Matlab Pentru Inginerie

5/14/2018

Ma tla b Pe ntr u Ingine r ie - slide pdf.c om

Tiberiu TUDORACHE

MEDII DE CALCUL ÎN INGINERIE ELECTRICĂ MATLAB

http://slide pdf.c om/re a de r/full/ma tla b-pe ntr u-ingine r ie

1/221

5/14/2018



2/221

5/14/2018


MEDII DE CALCUL ÎN INGINERIE ELECTRICĂ

3

Sumar PREFAĂ ......................................................................................................................................5 1. INTRODUCERE ÎN MATLAB .............................................................................................. 6 1.1. Ce este MATLAB ?.........................................................................................................6 1.2. Structura sistemului MATLAB........................................................................................7 1.3. Funcii de intrare şi ieşire................................................................................................. 8 1.4. Ferestrele de lucru MATLAB ........................................................................................ 12 1.5. Configurarea MATLAB Desktop................................................................................... 24 2. FUNCII DE MANIPULARE A MATRICELOR................................................................. 33 2.1. Definirea matricelor....................................................................................................... 33 2.2. Indexarea elementelor.................................................................................................... 36 2.3. Operaiuni de bază cu matrice........................................................................................ 38 2.4. Rezolvarea sistemelor de ecuaii liniare folosind operaii cu matrice.............................. 47 2.5. Aplicaii numerice ......................................................................................................... 49 3. FUNCII MATEMATICE UZUALE.................................................................................... 58 3.1. a numerelor................................................................................. 3.2. Funcii de aproximare operare cu numere complexe......................................................................... 58 3.3. Funciile putere, radical, logaritm şi exponenială .......................................................... 59 3.4. Funcii trigonometrice ................................................................................................... 60 3.5. Funcii de matematică discretă ....................................................................................... 60 3.6. Aplicaii numerice ......................................................................................................... 61 4. FUNCII MATLAB DE INTERES GENERAL.................................................................... 65 4.1. Expresii MATLAB ........................................................................................................ 65 4.2. Introducerea variabilelor, funciilor şi comenzilor MATLAB......................................... 67 4.3. Opiuni de configurare Command Window.................................................................... 75 4.4. Utilizarea funciei Help.................................................................................................. 76 4.5. Funcii de gestionare a spaiului de lucru, a directoarelor şi fişierelor............................. 81 ii dede 4.6. manipulare datei şi orei............................................................................... 86 4.7. Func Elemente interfaarea MATLAB................................................................................. 87 4.8. Aplicaii numerice ......................................................................................................... 98 5. REPREZENTAREA GRAFICELOR .................................................................................. 101 5.1. Reprezentarea graficelor 2D ........................................................................................ 101 5.2. Reprezentarea graficelor 3D ........................................................................................ 103 5.3. Configurarea şi salvarea graficelor............................................................................... 106 5.4. Aplicaii numerice ....................................................................................................... 114 6. ELEMENTE DE PROGRAMARE MATLAB .................................................................... 124 6.1. Fişiere de tip M............................................................................................................ 124 6.2. Tipuri de variabile şi de operatori ................................................................................ 129 6.3. Instruciuni de control logic ......................................................................................... 132 6.4. Interaciunea program-utilizator................................................................................... 135 6.5. Operaii cu şiruri de caractere ...................................................................................... 142 6.6. Aplicaii numerice ....................................................................................................... 143 7. CALCULE NUMERICE CU POLINOAME....................................................................... 164 7.1. Evaluarea polinoamelor ............................................................................................... 164 7.2. Operaii aritmetice cu polinoame ................................................................................. 165 7.3. Descompunerea în fracii simple.................................................................................. 167 7.4. Calculul derivatei......................................................................................................... 168 7.5. Calculul rădăcinilor ..................................................................................................... 169 7.6. Aplicaii numerice ....................................................................................................... 170


3/221

5/14/2018


4

8.


FUNCII MATLAB DE INTERPOLARE ŞI APROXIMARE A DATELOR..................... 173 8.1. Căutarea datelor în tabele............................................................................................. 173 8.2. Interpolarea funciilor de o singură variabilă ................................................................ 175 8.3. Interpolarea funciilor de două variabile....................................................................... 179 8.4. Aproximarea polinomială prin metoda celor mai mici pătrate ...................................... 184

8.5. Interpolarea funciilor de trei variabile......................................................................... 185 8.6. Aplica ii numerice ....................................................................................................... 187 9. DERIVAREA ŞI INTEGRAREA NUMERICĂ A FUNCIILOR ...................................... 193 9.1. Derivarea numerică...................................................................................................... 193 9.2. Integrarea numerică ..................................................................................................... 199 9.3. Aplicaii numerice ....................................................................................................... 204 10. INTEGRAREA NUMERICĂ A ECUAIILOR DIFERENIALE.................................. 209 10.1. Ecuaiile difereniale de ordinul întâi........................................................................ 209 10.2. Funcii MATLAB pentru integrare numerică a ecuaiilor difereniale....................... 209 10.3. Integrarea ecuaiilor difereniale de ordin superior şi a sistemelor de ecuaii difereniale............................................................................................................... 212 10.4. Aplicaii numerice ................................................................................................... 213 11. FUNCII DE OPTIMIZARE NUMERICĂ ..................................................................... 216 11.1. Minimizarea funciilor de o variabilă ....................................................................... 216 11.2. Minimizarea funciilor de mai multe variabile.......................................................... 217 11.3. Calculul zerourilor funciilor de o variabilă reală ..................................................... 217 11.4. Aplicaii numerice ................................................................................................... 218 12. BIBLIOGRAFIE ŞI WEBOGRAFIE............................................................................... 221


4/221

5/14/2018



5

PREFAĂ Lucrarea de faă este destinată studenilor din învăământul superior tehnic din domeniul şi nosiuni ingineriei electrice care doresc să sedefamiliarizeze cu principalele comenzi, şfunc de programare specifice pachetului programe MATLAB. Prin structura i coniiinutul ău, lucrarea este accesibilă cu minime cunoştine de electricitate şi studenilor din alte domenii ale ingineriei cum ar fi inginerie mecanică, electronică, automatică, etc. Înelegerea noiunilor prezentate în lucrare presupune un minim de cunostine prealabile de informatică, programare a calculatoarelor, electricitate, algebră şi analiză matematică. Materialul prezentat este structurat pe 13 capitole şi are un pronunat caracter practic abordând comenzile, funciile matematice şi facilităile MATLAB cu aplicabilitate directă în probleme tehnice de calcul numeric. Capitolul 1 al lucrării este unul introductiv şi prezintă pe scurt istoria pachetului de programe MATLAB, structura programului, comenzile de intrare şi ieşire, ferestrele de şi configurarea Desktop lucru Capitolul 2 trateaz MATLAB func.ii de generare, indexare şi manipulare a matricelor, ă principalele vectorilor şi tablourilor în mediul MATLAB. Capitolul 3 tratează principalele funcii matematice MATLAB, cum ar fi func iile de aproximare a numerelor, funcii de operare cu numere complexe, funcii trigonometrice, funcii de matematică discretă etc. Capitolul 4 este dedicat funciilor MATLAB de interes general cum ar fi func iile de import şi export al datelor, de gestionare a spa iului de lucru, de utilizare a help-ului etc. În capitolul 5 sunt prezentate principalele elemente MATLAB de reprezentare a graficelor 2D şi 3D. Acest capitol vizează însuşirea principalelor comenzi de creare, etichetare şi salvare a graficelor, respectiv de manipulare a obiectelor grafice specifice.

În capitolul 6 şsunt abordate principalele nocu iunicele de dou programare acest capitol se urmăre te familiarizarea utilizatorului fişiere M şÎn i anume ă tipuri deMATLAB. fişierele de tip script şi fişierele de tip function. Tot în cadrul acestui capitol este abordat ă pe scurt tehnica de programare a interfeelor grafice simple. Capitolul 7 este dedicat funciilor de operare cu polinoame. În capitolul 8 sunt tratate problemele specifice interpol ării şi aproximării datelor. Capitolul 9 abordează derivarea şi integrarea numerică a funciilor folosind comenzile MATLAB specifice. În capitolul 10 sunt prezentate funciile MATLAB de integrare a ecuaiilor difereniale, respectiv a sistemelor de ecuaii difereniale. Capitolul 11 al lucrării tratează problematica minimizării funciilor cu una sau mai multe variabile. Pentru fixarea noiunilor şi a cunoştinelor dobândite pe măsura parcurgerii lucrării, la sfârşitul capitolelor sunt propuse seturi de aplicaii numerice rezolvate. Aplicaiile propuse constau în abordarea unor probleme de calcul numeric având diferite nivele de complexitate. Lucrarea de faă este un rezultat al activităii didactice şi de cercetare efectuate de către autor în cadrul Laboratorului de Procesare Electromagnetic ă a Materialelor şi Modele Numerice (PEM_MN), Facultatea de Inginerie Electrică, Universitatea POLITEHNICA din Bucureşti.


5/221

5/14/2018


6


1. INTRODUCERE ÎN MATLAB 1.1. Ce este MATLAB ? ®

este şun MATLAB (MATtrix LABoratory) programe de înaltă performan interactiv, destinat calculului matematic, tiinpachet ific şideingineresc. MATLAB integreazăă, calcul, programare şi vizualizare, într-un mediu de lucru prietenos, soluionarea problemelor presupunând folosirea notaiilor matematice clasice. Utilizarea programului MATLAB include: • • • • • • •

Matematică şi calcul numeric, Programare şi dezvoltare de algoritmi, Modelare şi simulare, Analiză de date, exploatarea rezultatelor şi vizualizare, Grafică ştiinifică şi inginerească, Dezvoltare de aplicaii software, incluzând construcia de interfee grafice (GUI), Etc.

MATLAB este un produs al companiei americane The Mathworks, Inc. [http://www.mathworks.com] şi lucrează sub Windows, Unix, LINUX şi Machintosh. MATLAB include toate facilităile unui limbaj complet de programare, admiând interfee cu limbajul de programare C, C++ şi FORTRAN. Versiunea cea mai recentă a pachetului de programe MATLAB este versiunea 7. MATLAB a cunoscut o puternică evoluie în decursul ultimilor ani, reprezentând ast ăzi în mediile universitare din Statele Unite, Japonia şi Uniunea Europeană o unealtă standard de calcul, fiind asociată diverselor cursuri introductive sau avansate de matematică, ştiină sau inginerie. În industrie, MATLAB este recunoscut ca un mijloc de investiga ie numerică performant, utilizat în sprijinul unei activit ăi de cercetare, dezvoltare şi analiză de înalt nivel. Versiunea completă a pachetului de programe MATLAB conine o întreagă familie de module specifice, denumite tool-box-uri, respectiv blockset-uri, care permit rezolvarea unor aplicaii din diverse domenii ale ingineriei cum ar fi: inginerie electrică, matematică, economică, mecanică, aerospaială, biomedicală, statistică şi multe altele. Aceste module sunt colecii de funcii MATLAB (M-files), uşor de asimilat, care extind puterea de calcul a pachetului de programe MATLAB în vederea rezolvării unor clase particulare de probleme. Colecia de module MATLAB conine: Simulink, DSP, Control System, SimPowerSystems, SimMechanics, Data Acquisition, Fuzzy Logic, System Image Processing, Partial Differential Equations, Neural Network, Optimization, Identification, Financial, Statistics, Communications, Database, Virtual Reality etc.


6/221

5/14/2018



7

1.2. Structura sistemului MATLAB Structura sistemului MATLAB este compusă din cinci pări principale: Acesta esteMulte alcătuit dintr-un de unelte caredefaciliteaz 1.2.1 Mediul deşidezvoltare. folosirea funciilor fişierelor MATLAB. dintre acesteasetsunt controlate interfe ăe grafice şi includ fereastra principală MATLAB sau MATLAB Desktop, fereastra de comenzi sau Command Window, fereastra ce memorează istoria comenzilor sau Command History şi browser-ele Help, Workspace, Files, Search Path etc.

1.2.2 Biblioteca de funcii matematice MATLAB. Această bibliotecă constă dintr-o vastă colecie de algoritmi de calcul, pornind de la funcii elementare precum sumă, sinus, cosinus şi aritmetică complexă, pană la funcii mai sofisticate precum inversare de matrice, calcul de valori proprii, funcii Bessel, transformata Fourier etc. de înalt 1.2.3 MATLAB. nivel ce Limbajul include instruc iuni deLimbajul control alMATLAB buclelor, este funcun ii, limbaj structurimatrice/vector de date, comenzi de intrare/ieşire şi instruciuni de programare orientată pe obiecte. Limbajul MATLAB permite atât o ”programare simplă” pentru crearea rapidă a unor mici programe de calcul specifice, cât şi o "programare complexă" în vederea dezvoltării unor programe laborioase de nivel superior.

1.2.4 Manipularea graficelor ( Handle Graphics). Handle Graphics reprezintă sistemul de grafică MATLAB şi include atât comenzi de înalt nivel pentru vizualizarea 2D şi 3D a datelor, procesare de imagini, animaie şi grafică, cât şi comenzi de jos nivel ce permit personalizarea completă a reprezentărilor grafice şi construirea integrală a interfeelor grafice (GUI) pentru aplicaiile MATLAB.

1.2.5 Interfaa program a aplicaiilor MATLAB (Application Program Interface API). Aceasta este o bibliotecă ce permite scrierea programelor C şi Fortran ce interacionează cu MATLAB. Biblioteca conine facilităi de apel de subrutine din MATLAB (dynamic linking), de apelare a MATLAB-ul ca pe o maşină de calcul şi de citire/scriere de fişiere de tip MAT.


7/221

5/14/2018


8


1.3. Funcii de intrare şi ieşire 1.3.1. Comenzi de lansare MATLAB. Există mai multe variante de lansare a pachetului de programe MATLAB, şi anume: Varianta A) • Dublu-clic pe icoana MATLAB din Windows Desktop Varianta B) • Clic pe butonul START

,

• urmat de clic pe opiunea MATLAB 6.5, ca în Fig. 1.1.

Fig. 1.1. Lansarea din meniul6.5START prin clic pe MATLAB opiunea MATLAB

Varianta C) • Clic pe butonul START • urmat de clic pe opiunea Run

,

,

• urmat de tastarea cuvântului ” matlab” în fereastra Run, ca în Fig. 1.2.

Fig. 1.2. Lansarea MATLAB din meniul START prin clic pe opiunea Run


8/221

5/14/2018



• urmată de Enter sau clic pe butonul OK

9

.

Varianta D)

• Dublu-clic pe icoana de tip shortcut ”MATLAB 6.5” din directorul de instalare

C:/MATLAB6p5/ , ca în Fig. 1.3.

Fig. 1.3. Lansarea MATLAB 6.5. prin dublu-clic pe icoana de tip shortcut corespunz ătoare

Varianta E) • În cazul lansării dintr-o fereastră DOS, se tastează cuvântul ”matlab” la promptul DOS, ca în Fig. 1.4, fiind urmat de Enter.

Fig. 1.4. Lansarea MATLAB dintr-o fereastră DOS

Mai sunt şi alte variante de lansare a pachetului de programe MATLAB pe care le lăsăm a fi descoperite de către utilizator.

1.3.2. Opiuni de lansare MATLAB. Există mai multe opiuni de lansare MATLAB, acestea putând fi activate la lansarea programului, în felul următor:


9/221

5/14/2018


10


• Clic-dreapta pe icoana MATLAB din Window Desktop •

,

urmat de clic pe Properties în meniul contextual, ca în Fig. 1.5,

Fig. 1.5. Apelul ferestrei Properties

• urmat de tastarea în câmpul Target, (după calea către fişierul executabil ”matlab.exe” ),

a opiunilor de lansare, cum ar fi de pildă opiunea /minimize, Fig. 1.6:

Fig. 1.6. Opiuni de lansare MATLAB 6.5.

Aciunile corespunzătoare diverselor opiuni de lansare MATLAB sunt prezentate în Tabelul 1.1: Tabel 1.1 Opiune /minimize /nosplash /r M_file /logfile logfilename


Aciune Lansare MATLAB în format minimizat, f ără afişare de splash. Lansare MATLAB f ără afişare splash. Lansare MATLAB împreună cu lansarea automată a fişierului cu numele M_file. Se înregistrează automat lista de comenzi MATLAB din sesiunea curentă în fişierul log specificat.

10/221

5/14/2018



11

1.3.3. Alegerea directorului MATLAB de lucru. Directorul MATLAB de lucru poate fi selectat înainte de lansarea programului, respectând următoarea secvenă de comenzi: • Clic-dreapta pe icoana MATLAB de pe

Desktop

,

• urmat de clic pe Properties în meniul contextual, ca în Fig. 1.7,

Fig. 1.7. Apelul ferestrei Properties

• urmat de tastarea căii de acces către directorul de lucru, în câmpul Start in, ca de

exemplu calea D:\MATLAB, Fig. 1.8,

Fig. 1.8. Alegerea directorului de lucru înainte de lansare

• urmat de Enter sau clic pe OK

. Directorul MATLAB de lucru poate fi selectat şi după lansarea programului. 1.3.4. Comenzi de ieşire din MATLAB. Pentru părăsirea programului MATLAB se poate aciona în mai multe feluri, şi anume:

A)

• Clic pe meniul File + clic pe Exit MATLAB, ca în Fig.1.9.


11/221

5/14/2018


12


Fig. 1.9. Opiuni de încheiere a unei sesiuni MATLAB

B) • Clic pe icoana close box a ferestrei MATLAB Desktop

.

C)

• Tastare ”exit” sau ”quit” în Command Window, ca în Fig. 1.10,

• urmat de Enter.

Fig. 1.10. Opiuni de încheiere a unei sesiuni MATLAB

D)

• Etc.

1.4. Ferestrele de lucru MATLAB 1.4.1. Fereastra principală MATLAB ( MATLAB Desktop). După lansarea programului MATLAB, în prim plan apare fereastra principală MATLAB (MATLAB Desktop), ce conine unelte pentru controlul directoarelor, fi şierelor, variabilelor şi aplicaiilor MATLAB asociate, Fig. 1.11.


12/221

5/14/2018



Prin expandare se pot obine informaii despre diverse module MATLAB

Prin clic se pot obine informaii ajutătoare

Vizualizare sau lansarea funciilor folosite anterior

Se pot introduce funcii şi comenzi MATLAB

Afişare în prim plan a Workspace sau Current Directory

13

Vizualizare sau schimbarea directorului curent

Clic pentru a muta fereastra în afara desktopului

Clic pentru a închide fereastra

Redimensionarea ferestrelor prin mutarea separatorului

Fig. 1.11. Fereastra principală MATLAB

Accesul la comenzile clasice MATLAB este facilitat de către bara de unelte a ferestrei MATLAB Desktop Toolbar, Fig. 1.12. inând cursorul deasupra unui buton, o indicaie ajutătoare descriind unealta va apare într-o c ăsuă galbenă. Unele ferestre au propriul lor toolbar inclus în sistemul de afişare.

1.4.2. Ferestrele supervizate de MATLAB Desktop. Următoarele ferestre sunt supervizate de MATLAB Desktop, deşi nu toate apar implicit după lansare: • Fereastra de comenzi (Command Window), permite lansarea comenzilor MATLAB; • Fereastra Command History, permite memorarea, vizualizarea, editarea şi relansarea funciilor lansate anterior în Command Window; • Fereastra Launch Pad , permite lansarea uneltelor şi accesarea documentaiei MATLAB; • Fereastra Current Directory, permite controlul asupra fişierelor MATLAB şi a celor asociate; • Fereastra Help, permite vizualizarea şi căutarea documentaiei MATLAB; • Fereastra Workspace permite vizualizarea şi schimbarea coninutului spaiului de lucru; • Fereastra Array Editor permite editarea şi vizualizarea coninutului variabilelor într-un format tabelar.


13/221

5/14/2018


14


• Fereastra Editor/Debugger permite crearea, editarea şi depanarea fişierelor M ce conin

funcii MATLAB. Alte unelte şi ferestre MATLAB cum ar fi ferestrele grafice nu sunt supervizate de MATLAB Desktop. Crează un nou fişier M

Funcia Crează un nou model Simulink Deschide undo un nou Funcia copy fi ier Funcia Accesează fereastra Funcia redo Funcia Help paste cut

Vizualizează sau modifică directorul curent Selectează directoare curente folosite anterior Caută directorul curent

Indicaie ce descrie butonul. Indicaiile pot fi activate sau dezactivate din General Prefrerences

Fig. 1.12. Bara de unelte sau MATLAB toolbar .

1.4.2.1. Command Window. Command Window este fereastra principală de comunicare a utilizatorului cu programul MATLAB, Fig. 1.13. Această fereastră permite lansarea de funcii şi efectuarea de operaii MATLAB. Pentru vizualizarea ferestrei se selecteaz ă Command Window din meniul View.

Fig. 1.13. Fereastra Command Window.

Proprietăile specifice ferestrei Command Window permit modificarea formatului de afişare a valorilor numerice, setarea automată a ecoului în cadrul unei sesiuni MATLAB, specificarea fontului, a stilului, a dimensiunii literelor, setarea culorilor folosite pentru sublinierea instruciunilor specifice etc. Pentru afişarea cutiei de dialog cu proprietăile ferestrei Command Window, selectai Preferences din meniul File al MATLAB Desktop. Cutia de dialog se deschide permi ând modificarea proprietăilor ferestrei Command Window, Fig. 1.14.


14/221

5/14/2018



15

Fig. 1.14. Configurarea fonturilor şi culorilor ferestrei Command Window.

1.4.2.2. Fereastra Command History. Fereastra Command History apare când lansai MATLAB. Fereastra Command History afişează o listă a funciilor lansate recent în Command Window, ca în Fig. 1.15. Afiş area func  iilor în fereastra Command History. Lista de comenzi afişate în fereastra Command History include atât funcii din sesiunea curentă cât şi funcii din sesiuni anterioare. Ora şi data pentru fiecare sesiune apare în partea superioar ă a listei de funcii aferente acelei sesiuni de lucru. Folosii scroll-bar-ul sau săgeile up ↑ şi down ↓ pentru a naviga în fereastra Command History. Fişierul specific uneltei Command History este history.m. Tastai prefdir în Command Window pentru a vedea locaia acestui fişier. Fişierul history.m este încărcat odată cu lansarea programului MATLAB şi suprascris la ieşirea din MATLAB.


15/221

5/14/2018


16


Indicaie privind data şi ora ce marchează începutul fiec ărei sesiuni de lucru Selectai una sau mai multe linii şi clicai dreapta pentru a le copia sau pentru a crea un fişier M

Fig. 1.15. Fereastra Command History. Ş tergerea func  iilor din fereastra Command History. Se recomandă ştergerea funciilor

din fereastra Command History când se strâng prea multe şi navigarea devine dificilă. Toate funciile sunt înregistrate până când alegei opiunea de a le şterge. Pentru a şterge o funcie, selectai funcia sau folosii Shift+clic sau Ctrl+clic pentru a selecta mai multe, sau folosii Ctrl+A pentru a le selecta pe toate, iar prin clic-dreapta selectai una dintre opiunile de ştergere din meniul contextual: Delete Selection – şterge funcia selectată, Delete to Selection – şterge toate funciile anterioare până la cea selectată, Delete Entire History – şterge toate funciile din fereastra Command History. O altă cale de ştergerea a întregii liste de funcii constă în selectarea comenzii Clear Command History din meniul Edit. Lansarea func  iilor din fereastra Command History. Pentru a executa o funcie din fereastra Command History se poate face un dublu-clic pe funcia respectivă în fereastra Command History. De exemplu, pentru a relansa funcia prefdir se face un dublu-clic pe funcia prefdir. Putei deasemenea lansa o funcie cu clic-dreapta pe funcie şi selectând Evaluate Selection din meniul contextual, sau copiind funcia în Command Window. Copierea func  iilor din fereastra Command History. Selectai o funcie sau cu Shift+clic sau Ctrl+clic selectai mai multe funcii, sau folosii Ctrl+A pentru a selecta toate funciile. Apoi putei executa următoarele comenzi, Tabel 1.2. Tabel 1.2 Aciune Lansarea funciilor Command Window


Mod de lucru în Copia  i selecia în clipboard prin clic-dreapta şi selectarea opiunii Copy din meniul contextual. Selecia se copiază cu Paste în Command Window (altă alternativă constă în executarea unui dragging al seleciei în Command Window). În Command Window se editează la nevoie funcia şi se apasă pe Enter sau

16/221

5/14/2018



17

Return pentru executarea funciei. Copierea funciilor în altă Copia  i selecia în clipboard prin clic-dreapta şi selecia comenzii fereastră Copy din meniul contextual. Copiai selecia într-un fişier M deschis în Editor sau altă aplicaie. Crearea unui fişier M din Clic-dreapta pe selecie şi selectează Create M-File din meniul funciile selectate contextual. Editor-ul deschide un nou fişier M ce conine funciile pe care le-ai selectat din fereastra Command History.

1.4.2.3. Fereastra Launch Pad . Fereasta Launch Pad din MATLAB permite accesul uşor la unelte, demo-uri, şi documentaia produselor MathWorks, Fig. 1.16. Pentru lansare selectai Launch Pad din meniul View din MATLAB Desktop. Îndată sunt listate toate produsele MathWorks instalate pe sistemul dvs. Help: dublu-clic pentru a accesa direct documentaia MATLAB Demos: dublu-clic pentru a afişa Demo launcher Tools: dublu-clic pentru a deschide unealta Product Page: dublu-clic pentru a vizualiza ultimele informaii de pe site-ul MathWorks Web Clic pentru a afişa detalii despre un anumit modul MATLAB

Fig. 1.16. Fereastra Launch Pad .

Pentru listarea în detaliu a unui produs, clica  i pe semnul + plasat în stânga produsului. Pentru a anula listarea, clica  i pe semnul – din stânga produsului. Pentru a deschide una sau mai multe liste, dublu-clic pe listă, sau clic-dreapta şi selectai Open din meniul contextual. Aciunea depinde de lista pe care a i selectat-o, după cum este prezentat în Tabelul 1.3. Tabel 1.3. Icoana

Descrierea aciunii în urma lansării Documentaia produsului respectiv se deschide în fereastra Help Se lansează Demo launcher al produsului respectiv Unealta selectată se deschide Pagina web a produsului pe site-ul MathWorks Web cu informa ii recente se deschide în browser-ul dvs. Web

Actualizarea ferestrei Launch Pad. Fereastra Launch Pad include comenzi pentru toatele produsele găsite în calea de căutare MATLAB la lansarea sesiunii curente. Dacă schimbai calea de căutare după lansarea unei sesiuni, de pildă prin adăugarea unui director


17/221

5/14/2018


18


toolbox, fereastra Launch Pad nu este automat actualizată. Clic-dreapta în fereastra Launch Pad şi selectai Refresh din meniul contextual pentru a actualiza fereastra Launch Pad aşa încât să afişeze toate produsele în calea curentă de căutare.

1.4.2.4. Fereastra Current Directory. Pentru a căuta, vizualiza, deschide şi pentru a modifica directoare şi fişiere asociate MATLAB-ului, folosii fereastra Current Directory, Fig.1.17. Pentru a deschide fereastra Current Directory, selectai Current Directory din meniul View din MATLAB Desktop, sau tastai filebrowser la promptul Command Window. Putei deasemenea să o deschidei din Launch Pad , sub MATLAB. Folosii căsua de editare a căi pentru a vizualiza directoarele şi coninutul acestora

Clic pe butonul de c ăutare în fişierele M

Dublu-clic pe un fişier pentru a îl deschide

Vizualizarea zonei de help corespunzătoare fişierului M selectat

Fig. 1.17. Fereastra Current Directory.

Principalele operaiuni cu directoare şi fişiere ce pot fi efectuate folosind fereastra Current Directory sunt operaiuni ce folosesc meniurile grafice tip Windows, respectiv meniurile contextuale, şi anume: • vizualizarea şi modificarea directoarelor, • crearea, redenumirea, copierea şi ştergerea directoarelor şi fişierelor, • deschiderea fişierelor, • lansarea şi vizualizarea coninutului fişierelor, • căutarea şi înlocuirea coninutului fişierelor. 1.4.2.5. Fereastra Help. Se foloseşte fereastra Help pentru căutarea şi vizualizarea documentaiei MATLAB, Fig. 1.18 şi produsele MathWorks. Help este un Web browser integrat în MATLAB Desktop care afişează documente HTML. Pentru lansarea ferestrei Help:


18/221

5/14/2018



• Clica  i pe butonul help

19

din toolbar sau

• Tasta  i helpbrowser în Command Window sau • Selecta  i Help din meniul View sau • Folosii meniul Help în orice unealtă MATLAB.

Tab-urile panelului Help Navigator permit diferite moduri de accesare a documentaiei Folosii close box pentru a închide panelul Help Navigator

Panel ce permite vizualizarea documenta iei

Folosii bara de separaie pentru a redimensiona panelurile

Fig. 1.18. Fereastra Help.

Fereastra Help conine două paneluri: • Panelul Help Navigator din stânga, care se folose şte pentru căutarea informaiei. Acesta include un filtru Product Filter şi ferestrele Contents, Index, Search, şi Favorites. • Panelul display din dreapta, folosit pentru vizualizarea documentaiei. Proprietăile specifice ferestrei Help pot fi modificate selectând Preferences din meniul File al ferestrei MATLAB Desktop. Cutia de dialog se deschide şi permite selectarea opiunii Help în urma căreia se deschide fereastra Help Preferences pentru modificarea


19/221

5/14/2018


20


proprietăilor ferestrei Help. Se pot modifica caracteristicile fontului folosit în ferestrele Help, se poate selecta locaia documentaiei, etc.

1.4.2.6. Fereastra Workspace. Folosii Workspace pentru executarea operaiunilor în spaiul de lucru MATLAB. Pentru a lansa Workspace, Fig. 1.19, există mai multe căi şi anume: • Din meniul View din MATLAB Desktop, selecta  i Workspace, • În Launch Pad , dublu-clic pe Workspace, • Tasta  i workspace la promptul Command Window.

Fig. 1.19. Fereastra Workspace.

• • • • •

Printre operaiunile ce pot fi executate din fereastra Workspace sunt: vizualizarea Current Workspace, salvarea Current Workspace, încărcarea Saved Workspace, ştergerea Workspace Variables, crearea graficelor din fereastra Workspace,

• vizualizarea şi editarea Workspace Variables folosind Array Editor.

Proprietăile specifice ferestrei Workspace pot fi modificate selectând Preferences din meniul File al ferestrei MATLAB Desktop. Cutia de dialog se deschide şi permite selectarea opiunii Workspace în urma căreia se deschide fereastra Workspace Preferences pentru modificarea proprietăilor ferestrei Workspace. Se pot modifica caracteristicile fontului folosit în fereastra Workspace şi se poate opiona pentru afişarea unei căsue de dialog de confirmare a ştergerii variabilelor.


