Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk : dengan adalah bilangan- bilangan real, dan adalah peubah. Secara khusus, persamaan linear dengan satu peubah mempunyai bentuk ax + b = 0, 0¹a Jika semesta pembicaraannya adalah R (himpunan bilangan real), selesaian persamaan di atas dapat diperoleh dengan menambahkan lawan b, yaitu –b pada kedua ruasnya, kemudian kedua ruas pada hasilnya dikalikan dengan kebalikan a, yaitu . Secara matematik proses penyelesaian tersebut dapat ditulis sebagai : (ax + b – b) = (0 – b) (ax) = ( – b) x=. Contoh : Carilah selesaian persamaan 2x + 8 = 10. Penyelesaian : 2x + 8 = 10 2x = 10 – 8 2x = 2 x = 1. Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat adalah : ax2 + bx + c = 0 0¹, a Bilangan real t disebut akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, jika memenuhi at2 + bt + c = 0. Untuk mendapatkan akar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan tiga cara, yaitu: pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, dan rumus abc. Contoh : Carilah akar persamaan kuadrat x2 – 4x – 5 = 0. Penyelesaian : a. Cara pemfaktoran : x2 – 4x – 5 = 0 (x – 5)(x + 1) = 0 Diperoleh x1 = 5 atau x2 = -1. b. Cara melengkapkan kuadrat : x2 – 4x – 5 = 0 x2 – 4x + 22 – 22 – 5 = 0 (x – 2)2 – 9 = 0 (x – 2)2 = 9 x – 2 3±= 3±x = 2 Diperoleh x1 = 2 + 3 = 5 atau x2 = 2 – 3 = -1. c. Dengan rumus abc, yaitu : x2 – 4x – 5 = 0 a = 1, b = -4, dan c = -5 = = 3±= 2 Diperoleh x1 = 2 + 3 = 5 atau x2 = 2 – 3 = -1. Persamaan Derajat Tinggi Pembicaraan persamaan polinomial dengan derajat lebih dari dua, dibatasi hanya pada derajat tiga, dengan penekanan pada dua rumus, yaitu: x3 – a3 = (x – a)(x2 + ax + a2) dan
x3 + a3 = (x + a)(x2 – ax + a2). Untuk pemfaktoran persamaan derajat tinggi dapat digunakan metode Horner. Contoh : Carilah bentuk pemfaktoran dari x3 – 8 dan 8×3 – 27 Penyelesaian : x3 – 8 = x3 – (2)3 = (x – 2)(x2 + 2x +4) 8×3 – 27 = (2x)3 – (3)3 = (2x – 3)(4×2 + 6x +9) 1.2. Pertidaksamaan linear dan kuadrat Pada dasarnya untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan dilakukan dengan langkah-langkah berikut: a. Ubahlah bentuk pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan. b. Carilah selesaian persamaan pada langkah a. c. Berilah tanda dari nilai-nilainya. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat seperti ini 2
ax + bx + c = 0 a
0 dan a, b, c,
Dimana : x adalah variabel persamaan kuadrat a adalah koefisien x kuadrat b adalah koefisien x c adalah konstanta Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat 1) Mencari faktor 2 ax + bx + c = 0 (x-x1) (x-x2) = 0 diuraikan menjadi cara pemfaktoran akan lebih mudah bila a = 1 maka kita bisa menebak x1 dan x2 dengan cara a=1 b = x1+x2 c = x1.x2 2) Memakai Rumus Kuadrat atau Rumus abc 3) Melengkapkan Kuadrat Sempurna Bentuk umum persamaan kuadrat bebentuk kuadrat sempurna adalah : dengan q > 0 Menentukan Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat Jenis akar-akar persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai deskriminan :
a. D > 0 Kedua akar nyata dan berlainan, (x1
x2)
b. D = 0 Kedua akar nyata dan sama, (x1 = x2) c. D <> Kedua akar tidak nyata (imaginer) d. dengan bilangan kuadrat sempurna, kedua akar rasional.
Untuk menghitung jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat , dapat dicari tanpa terlebih dahulu mencari akar-akarnya. Dari rumus dan
Dapat ditunjukkan bahwa:
Rumus-rumus Akar Persamaan Kuadrat
Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat dengan maka berlaku sifat-sifat berikut ini : a. Syarat mempunyai Dua Akar Positif b. Syarat mempunyai Dua Akar Negatif c. Syarat mempunyai Dua Akar Berlainan Tanda d. Syarat mempunyai Dua Akar Berlawanan e. Syarat mempunyai kedua akar berkebalikan
Cara menyusun Persamaan kuadrat dari akar-akar x1 dan x2 yang diketahui Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan adalah :
Persamaan & Pertidaksamaan Kuadrat January 16, 2013 by yuuliee13hana PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Pada bagian sebelumnya, kalian telah mempelajari persamaan dan pertidaksamaan linier. Pada bagian ini, kalian akan mempelajari persamaan dan pertidaksamaan kuadrat. Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat ditandai dengan variabelnya berpangkat tertinggi dua.
1.
a.
Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan (=) dan 2 pangkat tertinggi dari peubahnya (variabelnya) adalah dua. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax + bx + c = 0 dengan a, b, c bilangan riil dan a 0. 1)
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Sama seperti pada sistem persamaan linier, nilai – nilai yang memenuhi persamaan kuadrat disebut penyelesaian dari persamaan kuadrat tersebut yang dikenal juga dengan istilah akar – akar persamaan kuadrat. Agar kalian lebih memahami penentuan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat, perhatikan dengan baik contoh – contoh berikut ini :
Contoh 3.3 Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut : 1. 2. 3. 4.
2
x –9=0 2 2x – 5x – 3 = 0 2 x – 5x + 6 = 0 2 x – 6x + 9 = 0
Jawab : 1.
2
x –9=0
1.
2
x – 5x + 6 = 0
(x + 3)(x – 3) = 0
(x – 2)(x – 3) = 0
x + 3 = 0 atau x – 3 = 0
x – 2 = 0 atau x – 3 = 0
x = –3 atau x = 3
x = 2 atau x = 3
Sehingga penyelesaiannya adalah = {–3, Sehingga penyelesaiannya adalah = {2, 3} 3} 1.
