Rangkuman Materi dan Soal-soal
Dirangkum Oleh:
Anang Wibowo, S.Pd
[email protected] / www.matikzone.wordpress.com / www.matikzone.wordpress.com
Ringkasan Materi dan Contoh Soal
1. Pengertian a). Limit kanan dan limit kiri *) lim + f ( x) = L , artinya bilamana x mendekati a dari kanan, maka nilai f ( x x ) mendekati L. x → a
x ) mendekati L. *) lim − f ( x ) = L , artinya bilamana x mendekati a dari kiri, maka nilai f ( x x →a
b). Definisi limit lim f ( x) = L (ada) x →a
⇔
lim f ( x)
x →a +
=
lim f ( x ) = L
y
x →a −
f(x)
L
a kiri
Soal-soal:
1.
y f(x)
4
x →2
3
−
=3
dan lim f ( x ) = 3 maka lim f ( x) x →2
2). lim f ( x) x →5−
5
kanan
Dari gambar diperoleh: 1). lim f ( x)
2
= 3 dan
+
x→ 2
lim f ( x)
x →5 +
=4
, limit kiri dan limit
x →5
=
lim x + 2 = −3 + 2 = −1 dan
−
x → −3
lim f ( x ) = lim 2 − x = 2 − (− 3) = 5 sehingga lim f ( x ) tak ada (limit kiri
x →−3 +
x →−3 x→ −3 + 4 x − 1; jk x < 2 3. Jika f ( x ) = 2 maka lim f ( x ) = lim 4 x − 1 = 4.2 − 1 = 8 − 1 = 7 x jk x + ≥ 3 ; 2 x →2− x→ 2− 2 2 lim f ( x ) = lim x + 3 = 2 + 3 = 4 + 3 = 7 sehingga lim f ( x ) = 7 x→ 2 x →2 + x→ 2+
2. Nilai Limit Fungsi Aljabar Menentukan nilai limit lim f ( x ) dengan cara: x →a
a). Subtitusi, jika diperoleh bentuk tak tentu ( b). Faktorisasi, Faktorisasi, atau a tau c). Perkalian dengan sekawan Untuk lim f ( x ) dengan subtitusi x →a
Ø
Jika f (a) = c maka lim f ( x ) = c
Ø
Jika f (a) =
Ø
Jika f (a) =
x →a
c
0 0 c 0
maka lim f ( x ) = x →a
maka lim f ( x ) = x →a
=3
kanan tidak sama maka lim f ( x ) = Tidak Ada
x
x + 2; jk x ≤ −3 2. Jika f ( x ) = maka lim f ( x) − > 2 x ; jk x 3 x →−3 −
v
x
∞
0 0
), maka dilakukan:
≠
limit kanan)
dan
Soal-soal: 1). lim (5 x − 6 ) = 5.3 − 6 = 15 − 6 = 9 x →3
2). lim
5 x − 6
x→ 2
4). lim
5( −3) − 6
− 3 +1 x + 1 x − 2 2 − 2 0
x →−3
3). lim
=
=
x + 2 2 + 2 x − 2
=
=
− 15 − 6 − 21 = = −2 −2
21 2
= =0 4
2−2
=
0
BTT, maka
− 5 x + 6 2 − 5.2 + 6 0 x − 2 x − 2 = lim = lim 1 = 1 = 1 = −1 lim 2 x→ 2 x − 5 x + 6 x→ 2 ( )( x − 3) x →2 ( x − 3) 2 − 3 − 1 x − 2)( 2 x 2 + 3 x + 2 (− 1) + 3(−1) + 2 1 − 3 + 2 0 = = = BTT, maka 5). lim 2 x →−1 x − 5 x − 6 ( −1) 2 − 5( −1) − 6 1 + 5 − 6 0 x 2 + 3 x + 2 ( x + 1)( x + 2 ) ( x + 2) − 1 + 2 1 1 = = = = = − lim 2 lim lim x →−1 x − 5 x − 6 x →−1 ( x + 1)( x − 6) x→ −1 ( x − 6) − 1 − 6 − 7 7 3 2 3 2 x − 5 x + 3 x 0 − 5.0 + 3.0 0 6). lim = = BTT, maka x→ 0 2 x − 7 x 2 2.0 − 7.0 2 0 3 2 2 ( x − 5 x + 3 x x( x − 5 x + 3) x 2 − 5 x + 3) 0 − 5.0 + 3 3 = xlim = xlim = = lim x→ 0 →0 x (2 − 7 x ) →0 (2 − 7 x ) 2 x − 7 x 2 2 − 7.0 2 3 − 4 x + 1 3 − 8 + 1 0 = = BTT, maka 7). lim x→ 2 2−2 0 x − 2 3 − 4 x + 1 3 − 4 x + 1 3 + 4 x + 1 9 − (4 x + 1) lim lim lim = ⋅ = x→ 2 x → 2 x − 2 x − 2 3 + 4 x + 1 x→ 2 ( x − 2)(3 + 4 x + 1) 8 − 4 x − 4( x − 2) lim = xlim = x →2 → 2 ( x − 2)(3 + 4 x + 1) ( x − 2 )(3 + 4 x + 1) 4 2 −4 −4 −4 = xlim = = = − = − → 2 (3 + 4 x + 1) 6 3 3 + 4.2 + 1 3 + 3 x→ 2
8). lim
x →3
lim
x →3
x
2
2
x + 2
− 2 x − 1 0 = BTT, maka 0 x x 2 −3 − x + 2 − 2 x − 1 x + 2 − 2 x − 1 x + 2 + 2 x − 1 = lim3 . x → 2 x − 3 − x 2 x − 3 − x x + 2 + 2 x − 1 ( x + 2) − ( 2 x − 1) = lim x →3 ( 2 x − 3 − x )( x + 2 + 2 x − 1) − x + 3 = xlim →3 ( 2 x − 3 − x )( x + 2 + 2 x − 1) − x + 3 ( = lim . x →3 ( 2 x − 3 − x )( x + 2 + 2 x − 1) ( (− x + 3)( 2 x − 3 + x ) = lim x →3 ( x + 2 + 2 x − 1 )((2 x − 3) − ( x) ) − ( x − 3)( 2 x − 3 + x ) = xlim →3 ( x + 2 + 2 x − 1 )( x − 3) − ( 2 x − 3 + x ) = xlim →3 ( x + 2 + 2 x − 1 ) − ( 2.3 − 3 + 3 ) − ( 3 + 3 ) 2 = = =− ( 3 + 2 + 2.3 − 1) 5+ 5 2
Dikali sekawan pembilang
) 2 x − 3 + x ) 2 x − 3 + x
3 5
=−
3 5
Dikali sekawan penyebut
Menentukan nilai limit lim f ( x) dengan cara: x →∞
a). Subtitusi. b). Jika diperoleh bentuk tak tentu (
∞ ) maka masing2 pembilang dan penyebut dibagi dengan ∞
variabel pangkat tertinggi (VPT). c). Jika diperoleh bentuk tak tentu ( ∞ − ∞ ) maka dikalikan bentuk sekawannya kemudian masing2 pembilang dan penyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi (VPT).
