MATERI TURUNAN Materi Turunan (derivatif) mencakup materi turunan fungsi aljabar,turunan fungsi trigono metri, metri, gradien garis singgung dan persamaan garis gar is singgung pada suatu kurva ku rva tertentu, titik stasioner, fungsi naik dan fungsi turun. Lumayan banyak juga,yah«kita coba mulai dari fungsi aljabar dulu.
Turunan fungsi f µ (x) didefinisikan sebagai :
Rumus-rumus Turunan : untuk a = konstanta y
y
y
maka maka maka
jika U = u(x) dan V = v(x) v(x) adalah suatu suatu fungsi y y y
y
y
maka maka maka maka maka
dinamakan aturan rantai
Jangan sampai lupa yah, setiap fungsi yang hendak diturunkan, pastikan dinyatakan dalam bentuk perpangkatan terlebih dulu, let¶s cekidot « Contoh dan pembahasan turunan fungsi:
Tentukan turunan pertama dari : 1.
Jawab :
2. Jawab : * nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi * maka :
3.
Jawab : * nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi * maka :
4. Jawab :
* kita misalkan * maka :
5.
Jawab : * kita misalkan
dan
* lalu kita pakai
( aturan rantai )
TRIGONOMETRI
telah kalian kuasai, bagaimana dengan turunan fungsi trigonometri? mari kita pahami rumusnya serta berlatih di soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri bersama-sama, dijamin sukses dalam ujian kalian«.
Untuk menentukan turunan trigonometri sama dengan konsep awal mencari turunan, namun disini langsung kita ambil hasilnya«.
dimana
maka
Turunan pada fungsi trigonometri akan mempunyai rumus :
maka maka maka maka contoh: maka
maka
Rumus rumus yang dipakai di turunan fungsi aljabar , berlaku pula untuk mengerjakan turunan fungsi trigonometri maupun gabungan keduanya lets try this«.
tentukan f µ(x) ! jawab
tentukan f µ(x)! jawab:
Turunan ke-n
diberikan fungsi f(x), maka turunan pertama dar i f(x) adalah f µ(x) ; turunan kedua dari f(x) adalah f ´(x) ; turunan ket iga dari f(x) adalah f ´¶(x) dst.
tentukan turunan kedua dari f(x)! jawab. *kita cari turunan pertama dulu ya..
*perhatikan untuk mempunyai dua suku kita misalkan bahwa suku-suku f µ(x) adalah a dan b dimana f µ(x) = a ± b untuk mencari turunan kedua akan berlaku f ´(x) = a¶ ± b¶ mari kita cari turunan masing-masing suku« *ambil suku pertama dari f µ(x) kita misalkan
*ambil suku kedua dari f µ(x) kita misalkan
*nah, kembali ke
selesai,deh«..coba yang lain yuk! tentukan turunan ke-empat dari f(x) ! jawab:
mempunyai dua suku kita misalkan a dan b sehingga f µ(x) = a µ + b µ cari turunan masing-masing suku dulu ya«
maka
mempunyai dua suku kita misalkan lagi c dan d sehingga f ´(x) = c µ ± d µ maka
mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas maka
sehingga
mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas maka
sehingga
waaaaah«..selesai !!!! begitu seterusnya hingga turunan ke-n «..coba sendiri dengan soal yang lain yah«!! ada yang bertanya soal seperti ini: 3. Jika diketahui
buktikan bahwa turunan ke-n yaitu
!
jawab: *ingatlah kembali nilai sin x di tiap kuadran
«
«
«
«
«
«
dst
dst
dst
sehingga
terbukti
Komposisi Fungsi Komposisi fungsi merupakan penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan yang akan menghasilkan sebuah fungsi baru. Komposisi dua fungsi dimana
Sifat Komposisi Fungsi
Contoh : diberikan fungsi :
dan
dinotasikan dengan simbol
atau
.
1.
= «.?
* fungsi
disubtitusikan ke fungsi
2.
= «.?
* fungsi
disubtitusikan ke fungsi
3. * fungsi fungsi
=«? disubtitusikan terlebih dahulu ke fungsi
nah, hasilnya baru disubtitusikan ke
, perhatikan warna mewakili subtitusi «.ok!
Bagaimana contoh diatas???sudah cukup jelas,kan???!! Berhati-hatilah dalam mensubtitusikan ya«.
Mencari salah satu fungsi jika komposisi fungsi diketahui 1. Mencari
jika
dan
diketahui
contoh soal dan pembahasan : Diketahui
dan
tentukan fungsi
jawab :
2. Mencari
jika
dan
contoh soal dan pembahasan :
diketahui
!
Diketahui
dan
tentukan
!
jawab :
Kita misalkan dulu :
Subtitusikan kembali ke fungsi :
Integral Trigonometri
Ingat kembali sifat-sifat integral di materi Integral sebelumnya, lalu kita amati contoh soal integral trigonometri berikut ini :
Setelah paham dengan ru mus dan sifat-sifat integral, syarat yang lain untuk bisa mengerjakan integral trigonometri yaitu harus ingat kembali rumus-rumus trigonometri,lho ya«.. hayoooo hafal gak,neh..??? Coba perhatikan latihan soal dan pembahasan integral trigonometri berikut ini yuuuukk«.
1.
= «..
untuk mengerjakan soal diatas, kita pakai rumus trigonomtri
sehingga
Maka :
2.