20/221

5/14/2018



21

1.4.2.7. Fereastra Array Editor. Array Editor se foloseşte pentru afişarea şi editarea unei reprezentări vizuale 1D şi 2D a vectorilor de tip numere, şiruri de caractere etc. Pentru a lansa Array Editor din fereastra Workspace se selectează în fereastra Workspace variabila pe care dorii să o afişai (Shift+clic sau Ctrl+clic pentru a selecta mai multe variabile). Clica  i pe butonul Open din toolbar, sau clic-dreapta şi selectai Open Selection din meniul contextual. Alternativ, în cazul unei singure variabile, pute i face dublu-clic pe aceasta pentru a o deschide. Array Editor se lansează, afişând valorile variabilelor selectate. Nu putei deschide un vector cu mai mult de 10000 de elemente. Pentru a afişa coninutul unei variabile în Workspace, tastai numele variabilei la promptul Command Window. Pentru a afişa o variabilă în Array Editor , Fig. 1.20, folosii funcia openvar('nume_variabila') tastată la linia de comandă din Command Window având ca argument numele variabilei pe care dorii să o afişai. Elemente ale unor variabile de tip vector; valorile pot fi schimbate

Alegerea formatului de afişare

Modificarea dimensiunilor variabilelor de tip vector

Folosii tab-urile pentru vizualizarea variabilelor deschise în Array Editor

Fig. 1.20. Fereastra Array Editor .

Modificarea valorilor elementelor în Array Editor. În Array Editor, clica  i pe celula a cărei valoare dorii să o modificai. Tastai o nouă valoare. Apăsai Enter sau Return, sau clica  i în altă celulă şi modificarea va fi efectuată. Pentru a modifica dimensiunile unui vector, tasta  i noile valori corespunzând numărului de rânduri şi coloane în Size fields. Dacă creştei dimensiunea vectorului sau matricei, noile rânduri şi coloane sunt adăugate la sfârşit şi sunt umplute cu zerouri. Dac ă reducei dimensiunea, vei pierde datele; MATLAB şterge rândurile şi coloanele de la sfârşit. Anumite tipuri de date nu permit modificarea dimensiunii; pentru aceste variabile, câmpul Size nu este editabil. Dacă deschidei un fişier MAT existent şi efectuai modificări asupra acestuia folosind Array Editor, va trebui să salvai acel fişier MAT dacă dorii ca schimbările să fie salvate.


21/221

5/14/2018


22


Controlul afişă rii valorilor în Array Editor. În Array Editor, selectai o variabilă în lista Numeric format pentru a controla modul de afişare a valorilor numerice. Proprietăile specifice ferestrei Array Editor pot fi modificate selectând Preferences din meniul File al ferestrei MATLAB Desktop. Cutia de dialog se deschide şi permite selectarea opiunii Array Editor în urma căreia se deschide fereastra Array Editor Preferences de modificare a proprietăilor. Se pot modifica caracteristicile fontului folosit în fereastra Array Editor, se poate selecta formatul numeric implicit etc.

1.4.2.8. Fereastra Editor/Debugger. Fereastra Editor/Debugger din MATLAB, Fig.1.21, pune la dispoziie o interfaă grafică ce permite editarea elementară de text şi depanarea ( debugging) oricărui tip de fişier M. Editor/Debugger este o unealtă care se poate folosi pentru editare, debugging sau ambele. Există diferite modalităi de lansare a ferestrei Editor/Debugger: A) Lansarea ferestrei Editor/Debugger în vederea cre rii unui nou fi ier M . Pentru a ă

ş

crea un nou fişier M în Editor/Debugger, fie clica  i pe butonul new file din toolbar-ul MATLAB, sau selectai File + New + M-file din meniul MATLAB Desktop. Putei deasemenea crea un fişier M folosind meniul contextual în fereastra Current Directory. Editor/Debugger se deschide dacă nu cumva este deja deschisă, cu un fişier gol în care putei scrie instruciunile fişierului M. Dacă Editor/Debugger este deschis, putei crea mai multe fişiere noi folosind butonul new file din toolbar, sau selectai File + New + M-file. Funcia echivalentă de creare a fişierelor M noi în Editor/Debugger este funcia edit tastată în Command Window. Dacă tastai edit filename.m şi fişierul cu acest nume nu există încă, apare un mesaj care vă ă dacă dori i săă un ă fialege i da, întreab crea i un fişier cu numele filename.m. Editor/Debugger creaz fişier golnou cu numele filename.m, altfel fişierul Dac nu va creat.

B) Lansarea ferestrei Editor/Debugger pentru deschiderea fişierelor M existente. Pentru a deschide un fişier M existent în Editor/Debugger, clica  i pe butonul open din toolbar-ul MATLAB sau din Editor/Debugger, sau selectai File + Open şi apoi din Open dialog box, selecta  i fişierul M şi Clica  i pe Open. Se pot deasemenea deschide fişiere din fereastra Current Directory. Putei selecta un fişier în vederea deschiderii din lista celor mai recent folosite fi şiere, în partea inferioară a meniului File în MATLAB Desktop sau în Editor/Debugger. Putei schimba numărul de fişiere care apar în această listă. O funcie echivalentă folosită pentru editarea sau deschiderea unui fişier M existent în Editor/Debugger este funcia edit filename.m.


22/221

5/14/2018



23

Fig. 1.21. Fereastra Editor/Debugger .

C) Lansarea ferestrei Editor/Debugger f ă ră a lansa MATLAB. Pe platformele Windows, putei folosi MATLAB Editor f ără să lansai MATLAB prin dublu-clic pe fişierul M în Windows Explorer. Fişierul M se deschide în MATLAB Editor. Pentru a deschide fereastra Editor f ără fişier implicit, lansai fişierul MATLAB6p5/bin/win32/meditor.exe. Se pot deschide mai multe sesiuni simultane de meditor. Când lansai MATLAB Editor f ără lansare MATLAB, Editor devine o aplicaie de sine stătătoare. ăile ferestrei Editor/Debugger Propriet se pot meniul File al ferestrei MATLAB Desktop. Cutia de modifica dialog seselectând Preferences deschide şi permite din selectarea opiunii Editor/Debugger în urma ăcreia se deschide fereastra Editor/Debugger Preferences de modificare a proprietăilor, Fig. 1.22. Prin intermediul opiunilor disponibile în cadrul ferestrei Preferences se pot modifica caracteristicile fontului şi culorilor folosite în fereastra Editor/Debugger, se poate selecta modul de afişare, salvare etc.


23/221

5/14/2018


24


Fig. 1.22. Configurarea opiunilor ferestrei Editor/Debugger .

1.5. Configurarea MATLAB Desktop 1.5.1. Apelul uneltelor MATLAB Desktop. Pentru a apela o unealtă din MATLAB Desktop, selecta  i unealta din meniul View sau executai un dublu-clic pe unealta respectivă în lista de unelte afişate în Launch Pad . Unealta se deschide în loca ia pe care o ocupa ultima dată când a fost deschisă. Există câteva unelte controlate de MATLAB Desktop care nu se pot deschide din meniul View sau Launch Pad , şi anume: • Array Editor – care se deschide prin dublu-clic pe variabilă în fereastra Workspace, • Editor/Debugger – care se deschide prin crearea unui nou fişier M sau prin deschiderea unui fişier M existent. Uneltele se pot deschide şi prin folosirea funciilor. De pildă, funcia helpbrowser deschide fereastra Help. 1.5.2. Căutarea documentelor folosind Desktop Tools. Meniul Window afişează toate documentele Editor/Debugger, toate variabilele din Array Editor, şi toate ferestrele figură. Selectai o entitate în meniul Window pentru a ajunge direct la acea fereastră sau document. Selectai Close All pentru a închide toate entităile listate în meniul Window. De pildă, meniul Window de mai jos, Fig. 1.23, ilustrează trei documente deschide în Array Editor şi două documente deschise în Editor/Debugger. Selectând variance.m, de pildă, determină fereastra Editor/Debugger cu fişierul variance.m deschis, să devină fereastră activă.


24/221

5/14/2018



25

Close All închide toate entităile listate în meniul Window Trei variabile sunt deschise în Array Editor: x, y şi m Două fişiere sunt deschise în Editor/Debugger: sqsum.m şi variance.m Clicai pe o entitate pentru a accesa direct fereastra corespunzătoare

Fig. 1.23. Alegerea ferestrei active.

1.5.3. Redimensionarea ferestrelor. Pentru redimensionarea ferestrelor în MATLAB Desktop, se foloseşte bara separator, care este bara dintre două ferestre: Muta  i cursorul deasupra barei separator. Cursorul capătă o altă formă. Dragga  i bara separator pentru a modifica dimensiunile ferestrelor, Fig. 1.24. Folosii bara de separaie pentru a redimensiona subferestrele din desktop

Fig. 1.24. Redimensionarea ferestrelor.

1.5.4. Mutarea ferestrelor. Există trei modalităi de bază de mutare a ferestrelor : mutare în interiorul mutare în(Tabbing). afara MATLAB Desktop, MATLABmutare Desktop MATLAB Desktop,ferestrelor în interiorul MATLAB Desktop prin gruparea Mutare în interiorul MATLAB Desktop. Pentru a muta o fereastra într-o alt ă locaie în interiorul MATLAB Desktop muta  i title bar-ul ferestrei spre noua locaie. Pe măsura ce mutai fereastra, un contur al acesteia va deveni vizibil. Când conturul se apropie de o poziie posibilă, conturul se fixează în acea locaie. Status bar afişează instruciuni despre mutarea ferestrei în timpul schimbării conturului. În exemplul de mai jos, Fig. 1.25, fereastra Command History este iniial la stânga ferestrei Command Window şi este mutată


25/221

5/14/2018


26


deasupra ferestrei Command Window. Când title bar-ul ferestrei Command History atinge zona inferioară a toolbar-ului, conturul devine vizibil. Mutai bara de titlu a ferestrei Command History pentru a muta locaia fereastrei

Eliberai butonul mouse-ului când loca ia ferestrei Command History vă convine

Bara de stare afişează instruciuni despre opera ia în curs de mutare a ferestrei

Fig. 1.25. Poziionarea ferestrelor.

Elibera  i mouse-ul pentru a vizualiza fereastra în noua loca ie. Celelalte ferestre în desktop sunt redimensionate pentru a se adapta la noua configura ie. În figura de mai jos, Fig. 1.26, este ilustrată noua poziie a ferestrelor din desktop după mutarea ferestrei Command History deasupra ferestrei Command Window.

Fig. 1.26. Noua poziie a ferestrelor.


26/221

5/14/2018



27

Mutare în afara MATLAB Desktop. Pentru a muta ferestre în afara MATLAB Desktop există mai multe variante: • Clica  i pe săgeata din title bar-ul ferestrei pe care dorii să o mutai în afara MATLAB Desktop, •• Muta meniul în al acelei ferestre; fereastra activiă title , Selecta Undock View  i  ititle bar-uldinferestrei afara MATLAB Desktop; pe trebuie măsurăsăcefiemuta

bar, un contur al ferestrei va apare. Când cursorul este în afara MATLAB Desktop, elibera  i mouse-ul. Fereastra apare în afara MATLAB Desktop. În exemplul din Fig. 1.27, fereastra Command History a fost mutată în afara MATLAB Desktop.

Fig. 1.27. Mutarea ferestrelor în exteriorul MATLAB Desktop .

Mutarea ferestrelor din exteriorul MATLAB Desktop în interior. Pentru a muta o fereastra din exteriorul MATLAB Desktop în interior, selectai opiunea Dock din meniul View al ferestrei respective. Gruparea (Tabbing) ferestrelor împreună. Putei grupa ferestrele aşa încât acestea să ocupe acelaşi spaiu în MATLAB Desktop, păstrând însă accesul la toate ferestrele. Pentru a grupa împreună ferestre muta  i ( dragging) title bar-ul unei ferestre din desktop deasupra title bar-ului unei alte ferestre din desktop. Conturul ferestrei pe care o muta i se suprapune peste fereastra a doua şi partea inferioară a conturului include un tab. În Fig. 1.28 fereastra iniial laferestrei stânga Command prin mutarea title Command History estebar-ului Command Window Windowseiarrealizeaz bar-ului ferestrei deasupra title ă gruparea acestora împreună ( tabbing).


27/221

5/14/2018


28


Conturul ferestrei inclusiv tab-ul

Fig. 1.28. Gruparea ferestrelor (tabbing) în interiorul MATLAB Desktop .

Apoi elibera  i mouse-ul. Ambele ferestre ocupă acelaşi spaiu şi în zona inferioară a ferestrelor apar tab-urile ce permit identificarea ferestrelor. În Fig. 1.29, fereastra Command History şi Command Window sunt grupate împreună, fereastra Command History fiind cea activă.

Folosii săgeile pentru a vizualiza

Există mai multe tab-uri grupate

tab-urile care nu sunt acest exemplu săge ilevizibile. sunt griÎn indicând că toate tab-urile sunt v

ă în Clica ă pentru împreun fereastr fiecare tool. i pe un tab pentru a vizualiza acel tool.

Fig. 1.29. Noua poziie a ferestrelor grupate în interiorul MATLAB Desktop .

Vizualizarea ferestrelor grupate. Pentru a vizualiza o fereastră dintr-un grup, clica  i pe tab-ul ferestrei. Fereastra trece în prim plan şi devine fereastră curentă activă. Dacă există mai multe tab-uri într-o fereastră decât sunt vizibile, folosi  i să ge  ile spre dreapta pentru a vedea şi alte tab-uri.


28/221

5/14/2018



29

Mutarea ferestrelor grupate. Pentru a muta o fereastră grupată spre o altă locaie, muta  i title bar-ul sau tab-ul spre noua locaie. Putei muta fereastra în interiorul sau în exteriorul MATLAB Desktop. Închiderea ferestrelor grupate. Când clica  i pe close box-ul ferestrei care este parte a unui grup de ferestre, închide doar fereastra în cauză. Nu putei închide toate ferestrele grupate deodat ă, ci doarseuna câte una.

1.5.5. Comenzi de închidere a unei ferestre MATLAB. Pentru închiderea unei ferestre MATLAB se poate aciona în mai multe feluri, şi anume: • Clica  i pe close box-ul ferestrei

,

• Deselecta  i în meniul View fereastra care trebuie închisă , • Clica  i pe meniul File + clic pe Close, Fig. 1.30.

Fig. 1.30. Comenzi de închidere a ferestrelor.

1.5.6. Configuraia MATLAB Desktop predefinită. Există şase configuraii predefinite MATLAB Desktop, pe care le putei selecta din meniul View + Desktop Layout: • Default - conine în stânga fereastrele Workspace şi Current Directory grupate împreună, iar în dreapta fereastra Command History; • Command Window Only - conine doar fereastra Command Window; această opiune face ca MATLAB Desktop să apară similar cu versiunile de MATLAB anterioare; • Simple - conine fereastra Command History şi Command Window, una lângă alta; • Short History - conine fereastrele Current Directory şi Workspace grupate împreună deasupra ferestrei Command Window respectiv deasupra ferestrei Command History care are talie redusă;


29/221

5/14/2018


30


• Tall History - conine ferestrele Command History în stânga şi Current Directory şi

Workspace grupate împreună deasupra ferestrei Command Window; • Five Panel - conine fereastra Launch Pad deasupra ferestrei Command History în stânga, Workspace deasupra Current Directory în centru, şi Command Window în dreapta. După selectarea unei configuraii predefinite, putei muta, redimensiona şi deschide/închide ferestrele.

1.5.7. Accesarea adresei Web a companiei The MathWorks. Putei accesa din MATLAB Desktop paginile Web ale companiei The MathWorks, selectând una dintre următoarele opiuni: The MathWorks Web Site, MATLAB Central, MATLAB File Exchange, MATLAB Newsgroup Exchange, Check for Updates, Products, Membership, Technical Support Knowledge Base. Multe dintre facilităilemeniuri. sunt disponibile MATLAB Desktop Meniulcontextuale, contextual.cunoscute din1.5.8. meniurile ca pop-up Pentru a accesa un meniu contextual, se execută clic-dreapta pe o entitate, iar meniul contextual împreună cu operaiunile specifice devin vizibile. Mai jos, Fig. 1.31, se prezint ă meniul contextual al ferestrei Command History.

Accesarea meniului contextual este posibilă prin clic dreapta pe o entitate selectată

Fig. 1.31. Meniul contextual al ferestrei Command History.

1.5.9. Taste cu rol de prescurtare şi accelerare. Putei accesa multe articole de meniu folosind prescurtări sau taste acceleratoare cum ar fi Ctrl+X care este identic cu operaiunea Cut pe platforme Windows, sau Alt+F pentru accesarea meniului File. Multe dintre prescurtări sunt listate mai jos: • Enter – echivalent al unui dublu-clic, execută aciunea curentă asupra unei selecii; de pildă, apă sând Enter când este selectată o linie în fereastra Command History acea comandă este executată în Command Window; • Escape – anulează aciunea curentă; • Ctrl+Tab sau Ctrl+F6 – deplasare spre tab-ul urmă tor în desktop, sau spre fişierul urmă tor deschis în Editor/Debugger;


30/221

5/14/2018



31

• Ctrl+Shift+Tab – deplasare spre tab-ul anterior în desktop, sau spre fişierul anterior

deschis în Editor/Debugger; • Ctrl+Page Up – deplasare la tab-ul urmă tor într-un grup de unelte sau fişiere grupate împreună; •• Alt+F4 spre tab-ul anterior într-o fereastră; Ctrl+Page Down – deplasare – închide desktop-ul sau fereastra în afara desktop-ului; • Alt+Space – afişează meniul sistem.

1.5.10. Selectarea simultană a mai multor entităi. În multe ferestre ale desktop-ului, putei selecta simultan mai multe entităi şi apoi putei executa o aciune asupra tuturor entităilor. Putei selecta simultan mai multe entităi clicând pe prima entitate  inând apă sată tasta Ctrl şi apoi clicând pe entitatea urmă toarea pe dorii s ă o selectai. Repetai acest ultim pas până ai selectat toate entităile dorite. Dacă  ine  i apă sată tasta Shift în locul tastei Ctrl în timp ce clica  i pe o entitate, ve  i selecta toate entită ile cuprinse între cele două entităi selectate. Putei executa asupra entităilor selectate o comandă comună cum ar fi de pildă Delete. 1.5.11. Folosirea Clipboard-ului. Putei executa operaiuni cut şi copy asupra unei selecii dintr-o fereastră din Desktop spre Clipboard şi apoi să executai paste în altă fereastră din MATLAB Desktop . Folosii meniul Edit, meniurile contextuale sau prescurtările standard. De pildă, putei executa copy asupra unei selecii de comenzi din fereastra Command History şi să executai paste în Command Window. Articolul Paste Special din meniul Edit deschide selecia din Clipboard în Import Wizard . Putei folosi această facilitate pentru a copia datele dintr-o altă aplicaie, cum ar fi Excel , în MATLAB. Pentru a anula cea mai recentă execuie cut, copy, sau paste, selectai Undo din meniul Edit. Folosii Redo pentru a executa din nou acele operaiuni (aciune opusă lui Undo). Putei deasemenea realiza copierea prin mutarea (dragging) selec  iei. De pildă, dacă efectuai o selecie din fereastra Command History şi muta  i selec  ia în Command Window, este echivalent cu execuia comenzii paste. Putei în continuare să editai liniile în Command Window.

1.5.12. Proprietăi generale ale MATLAB Desktop. Putei modifica proprietăile predefinite ale MATLAB Desktop, cum ar fi de pildă fontul utilizat în Command Window. Proprietăile rămân valabile pe durata sesiunii MATLAB. Unele ferestre vă permit controlul acestor aspecte din meniul propriu ferestrei respective. Pentru modificarea propriet ăilor selectai Preferences din meniul File. Cutia de dialog Preferences se deschide şi permite modificarea proprietăilor prin selecia tipului de proprietăi. În exemplul de mai jos, Fig. 1.32, sunt modificate propriet ăile generale ale MATLAB Desktop, reprezentate prin articolul de meniu General . Dacă apare un semn + în stânga unui articol din meniu, clica  i pe + pentru a afişa în detaliu opiunile coninute, şi apoi selecta  i opiunea ale cărei proprietăi dorii să le modificai. Panelul din dreapta reflectă tipul de proprietăi pe care le-ai selectat. În panelul din dreapta specificai proprietăile dorite şi clica  i pe OK . Proprietăile se vor schimba imediat.


31/221

5/14/2018


32


Fig. 1.32. Configurarea opiunilor MATLAB Desktop .


32/221

5/14/2018



33

2. FUNCII DE MANIPULARE A MATRICELOR 2.1. Definirea matricelor O metodă eficientă de a începe iniierea în mediul de lucru MATLAB este de a înv ăa operaiunile de generare şi manipulare a matricelor. Definirea matricelor în MATLAB este posibilă pe mai multe căi. De pildă putei: • Defini explicit matrice prin introducerea unor liste de elemente în Command Window; • Defini matrice prin încărcarea datelor din fişiere externe; • Genera matrice folosind funcii MATLAB incluse; • Crea matrice folosind propriile dvs. funcii scrise în fişiere M.

2.1.1. Definirea explicită a matricelor în Command Window. O metodă de definire a matricelor constă în introducerea explicită a elementelor matricelor la linia de comand ă în fereastra Command Window. Prezena prompt-ului (>>) în Command Window indică faptul că MATLAB este gata de a accepta o comand ă din partea dvs. Astfel putei introduce o variabilă, lansa o funcie etc. Începei prin introducerea unei matrice ca o listă de elemente. Trebuiesc respectate câteva convenii de bază: • Separai elementele unui rând cu spa ii blanc sau virgule; • Folosii un semn punct şi virgulă, ” ;”, pentru a indica sfârşitul fiecărui rând; • Includei întreaga listă între paranteze pătrate, ” [ ] ”. Astfel pentru a defini o matrice, tasta  i la linia de comandă în Command Window: A = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1]

(2.1)

După ce ai tastat linia de comandă de mai sus, când apă sa  i tasta Enter sau Return, MATLAB va afişa matricea pe care tocmai ai introdus-o: A = 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

(2.2)

Odată introdusă matricea de mai sus, aceasta este automat memorată în MATLAB Workspace. Putei accesa şi vizualiza această matrice tastând simplu A la linia de comandă urmată de Enter. În mod similar introducerii unei matrice, pentru a lansa o func ie, tasta  i func  ia inclusiv toate argumentele şi apă sa  i tasta Return sau Enter. MATLAB va afişa rezultatul. De pildă, tasta  i: det(A)


33/221

5/14/2018


34


MATLAB va calcula determinantul matricei A definite anterior şi va răspunde cu: ans = 0

(2.3)

Când nu specificai o variabilă de ieşire (variabilă răspuns), MATLAB foloseşte variabila predefinită ans, o prescurtare pentru cuvântul englezesc answer, pentru a stoca rezultatul unei calculaii.

2.1.2. Definirea matricelor prin încărcarea datelor din fişiere externe. Matricele pot fi create deasemenea prin încărcarea datelor din fişiere externe folosind funcia load . Funcia load citeşte fişiere binare coninând matrice generate în sesiuni MATLAB anterioare, sau citeşte fişiere text coninând date numerice. Fişierul text trebuie organizat sub forma unui tabel de numere, separate de blancuri, cu număr egal de elemente pe fiecare rând, respectiv pe fiecare coloană. În urma unui astfel de import de date numerice dintr-un fişier cu numele matrice.txt, folosind sintaxa load matrice.txt, MATLAB va citi fişierul matrice.txt şi va crea în MATLAB workspace o variabilă cu numele matrice, coninând datele din respectivul fişier. Pentru a denumi altfel variabila creată în workspace, (de pildă A) se poate folosi următoarea sintaxă a funciei load . A = load('matrice.txt');

(2.4)

O metodă uşoară de a importa în MATLAB Workspace date scrise în diverse formate de tip text sau binare constă în folosirea funciei Import Wizard din meniul Edit + Paste Special .

2.1.3. Generarea matricelor de bază folosind funcii MATLAB incluse. MATLAB dispune de mai multe funcii de generare a matricelor de baz ă, cum ar fi, Tabel 2.1: Tabel 2.1 zeros ones rand eye

Matrice ce conine doar elemente nule Matrice ce conine doar elemente unitate Matrice cu elemente aleatoare, uniform distribuite, cuprinse între 0 şi 1 Matrice cu elemente nule, cu excep ia diagonalei principale ce conine elemente unitate Matrice diagonală Vectori cu elemente având valori distribuite liniar Vectori cu elemente având valori distribuite logaritmic

diag linspace logspace

Iată câteva exemple. Tastai: Z = zeros(2, 3)

(2.5)

Z = 0 0

(2.6) 0 0

0 0


34/221

5/14/2018



35

F = 5*ones(2, 2)

(2.7)

F = 5 5

(2.8) 5 5

N = fix(10*rand(1, 10)) N = 4 9 4 4 8

(2.9) (2.10) 5

2

6

8

0

R = rand(4, 4)

(2.11)

R = 0.4447 0.7382 0.9169 0.3529

(2.12)

0.6154 0.1763 0.4103 0.0099 0.8132 0.7919 0.4057 0.8936 0.9218 0.9355 0.0579 0.1389 S = eye(3, 4)

(2.13)

S= 1 0 0

(2.14) 0 1 0

0 0 1

0 0 0

iin Pute crea propriile Definirea folosind funcii scrise M. ce dvs.2.1.4. matrice folosindmatricelor fişiere de tip M . Aceste fişiere suntîn fifişiere con instruc şiere text iuni MATLAB şi au extensia .m. Un astfel de fişier M îl putei crea folosind MATLAB Editor sau oricare alt editor de text (de pild ă Notepad sau Wordpad ) şi trebuie să conină aceleaşi instruciuni pe care le-ai tasta la linia de comandă în Command Window. După ce ai creat fişierul acesta trebuie salvat sub un nume dorit însă trebuie să aibă extensia .m. De pildă, creai un fişier coninând următoarele cinci linii.

A = [… 16.0 3.0 2.0 13.0 5.0 10.0 11.0 8.0

(2.15)

4.0 9.0 15.0 6.0 14.0 7.0 12.0 1.0 ]; Stocai fişierul sub numele matricem.m. Tastând în continuare la linia de comandă în Command window instruciunea matricem.m MATLAB va citi fişierul şi va crea o variabilă, A, coninând matricea de mai sus.


35/221

5/14/2018


36


2.2. Indexarea elementelor Elementul din rândul i şi coloana j a matricei A este notat cu A(i, j). De pildă, A(4, 2) este elementul din rândul 4 şi coloana 2, adică, în cazul matricei de mai sus, este num ărul 15. Pentru a calcula suma elementelor din coloana a patra a matricei A, tastai: A(1, 4) + A(2, 4) + A(3, 4) + A(4, 4)

(2.16)

MATLAB va răspunde cu ans = 34

(2.17)

Aceasta metodă nu este însă cea mai eficientă de a suma elementele unei coloane. Este posibilă accesarea elementelor elementelor unei matrice cu un singur indice, A(k). Acesta ă poate este modul uzual de accesare a unorbidimensionale, vectori tip rândcaz sauîncoloan . Aceastăeste metod aplicat ă deasemenea unei matrice care ăvectorul privit ca unfi vector lung de tip coloană format din coloanele matricei originale. Astfel, în cazul matricei A definite anterior, A(8) este o altă cale de accesare a valorii 15 stocată în A(4, 2). Dacă încercai să accesai valoarea unui element din afara matricei, apare un mesaj de eroare. Tastai:

t = A(4, 5)

(2.18)

MATLAB va răspunde cu: ??? Index exceeds matrix dimensions.

(2.19)

Pe de altă parte, dacă stocai o valoare într-un element din afara matricei, dimensiunea matricei creşte pentru a include noua valoare. Tastai de pildă : X = A;

(2.20)

X(4, 5) = 17

(2.21)

MATLAB va răspunde cu: X =16 3 2 13 0 5 10 11 8 0 9 6 7 12 0 4 15 14 1 17

(2.22)

2.2.1. Operatorul ”:„ este foarte important în MATLAB. Acesta apare în diferite forme. De pildă expresia 1:10 este un vector rând coninând întregii de la 1 la 10. Tastai: 1:10


(2.23)

36/221

5/14/2018



37

MATLAB va răspunde cu: ans = 1 2

(2.24) 3

4

5

6

7

8

9

10

Pentru a obine un ecart diferit de unitate între elementele vectorului astfel generat, specificai un increment. De pildă tastai: 100: -7: 50

(2.25)

MATLAB va răspunde cu: ans = 100 93 86 79 72 65 58 51

(2.26)

Tastai: 0: pi/4: pi

(2.27)

MATLAB va răspunde cu: ans = 0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416

(2.28)

Expresiile cu indici ce conin operatorul ”:” se referă la poriuni dintr-o matrice. De pildă A(1:k, j) reprezintă primele k elemente (rânduri) ale coloanei j ale matricei A. Astfel folosind operatorul ”:” şi funcia de sumare sum este posibil calculul sumei elementelor ă o alt ă cale ă. Operatorul coloanei a patra a matricei sum(A(1:4, Dar exist ”:” în sine, se refer elementele unui rând sau mai ale eficient unei coloane a unei ă de fapt la toate 4)). matrice şi cuvântul cheie end se referă la ultimul rând sau coloană. Prin urmare sum(A(:, end)) calculează suma elementelor de pe ultima coloană a matricei A. Dacă tastai:

sum(A(:, end))

(2.29)

MATLAB va răspunde cu: ans = 34

(2.30)

2.2.2. Indexarea logică. Vectorii logici creai din operaii logice şi relaionale pot fi folosi i pentru a face referină la subvectori. Dacă presupunem că X este o matrice clasică şi L o matrice de aceaşi dimensiune care este rezultatul unei operaii logice, atunci X(L) furnizează elementele lui X unde elementele lui L sunt diferite de zero. Indexarea elementelor unei matrice se poate efectua specificând o opera ie logică. Să presupunem că avem următorul set de date sub forma de vector: x = 2.1 1.7 1.6 1.5 NaN 1.9 1.8 1.5 5.1 1.8 1.4 2.2 1.6 1.8


(2.31)

37/221

5/14/2018


38


NaN este un simbol pentru ( Not-a-Number). Pentru a elimina aceasta dată irelevantă utilizând indexarea logică, se foloseşte funcia finite(x), care este adevarată pentru toate valorile numerice finite şi falsă pentru NaN şi Inf . x = x(isfinite(x))

(2.32)

MATLAB va răspunde cu: x = 2.1 1.7 1.6 1.5 1.9 1.8 1.5 5.1 1.8 1.4 2.2 1.6 1.8

(2.33)

2.3. Operaiuni de bază cu matrice MATLAB pune la dispoziia utilizatorului un număr important de funcii de calcul cu matrice.

