Material 2016 3ro Secundaria (1)

I.E.P “ LHANDREVER “ 3RO DE SECUNDARIA

-

AÑO ESCOLAR

1

ÁNGULOS

GEOMETRÍA

A

I . DEFINICIÓN : Es la figura geométrica determinada por la reunión de dos rayos no alineados que tienen el mismo origen.

⃗¿ : Bisectriz del ángulos AOB m ∡ AOB = m ∡ PQR R ∡ AOB ≅ ∡ PQR

 

O

B

V . CONGRUENCIA DE ÁNGULOS : A



II . REPRESENTACIÓN GRÁFICA : A

A



O O

º

O

E le m e n t oE sle m e n t o s 2 . L a d 2o .s : L Oa dAo s y: OO BA y O B

∡ AOB  ∡

B

B

m

Región Interior Exterior de un ángulo ángulo



Q

B

1 . V é r t1i c. e V: éO r t i c e : O

º

P

R

PQR (los ángulos AOB y PQR son congruentes)

∡ AOB = m ∡ PQR

Región de un

VI . ÁNGULOS CONSECUTIVOS : Dos ángulos son consecutivos si tiene el mismo vértice, un lado común y los otros dos lados en regiones distintas del común.. C

B

III . NOTACIÓN : Ángulo AOB: AOB Medida del ángulo AOB: = α°.

E n e l g r á fi c o , lo s á n g u l o s AOB, BO C, COD y DOE s o n c o n s e c u t iv o s

D

A

E

∡ m ∡ AOB

VII . ÁNGULO ADYACENTES :

IV . CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS: A . Según sus medidas : a . Ángulo agudo :

Son dos ángulos consecutivos cuyas medidas suman 180° y que no tienen puntos interiores comunes, se denominan también par lineal.. α° + β° = 180 B

0° < ° < 90° A



En el gráfico, los ángulos

  O

AOB y BOC son adyacentes C

VIII . ÁNGULOS COPLANARES ALREDEDOR DE UN VÉRTICE :

b . Ángulo recto : A m

AO B = 90°

A B

O



B

 O

c . Ángulo obtuso :





C ° + ° +  ° + ° = 360°

90° < ° < 180° 

D

IIX . ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE : 



VI . BISECTRIZ DE UN ÁNGULO : Jr. AREQUIPA 3898 y Jr. CUSCO 3880 S.M.P - [email protected] – Teléf. 572-2726 ° = °


-

AÑO ESCOLAR

2

GEOMETRÍA

e)5 7 . Calcular la m∢P0Q; si la m∢A0C=60° y m∢B0D=80°. a)65° b)70° c)75° d)68° e)90°

AUTOEVALUACIÓN 1 . En la figura, calcular “θ°”.

8 . Si ⃗ OP es bisectriz del ∢A0C y m∢A0B m∢B0C = 40. Calcular “x°”

a)10° b)20° c)35° d)30° e)25°

a)10° b)20° c)35° d)30° e)25°

2 . En la figura, calcular la m∢P0Q.

9 . En la figura mostrada calcular θ°, si: m∢BON ⃗ = 22°; es bisectriz del ∢A0X y ON ⃗ OM es bisectriz del ∢A0X.

a)60° b)90° c)120° d)45° e)140°

a)10° b)20° c)35° d)30° e)25°

3 . Calcular el suplemento de “θ°”.

10 . Se tienen los ángulos consecutivos ∢A0B, ∢B0C y ∢COD, tal que: m∢A0C – m∢BOD = 10° y m∢MON = 100°. ⃗ Siendo bisectrices de los OM y ⃗ ON ángulos ∢A0B y ∢COD respectivamente. Calcular: m∢A0C

a)100° b)120° c)140° d)160° e)150°

4 . Si: m∢A0C + m∢BOD = 140°. Calcular “x”. a)50° b)60° c)70° d)80° e)90°

5 . S : Suplemento C : Complemento : SC(40°)

1 . Si: "x°".

Calcular

a)100° b)80° c)130° d)150° e)110° 6 . S : Suplemento C : Complemento a)1

a)105° c)103° d)102°

a)10° b)15° c)25° d)30° e)35°

b)104° e)101°

TAREA

⃗ OM

es bisectriz del ∡AOB. Calcule: A

M O

2. Calcular " x "

Calcular:

5x+ 40º B

a)10° b)20° c)30° d)40° e)50°

b)2 3 . El doble del complemento de un ángulo c)3 sumado con el suplemento de otro ángulo es d)4 Jr. AREQUIPA 3898 y Jr. CUSCO 3880 S.M.P - [email protected] – Teléf. 572-2726

I.E.P “ LHANDREVER “ - AÑO ESCOLAR 3 3RO DE SECUNDARIA igual al suplemento del primer ángulo. Calcule la II. PROPIEDADES : suma de las medidas de dichos ángulos. Si: L´ 1 ∥ L´ 2 a) 100° b) 45° c) 90° d) 180° e) F.D.

GEOMETRÍA

 y°  z° 

4 . Se tiene los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD, tal que: m∡AOD = 148° y m∡BOC = 36°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. a) 108° e) 74°

b) 36°

c) 92°

a) 22 + K e) 16+k/2

b) 30°



d) 56°

5 . Se tiene los ángulos consecutivos POQ, QOR y ROS, de tal manera que: m∡POR = 32°+ K y m∡QOS = 88° - K. Calcule la m∡QOR, si el ángulo POS es recto. c) 68° - K

L2

 º +  º +  º + º = x º + y º + z º

a´ ∥b´

* Caso particular: Si:

a

 xº

d) 40° 

ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE

b

x° =  + 

m∥´ ´ n

* Si:

 

m

 

I. ÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS:



Si: L´ 1 ∥ L´ 2

n

 +  +  +   +  = 1 8 0 ° L1

 

m∥´ ´ n

* Si:

m

L2

 a lt e r n o s in t e r n o s

n

     

Si:

L1



x°

x = 90

L´ 1 ∥ L´ 2 b°

AUTOEVALUACIÓN

L1

     

a°

L2

a)40° b)50° c)60° d)70° e)80°

 c o n ju g a d o s in te r n o s a° + b° = 180°

Si:

1 . Si: L1 // L2 ; calcular el ángulo “y°”.

L´ 1 ∥ L´ 2

     





 c o r r e s p o n d ie n t e s      

L1

L2

2 . Si: L1 // L2 ; calcular el ángulo “x°”. a)100° b)120° c)130° d)140° e)160°      

3 . Si: L1 // L2 ; calcular el ángulo “x°”.

Jr. AREQUIPA 3898 y Jr. CUSCO 3880 S.M.P - [email protected] – Teléf. 572-2726


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AÑO ESCOLAR

a)5° b)10° c)15° d)20° e)25°

4

GEOMETRÍA

a)30° b)40° c)50° d)60° e)80°      

4. En el gráfico L1 // L2 , calcular “x°”. a)60° b)70° c)80° d)90° e)100°

10. En la figura L 1 / / L 2 . Calcular “θ°”.

L1

20º

x

a)30° b)40° c)50° d)60° e)80°

L2

5. Si: L 1 / / L 2 , calcular “x°”. a)140° b)142° c)144° d)146° e)148°

41° 67° 32° 36°

L1

11. En la figura L 1 / / L 2 . Calcular “θ°”. x°

a)30° b)40° c)50° d)60° e)80°

L2

6. Si: L 1 / / L 2 , calcular “α°”. a)10° b)12° c)14° d)16° e)18°

L1

160°

4 3 2 

L2

TAREA 1. Si:

7. En la figura mostrada: L 1 / / L 2 , calcular “α°”. a)10° b)20° c)30° d)40° e)50°



L1

° °

L´ 1 ∥ L´ 2 , demostrar que: x° = α° + θ°

x° 

°

L2

8. En el gráfico L 1 / / L 2 : y se tienen "n" ángulos de medidas "θ". Calcule:θ°.

a)

180 n

b)

90 n

c)

60 n

d)

90 ( n+1 ) n

e)

270 n



L1

L2

2. Demostrar que en todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos internos es de 180°.

L1





 L2

9. En la figura L 1 / / L 2 , α + β=220°. Calcular “x°”

3. Calcular “x°”, si: L 1 / / L 2 . a)60° b)53° c)45° d)37° e)30°

4. Calcular “θ°”, si: L 1 / / L 2 . Jr. AREQUIPA 3898 y Jr. CUSCO 3880 S.M.P - [email protected] – Teléf. 572-2726


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AÑO ESCOLAR

a)10° b)20° c)30° d)40° e)50°

5

GEOMETRÍA

z y

x

5. Calcular “x°”, si: L 1 / / L 2 .

a

a)7° b)8° c)9° d)10° e)11°

b

//

6. En la figura:

, calcular “x”.

a)110° b)130° c)140° d)150° e)155°

TRIÁNGULOS I I . DEFINICIÓN : Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos.

Lados

:

´ , AB

´ BC

Vértice

:

A, B y C

´ AC

y

II . REPRESENTACIÓN GRÁFICA :

Medida de los ángulos internos: "α", "β" y "θ"

B

Medida de los ángulos externos: "x", "y" y "z"

Región Exterior

Triángulo ABC

Región Interior A

IV . NOTACIÓN :

∆ ABC = C

:

∆ ABC

´ ∪ BC ´ ∪ AC ´ AB

V. PERÍMETRO DE LA REGIÓN TRIANGULAR ABC :

III . ELEMENTOS :

2 p ABC = a + b + c VI. SEMIPERÍMETRO TRIANGULAR ABC:

p ABC 

DE

LA

REGIÓN

a + b + c 2


I.E.P “ LHANDREVER “ - AÑO ESCOLAR 3RO DE SECUNDARIA VII . CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS :

GEOMETRÍA

B °

A . Según la medida de sus ángulos :

S i: " a " , " b " y " c " s o n d ife r e n t e s e n t r e s i

a

c

 A B C : e s c a le n o

a . Triángulo acutángulo : A

Es aquel triángulo que tiene su ángulos internos agudos.

°

° b

 ° ,  ° ,  ° s o n d ife r e n t e s e n t r e s i

C

b . Triángulo isósceles: Es aquel triángulo que tiene dos lados de igual longitud.

B °

6

B

0° < °, ° ,  ° < 90°  A B C : A c u t á n g u lo

A

°

°

a

a

C

b . Triángulo obtusángulo :

B

0° < °, ° ,  ° < 90°  A B C : A c u t á n g u lo

A

°

60°

C

L

c . Triángulo rectángulo :

B

∢ ABC=90 °

mABC  90

A

°

°

C

FUNDAMENTALES

DEL

A . TEOREMA 1

Hipotenusa: AC     90

a

60°

L

II . TEOREMAS TRIÁNGULO :

Catetos : AB y BC c

L

60°

A

Es aquel triángulo que tiene un ángulo recto.

C

BASE

Es aquel triángulo cuyos lados son de igual longitud.

