Download : http://arimatematika.blogspot.com/
BILANGAN BULAT BILANGAN BULAT Kita ingat kembali bilangan cacah yaitu : 0, 1, 2, 3, …. Hasil penjumlahan dua bilangan cacah adalah bilangan cacah juga. Sedangkan pada operasi pengurangan dua bilangan cacah akan muncul masalah ketika pengurangnya lebih besar dari yang dikurangi, sehingga muncullah bilangan bulat negatif.
Gambaran lain untuk menunjukkan munculnya bilangan bulat negatif misalnya sbb : Dalam pengukuran suhu dengan termometer berskala Celsius, titik didih air adalah 100oC dan titik beku air adalah 0 oC. Untuk suhu di bawah titik beku air maka skala termometer termomet er diperpanjang ke bawah. Suhu 5 o Cdi bawah nol ditulis –5o C dan dibaca “lima derajat Celsius di bawah nol”. Untuk suhu di atas nol ditulis tanpa tanda +, sehingga suhu 32o di atas nol cukup ditulis 32o C. Berdasarkan gambaran di atas kita dapat membuat garis bilangan yang memuat bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif. Himpunan bilangan bulat positif, nol, dan himpunan bilangan bulat negatif membentuk himpunan bilangan bulat. Dalam garis bilangan bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol dan bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol.
Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat Penjumlahan dan pengurangan dua bilangan bulat dapat digambarkan dalam cara berjalan pada garis bilangan berikut ini : 1. Mulai berjalan (start) pada posisi 0 dan menghadap ke kanan 2. Berjalan maju maju untuk menyatakan menyatakan bilangan bilangan positif positif dan berjalan mundur untuk menyatakan bilangan negatif 3. Tetap di tempat untuk menyatakan nol 4. Arah terus terus untuk menyatakan operasi penjumlahan penjumlahan (+). 5. Arah berbalik untuk menyatakan operasi pengurangan (-). Contoh : 1. Untuk menentukan hasil penjumlahan 4 + 3 pada garis bilangan : Mulai dari 0 menghadap ke kanan. 4 berarti maju 4 langkah + berarti terus 3 berarti maju 3 langkah maka diperoleh 4 + 3 = 7 2. Untuk menentukan hasil pengurangan 5 – (-2) pada garis bilangan : Mulai dari 0 menghadap ke kanan. 5 berarti maju 5 langkah - berarti berbalik arah -2 berarti mundur 2 langkah maka diperoleh 5 – (-2) = 7 Berdasarkan pengalaman di atas dapat dilakukan operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat negatif lainnya sehingga diperoleh aturan berikut ini : 1. –a + (-b) = -(a + b) 2. –a – (-b) = -a + b 3. a - b = a + (-b)
Download : http://arimatematika.blogspot.com/ Latihan 1.Pesawat udara terbang dari ketinggian –100 m di bawah puncak gunung, kemudian naik sampai 250 m. berapa meterkah pesawat udara itu naik? 2.Isilah persegi ajaib berikut ini dengan bilangan bulat negatif berurutan mulai dari –9 sampai dengan –1 sehingga jumlah bilangan dalam tiap baris, kolom, dan diagonal sama.
Perkalian Bilangan Bulat Perkalian dua bilangan bulat mempunyai arti yang sama dengan perkalian dua bilangan cacah. 3 x 4 berarti ada tiga empatan, empatan, yaitu : 3x4=4+4+4 = 12 Dari contoh di atas kita k ita dapat menentukan perkalian bilangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif berikut ini. 2 x (-4) = (-4) + (-4) = -8 3 x (-5) = (-5) + (-5) + (-5) = -15 Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa hasil perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif. Untuk menentukan hasil perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif dapat dilihat dari pola berikut ini: 3x2=6 2x2=4 1x2=2 0x2=0 -1 x 2 = -2 -2 x 2 = -4 -3 x 2 = -6 Perhatikan pola yang muncul, apabila pengalinya makin berkurang maka hasil kalinya juga berkurang 2. Sehingga dapat disimpulkan bahwa hasil perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif adalah bilangan bulat negatif. Latihan 1.Isilah daftar di bawah ini! Pada bagian mana dari daftar itu yang sebaiknya diisi? Pola yang terlihat pada kolom-kolom dan baris-baris hendaknya dipakai sebagai petunjuk pengisian daftar tersebut.
Download : http://arimatematika.blogspot.com/ X
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 2.Kesimpulan apa yang bisa diperoleh untuk a, b bilangan bulat tentang : a. a x (-b) b. (-a) x b c. (-a) x (-b) 3.Adakah kesimpulan lain yang dapat diperoleh dari pengisian daftar tersebut?