v
Untuk lim f ( x) dengan subtitusi x →∞
Ø
Jika f ( x ) =
Ø
Jika f ( x ) =
Ø
Jika
Ø
Jika
∞
x →∞
x →∞
6 x
2
x →∞
∞
maka lim f ( x) = 0
x →∞ ∞ ∞ f ( x ) = maka dilakukan dengan cara ∞ f ( x ) = ∞ – ∞ maka gunakan cara c).
Soal-soal: 1). lim 2 x + 9 = 2.∞ + 9
2). lim
maka lim f ( x) =
c c
=
6
Catatan: k 1) lim n = 0 ; n > 0 x →∞ x n 2) lim kx = ∞ ; n > 0 x →∞
3) lim k = k ; k konstanta
b).
x →∞
=∞ =
6
=0
+ 1 ∞2 + 1 ∞
Variabel Pangkat Tertinggi (VPT) 2
adalah x , maka pembilang dan
3). lim 96 = 96
penyebut dibagi dengan x
x →∞
4). lim
x →∞
2 x 3 x
2
+ x − 1
=
∞ ∞
BTT maka 2 x
lim
x →∞
2 x 3 x 2 + x − 1
= xli→m∞ =
5). lim
x →∞
2 x 2 3 x
2
+ x − 1
=
3 x 2 x 2 0
x 2 x
+
3+0−0
∞ ∞
x 2 0
−
1
= xli→m∞
x 2
2 x 3+ 1 − x
lim 2 x = 1 2 lim 3 + lim 1 − lim 1 2 x→ ∞ x→ ∞ x x→ ∞ x x x →∞
= =0 3
Lihat Teorema Limit
BTT, maka 2 x 2
lim
x →∞
2 x 2 3 x 2 + x − 1
= xli→m∞ =
6). lim
x →∞
4 x
2
3 x 2 x 2 2
+
3+0−0
− 5 x + 1 −
4 x
2
x 2 x x 2 2
=
−
1 x 2
= xli→m∞
2 3+ 1 − 1 2 x x
3
+ 7 x − 2 = ∞ − ∞
BTT, maka
=
lim 2
x →∞
lim 3 + lim 1 − lim 1 2 x→ ∞ x x→ ∞ x
x→ ∞
2
lim
2
− 5 x + 1 −
2
− 5 x + 1 −
4 x
x →∞
( = xlim →∞
4 x
4 x 4 x
+ 7 x − 2
2
2
( + 7 x − 2 )⋅ (
− 5 x + 1 + 4 x 2 − 5 x + 1 + 4 x
2
+ 7 x − 2 ) 4 x 2 + 7 x − 2 ) 4 x
2
(4 x − 5 x + 1) − (4 x + 7 x − 2) 2
= xlim →∞
2
− 5 x + 1 + 4 x 2 + 7 x − 2 − 12 x + 3 2 2 4 x − 5 x + 1 + 4 x + 7 x − 2 − 12 x + 3 x x 4 x
= lim
x →∞
= xlim →∞
2
4 x 2
x
2
− 5 x
x
+
2
1 2 x
+
4 x 2
Sama nilainya dengan (diambil suku yang memuat pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut):
lim
x →∞
x
2
+ 7 x
x
2
−
x →∞
4− 5 + 1 2 x x
+
VPT pembilang adalah x, dan VPT
4+ 7 − 2 2 x x
penyebut pembilang
− 12 + 0 4 −0 + 0 + 4 + 0 −0
=−
12 2 4
− 12 x 4 x 2 + 4 x 2
2 2 x
− 12 + 3 x
= lim =
Dikalikan sekawan
x
2
dan
(setara), maka penyebut dibagi 2
dengan x (jk dlm akar menjadi x ) Lihat catatan 2
= − 12 = −3 4
Beberapa Kesimpulan untuk limit tak hingga:
Jika f ( x ) =
Ø
n
Ø
n −1
+ bx + ... px m + qx n−1 + ... ax
n
maka lim f ( x ) = lim x →∞
x→ ∞
ax
n
px m
0, jk n < m a = , jk n = m p ∞, jk n > m
adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari penyebut.