2.3.1. Operaii matematice cu matrice. Operaiile matematice de bază cu matrice presupun utilizarea operatorilor din Tabelul 2.2. Tabel 2.2 Operator + * / \ ^

’( )

Operaie Adunare Scădere Înmulire Împărire Împărire la stânga Putere Transpusa complex Pentru ordinea operaconjugat iilor ă

Operaiile matematice efectuate asupra matricelor reprezintă obiectul de studiu al algebrei liniare. De pildă adăugând la o matrice transpusa sa se ob ine o matrice simetrică: A = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1];

(2.34)

A + A'

(2.35)

ans =

(2.36)

8 3220 8 1711 2317 11 17 14 26 17 23 26 2 Operatorul de multiplicare ,*, aplicat matricelor determină multiplicarea matricelor utilizând produsul intern între rânduri şi coloane. Înmulind transpusa unei matrice cu matricea însăşi se obine o matrice simetrică:


38/221

5/14/2018



A'*A ans = 378 212 206 360

39

(2.37) (2.38) 212 370 368 206

206 368 370 212

360 206 212 378

Determinantul matricei A fiind zero, matricea este singulară şi nu are inversă. Dacă încercai să calculai inversa cu: X = inv(A)

(2.39)

Vei obine un mesaj de avertizare: Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.175530e-017.

(2.40)

Erorile de trunchiere îngreuiază algoritmul de detectare cu precizie a singularităii. În acest caz valoarea lui rcond , care desemnează nivelul de condiionare al matricei este de ordinul lui eps, adică precizia relativă în virgulă mobilă, deci precizia de calcul a inversei este mediocră. Valorile proprii ale matricei A se calculează cu: e = eig(A)

(2.41)

e=

(2.42)

34.0000 8.0000 0.0000 -8.0000 Matricele şi scalarii pot fi combinai în multe feluri. De pildă, în cazul în care un scalar este adunat sau înmulit cu o matrice, operaia se efectuează asupra fiecărui element al matricei. Tasta  i de pildă: A = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1] ;

(2.43)

B = A - 8.5 Se formează astfel o matrice având sumele elementelor coloanelor egale cu zero.

(2.44)

B =

(2.45)

7.5 -3.5 0.5 -4.5

-5.5 1.5 -2.5 6.5

-6.5 2.5 -1.5 5.5


4.5 -0.5 3.5 -7.5

39/221

5/14/2018


40


sum(B)

(2.46)

ans = 0 0

(2.47) 0

0

MATLAB permite asignarea unui anumit scalar tuturor indicilor dintr-un domeniu. De pildă, B(1:2,2:3) = 0 afectează valoarea zero unei poriuni a matricei B. B = 7.5 -3.5 0.5 -4.5

(2.48) 0 0 -2.5 6.5

0 4.5 0 -0.5 -1.5 3.5 5.5 -7.5

2.3.2. Operaii matematice element cu element. Operaiile matematice de adunare şi scădere cu matrice sau cu vectori, efectuate element cu element, sunt identice cu cele efectuate direct asupra matricelor, dar operaia de înmulire este diferită. MATLAB foloseşte operatorul punct, ".", ca parte din nota ia aferentă operaiei de înmulire a vectorilor. Lista de operatori include, Tabel 2.3: Tabel 2.3 Operator + .* ./ .\

Operaie Adunare Scădere Înmulire element cu element Împarire element cu element Împarire la stânga element cu element Putere element cu element Transpusa matricei cu elementele neconjugate complex

.^ .’

Dacă matricea A se înmuleşte cu ea însăşi folosind înmulirea vectorială element cu element A.*A

(2.49)

Rezultatul este o matrice coninând pătratele elementelor matricei A iniiale: ans = 256

(2.50) 9

4 169

25 100 121 64 81 36 49 144 16 225 196 1 Operaiile cu vectori sunt folositoare pentru construirea tablourilor. Să presupunem că n este vectorul coloană n = (0:9)'. Folosind comanda: pows = [n n.^2 2.^n]

(2.51)

putei construi un tablou cu p ătratele şi puterile lui 2 de la 0 la 9.


40/221

5/14/2018



41

pows = 0 0 1 1 1 2 2 4 4 3 9 8 4 16 16 5 25 32 6 36 64 7 49 128 8 64 256 9 81 512

(2.52)

Funciile matematice elementare operează asupra vectorilor element cu element. Tastai: format short g x = (1:0.1:2)'; logs = [x log10(x)] Răspunsul MATLAB constă în construcia unui tabel de logaritmi.

(2.53)

logs = 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

(2.54) 0 0.04139 0.07918 0.11394 0.14613 0.17609

1.6 1.7 0.20412 0.23045 1.8 0.25527 1.9 0.27875 2.0 0.30103

2.3.3. Funcii de informare generală. Funciile mai importante de informare generală referitoare la matrice pot fi structurate în Tabelul 2.4. Se consideră A = [1 2 3; 2 3 4], B = [1 2 3; 2 3 5]. Tabel 2.4

Funcie disp

Descriere Afişează vectori sau matrice

display

Afişează vectori sau matrice

isempty

Testează dacă vectorii sau matricele sunt goale


Exemplu disp(A) → 123 234 display(A) → A= 123 234 isempty(A) → 0

41/221

5/14/2018


42

isequal isnumeric issparse isfinite isnan isinf length ndims numel size


Testează dacă vectorii sau matricele sunt egale Testează dacă elementele vectorilor sau matricelor sunt numere Testează dacă vectorii sau matricele sunt de tip rar Testează dacă vectorii sau matricele au elemente de valoare finită Testează dacă vectorii sau matricele au elementul NaN (not a number) Testează dacă vectorii sau matricele au elementul Inf (infinity) Determină lungimea unui vector şi cea mai mare dimensiune a unei matrice Determină numărul de dimensiuni al matricelor Determină numărul de elemente al vectorilor şi matricelor Determină dimensiunile vectorilor şi matricelor

isequal(A, B) → 0 isnumeric(A) → 1 issparse(A) → 0 isfinite(A) → 1 1 1 111 isnan(A) → 0 0 0 000 isinf(A) → 0 0 0 000 length(A) → 3 ndims(A) → 2 numel(A) → 6 size(A) → 2 3

func2.5. iile Pentru MATLAB utilizate se în 2.3.4. manipul Funciiăriidematricelor prelucrare matricelor. vederea sunta cele prezentatePrintre în Tabelul exemplificare consideră A = [1 2 3; 2 3 4], B = [1 2 3; 2 3 5], C = [1 2 3], D = [2 3 4], E = [5 2; 1 3]. Tabel 2.5 Funcie blkdiag

Descriere Crează o matrice cu diagonala formată din blocuri

cat

Concatenează vectori

cross cumprod cumsum diag dot end find fliplr flipud flipdim horzcat

Exemplu blkdiag([1 2; 3 4], 2) → 1 2 0 3 4 0 0 0 2 cat(1, A, B) → 1 2 3

2 3 4 1 2 3 2 3 5 Calculează produsul vectorial a doi vectori cross(C, D) → -1 2 -1 Calculează produsul cumulativ a doi vectori cumprod(D) → 2 6 24 Calculează suma cumulativă a doi vectori cumsum(D) → 2 5 9 Defineşte sau întoarce diagonalele matricelor diag(A) → 1 3 Calculează produsul scalar a doi vectori dot(C, D) → 20 Incheie buclele for, while, switch, try, if sau A(1:end, 2) → 2 defineşte ultimul index al matricelor sau vectorilor 3 Găseşte indicii şi elementele nenule ale vectorilor find(A) → 1 2 3 4 5 6 sau matricelor Permută matricele stânga-dreapta fliplr(A) → 3 2 1 4 3 2 Permută matricele sus-jos flipud(A) → 2 3 4 1 2 3 Permută matricele după o dimensiune flipdim(A,1) → 2 3 4 1 2 3 Realizează concatenarea orizontală a matricelor horzcat(A, B) → 1 2 3 1 2 3


42/221

5/14/2018



max min prod reshape rot90 sort sortrows sum sqrtm tril triu vertcat

43

2 3 4 2 3 5 Calculează maximul elementelor unui vector sau max(C) → 3 maximul elementelor după o anumită direcie Calculează minimul elementelor unui vector sau max(C) → 1 minimul elementelor după o anumită direcie Calculează produsul elementelor unui vector prod(C) → 6 Crează o altă matrice de dimensiuni impuse reshape(A,3,2) → 1 3 2 3 2 4 Roteşte o matrice cu 90˚ rot90(A) → 3 4 2 3 1 2 Sortează elementele în ordine crescătoare sort(E) → 1 2 5 3 Sortează rândurile în ordine crescătoare sortrows(E) → 1 3 5 2 Însumează elementele unui vector sum(C) → 6 Calculează matricea radical, adică matricea care se sqrtm(E) → 2.2065 0.5128 obine astfel încât X*X = E 0.2564 1.6937 Returnează elementele de sub diagonala principal ă tril(E) → 5 0 a unei matrice, inclusiv aceasta (triunghiul 1 3 inferior) Returnează elementele de deasupra diagonalei triu(E) → 5 2 principale a unei matrice, inclusiv aceasta 0 3 (triunghiul superior) Realizează concatenarea verticală a matricelor vertcat(A, B) → 1 2 3 2 3 4 1 2 3 2

3

5

De pildă dacă efectuai suma elementelor matricei particulare A = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1] de-a lungul oricărui rând sau coloană, sau de-a lungul oricărei diagonale principale, vei obine întotdeauna acelaşi număr. Să verificăm această caracteristică a matricei A în MATLAB. Întâi să efectuăm suma elementelor de pe coloanele matricei. Pentru aceasta vom folosi funcia sum(A) care realizează tocmai acest lucru: sum(A) MATLAB răspunde cu:

(2.55)

ans = 34 34 34 34

(2.56)

Folosind funcia sum(A) se calculează un vector linie coninând sumele elementelor de pe coloanele matricei A. Pe fiecare coloană se obine aceeaşi sumă, 34. Pentru a calcula suma elementelor de pe rândurile matricei o idee este de a utiliza func ia de transpunere a matricelor, de a aplica apoi aceeaşi funcie sum pe matricea transpusă şi în final de a transpune rezultatul folosind aceea şi funcie de transpunere a matricelor. Func ia


43/221

5/14/2018


44


de transpunere a matricelor este A’, şi constă în adăugarea unui apostrof după variabila matrice A: A’ MATLAB va răspunde cu: ans = 16 5 9 4 3 10 6 15 2 11 7 14 13 8 12 1

(2.57)

(2.58)

Aplicând funcia: sum(A')' MATLAB va răspunde cu: ans = 34 34 34 34

(2.59)

(2.60)

Suma elementelor de pe diagonala principală se obine folosind funciile sum şi diag. Funcia diag(A) scoate ca rezultat un vector coninând elementele de pe diagonala principală. Tastai: diag(A)

(2.61)

MATLAB va răspunde cu: ans = 16 10 7 1 Tastând:

(2.62)

sum(diag(A))

(2.63)

se va obine rezultatul dorit: ans = 34


(2.64)

44/221

5/14/2018



45

Suma elementelor de pe anti-diagonala matricei A, se poate obine folosind funcia, fliplr, care generează matricea permutată stanga-dreapta (flip left-right). Astfel pentru a obine suma dorită tastai: sum(diag(fliplr(A)))

(2.65)

MATLAB va răspunde cu: ans = 34

(2.66)

Aflarea dimensiunilor matricelor şi vectorilor este posibilă folosind funciile size şi length. Deoarece matricea A este o matrice 4x4, executând comanda size(A) se obine: size(A)

(2.67)

ans = 4 4

(2.68)

Funcia find determină indicii elementelor unui vector care îndeplinesc o condi ie logică dată. În forma sa cea mai simpla, find întoarce un vector coloană de indici cu elemente nenule. Transpunând acel vector se obine un vector de tip rând de indici. Dacă definim B = [ 0 1 2; 1 0 3; 1 2 0] şi aplicăm funcia find , găsim locaiile numerelor nenule folosind indexarea unidimensională în matricea B: k = find(B)'

(2.69)

k = 2

(2.70) 3

4

6

7

8

Pentru a afişa acele numere nenule ca un vector rând în ordinea determinat ă de k, folosim operaia B(k) ans = 1 1

(2.71) 1

2

2

3

Când folosii vectorul k drept index stânga într-o instruciune de asignare, structura matricei este păstrată. De pildă tastai: B(k) = NaN (2.72) = B (2.73) 0 NaN NaN NaN 0 NaN NaN NaN 0

2.3.5. Concatenarea şi reconfigurarea matricelor. Concatenarea este procesul de alăturare a matricelor mici pentru a construi matrice mai mari. De fapt, o matrice reprezint ă concatenarea elementelor sale individuale. Perechea de paranteze p ătrate, [ ] , este operatorul


45/221

5/14/2018


46


de concatenare. De pildă, plecând de la matricea A, construii matricea B = [A A+32; A+48 A+16] . Rezultatul este o matrice 8 x 8, obinută alăturând cele patru sub-matrice. B = 16 3 2 13 48 35 34 45 5 10 11 8 37 42 43 40 9 6 7 12 41 38 39 44 4 15 14 1 36 47 46 33 64 51 50 61 32 19 18 29 53 58 59 56 21 26 27 24 57 54 55 60 25 22 23 28 52 63 62 49 20 31 30 17

(2.74)

Sumele elementelor de pe coloanele matricei B se obin folosind funcia sum(B): ans = 260 260 260 260 260 260 260 260

(2.75)

Sumele elementelor de pe rândurile matricei B se obin folosind funcia sum(B')'. ans = 196 196 196 196 324

(2.76)

324 324 324 Putei şterge rânduri şi coloane dintr-o matrice folosind doar o pereche de paranteze pătrate. Începei cu X = A. Apoi, pentru a şterge cea de-a doua coloan ă a lui X , folosii X(:, 2) = [ ] . Astfel X devine: X = 16 2 13 5 11 8 94

(2.77)

714 121

Dacă ştergei un singur element dintr-o matrice, rezultatul nu mai este o matrice. Deci expresii ca X(1, 2) = [ ] sunt incorecte şi generatoare de erori.

2.3.6. Funcii de analiză matriceală. MATLAB include o bibliotecă de funcii de analiză matriceală din care fac parte cele din Tabelul 2.6. Pentru exemplificare se consider ă B = [5 2; 1 3].


46/221

5/14/2018



Tabel 2.6 Funcie cond det eig norm rank trace

Descriere Numărul de condiionare Calculează determinantul unei matrice Calculează valorile proprii ale unei matrice Calculează norma unei matrice sau a unui vector Calculează rangul unei matrice Calculează urma unei matrice sau suma elementelor de pe diagonala principală

47

Exemplu cond(B) → 2.6180 det(B) → 13 eig(B) → 5.7321 2.2679 norm(B) → 5.8339 rank(B) → 2 trace(B) → 8

2.4. Rezolvarea sistemelor de ecuaii liniare folosind operaii cu matrice Una dintre problemele importante în calculul tehnic const ă în soluionarea simultană a ecuaiilor liniare. În limbaj matriceal, această problemă poate fi formulată după cum urmează: Fiind dat ă o matrice A şi un vector B , exist ă un vector unic X astfel încât AX = B sau XA = B ? Putem considera în prima fază exemplul unei matrice A de dimensiune 1x1, A = 7 şi B = 21. Are ecuaia 7 . X = 21 o soluie unică ? Bineîneles şi soluia aceasta este obinută prin împărire, X = 21/7 = 3. Soluia nu este în general obinută prin calculul inversului lui 7 , adică 7 -1 = 0.142857 ..., şi apoi prin înmulirea lui 7 -1 cu 21. Aceste operaiuni ar presupune mai multe calcule şi, dacă 7 -1 este reprezentat de un numar finit de digi i, operaiunile ar putea conduce la un rezultat afectat de erori. Considera ii similare sunt ii liniare valabile în cazul ecua seturilor mai mult o ănecunoscut . MATLAB rezolv ă asemenea ii f ărde ă aecua calcula inversacumatricei. Celededou simboluri ăde împărire, ”/” şi ”\” sunt folosite pentru cele două situaii în care matricea necunoscută apare în stânga sau în dreapta matricei coeficienilor. • X = A\B reprezintă soluia ecuaiei matriceale AX = B. • X = B/A reprezintă soluia ecuaiei matriceale XA = B.

În practică, ecuaiile liniare de forma AX = B sunt mult mai frecvente decât cele de forma XA = B. Matricea coeficienilor A nu trebuie să fie neapărat pătratică. Dacă A este de dimensiune ă treipatratic, cazuri posibile: m • x mn,=exsist n sistem caz în care se caută o soluie exactă.

• m > n sistem supradeterminat, caz în care se caută o soluie în sensul celor mai mici

patrate. • m < n sistem subdeterminat, caz în care se caută o soluie de bază cu cel mult m componente nenule. Cazul cel mai frecvent întâlnit în practic ă este cel în care m = n şi în care avem de a face cu un sistem pătratic.


47/221

5/14/2018


48


Dacă matricea A este singulară, soluia ecuaiei AX = B fie nu există, fie nu este unică. Operaia A\B generează un mesaj de avertizare dacă matricea A este aproape singulară şi un mesaj de eroare dacă matricea A este singulară.

2.4.1. Formularea matriceală a sistemelor de ecuaii liniare. Fie următorul sistem de ecuaii liniare: 3x + 2y – z = 10 - x + 3y + 2z = 5 x - y - z = -1

(2.78)

Acest sistem poate fi pus sub forma matriceal ă AX = B unde: • matricea A = [3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; • vectorul X = [x; y; z]; • vectorul B = [10; 5; -1];

2.4.2. Rezolvarea sistemelor prin împărirea matricelor. O metodă de rezolvare a sistemelor de ecuaii liniare constă în împărirea matricelor. În cazul aplicaiei numerice de mai sus rezolvarea ecuaiei matriceale presupune împărirea la stânga a matricelor: AX = B

=> X = A \ B

(2.79)

Astfel pentru a rezolva aplicaia numerică de mai sus se face apel la următoarea secvenă de comenzi MATLAB: A = [3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; B = [10; 5; -1]; X = A\B Rezultatul calculelor efectuate este următorul:

(2.80)

X = [-2.0000; 5.0000; -6.0000]

(2.81)

Ceea ce semnifică faptul că soluia sistemului este: x = -2, y = 5 şi z = -6 .

2.4.3. Rezolvarea sistemelor prin inversarea matricelor. O altă metodă de rezolvare a sistemelor de ecuaii liniare constă în inversarea matricelor. În cazul aplicaiei numerice de mai sus rezolvarea ecuaiei matriceale presupune inversarea matricei A. Astfel înmulind la stânga sistemul matriceal AX = B cu A-1 se obine: A-1 AX = A-1 B

=>

I X = X = A -1 B

(2.82)

Inversarea unei matrice în MATLAB presupune utilizarea funciei specifice inv. Astfel pentru a rezolva aplicaia numerică de mai sus se face apel la următoarea secvenă de comenzi MATLAB: A = [3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; B = [10; 5; -1];


(2.83)

48/221

5/14/2018



49

X = inv(A)*B Rezultatul calculelor efectuate este acelaşi cu cel obinut prin metoda împăririi matricelor: X = [-2.0000; 5.0000; -6.0000]

(2.84)

Aceasta semnifică faptul că soluia sistemului este x = -2, y = 5 şi z = -6 . Folosind ansamblul de comenzi de cronometrare a timpului de calcul tic toc se poate constata că metoda de rezolvare a sistemelor folosind inversarea matricelor conduce la un timp de calcul sensibil mai lung decât metoda împ ăririi matricelor.

2.5. Aplicaii numerice APLICA IA 1: Genera  i o matrice 4x4 cu numere reale aleatoare cuprinse între 0 şi 100 folosind func  ia MATLAB rand. Se foloseşte comanda MATLAB: 100*rand(4, 4) În urma lansării în execuie a comenzii anterioare rezultatul MATLAB este similar cu cel de mai jos: ans = 95.0129 89.1299 82.1407 92.1813 23.1139 76.2097 44.4703 73.8207 60.6843 45.6468 61.5432 17.6266 48.5982 1.8504 79.1937 40.5706 APLICA IA 2: Genera  i matricea A =[16 2 3 NaN; NaN 11 10 8; Nan 7 6 12; 4 Nan 15 1]. Afecta  i valoarea zero elementelor NaN ale matricei A şi afi şati rezultatul pe ecran folosind func  ia MATLAB isnan de găsire a elementelor care nu sunt numere (care sunt NaN – Not a Number ) ale unei matrice. Se foloseşte setul de comenzi MATLAB: A = [16 2 3 nan; nan 11 10 8; nan 7 6 12; 4 nan 15 1] A (isnan(A)) = 0 Rezultatul MATLAB va fi:


49/221

5/14/2018


50

A = 16 2 3 NaN 11 NaN 7 4 NaN


NaN 10 8 6 12 15 1

A = 16 2 3 0 0 11 10 8 0 7 6 12 4 0 15 1 APLICA IA 3: Crea  i într-un editor exterior MATLAB-ului (de pild ă Notepad) un fi şier text matrice.dat sau matrice.txt con  inând următoarele date: 16.0 3.0 11.0 2.0 13.0 5.0 10.0 8.0 9.0 6.0 7.0 12.0 4.0 15.0 14.0 1.0 Importa  i fi şierul în MATLAB workspace folosind una din sintaxele func  iei ”load”: load matrice.dat sau load matrice.txt.

Se deschide aplicaia Windows Notepad şi se tastează valorile de mai jos separate de tab. 16.0 3.0 2.0 13.0 5.0 9.0 10.0 6.0 11.0 7.0 8.0 12.0 4.0 15.0 14.0 1.0 Se salvează informaiile de mai sus în directorul curent, în fişierul cu numele matrice.txt . Se încarcă în Workspace matricea de mai sus în variabila A, folosind comanda MATLAB : A = load('matrice.txt'); APLICA IA 4: Se dau vectorii x = [1 5 2 8 9 0 1] şi y = [5 2 2 6 0 0 2]. Executa  i comenzile de mai jos şi explica  i rezultatele ob  inute: x > y y < x y(y= x x | y (În MATLAB operatorul ”|” înseamnă ”sau” logic) x & y (În MATLAB operatorul ”&” înseamnă ” şi” logic)


50/221

5/14/2018



51

x & (~y) (x > y) | (y < 4) (x > y) & (x < y)

Se lansează setul de comenzi MATLAB: x = [1 5 2 8 9 0 1] y = [5 2 2 6 0 0 2] x > y ans = 0 1 0 1 1 0 0 Vectorul obinut mai sus are aceeaşi lungime cu x şi cu y, iar elementul k are valoarea 0 acolo unde x(k) ≤ y(k), respectiv valoarea 1 acolo unde x(k) > y(k). y < x ans = 0

1

0

1

1

0

0

Vectorul obinut este identic cu cel obinut în urma apelului comenzii x > y. y(y
6

0

Se obine un vector ce conine toate elementele k ale vectorului y ce verifică următoarea condiie y(k) < x(k). x == y ans = 0

0

1

0

0

1

0

Vectorul obinut are aceeaşi lungime cu x şi cu y, elementul k având valoarea 0 acolo unde condiia x(k) = y(k) nu este îndeplinită, respectiv valoarea 1 acolo unde condiia x(k) = y(k) este îndeplinită. x <= y ans = 1

0

1

0

0

1

1

Se obine un vector de aceeaşi lungime cu x şi cu y în care elementul k are valoarea 0 acolo unde x(k) > y(k), respectiv valoarea 1 acolo unde x(k) ≤ y(k). y >= x ans = 1

0

1

0

0

1

1

Răspunsul este identic cu cel obinut în urma apelului comenzii x <= y. x | y ans = 1 1 1 1 1 0 1 Se obine un vector de aceeaşi lungime cu x şi cu y în care elementul k are valoarea 0 acolo unde x(k) = 0 şi y(k) = 0, respectiv valoarea 1 acolo unde x(k) ≠ 0 sau y(k) ≠ 0. x & y ans = 1

1

1

1


0

0

1

51/221

5/14/2018


52


Vectorul obinut are aceeaşi lungime cu x şi cu y, elementul k având valoarea 0 acolo unde x(k) = 0 sau y(k) = 0, respectiv valoarea 1 acolo unde x(k) ≠ 0 şi y(k) ≠ 0. x & (~y) ans = 0

0

0

0

1

0

0

Vectorul obinut are aceeaşi lungime cu x şi cu y, elementul k având valoarea 0 acolo unde x(k) = 0 sau y(k) ≠ 0, respectiv valoarea 1 acolo unde x(k) ≠ 0 şi y(k) = 0. (x > y) | (y < 4) ans = 0 1 1

1

1

1

1

Se obine un vector de aceeaşi lungime cu x şi cu y în care elementul k are valoarea 0 acolo unde x(k) ≤ y(k) şi y(k) ≥ 4, respectiv valoarea 1 acolo unde x(k) > y(k) sau y(k) < 4. (x > y) & (x < y) ans = 0 0 0

0

0

0

0

Se obine un vector de aceeaşi lungime cu x şi cu y în care toate elementele sunt nule întrucât condiiile x > y şi x < y sunt contradictorii şi nu pot fi îndeplinite simultan niciodată. APLICA IA 5: Localiza  i elementele matricei A =[16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1] care sunt mai mici decât 10 şi afi şati-le pe ecran. Se face apel la setul de comenzi MATLAB: A =[16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1]; A>10; A(A>10)' Răspunsul MATLAB este următorul: ans = 16 11 14 15 13 12 APLICA IA 6: Crea  i matricea A =[16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1] si determina  i numărul de elemente şi dimensiunile matricei folosind func  iile MATLAB numel , şi size. Se foloseşte setul de comenzi MATLAB: A = [16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1]; numel(A) size(A) Răspunsul MATLAB este: ans = 16


52/221

5/14/2018



ans = 4

53

4

Prin urmare matricea A are 16 elemente şi are dimensiunile 4 x 4.  IA 7: APLICA Să se creeze în directorul curent un fi şier script care să genereze o matrice A de dimensiune 10 x 10 şi un vector B de dimensiune 10 x 1, ambele cu elemente aleatoare cuprinse între 0 şi 100. Apoi să se determine numărul de condi  ionare al matricei A şi să se rezolve sistemul AX = B prin dou ă metode.

Se folosesc comenzile MATLAB: A = 100*rand(10, 10); B = 100*rand(10, 1); cond(A) X1= X2= A\B inv(A)*B Răspunsul MATLAB este similar cu cel de mai jos: ans = 110.7713 X1 = 3.8843 2.5836 -0.9715 -1.2489 0.9733 -3.9952 -0.6386 -0.6295 -0.0911 -0.4651 X2 = 3.8843 2.5836 -0.9715 -1.2489 0.9733 -3.9952 -0.6386 -0.6295 -0.0911 -0.4651


53/221

5/14/2018


54


Prin urmare numărul de condiionare al matricei este 110.7713 iar soluia ecuaiei este fie X1 fie X2. APLICA IA 8:  Crea ad ă4ugând la Genera fiecare  din elementele matricei =[16 2 3egale 13; cu5 ă matrice 11 10i o8;matrice 9 7 6 B12; 14 15161]. i o nou C avândA elementele r ăd ăcina pătrat ă a elementelelor matricei B. Genera  i o nouă matrice D având elementele egale cu pătratul elementelelor matricei C. Folosi  i func  ia sqrt de extragere a radicalului.

Se face apel la setul de comenzi MATLAB de mai jos: A =[16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1]; B = A + 16 C = sqrt(B) D = C.^2 Răspunsul MATLAB este: B = 32 21 25 20

18 27 23 30

19 26 22 31

29 24 28 17

C = 5.6569 4.5826 5.0000 4.4721

4.2426 5.1962 4.7958 5.4772

4.3589 5.0990 4.6904 5.5678

5.3852 4.8990 5.2915 4.1231

D = 32.0000 21.0000 25.0000 20.0000

18.0000 27.0000 23.0000 30.0000

19.0000 26.0000 22.0000 31.0000

29.0000 24.0000 28.0000 17.0000

APLICA IA 9: Crea  i un vector cu elementele Xn=(-1)n+1 /(2n-1) unde n ia valoarea de la 1 la 100. Calcula  i suma elementelor acestui vector. Se folosesc comenzile MATLAB: n = 1:100; Xn = (-1).^(n+1)./(2*n-1);


54/221

5/14/2018



55

Suma = sum(Xn) Răspunsul MATLAB este: Suma = 0.7829 APLICA IA 10: Calcula  i numeric limita seriei ∑ Xn pentru n=1... ∞ , în care Xn=1/[n(n+1)]. Vom calcula seria pentru valori din ce în ce mai mari ale lui n folosind seturile de comenzi MATLAB de mai jos: n = 1:100; Xn = 1./(n.*(n+1)); format long Suma = sum(Xn) Funcia format long permite afişarea răspunsul cu mai multe zecimale pentru a evidenia mai clar evoluia acestuia. MATLAB va răspunde cu: Suma = 0.99009900990099 n = 1:1000 Xn = 1./(n.*(n+1)) Suma = sum(Xn) MATLAB va răspunde cu: Suma = 0.99900099900100 n = 1:10000 Xn = 1./(n.*(n+1)) Suma = sum(Xn) MATLAB va afişa răspunsul: Suma = 0.99990000999900 n = 1:100000 Xn = 1./(n.*(n+1)) Suma = sum(Xn) MATLAB va răspunde cu: Suma = 0.99999000010001


55/221

5/14/2018


56


Se observă că pe măsură ce n creşte Suma tinde asimptotic la 1. Deci limita seriei este 1. APLICA IA 11: Calcula  i valorile curen  ilor I 1 , I 2 , I 3 folosind teoremele lui Kirchoff şi opera  iile cu  ii pune  i-le sub forma [R]*[I]=[U], unde [R] matrice Cele 3ă de ecuadimensiune reprezint ădino MATLAB. matrice cunoscut 3x3, [I] reprezint ă un vector coloană necunoscut care con  ine cei 3 curen  i, iar [U] reprezint ă un vector coloană cunoscut.

7V I1

I2 1Ω

I3 2Ω

3 Ω

12 V

Se scriu ecuaiile lui Kirchoff corespunzătoare circuitului studiat: I1 + I3 I1 -+I2 2·I2 = 7= 0 2·I2 + 3·I3 = 12 Sistemul de ecuaii trebuie pus sub forma matriceală [R]·[I] = [U] ca mai jos: 1·I1 - 1·I2 + 1·I3 = 0 1·I1 + 2·I2 + 0·I3 = 7 0·I1 + 2·I2 + 3·I3 = 12

 1 − 1 1   I 1   0        adică sub forma: 1 2 0  ⋅  I 2  =  7   0 2 3   I 3  12        Setul de comenzi MATLAB care generează matricele cunoscute [R] şi [U] este: R = [1 -1 1; 1 2 0; 0 2 3]; U = [0; 7; 12];


56/221

5/14/2018



57

Soluia sistemului se obine cu una din comenzile MATLAB de mai jos: I = R\U sau I = inv(R)*U MATLAB va răspunde cu: I = 1.0000 3.0000 2.0000 Deci valorile celor trei cureni sunt: I1 = 1 A I2 = 2 A I3 = 3 A


57/221

5/14/2018


58


3. FUNCII MATEMATICE UZUALE MATLAB pune la dispoziia utilizatorului o bibliotecă bogată de funcii matematice de diferite tipuri.