B

°



c . Triángulo equilátero :

Es aquel triángulo que tiene un ángulo interior obtuso.

°



A

En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual a 180°

C

b

B °

Nota: Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos. En el ABC se cumple: 2

2

b = a + c

2

A . Según la medida de sus lados : a . Triángulo escaleno: Es aquel triángulo en el cual sus lados tienen diferente longitud.

E n e l t r iá n g u lo A B C s e c u m p le : ° + ° + ° = 180°

A

°

°

C

B .TEOREMA 2 En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos interiores no adyacentes a él.



-

AÑO ESCOLAR

7

GEOMETRÍA

B °

9 u

5 u

E n e l t r iá n g u l o A B C s e c u m p le : x° = ° + °

x

x°

°

A

C

RESOLUCIÓN C . TEOREMA 3

9−5< x< 9+5

En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360° B

y°

E n e l t r iá n g u lo A B C s e c u m p le :

4 < x< 14 Por lo tanto el mayor valor par que puede tomar x es 12u.

x° + y° + z° = 360° x° z°

1 . En un triángulo ABC; AB = 9 – x; BC = 2x – 12; además: m∢A > m∢C, calcular “x”. Si se sabe que es un número entero.

D. TEOREMA 4 En todo triángulo al lado de mayor longitud se le opone el ángulo de mayor medida y viceversa.

B 

c

a

S i :  >   >  



a > b > c

E. TEOREMA 5 En todo triángulo la longitud de un lado es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos y menor que la suma de los mismos.

B Sea: a > b > c  a - c < b < a + c

a b

b)7

c)8

d)9

e)10

2 . Si los lados de un triángulo miden: 12; (x+4); (x+5). Calcular el menor valor entero de “x”, para que dicho triángulo exista. a)1

b)2

c)3

d)4

e)5

C

b

c

a)6

3 . De la figura: BC = EC. Calcular “x”



A

A

AUTOEVALUACIÓN

C A

C

IX . EJEMPLOS : 1 . ¿Cuál es el mayor valor par que puede tomar “x” para que el triángulo exista? (Teorema 5)

a)100° b)105° c)110° d)115° e)120° 4 . Dos lados de un triángulo escaleno miden 5 y 7. Calcular la suma de los valores enteros impares que puede tomar la medida del tercer lado. a)15

b)25

c)35

d)45

e)55

´ ´ 5 . Dado un triángulo ABC, en AC y BC se ubican los puntos N y M respectivamente, tal que AB=BN=BM y m⦟BNM=50°. Calcule m⦟BAN - m⦟BCA. a)60°

b)50°

c)80°

d)70°

e)30°

6 . Se tiene un triángulo cuyas medidas de los pares angulares se encuentran en progresión aritmética. Calcule el máximo valor entero de la medida de un par angular. a)15°

b)20°

c)25°

d)30°

e)35°



-

AÑO ESCOLAR a)54m

7 . De la figura, calcule x.

8 b)42m

GEOMETRÍA c)40m

d)52m

e)20m

6 . Del gráfico, calcular " x ".

a)27° b)30° c)33° d)36° e)39°

a)60° b)70° c)80° d)90° e)100°

8 .En la figura, calcule α+β+θ+ω.

B

100°

x + 60°

C

A

120°

a)10° b)20° c)30° d)40° e)50°

7 . Calcular “ x ° ”. a)38° 71° b)40° c)42° b d)44° e)50° x°

9 . En un triángulo ABC se traza la ceviana ´ , de modo que BD=AC. Si m⦟BAC=100 y BD m⦟BCA=30 entonces la m⦟DBC es:

7 . ¿Cuál es el mayor valor par que puede tomar “x” para que el triángulo exista?

a)9 b)10 c)12 d)15 e)20 ´ ≅ B´C ¿ 10 . ABC es un triángulo isósceles ( AB se ubica un punto interior D de modo que m⦟BAD=50, m⦟DAC=30 y m⦟DCB=25. Calcule m⦟DBC.

a)4 b)5 c)10 d)13 e)14

a)5

b)7

c)8

d)9

1 . En el gráfico, calcular “ x °”. a)15° b)20° c)30° d)35° e)32° 2 . Calcular “θ+β” a)120° b)110° c)130° d)125° e)140° 3 . De la figura AB = BE; BD = DC; el triángulo ABD es:

a) Isósceles b) Equilátero c) Acutángulo d) Rectángulo e) Obtusángulo 5. Los lados de un triángulo isósceles miden 10m y 22m. Calcular su perímetro.

9 u

5 u x

TRIÁNGULOS II

e)10

TAREA

b

1 . En el gráfico: BC = 9; BE = 4; calcular FC. a)4 b)5 c)6 d)7 e)8

E

2 . De la figura AB = BD. Calcular m∢C. a)40 b)45° c)50° d)55° e)60° 3 . Si AB = AD = DC; calcular “x”. a)20° b)25° c)30° d)35° e)45° 4 Calcular “a+b+c+d+e+” a)90° b)180° c)270° d)360° e)540°


I.E.P “ LHANDREVER “ 3RO DE SECUNDARIA 5. En la figura, calcular “x”

-

AÑO ESCOLAR

9

GEOMETRÍA

d) 5x = 2 e) 4x = 

a)95° b)100° c)105° d)110° e)115°

2 . Si  -  = 110°. Calcular: . a)30° b)8° c)10° d)12° e)15°

6. En la figura, calcular “x” a)27° b)30° c)33° d)36° e)39°

3 . Calcular x, si AB = BC y TC = TD a)10° b)15° c)20° d)30° e)40°

7. De la figura: AB=AE; AF=FE; FD=DC; EC=FC. Calcular: m∢BAC. Si: m∢FDC=40°.

4 . Calcular x, si:  -  = 18

a)27° b)30° c)33° d)36° e)39°

a)16° b)17° c)18° d)19° e)36°

8 . De la figura, calcule α.

LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIÁNGULO I

a)27° b)30° c)33° d)36° e)39° 9. En la figura, AB = BD y AD = DC, si: m∢BAC = 69°, calcular “x”. a)17° b)27° c)37° d)47° e)57°

I . CEVIANA : Es aquel segmento que une un vértice con un punto del lado opuesto o de su prolongación. B

A

R

C

Q

´ : Ceviana interior relativa a AC ´ . BR ´ : Ceviana exterior relativa a AC ´ . - BQ

10 . De la figura: ED = DC; m∢BED = m∢BDE. Si: AE = 7; calcular “BD

-

a)10,5 b)7 c)9 d)50° e)60°

II. ALTURA : Es la ceviana perpendicular al lado al cual es relativo. - Triángulo acutángulo B

TAREA

E n e l t r iá n g u l o a c u t á n g u l o A B C

1 . Del gráfico adjunto determina la relación correcta (PQ= PR). a) 3x = 2 b) 7x = 3 c) 7x = 2

B H : A l t u r a r e l a t iv a a A C A

H

C

- Triángulo obtusángulo



-

AÑO ESCOLAR

10

GEOMETRÍA

B

E n e l t r i á n g u lo o b t u s á n g u l o A B C B H : A lt u r a r e la t iv a a A C H

-

C

A

PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO INCENTRO. EL INCENTRO EQUIDISTA E LOS LADOS DEL TRIÁNGULO. EL INCENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR TRIÁNGULO.

Triángulo rectángulo B

E n e l t r iá n g u l o r e c t á n g u l o A B C B H : A lt u r a r e la t iv a a la h ip o t e n u s a A C A

C

H

N O T A : " B " : o r t o c e n t r o d e l t r iá n g u lo A B C

Excentro (E) es el punto donde se intersectan dos bisectrices exteriores con una bisectriz interior en un triángulo, es el centro de la circunferencia exinscrita

Ortocentro (H) es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo.

PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO ORTOCENTRO. ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO. ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO. SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL VÉRTICE DEL ÁNGULO RECTO.

E: Encentro relativo de PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE TRES EXCENTROS. LOS EXCENTROS SON SIEMPRE PUNTOS EXTERIORES AL

A

B

A

E n e l t r i á n g u lo A B C

C

R

Bisectriz exterior B

 A

E n e l t r iá n g u lo A B C " M " e s p u n t o m e d io d e A C

B R : B is e c t r iz in t e r io r r e la t iv a a A C

-

B

45

Bisectriz interior  

C

E n e l t r iá n g u lo A B C



TRIÁNGULO.

IV . MEDIANA :Es el segmento cuyos extremos son un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto.

III . BISECTRIZ : Es la ceviana que biseca a un ángulo interior o exterior. -

DEL

B Q : B is e c t r iz e x t e r io r r e la t iv a a A C Q

Incentro (I) es el punto donde se intersectan las tres bisectrices interiores de un triángulo, es el centro de la circunferencia inscrita.

b

M

b

B M : M e d i a n a r e la t i v a a A C

C

-El punto de intersección de las medianas de un triángulo es el BARICENTRO (G). -El Baricentro (G) de una región triangular divide a una cada de las medianas en la razón de 2 a 1 (midiendo desde el vértice) .

E n e l triá n g u lo A B C

G : B a r i c e n t r o d e l a r e g ió n t r ia n g u la r A B C B

P r o p i e d a d d e l B a r ic e n t r o A G = 2(G N ) B G = 2(G M ) C G = 2(G P )

V. MEDIATRIZ :

N

P

A

M

C


47

I.E.P “ LHANDREVER “ - AÑO ESCOLAR 3RO DE SECUNDARIA Es aquella recta perpendicular que divide en dos a)20° medidas iguales (biseca) al lado de un triángulo. c)46° L

B

A

b

M

AC y AM = M C

3 . Si:

L : m e d i a t r iz d e A C

a)50°

L

C

b

GEOMETRÍA b)24°

d)70°


N

11

e)90°

´ . es bisectriz, calcular " x ° ". BE B

b)55° c)65°

B

B

L1

d)70° a

c

L2

c

a C

A

L 1 : M e d ia t r iz d e : _ _ _ _ _ _ _ _ _

x°

L 2 : M e d ia t r iz d e : _ _ _ _ _ _ _ _ _

30°

C

E

´ BM

4. En el triángulo ABC, C

A

80°

A

e)75°

es mediana. Calcular

"x". B

a)7 b)8

El punto de intersección de las tres mediatrices se llama CIRCUNCENTRO (O).

c)9 d)10

A

e)11

5. En el triángulo ABC,

´ AC

C

M

x-1

8

´ MN

es mediatriz de

. Calcular "AM". B

a)2

N

b)3 c)4 d)5 A

e)6

O: Circuncentro, es el centro de la circunferencia circunscrita


´ AC

AUTOEVALUACIÓN

¿ PQM. b)60°

b)48° N

d)60° B


¿

E = 24° y m

= 46°; luego se traza la altura m

¿ DEH.

¿

F

´ . Calcular: EH

A

M

e)120°

2 . En el triángulo DEF: m

A = 36°.