Jika
∞, jk a > p b − q f ( x ) = ax 2 + bx + c − px 2 + qx + r maka lim f ( x) = , jk a = p x →∞ 2 a − ∞, jk a < p
3. Teorema Limit Untuk n ∈ bilangan bulat positif; c konstanta; f dan g fungsi-fungsi dalam x yang mempunyai limit di a, maka berlaku:
a. lim c x→ a
=c
g. lim ( f ( x ) • g ( x )) = lim f ( x) • lim g ( x ) x→ a
=a c. lim f ( x) = f ( a) x→ a b. lim x
n
n
f ( x) f ( x ) xlim →a = ; lim g ( x ) ≠ 0 x→ a g ( x) x→ a l i m ( ) g x x → a n n i. lim ( f ( x )) = ( lim f ( x )) x→ a x → a
d. lim cf ( x ) = c lim f ( a) x→ a
e. lim ( f ( x ) + g ( x)) = lim f ( x ) + lim g ( x) x→ a
x →a
x → a
j. lim
x→ a
n
f ( x )
f. lim ( f ( x ) − g ( x)) = lim f ( x ) − lim g ( x) x→ a
x →a
Soal-soal: 1). a. lim 25 = 25
2). lim x x →3
3
x →a
b. lim 36 = 36
x→ 6
4
x→ a
h. lim
x→ a
x→ a
x →a
x→ 0
= 3 = 81 4
3
c. lim 9 = 9 x →−2
= n xli→ma f ( x) ;
lim f ( x ) ≥ 0
x→ a
4). lim 5 x = 5 lim x x →−2
x →−2
= 5.( −2) = −10
5). lim 5 x + 3 x
2
2 2 = xlim 5 x + lim 3 x = 5.4 + 3.4 = 20 + 48 = 68 x→ 4 →4
6). lim 5 x − 3 x
2
2 2 = xlim 5 x − lim 3 x = 5.4 − 3.4 = 20 − 48 = −28 x →4 →4
x→ 4 x→ 4
7). lim (5 x + 3 x
)(5 x − 1) = lim (5 x + 3 x ). lim→ (5 x − 1) = 8.4 = 32 → (5 x + 3 x ) 8 (5 x + 3 x ) lim →
x→1
2
2
x
x
1
2
8). lim
= x
(5 x − 1)
x→1
3
9). lim (5 x + 2) 10). lim
3
x→1
11). lim
lim (5 x − 1)
5 x + 2
lim (5 x + 2)
3
x →1
4
= (5.1 + 2 )3 = 7 3 = 343
(5 x + 2) = 3 (5.1 + 2) = 3 = 3 l xim →1
5 x − 3 x 2
x →−5
= =2
1
x→1
=
x→1
1
2
=
2 x + 7
lim (5 x − 3 x
2
x →∞
)
lim (2 x + 7 )
=
7
lim 5 x − lim 3 x
x →∞
2
x→ ∞
=
lim 2 x + lim 7
x→ ∞
x → ∞
5.(−5) − 3.( −5) 2
x →∞
2.(−5) + 7
=
− 25 − 75 − 100 = − 10 + 7 3
4. Limit Fungsi Trigonometri Cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri sama dengan limit fungsi aljabar. Beberapa persamaan khusus: sin sin x
a. lim
x→ 0
= xli→m0
x tan x
b. lim
x→ 0
x sin sin ax
c. lim
x→ 0
= xli→m0
sin sin x x
=
=1
d. lim
=1
e. lim
tan x ax
= xlim →0
bx
Soal-soal: x 1). lim x→ 0 cos x
x
sin sin bx
= xli→m0
ax
tan bx sin sin ax tan bx
= =
a b a b
a b
0
cos 0
1
1
π
2
sin sin 2 x
x→ 0
bx tan ax
= xlim →0
= =0
sin x + cos x = sin sin 2). lim sin x →
=
sin sin bx
0
x→ 0
tan ax
1 2
π
+ cos
1 2
π
= 1+ 0 = 1
sin sin 2 x 2 sin sin 2 x (jika x → 0 maka 2 x → 0 ) = 2.1 = 2 . = 2. lim 2 x →0 x→ 0 2 2 x x x 3 x + sin sin 4 x 0 = BTT, maka (khusus soal model ini, pembilang dan penyebut dibagi dengan x) 4). lim x→ 0 5 x − tan 2 x 0 sin 4 x sin 4 x sin 4 x 3 x + sin 3+ lim 3 + lim 3 x + sin 4 x 3+4 7 x x →0 x x = x →0 x = = = = lim lim lim x→ 0 5 x − tan 2 x x →0 5 x − tan 2 x x →0 5 − tan 2 x lim 5 − lim tan 2 x 5 − 2 3 x x →0 x→ 0 x x x
3). lim
5). lim
1 − cos 4 x
x→ 0
lim
= xlim →0
x→ 0
sin x x sin 1 − cos 4 x x sin x
=
0 0
BTT, maka
1 − cos 4 x 1 + cos 4 x . = xlim → 0 x sin x 1 + cos 4 x
= xlim →0
sin 4 x.sin 4 x
= 1.1.4.
x sin x
1 2
.4 = 8
.
1
= xlim →0 .