Pembagian Bilangan Bulat Untuk menentukan nilai a pada a x 5 = 20 kita dapat mencari suatu bilangan yang jika dikalikan 5 hasilnya hasilnya 20 yaitu 4. Dan jika 20 : 5 maka hasilnya adalah 4 atau 20 : 5 = 4. Jadi pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian. Jadi
a:b=c
cxb=a
Dari pengertian tentang pembagian adalah kebalikan dari perkalian kita dapat menentukan menentuka n pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif berikut ini. a. -8 : 2 = a a x 2 = -8 Pengganti a yang benar adalah –4, sebab –4 x 2 = -8 b. 12 : (-4) = a a x (-4) = 12 Pengganti a yang benar adalah -3, sebab -3 x ( –4) = 12 Berdasarkan pengalaman di atas dapat dilakukan operasi pembagian pada bilangan bulat positif dan negatif lainnya sehingga diperoleh aturan berikut ini : 1.Bilangan bulat negatif dibagi bilangan bulat positif menghasilkan bilangan bulat negatif. negatif. 2.Bilangan bulat positif dibagi bilangan bulat negatif menghasilkan bilangan bulat negatif. negatif.
Download : http://arimatematika.blogspot.com/
Tanda Kurung dalam Operasi Hitung Dalam menyelesaikan suatu perhitungan ada dua hal yang perlu diperhatikan, yaitu : a.Tanda kurung b.Operasi hitung Ada tiga macam tanda kurung dalam suatu perhitungan, perhitungan, yaitu: 1. Tanda kurung biasa, biasa, yaitu ( ). 2. Tanda kurung kurawal, kurawal, yaitu { }. 3. Tanda kurung siku, siku, yaitu [ ]. Ketiga tanda kurung di atas digunakan untuk menentukan operasi hitung yang perlu didahulukan dalam suatu perhitungan. Misal akan dihitung {8 + (5 – 2)} maka yang didahulukan adalah 5 – 2 karena adanya adanya tanda tanda kurung kurung ( ). Jika [10 x {7 – (5 + 4)}] yang harus didahulukan adalah menghitung 7 – (5 + 4) karena adanya tanda kurung { }. Latihan Tentukan urutan dalam perhitungan berikut ini, kemudian tentukan hasilnya. 1. [8 x {15 : (6 – 3)}] 2. [(-4 + 6) x {12 : (3 – 5)}] 3. -24 : [72 : {(6 – 3) x (-2 – 1)}]
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Bahan Diskusi : Ali dan Budi mengikuti perkumpulan basket. Ali pertama kali datang latihan pada tanggal 3 Juli 2007 dan hadir setiap 3 hari. Budi bergabung pada tanggal 4 Juli 2007 dan hadir setiap 4 hari. 1.Tulislah tanggal-tanggal tanggal-tanggal pada bulan Juli tahun 2007 2.Tulislah tanggal-tanggal tanggal-tanggal pada bulan Juli tahun 2007 ketika : a. Ali hadir b. Budi hadir 3.Tanggal berapa sajakah mereka bersamaan hadir? 4.Tanggal berapakah mereka pertama kali hadir bersamaan? 5.Konsep matematika apa yang dapat dijelaskan dengan konteks di atas? Cara lain menentukan FPB dan KPK Salah satu cara menentukan FPB dan KPK selain cara yang telah dibahas dalam buku paket adalah sebagai berikut. 1.Tentukan faktor-faktor prima dari bilangan itu 2.Tentukan faktor sekutu dari factor prima bilangan itu 3.Bagilah bilangan itu secara terus menerus dengan factor sekutu dari factor prima bilangan tersebut sampai tidak dapat dibagi lagi oleh factor sekutu dari factor prima bilangan tersebut. Kemudian tandailah dengan sebuah garis di bawah hasil-hasil bagi yang ada sebagai garis penentuan FPB. 4.Bagilah lagi hasil yang ada di atas tanda garis itu dengan factor prima yang mungkin dapat membagi dari beberapa bilangan itu. Untuk bilangan yang dapat dibagi tentukan hasilnya sedangkan untuk bilangan yang tak dapat dibagi tuliskan bilangannya seperti semula. 5.Lakukan terus pembagian itu dengan factor prima yang mungkin hingga hasil keseluruhan pembagiannya sama dengan satu.