C

a)36°

e)90°

c)80°

es mediatriz de

¿

c)54°

a)30° d)90°

´ MN

NMA ", si: m

¿

1 . En un triángulo MNP: m

calcular: m

C

8

.

Calcular " m

¿ N = 60° y MN = ´ NP. Si se traza la bisectriz interior , PQ

M

x2- 1

´ CM

es la mediana

B

relativa a

´ AB

, calcular: M

BM AB

.

a)1/2 b)1/3

A

C



-

AÑO ESCOLAR

12

GEOMETRÍA

c)1 d)2 10.

´ BM

es mediana relativa a B AC=2BM, hallar: m ¿ ABC.

e)3

´ AM


´ BR

y

son

B

medianas. Calcular: G A

y

a)90°

A

c)80°

C

M

d)75° e)70°

C

R

TAREA

c)1/2 d)1/3

´ MN

2 . En el triángulo ABC, B

e)1/4

´ AC ´ HM

6. Si

AM

es mediatriz de

ACB, si: m

¿

¿

, hallar: m

MHC=50°.

a)90°

. Calcular "AM"

A

N

C

M

2

x -2

c)4 H

es mediatriz de

a)2 b)3

B

b)70°

14

d)5

c)60°

e)6

d)40°

A

e)50°

C

M

4 . Si "t" es mediatriz del lado t

ángulo "x".

´ RT


´ AC

a)43°

, calcula el

53°

b)53°

B

´ FE

x

es mediatriz de

, AR=4u y RT=3u. Calcular “CT”.

a)9

60°

E

F

c)63°

b)8

T

d)73°

c)6

e)83°

d)5

A

e)4

L´

8. En la figura,

C

R

´ BC

es mediatriz de

A = 80° y

¿ m

´ BM

b)85°

AG GMM

a)2 b)1

Si

¿

C = 72°, hallar: m

P

d)68°

C

e)70°

´ BH

es mediatriz, calcular " x ° ".

a)40°

x°

b)50°

40° A

´ AC

, calcula la medida

50°

x

C

P

1 . En un triángulo ABC: m ¿ B = 80° y AB = ´ BC. Si se traza la bisectriz interior , AE calcular: m ¿ AEC. a)100° c)110° d)115°

B

b)105° e)120°

4 . Si: AB = BC, calcular " x ° ".

c)60° d)70°

del ángulo "x”

t

e)20°

L A

B

d)40°

M

c)66°

9. Si

"t" es mediatriz del lado

c)60°

b)64°

es bisectriz interior del ángulo "B" y

b)70°

B

a)62°

. Si: m

´ BP

a)80°

BPM.

¿

5 . Si

50°

B

C

a)20° 40° b)25° e)80° c)30° Jr. AREQUIPA 3898 y Jr. CUSCO 3880 S.M.P - [email protected] – Teléf. 572-2726 A

H

A

x°

C

I.E.P “ LHANDREVER “ 3RO DE SECUNDARIA d)35° e)40°

-

AÑO ESCOLAR

13

GEOMETRÍA

e)40° 5 . En el triángulo rectángulo PQR (recto en ´ . Si: m ¿ P = "Q"); se traza la altura QH 56°, hallar: m ¿ HQR. a)32° c)36° d)38°

D . Propiedad 6

b)34° e)40°

LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIÁNGULO II

B .Propiedad 7

I . PROPIEDADES : A . Propiedad 1 B



x



A B .Propiedad 2

AUTOEVALUACIÓN

x = 90° + B 2

I  

1. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices interiores de los ángulos A y B que se intersectan en P, si la: m∢APB=2m∢C. Hallar m∢C

C

B

A







x = 90°

C 

A) 56° D) 62°

B 2

B) 58° E) 64°

C) 60°

2. En un triángulo PQR las bisectrices exteriores de P y R se intersectan en el punto A, tal que m∢Q = 2m∢PAR. Calcular la m∢Q

x E

C . Propiedad 3

A) 40° D) 60°

E

B

x

B) 45° E) 65°

C)55°

3. Si y son bisectrices de los ángulos BAC y BHC respectivamente, calcular “x”.

 A



D .Propiedad 4

 C



x = B 2

a)12° b)14° c)16° d)18° e)20° 4. En un triángulo ABC, calcular la medida del menor ángulo que forman las bisectrices exteriores de A y C si se cumple que: m∢A + 2m∢B + m∢C = 236°. A) 50° D) 60°

E . Propiedad 5

B) 54° E) 65°

C)56°

5. Se tiene un triángulo MNP tal que las bisectrices exteriores de M y P se intersectan en E. Calcular la m∢N, si 2m∢N + m∢MEP = 117°. Jr. AREQUIPA 3898 y Jr. CUSCO 3880 S.M.P - [email protected] – Teléf. 572-2726


-

AÑO ESCOLAR

14

GEOMETRÍA

13 . En la figura, m∢BAC = 80° y m∢BCA = 40°. Calcular la m∢DEC. A) 50° D) 60°

B) 54° E) 65°

C)56°

a)20° b)55° c)65° d)45° e)70

6 .Calcular “x”:

14. Calcular “θ”. a)20° b)55° c)65° d)45° e)70 8 . Calcular “x”

TAREA 1. Calcular “ x ° ”. a)21° b)42° c)63° d)111° e)132°

9 . Calcular “x”

42°

x°

° °

° °

2 . Calcular “ x ° ”.

10 . En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior , tal que m∢BDA = 72° y m∢BDC = 35°. Calcular la m∢BAD. A) 56° D) 71°

B) 63° E) 77°

C) 70°

11 . Si: m + n = 80°; calcular “x”. a)20° b)30° c)40° d)45° e)60°

12 . Calcular “x”; si a)20° b)55° c)65° d)45° e)70°

a)90 b)100° c)120° d)130° e)140°

°  ° x° 60°

°

3 . Calcular " x ° ". a)65° b)66° c)68° d)69° e)114°

° °

x°

°

48°

°

°

4. Calcular "x°" a)20° b)25° c)30° d)35° //

.

x°

50° ° °

°

°

5. a

En un triángulo ABC por E excentro relativo , se traza una paralela a que interseca a en M y a en N. Calcular MN, si AM = 9 y NC = 6. A) 1 D) 2,5

B) 1,5 E) 3

C) 2


I.E.P “ LHANDREVER “ - AÑO ESCOLAR 3RO DE SECUNDARIA 7. En un triángulo ABC, m∢A = 2m∢C. Se traza la bisectriz interior . Calcular AD, si AB = 6 y BC = 10. A) 2 D) 8

B) 4 E) 10

45° k 2

a 2

2a

45°

45°

k

B) 36° E) 30°

B.

a 2

notable de 30° y 60° 60°

C) 54°

2k

k

9. Por el vértice “B” de un triángulo ABC, cuyo perímetro es 16, se trazan paralelas a las bisectrices interiores de A y C las que intersecan a AC en P y Q. Calcular PQ. A) 8 D) 18

GEOMETRÍA

45° k

C) 6

8. En un triángulo ABC: I es incentro, si la m∢AIC=3m∢B. Calcular la m∢B. A) 24° D) 45°

15

B) 16 E) 32

30° k 3

C.

notable de 37° y 53°

C) 24

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

53°

37° 4k

IV . TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES ADICIONALES:

I . TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS : Son aquellos triángulos que tienen un ángulo recto.

5k

3k

A.

53°  26°30' notable de 2

n 53° 2 2n

II . TEOREMA DE PITÁGORAS :

B.

37° = 18°30' notable de 2

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa. En el triángulo ABC: m

C º

a2 + c2 = b b

a

B

37° 2

2

90º - º

c

3m

A

C.

notable de 16º Y 74º

III . TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS : Se denominan así a ciertos triángulos rectángulos en los cuales conociendo las medidas de sus ángulos internos (denominados ángulos notables) se tendrá presente una determinada relación entre las longitudes de sus lados.

74º 25a 7a

16º 24a

V . EJEMPLOS : A.

notable de 45°

1 . Calcular “a + b”.



-

AÑO ESCOLAR a) b) c)

60°

d)

2u

a

e)

b

a)8 b)16 c)20 d)22 e)25

RESOLUCIÓN

k=2

60° 2K = 4

K=a

√3

30° K=b

√3

=2

√3 AUTOEVALUACIÓN a+b = 2 + 2

1 . Calcular "x" e "y"

2,2 √ 3 b) 4, 4 √ 3 c) 8, 8 √ 3 x d) 8, 16 a)

16 30°

e)4, 8

d) √ 2/2 e)1/2

5

x

45°

C


20+20 √ 3 10+10 √ 3 a c) 5+5 √ 3 d) 20 e) 10 b)

10 u 30° b

8 . Calcular "x " a)4 b)2 c) 2 √ 2

x

d) 4 √ 2 e)8

45°

4 u 30°

37°

C

b)20u e)45u

TAREA

53°


y

20+20 √ 3 10+10 √ 3 a c) 10 √ 3 d) 20 e) 10 a)

20 u

b)

a)7 b)7/2 c) 7 √ 3 d)14 e)21 5 . Calcular "x + y"

45°

A

a)15u c)25u d)35u

x

12

4 . Calcular "x "

2

10 . En el triángulo ABC, recto en "B", su perímetro es 60u. Calcula "AB", si: m ¿ A = 37°.

y

3 . Calcular "x + y" a)27 b)24 c)21 d)15 e)9

8

9 . Calcular “BC”, si: AC = 42 u. B a)21u b)28u c)35u d)49u 45° A e)56u

y

2 . Calcular: x/y a)2 b)1 c) √ 2

B

a)

a=k=2 b=k

GEOMETRÍA

20 √2 10 √ 2 5 √2 2 √2 √2

6 . Hallar "AC":

30°

Se tiene: 2k = 4

16

x

30° 7 3

10

30° b

2 . Calcular “x + y” y

a)

7+7 √ 2

x

7 2 u

Jr. AREQUIPA 3898 y Jr. CUSCO 3880 S.M.P - [email protected] – Teléf. 572-2726 45° 45° y x

I.E.P “ LHANDREVER “ 3RO DE SECUNDARIA b) 14+7 √ 2 c)

-

AÑO ESCOLAR

14+14 √2 14+28 √ 2

3 . Calcular "x". a)15 b)16 c)20 d)22 e)25

4 . Si: AB = BC, calcular " x ° ".

x

10 u 53°

B

a)20° b)25° c)30° d)35° e)40°

30°

70°

4 . Calcular "BC", si: AC = 35 u.