2
2x – 5x – 3 = 0
1.
2
x – 6x + 9 = 0
(2x + 1)(x – 3) = 0
(x – 3)(x – 3) = 0
2x + 1 = 0 atau x – 3 = 0
x – 3 = 0 atau x – 3 = 0
2x = –1 atau x = 3
x = 3 atau x = 3
x = – ½ atau x = 3
Sehingga penyelesaiannya adalah = {3}
Sehingga penyelesaiannya adalah = {– ½, 3}
2)
Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar – Akar dari Persamaan Kuadrat
2
Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 maka pada persamaan kuadrat tersebut akan berlaku sifat seperti berikut : dan Agar kalian lebih dapat memahami kedua sifat dari akar – akar persamaan kuadrat ini, perhatikan dengan baik contoh di bawah ini.
Contoh 3.4 2
Jika x1 & x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat 2x – 4x + 3 = 0 maka tentukan nilai dari :
Jawab : 2
2x – 4x + 3 = 0 ; a = 2, b = –4, c = 3
3)
Menyusun Persamaan Kuadrat
Pada bagian sebelumnya kalian telah mempelajari suatu persamaan kuadrat dan sifat – sifat dari persamaan kuadrat. Pada bagian ini akan kalian pelajari cara menyusun persamaan kuadrat. Agar kalian lebih memahaminya, perhatikan uraian berikut dengan baik. Jika x1 dan x2 merupakan akar – akar persamaan kuadrat, maka dapat disusun persamaan kuadrat dengan rumus : 2
(x – x1)(x – x2) = 0 atau x – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
Contoh 3.5 Tentukan persamaan kuadrat yang akar – akarnya 3 dan –2.
Jawab : x1 = 3 dan x2 = –2 maka (x – x1).(x – x2) = 0
2
x + 2x – 3x – 6 = 0
(x – 3).(x + 2) = 0
2
x –x–6=0
Contoh 3.4 1.
Tentukan persamaan kuadrat jika diketahui jumlah akar – akarnya 2 dan hasil kali akar – akarnya –15.
Jawab : x1 + x2 = 2 dan x1.x2 = –15 maka : 2
x – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 2
x – (2)x + (–15) = 0 2
x – 2x – 15 = 0
2
1.
Jika dan merupakan akar – akar persamaan x + 3x – 4 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar – akarnya : b)
a)
dan
( – 2) dan ( – 2)
Jawab : a)
2
x + 3x – 4 = 0 maka didapat a = 1, b = 3, c = –4
Misalkan x1 = – 2 dan x2 = – 2 maka : x1 + x2 = ( – 2) + ( – 2) = ( ) – 4 = –3 – 4 = –7 x1.x2 = ( – 2)( – 2) = – – + 4 = – 2 + 4 = –4 – 2(–3) + 4 = –4 + 6 + 4 = 6 b)
2
x + 3x – 4 = 0 maka didapat a = 1, b = 3, c = –4
Misalkan x1 = dan x2 = x1 + x 2 = +
x1 . x 2 =
=(+)
=(.)
= (–3) = –1
= (–4) =
b)
Pertidaksamaan Kuadrat
Pada bagian sebelumnya kalian telah mempelajari persamaan kuadrat, pada bagian ini akan kalian pelajari pertidaksamaan kuadrat. Bentuk umum dari pertidaksamaan kuadrat yang akan kita bahas dalam bahasan ini adalah sebagai berikut : 2
2
ax + bx + c < 0
ax + bx + c > 0
2
2
ax + bx + c 0
ax + bx + c 0
Nilai – nilai yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat disebut penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat. Agar kalian memahami dalam menentukan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat, perhatikan dengan baik contoh berikut :
Contoh 3.7 Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan – pertidaksamaan kuadrat berikut : 2
3)
x – 6x + 5 0
2
4)
x – 6x + 5 > 0
1)
x – 6x + 5 < 0
2)
x – 6x + 5 0
2
2
Jawab : 1)
2
x – 6x + 5 < 0
2
3)
2
x – 6x + 5 0
2
x – 6x + 5 = 0
x – 6x + 5 = 0
(x – 1)(x – 5) = 0
(x – 1)(x – 5) = 0
x – 1 = 0 atau x – 5 = 0
x – 1 = 0 atau x – 5 = 0
x = 1 atau x = 5
x = 1 atau x = 5
+++ +——–++++
+++ +——–++++
1
1
5
Jadi HP = { x│1 < x < 5, x R } 2)
2
x – 6x + 5 0
5
Jadi HP = { x│x 1 atau x 5, x R } 4)
2
x – 6x + 5 > 0
2
2
x – 6x + 5 0
x – 6x + 5 = 0
(x – 1)(x – 5) = 0
(x – 1)(x – 5) = 0
x – 1 = 0 atau x – 5 = 0
x – 1 = 0 atau x – 5 = 0
x = 1 atau x = 5
x = 1 atau x = 5
+++ +——–++++
+++ +——–++++
1
1
5
Jadi HP = { x│1 x 5, x R }
5
Jadi HP = { x│x < 1 atau x > 5, x R }
Pengertian dan Metode Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat Posted On August 13, 2013 | Under Category: Aljabar advertisements
Sebelumnya telah dibahas materi matematika tentang persamaan kuadrat dan sekarang kita akan membahas tentang pertidaksamaan kuadrat. Apakah antara persamaan dan pertidaksamaan kuadrat terdapat perbedaan prinsip yang signifikan? Untuk lebih jelasnya mari kita pelajari bersama materi lengkap pertidaksamaan kuadrat.
Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memiliki variabel paling tinggi berpangkat dua. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x adalah (i) ax²+ bx + c > 0 (ii) ax²+ bx + c≥0
(iii) ax²+ bx + c < 0 (iv) ax²+ bx + c≤0 dimana a, b, c dan x elemen bilangan riil dan a≠0 Sebelum kita bahas tentang metode penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, kita akan ulas kembali tentang interval/selang serta grafik fungsi kuadrat yang akan membantu kita dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidak samaan kuadrat nantinya. 1. Interval/Selang Interval merupakan himpunan bagian bilangan riil. Sebuah interval dapat dilukiskan pada garis bilangan yang berbentuk ruas garis(segmen garis) dan terdapat tanda lebih tebal pada titik yang bersesuaian.
2. Grafik Fungsi Kuadrat Suatu Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y=ax²+bx+c dengan a, b, c elemen bilangan riil dan a≠0. Grafik fungsi kuadrat ini memiliki sifat :
Jika a>0 grafik fungsi terbuka ketas, dan sebaliknya jika a<0 grafik fungsi terbuka kebawah. Mmemotong sumbu y jika x=0 dan memotong sumbu x jika y=0. Titik potong terhadap sumbu x ditentukan oleh suatu nilai.
Diskriminan (D=b²-4ac) berlaku ketentuan : 1. 2. 3.
D>0 maka parabola memotong sumbu x di dua titik. D=0 maka parabola menyinggung sumbu x. D<0 maka parabola tidak memotong sumbu x.
Macam-macam Grafik fungsi kuadrat dapat ditentukan berdasarkan a>0 dan D<0 maka termasuk definit positif dan jika a<0 dan D<0 disebut definit negatif. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel dibawah ini.
Langkah-langkah menyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat : 1. Rubahlah pertidaksamaan kuadrat menjadi persamaan kuadrat 2. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut seperti telah dijelaskan pada materi persamaan kuadrat. 3. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat pada garis bilangan. 4. Tentukan mana yang termasuk daerah + dan mana yang termasuk daerah -. 5. Tuliskan Hp sesuai soal yang diminta. contoh : 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari
– 2x – 24 < 0
Jawab: – 2x – 24 < 0 (x -6)(x +4) < 0 x1 = 6 x2 = -4 Apabila diletakkan ke garis bilangan, daerah yang berharga negatif adalah -4 < x < 6 sehingga daerah tersebut merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2
2. Tentukan himpunan penyelesaian x – 2x – 3 ≤ 0 Jawab : 2 a. Bentuk menjadi persamaan x – 2x – 3 = 0 b. Difaktorkan (x – 3) (x + 1) = 0, maka x = 3 atau x=-1
– 2x – 24 < 0
c. Berdasarka soal daerah yang diminta ≤0 berarti yang bertanda -, sehingga berdasarkan gambar HP {x│-1 ≤ x ≤ 3}. Sampai disini dulu materi tentang pertidaksamaan kuadrat semoga dapat bermanfaat. Serta jangan lupa baca juga artikel sebelumnya yang telah saya berikan yaitu berkaitan dengan Aljabar, sehingga anda dapat lebih mudah dalam memahami aljabar lanjutan. BAB 3 PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
A. Ringkasan Rumus-rumus Bentuk Umum : ax + bx + c = 0, dengan syarat a 0 2
1. Menentukan akar –akar Persamaan Kuadrat a.
Rumus abc
b.
Pemfaktoran 2
ax + bx + c = 0
(x – p)(x – q) = 0 x = p atau x = q 2. Sifat-sifat akar-akar PK 2
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari PK ax + bx + c = 0 maka ;
1.
.
2.
3.
akar-akarnya saling berlawanan jika b = 0
4.
akar-akarnya saling berkebalikan jika a = c.
3. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru PK yang memiliki akar akar dan adalah 2 x – ( + )x + = 0
Beberapa rumus praktis dalam menyusun persamaan kuadrat baru; 2
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan ax + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya: (1) x1 + p dan x2 + p a(x-p) + b(x-p) + c 2
(2) px1 dan px2 ax + bpx + cp =0 2
2
cx2 + bx + a = 0
(3)
(4) x1 dan x2 a x – (b -2ac)x + c = 0 2
2
2 2
2
2
B. Ringkasan rumus-rumus Bab Pertidaksamaan Kuadrat 2
2
Bentuk Umum: ax + bx + c < 0 atau ax + bx + c > 0 Penyelesaian 2
ax + bx + c < 0 ( daerah yang dicari adalah daerah positif) (x – p)(x – q) < 0 (faktorkanlah ruas kiri) Kemudian tuangkan ke dalam garis bilangan
p
q
ambil sembarang titik, kecuali di p dan q. 2
misalnya di titik 0. Kemudian kita substitusi ke dalam persamaan ax + bx + c. Tentukankanlah nilainya positif atau negatif. Misalnya diperoleh negatif, berarti daerah diatas nol adalah daerah negatif. Kemudian kita arsir daerah positif.
++++ ----------p
0
+++++ q
HPnya adalah daearah positif sehingga x < p atau x > q
2
Untuk pertidaksamaan ax + bx + c > 0 Caranya identik dengan cara diatas.
C. Kisi-kisi UN Tahun 2012 Bab Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat 1.
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan kuadrat
2.
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat
D. Contoh soal dan Pembahasan 1.
2
2
2
Persamaan 2x + qx + (q-1) = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x1 +x2 = 4, maka nilai q = …. a. –6 dan 2
b. –5 dan 3
c. –4 dan 4
d. –3 dan 5
Pembahasan 2
Diketahui 2x + qx + (q-1) = 0, maka x1+x2 = 2
2
2
x1 +x2 = (x1+ x2) - 2x1.x2
dan x1.x2 =
e. –2 dan 6
4 =
16 = q2- 4q + 4 0 = q2- 4q -12
4 =
(q + 2)(q - 6) = 0
4 =
q = -2 atau q = 6
4 =
2.
( jawab e )
2
2
2
Akar-akar persamaan x – 4x + 6 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ….. a. b. c. d. e.
–8 –4 4 20 28
Pembahasan 2
x – 4x + 6 = 0 maka a = 1, b = -4 dan c = 6 x1 + x2 =
x1 x2 = 2
x1 + x2
2
2
= (x1 + x2) - 2 x1 x2 2
= 4 -2.6 = 16-12 = 4
3.