1 − cos 2 4 x
( x sin x )(1 + cos 4 x )
4 x.4 x
1 + cos 4 x 4 x.4 x
= xlim →0
= xlim →0
sin 2 4 x
( x sin x )(1 + cos 4 x )
sin sin 4 x sin 4 x 4 x 1 4 x . . . . 4 x 4 x sin x (1 + cos 4 x ) x
cos x 0 = 6). lim π 0 x → 2 x − π
Diketahui rumus trigonometri trigonometri :
BTT, maka
cos x
π sin − x = sin 2
2
π π π π sin sin − x sin − x − sin sin x − − sin x − cos x 2 = lim 2 = − lim 2 = −1 = lim 2 = lim lim π x→ π π π π x → x → x → x→ x − x − x − 2 x − 2 2 2 2 x − 2 2 2 2 2 π
π
π
π
5. Kekontinuan Suatu Fungsi Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada x = a jika: a. f (a) ada b. lim f ( x) ada
π
Ciri: Grafiknya merupakan lengkungan (kurva) yang tidak terputus.
x→ a
c. lim f ( x) = f (a) x→ a
Soal-soal: 1). Fungsi f ( x ) = 2 x + 1 , kontinu di x = 1 karena lim (2 x + 1) = 3 = f (1) x→1
x − 9 x ) tidak kontinu di x = 3, karena 2). Fungsi f ( x ) = x − 3 ; x ≠ 3 maka f ( x 3; x = 3 ( x − 3)( x + 3) x 2 − 9 = = xlim a. lim lim ( x + 3) = 3 + 3 = 6 x →3 x − 3 x→ 3 →3 ( x − 3) 2
b. f (3) (3) = 3 maka lim f ( x ) ≠ f (3) x →3
6. Limit Barisan Bilangan n
n
1 a. lim 1 + = e n→∞ n 1
b. lim (1 + n) n n →∞
1 c. lim 1 − = e −1 n →∞ n 1
d. lim (1 − n ) n
=e
n →∞
1
Ket: e = 2,7182818... = 1 + 1 +
2!
= e −1
1
+ + ... (bilangan Euler) 3!
Soal-soal: x +1 x +1 x +1 x +1 1 1 x x + 1 − 1 x + 1 1. lim = lim = lim − = lim 1 − = e −1 x→ ∞ x + 1 x→ ∞ x →∞ x + 1 x→ ∞ x + 1 x + 1 x + 1 x +1 x +1 x+1 x +1 x x + 1 − 1 x + 1 1 1 − lim = xli→m∞ = lim = lim 1 − x →∞ x + 1 x + 1 x →∞ x + 1 x + 1 x →∞ x + 1 atau −1 − ( x +1) −1 1 −( x +1) 1 e −1 = xlim = = 1− lim 1 + →∞ x + 1 x→ ∞ − ( x + 1)
1
2. lim (1 − 3 x ) x x →∞
−
1
−3
= lim (1 − 3 x ) 3 x 1 x→ ∞
.
−3
−3
1 1 − − = lim (1 − 3 x ) 3 x = lim (1 − 3 x ) 3 x = e −3 x →∞ x → ∞
Persamaan c.
Persamaan a.
−2 x
2 lim 1 + x→ ∞ 3 + x
3.
3 + x ( −4 )+6 2
2 = xli→m∞ 1+ 3 + x
3 + x 2 2 = lim 1 + x→ ∞ 3 + x
3+ x 2 2 = xlim 1+ →∞ 3 + x 6
2 = e − 4 .(1 + 0 )6 = e − 4 . lim 1 + x →∞ 3 + x
Bentuk Sekawan:
− b 2 = (a − b )(a + b ) b. a 3 − b 3 = (a − b ) a 2 + ab + b 2 ) c. a 3 + b 3 = (a + b )(a 2 − ab + b 2 ) 2 d. (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 2 e. (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 2 f. ( a ) = a ⋅ a = a
a.
a. a 2
g.
( a + b) =
a+b⋅ a+b
+ b b. a + b − c sekawannya a − b − c c. a b − c sekawannya a b + c d. a + b + c − d sekawannya a + b − e. a + b − c sekawannya a + b + c
b. c.
d.
a b
a x
a x 2
a+b x 2 ax
2
x
=
+ bx 3
dan lain-lain.
b sekawannya
a
c − d
Keterangan: Sebagian materi adalah materi pengayaan, tidak semuanya dipelajari di kelas.
b
=
−
=a +b
a
=
a
dan lain sebagainya..
Catatan 2:
a.
6 2 1 + 3 + x
−4
Catatan:
2
−4
=
a x 2
a+b x 4
=
a +b
=
ax
2
x 4
+ bx
x 6
=
=
a x 4
ax
2
+
b x 4
+ bx
x
6
=
ax x
2
6
+ bx6 x
www.matikzone.co.cc
Soal-Soal Latihan
A. Kerjakan soal-soal berikut, bila perlu gambarlah grafiknya. j k x ≤ 0 2; jk , tentukan: a. lim f ( x ), b. lim f ( x ), c. lim f ( x ) jk ada. x 2 ; jk x→0 0 j k x − + > x→0 x→0 3 x + 2; jk x < 1 Jika f ( x ) = , tentukan: a. lim f ( x ) , b. lim f ( x ) , c. lim f ( x ). x →1 4 ; 1 − + x jk x + ≥ x→ 1 x→ 1 4 x + 1; jk x ≤ 1 Jika f ( x ) = 2 , tentukan: a. lim f ( x ) , b. lim f ( x ) , c. lim f ( x) . x→1 − + 2 x + 3; jk x > 1 x→1 x→1 − 1; jk x < −1 Jika f ( x ) = 0; jk x = −1 , tentukan: a. lim f ( x ) , b. lim f ( x ) , c. lim f ( x ) . x→ −1 x→ −1− x→ −1+ 1; jk x > −1 2; jk x < −1 Ditentukan f ( x) = 1 − x; jk − 1 ≤ x < 1 0; jk x ≥ 1
1. Jika f ( x) = 2. 3.
4.
5.