A

45°

37°

C

b)20u

a)20° b)25° c)30° d)35° e)40°

REPASO 1 . En la siguientes proposiciones, indique la veracidad o falsedad según corresponda. I . La altura es un segmento perpendicular que une un vértice y un punto del lado opuesto o de su prolongación. II . La bisectriz es la ceviana que biseca a un ángulo interior o exterior. III . El punto de intersección de las medianas de un triángulo se llama ortocentro. IV . En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa a)VVFV

b)VVFF

c)VFFV e)FFVV

° °

° °

A

3 . Calcular “ x ° ”

´ MN

a)2 b)3 c)4 d)5 e)6

C

12

es mediatriz de

B . Calcular "AM" N

A

2

x -2

C

M

23

´ MN

8 . En el triángulo ABC,

´ AC

. Calcular "NMA", si: m

es mediatriz de

A = 40°

¿

C

a)30° b)40° c)50° d)80° e)90°

N A

M

9 . Si "t" es mediatriz del lado ángulo "x".

´ FE

, calcula el

t

x° 600°

M

x-2

7 . En el triángulo ABC,

´ AC

es mediana.

B

B

° °

´ BM

6 . En el triángulo ABC, Calcular "x".

2 . Calcular “ x ° ”. a)105° b)110° c)115° d)120° e)125°

x°

70°

a)10 b)11 c)12 d)13 e)14

e)45u

d)VVVV

C

5 . Calcular "x°"

5 . En el triángulo ABC, recto en "B", su perímetro es 36u. Calcula "AC", si: m ¿ A = 53°. a)15u c)25u d)35u

x°

A

B

a)15 b)16 c)20 d)22 e)25

GEOMETRÍA

a)38° b)52° c)76° d)90° e)128°

d) 28 e)

17

° °

° ° x°

a)40° b)50° c)60° d)70°

x 40° E

60°

F

Jr. AREQUIPA 3898 y Jr. CUSCO 3880 S.M.P - [email protected] – Teléf. ° 28° 572-2726 °


-

AÑO ESCOLAR

18

e)80°



Se lee: 10 . Calcular "x" e "y"

2,2 √ 3 4, 4 √ 3 c) 8, 8 √ 3 d) 8, 16

IV. CASOS DE CONGRUENCIA :

16

x

Significa que es suficiente reconocer la congruencia de tres de sus elementos correspondientes (Lados ó Ángulos) :

30°

e)4, 8

y

Postulado Lado - Ángulo - Lado (LAL)

11 . Calcular: x/y a)2 b)1 c) √ 2

5

Un triángulo es congruente a otro si tienen ambos dos lados de igual longitud y el ángulo que forman estos lados de igual medida.

x

45°

d) √ 2/2 e)1/2

P

y

a)27 b)24 c)21 d)15 e)9

C

x

y

30°



C

7 3

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

 a

Dos triánguos son congruentes si tienen lados y ángulos respectivamente congruentes.

A

III . NOTACIÓN :

Q

M

R V. EJEMPLOS :

 c

Q

C

a





A



b

C

B

P

R

b



B

B



N



Un triángulo es congruente a otro triángulo si en ambos sus lados correspondientes tienen igual longitud.

II . REPRESENTACIÓN GRÁFICA :



a



Teorema Lado - Lado - Lado (LLL)

I . DEFINICIÓN :



M

P

A

x

a

B

a

Dos triángulos son congruentes si tienen ambos un lado de igual longitud y los 2 ángulos adyacentes a este lado de igual medida.

13 . Calcular "x "



c

Teorema Ángulo - Lado - Ángulo (ALA)

53°

a)7 b)7/2 c) 7 √ 3 d)14 e)21



N





c

12

a

A

12 . Calcular "x + y"

c

ABC PQR

"El triángulo ABC es congruente al triángulo PQR"

a)

b)

GEOMETRÍA

P

1 . Decir si los siguientes pares de triángulos son congruentes o no. Si lo son diga por cuál caso. A)



-

AÑO ESCOLAR

19

GEOMETRÍA

a)54° b)58° c)62° d)64° e)68° 4 . Calcular el valor de “ x ”.

Los triángulos son congruentes. Caso Lado - Ángulo - Lado (LAL).

a)10° b)20° c)30° d)40° e)50°

B)

40° 110° x

40°

5. Calcular x/y, si los triángulos mostrados son congruentes. m

a)6 b)3 c)3 d)2 e)1

Los triángulos no son congruentes. No cumplen con ningún caso. C)

m

n 6

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

D)

40°

AUTOEVALUACIÓN

x

6

7

y









2 . Calcular “ α ”. a)70° b)60° c)50° d)40° e)30°

70°



60° x

3 . Calcular “ x ”. 54°

O

5



x3, si la recta

"n" es

n

6x - 2

10

A

B

8 . Calcular "x - 20°", si la recta "n" es mediatriz

1. Calcular “ x + y ”. a)10 b)12 c)13 d)14 e)25

M 

a)1 b)8 c)9 d)16 e)27

Los triángulos son congruentes. Caso Lado - Ángulo - Lado (LAL).

x 2+3 , si OM es bisectriz

2x + 3

7. Hallar el valor de mediatriz del lado AB.

40°

x+ y

7

5

6. Halla el valor de del ángulo “O”. Los triángulos no son congruentes. No cumplen con ningún caso.

n

x-y

´ de AC a)50° b)40° c)30° d)20° e)10°

. n

B 60°

A

x

35°

9 . Si t: mediatriz del lado hallar "AB” . B a)16 b)14 c)12 d)10 2 A e)8 P

C

´ BC

y PC=8 cm,

t



C

68°


I.E.P “ LHANDREVER “ - AÑO ESCOLAR 20 GEOMETRÍA 3RO DE SECUNDARIA 10 . Si: AB = BC, PQ = 10 u y AP = 3 u, calcular II . TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS C "CQ" . (BASE MEDIA) : a)3u A Si por el punto medio de un lado de un triángulo b)7u se traza una recta paralela a uno de los lados, c)10u dicha paralela divide al tercer lado del triángulo P d)13u Q B en dos segmentos congruentes. e)17u

TAREA 1 . Calcular "x + 1" . a)1 b)2 c)3 d)4   e)5

B

M

x

´ AB

a)65° b)55° c)45° d)35° e)25°

.

3 u

x°

3 . Calcular "x" a)1u b)2u 5 u c)3u d)4u e)5u n A

E n to n c e s:

MN =

C

III. TEOREMA DE (BASE MEDIA) :

BN = NC

LOS

PUNTOS

AC 2

MEDIOS

En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa, es la mitad de la longitud de la hipotenusa.

B

A E n e l t r iá n g u lo A B C

P

B M : M e d ia n a

M

2

x + 1

BM =

B

n

B

Calcular "AB", si: NC = 12 u. a)10u B b)12u 2 N c)13u d)14u  e)15u A M

IV . EJEMPLOS : 1 . Calcular " x ° " .

b

B

a

c

D

C

AC 2

C

B

4 . Si: AC = EC, AB = 6 u y ED = 9 u, calcular "BD". a)10u E b)12u c)13u A d)14u e)15u

b

N



A

L

A

Si : M N // AC y AM = M B



c

2 . Calcular "x°", si la recta "L" es mediatriz del segmento


c

M

A

c

N

2x+1

a

C

18 RESOLUCIÓN C

APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS I . BASE MEDIA DE UN TRIÁNGULO : Es el segmento que tiene por extremos los puntos medios de dos lados de un triángulo

Por teorema:

MN =

AC 2

2 x +1=

18 2

2 x +1=9 2 x =8



x=

-

AÑO ESCOLAR

8 2

2 . Calcular “ x ”.

2 . Calcular " x ° " .

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

B a

2x + 11



P a

Q



´ /¿ PQ ´ AC

B a

2x + 12



P

Q

a

8x



A

C

3 . Calcular " x ".

21

a)3 b)4 c)5 d)6 e)7

C RESOLUCIÓN

Si

GEOMETRÍA

b)20° c)30° d)40° e)50°

x=4

A

21

; entonces:

B a P

b Q

x + 1

a A

b C

8

4 . Calcular “ x ”. BQ=QC

a)4u b)6u c)7u d)8u e)9u

2 x +11=21

2 x =21−11 2 x =10

a

x + 1 5 u

a b

b

5 . Calcular "x", si: MN = x + 2 y AC = 10. a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

10 x= 2 x=5 3 . Calcular " AB ", si: AC=18 y LC=10.

B a

b

M

N

a

b C

A

´ BM

6 . Calcular " β ° ", si:

B

es mediana y

m ∡ C=32° .

x

H

α α A

A

a)16° b)32° c)36° d)64° e)68° L

7 . Calcular " x ° ".

AL = 18 - 10 AL = 8

´ Como AH es altura y bisectriz entonces el ∆ABL es isósceles AB = AL x=8

AUTOEVALUACIÓN ´ AB

C

B

C

RESOLUCIÓN

1 . Si "M" es punto medio de B calcular " x ° ".

M

°

y BN = NC,

a)10° b)20° c)30° d)40° e)60°

B 2x° x°

A

M

b

b

C

8 . Calcular " x ° ".

A

a)3° b)6° c)9° d)10° e)11°

b

M

b

9x°

B

x°

B

C

9 . Calcular "EF", si: AC = 20 cm.

80°

N a)10° M 70° M N Jr. AREQUIPA 3898 y Jr. CUSCO 3880 S.M.P - [email protected] – Teléf. F E 572-2726

A

x°

C

A

P

C

I.E.P “ LHANDREVER “ 3RO DE SECUNDARIA a)5cm b)10cm c)15cm d)20cm e)25cm

-

AÑO ESCOLAR

GEOMETRÍA

I . DEFINICIÓN : Es la figura geométrica cerrada, que se forma al unir consecutivamente tres o más puntos no colineales mediante segmentos de recta.

10 . Calcular "BM", si: PQ=2u y AP=PM. a)2u b)4u c)6u d)8u e)10u A

22

II . REPRESENTACIÓN GRÁFICA : Polígono

B

C

M

Región interior al polígono D

B

P  

E

A

C

Q

TAREA

F

H G

1 . En la figura: AC + MN = 9u, calcular "MN". B


c

III . ELEMENTOS :

a

M

Vértices: A, B, C, D, E, F, G y H

N a

c

Lados:

C

A

´ BM

2 . Calcular " θ ° ", si:

es mediana.

A

a)10° b)20° c)30° d)40° e)50°

Región exterior al polígono

´ , BC ´ , CD ´ , DE ´ , EF ´ , FG ´ , GH ´ y HI ´ AB

IV . NOTACIÓN : Polígono ABCDEFGH

°

M

V . ÁNGULOS POLÍGONO :

80° B

C

B

3 . Calcular " x ° + 10 ° ". B

a)90° b)80° c)70° d)60° e)50°

1

c

c

M

35°

°

5

C °

° 3

° 4

E

Medida de los ángulos interiores x

N

M

Medida de los ángulos exteriores Q

A

a

P

θ1 ,θ 2 , θ3 ,θ 4, θ5

C

B x

A

EL

x° D

°

C

B

5 . Calcular " x ". a)2 b)4 c)6 d)8 e)10

°

°

A

4 . Calcular " MQ ", si: AC = 26u y QN = 12u. a)1u b)2u c)3u d)4u e)5u

° 2

EN

°

x°

A

DETERMINADOS

60°

4 u

VI . LÍNEAS ASOCIADAS AL POLÍGONO :

B

x

Q

C D

b

A

C

a b POLÍGONOS

Diagonal:

F

E


I.E.P “ LHANDREVER “ - AÑO ESCOLAR 3RO DE SECUNDARIA Es el segmento de recta que une dos vértices no consecutivos.