( Jawab c)
2
Persamaan kuadrat mx + (m-5)x – 20 = 0 akar-akarnya saling berlawanan. Nilai m =…. a. 4
b.5
c. 6
d. 8
e. 12
Pembahasan 2
PK: mx + (m-5)x – 20 = 0 sehingga a = m, b = m-5 dan c = -20 Akar-akarnya saling berlawanan jika b = 0
m – 5 = 0
4.
2
Persamaan kuadrat x –(m-1)x + 2
m=5
( jawab b)
= 0 mempunyai dua akar yang berlainan. Batas-batas nilai m yang
memenuhi adalaah…. a. –2 < m < 4 b. –4 < m < -2
c. –4 < m < -2
e. m < -2 atau m > 4
d. m < 2 atau m > 4
Pembahasan 2
x –(m-1)x + 2
= 0, maka diperoleh a = 1, b = -m + 1, c = 2
syarat dua akar berlainan adalah D > 0 2
b – 4ac > 0 2
(-m + 1 ) – 4.1. 2
>0
2
m – 2m + 1 - 9 > 0
2
m – 2m - 8 > 0
(daerah yang dicari daerah positif )
m – 4)(m + 2) > 0
++++
-2
0
--------
++++
4
2
untuk m = 0 maka 0 – 2.0 - 8 = -8 ( negatif ) sehingga daerah diatas 0 adalah negatif daerah yang lain positif, karena yang dicari daerah positif, maka kita arsir daerah positif tersebut dan itulah penyelesaiannya. sehinga diperoleh m < -2 atau m > 4 ( jawab e)
5.
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x > a. b. c. d. e.
{ x I –2 < x < 3, x R} { x I x < -3 atau x > 2, x R} { x I –6 < x <-2 atay x > 3, x R} { x I x<–2 atau x > 3, x R} { x I x> 3, x R}
, x R adalah…..
Pembahasan x>
( kuadratkan kedua ruas )
2
x >x+6
x2 - x – 6 > 0 ( daerah yang dicari daerah positif) (x - 3)(x + 2) > 0 -2
0
3
2
misal x = 0 maka 0 - 0 – 6 = -6 ( diperoleh hasil negatif) sehingga daerah diatas nol adalah daerah negatif. Daerah yang lain positif, karena yang dicari daerah positif, maka kita arsir daerah positif tersebut dan itulah penyelesaiannya. ++++ -2
0
++++
3
diperoleh { x I x<–2 atau x > 3, x R}
6.
--------
( jawab d )
Akar-akar persamaan kuadrat x – 2x + 5 = 0 adalah dan . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ( + 2) dan ( +2) adalah… 2
a. b. c. d. e.
2
x – 6x + 13 = 0 2 x – 6x + 7 = 0 2 x – 2x + 5 = 0 2 x – 2x + 7 = 0 2 x – 2x + 13 = 0
Pembahasan 2
x – 2x + 5 = 0 maka a = 1, b = -2 dan c = 5
+=
= Persamaan kuadrat baru akar-akarnya ( + 2) dan ( +2) berarti
x2 – (( + 2) + ( +2)) x + ( + 2)( +2) = 0 x2 – ( + +4) x + ( + 2+2 +4) = 0 x2 – ( + +4) x + ( + 2(+)+4) = 0 x2 – (2+4)) x + (5+ 2.2+4) = 0 x2 – 6 x + 13 = 0 Penyelesaian dengan rumus praktis 2
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan ax + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x1 + p 2 dan x2 + p a(x-p) + b(x-p) + c = 0 Persamaan x – 2x + 5 = 0 akar-akarnya adalah dan . 2
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ( + 2) dan (+2) 2
(x-2) – 2(x-2) + 5 = 0
x2 - 4x + 4 - 2x + 4 + 5 = 0 x2 - 6x + 13 = 0
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
( jawab a )
– 3x – 10 > 0.
Jawab : – 3x – 10 > 0 atau y= – 3x – 10 (a > 0) , maka parabola terbuka ke atas,memotong sumbu X jika y = 0, maka – 3x – 10 = 0 (x – 5)(x + 2) = 0 x = 5 atau x = -2 Jadi parabola memotong sumbu X di (-2 , 0) dan (5 , 0) Dari sketsa grafik di atas terlihat bahwa absis titik-titik pada bagian grafik yang terletak di atas sumbu X adalah: x < -2 x>5 Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah : { x / x < -2 atau x > 5 } Daerah himpunan penyelesaian HP = { x / x < -2 atau x > 5 } Contoh 2 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
– 2x – 3= 0.
Jawab : – 2x – 3= 0 atau y = – 2x – 3 (a > 0) , maka parabola terbuka ke atas, memotong sumbu X jika y = 0, maka – 2x – 3 = 0 (x – 3)(x + 1) = 0 x = 3 atau x = -1 Jadi parabola memotong sumbu x di (-1 , 0) dan (3 , 0) X(-1,3) Dari sketsa grafik di atas terlihat bahwa absis titik-titik pada bagian grafik yang terletak di bawah sumbu X adalah: -1= x= 3 Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah : { x / -1= x= 3 } Daerah himpunan penyelesaian HP = {x / -1= x= 3}
Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan Garis Bilangan.