=«
nah, yang ini pakai sehingga :
maka :
3.
=«
ingat sehingga :
INTEGRAL SUBSTITUSI Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol, maka
di mana c adalah konstanta dan
Nah«udah lihat rumus integral yang di atas sono tuh«???
Pusing,tidak..???
hehehe«lebih baik langsung di contohin aja ya«.
contoh soal dan pembahasan integral subtitusi :
1. Jawab : * kita misalkan
dan fungsi u dapat diturunkan menjadi
* Baru kita subtitusikan ke soal :
Jangan sampai lupa untuk mengembalikan permisalan kita
ya«..
2. Jawab : * kita misalkan
dan fungsi u dapat diturunkan menjadi :
* Baru kita subtitusikan ke soal :
3. Jawab : * kita misalkan
dan fungsi u dapat diturunkan menjadi
* Baru kita subtitusikan ke soal :
4.
=«
Jawab : * kita misalkan
maka
*sehingga :
5.
«
Jawab : * kita misalkan
*sehingga :
maka :
INTERGRAL
Integral dinotasikan dengan :
Jika F ( x) adalah fungsi umum yang bersifat F µ ( x) = f ( x), maka F ( x) merupakan antiturunan atau integral dari f ( x).
Contoh 2
F(x) = 3 x akan mempunyai turunan F ¶ (x) = 6 x 2
ini dapat berarti f(x) = 6 x maka integral dari f(x) = 6 x adalah F(x) = 3 x
Rumus Integral
untuk
Contoh :
Perhatikan
untuk contoh no.2 dan no.3 fungsi f(x) dinyatakan terlebih dulu sebagai fungsi pangkat,yaa«..jangan sampai terlupa !!!
Sif at -sif at :
Nah«sekarang langsung ke contoh soal integral dan pembahasannya lagi yuuuuks«.
1. Tentukan integral dari
!
Jawab :
2. Jika
dan
Jawab :
* Nah, karena
* Sehingga
maka kita bisa mencari C
maka
3. Tentukan integral dari
!!!
Jawab : Ingat «. nyatakan dalam bentuk perpangkatan terlebih dulu tiap sukunya !!!
4. Tentukan integral dari
!!!!
Jawab : * Ingat «. nyatakan dalam bentuk perpangkatan terlebih dulu tiap sukunya !!!
Puji syukur atas kehadirat Tuhan YME yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahnya,sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah Matematika tentang integral ini.Makalah ini disusun agar pembaca dapat memperluas ilmu matematika khusunyatentang integral, yang kami sa jikan berdasarkan pengamatan dari berbagai macam sumber.Makalah ini disusun oleh penyusun dengan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari diripenyusun maupun yang datang dariluar. Namun dengan penuhkesabaran dan terutamapertolongan dari Tuhan YME akhirnya makalah ini dapat terselesaikan.Tak lupa kami ucapkan terima kasih yang sedalam-dalamnya kepada Bapak Wahyudiselaku Guru Matematika SMAN 3 Sidoarjo yang telah meluangkan waktu baik diwaktu jampela jaran maupun diluar jam pela jaran untuk membimbing kami dalam menyelesaikan tugas ini.Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas kepada parapembaca. Makalah yang penulis buat ini masih sangat jauh dari kategori sempurna. Penulismenerima berbagai saran dan kritikan yang membangun demi kesempurnaan makalah ini.
A. LATAR BELAKANG Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat universal, dimana matematikaini memiliki peran penting di semua bidang ilmu pengetahuan. Melalui perkembanganpenalaran dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukurandan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematikasecara praktis mendaji salah satu kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis.Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang,termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi,dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapanpengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaantemuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti
statistika dan teori permainan. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itusendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadilatar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.Salah satu cabang dari Ilmu Matematika yang patut di pelajari adalah Integral. Integraladalah lawan dari proses diferensial. Integral terbagi atas beberapa jenis yaitu integral tertentudan integral tak tentu. Perbedaan antara integral tertentu dan integral tak tentu yaitu jika integraltertentu memiliki batasan-batasan ,integral tak tentu tidak memiliki batasan ±batasan. Penguasaan mata pelajaran Matematika khususnya mengenai integral bagi peserta didik juga berfungsi membentuk kompetensi program keahlian . Dengan mengajarkan Matematikakhususnya dalam hal integral diharapkan peserta didik dapat menerapkannya dalam kehidupansehari-hari dan mengembangkan diri di bidang keahlian dan pendidikan pada tingkat yang lebih tinggi. Pengertian
atau konsep integral tentu pertama kali dikenalkan oleh Newton dan Leibniz.Namun pengertian secara lebih modern dikenalkan oleh Riemann.Integral tentu adalah proses pengintegralan yang digunakan pada aplikasi integral. Padabeberapa aplikasi integral dikenal istilah batas bawah dan batas atas sebuah integral, batasinilah yang kemudian menjadi ciri khas sebuah integral dinamakan sebagai integral tertentu.Sebab berbeda dengan integral tak tentu yang tidak memiliki batas, maka pada integral tertentuada sebuah nilai yang harus disubtitusi yang menyebabkan tidak adanya lagi nilai C (konstanta) pada setiap hasil integral dan menghasilkan nilai tertentu.Secara umum integral tentu dari sebuah fungsi dengan batas tertentu «
