Matériaux composites Chapitre 1 : Introd Introduction uction Un matériau composite est composé d’une matrice et d’un renfort. La matrice joue un
rôle de liant, elle lie tous les renforts entre eux et transmet les efforts.
La matrice sert également de protecteur du renfort, elle possède donc de bonnes propriétés mécaniques et chimiques. Les matériaux composites sont classés suivant la nature de leur renfort, il en existe plusieurs sortes : Les particules Les fibres continues ou discontinues Les structures sandwich et stratifiés
En fonction de la densité de renfort, on n’aura pas les mêmes propriétés. Le module d’élasticité va donc dépendre de la loi des mélanges Ec Em .Vm E p .V p
Le facteur C est mis pour composite, m pour matrice, f pour fibre et p pour particule. E est le module d’élasticité et V la fraction volumique. Cette équation représente la limité
supérieure formule E c
du
module. Em .E p
Em .Vp E p .V m
La
limite
inférieure
est
donnée
plutôt
par
la
avec V p 1 V m .
Les cermets sont des matériaux qui combinent de la céramique dure avec des métaux ductiles. Elles ont une très bonne tenue à la température, nécessaire pour les outils de coupe. La fraction volumique des particules de céramique peuvent atteindre 90%, ce qui maximise la résistance { l’abrasion des matériaux. On a une réduction de cout de la matière première, ainsi qu’une bonne tenue en compression.
On peut renforcer par de petites particules allant de 0,01 à 0,1 micromètre. On appelle cela le renfort par dispersion, comparé au durcissement structural des métaux. Le durcissement structural se présente dans les alliages qui subissent un traitement thermique. Pour les composites, le durcissement persiste même après traitement, ce qui n’est pas le cas pour les duralumins.
1
Pour renforcer un matériau, on forme un stratifié, c’est -à-à-dire qu’on empile les couches de fibres dans des directions différentes. Une structure sandwich se représente suivant :
Il s’agit d’un matériau centre léger coincé entre deux faces différentes. On augmente
ainsi la résistance à la flexion et la rigidité du matériau. Les matériaux composites offrent en général une masse plus faible pour une résistance équivalente { l’acier.
La théorie de la résistance des matériaux montre en effet que la rigidité en flexion d’un panneau est proportionnelle au cube de son épaisseur. De ce fait, le rôle d’une âme dans un composite multicouches est d’accroître le module du stratifié en augmentant de manière significative son moment d’inertie .
La figure compare les performances mécaniques en flexion entre un panneau monolithique de référence et deux panneaux sandwichs dont les faces sont réalisées avec le matériau du panneau de référence. Si l’on choisit une âme de très faible densité, l’augmentation de son épaisseur ne pénalise pas le poids du panneau et permet d’augmenter fortement les caractéristiques en flexion.
Pour ce mode de sollicitation, il apparaît que la face supérieure est chargée en compression, la face inférieure en traction, et l’âme en cisaillement. La contrainte est donnée par E . l F On a également la formule E . S
On trouve alors F
E.S l
.l
On appelle le facteur K matériaux différents
K 1 K2
l
E.S
la rigidité de la poutre. On compare la rigidité pour deux
l E1.S1.l 2
E2 .S2 .l 1
Le rapport des masses vaut par contre
m 1 m2
1.S1.l 1 2 .S2 .l 2
2
K1
Le rapport des rigidités devient
K 2
E1.m1. 2 .l 2 2 E2 .m2. 1 .l 12
Si en plus on compare deux matériaux qui ont même encombrement et même masse on a
K1 K2
E1. 2 E2 . 1
E 1 / 1 E 2 / 2
La poutre de plus grande rigidité sera celle qui aura le rapport E / le plus élevé. Ce rapport est appelé le module d’élasticité spécifique.
Si pour cette même poutre sollicitée en traction, on recherche une masse la plus faible, on procède par : F
E.S l
.l S
F
.
l
E l
F .l 2 m .S.l . l E
Pour minimiser la masse, on doit minimiser
E
et donc maximiser
E
, le module
d’élasticité spécifique. On arrive au même ré sultat si on veut minimiser la masse et
augmenter la rigidité. Représentons un diagramme rigidité-masse volumique de différents matériaux :
Chapitre Chapitre 2 : Matériaux composites renf orcés par fibres Soit le schéma suivant :
Suivons la ligne bleue du compos ite. Il y a en premier lieu une droite d’une certaine pente. Puis la pente varie dans une petite zone, avant de diminuer progressivement. 3
On passe sous la courbe de la matrice pour représenter que les fibres n’effectuent plus aucun soutien. Lors du seuil d ’écoulement de la matrice, le maximum de courbe {
gauche, les fibres continuent à encaisser la force, la pente est donc plus faible. Les fibres cèdent au bout de la droite rouge.
Propriétés élastiques Enonçons deux hypothèses :
L’adhésion entre les fibres et la matrice est parfaite. Ce qui en pratique n’est pas
le cas, cela dépend de plusieurs facteurs comme la mouillabilité des fibres sur la matrice. Le comportement de la matrice et des fibres est élastique On va parler de plusieurs propriétés : 1. Le module d’élasticité longitudinal, dans la direction des fibres 2. Le module d’élasticité transversal, dans la direction perpendiculaire des fibres 3. Le coefficient de Poisson. On donne une charge dans la direction longitudinale et on observe la déformation dans la direction transversale 4. Le module de cisaillement.
1. Application d’une charge dans la direction longitudinale : On est dans une hypothèse d’iso -déformation, il y a adhésion parfaite entre la fibre et la matrice c m f . La charge appliquée Fc Fm F f . De plus F .S avec E . et donc F E. .S On obtient donc la formule Ec,l . c .Sc Em. m .Sm E f . f .S f
Le facteur E c,l est le module dans la direction longitudinale. Les déformations sont identiques et peuvent donc se simplifier, pour obtenir : Ec ,l .
l V
.Sc Em .
l
.Sm E f .
l
V V Ec,l .Vc Em .Vm E f .V f
.S f
La fraction volumique du composite vaut 1. De plus, Vm 1 V f Ec,l Em . 1 V f E f .V f
2. Le coefficient coefficient de Poisson : 2 . 1
Où est la déformation dans la direction transversale, dans la direction longitudinale et le coefficient de Poisson. y m .1,m . ym f .1, f . y f 2
1
Avec y négatif puisque la longueur transversale diminue quand on tire, et ym la longueur de la matrice. On sait que la déformation est le quotient d’une variation de longueur par
la longueur, donc :
y y
2,c m .1, m .Vm f .1, f .V f
2,c m .Vm f .V f . 1 LT m . 1 Vf f .V f
4
Où LT est le coefficient de Poisson dans la direction longitudinale en mesurant la déformation dans la direction transversale. F f Fm
f .S f m .S m
E f . f .S f E m . m .S m
E f .V f Em .V m
3. On applique une contrainte contrainte dans la direction direction transversale transversale : Cette fois, on n’a plus une iso -déformation -déformation mais une iso-contrainte c m f Les déformations s’additionnent c m .Vm f .V f
Et on sait que
1 EcT
1 Vf Em
E
. Donc
c EcT
m Em
.Vm
f E f
.V f
V f E f
Il y a un lien entre la direction longitudinale et transversale
LT
E L
TL
E T
Dans la direction longitudinale, le coefficient de Poisson sera toujours plus élevé que dans la direction transversale. 4. Le module module de cisaillement On a un iso-cisaillement dans les différents éléments c m f Les angles de déformations valent f
f
G f
et m
m
Gm
où G est le module de cisaillement.
Les angles de déformation s’additionnent c f .V f m .V m c
Gc
f
Gf
1 Gc
.V f V f Gf
m
Gm
.V m
V m Gm
Propriétés du comportement à la rupture
Les deux points 1 et 2 représentent deux points maximum de la courbe composite. L’étoile * signifie qu’il s’agit d’une rupture. Les // signifient qu’on observe la direction
longitudinale. 5
// 2 * V m . m* //1 * V f . f * V m . m '
La seconde formule représente la partie de résistance reprise par la matrice et par les fibres.
Il faut une fraction minimale de fibre pour renforcer le matériau.
Longueur critique d’une fibre Soit une fibre dans une matrice
On applique une contrainte qui va créer une contrainte de cisaillement sur la fibre.
La contrainte est plus grande en se rapprochant du centre de la fibre. La matrice sert de liant et transmet les efforts à la fibre. F .d . x. c On a F qui est la force axiale transmise { une fibre sur l’élément x . De plus .d est le périmètre et c est la valeur minimale entre la résistance de la liaison fibre-matrice et la limite d’élasticité de la matrice en cisaillement. En intégrant on obtient : : x
F x .d .c . x .d .c . x 0
On détermine la longueur à laquelle la fibre va se rompre F rupt
.d 2 4
. f *
On trouve alors la longueur critique de fibre en égalant Fx F rupt Ce qui amène à .d . c .x Dès lors xrupt
d 4 c
. f *
.d 2 4
. f *
6
Ajoutons que x est la distance du milieu { l’ extrémité de la fibre dans les deux sens. La longueur totale critique de la fibre vaudra Lc 2.xrupt
d 2 c
. f *
On va considérer que les fibres sont longues si leur longueur dépasse 15 fois la longueur critique L 15.Lc
La moyenne du cas l Lc est la plus grande. On voit dans le dernier cas, que la fibre ne supportera pas sa contrainte maximale. Dans le premier cas elle l’a supporte mais qu’au
centre. Dans le second cas, la fibre va résister sur toute une longueur autour autour du centre. Les propriétés mécaniques des fibres courtes sont plus faibles que celles des fibres longues. On parle de fibres longues mais en réalité se sont des fibres moyennes puisque les fibres ne sont longues que lorsque la longueur dépasse 15 fois la longueur critique. Si les fibres longues ne sont pas orientées on aura Ec,l Em . 1 V f K.E f .V f où K est le coefficient d’efficacité des fibres allant de 0,1 { 0,6. 3
Si les fibres courtes ne sont pas orientées on aura Ec E c ,l 8
Exercice On fabrique un composite à fibres continues et alignées fait de 30% vol de fibres d’aramide et de 70 % vol de polycarbonate pour la matrice. Les modules d’élasticité des fibres et de la matrice sont respectivement de 131 et 2, 4 GPa. Leurs résistances en traction sont de 3600 et 65 MPa. Au moment de la rupture des fibres, la matrice reprend une contrainte de 42 MPa. Le composite a une section transversale de 320 mm² et est soumis à une charge longitudinale de 44500 N. a) Calculez le rapport entre la charge supportée par les fibres et celle que supporte la matrice. b) Calculez les charges réelles appliquées aux fibres et à la matrice. c) Calculez la contrainte supportée par les fibres et celle que supporte la matrice. d) Evaluez la déformation du composite. e) Calculez les modules longitudinal et transversal du composite. f) Evaluez la résistance à la traction du composite. Résolution : 7
a)
F f Fm
E f .V f Em .V m
b) les charges réelles ne sont pas F f E f .V f mais Fc Ff F m c) La contrainte supportée par la matrice est m fibre f
F m S m
et celle supportée par la
F f S f
d) On a des hypothèses d’iso -déformations c
c
E cL
Or, on n’a ni la contrainte ni le module mais on sait que c
e) EcL Em . 1 V f E f .V f et
1
EcT
1 Vf Em
c EcL
m Em
f E f
V f E f
f) c* V f . f * 1 V f . m '
Chapitre 3 : Matrice Rôles et propriétés recherchées Les rôles de la matrice sont nombreux : Elle sert de liant, lie les fibres ensemble
Elle protège le renfort des UV, solvants…
Elle transmet les efforts au renfort
On recherche différentes propriétés pour les résines. Précisons que la matrice est comparée { de la résine pour de nombreux composites. Mais il s’agit d’un abus d e langage, en effet, la matrice peut être le béton et le renfort les barres d’acier qui le
compose. Ces différentes propriétés recherchées sont : Une bonne compatibilité avec les fibres. Elle est déterminée par la mouillabilité et la viscosité de la résine Une mauvaise réaction chimique avec le renfort, ce qui pourrait le dégrader dans le cas contraire Une bonne tenue thermique Une bonne résistance { l’hydrolyse, les solvants…c’est -à-dire une bonne tenue chimique
Il existe deux types de matrice, les matrices thermoplastiques et les matrices thermodurcissables.
