dari bentuk umum persamaan yang digunakan pada pdepe yaitu:

Dengan kondisi batas yang berlaku :

dan

maka bentuk penulisan IC

adalah sebagai berikut

Untuk BC, bentuk persamaan yang dikehendaki adalah sebagai berikut :

27


2011

Sehingga untuk menyelesaikan permasalahan pengeringan padatan silinder tersebut terlebih dahulu PDP yang diperoleh dimodifikasi sedemikian rupa sehingga memenuhi format yang diinginkan Matlab. Modifikasi persamaan

PDP dari kasus:

Modifikasi persamaan tersebut adalah:

Bentuk Matlab:

Jika u=C, x=r maka nilai-nilai dari variable c, m, f dan s sebagai berikut:

m=1

Bentuk Matlab untuk kondisi awal (IC)

IC kasus : C(r,0)=C 0 jika t0=0 maka persamaan untuk IC adalah: IC: 28


2011

Bentuk Matlab untuk kondisi batas (BC)

BC pada r=0 kasus : C(0,t)=finite atau Modifikasi BC sehingga : Maka persamaan BC untuk batas kiri (r = 0):

BC pada r=R kasus : C(R,t)=NAA=k GA(H.C-yud) Modifikasi BC sehingga : Maka persamaan BC untuk batas kanan (r=R):

Pemrograman dengan pdepe menggunakan sintaks berikut :

sol = pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan) Untuk melengkapi sintaks tersebut diperlukan pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan . pdefun

function [c,f,s]=pdefun(x,t,u,DuDx) global De c=1/De; f=DuDx; s=0; icfun

function u0=icfun(x) global C0 u0=C0; 29


2011

bcfun

function [pl,ql,pr,qr]=bcfun(xl,ul,xr,ur,t) global kG H yud R L NA=kG*(H*ur-yud) A=2*pi*R*L pl=0; ql=1; pr=ur-NA*A; qr=0; Sementara itu pada program pada main program adalah sebagai berikut

% Kasus 6 % Pengeringan padatan silinder % =============================== % Definisi variabel global % =============================== global De global C0 global kG H yud R L % Input data % =============================== De=0.04; % cm2/jam KG=0.08; % g/cm2/jam H=0.2; % tanpa satuan Yud=0.002; % g/g udara R=2; % cm C0=0.2; % g/cm3 L=10; % cm t0=0; % jam tf=25; % jam % Menentukan mesh dan tspan % =============================== xmesh=[0:0.2:R] % inkremen arah r tspan=linspace(t0,tf,10); % jangkauan waktu % definisi geometri % =============================== m=1;

30


2011

% Menyelesikan pdepe % =============================== sol=pdepe(m,@pdefun1,@icfun1,@bcfun1,xmesh,tspan) % Menampilkan hasil % =============================== surf(rmesh,tspan,sol) xlabel('Radius batang, cm') ylabel('waktu, jam') zlabel('konsentrasi air, g/cm3')

Hasil

Gambar 17. Konsentrasi air pada padatan silinder sebagai fungsi waktu pengeringan dan radius

31


2.7.

2011

Penentuan order reaksi dan konstanta kecepatan reaksi4

Reaksi isomerisasi tak dapat balik

Dijalankan dalam sebuah reactor batch dan diperoleh data konsentrasi tiap waktu sebagai berikut: t (men) CA (mol/l)

0 4,0

3 2,89

5 2,25

8 1,45

10 1,0

12 0,65

15 0,25

17.5 0,07

Tentukan order reaksi terhadap A,α dan konstanta kecepatan reaksi, k!

Penyelesaian

C A

Gambar 18. Skema reaktor batch Asumsi bahwa data diperoleh pada kondisi isotermal dan volum cairan di dalam reactor tetap. Dicoba model reaksi elementer sebagai berikut: α

-r A = k.CA

(7.1)

Neraca massa pada reactor batch: kec. A masuk- kec.A keluar+ kec. A tergenerasi = kec. A terakumulasi

4

Fogler, H.S., 1999, “Elements of Chemical Reaction Engineering”, 3 rd ed. p.270,Prentice Hall, Inc., Nw Jersey.