Langkah-langkah : 1. Menentukan pembuat nol dari ruas kiri pertidaksamaan. 2. Membuat garis bilangan beserta pembuat-pembuat nol ruas kiri. 3. Menentukan tanda dari nilai ax2 + bx + c pada masing-masing interval dengan cara mengambil titik-titik uji yang sesuai. 4. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan yang diberikan dengan memilih tanda pada interval yang sesuai. Contoh Pertidaksamaan Kuadrat Contoh Soal 3 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan: x² – 5x + 6 > 0! Penyelesaian Soal: Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh: (x-2) (X – 3) > 0 Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu, (i). Jika ke dua faktor positif maka: x -2>0 dan x-3>0,x>2 dan x>3, sehingga diperoleh: x>3 (ii).Jika ke dua faktor negatif, maka: x -2<0 dan x-3<0, x<2 dan x<3, sehingga diperoleh: x<3 Jadi, penyelesaian persamaan diatas adalah: {x € R| x <2 atau x>3} Contoh Soal 4 (x – 3) (x + 2) > 0 Penyelesaian : (x – 3) (x + 2) = 0 dengan sifat perkalian nol X – 3 = 0 atau x + 2 = 0 x1 = 3 x2 = – 2 Contoh Soal 5 9 – 2 = – 3x Penyelesaian : 9 – 2 = – 3x 9 – 2 = – 3x 9 + 3x – 2 = 0 dengan memfaktorkan (3x – 1) (3x + 2) = 0 3x – 1 = 0 atau 3x + 2 = 0 3x = 1 3x = -2 x1 = 1/3 x2 = -2/3 Contoh Soal 6 Tentukan himpunan penyelesaian dari
+ 2x – 8 ³ 0!
Jawab: + 2x – 8 ³ 0 (x + 4) (x – 2) ³ 0 x1 = -4
x2 = 2
Apabila diletakkan ke garis bilangan adalah daerah yang berharga positif adalah x £ -4 atau x ³ 2 merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan + 2x – 8 ³ 0 Contoh Soal 7 Tentukan himpunan penyelesaian dari
– 2x – 24 < 0
Jawab: – 2x – 24 < 0 (x -6)(x +4) < 0 x1 = 6 x2 = -4 Apabila diletakkan ke garis bilangan adalah daerah yang berharga negatif adalah -4 < x < 6 merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan – 2x – 24 < 0
Pengertian dan Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat Posted On August 1, 2013 | Under Category: Aljabar advertisements
Rumus Matematika yang kali ini menjadi topik pembahasan kita yaitu persamaan kuadrat, semoga penjelasan tentang persamaan kuadrat yang saya berikan kali ini dapat dengan mudah dipahami.
Persamaan Kuadrat merupakan suatu persamaan polinomial berorde 2 dengan bentuk umum dari persamaan kuadrat yaitu y=ax²+bx+c dengan a≠0 dan koefisien kuadrat a merupakan koefisien dari x², koefisien linear b merupakan koefisien dari x sedangkan c adalah koefisien konstan atau biasa juga disebut suku bebas. Nilai
koefisien a,b dan c ini yang menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.
a menentukan seberapa cekung/cembung, jika nilai a>0 maka parabola akan terbuka keatas. Begitu juga sebaliknya jika a<0 maka parabola akan terbuka kebawah.
b menentukan posisi x puncak parabola atau sumbu simetri dari kurva yang dibentuk, dengan posisi tepatnya -b/2a.
c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau pada saat x=0.
Rumus Kuadratis Rumus ini biasa disebut juga dengan rumus abc, disebut demikian karena digunakan untuk menghitung akar-kar persamaan kuadrat yang tergantung nilai-nilai a, b dan c.
dengan pembuktian sebagai berikut. Dari bentuk umum persamaan kuadrat,
bagi kedua ruas untuk mendapatkan
Pindahkan
ke ruas kanan
sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.
Pindahkan
ke ruas kanan
lalu samakan penyebut di ruas kanan.
Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plusminus di ruas kanan.
Pindahkan
ke ruas kanan
sehingga didapat rumus kuadrat
Pada rumus abc diatas terdapat istilah diskriminan atau determinan yaitu notasi dalam tanda akar b²-4ac yang terkadang dinotasikan dengan huruf D. Persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki sebuah atau dua buah akar yang berbeda dimana akar-akarnya dapat berupa bilangan riil atau bilangan kompleks. Terdapat 3 kemungkinan kasus : 1.
2.
3.
Diskriminan bersifat positif, maka akan terdapat dua akar berbeda dan keduanya riil. Untuk persamaan kuadrat yang koefisiennya berupa bilangan bulat dan diskriminanya adalah kuadrat sempurna maka akarakarnya adalah bilangan rasional, atau sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irasional kuadrat. Diskriminan bernilai 0 maka akan terdapat eksak satu akar dan riil. Hal ini terkadang disebut sebagi akar
ganda, dimana nilainya adalah Diskriminan bernilai negatif maka tidak terdapat akar riil melainkan terdapat 2 buah akar kompleks yang satu sama lain merupakan konjuget kompleks.
dan
Jadi dapat disimpulkan akan diperoleh akar-akar berbeda jika dan hanya jika D≠0 dan akan diperoleh akar-akar riil jika dan hanya jika D>0. Terdapat 3 cara dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu : 1. 2. 3.
Memfaktorkan, untuk bentuk persamaan kuadrat ax²+bx+c=0 maka kita harus menentukan dua buah bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya b dan dikalikan menghasilkan c. Melengkapkan kuadrat sempurna, merubah bentuk persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Menggunakan rumus abc.
contoh : 1. Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat x²-5x+6=0 ! Jawab : 2
x – 5 x + 6 = 0 (cara memfaktorkan) <=> ( x-2 ) ( x-3 ) = 0 <=> x- 2 = 0 atau x – 3 = 0 <=> x = 2
atau x = 3
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}
2
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x + 2x – 15 = 0 ! 2
Jawab :
x + 2x – 15 = 0 (cara melengkapkan kuadrat sempurna)
2
x + 2x = 15 2
Agar x + 2x menjadi bentuk kuadrat sempurna maka harus ditambah dengan kuadrat dari setengah koefisien (½ 2 .2) = 1 Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh : 2
x + 2x + 1 = 15 + 1 2
<=>
(x + 1) = 16
<=>
x + 1 = ± √16
<=>
x+1= ±4
<=>
x + 1 = 4 atau x + 1 = -4
<=>
x = 4 – 1 atau x = -4 -1
<=>
x = 3 atau x = -5
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5}
2
3. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan x + 4x – 12 = 0 !