Matrices thermodurcissables Ces matrices ont un grand nombre de réticulations et sont les plus utilisées. On y retrouve : 8
Les polyesters insaturés, utilisés pour leur rapport qualité/prix et leur facilité de mise en œuvre
Les matrices époxydes pour leur bonne propriété mécanique
Les vinylesters, semblables aux polyesters pour la mise en œuvre et semblables
aux époxydes pour leur bonne propriété mécanique Les résines phénoliques utilisées dans les transports en commun et les applications où les risques d’incendie sont élevés.
Matrices thermoplastiques
Les polypropylènes polypropylènes Les polyoxyméthylènes polyoxyméthylènes Les polymères à haute performance qui résistent au changement de température
Les résines polyesters insaturés Il s’agit des polymères les plus utilisés parce que la résine est facilement mise en œuvre et élaborée. La performance n’est pas exceptionnelle mais elle est acceptable. Ces résines
ne résistent pas bien à certains solvants. Ce sont des esters où il reste des liaisons doubles. On fait réagir un alcool avec un acide par polycondensation. Un des acides qui est utilisé doit contenir des liaisons doubles. On mélange les composants dans une cuve chauffée à 80°C pour activer la poly estérification, fortement exothermique. La température s’élève { 150°C { l’intérieur et on laisse la réaction se finir. Cette réaction est réversible. HO R COOH COOH HO R ' COOH COOH HO R COO COO R ' COOH COOH H 2O Pour avoir un polymère de longueur suffisante, la molécule d’eau doit être évacuée tout
au long de la réaction et elle est souvent éliminée par distillation. On a une masse molaire moyenne en fonction de la qualité et des propriétés voulues. Pour arrêter la réaction on arrête de chauffer. Vers 60-70°C on rajoute un inhibiteur, molécule avec laquelle le polymère r éagit en priorité. Tant qu’il y en a, l’acide et l’alcool ne réagissent pas ensemble, on termine la réaction définitivement. On ajoute ensuite un diluant pour éviter que la résine ne devienne solide. On obtient un liquide { température ambiante. Il n’est pas choisi au hasard, c’est un monomère qui
réagira avec les chaines de molécules créées et va jouer un rôle pour les propriétés finales de la matrice. On obtient un matériau composé de polymère insaturé, d’inhibiteur et de diluant. Il faut ensuite procéder { l’étape de transformation. Le pré -polymère va être transformé avec le monomère. On ajoute un activateur et catalyseur. L’activateur utilisé est généralement du peroxyde, il va lancer la réaction avec l’inhibiteur qu’il élimine. Il favorise l’élimination des doubles liaisons. Le catalyseur accélère la polymérisation, en général il s’agit d’une élévation de température. Le délai dépendra de la quantité d’inhibiteur
initialement dans le mélange.
9
En 1, l’inhibiteur est présent. En 2, l’inhibiteur a disparu et la réaction commence. La courbe verte correspond { l’ajout d’activateur. En 3, on est au temps de travail de l’activateur qui active la réaction après un certain temps de manière lente. Ce temps de travail est plus court lors de l’ajout d’un catalyseur . La courbe bleue est celle de la
réaction avec présence de catalyseur. En fonction des acides et glycols choisis, du monomère ajouté, de la quantité d’ inhibiteur
et de catalyseur ajoutée, on va avoir une grande variété de polyesters insaturés. Lors du refroidissement de la matrice, celle-ci subira un retrait de 8%, ce qui est important. On ajoute des molécules d’anti -retrait pour obtenir des résines low shrink (faible retrait).
Les résines époxydes Ces résines sont meilleures que les résines polyesters. Elles ont un faible retrait lors de la mise en œuvre et présentent une forte adhésion entre les fibres et la matrice. Elles ont de meilleures propriétés mécaniques et chimiques. Le prix de leur mise en œuvre est par
contre plus cher. Il existe deux techniqu es de mise en œuvre. Par présence de pré -imprégné, tissus dans lequel on vient placer la résine. Il en existe deux classes, une à 120°C de cycle de cuisson et l’autre { 180°C. La première classe peut s’utiliser jusqu’{ 100°C maximum tandis que
la seconde jusque 180°C. On utilise aussi une technique de procédés humides comme pour la fabrication de la résine époxyde de bisphénol A. Ses propriétés globales sont correctes. Généralement on couple cette résine à du bisphénol F pour augmenter les propriétés mécaniques.
Les résines vinylesters Ce sont des acides mono carboxyliques à terminaison insaturée qui réagissent avec des monomères ou oligomères époxydes. Un oligomère est un polymère mais plus court.
Les résines phénoliques Cette résine est utilisée principalement pour sa bonne résistance au feu. Elle est obtenue par polycondensation d’un phénol (alcool) et d’un formol. Ces résines ne dégagent pas de fumée toxique lors d’une combustion.
Comparaison Par rapport aux matrices thermodurcissables, les matrices thermoplastiques ont des propriétés mécaniques moindres mais une bonne durée de conservation. Les cycles de transformation sont plus courts, la production est plus rapide. Elles ont une bonne tenue aux chocs et à la fatigue. Il y a possibilité de réparer la résine en cas de trous et une plus grande possibilité de recyclage. Ajoutons que les résines thermoplastiques se classent en trois catégories : Les polymères de grande diffusion (polypropylène) Les polymères techniques, tenue thermomécanique meilleure (90-120°C) comme les polyesters saturés, polycarbonates, polyamides (nylon 66) Les polymères haute performance performance (tenue jusque 140-150°C)
10
Chapitre 4 : Fibres Les fibres apportent la résistance mécanique à la structure. On recherche des fibres qui ont une bonne acc roche avec la matrice. La mise en œuvre d’une fibre est simple. Il y a différents types de renforts :
Les mats de fils discontinus présentent une faible déformabilité, alors que ceux à fils continus permettent d'obtenir des emboutis profonds avec un allongement régulier du mat dans toutes les directions. Les fibres linéiques : fibres parallèles, torsadés, câblés avec fil au centre autour duquel viennent se torsader les fibres. Les fibres surfaciques : fibres 2D, tissus et mats, 3D, tresses de forme tubulaire
comme pour les pagayes d’aviron.
Elaboration de la fibre de verre
Les matières premières sont choisies, dosées et mélangées avant d’être introduites dans le four. L’ajout d’oxydes { la silice permet de diminuer le point de fusion de la silice pure
mais également de contrôler la viscosité du liquide, qui a un rôle dans le diamètre final de la fibre. Au départ, le verre est fondu et dégazé à environ 1370°C. Ensuite, le verre fondu est maintenu dans des bacs réalisés en alliage réfractaire platine-rhodium (plaques du fond percée d’orifices de 2 mm de diamètre et chauffée électriquement) {
environ 1250°C. La viscosité du verre permet un écoulement par gravitation à travers 11
les orifices de la filière, ce qui donne des fibres de quelques dixièmes de millim ètres. A la sortie de la filière le verre est étiré à grande vitesse et refroidi. Les conditions de refroidissement et de vitesse d'étirage permettent de déterminer le diamètre des fibres et leur longueur. Les fils sont assemblés parallèlement parallèlement sans torsion, sous forme de fils de base dénommés silionnes, puis enroulés sur une bobine pour constituer un enroulement final qu’on appelle le gâteau. Les filaments tels quels ne peuvent pas être utilisés parce qu’il y a absence de cohésion entre les filaments, sensibilité du verre à l'abrasion (détérioration lors de manipulations), sensibilité { l'attaque de l'eau…
A la sortie de la filière, il y a donc un processus d'ensimage. Ce qui permet d’établir une certaine cohésion entre les filaments, donner une certaine raideur aux fils (selon l'utilisation), protéger les filaments contre l'abrasion, éviter l'apparition de charges électrostatiques, faciliter l'imprégnation des fibres par la résine et favoriser la liaison verre-résine.
Elaboration des fibres de carbone La fibre de carbone a des propriétés mécaniques élevées. Elles sont conçues sous base de graphite, qui a de bonnes propriétés dans la direction parallèle à la direction des fibres.
Les fibres de carbone sont élaborées à partir de polyacrylonitrile (PAN), polymère de base appelé précurseur. La qualité des fibres de carbone finales dépend des qualités du précurseur. Il y a décomposition thermique des fibres acryliques, sans fusion, pour aboutir à la graphitisation dans laquelle on retrouve la structure initiale des fibres. Les procédés utilisent des mèches de filaments acryliques assemblés sans torsion et leur font subir 4 traitements successifs : oxydation, carbonisation, graphitisation et traitement de surface L'oxydation : les fibres d'acryliques sont fusibles, l'oxydation va artificiellement supprimer le point de fusion, ce qui donne la stabilisation des fibres. Pour cela, les fibres sont maintenues à 200-300°C en atmosphère oxygénée. On a alors réticulation des chaînes moléculaires et création d'un réseau tridimensionnel (2 molécules de PAN créent des liaisons oxygène entre leurs), les fibres sont mises
12
sous tension afin d’avoir une orientation des chaînes réticulées dans le sens de l’axe de la fibre .
La carbonisation : Chauffage progressif des fibres, toujours sous traction, jusqu’environ 1100°C (entre 1000 et 1500°C) en atmosphère inerte, ce qui
entraîne l'élimination de l'eau et de l'acide cyanhydrique (élimination de O, H, N) et seuls les carbones sont conservés dans la chaîne. On a une perte d’environ 50% de son poids, il reste environ 95% de carbone. Le diamètre des fibres est d’environ 8µm. Après cette étape, les fibres peuvent être traitées en surface puis
utilisées car elles présentent déjà de bonnes propriétés mécaniques (fibres haute résistance (HR) ou haute ténacité(HT)). La résistance varie entre 3450 et 6200 MPa et la rigidité de 290 à 297 GPa. Cependant la graphitisation va donner des fibres à module de Young élevé, mais à contrainte à la rupture plus faible. La graphitisation : Pyrolyse des fibres, toujours sous tension, dans une atmosphère inerte à des températures supérieures à 2600°C. On a une réorientation des réseaux hexagonaux dans le sens de l'axe des fibres, ce qui permet d'augmenter le module de Young. Mais des défauts se créent également ce qui fait diminuer la contrainte à la rupture (résistance 3450 à 5520 MPa et rigidité 345 à 448 GPa). Suivant le taux de graphitisation, on a des fibres à haut module (HM) ou à très haut module (THM). Le traitement de surface : Oxydation ménagée en milieu acide (nitrique ou sulfurique) ce qui permet d'accroître la rugosité des filaments et ainsi d'améliorer la liaison fibre-résine.
Il existe une autre méthode à partir de brai, résidu de raffinerie issu du pétrole ou de la houille, qui permet d'obtenir des fibres à moindre coût grâce à la matière première bon marché et au rendement massique plus important que dans le cas du procédé PAN (80% de rendement au lieu de 50%). Le brai est chauffé à 350°C-450°C (intermédiaire entre liquide et cristal) puis filé, oxydécarbonisé et on y applique une pyrolyse pour obtenir des fibres à haut module. On utilise les fibres de carbone pour des applications de haute technologie. Citons par exemple son utilisation dans les domaines domaines aéronautiques, pour pour le matériel de sport de haut niveau et pour des applications industrielles (automobiles, construction civile…)
Les fibres aramides et l’élaboration du Kevlar Le Kevlar fait partie des fibres aramides, il renforce le matériau composite. A titre d’information, voici la réactio n chimique qui se produit :
Comme pour l’élaboration de la fibre de verre, on fait passer le mélange liquide par une
filière pour tresser la fibre. Dans le bain, il y a déjà des petits morceaux qui vont renforcer le matériau. 13
Les fibres aramides ont une bonne absorption aux chocs mais une moins bonne résistance thermique. Pour combiner les propriétés, on utilise du carbone et du Kevlar. On ne crée pas un tissu qui contient les deux fibres mais bien une alternance de tout un tissu pour améliorer les propriétés.