32


2011

karena volum reaktor tetap maka persamaan tersebut menjadi : (7.2) Untuk menentukan nilai k dan α digunakan metode minimasi sum of squared errors (SSE) yang didefinisikan sebagai: (7.3) Semakin kecil nilai SSE maka, semakin baik model tersebut mewakili data percobaan. Cmodel diperoleh dari hasil penyelesaian persamaan (7.2) dengan mencoba-coba nilai k dan α agar memberikan nilai Cmodel yang sedekat mungkin dengan Cdata atau dengan kata lain nilai SSE seminimum mungkin. Karena fungsi yang akan diminimasi merupakan fungsi nonlinier maka pilihan tools pada Matlab yang tersedia adalah fminbnd atau fminsearch . Oleh karena tidak ada indikasi nilai batas k dan α yang memberikan nilai SSE minimum, maka fminsearch akan lebih tepat untuk digunakan. Algoritma program disajikan pada gambar 19. Main Program data_reaktor % Kasus 7 Penentuan order reaksi dan konstanta kecepatan reaksi % ============================================================= clear clc clf % Definisi global variabel % ========================= global t C C_hit % Input data percobaan % ========================= t=[0 3 5 8 10 12 15 17.5]; C=[4.0 2.89 2.25 1.45 1.0 0.65 0.25 0.07]; % Nilai trial k dan alfa % ========================= k0=[0.2,0.5]; % urutan nilai uji coba : k alfa % Minimasi fungsi tujuan sse % =========================== [kons,var]=fminsearch(@hit_sse,k0);

% Tampilkan hasil dalam bentuk grafik % ==================================== figure(1) plot(t,C,'*',t',C_hit)

33


2011

xlabel('Waktu reaksi, menit') ylabel('Konsentrasi A, mol/l') legend('Data','Model') % Tampilkan hasil pada command window % ==================================== fprintf('Nilai k =%6.4f \n',kons(1)) fprintf('Nilai a =%6.4f \n',kons(2))

Mulai perhitungan

Input data percobaan

Tentukan nilai trial awal untuk k dan α

Minimasi fungsi objektif SSE kons_hit=fminsearch(@hit_sse,k0)


Subroutine function fsse=hit_sse(kons) Penyelesaian ode_reaktor Hitung fsse

Subroutine function dCdt=ode_reaktor(t,C,kons) dCdt=f(C)

Perhitungan selesai

Gambar 19. Algoritma program untuk kasus 7 Subroutine hit_sse function fsse=hit_sse(kons) global t C C_hit residual % Menyelesaikan PD ordiner untuk memperoleh nilai C model dengan ode45: [thit,C_hit]=ode45(@ode_reaktor,t,C(1,1),[],kons); % Hitung nilai residual: residual=C_hit-C'; % Hitung fungsi tujuan: fsse=sse(residual)/(length(t)-length(kons));

34


2011

Subroutine ode_reaktor function dCdt=ode_reaktor(t,C,kons) dCdt=-kons(1).*C^kons(2);

Hasil Nilai k =0.1991 Nilai α =0.5027

Gambar 20. Hasil fitting data dengan model

35


2011

3. Latihan 3.1.

Penentuan dew point campuran5

Sistem campuran uap benzen (1) /toluen (2) dengan fraksi mol A (y1) = 0.33 didinginkan pada o tekanan tetap 120 kPa. Ingin dicari pada suhu berapa ( C) pengembunan terjadi dan komposisi embunan yang terbentuk (xi) jika diketahui bahwa tekanan uap murni mengikuti persamaan sebagai berikut: (1.1) Komponen6 Benzen Toluen

A 13,8594 14,0098

B 2773,78 3103,01

C 220,07 219,79

Petunjuk : kesetimbangan uap-cair mengikuti hokum Roult-Dalton (1.2) o

dengan xi adalah fraksi mol cairan i, Pi adalah tekanan uap murni komponeni, yi adalah fraksi mol uap i, dan PT adalah tekanan total system. Persamaan yang diketahui :

Pada saat kesetimbangan terjadi maka x1+x2=1 dan y1+y2=1 karena yang diamati adalah cairan maka digunakan persamaan: f(T)=x1+x2-1

(1.3)

substitusi x1 dan x2 dari persamaan Roult-Dalton maka: (1.4)

5

Smith,J.M., Van Ness, H.C., dan Abbott, M.M., 2001, “Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics”, edisi ke-6, hal. 361, McGraw-Hill : Singapore. 6 Tabel 10.2 pada “Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics” karya Smith, J.M., Van Ness, H.C., dan Abbott, M.M.