Penyelesaian :
(menggunakan rumus abc)
Berdasarkan persamaan diketahui bahwa a =1, b = 4, c = -12 selanjutnya koefisien tersebut kita masukkan dalam rumus abc. 2
x1,2 = (- b ± √b – 4ac) /2a <=>
x1,2 =( - 4 ± √42 – 4 . 1. (-12) )/2.1
<=>
x1,2 = (- 4 ± √16 + 48)/2
<=>
x1,2 = (- 4 ± √64)/2
<=>
x1,2 = (- 4 ± 8)/2
<=>
x1,2 = (- 4 + 8) /2
<=>
x1 = 2
atau atau
x1,2 = (- 4 - 8 )/2 x2 = -6
jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2,-6}
4. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5? Jawab : Cara 1 : Memakai faktor, dengan memasukkan nilai akar kedalam rumus
(x-x1) (x-x2) = 0
x1 = 2 dan x2 = 5 Maka (x-x1) (x-x2) = 0 <=>
(x-2) (x-5) = 0
<=>
x – 7x + 10 = 0
2
2
Jadi persamaan kuadratnya x – 7x + 10 = 0 Cara 2 : Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar yaitu x1 = 2 dan x2 = 5 Maka x2 – (x1+x2)x + x1.x2 = 0 Dengan (x1 + x2) = 2 + 5 = 7 x1. x2 = 2.5 = 10
x2 – (x1+x2)x + x1.x2 = 0
2
Jadi persamaan kuadratnya x – 7x + 10 = 0 Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar diperoleh dari penjumlahan dan perkalian rumus abc, perhatikan penjelasan berikut ini. x1 + x2 = -b + √ b2 – 4ac + – b – √ b2 – 4ac 2a
2a
= -2b/a =
-b/a
x1 .x2 = -b + √ b2 – 4ac . – b – √ b2 – 4ac 2a
2
2
= ( b – (b – 4 ac)) / 4a = 4ac /4a
2a
2
2
= c/a Dari rumus umum persamaan kuadrat y=ax²+bx+c=0, jika kita mencari akar-akar menggunakan pemfaktoran b diperoleh dari penjumlahan akar-akar dan c diperoleh dari perkalian akar-akar ( baca kembali metode penyelesaikan persamaan kuadrat diatas) sehingga kita dapat memperoleh pernyataan
2
x – (x1 + x2) x + x1.x2 = 0
Sekian dulu penjelasan mengenai Persamaan Kuadrat, semoga bermanfaat dan jika sobat menemukan ada yang kurang pas, mohon koreksinya ya….. dan jangan lupa baca juga Materi Bilangan Kompleks atau Fungsi Eksponen dan Logaritma.
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadrat Posted on 5 November 2013 by yos3prens Pada pembahasan ini kita akan menentukan suatu rumus yang dapat digunakan untuk menentukan selesaian dari 2 2 persamaan kuadrat ax + bx + c = 0. Sebelum itu, kita akan mencoba untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 2x
2
+ 5x + 3 = 0. Perhatikan langkah-langkah dalam menyelesaikan 2x + 5x + 3 = 0 dengan melengkapkan kuadrat berikut.
Sehingga diperoleh selesaian-selesaian dari persamaan kuadrat di atas adalah x = –1 dan x = –3/2. Berdasarkan langkah-langkah di atas, kita akan menentukan suatu rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikan 2 persamaan kuadrat ax + bx + c = 0.
2
Solusi-solusi dari persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 di atas selanjutnya disebut sebagai rumus kuadrat, yang dapat digunakan untuk menyelesaikan semua persamaan kuadrat. Rumus Kuadrat 2 Jika ax + bx + c = 0, dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0, maka
atau dapat dituliskan menjadi,
Catatan Perlu diketahui bahwa nilai a, b, dan c diperoleh dari persamaan kuadrat yang ditulis ke dalam bentuk 2 2 standar. Untuk 3x – 5x = –7, a = 3, b = –5, tetapi c ≠ –7! Bentuk standar dari persamaan tersebut adalah 3x – 5x + 7 = 0, sehingga nilai c dari persamaan tersebut adalah 7. Contoh 1: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadrat 2
Selesaikan persamaan 4x + 1 = 8x dengan menggunakan rumus kuadrat. Nyatakan solusi-solusinya dalam bentuk eksak dan bentuk desimalnya (tiga angka di belakang koma). Ujilah salah satu selesaian eksaknya ke dalam persamaan. 2
2
Pembahasan Persamaan kuadrat 4x + 1 = 8x memiliki bentuk standar 4x – 8x + 1 = 0. Sehingga dari bentuk standar tersebut kita peroleh a = 4, b = –8, dan c = 1. Selanjutnya kita tentukan selesaian-selesaian dari persamaan kuadrat tersebut dengan rumus kuadrat.
Selanjutnya kita uji salah satu selesaiannya, yaitu x = 1 + √3/2 ke dalam persamaan.
Setelah kita uji, ternyata selesaian tersebut memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Semoga bermanfaat, yos3prens.
Fungsi Kuadrat dan Grafiknya Diposkan oleh RULLY IRAWAN on Monday, November 4, 2013
Pengertian fungsi kuadrat dan grafiknya
Fungsi kuadrat dan grafiknya adalah materi yang sudah mulai diajarkan di tingkat SMP, tetapi sebaiknya di review lagi ya..! Fungsi kuadrat yaitu fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berderajat dua. Bentuk umum fungsi kuadrat adalah :
Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna akan didapat bentuk yang ekivalen dengan bentuk umumnya, yaitu :
2
Dari bentuk (2) ini, nilai D = b - 4ac disebut Diskriminan fungsi kuadrat, sehingga bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai berikutW :
Dari bentuk (3), maka :
Rumus
persamaan
sumbu
simetri
fungsi
kuadrat
Rumus
nilai
ekstrem
fungsi
kuadrat,
adalah:
Rumus
titik
ekstrem
fungsi
kuadrat,
adalah:
Sifat-sifat fungsi kuadrat dan grafiknya
Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola, dengan sifat-sifat seperti diabawah ini: 1.
Jika a > 0, maka parabola akan terbuka keatas dan mempunyai nilai balik minimum
2.
Jika a < 0, maka parabola akan terbuka kebawah dan mempunyai nilai balik maksimum
3.