Les fibres de Bore Ce sont des filaments de tungstène sur lesquels on dépose du bore dans un milieu de phase vapeur avec des agents chimiques. Les fibres borsic vont améliorer les propriétés mécaniques et thermiques. Elles résistent à 900°C pendant quelques heures sans détérioration.
Chapitre Chapitre 5 : Matériaux sandwichs Un matériau sandwich est composé d’une partie centrale et de deux surfaces.
Les matériaux sandwichs apportent une résistance à la flexion et une grande rigidité. Le matériau central est léger et résistant en compression. Parmi les âmes les plus utilisées, citons celles en nid d’abeilles, en mousse, et en bois de balsa. Une mousse peut être de nature organique, métallique ou céramique. Les propriétés les plus intéressantes offertes par les mousses sont les suivantes :
L’allègement
Les mousses organiques peuvent atteindre des densités proches du kg/m³ Elles permettent donc une diminution du poids d’une structure, tout en assurant la
conservation des propriétés mécaniques de celle-ci. L’isolation thermique Celle-ci est améliorée par la présence des pores, idéalement fermés, nombreux, et de taille réduite. Ils assurent une discontinuité au sein de la structure. Ainsi, la conductivité thermique valant 0,135 W/m.K pour le bois passe à 0,037 pour du polystyrène expansé.
14
L’isolation phonique Elle est augmentée { l’aide des tortuosités et cheminements introduits par les pores, de
préférence ouverts. Une autre famille d’âmes regroupe des matériaux constitués de ce llules généralement hexagonales, régulièrement espacées et faisant penser { un rayon de ruche, d’où l’appellation de « nids d’abeille » ou encore « nida » en abrégé. Les peaux utilisées en association avec les âmes nids d’abeille sont généralement en
composite. Toutefois, tout type de matériau en feuille peut aussi être utilisé sous s ous réserve de présenter des propriétés satisfaisantes (bois, thermoplastiques, métaux). Les cellules d’un nid d’abeille peuvent également être remplies de mousse rigide, de manière { augmenter la surface de coll age des peaux, les propriétés mécaniques de l’âme en stabilisant les parois des cellules, c ellules, et les propriétés d’isolation acoustique et thermique. Les âmes en nids d’abeille peuve nt conduire à la fabrication de stratifiés sandwichs
rigides et très légers, mais du fait de leur surface de collage très limitée avec les peaux, elles sont presque exclusivement associées à des systèmes de résine à hautes performances du type époxy, qui permettent d’atteindre le niveau d’adhésion désiré
avec les peaux stratifiées. Le bois peut être assimilé { un « nid d’abeille naturel », dans la mesure où sa structure, { l’échelle microscopique, est similaire { celle d’un nid d’abeille synthétique { structure
cellulaire hexagonale. Le bois le plus utilisé comme matériau d’âme est le balsa. Les propriétés du balsa sont
donc très élevées dans la direction axiale, et moindre dans les autres. Le balsa est sensible { l’humidité et ses propriétés décroissent rapidement avec le pourcentage d’eau contenu dans sa structure. L’un des inconvénients du balsa est sa densité minimale relativement élevée (de l’ordre
de 100 kg/m3).
Fabrication de la structure en nid d’abeille Les nids d’abeille ({ base de papier, métal ou tissu) sont fabriqués en plusieurs étapes, soit par expansion, soit par pré-ondulation. La méthode d’expansion d’expansion
Elle est utilisée indifféremment pour fabriquer des nids d’abeille métalliques ou no n métalliques. Elle consiste à imprimer, avec de fines bandes d’adhésif parallèles et positionnées de manière alternative, de grands feuillets minces du matériau constitutif. Ceux-ci sont ensuite empilés sous une presse à chaud de manière à former un bloc.
Dans le cas des nids d’abeille métalliques, l’empilement de feuillets est alors découpé en tranches dans le sens de l’épaisseur . Celles-ci sont ensuite étirées de
manière à former une feuille continue de cellules de géométrie hexagonale. 15
Dans le cas des nids d’abeille en papier ou tissu, l’empilement des feuilles est d’abord étiré de manière { former un large bloc en nid d’abeille de plusieurs dizaines de centimètres d’épaisseur. Maintenu dans cet état étiré, ce fragile bloc de nid d’abeille est alors trempé dans un bassin de résine, séché et polymérisé
dans une étuve. Une fois la résine ainsi imprégnée, polymérisée, le bloc a une résistance et une rigidité suffisantes pour être découpé en tranches { l’épaisseur voulue. La méthode de pré-ondulation
Elle est utilisée pour fabriquer des âmes à haute densité, tenue thermique élevée, ou lorsque des feuillets de base sont relativement épais. Elle consiste à pré-déformer les feuillets à la géométrie désirée, à empiler les feuillets déformés, et à avoir une polymérisation de la colle du bloc obtenu à température élevée . Des tranches sont ensuite découpées à partir du bloc pré- ondulé { l’épai sseur souhaitée. Dans le cas de certains métaux à haute tenue thermique, le collage est remplacé par une soudure ou une brasure.
Chapitre 6 : Mise en œuvre des matériaux composites Moulage au contact
Il s’agit d’un procédé simple ne nécessitant pas d’outillage particulier. On travaille sur un
moule positif ou négatif. Le travail se fait au pinceau, au rouleau ou { la spatule pour faire ‘remonter’ la résine dans le renfort. On passe éventuellement, passage avec un rouleau ébulleur sur le stratifié afin d’éliminer toutes les bulles d’air emprisonnées dans le renfort . Avantages Simple et peu coûteux car peu d’investissement pour la mise en œuvre
Très grande variété de pièces réalisables, même des structures sandwich 16
Inconvénients
Procédé manuel donc totalement dépendant du savoir- faire de l’opérateur . Pièces de qualité variable. La méthode basique expliquée peut être améliorée par une mise sous vide qui permet un compactage, un débullage et une élimination du surplus de résine.
Moulage par projection de fibres
Par cette technique, on ne peut pas fabriquer des tissus longs, uniquement des fibres courtes. Les fibres sont projetées sur la surface ce qui présente l’inconvénient qu’un seul coté n’est enduit.
Moulage au sac
Cette technique de moulage est fortement appréciée pour la réalisation des matériaux composites haute performance car elle procure plusieurs avantages : Application de la pression sur le stratifié de manière uniforme Permet d’enlever le surplus de résine du renfort Permet le dégazage de l’empilement Avantages
Stratifiés de qualité répétitive Compactage idéal et uniforme des empilements Propreté des surfaces après arrachage des tissus de protection
Possibilité de réaliser n’importe quelle pièce y compris des structures creuses Inconvénients
Coût élevé de tous les produits utilisés. 17
Moulage en autoclave
L’autoclave est une cuve mise en pression et chauffée , destinée à la phase de
durcissement optimale des composites hautes performances. Les qualités de composite obtenues sont largement supérieures à celles obtenues par les autres méthodes. Comme on le voit sur le second schéma, il y a différentes couches qui composent le système. Pour éviter un choc thermique entre les couches, on ne monte pas en température d’un seul coup, mais de manière progressive.
Moulage par infusion
La résine vient imprégner les tissus et vient remplacer l’air pompé de l’autre coté du
moule. Il faut donc dès le début positionner les fibres correctement dans le moule. Il y a plusieurs points d’injection et d’aspiration. Avantages
Procédé répétitif avec respect des épaisseurs Grand rapport entre le renfort et la résine (jusqu’{ 80%) Toutes les résines sont utilisables mais idéalement on utilise de l’époxy Bonne cadence de production Possibilité d’augmenter le compactage par mise en pression (dans un autoclave)
Inconvénients L’étanchéité doit être conservée jusqu’au durcissement de la résine Nécessité d’obtenir un niveau de vide important pour obtenir un résultat optimal
(quelques millibars)
18
Moulage par injection (RTM)
On injecte de la résine sous pression. Le RTM est un procédé par lequel la résine (matrice) est transférée dans un renforcement sec au moyen de forces indépendantes de l’opérateur.
Avantages
Procédé répétitif
Permet d’obtenir une finition sur les deux faces et un bon respect des épaisseurs
Le rapport entre le renfort et la résine est en constante amélioration grâce au développement développement de renforts spécifiques
Inconvénients
Les moules étant mis en pression, ils doivent être de construction robuste
Les pompes de mélanges n’apprécient pas les petites quantités { injecter
Enroulement filamentaire
Une ou plusieurs mèches de fibre sont imprégnées de résine puis enroulées sur un mandrin entraîné par une machine machine tournante. La fibre est mise sous sous tension par un un système mécanique. L’excédent de résine est éliminé par des rouleaux rouleaux de compression. Avantages
Le procédé est mécanique donc très grande régularité dans le placement de la fibre Dosage assez précis de la résine Possibilité de renforcer des zones ou des axes de la pièce en fonction des contraintes Possibilité de faire varier le taux de renforcement en modifiant la tension de la fibre et le raclage de la résine Accepte pratiquement toutes les résines et toutes les fibres Possibilité d’enrouler des pré-imprégnés 19
Inconvénients
Création uniquement de formes de révolution
Pultrusion
Des fibres ou des tissus imprégnés de résine résine sont tirés à travers une série de de filières en acier durci. La dernière filière est chauffée pour réticuler la résine ce qui produit une section composite rigide. La forme du profilé est déterminée par la section de la filière. Il est possible de produire des sections circulaires pleines ou creuses, rectangulaires, carrées, ou des profilés divers et des sections en I. La vitesse de passage à travers la filière est déterminée par la viscosité, l’épaisseur et le temps de réticulation de la résine.
Après être passé dans le système de traction, le profilé produit est soit découpé à la longueur requise, soit enroulé sur un mandrin. Avantages
Permet la fabrication de profils linéaires à une vitesse assez importante Tous les matériaux sont utilisables
Inconvénients
Coût des outillages et des machines
Placement manuel N’oublions pas que hormis toutes ces tec hniques, le procédé de placement manuel est
également utilisé. On coupe les coins de tissus pour que les fibres se placent correctement et on enduit de résine.
20
Chapitre 7 : Propriétés des stratifiés Propriétés du pli Un pli représente l’ensemble du renfort et de la matrice. On distinguera deux types de
matériaux. Matériau isotrope
Il a les mêmes propriétés dans toutes les directions.
La zone 1 correspond au matériau initial et la zone 2 au matériau après avoir subi une c ontrainte qui s’applique déformation. Ainsi la déform ation selon x va être fonction de la contrainte selon x mais également du coefficient de Poisson puisque quand on tire selon y, la section en x diminue : x
x
E
.
y
E
De même que : y
y
E
Il intervient également du cisaillement xy
.
x
E
xy
G
x 1 / E / E 0 x 0 . y En forme matricielle on aurait y / E 1 / E xy 0 0 1 / G xy Dans cette matrice on a deux constantes qui sont et E. De plus, on connait également G puisqu’une relation les lie G
E 2.1
Matériau anisotrope Le module de Young E n’est pas le même dans toutes les directions.
Il intervient un nouveau paramètre, yx et xy . Définissons que yx est le coefficient de Poisson dans la direction y, lors d’un chargement dans la direction x.
21
On aura : x y
x E x
yx .
y E y
xy
xy .
y E y x E x
xy G xy
x 1 / E x La forme matricielle est de type y xy / Ex xy 0
yx / E y 1 / E y 0
Cette fois on a 4 constantes E x , E y , Gxy , xy avec xy yx .
x 0 . y 1 / G xy xy 0
E x E y
Les composites seront classés chez les anisotropes sauf le mat qu’on considèrera comme
isotrope. Pour un matériau unidirectionnel
Reprenons les quelques formules que nous avons vu pour le composite, dans les pages précédentes. La formule du module longitudinal Ec,l Em . 1 V f E f .V f en page 4. La formule du module transversal
1 EcT
1 Vf Em
V f E f
en page 5.