23

GEOMETRÍA

E

D

F

C

B

Ejemplo:

H

Para el polígono ABCDEF, mostrado en el gráfico,

G

AC y BE son dos de sus diagonales.

A

NOTA: Un conjunto A es convexo si para todo punto que ´ pertenece a P є A y para todo punto Q є A; PQ ⊂ A. Si no se cumple es no convexo.

B. Por las medidas elementos: lados y ángulos

de

sus

a .Polígono equiángulo Es aquel polígono cuyos ángulos internos son de igual medida.

A

° A

P

°

° C ° ° ° D

° °

°

Conjunto no Q convexo ⊄A

A

B

°

F

° ° E

En la figura el polígono ABCDEF, equiángulo. °: medida de sus ángulos interiores °: medida de sus ángulos exteriores

P

Q

b.

es

Polígono equilátero

Es aquel polígono cuyos lados son de igual longitud. B

Conjunto convexo ⊂A

a

a

m

A

a

A.

a . Polígono convexo

Q

m P o lí g o n o n o C onvexo

c .Polígono regular

C 





D

Es aquel polígono equiángulo y equilátero a la vez. T r i á n g u lo e q u i lá t e r o



m

En la figura los polígonos ABCDE y MNLTQ son equiláteros.

Cuando su interior es un conjunto convexo.

A

M

P o lí g o n o C onvexo

Por su región interior:

B

D

a

E

m L

m

a

VII . CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS:

T

N

C

x

C u a d ra d o L

60°

E

L

L 60°

0° < x° < 180°

L

60°

L

L

b . Polígono no convexo Cuando su interior es un conjunto no convexo

L

C . Por su número de lados: -

Polígono de 3 lados:

Triángulo


I.E.P “ LHANDREVER “ - AÑO ESCOLAR 24 GEOMETRÍA 3RO DE SECUNDARIA - Polígono de 4 lados: Cuadrilátero 8. Graficar el pentágono ABCDE y trazar sus diagonales señalando el número de vértices y - Polígono de 5 lados: Pentágono diagonales. - Polígono de 6 lados: Hexágono -


Heptágono

-


Octógono

-


Nonágono

ó

eneágono -


-


Decágono Undecágono

ó

endecágono -


Dodecágono

-


Pentadecágono

-


Icoságono

AUTOEVALUACIÓN 1. Graficar al cuadrilátero ABCD y trazar sus diagonales. (Indicar el número de vértices y el número de diagonales) 2. Graficar el hexágono ABCDEF y trazar todas las diagonales posibles desde los vértices "A" y "B". 3. ¿Cómo se llama el polígono mostrado? Además trazar cuatro de sus diagonales. B

A

C

D

9. Graficar el heptágono ABCDEFG y trazar todas las diagonales posibles desde los vértices "A" y "C". 10. ¿Cómo se llama el polígono mostrado? Además trazar cuatro de sus diagonales. 11. Graficar un nonágono e indicar el número de vértices y trazar todas las diagonales desde un solo vértice. (Indicar el número de triángulos que se forman) 12. Graficar un pentágono convexo y desde uno de sus vértices trazar todas las diagonales posibles. 13. Graficar un convexo y sus diagonales.

cuadrilátero

no

14. Graficar un hexágono convexo y trazar las diagonales desde tres vértices consecutivos. 15. Graficar un octógono convexo, trazar las diagonales desde un solo vértice y contar el número de triángulos que se forman. 16. Graficar un nonágono convexo y trazar desde dos vértices consecutivos todas las diagonales posibles. 17. Graficar un endecágono convexo y trazar las diagonales desde un solo vértice.

F

E

4. Graficar un octógono y trazar todas las diagonales posibles desde dos vértices consecutivos. 5. ¿Cómo se llama el polígono mostrado? Además trazar cuatro de sus diagonales.

TAREA 1. Graficar un pentágono convexo donde tres ángulos consecutivos miden 90°. 2. Graficar un hexágono convexo donde tres ángulos alternados miden 90°. 3. Graficar un heptágono y trazar las diagonales desde tres vértices consecutivos.

6. Graficar el octógono ABCDEFGH y trazar todas las diagonales posibles desde los vértices “A”, “B”, “C” y “D”. ¿Cuántas diagonales se pudieron trazar?

4. ¿Cómo se llama el polígono mostrado? Además trazar cinco de sus diagonales.

7. Graficar un octógono ABCDEFGH y trazar todas las diagonales posibles desde el vértice "A". (Indicar el número de triángulos que se forman)



-

AÑO ESCOLAR

25

GEOMETRÍA

S ∠i=180 ° ( n−2 ) D. La suma de las medidas de los ángulos exteriores

S ∠e=360 ° E .Medida de un ángulo interior en un polígono convexo equiángulo:

∠i=

2. Completar el nombre de cada polígono según el número de lados:

180 ° ( n−2 ) n

F .Medida de un ángulo interior en un polígono convexo equiángulo:

-


_____________________

-


_____________________

-


_____________________

-


_____________________

-


_____________________

-


_____________________

1 . ¿Cuánto suman los ángulos internos de un polígono convexo de 8 lados? (Suma de ángulos internos de un polígono) RESOLUCIÓN

-


_____________________

S ∠i=180 ° ( n−2 )

-


_____________________

como n=8→ S ∠i=180 ° ( 8−2 )

-


_____________________

S ∠i=1080 °

-


_____________________

-


_____________________

1 . ¿Cuánto suman los ángulos externos e internos de un icoságono? (Suma de ángulos externos de un polígono)

-


_____________________

RESOLUCIÓN

∠e= IX. EJEMPLOS :

S ∠e=360 °

POLÍGONOS II I. TEOREMAS EN POLÍGONOS (CONVEXOS) : NOTA: ángulos = n

S ∠i=180 ° ( n−2 ) como n=20 → S ∠i=180 ° ( 20−2 )

N° vértices = N° lados = N°

A . Si en un polígono de n lados, de un vértice se trazan todas las diagonales posibles, entonces dicho número de diagonales es: #D1vértice = n-3 B . En todo polígono convexo de “n” lados, el número total de diagonales es:

n(n−3) D= 2 C . La suma de las medidas de los ángulos interiores:

360 ° n

S ∠i=3240 °

AUTOEVALUACIÓN 1 . Calcular la suma de los ángulos internos de un decágono. a)900° c)1260° d)1440°

b)1080° e)1620°

2 . Calcular la suma de los ángulos internos de un octógono. a)720° c)1080°

b)900°


I.E.P “ LHANDREVER “ 3RO DE SECUNDARIA d)1260° e)1440°

-

AÑO ESCOLAR

3 . Calcular el número total de diagonales de un dodecágono. a)35° c)54° d)65°

b)44° e)77°

4 . Calcular el número total de diagonales de un pentadecágono. a)90° c)65° d)54°

b)77° e)44°

5 . ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un solo vértice en un icoságono? a)19° c)17° d)16°

b)18° e)15°

6 . ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un solo vértice en un endecágono? a)9° c)7° d)6°

b)2160° e)1620°

8 . Calcular: α°



b)21 e)10

13 . Calcular la suma de ángulos internos de un polígono que tiene en total 35 diagonales. a)900° c)1260° d)1440°

b)1080° e)1620°

14 . Calcular el número de vértices del polígono convexo en el cual la suma de ángulos internos más la suma de ángulos externos es 4 320°. a)24 d)16

b)21 e)10

c)20

TAREA

a)1980° c)1620° d)1440°

b)1800° e)1260°

2 . ¿Cuántas diagonales ABCDEFGH? B a)20 b)35 A c)44 d)54 H e)65 G



9 . Calcular: α° a)90° b)100° c)100° d)110° e)120°

a)27 c)20° d)16

1 . Hallar la suma de las medidas de los ángulos internos de un dodecágono.

e)5°

7 . Hallar la suma de las medidas de los ángulos internos de un pentadecágono.

a)90° b)100° c)110° d)120° e)130°

GEOMETRÍA

11 . ¿Cuántos lados tiene un polígono donde de un vértice se traza como máximo 18 diagonales?

b)8°

a)2340° c)21980° d)1800°

26

  

10 . Si el polígono mostrado es equiángulo, calcular: α°. a)104° b)106° c)108° d)110°  e)112°

tiene

el

polígono

C D E F

3 . Si el polígono es equiángulo, calcular: x°. a)80° b)90° c)100° d)180° x° + 10° e)360° 4 . Hallar el número de lados de un polígono sabiendo que la suma de sus ángulos internos y externos es 3 960°. a)22° c)20° d)16°

b)21° e)10°


I.E.P “ LHANDREVER “ - AÑO ESCOLAR 27 GEOMETRÍA 3RO DE SECUNDARIA 5 . Calcular el número de lados del polígono en el B . Trapecio : cual su número de lados más su número de Es aquel cuadrilátero convexo que sólo tiene un diagonales es 28. par de lados opuestos paralelos. a)7 c)9 d)10

b)8 e)11

CUADRILÁTEROS I TRAPECIOS Y TRAPEZOIDES

B

C

I . DEFINICIÓN : Es aquel polígono de cuatro lados. Puede ser

A

D

H

convexo o no convexo. II . REPRESENTACIÓN GRÁFICA :

C

un trapecio.

 B

A

´ /¿ AD ´ , entonces ABCD es BC

En la figura, si:

A . Cuadrilátero convexo :

´ Y AD ´ . BC ´ y CD ´ . Lados laterales: AB ´ Altura: BH (Distancia entre las

•



Bases:

•





• bases)

D

                  3 6 0 °

B

B . Cuadrilátero no Convexo : B

b

C

m M

n N

m A

´ Base media: MN n D

a

C A

a . Clasificación de trapecios: Los trapecios

D

En la figura, ABCD no convexo •Diagonales

´ AC

y

´ BD

se clasifican de acuerdo a la longitud de sus lados laterales en:

III . CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS

1 . Trapecio escaleno.- Es aquel trapecio

CONVEXOS :

cuyos lados laterales tienen diferente longitud.

Los cuadriláteros convexos se clasifican según

C

B

el paralelismo de sus lados opuestos, en: A . Trapezoide :

A

D

Es aquel cuadrilátero convexo que no presenta lados opuestos paralelos. B

En la figura, si:

y AB ≠ CD

 ABCD: trapecio escaleno.

C

ABC

D es un trapezoide cualesquiera.

2 . Trapecio rectángulo.- Es aquel trapecio donde

A

´ / ¿ AD ´ BC

uno

de

los

lados

laterales

es

D


I.E.P “ LHANDREVER “ - AÑO ESCOLAR 3RO DE SECUNDARIA perpendicular a las bases y es la altura del Observación:

28

trapecio.