Download : http://arimatematika.blogspot.com/ 6.FPB merupakan hasil kali dari semua factor prima di atas garis penentuan FPB. KPK merupakan hasil kali FPB dengan seluruh factor prima di bawah garis penentuan FPB. Contoh : Tentukan FPB dan KPK dari 300, 350, dan 400 Jawab : Faktor Prima 2 5 5 2 3 2 2 7
300
350
400
150 30 6 3 1 1 1 1
175 35 7 7 7 7 7 1
200 40 8 4 4 2 1 1
FPB dari 300, 350, dan 400 = 2 x 5 x 5 = 50 KPK dari 300, 350, dan 400 = FPB x 2 x 3 x 2 x 2 x 7 = (50 x 8) x (3 x 7) = 400 x 21 = 8400 Latihan Coba tentukan FPB dan KPK dari : a. 160, 200. 280 b. 750, 900, 1200
PECAHAN Bilangan pecahan merupakan bagian dari bilangan rasional yang dapat dituliskan dalam bentuk
a b
yang berbentuk
dengan a, b bilangan bulat dan b a b
0. Di sini akan dibahas bilangan
yang disebut bilangan pecahan dengan “a” sebagai pembilang
dan “b” sebagi penyebut, dengan a dan b bilangan cacah , b dari a.
0, dan b bukan factor
Memodelkan Pecahan 1. Pecahan dapat dipandang sebagai bagian dari keseluruhan. Buatlah persegipanjang yang dibagi menjadi empat bagian yang sama, kemudian arsirlah satu bagian dari empat bagian tersebut a. Tulislah bilangan pecahan yang menyatakan menyataka n bagian yang diarsir b. Tulislah bilangan pecahan yang menyatakan bagian yang tidak diarsir. 2. Pecahan dapat pula dipandang sebagai bagian dari suatu kelompok Buatlah 7 persegi kemudian arsirlah 4 persegi. Bagian yang diarsir dinyatakan …
Download : http://arimatematika.blogspot.com/
Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan 1.Penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama Saat jam istirahat Ani dan Rina membeli pizza yang telah dipotong menjadi 8 bagian yang sama. Ani makan
2 8
bagian pizzaitu dan Rina makan
3 8
. Berapa bagian pizza
yang telah mereka makan? Untuk membantu menjawab pertanyaan tersebut buatlah lingkaran yang dibagi menjadi 8 bagian yang sama.
Warnailah bagian dari lingkaran itu kemudian warnailah bagian lingkaran dengan warna yang berbeda. Berapakah bagian lingkaran yang telah diwarnai? 2.Penjumlahan pecahan yang penyebutnya berbeda Pak Karmin menanam jagung di sawah. Kemarin ia telah menanami bagian sawahnya. Hari ini ia menanami
1 2
1 3
bagian sawahnya. Berapa bagian sawah pak
Karmin yang telah ditanami jagung? Untuk menjumlahkan pecahan tersebut dapat digunakan cara dengan menyatakan pecahan –pecahan itu sebagai pecahan yang penyebutnya sama dengan menggunakan KPK dari penyebut-penyebutnya. Jadi
1 3
+
1 2
= =
2 6
+
3 6
(KPK dari 2 dan 3 adalah 6)
5 6
Tugas : 1. Buatlah suatu model tentang bagaimana cara mengurangkan pecahan yang penyebutnya penyebutnya sama 2. Buatlah suatu model tentang bagaimana cara menentukan hasil pengurangan pecahan yang berbeda penyebutnya
Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Desimal Untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan-pecahan desimal dapat dilakukan dengan dua cara yaitu : 1. Dengan mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa kemudian menjumlahkannya, setelah itu hasilnya diubah lagi menjadi pecahan desimal
Download : http://arimatematika.blogspot.com/ 2. Dengan cara bersusun seperti pada penjumlahan bilangan bulat dengan memperhatikan memperhatikan letak koma dari bilangan-bilangan bilangan-bilangan desimal tersebut. Latihan: 1. Rina pergi ke sekolah naik sepeda dalam waktu 15,5 menit. Pulangnya diperlukan waktu 13,4 menit. Berapa waktu yang diperlukan Rina Pergi pulang? 2.Bu Karta menjual 3 keranjang tomat. Keranjang pertama berisi 13,45 kg. Keranjang kedua berisi 15,28 kg. Keranjang ketiga berisi 14,16 kg. Berapa kg tomat yang dijual bu Karta seluruhnya?
Perkalian Pecahan Pak Harun mempunyai sebidang tanah yang cukup luas. Setengahnya akan ditanami buah-buahan. Ia ingin sepertiga dari yang ditanami buah-buahan itu ditanami mangga. Berapa bagian tanah pak Harun yang ditanami mangga? Untuk menjawab pertanyaan tersebut perhatikan model berikut
Lahan yang ditanami buah-buahan adalah
1 2
dari lahan. Warnailah separo dari
persegi panjang di atas. Bagilah lahan yang akan ditanami buah-buahan menjadi 3 bagian yang sama. Arsirlah
1 3
nya. Bagian yang diwarnai sekaligus diarsir adalah
1 6
yang menunjukkan lahan yang akan ditanami mangga. Tugas: 1. Buatlah suatu aturan untuk mengalikan pecahan dengan pecahan yang lain. 2. Buatlah suatu aturan untuk mengalikan pecahan desimal dengan pecahan desimal yang lain.