La formule du coefficient de Poisson LT m . 1 Vf f .V f en page 5. La formule du cisaillement
1 G LT
Vf Gf
1 V f Gm
en page 5.
Pli tissé Soit un pli, on définira :
L’épaisseur e du pli Le nombre de fils n1 de chaine par mètre
Le nombre de fils n de trame par mètre
Le facteur k
2
n1 n1 n2
donnant le rapport de fils de chaine dans le composite
Sur un pli où les fibres sont disposées en quadrillage, la trame sera le fil horizontal et la chaine le fil vertical. L’épaisseur et les contraintes sont données par :
echaine e.
etrame e.
n1 n1 n2 n2
n1 n2
k.e 1 k .e
E x k.El 1 k .E t
E y 1 k .El k.E t
22
G xy Glt
xy
lt
E l k 1 k . E t
Il y a une différence entre un renfort tissé et deux unidirectionnels qu’on superposerait superposerait à
0° et 90°. Du point de vue de la raideur, le pli tissé sera moins bon. La courbure des fibres dans le tissage sera moins bonne. Pour la résistance en rupture à la traction, le pli tissé est meilleur. Pour la compression, ce sont les deux unidimensionnels qui sont meilleurs.
Orientation des plis Un stratifié est un matériau formé de plusieurs couches ou plis, soit des nappes unidirectionnelles de tissus ou mats avec une orientation différente pour chaque nappe. Observons quelques cas d’orientation des fibres avec une sollicitation imposée, et
voyons si la structure va bien résister ou non.
Ajoutons que si les fibres sont horizontales dans un cas de cisaillement, on est dans une situation mauvaise puisque la résine est cisaillée avec une faible résistance à la rupture. Pour le cas 1, la fibre est comprimée par sur la longueur et en traction sur la largeur par . Or, une fibre ne résiste pas à une traction perpendiculaire à son axe. Dans le second cas, on a une traction dans l’axe de la fibre, ce qui est bon, mai s une compression 1
2
dans la largeur, la fibre n’y résiste pas tellement. L’idée du stratifié est de combiner les différents cas pour former un matériau résistant.
En superposant deux fibres à +45° et -45° on obtient un matériau très bon pour la contrainte de cisaillement.
Stratifié Avant tout, établissons une règle de représentation. Les fibres seront orientées en fonction de leur angle d’orientation suivant : :
Les fibres orientées { 0° et 90° reprendront l’effort de traction et de compression. Les
fibres à +45° et -45° reprendront le cisaillement.
23
Exemple
Prenons 10 couches de plis qui forment le stratifié. N° du pli
Orientation
Notation conventionnelle
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
90° 0° 0° -45° +45° +45° -45° 0° 0° 90°
45S 90 / 0 2 / 45 / 45
Symbole
La ligne noire représente un plan de symétrie. On voit que ce plan est effectivement symétrique puisque les orientations sont les mêmes de part et d’autre de ce plan. Ensuite on ne reprend qu’une partie déterminée par le plan et on note l’ordre dans la notation conventionnelle. On note dans l’ordre les orientations 90°, 0° et puis 45°. On
sépare les orientations par des « / », on note en indice le nombre de plis les mêmes, ici 2 à 0° et puis on note un S après les crochets pour indiquer la symétrie. Le symbole se représente par un cercle au centre qui contient le nombre de plis qui compose le stratifié. On y voit également le nombre de plis dans les différentes directions. Pour remplir le symbole on regarde l’ entièreté des orientations, donc ici on a bien 4 plis dans la direction 0°. On y indique également le pourcentage dans les directions. Ici 4 plis sur 10 dans la direction 0°, qui font 40%. Autre exemple
N° du pli
Orientation
Notation conventionnelle
7 6 5 4 3 2 1
0° +45° -45° 90° -45° +45° 0°
90 / 0 / 45 / 45 S
Symbole
Cette fois, l’axe de symétrie ne passe pas entre deux plans. En effet, si on veut couper la
colonne orientation en deux parties symétriques, on passe par le milieu du pli N°4. Quand on passe au milieu d’un plan on le signale dans la notation conventionnelle par une barre au dessus de l’orientation concernée, ici 90°.
Efforts dans le stratifié On parle de flux d’effort puisque l’épaisseur du s tratifié est la même partout.
24
Rupture
Dans la fibre on a la condition rupture dans le sens perpendiculaire à la fibre. Pour caractériser la rupture et pouvoir la calculer, il faut appliquer le critère de TsaiHill : 2 2 2 . 2 L* t* L *2 t Lt* L L t Lt Si on a 1il n’y a pas de rupture, par contre si on a 1il y a rupture. Le critère doit être appliqué sur chaque pli. On observera la rupture d’un pli alors qu’un autre dans une
autre direction ne va pas céder.
Ce n’est pas parce qu’un pli casse que le composite n’est plus utilisable.
Exercice 1 Déterminons les étapes { suivre lorsqu’on donne un exercice du genre :
Dans les tables on trouve la planche 14 en page 5 qui traite du verre/époxyde. verre/époxyde.
25
On regarde nos données et on repère dans la table 30% de plis à 45°, 10% à 90° et 60% à 0°. On arrive à trois caractéristiques : Le coefficient de dilatation x 0,64.105 xy 0,34
Le module de Young longitudinal E x 33100MP MPa a Par la planche 15 on peut également trouver le module de cisaillement en croisant les données :
Ici G x 6980MPa Pour trouver E y sous base de E x il suffit d’inverser les pourcent ages ages des plis à 0° et à 90°. On reprend donc la même planche 14 en observant la valeur pour 10% de plis à 0° et 60% à 90° pour trouver E y 17190MP MPa a et yx 0,17
Exercice 2 Prenons maintenant :
Avant tout, on transforme le nombre de plis en pourcentages :
Ensuite on regarde dans les deux tables planches 14 et 15 pour trouver : E x 24150 xy 0, 33 Gxy 8630 E y 21100
yx 0, 29
Exercice 3 A quelle contrainte maximale peut-on soumettre une fibre de carbone/époxyde à 60% de volume de fibre présentant les orientations de plis suivantes :
26
Il s’agit simplement de pouvoir prendre la bonne table. Pour cet exercice, on n’est plus en planche 14 étant donné qu’il s’agit de carbone. On doit donner la caractéristique de
traction dans le sens de la fibre. On prend donc la première table en page 2 :
On trouve une valeur maximale en traction de 632 MP MPa a.
Exercice 4 On demande la compression maximale en direction y de la configuration suivante :
On est dans le cas d’un autre type de problème. En effet, les tables ne nous donnent que des valeurs rondes. On n’y trouvera que 10 ou 20% et pas 13%. Egalement 60 ou 70%
mais pas 67%. Il faut donc interpoler entre ces valeurs et appliquer une formule qui va corriger l’écart avec la réalité. On va test er deux configurations et le résultat devra donc être le même pour les deux méthodes.
Prenons la première configuration qui s’approche de notre cas :
Il faut trouver la compression maximale selon la direction y. La planche 2 en page 2 nous donne une table reprenant des valeurs pour la direction y.
27
Pour notre configuration 60/10/15/15 on trouve une compression de max 744 MP MPa a. . p0 . p90 On applique la formule y max . De plus, p0 p90 max
Où
p0
est l’écart entre les valeurs de contrainte avant et après notre valeur initiale de
13%, et p0 l’écart entre les pourcentages selon le pli { 0°, 10% au lieu de 13%. De même pour les plis à 90°. 747 744 846 744 .3 .7 72 MP Au final on aura : MPa a
10 10 En effet, pour le premier terme on regarde l’écart horizontal entre 10 et 20%, divisé par l’écart entre les deux valeurs, c’est -à-dire -à-dire 20-10=10. On multiplie par l’écart entre notre cas et le cas réel 13- 10=3. Pour le second terme c’est la mêm e opération mais en
regardant verticalement. MPa a On trouve y max 744 72 816MP max
Prenons la seconde configuration qui s’approche de notre cas c as :
On trouve cette fois dans la table que max 846 MP MPa a . On a toujours y max , 834 84 846 846 744 . p0 .p90 .3 .(3) 34, 2MP MPa a avec 10 10 p0 p90 En effet, on doit maintenant multiplier par (3) puisque notre configuration est max
d’orientation 70% dans la direction 90° alors que la configuration réelle est de 67%, c’est -à-dire -à-dire 3% de moins.
28
On trouve alors y
max
max 846 34, 2 811,8 MP MPa a
On remarque à ce stade que les valeurs des contraintes maximales ne sont pas les mêmes pour les deux méthodes appliquées. Cela peut s’expliquer par le fait que les
tables ne nous donnent pas les résultats exacts qui correspondent à la réalité, mais uniquement une approximation. On prend alors, en général, la valeur moyenne entre les deux méthodes comme réponse finale. Les tableaux permettent aussi de déterminer le pourcentage de pli en fonction de la sollicitation. Soient les flux d’efforts N x , N y , T xy données en N / mm . L’épaisseur sera déterminée par e x
N x rupture
, ey
N y rupture
, exy
T xy rupture
Emettons les hypothèses suivantes :
L’épaisseur e x reprend 100% de l’effort dans les pli s à 0°
L’épaisseur e y reprend 100% de l’effort dans les plis { 90°
L’épaisseur e xy reprend 100% de l’effort dans les plis { 45°.
On détermine le pourcentage de chacun des plis qui reprennent les efforts selon :
Exercice 5 Déterminer la composition d’un stratifié unidirectionnel en carbone/époxyde qui supporte les flux d’efforts suivants : N x 800 N / mm N y 900 N / mm T xy 340 N / mm
En premier lieu, on remarque que les flux sont négatifs, c’est -à-dire qu’il s’agit d’une
compression. En page 1 des tables on trouve toutes sortes de caractéristiques pour le carbone/époxyde. carbone/époxyde. Voici les données :
29
On a rupt 1130MP MPa a et rupt 397MP MPa a . La table ne nous donne pas une contrainte en cisaillement de 397 mais de 63 MP MPa a . Cependant, elle n’est pas correcte puisque 63 MP MPa a correspondent correspondent à 100% de fibres reprises par les plis dans la direction 0°. Or, par hypothèse de départ, xy reprend 100% des fibres à 45°. On prend le diagramme en planche 3 :
On voit bien que 100% des fibres reprises { 45° comme le veut l’hypothèse, correspond à une contrainte de cisaillement de rupt 397MP MPa a . On trouve donc les épaisseurs : e x e y
800 1130 900 1130 340
e xy
397
0,71mm 0,8 mm 0,86 mm
On réparti maintenant suivant les directions par les formules en page précédente e y e x ey exy
0,8 0,71 ,71 0,8 0,86 ,86
0,34 etc.
On trouve alors les répartitions suivantes :
On arrondi à 10% près pour pouvoir utiliser les tables. On choisi donc une configuration
30
Les mêmes 30% dans la direction 90° et dans la direction 0° sont plausibles puisque les flux d’efforts dans ces directions sont relativement proches. L’épaisseur totale est de e x ey exy 0,71 ,71 0,8 0,86 ,86 2,37 ,37 mm . Mais ce n’est pas l’épaisseur réelle, elle ne sert que pour les proportions. L’épaisseur réelle sera de eréelle 2,64mm . En effet, l’épaisseur tient compte du fait que 100% des plis { 0° reprennent l’effort longitudinal, ce qui n’est pas le cas en réalité. L’évaluation des proportions ne permet pas d’établir un composite optimum. On utilise pour cela d’autres
tableaux en page 6.