GEOMETRÍA C

M B

b

B

C

A

h

a

x

b

D

N

En la figura ABCD: trapecio rectángulo. A

D

a

´ y MN ´ ⊥AD ´ BC

Si "M" es punto medio de

.

a + b 2

Se cumple: x = ABCD: trapecio rectángulo.

3 . Trapecio isósceles.- Es aquel trapecio cuyos lados laterales son de igual longitud. b

B





2 . En todo trapecio el segmento que une los puntos medios de sus diagonales es paralela a sus

C

bases

y

su





b

B

D

a

P

igual

a

la

´ /¿ AD ´ BC

C Q

x

A

En la figura, si:

es

semidiferencia de las longitudes de dichas bases.

A

longitud

D

a

y AB = CD

 ABCD: trapecio isósceles.

C

B

´ /¿ AD ´ , "P" y "Q" son los BC

En la figura: A

puntos

D

medios

respectivamente. PQ // BC

AC=BD b . Propiedades de los trapecios:

Se cumple:

1 . En todo trapecio, la base media es paralela a

Observación:

´ /¿ BD ´ AC

de

a - b 2

x =

sus bases y su longitud es igual a la semisuma En

de las longitudes de sus bases. b

B m M

trapecio ABCD. Se cumple:

N

x

"M"

b

B

n M

es la base media del

M N // BC

a + b x = 2

x

es

punto

H

C

a

de

S e c u m p le : BH = HD x =

A

medio

.

D

a

´ AC

figura

´ y MH ´ ⊥BD ´ AC

n

m A

En la figura,

C

la

D

a - b 2

AUTOEVALUACIÓN


I.E.P “ LHANDREVER “ 3RO DE SECUNDARIA 1 . Calcular: x °.

-

AÑO ESCOLAR

29

8 . Hallar la longitud de la mediana del trapecio.

x°

a)40° b)50° c)60° d)70° e)80


70°

2 . Las medidas de los ángulos internos de un cuadrilátero están en la relación de 4; 5; 1 y 2. ¿Cuánto mide el mayor ángulo? a)30° c)120° d)150°

b)60° e)180°

20° y°

x°

9x 3x

2x

m ∡ B+ ∡ m D , si la figura es un ´ /¿ AD ´ . isósceles BC

a)60° b)90° c)120° d)180° e)360°

B

C

D

A

A

D

11u

´ /¿ BD ´ . AC

diagonales

4u

B

C

u

A

D

26u

4u

a)1u y 3u b)2u y 3u c)1u y 2u d)4u y 6u e)6u y 3 u

a)30° b)60° c)37° d)53° e)45°

a 20u

7 . ABCD: Trapecio. Calcular " x ".

2 u

B M

P

A

es mediana.

C N

Q

D

4 u

12 . Calcular: “ x ° ”.

a

´ MN

11 . En el trapecio ABCD: Calcular: PQ y MN.

6 . Hallar la longitud de la mediana del trapecio. a)8u b)10u c)12u d)14u e)16u

m


6x

5 . Hallar: trapecio

m b + 3u

10 . En el trapecio mostrado, hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales.

30°

4 . Calcular “x” a)15° b)16° c)17° d)18° e)20

C

9 . En el trapecio ABCD, hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de las

a)11u b)12u c)13u d)14u e)15

3 . Calcular: x ° + y °. a)300° b)310° c)320° d)330° e)350°

b

B

160°

80°

GEOMETRÍA

4u

4u x° 8u

a)4u b)6u c)8u d)10u e)12u

B

3 u

m M

13 . ABCE: Trapecio isósceles. Si: BE = 5 u y BC = 3 u, calcular "AE".

n x - 1

m A

C N n

x+ 1

D

a)5u b)6u c)7u

B

C

Jr. AREQUIPA 3898 y Jr. CUSCO 3880 S.M.P - [email protected] – Teléf. 37° 572-2726 E A

I.E.P “ LHANDREVER “ 3RO DE SECUNDARIA d)8u e)9u

-

AÑO ESCOLAR

30

a)8 b)10 c)12 d)14 e)16

TAREA 1 . Calcular " x ° ". B a)15° b)17° c)18° d)19° e)20°

REPASO

C

5x° 8x°

1 . En la siguientes proposiciones, indique la veracidad o falsedad según corresponda.

4x°

A

3x°

D

2 . En la figura, PQRS es un trapecio. Calcular "

AC S ´ ) x°" e "y°". (¿ ¿ / BD 2x° - 5° ´¿ a)60° y 110° b)60° y 70° P c)110° y 70° d)70° y 80° e)60° y 80°

GEOMETRÍA

R y°

I . Dos triángulos son congruentes si tienen lados y ángulos respectivamente congruentes. II . La base media de un triángulo es aquel segmento que tiene por extremos los puntos medios de dos lados. III . Un polígono regular es aquel polígono equiángulo y equilátero a la vez.

x°+ 5°

IV . Es aquel cuadrilátero convexo que sólo tiene un par de lados opuestos paralelos.

70°

Q

a)VVFV

b)VVFF

c)VFFV d)VVVV

3 . Calcular " x ° " en el trapecio isósceles.

B

a)15° b)16° c)20° d)22° e)25

C

x°+ 5°

A

D

4 . En el trapecio ABCD, hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de las

´ y BD ´ . AC

diagonales a)5u b)6u c)7u d)8u e)9u

B

A

6u

C

D

18u

x

6

7

y









2 . Calcular el valor de “ x ”. a)10° b)20° c)30° d)40° e)50°

5u a x a x + C4 u

x

40°

x 2+5 , si OM es bisectriz

2x + 3 M  O

5



4 . Calcular "x°", si la recta "L" es mediatriz del segmento

B

40° 110°

3 . Halla el valor de del ángulo “O”. a)1 b)2 c)4 d)6 e)8

5 . Calcular " x ". a)10u b)9u c)8u d)7u e)6u

1. Calcular “ x + y ”. a)10 b)12 c)13 d)14 e)25

160°

e)FFVV

a)65° b)55°

´ AB

.

L

6. Si: AB = 6, BC = 4 y AD = 12, hallar "CD". Jr. AREQUIPA 3898 y Jr. CUSCO 3880 S.M.P - [email protected] – Teléf. x° 572-2726 B A D A

I.E.P “ LHANDREVER “ 3RO DE SECUNDARIA c)45° d)35° e)25° 5.

AÑO ESCOLAR

B

a

P

8x

A

a)20u b)22u c)24u d)26u e)28u

C

B b x + 1

a

Q C

8

A

12u

B

A

M

Es aquel cuadrilátero convexo que tiene sus pares de lados opuestos paralelos.

b

9x°

x°

B

C

C

B

8 . Hallar la suma de las medidas de los ángulos internos de un dodecágono.

O

A

D

b)1800° En la figura, si: AB // CD y BC // AD  ABCD: paralelogramo

e)1260°

9 . ¿Cuántas diagonales tiene el polígono ABCDE?

a . Propiedades : 1. En todo paralelogramo, opuestos son congruentes.

a)2 b)3 c)4 d)5 e)6

B

los

lados

C

AB  CD BC  AD A

10 . Calcular el número de lados del polígono en el cual su número de lados más su número de diagonales es 28. a)7 c)9 d)10

D

B

A

B

3x°

D

12 . Calcular " x ° " en el trapecio isósceles. C

m

45° A

45° 45°

45° L

AO = OC BO = OD

A

D

b. Clasificación de paralelogramos :

160°

a)15°

L

O

C O

Jr. AREQUIPA 3898 y Jr. CUSCO 3880 S.M.P - [email protected] – Teléf. 572-2726 A

x°+ 5°

D

45°

m

D

8x°

B

m

3. En todo paralelogramo las diagonales se bisecan.

C

4x°

45°

m

A B C     A D C

5x°

A

45°

C

e)11

C

45°

B A D     B C D

B

L

B

2. En todo paralelogramo, los ángulos opuestos son congruentes. L

b)8

11 . Calcular " x ° ". a)15° b)17° c)18° d)19° e)20°

D

36u

C . Paralelogramos :

b

a)1980° c)1620° d)1440°

C

CUADRILÁTEROS II PARALELOGRAMOS

b

7 . Calcular " x ° ". a)3° b)6° c)9° d)10° e)11°

´ y CD ´ . AB

lados

Q

a

GEOMETRÍA

4 . En el trapecio ABCD, hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de los

2x + 12



31

b)16° c)20° d)22° e)25

Calcular “ x ”.

a)1 b)2 P c)3 a d)4  e)5 A 6 . Calcular " x ". a)3 b)4 c)5 d)6 e)7

-

D

I.E.P “ LHANDREVER “ - AÑO ESCOLAR 3RO DE SECUNDARIA 1 . Romboide Es aquel paralelogramo que tiene los lados consecutivos de diferente longitud y sus ángulos interiores tienen medidas distintas de 90°.

B

b

32

RESOLUCIÓN

C

a

´ /¿ AD ´ BC

a 2x+20° = 60°

A

D

b

GEOMETRÍA

(ángulos opuestos iguales) 2x+20° = 60°

En la figura, ABCD: romboide

2x = 60° - 20°

2 . Rombo Es aquel paralelogramo que tiene sus lados de igual longitud y sus ángulos interiores tienen medidas distintas de 90°. Es un cuadrilátero equilátero.

2x = 40° x = 40°/2 x = 20°

AUTOEVALUACIÓN

B   n

L  

A

m

L

 

L

 

m

n

C

L

1 . Si ABCD es un paralelogramo, AC=16 u y

En la figura, ABCD: rombo

BD=22 u, calcular: OB+OC. a)8u B b)11u O c)16u d)19u e)22u A

D

3 . Rectángulo Es aquel paralelogramo que tiene dos lados consecutivos de diferente longitud y las medidas de sus ángulos interiores son iguales a 90°. Es un cuadrilátero equiángulo. b

B m a

m

A

O b

m

a

En la figura, ABCD: rectángulo

A

3 . Si ABCD es un romboide, hallar: "x" a)25° B C b)50° 4x-25 º c)75° d)100° 75º e)180° A D

D

4 . Cuadrado Es aquel paralelogramo que tiene sus lados de igual longitud y las medidas de sus ángulos interiores igual a 90°. Es un cuadrilátero regular.