Selidiki apakah ada nilai limit fungsi berikut: a. lim f ( x )
b. lim f ( x )
x→ −1
6. Tentukan nilai dari: a. lim
+
x − 1
x→1
7. Tentukan nilai dari: a. lim
−
a. lim f ( x) x →1
c. lim
+
x→0
−
x→0
x→ − 2
3
− 2 x
x . Tentukan nilai berikut jika ada! (cari limit kiri dan limit kanan). c. lim f ( x )
x→ 3
x→16
1
d. lim f ( x ) x→0
ada? (cari limit kiri dan limit kanan). x 10. Tentukan lim f ( x ) dan lim f ( x ) dari gambar berikut: x→ 0
x→ −2
1
+ x 2
c. lim
b. lim x
4 x
b. lim f ( x)
9. Selidikilah, Selidikilah, apakah lim
b. lim x 2 x→ −1
x→ 4
8. Diketahui fungsi f ( x ) =
x →1
x→4
y f ( x )
3 2 1 -2
4
x
B. Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut: 11. lim 1000 x →1
33. lim
13. lim 2 x + 5
+ 5 x x + 3 + 5 x + 4 34. lim x →1 15 − 6 x − 2 x − 1 35. lim ( 8 − 2 x + − 5 x + 5 ) x→ −4
+ 5 x − 10 15. lim ( x − 4)( x + 1) x→ −3 2
x→0
[
16. lim (4 x − 7).3 (3 − x ) x→ −5
x→4
18. 19. 20. 21.
]
x→3
x + 2
22. lim x
2
x
2
x→4
x→2
x→ 2
26. lim
lim
x→3
x→n
−6
2
+
x 9 x 31. lim + x→ −2 8 + 5 x x→2
6 − 7 x 2 x
5 x + 14
2
−16)
− 6 x − 7 = a , berapakah nilai x→7 x − 10 x + 21 4 x 2 − 7 x − 2 dari lim ? x →a 3 − 4 x + 1 2 2 x + 5 x + 2 3 42. Jika lim 2 = , maka a = … x→ −2 x + ax − 10 7 2 3 x + ax − 1 11 43. Jika lim 2 = , maka a = … x→3 x − ax − 30 13 x − 1 44. lim x →1 x −1 x − 1 45. lim x →1 1 − x x − 1 46. lim x →1 x − 1 x −1 47. lim x →1 1 − x 2 x + 5 x − 6 48. lim x →1 x − 1 2 x + 6 49. lim 2 x→ −3 x + x − 6 41. Jika lim
x − 2 x + 4
30. lim
+ 1) = xli→mn (2 x − 3) , maka tentukan
nilai dari: lim ( x
−7
x 2 x − 3
x 2 + x
x→n
1
x
m
n 40. Jika lim ( x
− 2 x − 24 x + 5 27. lim 2 x→ −1 x − 2 x − 24 6 − x 28. lim x→ −3 x + 6 x − 3 29. x→4
− 4 x + 3
x→n
− x 3 x 2 + 3 x + 6 3 x + 1
24. lim 25. lim
x→ m
39. lim
2 x 2
2 x − 1 7 x
x →a
38. lim
+ 3 x − 2 −
x + 9
37. lim
3 x − 1 x lim x→ 4 x 2 + x − 3 3 x 2 − 5 x + 10 lim 3 x→0 x + 6 x − 45 6 x + 9 lim x→2 7 x − 10 lim 4 x − 11 x→9
x →1
2 x 2
36. lim
x
23. lim
2 x + 2
x→7
x→ −2
17. lim
2 x − 1 ( x − 3)( x − 5)
x→5
12. lim 12345
14. lim 3 x
( x − 3)( x − 5)
32. lim
x→5
x 2
2
50. lim
3 x 2
x→0
51. lim
x→0
52. lim
− 5 x
x
x x + x x − 4
x − 2 53. Dengan menyederhanakan lebih dahulu (menyamakan penyebut), hitunglah: 1 + 1 a. lim 2 x→0 x − x x x→ 4
− 1 x − 1 1 3 c. lim − x →1 1 − x 1 − x 3 3 2 − d. lim 2 2 x→2 x − 4 x + 2 x − 8 2 x + 2 54. lim 2 x→ −1 x − 3 x − 4 2 3 x − 6 x 55. lim x→2 x − 2 ( x − 2 )2 − 1 56. lim (Ebtanas (Ebtanas IPS 99) 99 ) x→3 x − 3 2 x − 1 57. lim 2 1 x→ 2 x + 3 x − 2 2 b. lim 2 x→0 x
60. 61. 62. 63. 64. 65.
−
1
+ 3 x − 4 x →1 x 2 − 2 x + 1 2 x + 2 x lim 3 2 x→0 x + x + 3 x x 4 − 6 x 2 lim x→0 x 3 + 2 x 2 x n+ 3 + 6 x n+1 − x n lim x→0 x n +4 + 2 x n 3 2 2 x + 3 x − 2 x − 3 lim 2 x →1 x − 1 3 2 x + x − 8 x + 4 lim x→2 x 3 − 2 x 2 − x + 2 3 2 x + x − 6 x lim 3 2 x→2 x − 2 x + 6 x − 12 x 3 − 8 lim x→2 x − 2
58. lim 59.
2
x
2
−1 x →1 1 − x x − 3 67. lim 3 x→3 x − 27 4 − x 68. lim 3 x→4 x − 64 x − 1 69. lim x →1 3 x −1 8 x 3 − 27 70. lim 3 4x2 − 9 x→ 2 66. lim
3
**
− 2 x − 8 x→4 x − 2 x −1 lim 4 x →1 x − x
71. lim 72.
x
x
2
73. Diketahui g ( x) = 1 + 2 x , maka nilai lim
x→0
74. lim
x →1
g (1 + x) − g (1 − x ) x x − 1
= .....