Jika D > 0, maka parabola akan memotong sumbu x pada dua titik
4.
Jika D = 0, parabola memotong sumbu x hanya pada satu titik saja
5.
Jika D < 0, parabola tidak memotong sumbu x.
adalah:
Untuk lebih jelasnya tentang ilustrasi fungsi kuadrat dan grafiknya, perhatikan gambar dibawah ini:
Ada beberapa cara dalam menentukan titik puncak grafik fungsi kuadrat selain menggunakan rumus persamaan sumbu simetri dan rumus nilai ekstrem, yaitu dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Dengan bentuk umumnya adalah:
Selanjutnya setiap contoh-contoh yang disajikan dalam postingan ini penulis menggunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna dalam mencari setiap titik puncak grafik fungsi kuadrat. Dan teman-teman diasumsikan sudah menguasai cara melengkapkan kuadrat sempurna dengan baik sehingga lebih mudah dalam menyelesaikan soalsoal fungsi kuadrat dan grafiknya, tetapi jika belum dikuasai maka boleh menggunakan rumus-rumus yang telah diberikan diatas karena hasil akhirnyapun akan sama. Contoh 1:
Tentukan Persamaan sumbu simetri, nilai minimum, dan titik puncak persamaan, [Penyelesaian]
Contoh 2: Tentukan Persamaan sumbu simetri, nilai minimum, dan titik puncak persamaan, [Penyelesaian]
Langkah-langkah menyelesaikan soal-soal fungsi kuadrat dan grafiknya
Menentukan titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0 Menentukan titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0 Menentukan persamaan sumbu simetri, yaitu :
Menentukan nilai ekstrem , yaitu:
Menentukan titik ekstrem atau titik puncak, yaitu:
Menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat.
Supaya lebih jelas tentang fungsi kuadrat dan grafiknya, coba teman-teman pelajari contoh-contoh dibawah ini.
Contoh 3: Gambarlah
grafik
dari,
[Penyelesaian] Dengan mengikuti langkah-langkah menyelesaikan fungsi kuadrat dan grafiknya , yang telah dikemukakan diatas yaitu: ⬄ Menentukan titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0 :
⬄
Menentukan
titik
potong
dengan
sumbu
y,
untuk
x
=
0
:
⬄ Menentukan titik puncak :
⬄
Sketsa
grafik:
Contoh 4: Soal fungsi kuadrat dan grafiknya, dengan D > 0 dan a <0,.Gambarlah grafik fungsi kuadrat ,
[Penyelesaian]
⬄ Titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0,
⬄
Titik
potong
dengan
sumbu
y,
untuk
x
=
0,
⬄
Menentukan
titik
puncak,
⬄ Sketsa grafik:
Contoh 5: Pada contoh ini adalah fungsi kuadrat dan grafiknya, definit positif dengan a > 0 dan D < 0. Gambarlah
grafik
fungsi
kuadrat,
[Penyelesaian]
⬄
Titik
potong
dengan
sumbu
x,
untuk
y
=
0,
⬄
Titik
potong
dengan
sumbu
y,
untuk
x
=
0,
⬄
⬄
Titik
puncak
Grafik
grafik
fungsi
Fungsi
kuadrat,
:
Contoh 6 Contoh fungsi kuadrat dan grafiknya dengan D = 0, dan a > 0. Gambarlah
grafik
fungsi
kuadrat,
[Penyelesain]
⬄
Titik
potong
dengan
sumbu
x,
untuk
y
=
0,
⬄
Titik
potong
dengan
sumbu
y,
untuk
x
=
0,
,
⬄ Titik puncak grafik,
⬄ Sketsa grafik :
Contoh 7 Contoh fungsi kuadrat dan grafiknya dengan D < 0, dan a < 0.
Gambarlah
grafik
fungsi
kuadrat,
[Penyelesaian]
⬄
Titik
potong
dengan
sumbu
x,
untuk
y
=
0,
⬄
Titik
potong
dengan
sumbu
y,
untuk
x
=
0,
⬄
⬄ Gambar grafik
Titik
puncak
grafik,
Semoga bermanfaat, terimakasih sudah mengunjungi blog sederhana. Dan selamat berlatih menyelesaikan soalsoal fungsi kuadrat dan grafiknya.
Menentukan Persamaan fungsi Kuadrat Diposkan oleh RULLY IRAWAN on Sunday, November 10, 2013
Menentukan persamaan fungsi kuadrat secara garis besar dapat dibagi menjadi tiga bentuk umum yaitu : Menentukan persamaan fungsi kuadrat yang diketahui titik ekstrem P (xp,yp) dan sebuah titik A
(
Dengan
x,
y
rumus
).
:
Cara ini dikenal dengan teknik melengkapkan kuadrat sempurna, jadi teknik tersebut harus dikuasai terlebih dahulu ya, sebelum mempelajari materi ini. Agar lebih jelas bagaimana penerapan rumus diatas dalam menyelesaikan soal , perhatikan contoh-contoh dibawah ini. Contoh 1 : Tentukan persamaan fungsi kuadrat dengan titik puncak ( 2, 1 ) dan melalui titik ( 0, 5) dan gambarkan grafiknya. [Penyelesaian] Karena titik puncaknya ( 2, 1 ) ,maka sesuai dengan rumus (1),
Jadi persamaan fungsi kuadrat nya adalah,
Gambar grafiknya seperti dibawah ini:
Contoh 2 : Tentukanlah persamaan fungsi kuadrat yang memenuhi kondisi berikut, sumbu simetri x = -2 Dan parabola melalui titik (0,1) dan (-3,4). Juga gambarkan grafiknya! [Penyelesaian] Menentukan persamaan fungsi kuadrat pada contoh ini gunakan rumus (1). Karena sumbu simetrinya x = - 2, maka di misalkan titik puncaknya (-2,b)
Karena parabola melalui titik (0,1) dan (-3,4),
Dari (1) - (2) : a = -1 dan b = 5 Jadi, Grafiknya sebagai berikut :
Gimana..?? gampang kan...^_^ masih banyak sih sebenarnya variasi soal tentang menentukan persamaan fungsi kuadrat. Tapi gak dibahas semua disini ya...^-^
Menentukan persamaan fungsi kuadrat jika diketahui titik potong dengan sumbu x yaitu A(x 1,0) dan B (x2,0) serta melalui sembarang titik C (x,y). Rumusnya seperti dibawah ini:
Untuk lebih jelasnya langsung aja ya, ke contoh soalnya. Contoh 3 : Tentukan persamaan fungsi kuadrat melalui titik ( 1,0) dan ( 4,0) serta titik (0,-4) dan gambarlah grafiknya! [Penyelesaian] Karena parabola tersebut memotong sumbu x di titik ( 1,0) dan ( 4,0) maka,
Karena parabola melalui titik (0,-4), maka
Gambar grafiknya yaitu:
Menentukan persamaan fungsi kuadrat, jika diketahui tiga titik sembarang yaitu A (x 1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3). Menggunakan rumus sebagai berikut:
Simak contohnya dibawah ini ya!