3.1. Funcii de aproximare a numerelor Funciile MATLAB de rotunjire a numerelor sunt prezentate succint în Tabelul 3.1. Tabel 3.1 Funcia ceil fix floor round rem mod rat rats sign

Descriere Exemplu Returnează un număr întreg rotunjit la cel mai apropiat ceil(3.2) → 4 număr întreg spre +infinit Returnează un număr întreg rotunjit la cel mai apropiat fix(-3.2) → -3 număr întreg spre zero Returnează un număr întreg rotunjit la cel mai apropiat număr întreg spre –infinit Returnează un număr întreg rotunjit la cel mai apropiat număr întreg Returnează restul împăririi argumentelor Returnează modulul restul împăririi argumentelor Returnează aproximarea unui număr cu fracii raionale continue Returnează aproximarea unui număr cu fracii raionale Returnează semnul argumentului

floor(3.2) → 3 round(3.2) → 3 rem(-5,2) → -1 mod(-5,2) → 1 rat(5.2) → 5 + 1/(5) rats(5.2) → 26/5 sign(-5.2) → -1 sign(5.2) → +1 sign(0) → 0

Funciile de mai sus pot fi aplicate unor scalari sau pot fi aplicate element cu element unor matrice sau vectori.

3.2. Funcii de operare cu numere complexe Operaiile principale specifice numerelor complexe din pachetul MATLAB sunt prezentate în Tabelul 3.2. Tabel 3.2 Funcia abs angle unwrap conj imag

Descriere Calculează (valoarea absolută) modulul numerelor complexe Calculează faza numerelor complexe Calculează pările reală şi imaginară a numerelor complexe exprimate sub formă polară Calculează conjugata complexă a numerelor complexe Calculează partea imaginară a numerelor complexe


Exemplu abs(3+4i) → 5 angle(1+i) → 0.7854 unwrap(1+i) → 1+i conj(1+i) → 1-i imag(1+3i) → 3

58/221

5/14/2018



real complex isreal

59

Calculează partea reală a numerelor complexe real(3+i) → 3 Construieşte numere complexe dacă se cunosc complex(2,3) → 2+3i pările reală şi imaginară Determină dacă elementele matricelor sau vectorilor isreal([2 3]) → 1 sunt numere reale

Operaiile aritmetice clasice rămân valabile pentru numerele complexe, respectiv pentru vectori şi matrice având ca elemente numere complexe, Tabel 3.3. Tabel 3.3 Operator + * / \

’^ ()

Operaie Adunare Scădere Înmulire Împărire Împărire la stânga Putere Transpusa complex conjugată Pentru ordinea operaiilor

3.3. Funciile putere, radical, logaritm şi exponenială Funciile MATLAB de ridicare la putere, de extragere a radicalului, de calcul al logaritmului şi al exponenialei sunt prezentate în Tabelul 3.4. Tabel 3.4 Funcia ^ power mpower exp log log2 log10 nextpow2 pow2 sqrt reallog realpow realsqrt

Descriere Ridicare la putere a numerelor sau matricelor Ridicare la putere a numerelor sau matricelor element cu element Ridicare la putere a matricelor Calculează exponeniala Calculează logaritmul natural Calculează logaritmul în baza 2 Calculează logaritmul în baza 10 Calculează puterea N a lui 2 care majorează modulul lui 2N Calculează puterea lui 2 Calculeaz de ordinul 2 al numerelor Calculeazăă radicalul logaritmul natural pentru numere pozitive Calculează puterea numerelor pozitive Calculează radicalul de ordinul 2 al numerelor pozitive


Exemplu 2^2 → 4 power(2,2) → 4 mpower(2,2) → 4 exp(2) → 7.3891 log(7.3891) → 2 log2(4) → 2 log10(100) → 2 nextpow2(15) → 4 pow2(5) → 32 sqrt(36) reallog(9)→→6 2.1972 realpow(2,3) → 8 realsqrt(16) → 4

59/221

5/14/2018


60


3.4. Funcii trigonometrice MATLAB dispune de o bibliotecă bine pusă la punct de funcii trigonometrice care sunt prezentate în Tabelul 3.5. Funciile trigonometrice pot aciona asupra unor scalari sau asupra elementelor unor vectori sau matrice, în func ie de tipul argumentului transmis. Unghiurile sunt în general considerate în radiani. Tabel 3.5 Funcia sin asin sinh

Descriere Calculează sinusul argumentului Calculează arcsinusul argumentului Calculează sinusul hiperbolic al argumentului

asinh cos acos

Calculează arcsinusul hiperbolic al argumentului Calculează cosinusul argumentului Calculează arcosinusul argumentului

cosh acosh tan atan tanh

Calculează cosinusul hiperbolic al argumentului Calculează arcosinusul hiperbolic al argumentului Calculează tangenta argumentului Calculează arctangenta argumentului Calculează tangenta hiperbolica a argumentului

atanh

Calculează arctangenta hiperbolică a argumentului

cot acot coth

Calculează cotangenta argumentului Calculează arcotangenta argumentului Calculează cotangenta hiperbolică a argumentului

acoth sec asec sech

Calculează arcotangenta hiperbolică a argumentului Calculează secanta argumentului Calculează arcsecanta argumentului Calculează secanta hiperbolică a argumentului

asech csc acsc csch

Calculează arcsecanta hiperbolică a argumentului Calculează cosecanta argumentului Calculează arccosecanta argumentului Calculează cosecanta hiperbolică a argumentului

acsch

Calculează arccosecanta hiperbolică a argumentului

Exemplu sin(pi/2) → 1 asin(1) → 1.5708 sinh(2+2i) → -1.5093 + 3.4210i asinh(2) → 1.4436 cos(pi) → -1 acos(-1) → 3.1416 → + 3.2979i cosh(2+2i) -1.5656 acosh(2) → 1.3170 tan(pi/4) → 1 atan(1) → 0.7854 tanh(2+2i) → 1.0238 - 0.0284i atanh(2) → 0.5493 + 1.5708i cot(pi/4) → 1 acot(1) → 0.7854 coth(2+2i) → 0.9760 + 0.0271i acoth(2) → 0.5493 sec(pi) → -1 asec(-1) → 3.1416 sech(2+2i) → -0.1175 - 0.2475i asech(2) → 1.0472i csc(pi/2) → 1 acsc(1) → 1.5708 csch(2+2i) → -0.1080 - 0.2447i

acsch(2) → 0.4812

3.5. Funcii de matematică discretă MATLAB conine un ansamblu de funcii de matematică discretă cum ar fi funciile de calcul al divizorilor şi multiplilor comuni etc. după cum sunt prezentate în Tabelul 3.6.


60/221

5/14/2018



Tabel 3.6 Funcia factor

Descriere Întoarce un vector ce conine factorii primii ai unui număr n Calculează factorialul unui număr n Calculează cel mai mare divizor comun a două numere Calculează cel mai mic multiplu comun a dou ă numere Întoarce un vector ce conine numerele prime mai mici decât n Determină dacă elementele unui vector sau matrice sunt numere prime Calculează combinări de n luate câte k Calculează toate permutările posibile

factorial gcd lcm primes isprime nchoosek perms

61

Exemplu factor(39) → 3 13 factorial(4) → 24 gcd(115, 35) → 5 lcm(115, 35) → 805 primes(7) → 2 3 5 7 isprime([4 5 7]) → 0 1 1 nchoosek(3, 2) → 3 perms([2, 3]) → 3 2 23

3.6. Aplicaii numerice APLICA IA 12: Se d ă un transformator monofazat func  ionând în gol şi având următoarele date: R1=1Ω , X σ 1=2Ω , Rw= 2000 Ω , X m= 2000 Ω. Tensiunea primar ă este U 1=220 V. Să se scrie un fi şier script care să aibă ca parametri datele transformatorului şi care să permit ă calculul mărimilor: a) Curentul I 10 şi tensiunea U 20’ în gol, b) Puterile activă P şi reactivă Q absorbite de transformator. 10

I10 R1 U 1

10

jXσ1

Rw jXm U20’

Folosind setul de comenzi MATLAB de mai jos se definesc mărimile cunoscute, caracteristice transformatorului: R1 = 1; Xs1 = 2; Xm = 2000; Rw = 2000; U1 = 220;


61/221

5/14/2018


62


Pentru a calcula mărimile cerute se face apel la comenzile MATLAB: I10 = U1/(R1 + j*Xs1 + j*Rw*Xm/(Rw + j*Xm)) U20p = I10*j*Xm*Rw/(Rw + j*Xm) P10 = R1*abs(I10^2) + abs(U20p^2)/Rw Q10 = Xs1*abs(I10^2) + abs(U20p^2)/Xm Răspunsul MATLAB va fi: I10 = 0.1098 - 0.1099i U20p = 2.1967e+002 -1.0967e-001i P10 = 24.1517 Q10 = 24.1758 APLICA IA 13: Să se genereze un vector X=1:10 şi un vector Y cu 10 de elemente numere întregi aleatoare între 0 şi 100. Programul va crea un alt vector Y1 care se ob  ine înlocuind cu 0 toate numerele divizibile cu 7 şi va afi şa cei trei vectori X, Z, Y1. Se folosesc instruciunile MATLAB: X = 1 :10 Y = round(100*rand(1, 10)) Y1 = Y ; Y1(rem(Y1, 7)==0) = 0 MATLAB va afişa cei trei vectori în mod similar ca în exemplul de mai jos : X = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Y = 84 37 62 73 19 90 57 63 23 55 Y1 = 0 37 62 73 19 90 57 0 23 55 APLICA IA 14: Să se genereze vectorul x=[3 15 9 12 -1 0 -12 9 6 1] şi să se precizeze comenzile care vor efectua următoarele opera  iuni: a) crează un vector y1 care con  ine valorile vectorului x însă în care toate valorile pozitive sunt egalate cu zero b) creazădeun vector y2 care multiple 3 sunt egalate cu 3 con  ine valorile vectorului x însă în care toate numerele c) crează un vector y3 care con  ine valorile vectorului x însă multiplicând cu 5 valorile pare ale lui x d) extrage valorile lui x care sunt mai mari ca 10 şi le grupează într-un vector y4 e) crează un vector y5 care con  ine valorile vectorului x însă în care toate valorile mai mici decât media elementelor sunt egalate cu zero f) crează un vector y6 care con  ine valorile vectorului x însă în care toate valorile mai mari decât media elementelor sunt egalate cu diferen  a acestora fa ă de medie.


62/221

5/14/2018



63

Comenzile MATLAB necesare pentru generarea vectorilor x, y1, y2 … y6 sunt următoarele: x=[3 15 9 12 -1 0 -12 9 6 1] y1 = x; y1(y1>0) = 0 y2 = x; y2(rem(y2, 3) == 0) = 3 y3 = x; y3(rem(y3, 2) == 0) = y3(rem(y3, 2) == 0)*5 y4 = x; y4 = y4(y4>10) y5 = x; y5(y5sum(y6)/length(y6)) = y6(y6>sum(y6)/length(y6)) - sum(y6)/length(y6) Răspunsurile MATLAB corespunzătoare sunt:

x = 3 15 9 y1 = 0 0 0 y2 = 3 3 3 y3 = 3 15 9

12 0 3 60

-1 0 -12 9 -1 0 -12 0 -1 3 3 3 -1 0 -60 9

6 1 0 0 3 1 30 1

y4y5==150 12 15 9 12 0 0 0 9 6 0 y6 = 3.0000 10.8000 4.8000 7.8000 -1.0000 1.0000

0 -12.0000 4.8000 1.8000

APLICA IA 15: Afecta  i valoarea zero elementelor matricei A =[16 5 4 1; 5 1 10 6; 3 7 6 1; 2 1 13 10] care nu sunt prime şi afi şati rezultatul pe ecran folosind func  ia MATLAB ”~isprime” de găsire a numerelor neprime aplicat ă unei matrice. În MATLAB operatorul ”~” înseamnă ”nu logic”). Se folosesc următoarele comenzi MATLAB: A = [16 5 4 1; 5 1 10 6; 3 7 6 1; 2 1 13 10] ; A(~isprime(A)) = 0 MATLAB va răspunde cu: A = 0 5 0 0 5 0 0 0 3 7 0 0 2 0 13 0 APLICA IA 16: Să se calculeze cel mai mic divizor comun al numerelor 55878, 112782, 1278. Se folosesc următoarele instruciuni MATLAB: ab = gcd(55878, 112782); cmmdc = gcd(ab, 1278)


63/221

5/14/2018


64


MATLAB va răspunde cu: cmmdc = 6 Deci cel mai mic divizor comun al celor trei numere naturale este 6.


64/221

5/14/2018



65

4. FUNCII MATLAB DE INTERES GENERAL 4.1. Expresii MATLAB Ca alte limbaje de programare, MATLAB pune la dispoziie expresii matematice, dar spre deosebire de multe alte limbaje de programare aceste expresii lucreaz ă cu matrice. În clasa expresiilor pot fi incluse variabilele, numerele, operatorii şi funciile.

4.1.1. Variabile. MATLAB nu necesită nici un tip de instruciuni de declaraie sau dimensionare a variabilelor. Când MATLAB întâlneşte un nou nume de variabilă, acesta crează automat variabila şi alocă memoria necesară. Dacă variabila deja există, MATLAB schimbă coninutul acesteia şi dacă este necesar alocă o altă cantitate de memorie. De pild ă tastai: (4.1) num_studenti = 25 MATLAB crează o matrice 1x1 numita num_studenti şi alocă valoarea 25 singurului element al matricei. Numele de variabile constau dintr-o liter ă, urmată de un număr de litere, cifre, etc. MATLAB foloseşte doar primele 31 caractere ale unui nume de variabilă. MATLAB face deosebirea între litere mari şi mici (este case sensitive). A şi a nu reprezintă aceeaşi variabilă. Pentru a vizualiza matricea asociat ă oricărei variabile, tastai numele acestei variabile.

4.1.2. Numere. MATLAB foloseşte pentru numere notaia zecimală convenională, cu punct zecimal opional şi semne plus sau minus. Notaia ştiinifică foloseşte litera e pentru a specifica 10 la o putere. Numerele imaginare folosesc fie i fie j ca sufix. Iată câteva exemple de numere: 3 -99 0.0001 9.6397238 1.60210e-20 6.02252e23 1i -3.14159j 3e5i

(4.2)

Toate numerele sunt stocate intern folosind formatul long standardizat. Având o precizie de circa 16 cifre semnificative, variind între aproximativ 10-308 şi 10+308.

4.1.3. Operatori. Operatorii aritmetici familiari folosii în MATLAB sunt prezentai în Tabelul 4.1. Tabel 4.1 Operator + * / \

Operaie Adunare Scădere Înmulire Împărire Împărire la stânga


65/221

5/14/2018


66

^ ’ ()


Putere Transpusa complex conjugată Pentru ordinea operaiilor

4.1.4. Funcii. MATLAB pune la dispoziia utilizatorului un mare număr de funcii matematice standard, cum ar fi de pild ă abs, sqrt, exp, şi sin. Scoând radical sau aplicând logaritm unui număr negativ nu este eroare ci rezultatul este un număr complex calculat automat. MATLAB dispune de o multitudine de alte func ii matematice mult mai avansate cum ar fi de pild ă cazul funciilor Bessel. Multe dintre aceste funcii acceptă argumente complexe. O listă a funciilor elementare se poate obine tastând help elfun. Pentru a obine o listă a funciilor mai avansate de matematică şi de manipulare a matricelor tastai help specfun, help elmat. Anumite funcii cum ar fi sqrt şi sin, sunt incluse în MATLAB core. Acestea sunt prin urmare foarte eficiente, dar detaliile de calcul nu sunt uşor accesibile. Alte funcii ca sinh, sunt implementate în fişiere de tip M având codul accesibil, acesta putând fi chiar modificat. Diverse funcii speciale furnizează valori ale unor constante folositoare, ca în Tabelul 4.2. Tabel 4.2 pi i j eps realmin realmax Inf NaN

3.14159265... sqrt(-1) sqrt(-1) Precizia relativă în virgulă mobilă 2-52 Cel mai mic număr în virgulă mobilă 2-1022 Cel mai mare număr în virgulă mobilă (2-eps)21023 Infinit Not a number

ărirea cu zero a uni număr ne-nul, sau prin evaluarea este generat Infinite (Inf) unor expresii matematice careprin depîmp ăşesc realmax. Not-a-number (NaN) este generat când se încearcă evaluarea expresiilor de genul 0/0 sau Inf-Inf care nu au valori matematice bine definite. Numele func iilor nu sunt rezervate, deci putem suprascrie peste oricare dintre ele o nouă variabilă, de pildă eps = 1.e-6 şi apoi să utilizăm acea valoare în calcule ulterioare. Funcia originală poate fi restaurată cu funcia clear eps.

4.1.5. Exemple de expresii. Iată câteva exemple de expresii MATLAB şi rezultatele corespunzătoare. Tastai: rho = (1+sqrt(5))/2

(4.3)

rho = 1.6180

(4.4)

a = abs(3+4i)

(4.5)

a = 5

(4.6)


66/221

5/14/2018



67

z = sqrt(besselk(4/3,rho-i))

(4.7)

z = 0.3730+ 0.3214i

(4.8)

huge = exp(log(realmax))

(4.9)

huge = 1.7977e+308

(4.10)

toobig = pi*huge

(4.11)

toobig = Inf

(4.12)

4.2. Introducerea variabilelor, funciilor şi comenzilor MATLAB Funciile şi comenzile MATLAB se lansează la linia de comandă în fereastra Command Window. Prompt-ul (>>) din Command Window indică faptul că MATLAB este gata de a accepta o comandă din partea dvs. Când apare promptul >>, putei introduce o variabilă sau lansa o funcie. De pildă, pentru a crea o matrice, A de dimensiune 3 x 3 tasta  i: A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 10]

(4.13)

După cevaairătastat MATLAB spundelinia cu: de comandă de mai sus, când apă sa  i tasta Enter sau Return, A = 1 2 3 4 5 6 7 8 10

(4.14)

Pentru a lansa o funcie, tasta  i func  ia, inclusiv toate argumentele şi apă sa  i tasta Return sau Enter. MATLAB va afişa rezultatul. De pildă, tasta  i: rand(3) şi MATLAB va răspunde cu:

(4.15)

ans = 0.4199 0.9200 0.6208 0.7537 0.8447 0.7313 0.7939 0.3678 0.1939

(4.16)


67/221

5/14/2018


68


Dacă vrei să introducei mai multe linii de comand ă înainte să le lansai în execuie, folosii tastele Shift + Enter sau Shift + Return după fiecare linie, până la ultima. Apoi apăsai Enter sau Return pentru a lansa în execuie toate liniile. Afişarea promptului sub forma K >> în Command Window indică faptul că MATLAB lucrează în debug mode.

4.2.1. Funcia format. Funcia format controlează formatul numeric al valorilor afişate de MATLAB. Funcia afectează doar afişarea numerelor, nu şi modul de calcul şi salvare. Iată câteva exemple de formate, împreună cu rezultatele furnizate. Tasta  i: format short

(4.17)

x = [4/3 1.2345e-6]

(4.18)

x = 1.3333 0.0000

(4.19)

format short e

(4.20)

x

(4.21)

x = 1.3333e+000 1.2345e-006

(4.22)

format short g

(4.23)

x

(4.24)

x =1.3333 1.2345e-006

(4.25)

format long

(4.26)

x

(4.27)

x = 1.33333333333333 0.00000123450000

(4.28)

format long e

(4.29)

x

(4.30)

x = 1.333333333333333e+000 1.234500000000000e-006

(4.31)

format long g

(4.32)

x

(4.33)


68/221

5/14/2018



x = 1.33333333333333

69

(4.34) 1.2345e-006

format bank

(4.35)

x

(4.36)

x = 1.33

(4.37) 0.00

format rat

(4.38)

x

(4.39)

x =

(4.40) 4/3

1/810045

format hex

(4.41)

x

(4.42)

x = 3ff5555555555555 3eb4b6231abfd271

(4.43)

format +

(4.44)

x

(4.45)

x = ++

(4.46)

Dacă cel mai mare element al unei matrice este mai mare decât 10 3 sau mai mic decât 10-3, MATLAB aplică un factor de scalare comun pentru formatele short şi long. În plus faă de funciile format arătate mai sus funcia format compact şterge din liniile vide afişate odată cu rezultatele MATLAB în Command Window.

4.2.2. Evaluarea unei selecii. Pentru a lansa în execuie o selecie în Command Window, efectua  i selec  ia, apoi executai un clic-dreapta şi selecta  i Evaluate Selection din meniul contextual. Nu putei evalua o selecie cât timp MATLAB este ocupat, de pildă pe durata lansării unui fişier M. 4.2.3. Deschiderea unei selecii. Pentru a deschide un fişier function M, selectai funcia corespunzătoare fişierului în Command Window, şi apoi clic-dreapta şi selectai Open Selection din meniul contextual. Fişierul function M asociat func iei respective se deschide în Editor/Debugger. 4.2.4. Lansarea unui singur proces. În MATLAB putei lansa doar un singur proces simultan. Dacă MATLAB este ocupat cu rularea unei alte funcii, orice altă comandă lansată


69/221

5/14/2018


70


nu va putea fi executată. Comanda următoare va fi lansată când cea anterioară s-a încheiat. De pildă, nu putei defini breakpoints din Editor/Debugger cât timp MATLAB execută o funcie în Command Window.

4.2.5. Diferenierea între litere mari şi litere mici. MATLAB face diferena între litere mici şi litere mari (este case sensitive). De pildă, nu putei lansa funcia Plot ci trebuie să lansai funcia plot. În mod similar, variabila a nu este tot una cu variabila A. Trebuie notat faptul că dacă folosii funcia help, numele funciilor sunt afişate cu litere mari, de pildă, PLOT , însă doar cu scopul de a le scoate în eviden ă faă de restul textului. Nu folosii litere mari când lansai funcii MATLAB. Anumite funcii de interfaare cu Java într-adevăr folosesc minuscule şi majuscule şi trebuiesc introduse ca atare. Spa iile de tip blanc în jurul operatorilor cum ar fi -, :, şi ( ), sunt opionali, şi pot îmbunătăi claritatea programului. 4.2.6. Introducerea mai multor funcii pe o linie de comandă. Pentru a introduce mai multe funcii într-o singură linie de comandă, separai funciile cu o virgulă ( , ) sau punct şi ă ( ;precedente. şi virgul virgul ). Prin folosirea ; ) sepentru eliminaăconstrui afişarea un rezultatului comenzii De pildsemnului 3 func ii pe ăo (linie tabel de ă, plasaipunct logaritmi :

>> format short; x = (1:10)'; logs = [x log10(x)]

(4.47)

apoi apăsai Enter sau Return pentru a lansa funciile în ordine de la stânga la dreapta.

4.2.7. Introducerea liniilor de comandă lungi. Dacă o instruciune nu încape pe o linie, folosii 3 puncte, "..." pentru a indica faptul ca această instruciune continuă pe linia următoare, apăsai apoi Enter sau Return pentru a avansa la linia următoare şi apoi continuai introducerea instruciunii. De pildă: s = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 ... - 1/8 + 1/9 - 1/10 + 1/11 - 1/12;

(4.48)

sau de pildă: headers = ['Author Last Name, Author First Name, ' ... 'Author Middle Initial']

(4.49)

MATLAB va afişa: headers = Author Last Name, Author First Name, Author Middle Initial

(4.50)

Numărul maxim de caractere permis pe o singură linie este de 4096.

4.2.8. Marcarea sintaxei. Anumite instruciuni apar în diferite culori pentru a vă ajuta să găsii mai uşor anumite elemente, cum ar fi identificarea perechilor de instruciuni if/else:


70/221

5/14/2018



71

• Tastai un string şi acesta va fi afişat în mov. Când finalizai tastarea string-ului, acesta • • • •

devine roşu; Tastai un cuvânt cheie, cum ar fi funcia for şi aceasta va fi afişată cu albastru. Liniile de comandă pe care le introducei între funciile de început şi sfârşit de control logic sunt scrise cu aliniat. Un dublu-clic pe o paranteză rotundă de deschidere sau închidere ( ), parantez ă dreaptă [], sau acoladă {}, are ca urmare selectarea caracterelor dintre acea parantez ă şi perechea sa. Tastând o paranteză de închidere (sau deschidere) şi paranteza sa pereche de deschidere (sau închidere) paranteza respectivă apare pentru scurt timp marcată cu altă culoare. Tastai o paranteză de închidere (sau deschidere) prost pusă şi MATLAB va afişa o linie orizontală peste paranteza respectivă. De pildă:

>> CC = C {:}

(4.51)

• Folosii tastele săgeată pentru a vă poziiona deasupra unei paranteze de deschidere sau închidere. Acea paranteză şi paranteza sa pereche de închidere sau deschidere apar

pentru scurt timp marcate cu altă culoare. • Dacă tastai simbolul %, MATLAB înelege că ceea ce urmează este un comentariu şi va apare scris în culoarea verde. Aceea informaie este tratată de MATLAB ca un comentariu. Tastai o comandă sistem, cum ar fi ! (shell escape), şi linia va apare în galben. Erorile apar scrise în roşu. Culorile predefinite sunt indicate aici – pentru a le schimba folosii Preferences

Cuvintele cheie sunt marcate cu albastru Variabilele de tip string închise sunt marcate cu maro Variabilele de tip string deschise sunt marcate cu mov

Fig. 4.1. Marcarea cuvintelor cheie MATLAB.

4.2.9. Editarea liniei de comenzi. Facilităile de editare a textului permit creşterea eficienei şi reducerea timpului de lucru. 4.2.9.1. Lucrul cu clipboard-ul . Comenzile Cut, Copy, Paste, Undo, şi Redo din meniul Edit fac parte din această categorie şi pot fi folosite în editarea textului introdus la linia de


71/221

5/14/2018


72


comandă în Command Window. Unele dintre aceste comenzi pot fi accesate deasemenea din meniul contextual.

4.2.9.2. Re-apelarea liniilor de comandă. Folosii tastele tip săgeată, tasta tab, şi tastele de control pentru a reapela, edita, şi refolosi funcii pe care le-ai introdus anterior. De pildă, să presupunem că din greşeală ai introdus: rho = (1+ sqt(5))/2

(4.52)

MATLAB va răspunde cu: ??? Undefined function or variable 'sqt'.

(4.53)

Deoarece ai introdus greşit funcia sqrt. În loc de a retasta întreaga linie, ap ăsai tasta ↑. Linia tastată anterior este reafişată. Folosii tastele tip săgeata stânga sau dreapta pentru a repoziiona cursorul şi pentru a corecta funcia şi a introduce litera r care lipseşte şi deci ă linii. Pute pentru aanterior. obine sqrt în locpede sqt. Folosirea repetat tastei ↑ reapeleaz de comand tastate Funciile care le-a i introdus suntă amemorate într-un buffer i folosiă re-apelarea inteligentă pentru a reapela o funcie anterioară ale cărei prime caractere le specificai dvs. De pildă, tastând literele plo şi apăsând tasta ↑ va fi reapelată ultima funcie care a început cu plo, cum ar fi cazul func iei plot apelată recent. Această operaiune face difereniere între litere mici şi mari. În Tabelul 4.3 este prezentată o listă de taste tip săgeată sau taste de tip control pe care le pute i folosi în Command Window. Tabel 4.3 Tasta

Tasta control Operaiune Re-apelează linia anterioară Ctrl+P ↑ Re-apelează linia următoare ↓ Ctrl+N ← Mută cursorul înapoi cu un caracter Ctrl+B Mută cursorul înainte cu un caracter → Ctrl+F Mută cursorul la dreapta cu un cuvânt Ctrl + → Ctrl+R Mută cursorul la stânga cu un cuvânt Ctrl + ← Ctrl+L Home Ctrl+A Mută cursorul la începutul unei linii End Ctrl+EMută cursorul la sfârşitul unei linii Şterge linia Esc Ctrl+U Delete Ctrl+D Şterge caracterul din dreapta cursorului Şterge caracterul din stânga cursorului Backspace Ctrl+H Şterge caracterele până la sfârşitul liniei Ctrl+K Selectează caracterele până la începutul liniei Shift+Home Shift+End

Selectează caracterele până la sfârşitul liniei

4.2.9.3. Completarea numelui cu ajutorul tastei Tab. MATLAB completează numele unei funcii, variabile, nume de fişier, sau proprietate a unui grafic, dacă tastai primele câteva litere şi apoi apăsai tasta Tab. Dacă există un singur nume, numele este completat în mod automat. De pildă, dacă ai creat o variabilă costuri_iulie, tastai costuri şi apăsai tasta Tab. MATLAB va completa numele, afişând costuri_iulie. Apăsai apoi Return sau Enter pentru a lansa instruciunea. În acest exemplu, MATLAB afişează coninutul variabilei costuri_iulie. Dacă există mai multe nume care încep cu literele pe care le-ai tastat, apăsai


72/221

5/14/2018



73

tasta Tab din nou pentru a vedea o lista a acestor nume. De pildă, tastai cos şi apăsai tasta Tab. MATLAB nu afişează nimic, indicând că există mai multe nume de funcii care încep cu cos. Apasai din nou Tab şi MATLAB va afişa:

cos

cos_tr

cosh

cosint

costfun

costuri_iulie

(4.54)

Lista rezultantă cu nume de funcii include numele variabilei pe care a i creat-o, costuri_iulie, dar include deasemenea şi alte funcii care încep cu cos.

4.2.10. Ştergerea comenzilor afişate în Command Window. Pentru ştergerea comenzilor afişate în Command Window selecta  i Clear Command Window din meniul Edit. Această comandă nu şterge variabilele din workspace, ci doar afişarea comenzilor. Prin urmare putei continua să folosii tasta ↑ pentru a reapela funcii lansate anterior. Acelaşi efect de ştergere se obine prin tastarea la linia de comandă a funciei clc. Similar funciei clc, funcia home mută prompt-ul pe primul rând şi prima coloană în fereastra Command Window. 4.2.11. Eliminarea afişării comenzilor . Dacă o linie de comandă se încheie cu punct şi virgul ă ( ; ), MATLAB lansează instruciunea, dar în urma apăsării tastei Enter sau Return, nu afişează nimic pe ecran. Această comandă devine foarte utilă în cazul generării matricelor mari. De pildă, dacă tastai: A = rand(200);

(4.55)

şi apoi apăsai tasta Enter sau Return MATLAB crează matricea A dar nu o afişează pe ecran.