2 − 3 x + 1
− 3 x + 2 x→2 2 x + 5 − x + 7 x − 2 − 10 − x 76. lim x→6 6 x − 5 x + 6 x + 2 − 2 x − 1 77. lim x→3 2 x − 3 − x 3 − x − 3 x − 1 78. lim x →1 5 x − 1 − x + 3 2 2 x + 2 x + 3 − x − 2 x + 3 79. lim x→0 x + 3 − 3 − x 5 x + 1 − 4 80. lim 2 x→3 x − 9 x − 1 − 3 81. lim x→10 x − 10 x − 2 x + 3 82. lim 2 x→3 x − 9 2 x + 3 − x − 1 83. lim 2 x →1 1 − x 2 9 − x 84. lim x→ −3 4 − x 2 + 7 75. lim
x 2
− 5 x x→0 3 − 9 + x 4 − x 2 − 9 86. lim x→5 5 − x x + 4 − 2 x + 1 87. lim x→ 3 x − 3 x + 4 − x − 4 88. lim x→5 x − 5 x − 2 89. lim x→ 2 2 x + 1 + 2 − x 3 + x + 5 x − 1 90. lim x →1 3 + x − 5 x − 1 2 x − x + 3 91. lim x→ −2 3 x + 6 − x 2 x − 5 x + 6 92. lim x→ −3 3 − x − x − 3 1 + x − 1 − x 93. 2 x 2
85. lim
lim
x→0
x→0
95. lim
x →1
x→0
101. 102. 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109.
x 4 x
94. lim
96. lim
C. Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:
110.
1 + 2 x − 1 − 2 x 1 − x
111.
1 − x − x − 1 2 x
112.
1 − 1 + x 3
2
113.
− 2.3 x − 1 97. lim x →1 ( x − 1)2 n x − 1 98. lim x →1 x − 1 99. Diketahui f ( x) = 3 x 2 − 2 x , tentukan f ( x) − 1 . f ( 2)( x + 2) 4 lim x→2 x − 2 3 100. Diketahui f ( x ) = 2 , tentukan 3
lim
x→2
x 2
( f ( x) − f (2) ) x − 2
x
** **
114. 115. 116. 117. 118. 119. 120.
2
lim
x→ ∞
x
6
lim
x→ ∞
5 x
10
2 x
25
−9
lim
x→ ∞
7
lim
x→ ∞
2 x
3
+ 5 x
−3 x→∞ x − 20 lim 4 x + 99 x→∞ lim
3
lim x 2
x→ ∞
3x
lim
x→∞
100 100 7 x + 4
lim
x→ ∞
lim
55
x 2
x→∞
lim
x→ ∞
lim
x→ ∞
lim
x→∞
lim
x→∞
lim
x→∞
lim
x→∞
lim
+ 9 x − 15
− 25
12 x + 5 2 x − 1 4 x − 3 2 x + 5 6 − 8 x
x + 5 10 + 3 x
9 x − 5 10 + 3 x 3 − 9 x
7 − 5 x 2 3 x + 12 x 2 5 x 3 − 11 x 2
3 x + 12 x 3 (5 x − 1)(2 x + 3) lim x→∞ (3 + 12 x )( x − 1) x→ ∞
+ 5 x − 3 x→∞ (3 − x )( x − 1) ( x − 1)( x − 3) lim x→∞ 2 x 2 + 3 x − 15 lim
x 2
121. 122. 123. 124. 125. 126. 127. 128. 129. 130. 131. 132.
133. 134. 135. 136. 137. 138.
139.
4(2 x + 3)
lim
x→ ∞
lim
3
+ 5 x 4 x 4 + 8 x
3 x
3
140.
2 x 2 4 x 2 + 3 x − 1
141.
3 x + 5 x − 2 3 x + 3 x
142.
−2 (2 x − 5)4 lim x→ ∞ (3 x 2 + 2)2 6 x + x 3 − 5 x 4 lim 3 4 x→ ∞ x − 2 x 2 x(2 x + 1) lim x→ ∞ 5 x − 4 x 3 3 2( x − 1) lim x→ ∞ x 3 + 1 6 x + 2 x 3 lim x→ ∞ ( x − 3)( x + 1) 2 2 ( x − 2)( x + 2) lim x→ ∞ x( x − 1)( x + 1) 2 x 3 + 7 x − 5 lim 2 x→ ∞ x − x 2 x 2 + x lim x→ ∞ 6 x + 3 x 3 4 2 x + x lim x→ ∞ 2 x − 3 9 x 4 + x lim 2 x→ ∞ x − x 3 3 x 2 − 5 lim 3 x→ ∞ 2 x + x − 1 3 x + 5 lim 2 x→ ∞ 2 x + 4 x + 5 2 3 x + 5 x − 7 lim x→ ∞ 10 x 3 + 5 x 2 x − 17 lim 6 3 x→ ∞ x + 5 x − 5 x 2 + 5 x − 1 lim x→ ∞ 3 x 2 − 9
143.
x→ ∞
lim
2
x→ ∞
lim
x→ ∞
3 x
3
144. 145. 146. 147. 148. 149. 150. 151. 152.
x→ ∞
+ 4 − 2 x + 1 x − 3 2 x − 17 lim x→ ∞ 6 3 6 x + 5 x − 5 + 3 x − 2 x − 2 lim x→ ∞ 4 x 2 − 2 x − 6 − x 2 + 1 x 2 + 5 x − 1 lim x→ ∞ 3 x 4 − 9 x + 1 lim ( x + 6 − x + 3 ) x→ ∞ lim
x
( x + 3 − x + 2 ) lim ( 2 x − 1 − x + 4 ) →∞ lim ( 4 x + 2 − x − 3 ) →∞ lim ( x + 5 − x ) →∞ lim ( 3 x + 1 − 3 x − 1) →∞ lim ( x + 1 − 2 x − 3 ) →∞ lim (3 x + 6 − 2 1 − x ) →∞ lim ( ax + b − px + q ) →∞ lim
x→ ∞
x
x
x
x
x
x
x
untuk: a = p, a > p dan a < p 153. 154. 155. 156. 157. 158. 159. 160. 161. 162. 163.