36


2011

3.2. Adsorpsi senyawa limbah7 Udara buang pabrik mengandung senyawa A yang akan dihilangkan A-nya sebelum dibuang ke udara dengan cara menggelembungkan udara tersebut dalam larutan penyerap yang tidak volatile sehingga sebagian besar A terserap dalam larutan. Jumlah udara G dengan kadar A adalah yAF. Kandungan A dalam gas keluar larutan dianggap dalam keadaan setimbang dengan A dalam larutan. Hubungan kesetimbangan uap-cair mengikuti hokum Henry: yA=HxA dimana xA dalam gmol A/ gmol pelarut bebas A. Suhu sistem dianggap tetap sehingga harga H tetap. Larutan penyerap berjumlah V dan mula-mula tidak mengandung A. Dengan berjalannya waktu, kandungan A dalam larutan semakin tinggi sehingga kadar A dalam udara keluar menjadi yAB. Hitunglah berapa lama proses penggelembungan bisa berlangsung sebelum larutan penyerap harus diganti dengan larutan segar. Neraca massa A pada peristiwa tersebut dapat diturunkan menjadi persamaan berikut: (2.1) G=0,2 gmol udara bebas A/detik; yAF=0,1 gmol A/gmol udara bebas A; yAB=0,05 gmol A/gmol udara bebas A; H=0,1 gmol larutan bebas A/gmol udara bebas A; dan V=10 gmol bebas A.

3.3.

Reaktor tabung non-adiabatis dan non-isotermal (penyelesaian persamaan diferensial ordiner simultan)8

Reaksi fasa gas bolak-balik, eksotermis

Dijalankan dalam sebuah reaktor tabung plug-flow, berdiameter dalam D dan panjang L. Kecepatan reaksi dapat didekati dengan persamaan

Dengan

7

Soal ujian sisipan mata kuliah Perhitungan dengan Komputer, Magister Teknik Kimia, Jurusan Teknik Kimia FT UGM, tanggal 14 Januari 2011 8 W.B. Sediawan dan A. Prasetya, 1997,”Pemodelan Matematis dan Penyelesaian Numeris dalam Teknik Kimia”, hal.135-139, Penerbit Andi : Yogyakarta.

37


2011

Perubahan entalpi reaksi mengikuti persaaan

Dengan adalah perubahan entalpi reaksi pada suhu Tref . Umpan reaktor berjumlah F0 (mol/detik) bersuhu T0 dengan komposisi 90% A dan 10% inert (I). Tekanan sepanjang reaktor dianggap tetap. Untuk menjaga agar suhu reaktor tidak terlalu tinggi, pendingin berupa cairan jenuh bersuhu Ts dialirkan diluar tabung (dalam anulus). Pendingin meninggalkan annulus dalam keadaan uap jenuh pada suhu Ts (sehingga suhu pendingin tetap). Koefisien perpindahan panas antara gas dan pendingin dihitung berdasarkan luas permukaan dalam tabung=U. Kapasitas panas gas-gas dianggap tetap dan gas dapat dianggap ideal. Ingin dicari konversi A (X) dan suhu gas (T) pada berbagai posisi (z), pada keadaan steady. Diketahui: 2

U = 0,0085 cal/cm /det/K; F0 = 10 gmol/detik; x0 = 0; P=7,0 atm; D=35 cm; L=1000 cm; o CpA,CpB,CpC,CpI masing-masing 20,10,15, dan 10 cal/gmol/K; ΔHR = -35000 cal/gmol; R=82 3 -1 cm .atm/gmol/K; A=10000 detik ; E/R =6500 K; α = -12.3; β = 4400 K; Tref=273 K; T0=470 K; Ts=421 K Ts z=L

F0,T0,P 90% A 10% I

xout

D

z=0

z

z+ Δz Ts

Gambar 21. Skema reaktor alir pipa non-adiabatis dan non-isotermal 9

Ringkasan Persamaan Diferensial Ordiner Simultan :

(3.1)

(3.2)

9

Penurunan persamaan dapat dilihat pada buku Pemodelan Matematis dan Penyelesaian Numeris dalam Teknik Kimia, hal.135-139, karyaW.B. Sediawan dan A. Prasetya

38

Materi Aplikasi Matlab Pada Teknologi Proses STTN

Recommend Documents