4.2.12. Paginarea rezultatelor în Command Window. Dacă rezultatul în Command Window este lung, este posibil să nu încapă pe ecran şi să fie afişat prea repede pentru a putea fi îneles. Folosii funcia more pentru a controla paginaia afişării în Command Window. Iniial, funcia more este dezactivată (este off ). Când tastai more on, MATLAB afişează doar o pagină (un ecran întreg) de rezultate simultan. După afişarea primului ecran, apăsai una dintre tastele din Tabelul 4.4. Tabel 4.4 Tasta Enter sau Return Space Bar Q

Aciune Avans la linia următoare Avans la pagina următoare Opreşte afişarea rezultatelor

4.2.13. Controlul formatului şi spaierea rezultatelor. Iniial, rezultatul numeric din Command Window este afişat ca o valoare scalată în virgulă fixă cu 5-digii. Proprietăile de afişare a textului pot fi modificate pentru a schimba formatul numeric al rezultatului. Formatul de afişare al textului afectează doar modul de afişare al numerelor, nu şi modul de calcul MATLAB sau modul de salvare. Un rezultat similar în ceea ce prive şte controlul


73/221

5/14/2018


74


formatului de afişare al valorilor numerice din Command Window se obine prin folosirea funciei format. Formatul pe care îl specificai este valabil doar pe durata sesiunii curente.

4.2.14. Controlul interspaiilor. Pentru a controla interspaiile la afişarea textului în Command Window folosii funcia format în următoarele variante: • format compact pentru a suprima liniile vide; acest format v ă permite totodată să

vizualizai mai multe informaii în Command Window. • format loose pentru a afişa liniile vide; acest format permite o vizualizare mai u şoară a informaiilor.

4.2.15. Tipărirea coninutului ferestrei Command Window. Pentru a tipări tot coninutul Command Window, selectai Print din meniul File. Pentru a printa doar o selecie, efectuai mai întâi selecia în Command Window şi apoi alegei Print Selection din meniul File. 4.2.16. Înregistrarea unei sesiuni de lucru. Funcia diary crează o copie a sesiunii dvs. MATLAB într-un fişier pe disc, incluzând instruciunile introduse de la tastatură în Command Window şi răspunsul sistemului, exclusiv graficele. Putei vizualiza şi edita fişierul text rezultant folosind orice procesor de text. Pentru a crea un fi şier pe disc, denumit octombrie23.out care conine toate funciile pe care le introducei, şi toate răspunsurile MATLAB, tastai diary('octombrie23.out'). Pentru a întrerupe înregistrarea sesiunii, folosii diary('off'). Există alte două modalităi de vizualizare a informaiei unei sesiuni: • Utilizând Command History, care conine o listă a tuturor funciilor executate în

sesiunea curentă şi cele anterioare 1.3.2).

• Utilizând sub Windows opiunea logfile de lansare a MATLAB-ului (vezi paragraful

4.2.17. Execuia fişierelor M. Execuia fişierelor M, care sunt fişiere ce conin instruciuni scrise în limbajul MATLAB, se efectuază în acelaşi fel ca execuia oricărei alte funcii MATLAB. Tasta  i numele fişierului M în Command Window şi ap ăsai tasta Enter sau Return. Pentru a afişa fiecare funcie din fişierul M pe măsură ce aceasta este executată, selectai opiunea Echo on, din meniul File + Preferences + Command Window sau folosii funcia echo on tastată la linia de comandă. 4.2.18. Întreruperea unui program în execuie. Putei întrerupe un program în execuie în orice moment, apăsând combinaia de taste Ctrl+C sau Ctrl+Break. Sub Windows, s-ar putea să mai treacă o anumită perioadă de timp până când funcia curentă sau fişierul MEX î şi încheie activitatea. Sub UNIX, execuia programului se încheie imediat. 4.2.19. Execuia programelor externe MATLAB-ului. Semnul de exclamare, "!", este un shell escape şi indică faptul că restul de comandă tastată la linia de comenzi este o comandă către sistemul de operare. Folosii această facilitate pentru a lansa alte programe f ără a părăsi mediul MATLAB. De pildă, tastai comanda !dir care este similară cu lansarea


74/221

5/14/2018



75

comenzii dir din MS-DOS. După ce programul sau comanda executată se încheie, sistemul de operare reîntoarce controlul MATLAB-ului.

4.2.20. Deschiderea fişierelor M. Pentru a deschide un fişier M, selectai fişierul sau funcia în Command Window, şi apoi clic-dreapta şi selectai Open Selection din meniul contextual. Fişierul M se deschide în Editor/Debugger. 4.2.21. Examinarea erorilor. Dacă un mesaj de eroare apare la lansarea unui fi şier M, clicai pe poriunea subliniată a mesajului de eroare, sau apăsai Ctrl+Enter. Fişierul M ce conine eroarea se deschide în Editor, cu zona ce include linia eronat ă afişată în prim plan.

4.3. Opiuni de configurare Command Window Proprietăile ferestrei Command Window pot fi modificate din meniul File + Preferences + Command Window. 4.3.1. Text display. Meniul Text display conine opiuni de configurare a rezultatelor în Command Window: • Numeric format – Permite setarea formatului valorilor numerice afi şate în Command

Window. Acesta afectează doar modul de afişare a numerelor, nu şi modul de calcul sau salvare specifice MATLAB-ului. • Numeric display – Permite setarea interspaiilor în Command Window. Pentru a elimina liniile vide, folosii compact. Pentru a afişa liniile vide folosii loose. conine opiuni de activare sau dezactivare a ecoului şi a 4.3.2. Display. dimensiunii buffer Meniul Display -ului: • Echo on – Selectai această opiune dacă dorii vizualizarea în Command Window a

comenzilor din fişierele M aflate în execuie. • Wrap lines – Textul introdus la linia de comandă şi rezultatele în Command Window se pot extinde pe mai multe linii pentru a se încadra în lăimea curentă a ferestrei Command Window. În acest caz scroll-bar-ul orizontal nu apare întrucat nu mai este necesar. • Limit matrix display width to eighty columns – Selectai această opiune dacă dorii ca MATLAB să afişeze doar 80 coloane ale rezultatului tip matrice, indiferent de lăimea ferestrei Command Window. Deselectai opiunea dacă lăimea fereastrei Command Window o setai mai mare de 80 coloane şi dorii ca rezultatul tip matrice s ă umple lăimea ferestrei Command Window. • Command session scroll buffer size – Setai dimensiunea buffer -ului care păstrează o listă a comenzilor lansate anterior pentru a fi reapelate.

4.3.3. Command Window Font & Color Preferences. Acest meniu permite specificarea caracteristicilor font-ului folosit în Command Window. Selectai Use desktop font dacă


75/221

5/14/2018


76


dorii ca fontul în Command Window să fie acelaşi cu cel specificat în General Font & Colors preferences. Dacă dorii ca fontul în Command Window să fie diferit, selectai Use custom font şi specificai caracteristicile fontului pentru Command Window. Alege  i de pildă: • Font, SansSerif ; • Style, bold ; • Size în points, 12 points. După efectuarea seleciei, zona Sample area va afişa noua înf ăişare a fontului. Tot în cadrul aceleiaşi ferestre putei specifica culorile folosite în Command Window: • Text color – Culoarea textului obişnuit; • Background color – Culoarea de fundal a ferestrei; • Syntax highlighting – Culorile folosite pentru a sublinia sintaxa. Dacă opiunea este

selectată, clicai pe Set Colors pentru a le specifica.

4.3.4. Command Window Keyboard & Indenting. Acest meniu permite modificarea anumitor proprietăi legate de tastatură şi de aliniere. • Command line key bindings. Selectai Windows sau Emacs în funcie de tipul de

proprietăi de accelerare şi prescurtare pe care le dori i în Editor/Debugger. De pildă, dacă selectai Windows, prescurtarea lui paste este Ctrl+V. Dacă selectai Emacs, aceeaşi prescurtare este Ctrl+Y. • Tab key. Tab size – permite setarea numărului de spaii asociate unui tab în cursul afişării rezultatelor. Numărul implicit este 4. Enable up to n tab completions – selectai această opiune dacă dorii să folosii taburi de completare când tastai funcii în Command Window. Apoi introducei o limită în căsua de editare. De pildă, dacă introducei 10, când folosii taburi de completare, MATLAB afişează lista de posibile completări dacă există 10 sau mai puine. Dacă există mai mult de 10, MATLAB afişează un mesaj care afirmă că există mai mult de 10 completări. Deselectai cutia dacă nu dorii să folosii taburile de completare. MATLAB mută cursorul la următorul tab stop când apasai tasta Tab, în loc să completeze numele unei funcii. • Paranthesis matching. Acest meniu permite furnizarea de informa ii în vederea corelării parantezelor şi devine foarte util când în cadrul unei linii de comand ă apar paranteze multiple a căror poziie determină ordinea operaiilor matematice.

4.4. Utilizarea funciei Help Principalele căi de accesare a documentaiei MATLAB constau în folosirea ferestrei Help, a funciilor Help şi a altor facilităi specifice.

4.4.1. Tipuri de informaii Help . Fereastra şi funciile Help permit accesul la diferite tipuri de documentaii care se folosesc în funcie de necesitate.


76/221

5/14/2018



77

• Release Notes – Opiune ce oferă o vedere de ansamblu a noilor produse şi caracteristici • • •

•

ale versiunii curente. Documentaia aferentă conine printre altele şi un upgrade al informaiei împreună cu problemele şi limitările specifice . Getting Started with ... – Opiune destinată în primul rând începătorilor, ce permite accesul la o documentaie ce conine instruciunile de bază ale produsului respectiv. Using ... collections – Acest material conine instruciunile complete pentru folosirea unui produs. Reference Pages – Orice funcie are o pagină de referină care conine sintaxa, descrierea, exemple şi alte informaii despre acea funcie. Aceasta include link-uri către alte funcii înrudite şi informaii adiionale. Există Reference pages puse la dispoziie şi pentru blocuri. Folosii paginile de referină pentru a învăa mai mult despre o funcie sau pentru a vizualiza sintaxa acesteia. M-File Help – Permite obinerea în fereastra Command Window a unor informaii de bază despre anumite fişiere de tip funcie. Informaiile pot conine o scurtă descriere a funciei şi a sintaxei acesteia, respectiv un exemplu simplu de utilizare. Această

ă M-file informa este denumit textul help-ului este o serie de comentarii scrise laie începutul fişierului M alhelp funcdeoarece iei respective. • Product Page – Permite accesare site-ului MathWorks Web, şi conine cele mai noi informaii despre produse. • Online Knowledge Base – Opiune ce facilitează obinerea suportului tehnic online oferit de MathWorks în vederea soluionării întrebărilor puse de utilizatori.

4.4.2. Folosirea ferestrei Help Navigator. 4.4.2.1. Folosirea opiunii Product Filter. Folosii Product filter în fereastra Help Navigator pentru a vizualiza doar documentaia produselor specificate de dvs., Fig. 4.2.

Fig. 4.2. Filtrarea informaiilor obinute în MATLAB Help.

Pentru afişarea documentaiei tuturor produselor MathWorks instalate pe calculatorul dvs., selectai All . Pentru a vizualiza doar o anumită documentaie specifică produselor MathWorks instalate pe calculatorul dvs., setai Product filter pe opiunea Selected . Pentru a specifica setul de produse dorit, clica  i pe butonul Select. Fereastra Help Product Filter se deschide, Fig. 4.3. Selectai produsele a căror documentaie dorii să o accesai în fereastra Help Navigator şi apoi clicai pe OK . În aceste condiii, cu Product filter setat pe opiunea Selected , Help Navigator va afişa doar documentaia corespunzătoare produselor specificate de dvs. Panelurile din stânga ferestrei Help permit accesarea selectivă a documentaiei, după cum urmează: • Contents va lista doar setul produselor specificate de dvs. • Index va afişa informaii doar despre termenii index din setul de produse specificate de dvs. • Search va efectua căutarea documentaiei doar în setul de produse specificate.


77/221

5/14/2018


78


• Demos permite vizualizarea unor demonstraii ale funciilor şi facilităilor produselor

precizate de dvs. • Favorites permite memorarea unor pagini ce conin informaii utile ce pot fi ulterior accesate rapid.

Fig. 4.3. Filtrul produselor MATLAB existente în sistem.

4.4.2.2. Folosirea listei Contents în fereastra Help. Pentru a lista titlurile şi tabla de materii corespondentă documentaiei produselor MathWorks, clicai pe Contents tab în panelul Help Navigator, Fig. 4.4. În Contents, putei: • Clica pe semnul + situat la stânga unui articol pentru o listare expandată, • Clica pe semnul - situat la stânga unui articol sau executa un dublu-clic pe articol pentru

a comprima afişarea acelui articol, • Selecta un articol pentru a vizualiza prima pagin ă a acelui document în panelul display din dreapta, • Executa dublu-clic pe un articol pentru o listare expandat ă şi pentru afişarea primei pagini a acelui document în panelul display, • Folosi tastele sageată ↓ ↑ pentru navigare prin lista cu articole.

4.4.2.3. Căutarea documentaiei folosind Index. Pentru a obine informaii despre o anumită funcie din documentaia MathWorks corespunzătoare produselor dvs., folosii Index tab în panelul Help Navigator, Fig. 4.5. Pentru a utiliza această facilitate: • Clica  i pe Index tab. • Tasta  i un cuvânt sau cuvinte în căsua de editare Search index for. Pe măsură ce tastai

literele unui cuvânt cheie, o listă de entităi ce conin literele tastate vor fi afişate treptat pe ecran.


78/221

5/14/2018



79

Fig. 4.4. Utilizarea opiunii Contents.

Fig. 4.5. Utilizarea opiunii Index.


79/221

5/14/2018


80


4.4.2.4. Căutarea documentaiei folosind Search. Pentru a căuta o anumită frază în documentaie, folosii Search tab în panelul Help Navigator, Fig. 4.6.

Fig. 4.6. Utilizarea opiunii Search.

Pentru utilizarea Search tab: • Clica  i pe Search tab. • Selecta  i un Search type: o Full Text caută prin toată documentaia. Acesta poate furniza un număr mare de articole. o Document Titles caută între titlurile documentaiei. Acesta este cel mai indicat pentru a începe o căutare minuioasă. o Function Name caută printre paginile de referină ale funciilor. Acesta este echivalent cu funcia doc. o Etc. • Tastai cuvântul sau cuvintele pe care le c ăutai în căsua de editare Search for, şi clicai

pe Go (sau apăsai Enter sau Return).

În funcie de selecia dvs. documentele coninând termenul căutat sunt listate, grupate după tipul produsului.

4.4.2.5. Pagini favorite. Clicai pe Favorites tab în Help Navigator pentru a vizualiza o listă a documentelor selectate de dvs. ca fiind favorite. Din list ă putei: • Selecta un articol – acel document apare în panelul display. • Ş terge  i un articol – executa  i un clic-dreapta pe articolul din listă şi selecta  i Remove din meniul contextual, sau apăsai pe tasta Delete. • Redenumii un articol - executa  i un clic-dreapta pe articolul din listă şi selecta  i Rename din meniul contextual. Tastai peste numele iniial numele nou. 4.4.2.6. Vizualizarea unor demonstraii. Clicai pe Demo tab în Help Navigator pentru a vizualiza diferite exemple de utilizare cu caracter demonstrativ a unor funcii sau facilităi


80/221

5/14/2018



81

MATLAB sau a produselor asociate. Lista disponibilă de exemple demonstrative este afişată în stânga ferestrei Help Navigator.

4.4.3. Folosirea funciilor Help. Există mai multe func  ii help care permit accesul la informaii de tip help în mod diferit decât fereastra Help, Tabel 4.5. Tabel 4.5. Funcia doc help helpbrowser, helpdesk helpwin lookfor

Descriere Afişează pagina de referină pentru funcia specificată în fereastra Help, furnizând informaii despre sintaxă, descriere, exemple şi link-uri la func ii similare Afişează M-file help în Command Window pentru funcia specificată Deschide fereastra Help Afişează în fereastra Help o listă a tuturor funciilor ce permit acces la M-file help ă specificat Afi şi o scurt descriere pentru toate Command Windowinclude o listăcuvântul funcşeaz iileă aîncăror scurtă descriere cheie

4.4.4. Alte metode de asistenă Help. În plus faă de fereastra Help şi funciile Help, anumite produse permit şi alte metode de accesare a informa iei de tip help, de pildă articole specifice în meniul Help, butoane Help în cutiile de dialog sau în meniurile contextuale. Multe produse includ exemple demonstrative care pun în evidenă trăsăturile de bază specifice. Deseori este utilă lansarea exemplelor demonstrative când folosii pentru prima dată un produs. Pentru a vedea lista cu exemple demonstrative accesibile pentru un produs, folosii Launch Pad , şi selectai un exempu considerat necesar.

4.5. Funcii de gestionare a spa iului de lucru, a directoarelor şi fişierelor 4.5.1. Spaiul de lucru MATLAB (MATLAB Workspace). Spaiul de lucru MATLAB sau workspace constă într-un set de variabile (vectori) definite în cursul unei sesiuni de lucru MATLAB şi stocate în memorie. Putei adăuga variabile la workspace-ul curent folosind funcii, lansând fişiere M, şi încărcând workspace-uri salvate anterior. De pildă tastai: t = 0:pi/4:2*pi; y = sin(t);

(4.56)

În acest moment în workspace vor exista două variabile, y şi t, fiecare având 9 valori.

4.5.2. Vizualizarea Workspace-ului curent. Pentru vizualizarea Workspace-ului curent putei folosi fereastra Workspace din MATLAB Desktop (vezi paragraful 1.4.2.6) sau funciile alternative: • who pentru a lista variabilele din workspace-ul curent; • whos pentru a lista variabilele şi informaii despre dimensiunile şi clasa lor;


81/221

5/14/2018


82


• exist pentru a vedea dacă variabila specificată se află în workspace.

De pildă dacă tasta  i comenzile: t = 0:pi/4:2*pi; y = sin(t); who

(4.57)

MATLAB va răspunde cu: Your variables are: t y

(4.58)

Dacă tasta  i:

whos MATLAB va răspunde cu:

(4.59)

Name Size Bytes Class t 1x9 72 double array y 1x9 72 double array Grand total is 18 elements using 144 bytes

(4.60)

4.5.3. Salvarea workspace-ului curent. Coninutul Workspace-ului nu este memorat de la o sesiune MATLAB la alta. Când încheiai sesiunea MATLAB, coninutul Workspacei salva ă sau toate ului se fipierde. Putecare din Workspace-ul într-un şier MAT, esteorice un fişvariabil ier MATLAB de tipvariabilele binar. Ulterior pute i încărca ficurent, şierul MAT fie în cursul sesiunii MATLAB curente sau într-o altă sesiune, în scopul reutilizării variabilelor din Workspace salvate.

4.5.3.1. Salvarea tuturor variabilelor . Pentru a salva toate variabilele din Workspace cu ajutorul ferestrei Workspace: • Din meniul File sau din meniul contextual selecta  i Save Workspace As, sau clicai pe butonul save din Workspace toolbar. Cutia de dialog Save se deschide. • Specifica  i locaia şi numele fişierului, de pildă worksp; MATLAB adaugă automat fişierului extensia .mat. • Clica  i pe Save. Variabilele workspace-ului sunt salvate sub numele fişierului MAT pe care l-ai specificat. 4.5.3.2. Salvarea variabilelor selectate. Pentru a salva doar anumite variabile din Workspace procedai de maniera următoare: • Selecta  i variabila în fereastra Workspace. Pentru a selecta mai multe variabile, folosi i Shift-clic sau Ctrl-clic. • Clic-dreapta şi din meniul contextual, selectai Save Selection As. Cutia de dialog Save to MAT-File se deschide.


82/221

5/14/2018



83

• Specifica  i locaia şi File name. MATLAB furnizează automat extensia .mat. • Clica  i pe Save.

Variabilele Workspace-ului pe care le-ai selectat sunt salvate în fişierul MAT cu numele pe care l-ai specificat. Workspace-ul curent poate fi salvat şi cu ajutorul comenzii save lansată la linia de comandă. Tastai de pildă save worksp. MATLAB va înregistra Workspace-ul curent în fişierul worksp.mat, extensia .mat fiind adăugată implicit.

4.5.4. Încărcarea coninutului unui Workspace salvat şi importul datelor. Pentru a încărca variabilele salvate dintr-un Workspace anterior procedai în felul următor: • Clica  i pe load data button

din toolbar-ul ferestrei Workspace, sau executai un clic-dreapta în fereastra Workspace şi selectai Import Data din meniul contextual. Cutia de dialog Open se deschide şi selectai fişierul MAT pe care dorii să-l încărcai şi clicai pe Open. Variabilele şi valorile acestora, salvate în fi şierul MAT, sunt încărcate în Workspace-ul curent. Dacă vreuna din variabilele care sunt încărcate au aceleaşi nume cu variabilele din Workspace-ul curent, valorile de fişierul MAT va înlocui valorile din Workspace-ul curent. Orice variabile din fişierul MAT care nu sunt în Workspace sunt adăugate la cele existente deja în Workspace-ul curent. • O altă variantă constă în utilizarea funciei load pentru a deschide un Workspace salvat. Tastai de pildă: o load('worksp') pentru a încărca vechiul Workspace împreună cu variabilele corespunzătoare o who pentru a vizualiza variabilele anterioare. Pentru a încărca sau importa date în MATLAB există şi alte metode, respectiv funcii cum ar fi: • Selecta  i din fereastra Workspace opiunea Edit + Paste Special , • Folosi  i Ctrl+V pentru a importa date în MATLAB folosind Import Wizard .

4.5.5. Schimbarea şi copierea numelor variabilelor. Pentru a redenumi o variabilă în Workspace, executai un clic-dreapta pe variabilă în fereastra Workspace şi selecta  i Rename din meniul contextual. Tastai noul nume de variabilă peste numele existent şi apăsai tasta Enter sau Return. Pentru a copia numele variabilelor în clipboard , selectai variabilele din Workspace şi apoi Edit + Copy. Putei copia numele acestora cu paste, de pildă, în Command Window. Variabilele multiple sunt separate de virgul ă. 4.5.6. Ştergerea variabilelor din Workspace. Putei şterge variabile din Workspace procedând în felul urm ător: • Din fereastra Workspace, selectai variabila, sau Shift+clic sau Ctrl+clic pentru a selecta mai multe variabile. Pentru a selecta toate variabilele, alege i Select All din meniul Edit sau meniurile contextuale. Apăsai tasta Delete sau clicai pe delete button din toolbar. O cutie de dialog de confirmare poate apare. Dac ă apare, clicai pe Yes pentru a şterge variabilele. Cutia de confirmare apare dac ă specificai acest lucru în meniul File + Preference.


83/221

5/14/2018


84


• Pentru a şterge toate variabilele odată, selectai Clear Workspace din meniul Edit în

fereastra Workspace. • O altă variantă de ştergere a variabilelor constă în utilizarea funciei clear. Tastai de pildă: o clear y pentru a şterge variabila y, o who pentru a verifica faptul că variabila y nu mai există în Workspace-ul curent, o clear pentru a şterge toate variabilele odată, o who pentru a verifica faptul că nu mai există nici o variabilă în Workspace-ul curent.

4.5.7. Crearea graficelor din fereastra Workspace. Pentru a reprezenta grafic o variabilă din fereastra Workspace procedai după cum urmează: • Clic-dreapta pe variabila pe care dorii să o reprezentai, • Din meniul contextual selecta  i Graph şi apoi alegei tipul de grafic pe care dorii să-l creai. Graficul va apare într-o fereastra figure. De pildă tastai: t = 0:pi/20:2*pi; pentru a crea variabila t y = sin(t); pentru a crea variabila y

(4.61) (4.62)

• Clic-dreapta pe variabila y, • Din meniul contextual selecta  i Graph Selection şi apoi alegei tipul de grafic plot.

Graficul va apare într-o fereastră figure ca mai jos, Fig. 4.7.

Fig. 4.7. Reprezentarea grafică a unei variabile.

4.5.8. Setarea căii de căutare (Set Path). MATLAB foloseşte căile de căutare pentru a găsi fişierele M şi alte fişiere MATLAB asociate, care sunt organizate în directoare în cadrul sistemului de fişiere Windows. Aceste fişiere şi directoare sunt furnizate cu MATLAB respectiv cu toolbox-urile asociate. Orice fi şier pe care dorii să-l lansai în MATLAB este localizat într-un director aflat într-o cale de căutare sau se află în directorul curent. Fişierele


84/221

5/14/2018



85

furnizate odată cu MATLAB, respectiv cu toolbox-urile MathWorks sunt incluse implicit în calea de căutare sau în MATLAB path. Pentru a crea fişiere MATLAB, adăugai în mod explicit directoarele coninând fişierele respective la calea de c ăutare MATLAB. Subdirectoarele trebuiesc deasemenea adăugate la calea de căutare; ele nu sunt adăugate implicit în calea de căutare chiar dacă directoarele lor ”tată” sunt. Calea de căutare este salvată în fişierul pathdef.m. Ordinea directoarelor în calea de c ăutare este importantă. De pildă dacă tastai test la promptul MATLAB din Command Window, MATLAB efectuează următoarele aciuni: • Caută test ca pe un nume de variabilă, • Verifică dacă test este o funcie MATLAB inclusă, • Caută în directorul curent un fişier cu numele test.m, • Caută în directoarele din MATLAB path, pentru a găsi fişierul test.m. Ordinea directoarelor din calea de c ăutare este important dacă mai există funcii cu aceleaşi nume. Când MATLAB caută acea funcie, doar prima funcie din calea de căutare este găsită. Alte funcii cu acelaşi nume nu pot fi executate.

4.5.9. Vizualizarea şi setarea căii de căutare. Pentru a vizualiza şi modifica MATLAB path şi pentru a vedea fişierele în directoarele care sunt în calea de căutare folosii cutia de dialog Set Path. Pentru a o accesa selectai Set Path din meniul File, sau tastai pathtool la linia de comandă. Cutia de dialog Set Path se va deschide ca mai jos, Fig. 4.8. Când folosii unul din aceste butoane schimb ările sunt executate asupra căi curente de căutare. Totuşi calea de căutare nu este automat salvată pentru sesiuni viitoare

Directoare adăugate la calea de căutare curentă MATLAB

Butoane ce permit modificarea căii de căutare

Buton ce permite salvarea modificărilor pentru sesiuni MATLAB ulterioare

Fig. 4.8. Fereastra Set Path.


85/221

5/14/2018


86


Folosind facilităile cutiei de dialog Set Path putei efectua următoarele aciuni: • Vizualiza calea de căutare, • Adăuga directoare la calea de c ăutare, • Muta directoare în calea de c ăutare, •• • • •

Ş terge directoare calea Reface calea de cădin utare inide ialăc,ăutare, Reveni la calea de căutare anterioară, Salva setările căii de căutare, Modifica pathdef.m.

4.5.10. Operaii cu fişiere. Operaiile MATLAB cu fişiere folosesc directorul curent ca punct de referină. Orice fişier pe care vrei să-l lansai trebuie mutat în directorul curent sau într-un director pe care să-l includei în calea de căutare. Deasemenea, când deschidei un fişier în MATLAB, punctul de plecare pentru cutia de dialog Open, de deschidere a fişierelor, este directorul curent. Operaiunile cu fişiere pot fi executate folosind câmpul Current directory, respectiv fereastra Current Directory (vezi paragraful 1.4.2.4). O metodă rapidă de a vizualiza sau modifica directorul curent este prin utilizarea câmpului Current Directory în Desktop toolbar. Pentru a modifica directorul curent din acest câmp, putei proceda în mai multe feluri, şi anume: • Tasta  i calea către noul director curent, • Clica  i pe să geata în jos ▼ pentru a vizualiza lista directoarelor de lucru anterioare şi selectai un articol din listă pentru a face ca acel director s ă devină directorul curent MATLAB. Directoarele sunt listate în ordine, cu cele mai recent folosite situate în partea superioară a listei. Putei şterge lista şi seta numărul de directoare salvate în list ă. • Clica  i pe browse button (...) pentru a seta un nou director curent. Alte func Tabelul 4.6. ii MATLAB de lucru cu fi şiere şi cu sistemul de operare sunt prezentate în Tabel 4.6 Funcia cd pwd dir, ls delete !

Destinaia Schimbă directorul curent Afişează directorul curent Listează fişierele şi subdirectoarele din directorul curent Şterge fişiere din directorul curent sau obiecte grafice Execută comezi ale sistemului de operare

4.6. Funcii de manipulare a datei şi orei MATLAB conine o multitudine de funcii de manipulare a datei şi orei. Iată câteva dintre aceste funcii ce pot avea utilitate practică în multe aplicaii numerice, Tabel 4.7. Tabel 4.7 Funcie clock date

Descriere Indică data curentă şi ora ca vector de tip dată Indică data curentă ca şir de caractere de tip dată


86/221

5/14/2018



calendar cputime etime tic, toc

87

Indică afişează calendarul lunii curente Afişeaza CPU time în secunde de când a fost lansat MATLAB Afişează timpul scurs în secunde Afişează timpul scurs între cele două comenzi

4.7. Elemente de interfaare MATLAB 4.7.1. Importul şi exportul datelor. MATLAB pune la dispoziie mai multe căi de încărcare a datelor din fişiere de pe disc sau din clipboard în Workspace, un proces numit importul datelor, şi de salvare a variabilelor din Workspace în fişiere pe disc, proces numit exportul datelor. Modul de lucru depinde de doi factori: • Operaia avută în vedere, de import sau export de date, • Formatul datelor: text, binar, etc. text,cedatele apară în coduri alfanumerice. tip American 4.7.1.1.Code Importul datelor de Interchange tip text . În format Standard for Information (ASCII), reprezint caractere Datele text ASCII pot fi vizualizate într-un editor de text. Importul datelor text poate fi efectuat prin mai multe metode, cum ar fi: folosind Import Wizard, Import Functions, importul datelor numerice de tip text, importul fişierelor de date de tip ASCII delimitate, importul datelor numerice cu text headers, importul datelor alfanumerice.

A) Importul datelor text folosind Import Wizard . Pentru a importa date de tip text folosind Import Wizard , se urmează paşii de mai jos: 1) Se lansează Import Wizard , selectând opiunea Import Data din meniul File din MATLAB Desktop. MATLAB afişeaza o cutie de dialog de selecie de fişiere. Acelaşi inei prin lansarea efect funcimportul iei uiimport la linia de comand, ăselecta . Pentruîl aobfolosi Import Wizard la datelor din clipboard i opiunea Paste Special din meniul Edit în MATLAB Desktop. Putei deasemenea executa un clic dreapta în MATLAB Command Window şi alege Paste Special din meniul contextual. Se trece apoi la pasul 3 pentru a continua importul datelor din clipboard . 2) Specificai în cutia de dialog fişierul pe care dorii să-l importai şi clicai pe Open. Import Wizard lansează fişierul şi încearcă să proceseze coninutul. 3) Specificai caracterul folosit ca separator între date. Acest caracter este denumit delimitator sau separator de coloane. Import Wizard poate determina delimitator–ul folosit în multe cazuri. După ce Import Wizard a procesat corect datele, clica  i pe Next. 4) Selectai variabilele pe care dorii să le importai. Implicit, Import Wizard pune toate ă şFig. datele într-o primului singură variabil i toate structurnumerice ă corespunzând buton din 4.9. datele text în alte variabile, aceast ă

Fig. 4.9. Opiuni pentru importul datelor.