4 . Calcular “x”, si ABCD es un romboide. B a)20° C b)40° 2x+ 70º c)70° d)80° 150º e)150° D A

C

A

D la figura, En ABCD: cuadrado B "O": centro del cuadrado 4+ 8 +

IV . EJEMPLOS :

D

2 . Calcular "BD", si ABCD es un paralelogramo. a)4u B C b)8u x c)12u x + 4 O d)16u 8 e)24u D

C m

C

x

1 . Si ABCD es un paralelogramo, calcular “ x ”. (Propiedad 2 - B paralelogramos) C 2x+20º

y

5 . Calcular “x”, si ABCD es un rectángulo. 2 1 a)5u + 4 b)6u x c)7u d)8u e)9u 6 . Si ABCD es B un rectángulo, hallarC “x”. a)50°

x 50º Jr. AREQUIPA 3898 y Jr. CUSCO 3880 S.M.P [email protected] – Teléf. 60º A 572-2726 D A D


-

AÑO ESCOLAR

b)55° c)60° d)65° e)70°

33

GEOMETRÍA

b)6u c)7u d)8u e)9u

7. Si ABCD es un rectángulo, calcular "α°". a)32° b)64° c)74° d)90° e)180°

B

4 . Si ABCD es un cuadrado y BQPC es un romboide, calcular " α Q ° ". P

C



32°

 A

a)30° b)60° c)90° d)120° e)150°

D

8 . Hallar el lado del cuadrado ABCD. a) b) c) d) e)

2 √2 u 4 √2 u 8 √2 u 16 √ 2 u 32 √2 u

B

C

D

A

L √2 c) 4 L √ 2 d) 8 L √ 2 a)

b) e)

D

B 8u



A

12u

C



D

x

H

1 . Calcular " x ° ", en el paralelogramo ABCD.

B

a)20° b)40° c)60° d)80° e)100°

Es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto de dicho plano denominado centro. A la distancia constante de estos puntos al centro se denomina radio de la circunferencia.

C

E F

C

40°

15 2

A

O

x D

3 . Si ABCD es un romboide, calcular "BP". P B C

L

T

T

2 . Calcular "BD", si ABCD es un paralelogramo. C

B

O P

D

x - 1

D R

A

B

R

II . LÍNEAS NOTABLES EN LA CIRCUNFERENCIA :

x°+ 20°

A

O

En la figura, se muestra una circunferencia de centro "O" y radio "R".

TAREA

a)5u

16 L √ 2

I . DEFINICIÓN :

10 . Siendo ABCD un romboide, calcular "x".

a)4u b)8u c)15u d)16u e)20u

2L√2

CIRCUNFERENCIA I

C

A

D

5 . Si la longitud de la diagonal de un cuadrado es "2L", calcular la longitud del lado del cuadrado.

9 . Si las diagonales del rombo ABCD miden 14 u y 48 u respectivamente, calcular el lado del B rombo.

a)2u b)4u c)8u d)10u e)12u

120°

A

8u

a)7u b)14u c)24u d)25u e)42u

C

B

Q En la figura, se tiene la circunferencia de centro "O" y radio "R".

• Centro: O • Radio: R ´ • Cuerda: CD • Diámetro:

´ AB

• Flecha o sagita:

´ EF ´ PQ

• Recta secante: 8u Jr. AREQUIPA 3898 y Jr. CUSCO 3880 S.M.P - [email protected] – Teléf.  572-2726  A D 17u

I.E.P “ LHANDREVER “ 3RO DE SECUNDARIA • Recta tangente: L´T

-

AÑO ESCOLAR

34

GEOMETRÍA

B

• Arco: Es una porción cualquiera de la circunferencia determinada por dos puntos de la misma, denominados extremos del arco, en

M

R

L: Longitud de la circunferencia R: Radio de la circunferencia

H O

A

la figura, por ejemplo el arco PQ se denota: P Q . * Observación: El círculo, es la porción de plano que comprende la circunferencia y su región interior. El perímetro del círculo es igual a la longitud de la circunferencia, entonces se cumple:

D

C

En la figura, si: m A B = m C D se cumple: A B = C D

y OM = OH

4. En una circunferencia los arcos comprendidos entre dos cuerdas paralelas son de igual medida.

= 2 . R

L

III . PROPIEDADES BÁSICAS : 1. La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado en el punto de tangencia.

R e c ta ta n g e n te

T

LT A

B

C

D

LT

En la figura, si: AB // CD T

O

OT

LT

Se cumple:

m AC = m BD

También, si: L T / / A B m AT = m T B

En la figura

L´T

: recta tangente a la

circunferencia en "T". 2. Todo diámetro perpendicular a una cuerda biseca a dicha cuerda y a los arcos que subtiende.

se cumple: 5. Los segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde un punto exterior, son de igual longitud. B r

A M

H O

En la figura, MN : diámetro, si: MN  AB se cumple: A H = H B además: m AN = m NB y m AM = m M B

P

A

N

B

O

En la figura, P A circunferencia.

y PB

son tangentes a la

Se cumple: P A = P B

AUTOEVALUACIÓN 1 . Calcular el valor de " x ", si: PT = 4 ("T" es punto de tangencia y “O” es centro). P

3. En una misma circunferencia o circunferencias congruentes, si dos arcos son de igual medida sus cuerdas correspondientes son de igual longitud, además dichas cuerdas equidistan del centro.

a)30° b)37° c)45° d)53° e)60° 2 . Si:

x 3 O

T

100º B ´ /¿ CD ´ A, hallar el valor de “ x ”. AB 5x

C D Jr. AREQUIPA 3898 y Jr. CUSCO 3880 S.M.P - [email protected] – Teléf. 572-2726 150º


-

AÑO ESCOLAR

35

GEOMETRÍA P

a)11° b)12° c)13° d)14° e)15°

x

a)30° b)37° c)45° d)53° e)60°

3 . Si "M", "N" y "P" son puntos de tangencia, hallar el valor de “ x ”.

2 . Si:

B

a)2 b)3 c)4 d)5 e)6

4

´ /¿ CD ´ , hallar el valor de “ x ”. AB 120º

12

6 A

C

P

P

A

6x

4 . Si el triángulo ABC esB isósceles (BC = AC), hallar “x - y”. B 6+ x

B

A

a)18° b)20° c)22° d)24° e)25°

N

M

5x C

D

140º

3 . Calcular “PA”, si “A” y “B” son puntos de tangencia. 9+

2 x-40 º

a)15° b)25° c)30° d)35° e)40°

A

x

a)6 b)5 c)4 d)3 e)2

2 C 2y+ 30º

6 . Si: AE = 24 u y R = 13 u; hallar PQ.

4 . Si: AQ=9 u y CT=13 u, calcular "AC".


a)18u b)20u c)22u d)24u e)26u

Q

T

A

7 . Calcular "OP", si: r = 4m. a) √ 2 b)2 √ 2 c)4 √ 2 d)8 √ 2 e)10 √ 2

5

r

P

longitud de la flecha ´ si: AB=8 u, R=5 u. AB

B A O

R

A

8 . Calcular la longitud de la flecha de la cuerda; si: R=13 u y AB=24 u. a)8u b)9u c)10u d)11u e)12u

C

R

. Calcular la correspondiente a a)5u b)4u c)3u d)2u e)1u

O

B

T

O

A

B O

R

CIRCUNFERENCIA II I . POLÍGONO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA :

1. B

TAREA A

C

1 . Calcular el valor de " x ", si: PT = 3 ("T" es punto de tangencia y “O” es centro). Jr. AREQUIPA 3898 y Jr. CUSCO 3880 S.M.P - [email protected] – Teléf. 572-2726

I.E.P “ LHANDREVER “ - AÑO ESCOLAR 3RO DE SECUNDARIA Triángulo ABC, circunscrito a la a)1u circunferencia. b)2u Circunferencia inscrita al c)3u triángulo ABC. d)4u 2. C

B

A

36

GEOMETRÍA

e)5u

3 . Calcular la longitud del inradio del triángulo

D

rectángulo, si: AB=48 u y BC=64 u.

Cuadrilátero ABCD, circunscrito a la circunferencia. Circunferencia inscrita en el cuadrilátero ABCD. II . TEOREMA DE PONCELET : En todo triángulo rectángulo se cumple que la suma de las longitudes de sus catetos es igual a la suma de la longitud de su hipotenusa y el doble de la longitud del radio de la circunferencia inscrita al triángulo.

B

a)20u b)18u c)16u d)14u e)12u

C

A

4. Calcular “r”, si: AB = 3u y BC = 4u. A

A

a)1u I

r

AB + BC = AC + 2r

b)2u

r : I n ra d io

c)3u O

d)4u

C

B

r

e)5u II . TEOREMA DE PITOT: En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de los lados opuestos son iguales. C c B a d

C

5. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 8u y 15u. Calcular la longitud de su inradio.

b

A

B

a)1u

D

b)2u

AB + CD = BC + AD a + b = c +d

c)3u d)4u

AUTOEVALUACIÓN

e)5u

1 . En la figura: AB = 8u y BC = 15u, hallar el valor de “r”.

6. Calcular “BC”, si: AE=3u; AB=4u y EC=7u.

B

C

a)2u

a)5u

b)3u

b)6u

r

c)4u d)5u e)6u

A

c)7u

B

d)8u

A

C

2. Calcular “r”, si: AB = 3u y BC = 4u.

e)9u E A

O Jr. AREQUIPA 3898 yr Jr. CUSCO 3880 S.M.P - [email protected] – Teléf. 572-2726 B

C

I.E.P “ LHANDREVER “ - AÑO ESCOLAR 3RO DE SECUNDARIA 7. En un triángulo rectángulo las c)10u longitudes de la hipotenusa y el inradio suman

d)11u

21u. Calcular el semiperímetro del triángulo

e)12u

rectángulo.

GEOMETRÍA

2 . Calcular: x + 8 u

a)20 b)21

a)8u

c)22

b)9u

d)42

8u

c)10u

e)50 8.

37

O x

d)11u

Calcular

la

longitud

del

radio

de

la

e)12u

circunferencia inscrita a un triángulo rectángulo,

C

15u

si la diferencia entre el semiperímetro y la longitud de la hipotenusa es 4u.

3 . Calcular la longitud del inradio de un triángulo

a)1

rectángulo de catetos 8 u y 6 u.

b)2 c)3

a)2u

d)4

b)4u

e)5

c)6u

9. Dado un trapecio isósceles circunscrito a una circunferencia si un lado no paralelo mide 13u

B

d)8u e)10u

C

A

calcular la longitud de la mediana del trapecio. a)10 4 . Calcular la longitud del inradio del triángulo

b)12

rectángulo, si: AB=48 u y BC=64 u.

c)13 d)14

B

a)14u

e)15

b)16u 2. Un trapecio rectángulo está circunscrito a

c)18u

una

la

d)20u

circunferencia mide 2u y uno de los lados no

e)22u

circunferencia.