lim x 2
x→∞
lim
x→ ∞
4 x 2
lim x 2
x→ ∞
+ x + 1 −
2 x 2 + x
+ 6 x − 1 −
)
5 x 2 − x + 9
+ 2 x − 1 − ( x − 2 )(2 x + 9) ) −5−
4 x 2
lim
2 x 2 + x − 5 − x 2
lim
(3 x + 1)( x − 5) −
lim
(3 x − 5)( x + 4 ) − 3 x 2 − 7 x + 1)
x→ ∞
x→ ∞ x→ ∞
x→∞
lim x − 4 x 2
x→∞
x 2
− 3 x )
lim
(
lim ( x + 3) −
x→∞
+ 7 x + 1
− 7 x + 8 )
lim x + 5 − x 2 − x − 9
x→∞
x 2
− 7 x − 1)
lim ( x + 2 ) − 4 x 2
x→ ∞
− 3 x + 12 )
)
( x − 3)( x + 3))
164. 165. 166. 167. 168. 169. 170. 171. 172. 173. 174. 175. 176.
3 x 2
lim
x→ ∞
lim x 2
+ 6 x + 5 − x − 4 )
lim x 2
− 1 − 2 x − 3)
x→ ∞
x→ ∞
4 x 2
+ 3 x − 5 − (2 x − 3))
lim
9 x 2
+ x − 4 − (3 x + 5)
lim
2 x 2
− 3 x + 5)
x→ ∞
x→ ∞
x→ ∞
lim x 2
x→ ∞
− 3 x −
lim 3 x − x
2 x 2
185.
187. 188.
+ 8)
189.
− 5 x→ ∞ lim 4 x 4 + 3 x 2 − 1 − 4 x 4 + 5 x 2 + 1 x→ ∞ lim x
−4 −
−4−
3
x→ ∞
x
3
3 x + 2 x
+ 8)
4 − 3 + 2 x→ ∞ x 2 x 3 x 2 + x3 x
193.
x→ ∞
lim
lim
x 2
x→ ∞
lim
3 x
x→ ∞
2
− x 2
6 + x
2
x
x
194. ** 195. **
180. 181. 182. 183. 184.
196. 197.
lim sin sin x + 5 cos x x→
179.
191. 192.
D. Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut: 178.
190.
+ 2 − x
lim x x 2
π
198.
2
lim (sin 2 x.cot x )
x→0
sin x + 5 cos x lim 3 sin x x→ 6 2
199.
π
lim
x→0
lim
x→0
lim
x→0
lim
x→0
200.
cos cos x 2 x x + 5 cos cos x tan 2 x sin 5 x sin 3 x 5 x
lim
x→0
x sin 5 x
sin 2 3 x
1 x 2 lim x→0 sin 3 x sin 2 x 2 2 x lim 2 x→0 sin x sin 2 3 x lim x→0 (3 x) 2 tan 2 x lim x→0 x sec 2 x x lim x→0 x x sin cos cos 2 2 2 x lim x→0 cos x sin 2 2 x lim x→0 x 2 cos cos x − cos cos 3 x lim 2 x→0 x sin sin 3 x + sin sin 4 x lim x→0 x 1 − cos cos 2 x lim x→0 x 1 − cos cos 2 x lim x→0 2 x 2 sin sin (2 x 2 ) lim 2 2 x→0 x + sin sin 3 x sin 4 x tan 2 3 x + 6 x 3 lim x→0 2 x 2 sin 3 x cos 2 x cos cos x − cos cos a lim x →a x − a cos x − cos 3 x lim x→0 1 − cos x cos 2 x lim x→ π − 4 x tan
186.
lim
3
177.
+ 3 x − 5 − x + 4
201.
2
π
4
2
202.
lim x→
203. 204.
π
4
lim
x→0
cos cos x 1 − sin sin x
1 − cos cos x
x sin x lim (sec x − tan x)
x→
π
2
205. 206. 207. 208.
lim
x lim ( x cot 2 x )
x→0
lim
x →1
lim
211. 212. 213. 214. 215. 216.
219. 220. 221. 222.
223.
π
4
x→0
lim
x→0
lim
x→2
lim
x→π
lim
π
2
lim
π
2
lim
x→0
lim
x→ 0
lim
x→0
lim
x→0
lim
x→0
lim
x→0
224.
tan π x tan x − 1
226. 227.
cos cos 2 x x(tan x − 1)
228.
sin 2 x 3 − 2 x + 9 sin 4 x 1 − 1 − x sin ( x − 2)
229.
230.
x − 2 sin ( x − π ) x − π (3 x + 1) sin sin ( x − 1) x
231.
2
232. 233.
234.
sec x tan 2 x. tan 3 x
235.
5 x 2 1 + cos cos x
236.
1 − cos cos x 2 x + 3 x sin sin x 2 2 x
1 1 − cos x 2 sin 3 x − sin 3 x. cos cos 2 x
2
237. 238. 239.
241.