87/221

5/14/2018


88


Uneori este util s ă creem variabile separate din fiecare rând (sau coloan ă) de date şi să folosim header-ul de rând (sau coloană) ca nume de variabilă. Pentru aceasta trebuie selectat butonul al doilea din Fig. 4.10. 5) Clicai pe Finish pentru a importa datele în Workspace. De pildă, în exemplul de mai jos, Fig. 4.10, Import Wizard a deschis fişierul, note.txt ce conine notele a 4 studeni, după cum urmează: Andrei 8 9 5 7 Ana 9 9 6 8 Marian 10 9 9 9 Cristian 7 8 7 6

(4.63)

Număr de linii de antet ignorate Delimitator găsit în fişier

Previzualizarea datelor din fişier Previzualizarea variabilelor create de Import Wizard fişier

Fig. 4.10. Vizualizarea datelor importate în fereastra Import Wizard .

Utilizând comanda whos se pot afişa caraceristicile variabilelor create în urma importului datelor din fişierul note.txt. În data se regăsesc notele studenilor, în rowheaders şi în textdata se regăsesc numele studenilor. whos Name Size Bytes Class data 4x4 128 double array rowheaders 4x1 286 cell array textdata 4x1 286 cell array Grand total is 70 elements using 700 bytes


(4.64)

88/221

5/14/2018



89

B) Importul datelor de tip text folosind Import Functions. Pentru a importa date de tip text de la linia de comandă sau din fişiere M, putei utliza funciile MATLAB de import. Alegerea depinde de formatul datelor. Datele de tip text trebuiesc aranjate într-o structură uniformă de rânduri şi coloane, folosind un delimitator sau separator de coloane, pentru a separa datele unele de altele. Delimitatorul poate fi spa  iul , virgula, punct şi virgula, tab, sau alte caractere. Datele individuale pot fi de tip alfabetic sau numeric sau un mixaj al celor două. Fişierul text poate deasemenea conine una sau mai multe linii de text, numite header lines, sau poate folosi text headers pentru identificarea fiecărei coloane sau linii. Exemplul de mai jos, Fig. 4.11, ilustrează un fişier text având ca delimitator un tab şi care conine text header şi header line şi column headers.

Fig. 4.11. Configurarea datelor importate.

În Tabelele 4.8 şi 4.9 sunt prezentate tipuri de formatare a datelor, respectiv func ii utilizate la importul datelor pentru diferite tipuri de formate. Detalii despre fiecare funcie se pot obine tastând la linia de comandă: help nume_func  ie Tabel 4.8 Exemplu de formatare a datelor 12345 6 7 8 9 10 1; 2; 3; 4; 5 6; 7; 8; 9; 10 sau 1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8, 9, 10 Ion Sectia 1 12.34 45 Da Marian Sectia 2 45.67 67 Nu Nota1 Nota2 Nota3 91.5 89.2 77.3 88.0 67.8 91.0 67.3 78.1 92.5


(4.65) Extensia fişierului .txt .dat sau altele .txt .dat .csv sau altele .txt .dat sau altele .txt .dat sau altele

89/221

5/14/2018


90

Tabel 4.9 Funcie csvread dlmread fscanf load textread


Tipul de date Format numeric Format numeric Format alfabetic şi numeric într-o singură variabilă Format numeric Format alfabetic şi numeric într-o singură variabilă

Delimitator Doar virgulă Orice caracter Orice caracter Doar spaii Orice caracter

4.7.1.2. Exportul datelor de tip ASCII delimitate. Pentru a exporta un vector într-un fişier de date de tip ASCII , putei folosi comanda save, specificând tipul -ASCII sau putei folosi funcia dlmwrite. Comanda save este mai uşor de folosit, însă funcia dlmwrite este mai flexibilă, permiându-vă să specificai orice caracter ca delimitator şi permiând exportul unor poriuni ale unui vector specificând gama de valori. Pentru a exporta vectorul A, A = [ 1 2 3 4 ; 5 6 7 8 ];

(4.66)

folosii comanda save după cum urmează: save fişierul_meu.out A –ASCII

(4.67)

Dacă vizualizai fişierul creat într-un editor de text, acesta arat ă în felul următor: 1.0000000e+000 2.0000000e+000 3.0000000e+000 4.0000000e+000 5.0000000e+000 6.0000000e+000 7.0000000e+000 8.0000000e+000

(4.68)

Comanda save foloseşte implicit spaii ca delimitatoare, dar putei folosi în locul acestora tab-uri specificând tipul -tabs. Dacă folosii save pentru a scrie un vector de caractere într-un fişier ASCII , MATLAB scrie echivalentul ASCII al caracterelor în fişier. Dacă scriei stringul 'hello' intr-un fişier, save scrie valorile 104 101 108 108 111. Pentru a exporta un vector în format ASCII specificând delimitatorul, folosii funcia dlmwrite. De pildă, pentru a exporta matricea A, A = [ 1 2 3 4 ; 5 6 7 8 ]; (4.69) ca un fişier de date ASCII care foloseşte punct şi virgulă ca delimitator, folosii comanda de mai jos: dlmwrite('my_data.out', A, ';')

(4.70)

Dacă se vizualizează fişierul creat într-un editor de text, acesta va conine următoarele informaii: 1; 2; 3; 4 5; 6; 7; 8


(4.71)

90/221

5/14/2018



91

Funcia dlmwrite nu inserează delimitatoare la sfârşitul rândurilor. Dacă nu se specifică un delimitator, dlmwrite foloseşte implicit o virgulă ca delimitator. Putei specifica un spaiu (' ') ca delimitator sau, dacă specificai spaiu vid (''), nici un delimitator. Exportul fişierelor de date poate fi efectuat deasemenea folosind funcia diary (vezi paragraful 4.2). Pentru a exporta vectori de dimensiuni reduse putei folosi comanda diary. Această funcie crează o copie a sesiunii MATLAB pe un fi şier disc (în afara graficelor).

4.7.2. Operaiuni speciale cu fişiere şi date. MATLAB prevede funcii specifice de operaiuni cu fişiere cum ar fi: • Căutare şi salvare de informaii de pe Internet, cu ajutorul funciilor urlread şi urlwrite, • Arhivare şi dezarhivare a fişierelor şi directoarelor folosind funciile zip şi unzip, • Trimitere automată de mesaje e-mail folosind funcia sendmail . 4.7.3. Elemente de interfaare MATLAB – Microsoft Word. MATLAB permite interfaarea cu pachetul de programe Microsoft Word. Astfel prin intermediul facilit ăilor specifice utilizatorul poate redacta un referat sau un raport tehnic folosind editorul Microsoft Word şi adin interiorul acestui etc. program poate în apela vederea calculului numeric, reprezent ării grafice beneficiind acelaMATLAB şi timp deînavantajele ambelor pachete de programe.

4.7.3.1. Comanda notebook. Comanda notebook permite accesul la facilităile MATLAB de calcul numeric şi reprezentare grafică din interiorul programului de editare de text Microsoft Word. Folosind comanda notebook putei crea documente denumite M-book care conin în acelaşi timp informaii de tip text, comenzi şi rezultate de calcul MATLAB. Documentele de tip M-book pot fi deosebit de utile în vederea elabor ării de referate, rapoarte tehnice, proiecte etc. permiând integrarea informaiilor de tip text şi a rezultatelor de calcul numeric, respectiv structurarea acestora într-un format unitar. 4.7.3.2. Crearea unui document de tip M-book. Pentru a crea un document de tip M-book trebuie lansată comanda notebook la linia de comandă MATLAB în fereastra Command Window: notebook

(4.72)

Dacă utilizai această comandă pentru prima dată atunci va trebui mai întâi să o configurai folosind secvena de comenzi în Command Window, notebook –setup

(4.73)

Ca r ăspuns la această comandă MATLAB vă invită să specificai ce versiune de Microsoft Word folosii. Welcome to the utility for setting up the MATLAB Notebook for interfacing MATLAB to Microsoft Word

(4.74)

Choose your version of Microsoft Word: [1] Microsoft Word 97


91/221

5/14/2018


92


[2] Microsoft Word 2000 [3] Microsoft Word 2002 (XP) [4] Exit, making no changes Microsoft Word Version: Tastai numărul ce corespunde versiunii dvs. De pildă tastai 3 dacă folosii Microsoft Word XP. Dacă MATLAB nu poate găsi toate fişierele necesare vă va solicita să specificai locaia fişierelor, inclusiv fişierul executabil Microsoft Word (winword.exe) şi fişierul de tip template (normal.dot ). Finalizarea configurării este anunată prin intemediul următorului mesaj: Notebook setup is complete.

(4.75)

Comanda notebook va lansa în execuie programul Microsoft Word şi va crea un nou document de tip M-book denumit Document1. Dacă în cursul lansării programului Microsoft Word apare o fereastră de dialog care solicită activarea sau dezactivarea comenzilor de tip macro va trebui să alegei activarea acestora. Prin intermediul comenzii notebook se definesc macro-urile Microsoft Word ce permit programului MATLAB să interpreteze diferitele tipuri de celule ce con in comenzi şi rezultate MATLAB. Comanda notebook adaugă meniul Notebook la bara de meniuri a programului Word ce permite accesare diferitelor facilităi specifice, Fig. 4.12.

Fig. 4.12. Meniul Notebook adăugat la bara de meniuri a programului Word .


92/221

5/14/2018



93

Pentru a crea un alt document de tip M-book trebuie selectată comanda New M-book din meniul File al programului Word, Fig. 4.13.

Fig. 4.13. Crearea unui nou document de tip M-book folosind comanda New M-book .

4.7.3.3. Deschiderea unui document de tip M-book existent. Pentru a deschide un document existent de tip M-book putei lansa în Command Window următoarea comandă MATLAB: notebook nume_fisier

(4.76)

unde nume_fisier reprezintă numele fişierului de tip M-book ce urmează a fi deschis. O altă metodă de deschidere a fişierelor de tip M-book existente presupune executarea unui dublu-clic pe fişierul respectiv într-un program de gestiune a fi şierelor cum ar fi Windows Explorer de pildă. În acest caz Microsoft Word deschide fişierul M-book apelat şi în plus lansează în execuie programul MATLAB dacă acest program nu este deja în rulare. ă meniul Comandaop adaug bara şde meniuri a programului Word notebook Notebookallaaceluia respectiv iunea New M-book în meniul File i program.

4.7.3.4. Conversia unui document Word într-un document M-book. Pentru a converti un document Word într-un document M-book se urmează paşii următori: 1. 2. 3. 4.

Se crează un nou document de tip M-book Din meniul Insert selectai meniul File Selectai fişierul ce trebuie convertit Clicai pe OK.


(4.77)

93/221

5/14/2018


94


4.7.3.5. Introducerea şi execuia comenzilor MATLAB într-un document M-book. Introducerea comenzilor şi a grupurilor de comenzi MATLAB într-un document M-book se efectuează în mod similar cu introducerea informa iilor de tip text obi şnuite, respectând însă sintaxa MATLAB specifică. Putei introduce de pildă într-un fişier M-book următoarele date ce reprezintă o combinaie de informaii de tip text şi de comenzi MATLAB: Să calcul ă m determinantul urmă tor: D = det( [1 2 3; 3 1 2; 3 2 1])

(4.78)

Pentru a executa comanda MATLAB det([1 2 3; 3 1 2; 3 2 1]) în documentul Word de tip M-book trebuie să definii comanda ca o celulă de intrare şi apoi să evaluai această celulă. Ca urmare MATLAB va afişa rezultatul comenzii într-o celul ă de ieşire în acelaşi document. Pentru comandă MATLAB ca celulă de intrare într-un document Word trebuie urma de maio jos: i paşaiidefini 1. Tastai comanda în documentul M-book. De pildă tastai: D = det([1 2 3; 3 1 2; 3 2 1])

(4.79)

2. Poziionai cursorul în interiorul comenzii şi selectai din bara de meniu Notebook -> Define Input Cell sau apăsai Alt+D. Dacă această comandă este înglobată într-o linie de text putei folosii mouse-ul pentru a selecta comanda. Astfel comanda MATLAB va fi definită ca o celulă de intrare fiind înglobată între paranteze pătrate de culoare gri, fontul schimbându-se în bold Courier New de culoare verde: [D

= det([1 2 3; 3 1 2; 3 2 1]) ]

(4.80)

3. Specificai celula de intrare ce urmează a fi evaluată selectând celula cu mouse-ul sau poziionând cursorul în interiorul ei, apoi selectai din bara de meniu Notebook -> Evaluate Cell sau apăsai combinaia de taste Ctrl+Enter. MATLAB va evalua celula de intrare şi va afişa rezultatul într-o celulă de ieşire ce va fi plasată imediat după celula de intrare. Dacă există deja o celulă de ieşire asociată, coninutul existent al acesteia va fi înlocuit în mod corespunzător. Iată de exemplu celula de intrare (4.80) şi cea de ieşire asociată după evaluarea MATLAB: [D [D

= det([1 2 3; 3 1 2; 3 2 1]) ] = 12

(4.81) (4.82)

]

Textul din celula de ieşire este marcat cu font albastru şi înglobat între paranteze pătrate bold, de culoare gri. Eventualele mesaje de eroare sunt marcate cu roşu.


94/221

5/14/2018



95

4.7.3.6. Evaluarea unui grup compact de celule de intrare într-un document M-book. Pentru a regrupa mai multe comenzi MATLAB definite ini ial ca celule de intrare separate, se selectează mai întâi celulele respective şi apoi se apelează opiunea din bara de meniu Notebook -> Grup Cells sau se apasă Alt+G. Dacă comenzile MATLAB nu sunt definite ini ial ca celule de intrare separate, constituirea acestora într-un grup de celule de intrare presupune selectarea grupului de comenzi cu mouse-ul şi alegerea din bara de meniu a op iunii Notebook -> Define Input Cell sau apăsarea combinaiei de taste Alt+D. Trebuie menionat faptul că un grup de celule nu trebuie s ă conină text sau celule de ieşire. Dacă grupul conine celule de ieşire acestea vor fi şterse iar dacă conine text acesta va fi mutat după grupul de celule. Dacă textul selectat odată cu grupul de celule se afl ă poziionat înaintea primei celule textul nu va suferi nicio modificare. Pentru a evalua simultan un grup de celule se poziionează cursorul în interiorul grupului de celule şi apoi se selectează Notebook -> Evaluate Cell sau se apasă combinaia de taste Ctrl+Enter. MATLAB va evalua grupul de celule de intrare şi va afişa rezultatul într-o celulă de ieşire ce va fi plasată imediat după grupul de celule de intrare. Dacă celula de ieşire asociată deja există aceasta va fi reactualizată în mod corespunzător. Să considerăm de pildă setul de informaii de mai jos ce includ date de tip text, un grup de celule de intrare ce permit definirea matricei A = [1 2 9; 2 3 4; 3 2 2], respectiv un grup de celule de ieşire pentru calculul inversei şi transpusei lui A: Să calcul ă m inversa şi transpusa matricei A [ A = [1 2 9; 2 3 4; 3 2 2];

(4.83)

A1 = inv(A) A2 = A']

[A1

=

0.0645 -0.4516 -0.2581 0.8065 0.1613 -0.1290 A2 = 1 2 3 2 3 2 9

4

0.6129 -0.4516 0.0323

]

2

4.7.3.7. Evaluarea unui grup de celule de intrare dispersate într-un document M-book. Pentru a evalua un grup de celule de intrare dispersate într-un document de tip M-book trebuie selectată poriunea de document ce conine celulele ce trebuiesc evaluate, ce pot fi eventual separate de informa ii de tip text. Ulterior se selectează din bara de meniu iunea Notebook -> ă combina ia de op se apas urma Evaluate Cell sau acestei operaiuni MATLAB va evalua fiecare celul ă de intrare dintaste selecCtrl+Enter. ie inserând În celulele de ieşire asociate sau reactualizând celulele de ieşire existente.

4.7.3.8. Definirea şi evaluarea unei zone de calcul dintr-un document M-book. Un document de tip M-book poate fi partiionat în mai multe seciuni denumite zone de calcul ( calc zone) ce pot conine informaii combinate de tip text, celule de intrare şi celule de ieşire. MATLAB inserează separatoare Microsoft Word înainte şi după fiecare seciune pentru a defini zonele de calcul. Separatoarele includ indicatoare de tip paranteze drepte,


95/221

5/14/2018


96


bold, de culoare gri, pentru a le distinge de separatoarele Word standard. Variabilele folosite într-o zonă de calcul sunt accesibile tuturor zonelor. Pentre a crea o zonă de calcul se selectează seciunea respectivă a documentului care poate include informaii de tip text, celule de intrare şi celule de ieşire, apoi se activează din bara de meniuri opiunea Notebook -> Define Calc Zone. În faza de definire a unei zone de calcul trebuiesc selectate atât celulele de intrare cât şi cele de ieşire asociate, în vederea includerii în zona de calcul corespunzătoare Pentru a evalua o zonă de calcul se poziionează cursorul în interiorul zonei respective şi apoi se selctează din bara de meniuri opiunea Notebook -> Evaluate Calc Zone sau se apasă combinaia de taste Alt+Enter. MATLAB poziionează implicit celula de ieşire corespunzătoare zonei de calcul imediat după zona respectivă în cazul primei evaluări a zonei. Dacă zona de calcul are deja o celulă de ieşire existentă, MATLAB va afişa rezultatele în acea celulă, oriunde ar fi poziionată aceasta în documentul M-book.

4.7.3.9. Definirea şi evaluarea unui întreg document M-book. Un document de tip M-book poate fi evaluat în întregime apelând din bara de meniuri op iunea Notebook -> Evaluate M-book sau se apăsând combinaia de taste Alt+Enter. MATLAB începe evaluarea progresivă a celulelor de intrare ale documentului M-book pornind de sus în jos, indiferent de poziia cursorului. Pe măsură ce evaluarea avansează sunt inserate celule de ieşire acolo unde este cazul sau sunt actualizate cele existente. 4.7.3.10. Ştergerea celulelor de ieşire dintr-un document M-book. Un document de tip M-book poate conine unele celule de ieşire ce trebuiesc la un moment dat şterse. Pentru a şterge o celulă de ieşire se selectează celula folosind mouse-ul sau poziionând cursorul în interiorul acesteia şi apoi se face apel la opiunea Notebook -> Purge Selected Output Cells sau se apasă combinaia de taste Alt+P. 4.7.3.11. Conversia celulelor de ieşire în format text. Pentru a converti o celulă de ieşire în format text se selectează celula respectivă şi apoi se face apel la op iunea Notebook -> Undefined Cells sau se apasă combinaia de taste Alt+U . În cazul în care lucrai simultan cu mai multe fişiere M-book într-o singură sesiune Word trebuie inut cont de faptul că fiecare fişier M-book foloseşte aceeaşi copie MATLAB, toate fişierele partajând acelaşi workspace comun. Dacă utilizai aceleaşi nume de variabile în mai multe fişiere M-book, datele utilizate într-un fişier pot fi afectate de operaiunile efectuate în alt fişier. Putei proteja integritatea workspace-ului curent utilizând comanda clear în prima celulă autoinit din fişier. Celulele de intrare de tip autoinit sunt evaluate automat la fiecare deschidere a unui fişier M-book şi se definesc tastând comanda dorită în fişierul Word, urmată de apelul opiunii Notebook -> Define AutoInit Cell . Dacă respectiva comandă a fost definită în prealabil ca celulă de intrare aceasta poate fi convertită în celulă autoinit prin selectarea celulei sau prin poziionarea cursorului în interiorul acesteia, urmată de apelul opiunii Notebook -> Define AutoInit Cell . Pentru a vă asigura asupra consistenei datelor dintr-un fişier M-book se recomandă folosirea periodică a opiunii din bara de meniu Notebook -> Evaluate M-book.


96/221

5/14/2018



97

În afara facilităilor MATLAB de intefaare cu programul Microsoft Word descrise mai sus există şi altele ce pot fi avute în vedere şi care permit printre altele folosirea calculului în bucle repetitive etc.

4.7.4. Elemente de interfaare MATLAB – Microsoft Excel. MATLAB conine facilităi ce permit interfaarea cu pachetul de programe Microsoft Excel. În acest sens, deosebit de utilă poate fi funcia MATLAB xlsread care permite citirea fişierelor de date în format Microsoft Excel (*.xls). Comanda xlsread se apelează folosind una din sintaxele următoare: A = xlsread('nume_fisier') [A, B ] = xlsread('nume_fisier') [A, B] = xlsread('nume_fisier','nume_foaie')

(4.84) (4.85) (4.86)

Folosind sintaxa A = xlsread('nume_fisier') se citeşte fişierul cu numele nume_fisier.xls, datele numerice din prima foaie de calcul Microsoft Excel fiind stocate în variabila A de tip matrice. Comanda xlsread ignoră antetele existente la începutul coloanelor sau rândurilor. În cazul în care există celule goale sau care conin date de tip text şi acestea nu sunt celule de tip antet, comanda xlsread afectează valoarea NaN locaiei corespunzătoare din variabila A de tip matrice. Utilizarea sintaxei [A, B]= xlsread('nume_fisier') permite citirea fişierului cu numele nume_fisier.xls, datele numerice din prima foaie de calcul Microsoft Excel fiind stocate în variabila A de tip matrice, iar datele de tip text fiind stocate în variabila B de tip matrice de celule. Dacă foaia de calcul conine antete la începutul coloanelor sau rândurilor, comanda xlsread întoarce doar acele celule în variabila B. Dacă foaia de calcul conine informaii de tip text în celule ce nu reprezintă antete de început de coloană sau rând, comanda xlsread întoarce variabila B o matrice de celule deinaceea i dimensiune cuăfoaia de calcul cu informaiiînde tip text doar în celulele ce con text şîn foaia original , celulele ce conExcel in date numerice rămânând goale. Sintaxa [A, B] = xlsread('nume_fisier','nume_foaie') permite citirea unei anumite foi de calcul cu numele nume_foaie inclusă în fişierul Excel cu numele nume_fisier.xls. Dacă foaia de calcul apelată nu există MATLAB întoarce un mesaj de eroare. Să considerăm de exemplu fişierul note.xls de tip Microsoft Excel ce conine în prima foaie de calcul, denumită Foaia1, următoarele informaii de tip text, Tabel 4.10, combinate cu informaii numerice, reprezentând notele a 4 studeni la 3 discipline. Tabel 4.10 Algebr ă Chimie Fizică

8 Andrei 9 George8 Cristina 10 Paula 10 9 9 8 7 9 10 9

Pentru a importa în MATLAB datele din fi şierul note.xls şi pentru a stoca datele numerice în variabila A, respectiv pentru a stoca informaiile de tip text în variabila B se foloseşte comanda:


97/221

5/14/2018


98


[A, B] = xlsread('note.xls')

(4.87)

În urma apelului comenzii xlsread cele două variabile A şi B vor conine următoarele informaii. A = (4.88) 8 9 8 10 10 9 9 8 7 9 10 9 B = [] 'Algebra' 'Chimie' 'Fizica'

(4.89) 'Andrei' 'George' 'Cristina' [] [] [] [] [] [] [] [] []

'Paula' [ ] [ ] [ ]

În afara funciei xlsread de citire a fişierelor de tip Microsof Excel, MATLAB include şi funcia xlsfinfo care identifică dacă un fişier de date este de tip Excel sau nu.

4.8. Aplicaii numerice APLICA IA 17: Crea  i în directorul curent fi şierul note.txt folosind un editor exterior MATLAB-ului (de pild ă Notepad) şi apoi importa  i-l în MATLAB workspace utilizând Import Wizard. Fi şierul va con  ine informa  iile de mai jos, coloanele fiind separate între ele de un spa  iu: Andrei Ana 9 8 99 65 87 Marian 10 9 9 9 Cristian 7 8 7 6

Rezolvarea aplicaiei presupune următorii paşi: 1) Se crează fişierul note.txt folosind editorul Notepad şi se salvează fişierul în directorul curent. 2) Se lansează Import Wizard , selectând opiunea Import Data din meniul File din MATLAB Desktop. MATLAB afişează o cutie de dialog de selecie de fişiere. Acelaşi efect îl obinei prin lansarea funciei uiimport la linia de comandă în Command Window. 3) Specificai în cutia de dialog fişierul pe care dorii să-l importai şi clicai pe Open. Import Wizard lansează fişierul şi încearcă să proceseze coninutul. 4) În această cutie de dialog clicai pe butonul Next> pentru ca Import Wizard să determine automat delimitator–ul folosit între coloanele alăturate. 5) Clicai pe Finish pentru a importa datele în Workspace.


98/221

5/14/2018



99

APLICA IA 18: Crea  i în directorul curent un fi şier cu numele vectori.doc de tip M-book care să con  ină următoarele date: 1) pe prima linie informa  ia de tip text: Calcul vectori , ă ş 2) calculul un grup vectorilor de celule xs de =intrare săcos(x) permit sin(x) care şi xc = , definirea vectorului x = 0:pi/10:pi i 3) un grup de celule de ie şire pentru afi şarea rezultatelor numerice.

Rezolvarea aplicaiei presupune parcurgerea etapelor următoare: 1) Se lansează comanda notebook în MATLAB Command Window care deschide aplicaia Microsoft Word; 2) Se tastează pe prima linie a documentului deschis, informaia de tip text: Calcul vectori 3) Se tastează pe liniile 2, 3 şi 4 ale documentului informaiile: x = 0:pi/10:pi; xs = sin(x) xc = cos(x) 4) Se selectează liniile 2, 3 şi 4 ale documentului cu mouse-ul şi se apelează din bara de meniu opiunea Notebook -> Define Input Cell pentru a defini cele 3 comenzi MATLAB de mai sus ca celule de intrare; 5) Se poziionează cursorul în interiorul grupului de celule de intrare şi se selectează din bara de meniu opiunea Notebook -> Evaluate Cell ; 6) Se salvează în directorul curent fişierul cu numele vectori.doc. Parcurgând etapele de mai sus MATLAB va efectua calculul, con inutul documentului vectori.doc fiind următorul: Calcul vectori [x = 0:pi/10:pi; xs = sin(x) xc = cos(x)]

[xs

=

Columns 1 through 9 0 0.3090 0.5878 0.5878 Columns 10 through 11 0.3090 0.0000 xc = Columns 1 through 9 1.0000 0.9511 0.8090 -0.8090 Columns 10 through 11 -0.9511

0.8090

0.9511

1.0000

0.9511

0.8090

0.5878

0.3090

0.0000

-0.3090

-0.5878

]

-1.0000


99/221

5/14/2018


100


APLICA IA 19: Crea  i în directorul curent fi şierul Excel It.xls folosind Microsoft Excel şi apoi citi  i datele în MATLAB utilizând comanda xlsread. Fi şierul va con  ine informa  ii de tip text, respectiv date numerice ca mai jos: Curent_I(A) 9 7 5 4 Timp_t(s) 0 1 2 3

Rezolvarea aplicaiei presupune următorii paşi: 1) Se crează fişierul It.xls folosind Microsoft Excel şi se salvează fişierul în directorul curent. 2) Se apelează în MATLAB Command Window comanda xlsread cu sintaxa: [A, B] = xlsread('It.xls') În urma apelului comenzii MATLAB, veriabilele A şi B vor conine următoarele informaii: A = 9 7 5 4 0 1 2 3 B = 'Curent_I(A)' 'Timp_t(s)'


100/221

5/14/2018



101

5. REPREZENTAREA GRAFICELOR MATLAB dispune de o multitudine de facilit ăi pentru reprezentarea grafică a vectorilor şi matricelor, respectiv editarea şi printarea acestor grafice.

5.1. Reprezentarea graficelor 2D 5.1.1. Trasarea unui grafic 2D. O funcie de bază utilizată la trasarea graficelor 2D este funcia plot care are diferite forme, în funcie de argumentele de intrare. Dacă y este un vector, plot(y) produce un grafic, liniar pe poriuni, al elementelor lui y, în funcie de index-ul elementelor lui y. Dacă specificai doi vectori ca argumente, plot(x, y) crează un grafic al lui y funcie de x. Pentru exemplificare, tastai: (5.1)

x == sin(x); 0:pi/100:2*pi; y plot(x, y)

Acum se pot adăuga graficului notaii pe cele două axe, respectiv un titlu. Folosind caracterele \pi se crează simbolul π . xlabel('x = 0:2\pi') ylabel('sin( x)') title('Graficul Func  iei sinus','FontSize',12)

(5.2)

În urma execuiei comenzilor de mai sus se ob ine graficul de mai jos, Fig. 5.1.

Fig. 5.1. Reprezentarea grafică a funciei sinus.


101/221

5/14/2018


102


5.1.2. Funcii de reprezentare grafică 2D. MATLAB include o gamă largă de funcii de reprezentare grafică 2D a curbelor, cum ar fi cele prezentate în Tabelul 5.1. Tabel 5.1 Funcia plot loglog semilogx semilogy plotyy stem bar barh stairs area fill

Destinaia Grafică 2D cu scară liniară pe ambele axe X şi Y Grafică 2D cu scară logaritmică pe ambele axe X şi Y Grafică 2D cu scară logaritmică pe axa X şi scară liniară pe axa Y Grafică 2D cu scară logaritmică pe axa Y şi scară liniară pe axa X Grafică cu etichetare pe partea dreapt ă şi stângă Grafică 2D pentru seturi de date discrete Grafică 2D, reprezentare cu bare Grafică 2D, reprezentare cu bare orizontale Grafică 2D, reprezentare în scară Grafică 2D, reprezentare cu arii Grafică 2D, de reprezentare a poligoanelor

5.1.3. Reprezentarea mărimilor complexe şi imaginare. Când argumentele funciei plot sunt complexe, partea imaginară este ignorată cu excepia situaiei când funciei i se transmite un singur argument complex. În acest caz special, comanda este o prescurtare pentru trasarea unui grafic de tip parte real ă funcie de partea imaginară. Deci, funcia plot(Z) unde Z este un vector sau matrice complex ă, este echivalentă cu plot(real(Z), imag(Z)). Tastai de pildă: t = 0: pi/20: 2*pi; plot(exp(i*t), '-o'); axis equal;

(5.3)

În urma comenzilor de mai sus MATLAB trasează un poligon cu 40 de laturi cu cercuri în vârfuri.