Si

el

radio

de

C

A

paralelos mide 5u, calcular la longitud de la 3 . Calcular la longitud del inradio de un triángulo

base menor.

rectángulo de catetos 2 u y 1,5 u.

a)1 b)2 c)3

a)8u

d)4

b)4u

e)5

c)2u

B

d)1u

TAREA

e)0.5u

1 . Si: AB=7 u y BC=24 u, calcular: r + 5u. A

C

A

3 . Calcular "BC", si: AE=5 u ; AB=6 u y EC=8 u. C

a)8u

a)6u

b)9u

b)7u

B

Jr. AREQUIPA 3898 yO Jr. CUSCO 3880 S.M.P - [email protected] – Teléf. r 572-2726 B

C

A

E

I.E.P “ LHANDREVER “ 3RO DE SECUNDARIA c)8u

-

AÑO ESCOLAR

38

1. secantes

d)9u e)10u

GEOMETRÍA

Formado

por

dos

rectas

B

ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA I . ÁNGULO CENTRAL :

D





x°

   2

2. Formado por secante y una tangente

B

En la figura, ∡ AOB : ángulo central se cumple: x ° = θ ° 

En la figura,



∡ APB

ángulo inscrito

P

T P A : ángulo exterior

En la figura,

 x  2 Se cumple:

x°

T

 B

recta

B


A x°

una

A

II . ÁNGULO INSCRITO : P

P

A P B : ángulo exterior

x 

se cumple:

x°

C

A

En la figura,

A

O



x 

Se cumple: 3.

   2

Formado por dos tangentes

III . ÁNGULO SEMINSCRITO :

B



A

 x°

 x°


B

P

En la figura, Se cumple:

A

∡ APB

ángulo seminscrito

 2

x 

x°

1 . Si “O” es centro, calcular “x”. (Ángulo central) 

P

A

Se cumple:

   2

IX . EJEMPLOS : M

B

En la figura,

x 

Además: x° + β° = 180°

IV . ÁNGULO INTERIOR :



A P B : ángulo exterior

En la figura, Se cumple:

P

N

A P B : ángulo interior

x 

   2

V. ÁNGULO EXTERIOR :

RESOLUCIÓN

5 x=50°



-

AÑO ESCOLAR

x=50 °

RESOLUCIÓN

x=( 80 °−30 ° ) /2 x=25 °

AUTOEVALUACIÓN 1 . Calcular “ x ” . a)20° b)40° c)60° d)80° e)100°

7. Si A y B son puntos de tangencia ym ^ =200°, hallar x. APB a)15° b)20° A c)25° d)30° x e)35° P

8 . Calcular x.

B

a)15° b)20° c)25° d)30° e)35°

9 . Hallar y°, si T es punto de tangencia; ^ =70 ° y m ^ m TA AB=120 ° . T

2 . En el gráfico: “O” es centro, calcular “ x ” . a)15° b)20° c)25° d)30° e)35°

A

a)20° b)30° c)40° d)50° e) e)60°

y°

B

10 . Hallar "x°", si "P" es punto de tangencia. a)15° b)20° c)25° d)30° e)35°

A

64°

5 . Calcular “ x ” . a)110° b)120° c)125° d)130° e)135°

x°

O

40°

r

B

1 . De la figura, centro.

calcular “ x ° ”, si “O” es el

a)25° b)30° c)35° d)40° e)45°

B



P 110°

TAREA B

D

P

A

35° O x

4 . Calcular "ɸ" . a)112° b)114° A c)116° d)118° e)120°

6. “x”.

GEOMETRÍA

e)100°

2 . Calcular “x”. (Ángulo exterior)

3 . Calcular “ x ” . a)35° b)45° c)60° P d)70° e)90°

39

C

2 2 . Si “O” es centro, calcular "x" a)15° b)20° c)25° d)30° e)35°

150º x O

Si: m A B = 4 2 ° , hallar el valor de1. 3 . De la figura, calcular “ x ° ”.

a)50° b)55° a)50° A c)60° b)70° 71º d)65° c)80° D e)70° d)90° Jr. AREQUIPA 3898 y Jr. CUSCO 3880 S.M.P - [email protected] – Teléf. C x 572-2726 B


-

AÑO ESCOLAR

7. 4 . Si A y B son puntos de tangencia y m =220°, hallar x. A

a)40° b)42° c)44° d)46° e)48°

^ APB

x

40

GEOMETRÍA

d)30° e)35 5.

Calcular " x ° ". B

a)15°

80°

b)20°

B

c)25°

P

9. 5 . Si "P" y "T" son puntos de tangencia, hallar “x”.

d)30° 35°

e)40°

A

6. 40°

x°

B

b)110° T

REPASO

A

C

d)130° 70°

e)135°

B

d)70°

C

15

d)9u

e)75

D

24

e)10u

 

c)65°

17 A

30°

C

D

8 . Calcular “ x ° ”, si: AC = BC.

´ AD

2 . Si “C” es punto medio de

, calcular “

B

b)20°

BC ”.

c)40°

a)1u

d)50° e)60°

18

14 B

x°

80°

A

a)10°

d)4u A

D

B

b)50° b)7u

x°

c)125°

a)55° a)6u

20°

60°

7 . Calcular “ x ° ”.

c)2u

C

Calcular " x ° ".

a)100°

1 . Del gráfico, calcular “BC”.

b)2u

25°

P

a)120° b)110° c)100° d)90° e)80°

c)8u

x°

D

C

D

A

C

9 . Calcular " x ° ". a)150°

e)5u

x°

75°

B

80°

b)140° 3.

Calcular “ θ ° ”.

c)125°

a)15°

d)115°

b)20°

e)110°

c)25° d)30° e)35

x°

A

4°

° °

°+ 10°

° °

a)15° b)20°

Calcular “ x ° ”. x°

C

10 . Calcular " x ° " en la figura mostrada. a)20° 140°

b)40° 4.

° °

B

c)60°

x°

d)80° 2x° x°+ 30°

e)90° A

 

 C



c)25° 110° 0 0 ° CUSCO 3880 S.M.P - [email protected] – Teléf. Jr. AREQUIPA 3898 y 1 Jr. 572-2726

I.E.P “ LHANDREVER “ - AÑO ESCOLAR 3RO DE SECUNDARIA ´ ´ , hallar: m 11 . Si HM es mediatriz de AC 17 . Hallar ∡ ACB, si: trapecio. B m ∡ MHC = 50°. a)5u a)15° H b)6u b)20° c)7u c)25° d)8u e)9u A C d)30° M e)40° 18 . Calcular 12 . Si

´ BM

es mediana relativa a

´ AC

y

AC = 2BM, hallar: m ∡ ABC. a)60°

d)90°

A

13 . Calcular “ x ”.

C

M

x

15 u 53°

30°

b) c) d) e)

m A

D

11u

“ x ”.

9x 3x

2x

12u

B

b)4u



8u

C



A

x

H

D

6 u

x

21 . En el gráfico, si: PT = 4uy AB = 6u, calcular

45°

30°

“ x ° ”.

(“ T ”: punto de tangencia)

a)30°

T

P

x°

b)37° c)45° d)53°

A

e)30°

x°

B

O

x°

x°

16 . ¿Cuántas diagonales tiene un nonágono convexo? a)15 b)25 c)27 d)35 e)49

m b + 3u

a)2u

e)10u

15 . Calcular: " x ° " en el polígono convexo mostrado. a)150° b)200° c)250° d)300° e)350°

C

a)8u b)10u c)12u d)14u e)16u 20 . Siendo ABCD un romboide, calcular "x".

d)8u

√2 2 √2 3 √2 4 √2 5 √2

b

B

6x

c)6u

14 . Calcular “ x ”. a)

la longitud de la mediana del

19 . El perímetro de un paralelogramo mide 64 u y cada lado mayor excede al menor en 4 u. ¿Cuánto mide el lado mayor?

c)80°

a)6u b)12u c)24u d)36u e)48u

GEOMETRÍA

B

b)70°

e)100°

a)18° b)20° c)22° d)24° e)26°

41

22 . Calcular “ α ° ”, si “ T ” es punto de tangencia. a)16° b)18°

T

c)20° d)22° e)24°

A

2 O

B




I.E.P “ LHANDREVER “ - AÑO ESCOLAR 3RO DE SECUNDARIA 23 . En la figura, calcular “x + y + z”, si: AB = 5u, d)19u e)22u BC = 6u y AC = 7u.

B

a)22u

Q

a)4u b)8u c)12u d)16u e)24u

P

c)20u

z

d)19u e)18u

A

GEOMETRÍA

3 . Calcular "BD", si ABCD es un paralelogramo.

y

b)21u

42

C

R

x

24 . Si "P" y "Q" son puntos de tangencia,

B

C x 8

x + 4

O

D

A

4 . Si ABCD es un romboide, hallar: "x"

calcular " x ° ". a)25°

a)20° b)50° c)75° d)100° e)180°

B

b)30°

70°

c)35°

Q

P

d)45° e)55°

x

4x-20º

A

60º

C

D

5 . Calcular “x”, si ABCD es un romboide.

A

C

a)20° b)40° c)70° d)80° e)150°

25 . En la figura, calcular " x ° ", si " O " es centro de la circunferencia. a)80°

80°

b)90° c)100°

B

O

B

C 2x+ 70º 150º D

A

x°

6 . Hallar el lado del cuadrado ABCD.

d)110°

√2 u b) 2 √ 2 u c) 4 √ 2 u d) 8 √ 2 u e) 16 √ 2 u a)

e)120°

REPASO P 1 . En la siguientes proposiciones, indique la A veracidad o falsedad según corresponda.

B

C 4u

A

D

B

I . En todo paralelogramo los lados opuestos son 7 . Calcular “PA”, si “A” y “B” son puntos de iguales. tangencia. 3+x 5+ II . La recta tangente a una circunferencia es x perpendicular al radio trazado en el punto de a)6 tangencia. b)5 2 c)4 III . En una circunferencia los arcos d)3 comprendidos entre dos cuerdas paralelas son e)2 de igual medida. 8 . Si: AQ=6 u y CT=12 u, calcular "AC". IV . El círculo, es la porción de plano que comprende la circunferencia y su región interior. a)VVFV

a)18u b)20u c)22u d)24u e)26u

b)VVFF

c)VFFV d)VVVV

e)FFVV

2 . Si ABCD es un paralelogramo, AC=8u y BD=12u, calcular: OB+OC. a)8u B b)10u O c)16u

9

Q

A

. Calcular la correspondiente a

T

C R longitud de la flecha ´ si: AB=16 u, R=10 u. AB

B a)5u A b)4u c)3u O R Jr. AREQUIPA 3898 y Jr. CUSCO 3880 S.M.P - [email protected] – Teléf. D A 572-2726 C

I.E.P “ LHANDREVER “ 3RO DE SECUNDARIA d)2u e)1u

-

AÑO ESCOLAR

A

O r

B

11 . Calcular “ x ” . a)20° b)40° c)60°

GEOMETRÍA

d)80° e)100°

10 . Si: AB=7 u y BC=24 u, calcular: r + 5u. a)8u b)9u c)10u d)11u e)12u

43

C

12 . Calcular “ x ” . a)35° b)45° c)60° 35° O P d)70° e)90° 13 . Calcular "ɸ" . a)112° b)114° c)116° A d)118° e)120°

A

x B

B 64°

 D

C


Material 2016 3ro Secundaria (1)

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