On y retrouve l’épaisseur réelle minimale lorsque la somme des flux d’efforts est de 100 N / mm . Analysons le symbole suivant :
Dans le coin supérieur gauche, on voit la direction du premier pli qui va se rompre, le stratifié restera cependant utilisable. Si on a 90 indiqué, c’est le pli { 90° qui va se
rompre en premier lieu. Les 4 valeurs de droite représentent le pourcentage des plis dans les 4 directions. Ces pourcentages sont donnés par un nombre plus petit que 1. On retrouvera par exemple .50 ce qui signifie 0,50 et donc 50%. Le stratifié ne sera plus utilisable lorsqu’on sera { une valeur de r. premie premierr pli rompu rompu .
Exercice 6 On a les flux d’efforts : N x 720 N / mm N y 0 N / mm T xy 80 N / mm
31
La somme vaut N x N y Txy 800 N / mm . Donc les flux réduits à regarder dans les tables en page 6 sont : N x N y T xy
N x N x N y T xy N y N x N y T xy T xy N x N y T xy
0,9 0 0,1
Dans la table on trouve :
On voit bien que pour ce cas de figure c’est le pli { 90° qui va s e rompre en premier. Les proportions sont de 10%,10%,70% et 10%. Le coefficient r vaut 1,33 et l’épaisseur minimale est de 0,156mm lorsque le flux total est de 100 N / mm . Comme on a 800 N / mm au total, on multiplie la valeur par 8 pour donner une épaisseur minimale de
1,248mm. Déterminons les valeurs pour lesquels le stratifié ne sera plus utilisable : N x 1,33 ,33.720 957 N / mm N y 1, 33 33.0 0 N / mm T xy 1,33 ,33.80 106 N / mm
Si les trois conditions sont couplées, il y aura rupture complète du stratifié. Parlons maintenant des flèches présentes sur chacun des schémas du diagramme. Par convention, on ajoutera 0,05 à la valeur si la flèche est pointée vers le haut, on retirera 0,05 si elle pointe vers le bas, et on ne modifiera pas la valeur si elle reste horizontale. Pour notre exemple on aura donc pour les flèches pleines 0,1 0,125 0,65 et 0,125. Il n’y a pas de flèches sur les plis à 45° mais la valeur change pour garder une proportion totale de 1, soit 100%. Si on avait des flux réduits de 0,5 et un flux réduit de cisaillement de 0, on voit dans la table que la proportion des plis à 45° est de 0,5-p et à 0° de p. On peut donc choisir la proportion p selon le choix fait par le concepteur du stratifié.
Exercice 7 Soit un composite qui a le cas de charge suivant :
32
On veut fabriquer un stratifié qui résiste à ces charges. Le coefficient de sécurité signifie qu’on doit multiplier les valeurs des contraintes par 2. Elles sont exprimées en déca
Newton, il faut les transformer en Newton. On a donc : N x 800 N / mm N y 900 N / mm T xy 340 N / mm
En refaisant le même calcul qu’{ l’exercice 5 on trouvait les proportions :
On veut savoir jusqu’ou le stratifié résiste, on doit donc appliquer la formule de Tsai -Hill
quand elle est égale à 1, moment de rupture. 2 2 2 L t L . t Lt * * *2 * 1 L L t Lt Et N x L .e ... ... 2
Multiplions la formule dans les deux membres par e : 2 2 2 L .e t .e L .e . t .e Lt .e * e2 * * *2 L L t Lt Cette opération doit se faire pour chaque pli. Pli à 0°
La sollicitation concernée est N x 800 N / mm Dans le tableau en page 8 on voit que le pli à 0° reprend 1MPa, les facteurs sont des facteurs correctifs.
33
On prend la valeur de configuration 30/30/20/20 30/30/20/20 et on trouve : L ' 2, 4 t ' 0 Lt ' 0 La contrainte dans le pli { 0° est de 2,4 pour 1MPa d’effort. Donc comme on a 800MPa on
aura : L .e L '.Nx 2, 4. 800 1920 MPa.mm t .e 0 Lt .e 0
La sollicitation concernée est N y 900 N / mm Cette fois il faut prendre la planche 5 en page 10 puisque la sollicitation est dirigée selon y.
On trouve pour notre configuration : L ' 0, 54 t ' 0,12 Lt ' 0
Comme on a 900MPa on aura : L .e L '.Nx 0, 54. 900 48 486 MPa.mm t .e 0,12. 900 108 MPa.mm Lt .e 0
La sollicitation concernée est T xy 340 N / mm 34
On prend la planche 9 page 12 pour une orientation de plis à 0° et on trouve pour notre configuration : L ' 0 t ' 0 26 Lt ' 0, 26 Comme on a 340MPa on aura : L .e 0 t .e 0 Lt .e 0, 26. 340 88 MPa.mm
On fait ensuite la somme de tout : L .e 1920 486 0 1434 MPa.mm t .e 108 MPa.mm Lt .e 88 MPa.mm En rentrant ces valeurs dans la formule de Tsai-Hill on a : 2 2 2 2 2 2 . e . . e . e . e . e 1434 108 1434 . 108 88 L t 2 L t Lt * * 4,07 e 141 * *2 2 1 1 3 0 1 1 3 0 63 L t L Lt e 2,02 mm pour les plis à 0°. Pour que les plis à 0° ne cèdent pas, il faut que le stratifié soit de 2,02mm. Au final, on n’additionnera pas les épaisseurs des plis { 45° et 90° avec celle des plis { 0°, mais on
gardera la plus grande épaisseur pour que tous les plis tiennent. Si on effectue le même calcul pour les plis orientés dans les autres directions on obtient : Pli à 90° e 2,16 mm
Pli à 45° e 2,64 mm
Pli à -45° e 1,13 mm
Conclusion, le stratifié doit avoir une épaisseur minimale de 2,64 mm et c’est le pli { -45° qui cèdera en premier. De plus, en page 1, on voit que l’épaisseur d’un pli est de 0,13mm
Il faudra donc au total
2,64 mm 0,13 mm
20 plis pour former le stratifié. La proportion sera de :
35
Exercice de type examen Les peaux d’un sandwich utilisé dans une partie des ailes d’un avion travaillent dans leurs plans respectifs sous l’effet d’efforts normaux par unité de longueur, les flux d’efforts, N x , N y ,T xy
Une étude a permis de déterminer les valeurs maximales de flux sur le revêtement inférieur : N x 102 N / mm N y 255 N / mm T xy 153 N / mm
On demande :
D’estimer les proportions de plis { 0°, 90°, +45° et -45° d’un stratifié carbone/époxyde à 60% en volume de fibres, devant résister à ce flux d’effort
avec un coefficient de sécurité de 2,5. De déterminer les contraintes maximales de traction et de compression à 0° du stratifié ayant la proportion déterminée par le point 1. De déterminer la composition du stratifié (nombre de plis dans chaque direction) après avoir arrondi les proportions obtenues aux dizaines. De comparer les résultats avec la composition optimum donnée dans les tables.
Résolution
Les tables sont données pour un volume de fibres de 60% du total du composite. Puisque le coefficient de sécurité est de 2,5 on multiplie nos efforts par 2,5 : N x 102.2,5 255 N / mm N y 255.2,5 637,5 N / mm T xy 153.2,5 382,5 N / mm
On remarque que les efforts sont tous positifs, ce qui correspond à une traction. En page 1 des tables on trouve toutes sortes de caractéristiques pour le carbone/époxyde. Voici les données :
1270MP MPa a et rupt 397MP On a rupt MPa a. La table ne nous donne pas une contrainte en cisaillement de 397 MP MPa a mais de 63 MP MPa a. Cependant, elle n’est pas correcte puisq ue 63 MP MPa a correspondent à 100% de fibres reprises par les plis dans la direction 0°. Or, par hypothèse de départ, xy reprend 100%
36
des fibres à 45°. Dans les tables on trouve donc rupt 397MP MPa a pour 100% des fibres reprises à 45°. On trouve donc les épaisseurs : e x e y
255
0,20 mm
1270 638 1270 382
e xy
397
0,50 mm 0,96 mm
La somme des épaisseurs est de 1,66mm. On détermine le pourcentage de chacun des plis qui reprennent les efforts selon :
On trouve alors : e y e x ey exy e x e x ey exy
0,5 1, 66 0,2 0, 2 1, 66
e xy 2. e x ey exy
0,300 0,120
0,96 3,32
0,289
La proportion sera de :
On doit maintenant déterminer les contraintes maximales du pli à 0° comme le veut le second point de l’énoncé. Il s’agit donc de prendre la table qui donne un effort de traction dans la direction 0° c’est -à-dire -à-dire direction x. Mais la table ne donne aucun
résultat pour cette configuration. On prend donc deux configurations proches pour en faire la moyenne :
On prend la planche 1 en page 2 et pour la première configuration on trouve : 279 2 21 12 203 2 21 12 x max max .p0 .p90 212 .2 .0 225, 4MPa 10 10 p0 p90 Avec la seconde configuration on trouve : max
279 212 268 279 .p0 .p90 279 . 8 .0 225, 4 MPa 10 10 p0 p90 La contrainte maximale de traction dans la direction x est de x 225,4MP MPa a. x max max max
max
37
On doit maintenant faire la même opération mais pour la contrainte de compression. Pour la première configuration on trouve : y max max max
375 283 .p0 .p90 283 .2 0 301, 4 MPa 10 p0 p90
Pour la seconde configuration on trouve : 375 283 .p0 .p90 375 . 8 0 299, 6 MPa 10 p0 p90 La contrainte maximale de compression dans la direction x est de y 300,5MP MPa a. y max max max
max
On résous maintenant le point 3. Il faut déterminer le nombre de plis dans chaque direction en arrondissant la configuration trouvée au point 1. Arrondissons donc en prenant la configuration :
On a les flux d’efforts : N x 255 N / mm N y 637, 5 N / mm T xy 382,5 N / mm
On veut savoir jusqu’ou le stratifié résiste, on doit donc a ppliquer la formule de Tsai-Hill
quand elle est égale à 1, moment de rupture. 2 2 2 L t L . t Lt * * *2 * 1 L L t Lt Et N x L .e ... ... 2
Multiplions la formule dans les deux membres par e : 2 2 2 L .e t .e L .e . t .e Lt .e * e2 * * *2 L L t Lt Cette opération doit se faire pour chaque pli. Pli à 0° : (planche 1 en page 8, planche 5 page 10, et planche 9 page 12) L .e L ' .Nx 3, 97.255 1012 MPa.mm L ' 3, 97 Sollicitation N x t ' 0, 01 pour1MPa t .e 0, 01.255 2, 55 MPa.mm ' 0 Lt .e 0 Lt
L ' 1,18 Sollicitation N y t ' 0,11 pour pour 1MP MPa a ' 0 Lt
L .e L ' .N x 1,18.637, 5 752, 25MPa .mm
L ' 0 MPa a Sollicitation T xy t ' 0 pour1MP ' 0,19 Lt
L .e 0
0,11.637, 5 70,13MP MPa a .mm t .e 0, Lt .e 0
t .e 0 Lt .e 0,19.382, 5 72, 68 MPa.mm
38
On fait ensuite la somme de tout : L .e 1012 75 752, 25 25 0 259, 8 MPa.mm 67 7, 58 MPa.mm t .e 2, 55 70,13 6 Lt .e 72, 68 MPa.mm En rentrant ces valeurs dans la formule de Tsai-Hill on a : 2
2
2
2
2
2
.e .e L .e . t .e Lt .e 259, 8 67, 58 259, 8 . 67, 58 72, 68 * e L * t * 1,60 *2 2 L 1130 63 L t Lt 1130 141 2
e 1, 26 mm pour les plis à 0°.