Fig. 5.2. Reprezentare grafică a numerelor complexe.


102/221

5/14/2018



103

5.2. Reprezentarea graficelor 3D 5.2.1. Reprezentarea suprafeelor. MATLAB defineşte o suprafaă prin coordonata z a punctelor situate pe un grid în planul x-y, folosind linii drepte pentru conectarea punctelor ăturate. al Diferite funcii de reprezentare grafică 3D a suprafeelor disponibile în MATLAB sunt prezentate în Tabelul 5.2. Tabel 5.2 Funcia mesh, surf meshc, surfc meshz pcolor surfl surface

Aciune Trasare de suprafee Trasare de suprafee cu contur dedesubt Trasare de suprafee cu perdea verticală Trasare de suprafee în plan (valoare proporională cu culoarea) Trasare de suprafee luminate dintr-o anumită direcie Creare de obiecte tip suprafaă

Cu excepia funciei pcolor toate celelalte funcii grafice prezentate în tabelul de mai sus afişează suprafeele în trei dimensiuni. Funciile din familia mesh generează suprafee de tip plasă colorând doar liniile ce conectează punctele definite, iar funciile de tip surf afişează atât liniile de legătură cât şi feele suprafeei colorate. Funcia pcolor permite afişarea în plan a unei suprafee având valoarea proporională cu culoarea.

5.2.2. Reprezentarea grafică a funciilor de două variabile. Pentru a afişa o funcie de două variabile, z = f(x, y) trebuiesc urmai paşii de mai jos: • Generai matricele X şi Y constând din rânduri şi coloane, reprezentând domeniul de definiie al funciei. • Folosii X şi Y pentru a evalua şi a trasa func ia.

Funcia meshgrid transformă domeniul specificat printr-un singur vector sau doi vectori x şi y în matrice X şi Y pentru evaluarea funciilor de două variabile. Rândurile lui X sunt copii ale vectorului x şi coloanele lui Y sunt copii ale vectorului y. Pentru a trasa graficul bi-dimensional al func iei sinc=sin(r)/r, Fig. 5.3, unde r reprezintă distana faă de origine, tastai comenzile de mai jos. Prin adăugarea lui eps (cel mai mic număr MATLAB în virgulă mobilă) se evită nedeterminarea 0/0 în origine. [X,Y] = meshgrid(-8:.5:8); R = sqrt(X.^2 + Y.^2) + eps;

(5.4)

Z = sin(R)./R; mesh(X, Y, Z)


103/221

5/14/2018


104


Fig. 5.3. Reprezentarea grafică a funciilor de două variabile folosind funcia mesh.

O altă formă de afişare a graficului funciei sinc constă în folosirea comenzii surf . De această dată culoarea feelor este determinată de valorile lui Z şi de colormap, Fig. 5.4. Tastai în acest sens comenzile de mai jos. surf(X, Y, Z) colormap hsv colorbar

(5.5)

Fig. 5.4. Reprezentarea grafică a funciilor de două variabile folosind funciile surf , colormap şi colorbar .


104/221

5/14/2018



105

Comanda colorbar permite afişarea legendei de culori a graficului. Uneori este utilă aşa numita tehnică de luminare a unui obiect după o anumită direcie. Această tehnică poate face ca reprezentarea grafica a suprafeei s ă fie mai clară. Luminarea poate fi folosită deasemenea pentru a face mai realist ă o reprezentare tri-dimensională. În exemplul ce urmează, Fig. 5.5, se foloseşte aceeaşi funcie sinc ca mai sus dar culoarea suprafeei este de această dată roşie. Tastai comenzile de mai jos: surf(X, Y, Z, 'FaceColor', 'red', 'EdgeColor', 'none'); camlight left; lighting phong; view(-15, 40);

(5.6)

Fig. 5.5. Reprezentarea grafică a funciilor de două variabile folosind opiunile camlight şi view.

Comanda view modifică poziia din care este privit graficul. Încerca i să modificai parametrii funciei view. De pildă tastai view(-25,80).

5.2.3. Alte funcii MATLAB de reprezentare grafică 3D a seturilor de date sunt prezentate în Tabelul 5.3. Tabel 5.3 Funcia bar3 bar3h fill3 plot3 stem3


Destinaia Grafică 3D, reprezentare cu bare Grafică 3D, reprezentare cu bare orizontale Grafică 3D, de reprezentare a poligoanelor Grafică 3D cu scară liniară pe ambele axe X şi Y Grafică 3D pentru seturi de date discrete

105/221

5/14/2018


106


5.3. Configurarea şi salvarea graficelor 5.3.1. Ferestre de tip figure. Funciile de reprezentare grafică deschid în mod automat o nouă fereastră de tip figure dacă nu există nici o fereastră figure deja afişată pe ecran. Dacă o fereastră figure există, MATLAB foloseşte acea fereastră pentru reprezentări grafice. Dacă există mai multe ferestre figure deschise, MATLAB se fixează la una dintre ele ce reprezintă fereastra figure curentă (ultima fereastră de acest tip folosită sau fereastra pe care s-a executat ultima dată un clic). Pentru a face ca o fereastră figure existentă să devină curentă, clicai pe acea fereastră sau tasta  i la linia de comandă figure(n), unde n reprezintă numărul din bara de titlu a figurii respective. Rezultatele comenzilor grafice ulterioare vor fi afi şate în această fereastră devenită curentă. Pentru a deschide o nouă fereastră figure şi pentru a o face fereastră figure curentă, tasta  i cuvântul cheie figure la linia de comandă. 5.3.2. Reprezentări multiple în acelaşi sistem de coordonate. Perechi multiple (x, y) de argumente crează reprezentări grafice multiple printr-un singur apel al funciei plot. MATLAB accesează automat un set predefinit de diverse culori (setul poate fi modificat) ce permit diferenierea vizuală între seturile de date. De pildă, instruciunile ce urmează afişează trei curbe de variaie funcie de x, fiecare curbă cu o culoare diferită: x = 0:pi/100:2*pi; y1 = sin(x); y2 = sin(x-.25); y3 = sin(x-.5); plot(x, y1, x, y2, x, y3) legend('sin(x)', 'sin(x-.25)', 'sin(x-.5)')

(5.7)

ă deieiidentificare o cale al uşoar a curbelor(5.7). individuale. În Fig. 5.6, esteComanda prezentatlegend permite rezultatul MATLAB execu setului de comenzi

Fig. 5.6. Reprezentări multiple în acelaşi sistem de coordonate.


106/221

5/14/2018



107

5.3.3. Adăugarea unor curbe la grafice existente. Comanda hold permite adăugarea unor curbe la un grafic existent. Prin utilizarea comenzii hold on MATLAB nu va elimina graficul existent la apelul unei noi comenzi plot ci va adaugă noile curbe la graficul existent, rescalând axele dacă este necesar. De pildă, setul de instruciuni (5.8) de mai jos crează mai întâi un grafic tip contour al funciei peaks, apoi suprapune o reprezentare grafică în degrade a aceleiaşi funciei, Fig. 5.7. [x, y, z] = peaks; contour(x, y, z, 20, 'k'); hold on; pcolor(x, y, z); shading interp; hold off;

(5.8)

Fig. 5.7. Exemplu de adăugare a unor curbe la grafice existente utilizând funcia hold .

Comanda hold on permite ca reprezentarea grafică pcolor să se combine cu reprezentarea contour într-o singură figură, Fig. 5.7.

5.3.4. Reprezentări grafice multiple pe o figură. Comanda subplot permite afişarea în ă a mai ărireaionat aceeaşi fereastr grafice saueste tipparti acestora pematrice m aceeaşi coal de grafice hârtie. Tastând subplot(m, n, p)multor fereastra figure ă într-o x nă de mai mici şi selectează graficul cu index p ca grafic curent. Graficele sunt numerotate întâi pe primul rând de sus al ferestrei figură, apoi pe cel de-al doilea rând etc. De pild ă, setul de comenzi (5.9) de mai jos trasează curbele în patru grafice diferite pe fereastra figure, Fig. 5.8.

[X,Y,Z] = peaks; subplot(2, 2, 1); mesh(X);


(5.9)

107/221

5/14/2018


108


subplot(2, 2, 2); mesh(Y); subplot(2, 2, 3); mesh(Z); subplot(2, 2, 4); mesh(X, Y, Z);

Fig. 5.8. Exemplu de reprezentări grafice multiple pe aceeaşi figură utilizând funcia subplot .

5.3.5. Specificarea tipului de linie şi culoarea. Este posibilă setarea culorii, a tipului de linie, a markerului (de exemplu simbolul ”+” sau ”o”) când plota i datele folosind funcia plot. plot(x, y, 'culoare_stil_marker')

(5.10)

Stringul culoare_stil_marker conine de la 1 la 4 caractere ce desemnează o culoare, un stil de linie, şi un tip de marker: • Caracterele ce desemnează culori sunt 'c', 'm', 'y', 'r', 'g', 'b', 'w', şi 'k'. Acestea

corespund culorilor cyan, magenta, yellow, red, green, blue, white, şi black. • Stilul de linie este indicat de string-urile: '-' pentru solid , '- -' pentru linie lung ă întreruptă , ':' pentru linie scurtă întreruptă , '-.' pentru linie punct. Nu precizai nici unul din stilurile de linie pentru linie solid ă. • Tipurile de marker sunt '+', 'o', '*', 'x' şi 's' pentru pă trat, 'd' pentru romb, '^' pentru triunghi cu vârful în sus, 'v' pentru triunghi cu vârful în jos, '>' pentru triunghi cu vârful la dreapta, '<' pentru triunghi cu vârful la stânga, 'p' pentru pentagon, 'h' pentru triunghi hexagon, şi nimic dacă nu se doreşte marker.


108/221

5/14/2018



109

De pildă prin lansarea setului de comenzi: x = 0:pi/100:2*pi; y = sin(x); plot(x, y, 'ks')

(5.11)

MATLAB va trasa graficul funciei y funcie de x cu markere de tip pătrate negre în fiecare punct de grafic, dar f ără să conecteze marker-ele cu linie, Fig. 5.9.

Fig. 5.9. Reprezentarea funciei sinus cu marker pătrat negru

În urma lansării setului de comenzi: x = 0:pi/100:2*pi; y = sin(x); plot(x, y, 'r:+')

(5.12)

MATLAB va trasa graficul funciei y funcie de x cu marker de tip ”+” de culoare ro şie, f ără să unească punctele de grafic, Fig. 5.10.


109/221

5/14/2018


110


Fig. 5.10. Reprezentarea funciei sinus cu marker + ro şu

5.3.6. Controlul axelor. Comanda axis admite un număr de opiuni pentru setarea scalării, orientării, şi aspectului graficelor. Putei deasemenea seta aceste opiuni interactiv. 5.3.6.1. Setarea limitelor axelor. MATLAB caută implicit maximele şi minimelor seturilor de date pentru a alege limitele axelor. Comanda axis permite specificarea propriilor dvs. limite pentru axe şi prezintă sintaxa următoare: axis([xmin xmax ymin ymax]) pentru grafice bi-dimensionale şi axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax]) pentru grafice tridimensionale. Folosii comanda axis auto pentru a permite selecia automată a limitelor, opiune MATLAB implicită. 5.3.6.2. Setarea aspectului axelor. Comanda axis permite deasemenea specificarea unui număr de stiluri predefinite. De pild ă, axis square determină limitele axelor x şi y de aceeaşi lungime. Comanda axis equal determină incrementul pe axele x şi y de aceeaşi lungime. De pildă următoarea comandă: plot(exp(i*[0:pi/10:2*pi]))

(5.13)

urmată fie de axis square fie de axis equal face ca ovalul să devină cerc, Fig. 5.11. Comanda axis auto normal face ca modul de scalare să revină la cel iniial, automatic.


110/221

5/14/2018



111

Fig. 5.11. Aplicaii ale funciilor axis square sau axis equal

5.3.6.3. Setarea vizibilităii axelor. Putei folosi comanda axis pentru a face axele vizibile sau invizibile. Comanda axis on face axele vizibile, aceasta comandă fiind cea implicită. Comanda axis off face axele invizibile. ă face ă liniile . Comanda face să aparoff sau scaă liniile disparde grid.ă 5.3.7. Setarea gridului Comanda grid on face ca liniile de grid grid s ă apar ă iar grid grid s ădedispar din nou.

5.3.8. Etichetarea axelor şi a titlului. Comenzile xlabel, ylabel, şi zlabel adaugă etichete pe axele x, y, şi z. Comanda title adaugă un titlu în partea superioara a figurii şi funcia text inserează text oriunde pe figură. Un set specific de notaii generează litere greceşti. În urma tastării setului de comenzi (5.14) MATLAB va afişa Fig. 5.12. t = -pi:pi/100:pi; y = sin(t);

(5.14)

plot(t, y) pi -1 1]) axis([-pi xlabel('-\pi \leq {\itt} \leq \pi') ylabel('sin(t)') title('Graficul Func  iei sinus') text(1,-1/3,'{\itFunc  ia sinus}')


111/221

5/14/2018


112


Fig. 5.12. Etichetarea axelor şi a titlului unui grafic.

5.3.9. Editarea graficelor. MATLAB permite modificarea graficelor, setarea scalării axelor, inclusiv marcajul axelor, culorile stilul liniilor pentru distingerea curbelor într-un grafic. Uneori se doreşte personalizarea graficelor prin adăugarea etichetelor, titlurilor, legendelor şi a altor notaii. MATLAB permite două căi de editarea a graficelor: • Folosind mouse-ul pentru a selecta şi edita obiectele în mod interactiv, respectiv • Folosind funciile MATLAB la linia de comand ă sau scrise într-un fişier M. 5.3.9.1. Editarea interactivă a graficelor. Putei edita interactiv graficele în fereastra figure MATLAB prin selectarea butonului . Astfel putei selecta obiectul sau obiectele grafice pe care dorii să le modificai prin dublu-clic. Această comandă lansează Property Editor, care permite acces la proprietăile grafice ale obiectului, respectiv modificarea lor. De pildă, folosind Property Editor, Fig. 5.13, putei modifica grosimea unei linii, putei adăuga titluri şi etichete axelor, adăuga lumini, etc. Putei lansa Property Editor prin dublu-clic pe un obiect grafic, cum ar fi o linie, sau prin clic-dreapta pe un obiect şi selectând Properties din meniul contextual. Putei deasemenea lansa Property Editor selectând fie Figure Properties, Axes Properties, sau Current Object Properties din meniul Edit al ferestrei figură. Aceste opiuni permit automat accesarea editorului grafic. O dată lansat Property Editor, păstrai-l deschis pe toată durata sesiunii de editare întrucât acesta permite acces la toate obiectele grafice. Dac ă clicai pe un alt obiect grafic, Property Editor afişeaza setul de proprietăi asociate cu acel tip de obiect, Fig. 5.14.


112/221

5/14/2018



113

Folosii aceste butoane pentru a adăuga text, săgei şi linii la un grafic Folosii acest buton pentru a edita un grafic Folosii meniurile Edit, Insert Tools pentru a adăugaşisau edita obiecte la un grafic Prin dublu-clic pe un obiect acesta e selectat

Poziionarea legendei, notaiilor şi a altor obiecte se face prin clicare şi mutare Accesarea anumitor funcii de editare a graficelor este posibilă folosind meniurile contextuale

Fig. 5.13. Editarea unui grafic. Folosii aceste butoane pentru a vă deplasa printre obiectele grafice pe care le-ai editat Folosiaiselecta bara deobiectul navigare depentru editat Clicai pe tab pentru a vizualiza un grup de proprietăi

Clicai pentru a vizualiza o listă de valori ale acestui câmp

Selectai pentru a vedea instantaneu efectul schimbărilor

Clicai pentru a aplica schimbările şi pentru a părăsi fereastra Clicai pentru a părăsi fereastra f ără a aplica schimbările

Clicai pentru a aplica schimbările f ără a părăsi fereastra

Clicai pentru a obine informaii despre anumite proprietăi particulare

Fig. 5.14. Modificarea proprietăilor obiectelor grafice.


113/221

5/14/2018


114


5.3.9.2. Editarea graficelor folosind funciile MATLAB. Dacă preferai să editai grafice direct de la linia de comandă sau din fişiere M, putei folosi comenzile MATLAB dedicate. Folosind sistemul MATLAB Handle Graphics, putei folosi comenzile de schimbare a proprietăilor obiectelor într-un grafic. 5.3.10. Salvarea figurilor. Pentru a salva o figură, selectai Save din meniul File. Pentru a o salva folosind un format grafic, cum ar fi TIFF, pentru utilizare în cadrul altor aplica ii, selectai Export din meniul File. Putei deasemenea salva figuri de la linia de comandă utilizând comanda saveas. De pildă tastai: saveas(figure(1), 'figure.tiff')

(5.15)

În urma lansării comenzii (5.15) MATLAB va salva figura figure(1) în fişierul figure.tiff. Pentru verificarea existenei acestui fişier tastai dir. Figura astfel salvată poate fi inserată de pildă într-un document sau utilizată în altă aplicaie.

5.3.11. Tipărirea graficelor. Putei tipări un grafic MATLAB la o imprimantă conectată la calculator sau putei exporta figura într-unul din formatele grafice standard suportate de MATLAB. Există două căi de tipărire a figurilor: • Folosind opiunea Print din meniul File • Folosind comanda print Comanda print permite mai multă flexibilitate. De pildă, instruciunea de mai jos salvează coninutul ferestrei figura curenta ca fişier TIFF cu numele figura.tiff cu rezoluie de 200 dpi. (5.16) print -dtiff -r200 figura.tiff Dacă tastai print la linia de comandă, MATLAB imprimă figura curentă la imprimanta activă.

5.4. Aplicaii numerice APLICA IA 20: Folosind func  ia MATLAB plot reprezenta  i pe acela şi grafic func  iile: • f(x) = sin(x)/x şi • g(x) = cos(x)/(x+1) pe intervalul [0.001...20.π ]. Se face apel la următoarea secvenă de comenzi MATLAB: x = 0.001:pi/100:20*pi; f = sin(x)./x; g = cos(x)./(x+1);


114/221

5/14/2018



115

plot(x, f, x, g); grid on; title('Graficul functiilor sin(x)/x si cos(x)/x'); MATLAB va afişa graficul de mai jos:

Fig. 5.15. Graficul funciilor sin(x)/x şi cos(x)/x.

 21: APLICA  i grafic func  ia f(x)=sin(x) în grade de la 0 la 360. Reprezenta IA

Se foloseşte următoarea secvenă de comenzi MATLAB: x = 0:pi/100:2*pi; y = x*180/pi; f = sin(x); plot (y, f); grid on; xlabel('x [grade]'); ylabel('sin(x)'); title('Graficul functiei sin(x)'); MATLAB va afişa graficul următor, Fig. 5.16:


115/221

5/14/2018


116


Fig. 5.16. Graficul funciei sin(x).

APLICA IA 22: Reprezenta  i grafic func  ia f(x) = sin(1/x) unde 0.01 < x < 0.1. Dac ă reprezentarea nu este precisă efectua  i corec  iile de rigoare. Ad ăuga  i titlul « Graficul func  iei f(x)=sin(1/x) » , pe axa x ad ăuga  i « x [rad] » iar pe axa y ad ăuga  i « f(x) ». Se foloseşte următoarea secvenă de comenzi MATLAB: x = 0.01:0.000001:0.1; f = sin(1./x); plot (x, f); title(’Graficul functiei f(x)=sin(1/x)’); xlabel(’x [rad]’); ylabel(’f (x)’); grid on; MATLAB va afişa graficul următor, Fig. 5.17:


116/221

5/14/2018



117

Fig. 5.17. Graficul funciilor sin(1/x).

După cum se poate observa, la definirea vectorului x s-a ales un pas foarte mic şi anume 0.000001. Paşii mai mari nu permit o reprezentare grafică fidelă a funciei. APLICA IA 23: Reprezenta  i grafic func  ia Rosenbrock sau ”banana”: f(x, y) = 100(y-x2)2+ (1-x)2 + 2. Intervalul de reprezentare este definit de: -3
Se foloseşte următoarea secvenă de comenzi MATLAB: [x, y] = meshgrid(-3:0.1:3, -5:0.1:10); f = 100*(y - x.^2).^2 + (1 - x).^2 + 2; mesh (x, y, f); contour (x, y, f); meshc (x, y, f); xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('f(x, y)'); MATLAB va afişa graficul din Fig. 5.18:


117/221

5/14/2018


118


Fig. 5.18. Graficul funciei Rosenbrock.

APLICA IA 24: Reprezenta  i pe acela şi grafic func  iile: • f(x)=e x.sin(x) cu marker tip romb, culoare albastra, cu linie punct şi • g(x)= e x.cos(x) cu marker tip hexagon, culoare verde linie întrerupt ă. Argumentul func  iei x respect ă condi  ia 0 < x < 4π . Se foloseşte următoarea secvenă de comenzi MATLAB: x = 0:pi/100:4*pi; f = exp(x).*sin(x); g = exp(x).*cos(x); plot (x, f, 'b-.d', x, g, 'g--h'); title('Graficul functiilor e^x.sin(x) si e^x.cos(x)'); xlabel('x [rad]'); grid on; Rezultatul MATLAB este reprezentat de graficul următor, Fig. 5.19:


118/221

5/14/2018



119

Fig. 5.19. Graficul funciilor ex . sin(x) şi ex . cos(x).

APLICA IA 25: Să se reprezinte grafic următoarele func  ii în intervalul [1, 2] pe acela şi grafic: a) ln(2 + t + t 2) b) et(1 + cos(3t)) c) cos-1(t) + sin2(t) d) tg-1(t) (inversa func  iei tangent) e) cotg(t) Se foloseşte setul de instruciuni MATLAB: t = 1: 0.01: 2; y1 = log(2 + t + t.^2); y2 = exp(t.*(1 + cos(t))); y3 = acos(t) + sin(t).^2; y4 = atan(t); y5 = cot(t); plot(t, y1, t, y2, t, y3, t, y4, t, y5); MATLAB va trasa următorul grafic, Fig. 5.20.


119/221

5/14/2018


120


Fig. 5.20. Graficul funciilor ln(2 + t + t 2), et(1 + cos(3t)), cos-1(t) + sin2(t), tg-1(t), cotg(t).

APLICA IA 26: Se d ă un transformator monofazat caracterizat de urm ătoarele date nominale: Sn = 1000 VA, Pjn = 50 W şi Pfe = 15 W. S ă se traseze caracteristica randamentului transformatorului η = f( β ) pentru sarcină pur rezistivă cu β ∈ [0, 1], ştiind că: η = β . Sn / ( β . Sn + β 2 .Pjn + Pfe ) Se foloseşte ansamblul de comenzi MATLAB: Sn = 1000; Pjn = 50; Pfe = 15; beta = 0:0.01:1; rand = beta*Sn./(beta*Sn + beta.^2*Pjn + Pfe); plot(beta, rand); xlabel('\beta [u.r.]'); ylabel('\eta [u.r.]'); grid on; MATLAB va afişa graficul din Fig. 5.21.


120/221

5/14/2018



121

Fig. 5.21. Graficul funciei η = f(β).

APLICA IA 27: Folosind pe rând toate func  iile din Tabelul 5.2, reprezenta  i grafic func  ia Z ob  inut ă prin comanda MATLAB, [X, Y, Z] = peaks. Se foloseşte următoarea secvenă de comenzi MATLAB: [X, Y, Z] = peaks; figure(1); mesh (X, Y, Z); figure(2); surf (X, Y, Z); figure(3); meshc (X, Y, Z); figure(4); surfc (X, Y, Z); figure(5); meshz (X, Y, Z); figure(6); pcolor (X, Y, Z); figure(7); surfl (X, Y, Z); figure(8); surface (X, Y, Z); MATLAB va afişa graficele următoare, Fig. 5.22.


121/221

5/14/2018


122



122/221

5/14/2018



123

Fig. 5.22. Graficul funciei peaks folosind facilităile grafice MATLAB.


123/221

5/14/2018


124


6. ELEMENTE DE PROGRAMARE MATLAB MATLAB lucrează fie în modul linie de comand ă, caz în care fiecare linie este prelucrată utilizând programe scrise în fi şiere şi rezultatele şierele afişse ate,numesc fie . FiUn con iuni imediat MATLAB fişiere M, întrucât au extensia .m. fişiercare M in instrucsunt poate fi de două tipuri, script sau function. Ambele tipuri de fi şiere sunt scrise în format ASCII , iar algoritmul implementat poate fi urmărit şi modificat cu usurină dacă se cunosc conveniile şi sintaxa limbajului de programare MATLAB. Aceste tipuri de fi şiere M permit crearea unor noi funcii care pot completa setul funciilor existente. Astfel MATLAB poate fi extins, permiând abordarea anumitor aplicaii specifice din ştiină şi inginerie.

6.1. Fişiere de tip M şierele sunt fişiere externesedeexecut tip text care con in script. FiPrin script numelui 6.1.1. de tip secven de comenzi MATLAB. apelarea fişierului, ele de e Fişiere ă secven comenzi MATLAB coninute în fişier. După execuia completă a unui fişier script variabilele cu care acesta a operat rămân în Workspace. Aceste fişiere nu permit integrarea în programe mari, realizate pe principiul modularizării. Fişierele script pot fi folosite la rezolvarea unor probleme care necesită un număr relativ mare de instruciuni a căror lansare la linia de comandă ar deveni greoaie.

6.1.2. Fişiere de tip function. În cazul în care prima linie a unui fi şier M conine cuvântul cheie function fişierul respectiv intră în categoria fişierelor de tip function. Un fişier de tip function diferă de un fişier de tip script prin faptul că acceptă argumente de ii, în general intrare. Astfel, ladeterminarea execu unei funcForma memoria nu răfimân decât variabilele ieşire ale func primei linii a unui ieiieirespective. ă a calculatorului şier funcie este:

function [par_iesire1, par_iesire2 ...] = nume_func  ie(par_intrare1, par_intrare2 ...) (6.1) unde : • function reprezintă un cuvânt cheie obligatoriu prin care se declară că fişierul este de tip function • nume_func  ie reprezintă numele funciei, adică numele sub care este salvat fi şierul, însă f ără extensie. Numele funciei nu poate fi identic cu cel al unui fi şier M pre-existent. • par_iesire1, i prin reprezint parametri ieşire trebuiescdesepara virgulă par_iesire2 paranteze drepte.ă Dac ia nu areceparametri ieşire, parantezele şi cuprinşi între ă funcde

drepte şi semnul egal nu mai au sens. • par_intrare1, par_intrare2 reprezintă parametri de intrare ce trebuiesc separai prin virgulă şi cuprinşi între paranteze rotunde. Dacă funcia nu are parametri de intrare, parantezele rotunde nu mai au sens. Fişierele funcie pot fi adăugate ca funcii noi în structura MATLAB. Instruciunile şi comenzile utilizate de noua funcie sunt înregistrate într-un fişier cu extensia .m. De pildă


124/221

5/14/2018



125

fişierul de tip funcie având numele medie.m calculează media aritmetică a elementelor unui vector şi are sintaxa de mai jos: function m = medie (x) n = length (x) m = sum (x)/n y = [’Media aritmetica a numerelor este:’, num2str(m)]; disp(y)

(6.2)

Aceste instruciuni trebuiesc salvate în fişierul cu numele medie.m Din punctul de vedere al programatorului, MATLAB transmite prin valoare doar argumentele funciilor pe care acestea le modific ă. Dacă o funcie nu alterează un argument ci îl utilizează doar într-un calcul, MATLAB transmite argumentul prin referin ă pentru a optimiza folosirea memoriei. Fiecare funcie MATLAB are alocată o anumită cantitate de memorie diferită de Workspace-ul de bază MATLAB. Această memorie reprezintă Workspace-ul funciei respective. În cursul rulării MATLAB-ului, singurele variabile pe care le putei accesa sunt cele din Workspace-ul curent, fie că acesta este Workspace-ul de bază sau Workspace-ul unei funcii. Variabilele pe care le transmitei unei funcii trebuie să aparină Workspace-ului curent şi funcia întoarce argumente de ieşire spre Workspace-ul curent. Putei totuşi să definii variabile ca variabile globale, acestea putând fi accesate din mai multe Workspace-uri.

6.1.3. Includerea de comentarii şi informaii de tip help într-un fişier M. Introducerea unui comentariu într-un program se realizează prin adăugarea caracterului procent (%) plasat la începutul liniei. Dacă semnul procent (%) apare pe prima poziie într-o linie, aceasta va fi omisă de compilator, iar dacă apare în oricare altă poziie într-o linie de program, partea de program care urmează după acest caracter va fi omisă. Un comentariu poate apărea în oricare poziie într-un program însă este recomandată poziionarea comentariilor la începutul fişierului script sau după prima linie care declară o funcie în cazul fişierelor de tip function. În acest caz, comentariul respectiv care apare la începutul unui fişier script sau imediat după linia de declarare a unei funcii, constituie help-ul fişierului respectiv. Dacă se apelează: help nume_script sau help nume_func  ie se afişează liniile care încep cu semnul procent şi sunt situate între prima linie de comentariu şi prima linie liberă în cazul fişierelor script , respectiv între prima linie de comentariu dup ă declararea funciei şi prima linie liberă sau prima instruciune ce urmează acestui grup compact de linii. Prin urmare pen tru a ataşa un help unui program MATLAB se scriu liniile de program începând cu semnul procent (%) şi sunt plasate între prima linie dup ă declararea funciei şi prima linie liberă sau prima instruciune ce urmează acestui grup compact de linii. După ultima linie a help-ului se las ă o linie liberă sau se trece direct la o instruc iune MATLAB, ca în exemplul de mai jos: Function nume_functie % Aceasta linie lipseste la fisierele script % Prima linie de help


(6.3)

125/221

5/14/2018


126


% A doua linie de help % ... % Ultima linie de help Linie libera (aceasta este obligatorie daca urmeaza un alt comentariu care nu este de tip help) Instructiuni MATLAB Dacă un program MATLAB salvat într-un fişier M care are structura de mai sus este apelat ca mai jos: help nume_functie

(6.4)

MATLAB va afişa mesajul: % Prima linie de help

(6.5)

A doua linie de help % ... % Ultima linie de help

6.1.4. Crearea, editarea şi depanarea fişierelor M. Există mai multe metode de creare, editare şi depanare a fişierelor M, după cum este prezentat în Tabelul 6.1. Tabel 6.1 Funcie Crearea şi fişierelor M

Metoda editarea Folosind MATLAB Editor Folosind MATLAB Editor de sine stătător f ără a lansa MATLAB Folosind oricare editor de text, cum ar fi Notepad, WordPad, etc. ş Depanarea fi ierelor M Folosind instruciunile generale de depanare Folosind MATLAB Debugger Folosind MATLAB Debugging Functions

6.1.4.1. Crearea şi editarea fişierelor M folosind MATLAB Editor. Crearea şi editarea fişierelor M poate fi efectuată eficient folosind MATLAB Editor. MATLAB Editor pune la dispoziia utilizatorului o interfaă grafică performantă de editare clasică de text (vezi paragraful 1.4.2.8). Această aplicaie poate fi folosită atât în cadrul MATLAB-ului, cât şi ca o aplicaie de sine stătătoare f ără a necesita neapărat lansarea pachetului de programe MATLAB. În afara funciilor de editare obişnuite, MATLAB Editor prezintă şi funcii specifice cum ar fi, Tabel 6.2: Tabel 6.2 Funcie Transformarea unor linii de cod în comentarii sau a unor comentarii în linii de cod prin adăugarea sau eliminarea simbolului % Alinierea inteligentă a instruciunilor


Mod de lucru Se selectează liniile respective în MATLAB Editor şi apoi fie se selectează meniul Text -> Comment/Uncomment fie se apasă Ctrl+R/Ctrl+T fie se selectează Comment/Uncomment din meniul contextual Se selectează liniile respective în MATLAB Editor şi apoi fie se selectează meniul Text -> Smart Indent fie se

126/221

5/14/2018



Identificarea acoladelor

parantezelor

Indentare

127

apasă Ctrl+I, fie se selectează Smart Indent din meniul contextual şi Se pozi  ionează cursorul între două paranteze sau acolade ( ), [ ], { }, şi apoi fie se selectează meniul Text -> Balance Delimiters, fie se apasă Ctrl+B. Dacă nu există nici o pereche de paranteze delimitatoare MATLAB lansează un beep sonor. Se selectează liniile respective în MATLAB Editor şi apoi fie se selectează meniul Text -> Decrease Indent/ Increase Indent fie se apasă Ctrl+[/Ctrl+]

Fişierele M pot fi create şi editate şi utilizând editoare exterioare MATLAB-ului, cum ar fi Notepad, Wordpad etc. Pentru a fi considerate de către MATLAB drept fişiere M, fişierele create cu aceste editoare trebuiesc salvate cu extensia .m.