4 x cos cos 3 x sin sin 2 x
lim
3 − 2 x + 9 sin 5 x − sin 2 x sin
x→0
lim
sin 8 x − sin 3 x tan 2 x − tan x lim x→0 sin 2 x − sin sin x 1 − tan x lim x→ π − x 4 4 cos 4 x 1 − cos lim sin x x→ x sin 2 sin(cos x) lim cos x x→ 2 cos cos x − sin x lim x→0
π
π
π
1
π
4
lim1
1 π 4 sin x − cos cos x x −
1 − sin 2 x
π
2
sin ( x 2
lim
lim1
cos cos x
π
2
lim
x →a
− 1)
x − 1 1 + cos cos 2 x
x →1
3( x − a ) sin ( x − a ) + 2 x − 2a
− (a + 1) x 2 + ax lim 2 x →1 ( x − a ) + tan( x − 1) 1 + cos cos x lim x→ x − π sin 2 x(1 + cos x ) lim x→0 tan x(1 + 3 sec x ) 3sin sin 2 x − 2 sin sin 3 x lim x→0 cos 3 x) x(1 − cos x
π
240.
x 3 + 3 x 2 + 2 x sin 8 x + sin 2 x
lim
x→
2
4 x 3
2
x→0
x→
1 + sin sin x 1 − cos cos 2 x
2
x→0
x→
π
− x 2 2 tan x
x
2
225.
cos 2 x
( x − 5 x + 6)sin ( x − 2) lim → ( x − x − 2 ) ( x − 1)sin 6 x lim 2
−1
x
+ 2 x − 3 sin ( x + 1 − 2 ) lim x→3 x − 3 1 − sin x lim
x →1
x→
218.
4
lim
x→
217.
π
lim x→
210.
3
x→0
x→
209.
sin x − tan x
3
242. 243. 244. 245.
246.
lim
x→0
lim
x
3
x 1 − cos cos ( x + 3) x + 6 x + 9 sin 2 x + sin 6 x + sin 10 x − sin sin 18 x
x→ −3
lim
Selidikilah, apakah fungsifungsi- fungsi berikut kontinu pada titik yang diberikan:
sin 2 x − tan 2 x tan x − sin x
x→0
lim
3
2
257.
f ( x ) = 5 , pada x = 1
258.
f ( x ) = 5x − 10 , pada x = – 3
259.
f ( x) =
3 sin x − sin 3 x
x→0
tan x − tan y lim x → y x 1 − x + 1 − tan x tan y y y
260. **
261.
8
, pada x = 3 x − 3 3 x − 12 , pada x = 4 f ( x ) = 2 x − 7 x + 12 2 3 x + 3 x − 6 , pada x = – 2 f ( x) = 2 x 2 − 2 x − 12
F. Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut: E. Tentukan, jika ada, titik-tit titik-titik ik yang menyebabkan fungsi-fungsi berikut tidak kontinu:
247. 248. 249. 250. 251. 252. 253.
254.
255.
256.
−1 2 x + x 2 x + 2 x + 3 f ( x ) = 3 x − 1 2 2 x − 5 x − 3 f ( x ) = 2 x + x − 2 2 x + 1 f ( x ) = 2 x + 3 x − 10 2 x + 1 f ( x ) = 2 x − x + 1 1; unt x < 0 f ( x ) = 1 − x;unt x ≥ 0 2 x; unt x < 0 f ( x ) = − x; unt x ≥ 0 x; unt x < 0 f ( x ) = 1; unt x = 0 x 2 ; unt x > 0 2 x − 1 f ( x ) = x − 1 x 2 − 1 x − 1 ; unt x ≠ 1 f ( x ) = 2; unt x = 1 f ( x) =
x
2
x+1
262. 263. 264. 265. 266. 267.
x lim x→∞ x + 1 −2 x 2 lim 1 + x→∞ 3 + x x +6 x + 5 lim x→ ∞ x + 3 2 x 2 x + 2 lim x→ ∞ 2 x + 6 x a lim 1 + x→∞ x ax 1 lim 1 + x→∞ x 2 +3
x
268.
3 x + 1 lim x→∞ 3 x + 5
x
269.
2 +1
x 2 + 3 x + 2 x+1 lim 2 x→∞ x + 5 x + 1
2 +3 x
5 x
270.
x 2 + 3 x + 2 2 x+1 lim 2 x→∞ x + 7 x + 5
G. Hitunglah nilai dari lim
f ( x + h) − f ( x )
h →0
h
dari fungsi-fungsi berikut: 271.
f ( x ) = 9
272.
f ( x ) = 5x
273.
f ( x ) = 8 x − 10
274.
f ( x) = x 2
275.
f ( x ) = 3 x
276.
f ( x ) = − 2 x
277. 278. 279. 280. 281. 282.
2
+1 2 f ( x ) = 2 x + 3x f ( x) = x 3 3 f ( x ) = 2 x f ( x ) = x f ( x ) = 2 x f ( x ) = 2 x + 1 2
Kata-kata mutiara: a. Where there is a will, there is a way, Dimana ada kemauan, disitu pasti ada jalan. b. Practise Practise make make s perfect, banyak latihan kuncine kesuksesan. c. Witing tresno jalaran soko kulino, witing iso jalaran soko kerep nyobo. d. Kalau orang lain bisa, kita InsyaAlloh juga bisa. e. Gagal adalah kesuksesan yang tertunda, maju teruuuss...
Sumber: a. Matematika SMA XI, Erlangga, BK Noormandiri. b. Cerdas Belajar Matematika, Grafindo, Marthen Kanginan. c. Matematika SMA/MA XI, Gelora Aksara Pratama, Sulistiyono, dkk. d. Mathematics Year XI, Yudhistira, Team. e. Matematika unt SMA/MA XI, Piranti, Yanti M dkk. f. Matematika IPA kelas XI, Intan Pariwara, Kartini dkk. g. Matematika 2 SMU, Balai Pustaka, Andi Hakim N. h. Lainnya.