Pli à 90° :
L ' 1,16 MPa a Sollicitation N x t ' 0,19 pour1MP ' 0 Lt L ' 2, 41 Sollicitation N y t ' 0, 03 ' 0 Lt
L .e 1, 1,16.255 295, 8 MPa.mm t .e 0,19.255 48, 45 MPa.mm Lt .e 0 L .e 2, 41.637, 5 1536 MPa .mm t .e 0, 03.637, 5 19,13MP MPa a .mm
pour pour 1MP MPa a
Lt .e 0
L ' 0 MPa a Sollicitation T xy t ' 0 pour1MP ' 0,19 Lt On fait ensuite la somme de tout : L .e 295, 8 1536 0 1240 MPa.mm 45 19,13 29, 32 32 MPa.mm t .e 48, 45
L .e 0 t .e 0 Lt .e 0,19.382, 5 72, 68 MPa.mm
Lt .e 72, 68 MPa.mm
En rentrant ces valeurs dans la formule de Tsai-Hill on a : 2
2
2
.e .e .e . t .e Lt .e 1240 29, 32 1240 . 29, 32 72, 68 e L * t * L * 2,55 L* 2 1130 2 63 L t Lt 1130 141 e 1,60 mm pour les plis à 90°. 2
2
2
Pli à +45° :
L ' 1, 4 Sollicitation N x t ' 0, 09 pour1MPa ' 0,16 Lt L ' 0, 61 Sollicitation N y t ' 0, 04 pour pour 1MP MPa a ' 0,11 Lt
L .e 1, 4.255 357 MPa.mm
0, 09.255 22, 95 MP MPa a.mm t .e 0, 0,16.255 40, 8 MPa.mm Lt .e 0, L .e 0, 61.637, 5 388, 9 MPa .mm t .e 0, 04.637, 5 25, 5MP MPa a .mm Lt .e 0,11.637, 5 70,13MPa .mm
L .e 2, 97.382, 5 1136 MPa.mm L ' 2, 97 MPa a.mm Sollicitation T xy t ' 0,12 pour1MPa t .e 0,12.382, 5 45, 9 MP ' 0 Lt .e 0 Lt On fait ensuite la somme de tout :
39
2
L .e 357 3 38 88, 9 1136 1881, 9 MPa.mm t .e 22, 95 2 25 5, 5 4 45 5, 9 2, 55 MPa.mm Lt .e 40, 8 70,13 0 29, 33 MPa.mm
En rentrant ces valeurs dans la formule de Tsai-Hill on a : 2
2
2
.e .e L .e . t .e Lt .e 1881, 9 2, 55 1881, 9 . 2, 55 29, 33 e L * t * * 2,99 1130 2 L* 2 63 L t Lt 1130 141 e 1,73 mm pour les plis à +45°. 2
2
2
2
Pli à -45° :
L ' 1, 4 Sollicitation N x t ' 0, 09 ' 0,16 Lt
L .e 1, 4.255 357 MPa.mm
pour1MPa
t .e 0, 0, 09.255 22, 95 MPa.mm Lt .e 0,16.255 40, 8 MPa.mm
L ' 0, 61 Sollicitation N y t ' 0, 04 pour pour 1MP MPa a ' 0,11 Lt
L .e 0, 61.637, 5 388, 9 MPa .mm t .e 0, 04.637, 5 25, 5MP MPa a .mm 0,,11.637, 5 70,13MPa .mm Lt .e 0
2, 97.382, 5 1136 MPa.mm L .e 2, L ' 2, 97 MPa a MPa a.mm t .e 0,12.382, 5 45, 9 MP Sollicitation T xy t ' 0,12 pour1MP ' 0 Lt .e 0 Lt On fait ensuite la somme de tout : L .e 357 38 388, 9 1136 390,1MPa.mm 25, 5 45 45, 9 94, 35 MPa.mm t .e 22, 95 25 Lt .e 40, 8 70,13 0 29, 33 MPa.mm En rentrant ces valeurs dans la formule de Tsai-Hill on a : 2
2
2
.e .e .e . t .e Lt .e 390,1 94, 35 390,1. 94, 35 29, 33 e L * t * L * 141 0,81 *2 2 1 1 3 0 1 1 3 0 6 3 L L t Lt e 0,90 mm pour les plis à -45°. 2
2
2
Conclusion, le stratifié doit avoir une épaisseur minimale de 1,73mm 1,73 mm et c’est le pli { -45° qui cèdera en premier. De plus, en page 1, on voit que l’épaisseur d’un pli est de 0,13mm
Il faudra donc au total
1, 73 mm 0,13 mm
13, 2 14 plis pour former le stratifié. La proportion
sera de :
Résolvons maintenant le dernier point qui est de comparer la composition avec la composition optimum donnée par la planche 1 en page 6. 40
2
La somme des flux vaut N x N y Txy 1275 N / mm . Donc les flux réduits valent : N x N y T xy
N x N x N y T xy N y N x N y T xy T xy N x N y T xy
0, 2 0,2
0,5 0,3
On trouve alors dans les tables, planche 1 page 6 :
Le pli à -45° va céder en premier. Le facteur r vaut 1,35. Il y a 25% des fibres dans la direction 90°, 32,5% des fibres dans la direction +45° et -45°, et 10% des fibres dans la direction 0°. L’épaisseur est de 0,178mm pour 100 N / mm . Donc dans notre cas, l’épaisseur optimale sera de e 0,178 ,178.1 .12 2, 75 2, 27mm . On peut donc observer que la composition et l’épaisseur optimums sont relativement
proches des résultats obtenus par calculs. Etudions le calcul matriciel entre contrainte et déformation pour un matériau anisotrope et un matériau orthotrope comme le composite.
Cas du matériau anisotrope Effectuons les hypothèses que le matériau est homogène et que la déformation est petite et parfaitement élastique. Soit une éprouvette parallélépipédique, parallélépipédique, sur lequel on place un repère où l’axe x est dans la direction longitudinale. L’élément de volume est soumis {
différentes contraintes.
On a xy yx , zy yz , xz zx 41
On a alors 6 composantes différentes possibles, changeons la notation : x 1 yz 4 x 1 yz 4 y 2
zx 5
y 2
zx 5
z 3
xy 6
z 3
xy 6
On sait que la matrice des déformations est égale { la matrice des souplesses qu’on multiplie par la matrice d es contraintes par loi de Young. Ou bien l’inverse, la matrice
des contraintes et égale à la matrice des déformations multiplié par la matrice de rigidité . S . ou C Si on reprend toutes nos notations on aura un système matriciel : 1 S11 S12 S13 S14 S15 S16 1 2 S21 S22 S23 S24 S25 S 26 2 3 S31 S32 S33 S34 S35 S36 3 . S S S S S S 42 43 44 45 46 4 4 41 5 S51 S52 S53 S54 S55 S56 5 6 S61 S62 S63 S64 S65 S 66 6 La matrice de souplesse est symétrique. Etudions différents cas possibles que nous fixons nous-mêmes. Chargement dans la direction x
Si on a un chargement mono axial dans la direction x, seule la contrainte dans cette direction n’est pas nulle, toutes les autres le sont. On a x 0 , il n’y a alors pas de cisaillement. Puisqu’il n’y a pas de cisaillement, les contraintes de cisaillement sont nulles et donc selon nos conventions, 4 5 6 0 Or vaut le produit matriciel de sa ligne par la colonne des contraintes : 4 S41.1 S42 . 2 S 43 .3 S44 .4 S45 .5 S46 . 6 0 Puisque les autres contraintes qui ne sont pas dans la direction x sont nulles, on a x 1 0 . Il reste donc dans notre équation ci-dessus que S 41. 1 0 . Comme la contrainte n’est pas nulle, c’est donc forcément que S 41 doit est nul. La matrice des souplesses étant symétriques, on aura au final S41 S 14 0 . En faisant pareil pour on obtient S51 S 15 0 et pour on obtient S61 S 16 0 . 4
5
6
Chargement dans la direction y
Si on a un chargement dans la direction y, les contraintes dans les autres directions sont nulles et il n’y a pas de cisaillement 4 5 6 0 avec cette fois la composante y 2 0 . Il reste donc en simplifiant S42 S52 S62 S24 S25 S26 0 . Autres chargements chargements
Si on charge dans la direction z, il n’y a pas de cisaillement et seul z 3 0 . On obtient donc que S43 S53 S63 S34 S35 S36 0
42
Si on a un cisaillement pur dans deux directions xy 0 quand tout le reste est nul. Donc on aura xy 6 0 . Si on ne peut pas avoir de cisaillement dans les autres directions cela veut dire que yz 4 0 et zx 6 0 donc S46 S56 S64 S65 0
Si on a un cisaillement pur dans les deux directions zx 0 et on aura S45 S65 S54 S56 0 Si tous les cas sont couplés, il reste dans le système matriciel : 0 0 1 1 S11 S12 S 13 0 0 0 2 2 S21 S22 S 23 0 3 S31 S32 S 33 0 0 0 3 . 0 0 0 0 0 S 44 4 4 5 0 0 0 0 S 55 0 5 0 0 0 0 S 66 6 0 6
Cas du matériau orthotrope Les plans de ce matériau dont fait partie le composite sont mutuellement perpendiculaires. On applique les résultats du matériau anisotrope au composite. Rappelons les différentes relations de résistance des matériaux : E y
Ez
E x
E L
E T
xy xz LT yx zx TL
G xy
Gxz G
G yz
GTT
yz TT
Où T est mis pour transversal et L longitudinal. De plus deux formules lient certains facteurs
LT
E L
TL
E T
et GTT
E T 2 1 TT
. On obtient alors 5 éléments indépendants qui
sont E T , EL ,LT , GLT , TT . Hypothèse : on va considérer qu’on est en état plan de contrainte, c’est -à-dire -à-dire que les contraintes ne s’appliquent que sur un même plan. Imaginons que les contraintes dans la direction z soient nulles, z 0 et yz xz 0 . Le système devient alors :
1 S11 S12 2 S21 S22 3 S31 S32 0 4 0 5 0 0 0 6 0
S 13
0
0
0 1
S 23
0
0
0
2 0 0 0 0 S 33 . 0 S 44 0 0 0 0 0 S 55 0 0 0 0 0 S 66 6 N’étudions de ce système que la matrice réduite en d ivisant le système en deux.
43
1 S11 S 12 2 S21 S 22 0 0 6
0 1
3 S13 0 . 2 et 4 0 S 66 6 5 0
S 23
0 1
0
0 . 2 0 6
0
Enonçons encore une hypothèse, la déformation z est considérée comme négligeable. Le composite ne perdra pas de hauteur quand on va tirer dessus. Il ne reste alors que la première des deux matrices. Prenons l’inverse de cette matrice pour avoir une
expression de contrainte en fonction de la déformation : 1 Q11 Q12 0 1 2 Q21 Q22 0 . 2 0 0 Q33 3 3 La matrice en Q est la matrice de rigidité réduite 3x3. Il faut déterminer 4 termes dans cette matrice. Relation contrainte-déformation
Considérons une déformation selon Ox xy 1 . x et y xy . x . x avec x E x module de Young longitudinal. E x
E x
Déformation selon Oy y
1 E y
. y et x yx . y
yx E y
. y avec E y module de Young transversal.
Déformation de cisaillement pur xy Gxy . xy En remplaçant dans la matrice précédente on trouve alors : xy 1/ 0 E x E y x x yx 1 / Gy 0 . y y E x xy 0 0 1 / G xy xy On a donc une expression de type xy S . xy
Mais ce qui nous intéresse ce sont les contraintes pour pouvoir utiliser le théorème de . xy avec la matrice de rigidité Tsai-Hill, il faut donc inverser la matrice en xy Q qui vaut : E x 1 . yx xy xy . E y Q 1 yx . xy 0
yx . E x 1 yx . xy
0
E y 0 1 yx . xy 0 G xy
44
Changement de base
Soit un pli
Les fibres sont orientées dans une direction que nous n’avons pas étudiée. On connait les caractéristiques selon le repère 1, 2 dans la direction des fibres et on va les extrapoler pour le repère x, y qui fait un angle avec les fibres.