Contoh 4 :
Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui tiga titik berikut ini (-3,5), (0,-1), dan (1,5), kemudian gambarkan grafiknya! [Penyelesaian] Menentukan Persamaan fungsi Kuadrat ,dengan menggunakan rumus (3), misalkan ,
Karena grafik melalui (-3,5), (0,-1), dan (1,5), subtitusikan masing-masing titik tersebut maka diperoleh tiga buah persamaan linier sebagai berikut:
Dengan metode eliminasi atau subtitusi dari (1),(2) dan (3) maka di peroleh a = 2 , b = 4 dan c = -1 Jadi, kembali subtitusikan nilai a, b dan c yang telah diperoleh ke rumus (3) sehingga diperoleh:
Kalau grafiknya seperti gambar dibawah ini:
Mudah-mudahan bermanfaat ya, dan teman-teman dapat menentukan persamaan fungsi kuadrat dari contohcontoh soal diatas. Dibawah ini diberikan contoh tambahan yang biasanya contoh-contoh variasi soal bagaimana menentukan persamaan fungsi kuadrat yang sering di jumpai pada soal-soal ujian nasional SMP dan SMA / SMK bahkan pada soal-soal SNMPTN.
Contoh 5 : Soal Ujian saringan masuk Universitas Parahiyangan Bandung: 2
2
Diketahui bahwa parabola y = 2 x – m x -10 dan parabola y = x + m x + 5 ,berpotongan dititik ( x1,y1 ) dan ( x2, y2 ), jika x1 – x2 = 8. Tentukan nilai m. [Penyelesaian]
Subtitusikan (1) ke (2),
Dari persamaan kuadrat ini, dari hubungan akar-akar dan koefisien diperoleh:
Maka kembali diperoleh dua persamaan linier dua variabel yaitu,
Dari (1)’ dan (2)’ dengan metode subtitusi atau eliminasi diperolehR ,
Contoh 6 : Menentukan persamaan fungsi kuadrat jika diketahui gambarnya, misalnya: Tentukan
persamaan
fungsi
kuadrat
untuk
gambar
dibawah
ini,
dengan
x
E
R.
[Penyelesaian] menentukan persamaan fungsi kuadrat seperti gambar diatas, sama seperti contoh 3 titik potong dengan sumbu x yaitu ( -2,0) dan ( 4,0) maka, Dan melalui ( 0,5), maka,
Contoh 7 : 2
Jika garis x = -a adalah sumbu simetri parabola y = a x + ( a + 1) x -3. Tentukanlah nilai a yang memenuhi persamaan parabola tersebut. [Penyelesaian] 2
Persamaan sumbu simetri parabola y = a x + ( a + 1) x -3 adalah,
Maka,
Untuk menguasai materi menentukan persamaan fungsi kuadrat, juga harus menguasai materi fungsi kuadrat dan grafiknya. Selamat berlatih, semoga artikel ini bermanfaat dan mampu menguasai cara dalam menentukan persamaan fungsi kuadrat.
Rumus Fungsi Persamaan Kuadrat Matematika Rumus Web mengumpulkan materi Rumus Fungsi Persamaan Kuadratini untuk anak SMP SMA demi UAN SNMPTN SPMB SIMAK UI. Silakan dipelajari
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat seperti ini
,
dan a, b, c,
Dimana :
x adalah variabel persamaan kuadrat a adalah koefisien x kuadrat b adalah koefisien x c adalah konstanta Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
1) Mencari faktor
diuraikan menjadi cara pemfaktoran akan lebih mudah bila a = 1 maka kita bisa menebak x1 dan x2 dengan cara a=1 b = x1+x2 c = x1.x2
2) Memakai Rumus Kuadrat atau Rumus abc
3) Melengkapkan Kuadrat Sempurna Bentuk umum persamaan kuadrat bebentuk kuadrat sempurna adalah : dengan q > 0 Menentukan Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat Jenis akar-akar persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai deskriminan :
a. D > 0 Kedua akar nyata dan berlainan, b. D = 0 Kedua akar nyata dan sama, c. D <> Kedua akar tidak nyata (imaginer) d. dengan bilangan kuadrat sempurna, kedua akar rasional. Untuk menghitung jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat , dapat dicari tanpa terlebih dahulu mencari akar-akarnya.
Dari rumus
dan
Dapat ditunjukkan bahwa: Rumus-rumus Akar Persamaan Kuadrat hasil pengembangan, sering sekali muncul di soal UAN SNMPTN atau SPMB
Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat Jika
dan
adalah akar-akar persamaan kuadrat
dengan maka berlaku sifat-sifat berikut ini : a. Syarat mempunyai Dua Akar Positif
b. Syarat mempunyai Dua Akar Negatif
c. Syarat mempunyai Dua Akar Berlainan Tanda
d. Syarat mempunyai Dua Akar Berlawanan
e. Syarat mempunyai kedua akar berkebalikan
Cara menyusun Persamaan kuadratdari akar-akar x1 dan x2 yang diketahui
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya
dan
adalah :