On veut connaitre : x Q11 Q12 Q13 x Q Q y 22 23 . y Q xy 33 xy
Où Q est la matrice de rigidité réduite transformée dan s une autre direction, on n’est plus dans la direction des fibres. Si on veut transformer les vecteurs directions en la base O12 : e x e1. cos e2 . sin e y e1. sin e2 . cos e z e3
Donc pour changer de base il faut appliquer le système matriciel suivant : e x cos sin 0 e1 e y sin cos 0 . e2 0 1 e3 e z 0 cos sin 0 La matrice sin cos 0 est notée A et est nommée la matrice de changement de 0 0 1 base. De plus pour changer de base il faut considérer une relation primordiale : T T ' A .T . A T
T A .T '. A L’exposant T est mis pour transposée, la matrice T est le tenseur dans la base 1, 2 et T’ dans la base x, y . On peut maintenant exprimer la matrice de contrainte dans la nouvelle
base : x xy xy y 0 0 T'
0
cos 0 sin 0 0
sin cos 0
0 1
12
0 cos
sin
0 . 12
2
0 . sin
cos
1
0
A
0 T
0
0
0
0
1
0
AT
Pour simplifier les notations nous allons désigner le cosinus par c et sinus par s.
45
x xy 0 c.1 s.12 c.12 s. 2 0 c s 0 y 0 s.1 c.12 s.12 c. 2 0 . s c 0 xy 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 c 2 . 1 2s.c.1122 s 2 . 2 s.c. 1 c s . 12 s.c. 2 0 x xy 2 2 2 2 y 0 s.c.1 c s .12 s.c. 2 s . 1 2s.c. 12 c . 2 xy 0 0 0 0 0 On arrive donc à : 2 x c2 2s.c 1 s 1 2 1 c2 2s.c . 2 T . 2 y s s.c s.c c 2 s 2 12 12 xy On a donc les contraintes dans la nouvelle base. On fait la même chose
déformations et on obtient le même résultat, uniquement si xy
xy
2
0
0 0
pour les
. Ce qui veut dire
que la matrice des cosinus et sinus est répétée pour lier les déformations entre elles uniquement si xy est remplacé par
xy 2
:
2 c 2 1 2s.c 1 s x 2 1 2s.c . 2 T . 2 c2 y s s.c s.c c 2 s 2 12 xy 12 2 2 2 Cependant ce n’est pas
xy 2
que l’on veut mais xy . Pour passer de l’un à l’autre on doit
multiplier par un facteur de correction R tel que : x 1 0 0 x y 0 1 0 . y 0 0 2 xy xy R 2 L’inverse de la matrice R sera donnée par : 1 0 0 1 R 0 1 0 1 0 0 2 Au final en utilisant tous les outils on trouve que :
46
x 1 1 1 1 y T . 2 T . Q 2 12 12 xy x 1 x 1 1 1 1 T .Q . R 2 T . Q . R . T y T . Q . R . T . R y 12 xy xy 2 2 Pour passer des contraintes aux déformations il faut multiplier les déformations par la 1 1 matrice de rigidité réduite transformée Q T .Q . R. T . R
On peut faire le raisonnement inverse pour passer des déformations aux contraintes en partant cette fois de la matrice de souplesse : x 1 1 x 1 1 1 y R y R.T 2 R .T . R 2 12 12 xy xy 2 2 x x 1 T 1 1 1 1 R.T . R . S 2 R .T . R . S .T y T . S . T y T 12 xy xy T
Exercice Une couche unidirectionnelle est soumis e dans l’un de ses plans x, y { l’état de déformation suivant : 2 xx 1% 10 ,05% 5.10 yy 0,05
3
xy 2% 2.10
2
La direction des fibres fait un angle de 30° avec la direction x. On dispose des données suivantes : E L 40GP GPa a ET 10GP GPa a LT 0, 32 GLT 4, 5GP GPa a On nous donne également la matrice de souplesse : 0 LT / E 1 / EL 1/ 1/ E T 0 S LT / E 0 0 1 / G LT L
L
On demande de calculer : Les contraintes xx , yy , xy dans le système d’axe x, y
Les contraintes dans les axes principaux L, T de la couche
47
En d’autres termes on doit connaitre les contraintes quand on a les déformations, il faut
donc appliquer la formule : x 1 1 1 1 y T . 2 T . Q 2 12 12 xy x 1 x 1 1 1 1 T .Q . R 2 T . Q . R . T y T . Q . R . T . R y 12 xy xy 2 2 1 1 Ce qui revient à trouver Q T .Q . R. T . R
En premier lieu, on va déterminer la matrice T 1 qui permet de passer des contraintes en x, y aux contraintes L, T . Pour avoir cette matrice on procède par : x c2 2s.c 1 s2 1 2 1 2 c 2s.c . 2 T . 2 y s s.c s.c c 2 s 2 12 12 xy
Et donc : cos (30) 2 si sin (30) sin(30). cos(30) 0, 75 0, 25 3 / 2 1 2 2 cos (30) 2 sin(30). cos(30) 0, 25 25 0, 75 75 3/2 T sin (30) 2 2 sin( 30).c ).cos os(3 (30) 0) sin( sin(30 30).c ).cos os(3 (30) 0) cos cos (30) (30) sin sin (30 (30)) sin(30 3 3 0,5 4 4 Ensuite on doit trouver la matrice de rigidité Q mais on sait que c’est l’inver se de la matrice de souplesse S : LT / E 0, 32 / 40 0 1 / 40 0 0, 025 0, 008 0 1 / EL 0, 32 / 40 0, 008 1 / E T 0 1 1// 10 0 0,1 0 S LT / E 0 0 1 / G LT 0 0 1/ 1/ 4, 5 0 0 0, 22 2
2
L
L
Il faut donc maintenant inverser cette matrice pour obtenir la matrice Q. Par rappel mathématique, pour inverser une matrice on doit calculer c alculer son déterminant, prendre son inverse et le multiplier par les cofacteurs. Calculons donc le déterminant : dét S 0,02 ,025. 0,1.0,22 0,00 ,008 . 0,00 ,008.0,22 0 0,00 ,000536 L’inverse du déterminant vaut
1 dét S
1865,95 . Pour calculer les cofacteurs et les
multiplier par cet inverse de déterminant, on barre colonne et ligne concernée et on calcule le déterminant de la matrice 2x2 restante. De plus on doit prendre le l c signe 1 où l est le numéro de la ligne et c de la colonne. Donc pour trouver le coin supérieur gauche on barre la première ligne et première colonne, il reste à avoir le déterminant de la matrice 2x2 qui reste : 0,1 0 0 0, 22 0,022 22 48
On doit multiplier ce nombre par
1 dét S
1865,95 et on trouve 41, 41, 051 qui est notre
première valeur de la nouvelle matrice. Si on fait de même pour tous les autres facteurs on trouve la matrice totale : 1
Q S
051 3, 28 284 0 41, 05 3, 28 284 10, 26 263 0 0 0 4, 4 , 5
1 1 Dans notre expression Q T .Q . R. T . R il ne reste plus qu’{ déterminer les 1 0 0 1 0 0 1 trois derniers facteurs. Mais on sait que R 0 1 0 et R 0 1 0 0 0 2 1 0 0 2 1 Il ne reste plus qu’{ trouver T, l’inverse de la matrice T pour trouver que : 1
0, 75 0, 25 3 / 2 0, 75 0, 25 3 /2 1 1 T T 0 , 2 5 0 , 7 5 3 / 2 0 , 2 5 0 , 7 5 3 / 2 3 3 3 3 0, 5 0, 5 4 4 4 4 Dès lors, on trouve finalement : 1 1 Q T .Q. R. T . R 0, 75 0, 25 3 / 2 41, 051 3, 284 0 1 0 0 0, 75 0, 25 3 / 2 1 0 0 3 / 2 . 3, 284 10, 263 0 . 0 1 0 . 0, 25 0, 75 3 / 2 . 0 1 0 0, 25 0, 75 0 0 0 0, 5 0 4, 5 0 0 2 3 3 3 3 0, 5 0, 5 4 4 4 4 ,339 8,29 ,299 9 9,56 ,561 28,33 ,945 5 3,77 ,770 0 8, 299 12,94 9,56 ,561 3,77 ,770 9,51 ,515 Et donc finalement on peut trouver les contraintes x x 28, 33 339 8 8,, 29 299 9, 56 561 0, 01 01 0, 43 433 299 1 12 2, 945 3, 77 770 . 0, 005 0, 094 y Q . y 8, 29 9, 56 561 3, 77 770 9 9,, 51 515 0, 02 02 0, 26 267 xy xy 433 MP MPa a ; y 94 MP MPa a ; xy 267 MP MPa a Mais les unités sont en GP GPa a , on a donc x 43
x 580 L Pour répondre à la seconde question, on applique T T . y 53 MPa 13,5 LT xy
49
Détermination expérimentale des coefficients Comment détermine-t-on les différents coefficients tels que les déformations, coefficient G, E etc. Imaginons que l’on fait 3 essais de traction différents. Pour cela, il convient d’indiquer que la traction se fera toujours par le repère x, y selon l’axe x. De plus, le
repère 1, 2 donnera la direction des fibres du pli. On connait alors la contrainte de traction x qu’on applique. Axes x et 1 confondus
On est dans la situation suivante :
On connait x et donc puisqu’ils sont dans le même sens. On mesure et par les jauges de déformation. On co nsidère qu’il n’y a pas de cisaillement. On peut alors déterminer les déformations dans le second repère et par : 1
1
1
2
2
12 / E 1 0 1 1 1 / E1 .0 1 / E 2 0 2 12 / E1 0 0 0 1 / G12 0
En résolvant on trouve 1 De plus 2
12 . 1 E 1
1
E 1
et on peut alors déterminer une constante E 1
on trouve la seconde constante 12
1 1
E 1. 2 1
Axes x et 2 confondus
Comme le repère 1, 2 donne la direction des fibres, elles seront perpendiculaires à la sollicitation :
On connait x et donc puisqu’ils sont dans le même sens. On mesure par la jauge de déformation sans connaitre : 2
2
1
12 / E 1 0 0 1 1 / E1 . / E1 1 / E 2 0 2 12 12 2 0 0 0 1 / G12 0
50
En résolvant on trouve 2 grâce à ce second essai E 2
2
E 2 2 2
et on peut donc trouver le module de Young transversal .
Il reste à déterminer la dernière des 4 constantes qui est G12 . Axe x à 45° de l’axe l’axe 1
On connait x et x connu par la jauge de déformation. x x T T . S . T y y xy xy c4 s 4 1 2 12 . x Or x s 2 .c2 . E 1 G12 E1 E2 1 x
1
1
1 12
1
Et donc on trouve la dernière constante G12 4 x 4 E1 4E2 2 E 1
Critère de rupture Rappelons que le critère de Tsai- Hill s’exprime selon : 2 2 2 . 2 L* t* L *2 t Lt* L L t Lt 1il n’y a pas de rupture, par contre si on a 1il y a rupture. On va ajouter un Si on a icient de sécurité, c’est -à-dire coeff icient -à-dire majorer le cas de charge : 2 2 2 k . L k. t k. L . k . t k . Lt * k 2 2 1 * * *2 L L t Lt
On est en rupture de traction selon l’axe x. Tsai -Hill nous donne les limites de rupture dans les directions longitudinales et transversales. On va voir ce qu’elles d eviennent dans les directions x et y. Il n’y a que de la traction selon l’axe x, les bases sont liées par : s2 2s.c x L x c 2
T T . 0 0 LT
2 c2 2 s.c . 0 s s.c s.c c 2 s 2 0
51
On a donc : L cos . x 2
T sin . x 2
LT sin .co .cos . x
En remplaçant dans le critère de Tsai-Hill on trouve : 4 s4 s 2 .c2 s2 .c2 2 c x *2 *2 *2 *2 1 t L Lt L x
1
rupture
c4 L
*2
s4 t
*2
s 2 .c 2 L
*2
s 2 .c 2 *2
Lt
Si on procède de même mais en modifiant la sollicitation et en prenant du cisaillement pur on a : 0 c 2 s2 2s.c 0 L 2 c2 2 s.c . 0 T T . 0 s s.c s.c c 2 s 2 LT xy xy Ce qui donne :
2cos .si .sin . xy L 2cos 2cos .si .sin . xy T 2co
LT cos sin . xy 2
2
En remplaçant dans le critère de Tsai-Hill on trouve : 2 2 4c2 .s2 4c2 .s2 c4 2s2 .c2 s4 2 4c .s xy *2 *2 *2 Lt *2 t L L xy
rupture
1
1
2
8c .s L
*2
2
2
4c .s t
2
4
*2
c 2s .c s 2
2
4
*2
Lt
Le stratifié miroir Un stratifié miroir est symétrique dans l’orientation des plis. Il est donc symétrique lorsqu’on le coupe sur son épaisseur. Il annule l’effet de torsion qui peut apparaitre entre les plis s’ils ne sont pas orientés de la même façon de part et d’autre d’un axe de
symétrie. Soit un stratifié d’épaisseur totale h et composé de n plis. Le pli k aura une épaisseur ek
et le plan de symétrie est le plan xy . Ce stratifié est soumis { différents flux d’effort dans son plan de symétrie qui sont N x , N y , Txy T yx . Ainsi, le flux d’effort total selon l’axe x sera donné sur toute l’épaisseur par : h/2
N x
x .dz
n
.e k 1
h / 2
x k
k
De même que : h/2
N y
y .dz
n
.e k 1
h / 2
52
y k
k
h/ 2
T xy
xy
.dz
n
.e xy k
k 1
h / 2
k
On veut connaitre : x Q11 Q12 Q13 x Q Q y 22 23 . y Q33 xy xy Où Q est la matrice de rigidité réduite transformée. On doit donc multiplier tous les 1
1
termes Q T .Q . R. T . R . Ainsi le coin supérieur gauche de la matrice Q c’est -à-dire -à-dire le facteur Q11 , sera le produit de tous les coins supérieurs gauches des autres matrices. On obtient : 4 4 2 2 Q11 c .E L s .ET 2c .s . TL EL 2GLT
Q22 s 4 .E L c 4 .ET 2c 2 .s 2 . TL EL 2GLT
2
c .s . E E 4G c s .E c.s. c .E s .E c s . .E 2G c.s. s .E c .E c s . . E 2G
Q33 c 2 .s 2 . E L ET 2 TL .EL c 2 s 2 GLT Q12 Q13 Q23
Où E L
E L 1 LT . TL
et E T
2
2
4
L
2
T 2
L
2
2
4
LT
TL
2
2
T
2
2
L
L
TL
L
LT
TL
L
LT
2
T
E T 1 LT . TL
n
n
k 1
k 1
Et donc N x x k .ek Q11 . 0 Q12 .0 Q13 . 0 .ek k
k
x
k
y
xy
L’exposant k n’est pas un exposant mais c’est pour indiquer le numéro du pli. L’indice 0
est mis parce que les plis du stratifié ne se déforment pas de la même façon. Donc on indique par 0 qu’on considère la déformation du plan moyen. n
n
n
On note N x A11. 0 A12 .0 A13 . 0 avec A11 Q11 .ek ; A12 Q12 .ek ; A13 Q13 .ek x
y
xy
k
k 1
k 1
k
k
k 1
On obtient une nouvelle matrice qui lie les flux d’efforts aux déformations, appelée la
matrice rigidité de membrane : N x A11 N y A21 A T xy 31 n
A12 A22 A32
Avec Aij Qij .ek Aji k
k 1
53
A13 0 x
A23 . 0 y A33
0 xy
Au final, la loi du comportement du stratifié se résume à : N x A11 A12 0 0 . N A A 0 y 21 22 0 0 0 A33 T xy 0 On détermine les contraintes moyennes globales (fictives) : x
y
xy
0 x 0 y 0 xy
N x h N y h T xy h
Ce qui donne : 0 0 0
x
y
xy
A 1 11 A21 h 0
A12 A22 0
0 0 x
0 . 0 A33 0
y
xy
L’inverse, pour passer de déformations aux contraintes est donné par :
0 0 0
x
y
xy
0 1 h. A . 0 0
x
y
xy
1 / Ex h. xy / Ex 0
xy / E x 1 / Ey 0
0 0 x
0 . 0 1 / G xy 0
y
xy
Exercice global Réalisons un exercice qui reprend toutes les étapes des autres exercices. Sachant comment faire les calculs, nous nous intéresserons q u’{ la démarche { suivre pour la résolution. Soit un multicouche composé de 8 monocouches unidirectionnelles identiques en verre 5/90 S époxy dont la composition est 0/ 45/ 45/90 Les propriétés d’une monocouche monocouche sont : : E L 39200 MP MPa a GLT 4200 MPa ET 8400 MPa LT 0, 26 Les contraintes de rupture : * * X 1t 1060 MP MPa a Y 2t 30 MPa X 1l 610 MPa *
Y 2l 120 MPa *
12 70 MP MPa a *
L’épaisseur d’une couche est de hUD 0,125 mm
La sollicitation extérieure est une contrainte de traction x dans la direction 0°.
54
On demande de déterminer à partir du critère de Tsai-Hill, la contrainte de traction maximale sans rupture. Quel pli est concerné par cette rupture ? Comment se comporte le multicouche après la rupture de ce pli. Résolution
On doit déterminer la matrice Q . On en a besoin que d’une (et pas pour chaque direction) puisqu’elle lie les contraintes et les déformations dans le sens des fibres, c’est
la rigidité du pli. TL .E L E L 0 1 . 1 TL . LT TL LT E y . E 0 Q TL L 1 TL . LT 1 TL . LT 0 0 G LT On calcule ensuite Q où il faut en calculer plusieurs puisque cette matrice est dans le
sens de l’orientation. On doit alors calculer Q0 Q45 Q45 Q90
Par la suite il faut déterminer A et puis la déformation du stratifié complet : 0 0 0
x
y
xy
x y xy
Car par hypothèse, si le stratifié est miroir comme c’est le cas dans cet exercice, la déformation du stratifié est identique à la déformation pour chaque pli. On retrouve alors les x ... pour chaque pli avec son orientation. Pour trouver 1... et appliquer TsaiHill. E T
Rappelons que TL LT .
E L
0, 056
0 39779 2228 0 On a Q 2228 8524 0 0 4200 On trouve alors que Q Q . En effet, Q est la matrice dans la direction du pli 0 et Q dans la direction x, y . A 0° les deux directions sont identiques.
17390 Q ... 8990 45 7814 17390 Q ... 8990 45 7814
8990
7814
7814 10962 8990 7814 17390 7814 MPa 7814 10962
17390
7814 MPa
55
Q 90
0 8524 2228 ... 2228 39 39779 0 MPa 0 0 4200 n plis
1
On a alors . Aij Qij . h
A
k
k 1
20 20771
5609 h 0
ek h 0
5609
MP a MPa 7581
20771
0
0
1
N A. 0 0 A
.h 2 .N et N 0 N / mm 0
1
Pour avoir A .h on inverse la matrice
A h
et on obtient :
51, 9.106 14.106 0 1 0 A .h 14.106 51, 9.106 6 0 0 131, 9.10 6 0 51, 9.106 14.106 51, 9.1 9.10 0 . .h 51, 0 6 0 . 0 1 4 . 1 0 . Dès lors, 0 14.106 51, 9.106 6 0 0 131, 9.10 0 0 0 x
y
xy
0 x Or la déformation 0 y 0 xy k On peut également, si on nous le demande, déterminer les paramètres du composite (module de Young et coefficient de Poisson). x
y
xy
E x xy
x 0 x
MPa a 19268 MP
0
y
0 x
0,27
x 51,9.106 Pour le pli à 0° on a y 14.106 0 xy x x 2,033 Les contraintes se trouvent donc par y Q . y 0, 004 . La contrainte 0 0 xy xy 0 selon l’axe x { 0° est égale { 2,033 fois la contrainte appliquée.
56
x x 0,777 Pour le pli à 45° y Q . y 0, 233 45 0,296 xy 45 xy x x 0,777 A -45° on aura y Q . y 0, 233 45 0,296 xy 45 xy x x 0,411 A 90° on aura y Q . y 0, 441 0 0 xy xy 0 On a maintenant dans le sens x, y et on doit l’avoir dans le sens des fibres c’est -à-dire -à-dire la direction 1, 2 . Pour passer d’un repère { l’autre il faut appliquer : x 1 T . 2 k y 12 xy k 1 2,033 Pour le pli à 0° 2 0,004 12 0 0 1 0,796 Pli à 45° 2 0,204 12 45 0,277 1 0,796 Pli à -45° 2 0,204 12 45 0,277 1 0,441 Pli à 90° 2 0,411 12 45 0 On applique la formule de Tsai-Hill pour chaque direction : 1
2, 033.
0 max
10602
2
0, 004.
0
max
120
2
033. 2, 03 2
car compression
max0 521 MP MPa a
De même que : max45 127 MP 127 MPa a 45
max
127 MP 127 MPa a
max90 73 MP 73 MPa a
On conclu que c’est le pli { 90° qui va céder en premier.
Comment se comporte le stratifié ensuite ? 57
0 max
. 0, 0, 00 004. max 0
10602
0
Pour cela, on va considérer deux méthodes. La première est la méthode d’approximation. On va calculer le multicouche de 8 couches avec les plis { 90° qui sont remplacés par des plis d’épaisseur identique ayant une résistance et une rigidité nulles. La matrice Q ne change pas, on a les mêmes propriétés E et ainsi
A
que Q , Q , Q . Il manque le terme à 90°. La matrice va donc changer et on 0 45 45 h trouve : 18 18640 5052 0 A 5052 10826 0 MPa h 0 0 6531 61, 4.106 28, 7.106 0 1 0 Et donc A .h 28, 7.106 105, 7.106 6 0 0 153,1.10 Au final, on obtient que ce sont les plis à 45° qui vont se rompre en premier, pour une contrainte de 125 MP 125 MPa a . Les plis à 45° vont donc se rompre en second lieu, juste après ceux à 90°. La deuxième méthode consiste { enlever complètement les plis { 90°, comme s’il n’y
avait plus 8 couches mais 6 couches dans le composite. On obtient donc la composition 0 / 45 / 45S . On avait
A
24 24853
h
1
ek
8
h
et donc maintenant on a
1 6
0
MPa 0 8708 On obtient au final une rupture des plis à 45 pour une contrainte de 166 MP 166 MPa a avec une épaisseur de 6.0 6.0,125 ,125 0, 75 mm au lieu de 8.0 8.0,125 ,125 1 mm
Dès lors
6736 h 0
6736
ek
On conclu 8 plis
0,75 1
14435
0
. 6 plis 125 MP MPa a
Il y a un lien entre les nombres de plis, on obtient la même réponse pour les deux méthodes.
Exercice
Si on nous demande de déterminer le module apparent d’un stratifié (pour le
stratifié complet), on doit procéder par : 1 / Ex k e 1 1 1 k S Q Q A p a r . A Q . h . A pli xy / Ex ij ij h h h k 1 0 Où les E sont les modules apparents du stratifié. n plis
x
58
xy / E x
0
1 / Ey
0
0
1 / G xy
Pour vérifier une résistance : x 1 2 T pli . y 12 pli xy
On applique Tsai- Hill ainsi qu’un éventuel coefficient de sécurité { ajouter. Pour calculer une épaisseur : On calcule le flux d’effort orienté dans les d irections des axes par rapport au flux d’effort qui est connu.
N x N 1 . N T 2 N y T 12 T xy En repartant du critère de Tsai-Hill et le multipliant des deux cotés par h on a 2 2 2 t L . t Lt L 2 1.h2 h . 2 Lt L t L rupt
rupt
rupt
rupt
On distribue h² et on a alors des h2 . 2 qui représentent des flux d’effort au carré. N Ce qui donne finalement 1 L
rupt
2
N 2 t
rupt
59
2
N .N T 1 22 12 L Lt rupt
2
h2
rupt