6.1.4.2. Depanarea fişierelor M folosind MATLAB Debugger. Depanarea sau procesul prin careexist suntă dou identificate rezolvate problemele din cadrul Debugging codului dvs. este MATLAB. În principiu ă tipuri deşi erori: • Erori de sintaxă – de pildă, introducerea greşită a unui nume de func ie sau omiterea unei paranteze. Când lansai un fişier M cu o eroare de sintaxă, în mod normal MATLAB o va detecta şi va afişa un mesaj de eroare în Command Window descriind eroarea şi numărul liniei în fişierul M. Clicai pe poriunea subliniată a mesajului de eroare, sau poziionai cursorul pe mesajul de eroare şi apăsai Ctrl+Enter. Fişierul M ce conine eroarea se deschide în Editor, cu linia eronată afişată în prim plan. • Erori run-time – aceste erori sunt în general de algoritm. Erorile run-time sunt vizibile când fişierul M produce rezultate neaşteptate. Identificarea erorilor de sintaxă nu este de regulă dificilă dacă se ine cont de mesajele de eroare MATLAB. Erorile run-time sunt însă mai dificil de identificat deoarece acestea pot apare în interiorul anumitor funcii. Iată câteva sfaturi pentru identificarea şi înlăturarea erorilor run-time: • Ştergei simbolurile ”;” din instruc iunile fişierelor M cu pricina. În urma acestei operaiuni MATLAB va afişa rezultatele pe ecran pe durata execu iei fişierului M; • Adăugai instruciunea keyboard la fişierul M. Instruciunile keyboard opresc execuia fişierului M la un anumit punct unde acestea apar şi vă permit examinarea şi modificarea Workspace-ul local al funciei. Acest mod este indicat de un prompt special: K>> Continuarea execuiei funciei se realizează tastând return şi apăsând tasta Return; • Folosii MATLAB Debugger sau funciile debugging. Acestea sunt folositoare pentru corectarea erorilor run-time deoarece putei accesa Workspace-ul funciilor şi apoi putei examina sau schimba valorile pe care le con in. Putei defini sau şterge puncte de întrerupere sau breakpoints, pentru oprirea execuiei programului la o anumită locaie (la o anumită linie de program) în interiorul fişierelor M.

A) Definirea punctelor de întrerupere sau breakpoints. Definirea unor breakpoints permit oprirea execuiei unei funcii facând astfel posibilă examinarea valorilor unor variabile la anumite locaii unde există o posibilă eroare. Putei defini breakpoints doar în


127/221

5/14/2018


128


dreptul liniilor executabile din cadrul fişierelor M salvate, care se află în directorul curent sau în directoare aflate în calea de căutare. La crearea unui nou fişier M, acesta trebuie salvat înainte de a defini breakpoints. Nu putei defini breakpoints cât timp MATLAB este deja lansat în execuia unui program. Pentru a defini un breakpoint în dreptul unei linii de program clicai pe zona breakpoint în dreptul liniei de program respectivă. Zona breakpoint este coloana situată imediat în dreapta coloanei ce conine numerele liniilor. Definii breakpoints în dreptul liniilor precedate de o liniua ”-”. Celelalte linii, de pildă comentariile sau liniile goale, nu sunt executabile; dacă încercai să definii un breakpoint acolo, acesta este definit în dreptul următoarei linii executabile. Alte metode de a defini un breakpoint constau în poziionarea cursorului pe linie şi apoi clicai pe butonul de definire/ ştergere de breakpoints din toolbar, sau selectai Set/Clear Breakpoint din meniul Breakpoints sau din meniul contextual. Un punct roşu va apare în zona breakpoints, în dreptul liniei selectate, ca în figura de mai jos, Fig. 6.1. Eliminarea punctelor de întrerupere din dreptul anumitor linii poate fi realizată plasând cursorul pe linia respectivă şi fie f ăcând apel la butonul din toolbar-ul ferestrei MATLAB Debugger fie clicând pe punctul roşu existent în zona breakpoint fie clicând pe Set/Clear breakpoint în meniul Breakpoints sau în meniul contextual. Punctele de întrerupere pot fi eliminate toate odată f ăcând apel la opiunea Set/Clear Breakpoint din meniul Breakpoints.

Fig. 6.1. Exemplu de definire a punctelor de întrerupere (breakpoints).

B) Lansarea fişierelor M ce conin breakpoints. După definirea breakpoints, lansai în execuie fişierul M din Command Window sau din Editor/Debugger. Lansarea fişierului M conduce la următoarele: • Promptul în Command Window se transformă în K>> indicând că MATLAB este în mod debugger. • Execuia programului este oprit ă la primul breakpoint. • La continuarea execuiei programului linia curentă va intra în execuie. C) Execuia pas cu pas a instruciunilor fişierului M. În mod debugger, putei executa pas cu pas instruciunile unui fişier M, oprindu-vă în punctele în care dorii să evaluai


128/221

5/14/2018



129

anumite valori. În acest sens folosi i butoanele de tip step din meniul Debug al ferestrei Editor/Debugger după cum este prezentat în Tabelul 6.3. Tabel 6.3 Butonul toolbar -

Opiune a meniului Debug Continue sau Run sau Save and Run Go Until Cursor Step Step In Step Out Exit Debug Mode

Descriere Continuă execuia fişierului M până la sfârşit sau până întâlneşte un alt breakpoint. Continuă execuia fişierului M până la linia unde este poziionat cursorul. Opiune care poate fi apelată şi din meniul contextual. Execută linia curentă a fişierului M. Execută linia curentă a fişierului M şi dacă linia face apel la o altă funcie, intră în funcia respectivă. Dupa ce intră în funcia respectivă execută restul funciei sau subfunciei, părăseşte funcia respectivă şi se opreşte. Părăseşte modul Debug.

6.2. Tipuri de variabile şi de operatori 6.2.1. Tipuri de variabile. MATLAB conine trei tipuri de variabile: locale, globale şi persistente. Regulile şi recomandările privind folosirea variabilelor în programarea MATLAB de tip linie de comand ă rămân valabile şi în cazul programarii utilizând fi şiere de tip M . Astfel trebuiesc avute în vedere următoarele aspecte: • Nu este necesară declararea variabilelor folosite în fi şiere M, în afară de cazul când acestea trebuiesc declarate ca variabile de tip global sau persistent; • Înainte de a asigna o variabilă alteia, trebuie să vă asigurai că variabila din dreapta

asignării există şi are o anumită valoare; • Orice operaie de alocare a unei valori unei variabile conduce la crearea variabilei dac ă aceasta nu există, sau în cazul în care aceasta deja exist ă, alocarea conduce la rescrierea unei noi valori în respectiva variabilă; • Verificarea numelui unei variabile poate fi efectuat ă folosind funcia isvarname pentru asigurare că numele este valid înainte de a fi folosit. Func ia isvarname întoarce 1 dacă numele este valid şi 0 în caz contrar; • La definirea unei variabile asigurai-vă că numele respectivei variabile nu este deja afectat unei funcii.

6.2.1.1. Variabile locale. Funciile MATLAB au propriile lor variabile locale. Acestea sunt separate de variabilele altor funcii şi de acelea ale Workspace-ului de bază al MATLAB-ului. Variabilele definite într-o funcie nu rămân în memorie de la un apel la altul al unei funcii, decât dacă sunt definite ca variabile globale sau persistente. Fişierele script, pe de o parte, nu au Workspace separat. Acestea stochează variabilele într-un Workspace care este partajat cu apelatorul scriptului. Când sunt apelate de la linia de comandă, acestea partajează Workspace-ul de bază. Când sunt apelate dintr-o func ie, acestea partajează Workspace-ul acelei funcii.


129/221

5/14/2018


130


6.2.1.2. Variabile globale. Dacă o variabilă de tip global este declarată în acelaşi timp în mai multe funcii şi chiar în Workspace-ul de bază al MATLAB-ului, atunci toate acestea partajează o singură copie a acelei variabile. Orice alocare a acelei variabile în oricare dintre funcii este vizibilă pentru celelalte funcii care au declarat acea variabil ă drept global ă. Fiecare funcie MATLAB care foloseşte variabile globale poate avea propriile sale variabile locale. Înainte ca o funcie să poată folosi o variabilă globală trebuie mai întâi să declare această variabilă global ă. Declaraiile de variabile globale trebuiesc plasate la începutul funciei. De pildă pentru a declara variabila VAL ca variabilă global ă se foloseşte instruciunea: global VAL

(6.6)

Dacă fişierul M conine deasemenea subfuncii, atunci fiecare subfuncie care necesită acces la variabila globală trebuie să declare mai întâi variabila drept global ă. Pentru a accesa variabila de la linia de comandă MATLAB, aceasta trebuie mai întâi declarată ca variabilă globală la linia de comandă. Se recomandă ca numele de variabile globale MATLAB să fie în general mai lungi şi mai sugestive decât numele variabilelor locale, şi s ă conină litere mari. Aceste remarci nu sunt obligatorii, ci sunt recomandări pentru a creşte claritatea codului MATLAB şi pentru a reduce şansa de redefinire accidentală a unei variabile globale. Pentru a vizualiza doar variabilele declarate globale, folosii funciile who sau whos cu specificaia, global . Pentru exemplificare tasta  i comenzile de mai jos: global MAXLUNG MAXLAT MAXLUNG = 36; MAXLAT= 78;

(6.7)

lung = 5; lat = 21; whos global Name Size Bytes Class MAXLUNG 1x1 8 double array (global) MAXLAT 1x1 8 double array (global) Grand total is 2 elements using 16 bytes Există câteva sugestii în ceea ce priveşte folosirea variabilelor globale. În primul rând trebuie ştiut faptul că există un anumit risc asociat folosirii nejustificate a variabilelor globale şi din această cauză se recomandă să le utilizai f ără abuz şi anume atunci când este necesar. Ai putea de exemplu, f ără să ştii, să dai în interiorul unei funcii, un nume unei variabile globale care este deja folosit pentru o variabilă globală în altă funcie. Când lansai aplicaia, o funcie poate suprascrie neintenionat variabila folosită de cealaltă funcie. Acest tip de eroare este uneori dificil de depistat. O altă problemă apare când dorii să schimbai numele variabilei. Pentru a face o schimbare f ără a introduce o eroare în aplicaie, trebuie să găsii fiecare apariie a acelui nume în codul dvs. (şi/sau în codul altora dacă partajai funcii create de o echipă de programatori).


130/221

5/14/2018



131

6.2.1.3. Variabile persistente. Caracteristicile variabilelor persistente sunt următoarele: • Pot fi utilizate doar în funcii; • Alte funcii nu le pot accesa; • MATLAB nu le şterge din memorie când func ia se încheie, aşa încât valoarea acestora iei; inutăide la un la altul funcM • este Dacăre şterge func sau edita al acelei funcii, atunci MATLAB şterge toate ia apel i fial şierul

variabilele persistente folosite în acea funcie.

Variabilele persistente trebuiesc declarate ca persistent înainte să le putei folosi într-o funcie. Este în general foarte bine s ă plasai declaraiile de variabile persistente la începutul funciilor. De pildă pentru a declara variabila SUMA_X ca persistentă tasta  i: persistent SUM_X

(6.8)

Putei folosi funcia mlock pentru a păstra un fişier M neşters din memorie, astfel păstrând neşterse variabilele persistente din fişierul M corespunzător.

6.2.2. Tipuri de operatori. Există trei tipuri de operatori MATLAB: operatori aritmetici, operatori relaionali şi operatori logici. 6.2.2.1. Operatori aritmetici. Operatorii aritmetici sunt folosii în calculul numeric şi sunt prezentai anterior în paragrafele 2.3 şi 4.1. 6.2.2.2. Operatori relaionali. Operatorii relaionali permit compararea cantitativă a două mărimi şi sunt prezentai în Tabelul 6.4. Tabel 6.4

Operator < <= > >= == ~=

Descriere Mai mic decât Mai mic sau egal cu Mai mare decât Mai mare sau egal cu Egal cu Diferit de

6.2.2.3. Operatori logici. Operatorii logici sunt folosii la diverse operaii logice MATLAB după cum este prezentat în Tabelul 6.5. Pentru exemplificare se consider ă A = [0 1 1 0 1], B = [1 1 0 0 1]. Tabel 6.5 Operator & | ~

Descriere Întoarce 1 pentru fiecare locaie de element care adevarată în ambii vectori Întoarce 1 pentru fiecare locaie de element care adevarată în unul sau în celălalt vector Întoarce 0 pentru fiecare locaie de element care adevarată şi 1 pentru fiecare locaie de element care falsă


Exemplu este A & B = [0 1 0 0 1] este A | B = [1 1 1 0 1] este ~A = [1 0 0 1 0] este

131/221

5/14/2018


132

xor


Întoarce 1 pentru fiecare locaie de element care este xor(A, B) = [1 0 1 0 0] adevărată doar într-un vector şi 0 pentru toate celelalte elemente

6.3. Instruciuni de control logic

Există mai multe instruciuni de control logic care se folosesc în mod curent în aplica iile MATLAB.

6.3.1. Instruciunea if. Instruciunea if împreună cu else şi elseif , execută un grup de instruciuni în cazul în care este îndeplinit ă o anumită condiie logică: if expresie_logica instructiuni end

(6.9)

Dacă expresie_logica este adevarată (1), MATLAB execută toate instruciunile cuprinse între if şi end . Ulterior programul continuă execuia cu instruciunea situată pe linia imediat următoare după instruciunea end . Dacă expresia logică este falsă (0), MATLAB sare peste toate instruciunile cuprinse între if şi end şi continuă execuia începând cu linia plasat ă imediat după instruciunea end . De exemplu tasta  i următoarea secvenă de instruciuni: a=3; b=2; if a>b disp('a este mai mare decât b') elseif b>=a disp('b este mai mare sau egal cu a') end

(6.10)

6.3.2. Instruciunea switch. Instruciunea switch, împreună cu case şi otherwise, execută diferite grupuri de instruciuni în funcie de valoarea anumitor condiii logice: switch expresie case valoare1 instructiuni % Executate daca expresie egal valoare1 case valoare2 instructiuni % Executate daca expresie egal valoare2 ... otherwise instructiuni % Executate daca expresie nu ia nici o valoare amintit ă mai sus end

(6.11)

Acest bloc constă în: • Cuvântul switch urmat de o expresie de evaluat; • Un anumit număr de grupuri case. Aceste grupuri constau din cuvântul cheie case urmat de o valoare posibilă, toate pe o singură linie. Liniile următoare conin instruciunile ce


132/221

5/14/2018



133

urmează a fi executate pentru o valoare dată a expresiei. Acestea pot fi reprezentate de orice instruciune validă MATLAB incluzând eventual un alt bloc switch. Execuia unui grup case se sfârşeşte când MATLAB întâlneşte următoarea instruciune case sau otherwise. Doar instruciunile corespunzând primului case sunt executate; • Un grup opional otherwise. Acesta constă din cuvântul otherwise, urmat de instruciunile de executat dacă valoarea expresiei nu se încadrează în nici unul din grupurile case anterioare. Execuia grupului otherwise se sfârşeşte cu instruciunea end ; • Instruciune end . Tasta  i de pildă următoarea secvenă de instruciuni: var = 9 switch var case 1 disp('1') case {2,3,4} disp('2 sau 3 sau 4') case 5 disp('5') otherwise disp('altceva') end

(6.12)

6.3.3. Instruciunea while. Instruciunea while execută un grup de instruciuni de un număr indefinit de ori, având la bază anumite condiii logice. Sintaxa instruciunii while este: while expresie_logica instructiuni end

(6.13)

Dacă expresie_logica este adevarată sunt executate instruciunile cuprinse între while şi end . Tasta  i spre exemplificare comenzile de mai jos: n = 1; while prod(1:n) < 1e100 n = n + 1 end

(6.14)

6.3.4. Instruciunea for. Instruciunea for execută un grup de instruciuni de un anumit număr impus de ori. Sintaxa instruc iunii este: for index = start:increment:end instruc  iuni end


(6.15)

133/221

5/14/2018


134


Incrementul implicit este 1. Putei specifica orice increment, inclusiv unul negativ. Pentru indici pozitivi, execuia se termină când valoarea indexului depăşeşte valoarea end ; pentru increment negativ, bucla se încheie când indexul devine mai mic decât valoarea end . Tasta  i secvena de instruciuni de mai jos: m=3; n=5; for i = 1:m for j = 1:n A(i, j) = 1/(i + j - 1) end end

(6.16)

6.3.5. Instruciunea continue. Instruciunea continue cedează controlul iteraiei următoare în cazul unei bucle for sau while, neglijând orice altă instruciune existentă în corpul buclei, ca în exemplul de mai jos. m=3; n=5; for i = 1:m for j = 1:n if ( i>2) continue end A(i, j) = 1/(i + j - 1) end end

(6.17)

6.3.6. Instruciunea break. Instruciunea break termină execuia unei bucle for sau while ca în exemplul de mai jos. clc; clear all; m=30; for i = 1:m A(i) =floor(10*rand(1)) if (A(i) ==0) break end end

(6.18)

6.3.7. Instruciunile try...catch şi return. Instruciunea try...catch este folosită în general la detectarea erorilor în cursul execuiei, iar instruciunea return permite întoarcerea la programul sau funcia invocatoare.


134/221

5/14/2018



135

6.4. Interaciunea program-utilizator Există trei modalităi de interaciune a unui program cu utilizatorul pe durata execuiei unui program MATLAB: •• Ob inerea unei ă; unuipauze răspuns tastatur Definirea pândeă la când utilizatorul apasă o tastă; • Construcia unei interfee grafice cu utilizatorul.

6.4.1. Obinerea unui răspuns de la tastatură. Funcia input afişează un prompt şi aşteaptă un răspuns al utilizatorului. Sintaxa funciei este n = input('prompt_string')

(6.19)

Funcia afişează şirul de caractere prompt_string, aşteaptă răspunsul de la tastatură şi apoi întoarce valoarea introdusă de la tastatură. Dacă utilizatorul introduce o expresie, ia o evalueaz ă şiilor ă funcie func i întoarce valoarea Aceastîntoarce este folositoare pentru implementarea aplica cu meniu. Funcacesteia. ia input poate deasemenea un răspuns al utilizatorului de tip string. Pentru un răspuns de tip string, adăugai 's' ca argument al funciei:

Adresa = input('Introduceti adresa: ','s');

(6.20)

6.4.2. Definirea unei pauze. Anumite fişiere M necesită definirea unor pauze între execuiile anumitor paşi. Comanda pause, f ără nici un argument, opreşte execuia până când utilizatorul apasă o tastă. Pentru a face o pauz ă de n secunde, folosii funcia sub forma pause(n). 6.4.3. Construcia unei interfee grafice folosind GUI (Graphical User Interfaces). Pentru a construi o interfaă grafică se poate face apel la facilităile MATLAB dezvoltate în acest sens. În cele ce urmeaz ă vom exemplifica construcia unei interfee grafice simple de tip GUI folosind MATLAB GUIDE (Graphical User Interfaces Development Environment). Se menionează că instruciunile prezentate mai jos sunt valabile în MATLAB versiunea 6.5. Dacă se foloseşte altă versiune de MATLAB pot apare anumite diferene în ceea ce priveşte comenzile de dezvoltare a aplicaiei. Interfaa grafică primeşte ca parametrii de intrare dou ă frecvene f1 şi f2 şi trasează graficul funciei sin(2*pi*f1*timp)+f1/f2*sin(2*pi*f2*timp) analizând spectrul frecvenelor coninute în acest semnal. Pentru crearea interfeei grafice se face apel la MATLAB GUIDE tastând la promptul ferestrei Command Window comanda guide. În cutia de dialog care tocmai a ap ărut, Fig. 6.2, selectai Blank GUI (Default) în câmpul GUIDE Template.


135/221

5/14/2018


136


Fig. 6.2. Lansarea GUIDE în vederea construciei unei interfee grafice

i peăbutonul ai efectuat selec ia clica căsuei de dialog. ÎnGUIDE urma acestei acDup iuni ăvaceapare o fereastr reprezint mediul OK al de dezvoltare MATLAB având ă ce înf ăişarea ca în figura de mai jos, Fig. 6.3.

Fig. 6.3. Fereastra de lucru a unei interfe e grafice

În zona din stânga ecranului sunt dispuse obiectele predefinite disponibile în MATLAB. Adăugai pe foaia de lucru două obiecte de tip Axes, prin dragging. În continuare adăugai două obiecte de tip Edit Text şi cinci obiecte de tip Static Text. Apoi adăugai şi un obiect de tip Push Button. După ce ai plasat pe foaie aceste obiecte acestea trebuie s ă arate cam ca în figura de mai jos, Fig. 6.4.


136/221

5/14/2018



137

Fig. 6.4. Adăugarea unor obiecte la o interfa ă grafică

Acum putei salva interfaa grafică cu numele Proc_sem printr-un clic pe meniul File + Save As. În urma operaiunii de salvare, MATLAB crează două fişiere Proc_sem.fig şi Proc_sem.m cel de-al doilea fiind în mod automat deschis, ca în Fig. 6.5.

Fig. 6.5. Coninutul fişierului Proc_sem.m asociat interfeei grafice

Acest ultim fişier conine codul specific interfeei grafice unde trebuiesc adăugate instruciunile de execuie a anumitor comenzi de interaciune a utilizatorului cu programul.


137/221

5/14/2018


138


Ne vom întoarce în MATLAB GUIDE în care se vor redimensiona şi rearanja obiectele adăugate pe foaie, folosind uneltele MATLAB, aşa încât acestea să arate ca în Fig. 6.6.

Fig. 6.6. Aranjarea şi dimensionarea obiectelor interfeei grafice

În continuare se vor schimba proprietăile obiectelor plasate pe foaia MATLAB GUIDE. Pentru aceasta executai un dublu clic pe obiectul axes1 deschizând astfel fereastra Property Inspector specifică acestui obiect grafic, ca în figura de mai jos, Fig. 6.7.

Fig. 6.7. Definirea proprietăilor obiectelor interfeei grafice


138/221

5/14/2018



139

Modificai proprietatea Tag a obiectului schimbând-o din axes1 în frec şi apoi închidei fereastra Property Inspector. În mod similar se modifică proprietatea Tag a obiectului axes2 schimbând-o în timp. În mod identic se modifică proprietatea String a obiectului Static Text aflat sub obiectul frec aceasta fiind schimbată în Frecventa [Hz] . Apoi se modifică proprietatea String a obiectului Static Text aflat sub obiectul timp aceasta fiind schimbată în Timp [s] . Apoi se modifică proprietăile obiectului Static Text aflat în zonă superioară a ferestrei. Astfel proprietatea String este schimbată în sin(2*pi*f1*timp)+f1/f2*sin(2*pi*f2*timp), iar proprietatea Font Size este schimbată în 11. În continuare se modifică proprietatea String a obiectului Static Text aflat deasupra primei căsue de tip Edit Text aceasta fiind schimbată în Frecventa f1 [Hz]:. În mod similar se modifică proprietatea String a obiectului Static Text aflat deasupra celei de-a doua căsue de tip Edit Text aceasta fiind schimbată în Frecventa f2 [Hz]:. Acum urmează modificarea proprietăilor căsuelor tip Edit Text. Mai întâi se vor schimba proprietăile căsuei Edit Text superioare: proprietatea String devine 50 iar proprietatea Tag devine in_frec1. În continuare se vor schimba propriet ăile căsuei Edit Text inferioare: proprietatea String devine 150 iar proprietatea Tag devine in_frec2. În continuare se modifică proprietatea String a obiectului Push Button aceasta devenind Plot. În final prin dublu clic pe zona dintre obiectele grafice se modifică proprietatea Name a ferestrei globale aceasta devenind Procesare de semnal . După ce redimensionai corespunzător obiectele interfeei grafice aceasta trebuie să arate ca în figura de mai jos, Fig. 6.8.

Fig. 6.8. Noua formă a interfeei grafice


139/221

5/14/2018


140


În cele ce urmează trebuie adăugat codul necesar efectuării operaiei propriu-zise de analiză de semnal şi de trasare a graficului funciei superpoziie. În acest sens selectai butonul Plot şi apoi meniul View + Component Callbacks + Callback. Această comandă va deschide fişierul cod de tip M în dreptul funciei pushbutton1_Callback. function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to pushbutton1 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

(6.21)

Instruciunile de mai jos trebuiesc introduse de către utilizator în continuare la corpul funciei: f1=str2double(get(handles.in_frec1, 'String')); f2=str2double(get(handles.in_frec2, 'String'));

(6.22)

t=0: 0.001: 0.25; x=sin(2*pi*f1.*t)+f1/f2*sin(2*pi*f2.*t); y = fft(x, 512); m = y.*conj(y)/512; f = 1000*(0:256)/512; % Deseneaza frecventa axes(handles.frec); plot(f, m(1:257)); grid on; % Deseneaza timp axes(handles.timp); plot(t,x); grid on; În continuare se salvează modificările efectuate în fişierul M şi de la linia de comand ă a ferestrei Command Window se tastează Proc_sem. Această comandă va lansa interfaa grafică creată şi aceasta va apărea sub forma din Fig. 6.9.


140/221

5/14/2018



141

Fig. 6.9. Interfaa grafică după lansarea în execuie

În această interfaă grafică presupunând ca se aleg valorile frecvenelor f1=50 Hz şi f2=150 Hz se poate trasa grafic semnalul de tip superpozi ie, respectiv spectrul de frecvene ce intră în componena semnalului rezultant, apăsând pe butonul Plot. Rezultatul este prezentat în figura de mai jos, Fig. 6.10.

Fig. 6.10. Trasarea graficelor în urma apelului butonului Plot al interfeei grafice


141/221

5/14/2018


142


6.5. Operaii cu şiruri de caractere 6.5.1. Evaluarea şirurilor de caractere. Evaluarea şirurilor de caractere reprezintă o facilitate a limbajului de programare MATLAB care-i conferă acestuia putere şi flexibilitate, permiând executarea operaiilor de concatenare a şirurilor de caractere. 6.5.1.1. Funcia eval. Funcia eval evaluează un şir de caractere ce conine expresii, instruciuni sau apeluri de funcii MATLAB. Sintaxa funciei eval în forma sa cea mai simplă este următoarea: eval('string')

(6.23)

De pildă, în codul de mai jos este utilizată funcia eval pentru evaluarea unei expresii în vederea generării unei matrice de ordin n. t for = '1/(i*j-1)'; i = 1:n for j = 1:n a(i, j) = eval(t); end end

(6.24)

Iată şi un exemplu în care funcia eval este folosită pentru evaluarea unei instruciuni: eval('t = clock');

(6.25)

şiruri Putei concatena pentru a crea expresii complete pentrufunc a fiiei evaluate utilizând funcia eval . De de pildcaractere ă codul de mai jos permite crearea cu ajutorul eval a 10 variabile numite P1, P2, ...P10, şi setarea la fiecare dintre variabile o valoare diferită.

for i=1:10 eval(['P',int2str(i),'= i.^2']) end

(6.26)

6.5.1.2. Funcia feval. Funcia feval diferă de eval prin faptul că aceasta se aplică unei funcii şi nu unei expresii MATLAB. Funcia executată este specificată în primul argument. Spre exemplificare tastai comenzile de mai jos: fun = [@sin; @cos; @log]; k = input('Alegeti indexul func  iei [1 pentru sin, 2 pentru cos, 3 pentru log]: '); x = input('Introduceti valoarea: '); feval(fun(k), x)

(6.27)

6.5.2. Funcii MATLAB cu şiruri de caractere. MATLAB pune la dispoziia utilizatorului o bibliotecă de funcii cu şiruri de caractere. Câteva dintre acestea sunt prezentate în Tabelul 6.6.


142/221

5/14/2018



Tabel 6.6 Categorie General ă

Funcie blanks char deblank Opera  ii cu şiruri findstr de caractere lower (stringuri) strcat strcmp strcmpi strjust strmatch strncmp strncmpi

Teste pe şiruri de caractere Conversie şiruri caractere numere

între de şi

strrep strvcat upper ischar isletter isspace double int2str mat2str num2str sprintf str2double str2num

143

Descriere Crează şiruri de blancuri Crează vectori de caractere Şterge blancurile de la sfârşitul şirurilor de caractere Caută un şir de caractere în altul Converteşte un şir de caractere în litere mici Concatenează şiruri de caractere Compară şiruri de caractere Compară şiruri de caractere neglijând faptul că literele sunt mici sau mari Aliniază şirurile de caractere Caută un şir de caractere în altele Compară primele n caractere ale unor şiruri de caractere Compară primele n caractere ale unor şiruri de caractere neglijând faptul ca literele sunt mici sau mari şte un Înlocuie ir de de caractere cu vertical altul Concateneaz ă şşiruri caractere Converteşte şiruri de caractere în litere mari Întoarce adevărat în cazul şirurilor de caractere Întoarce adevărat în cazul literelor alfabetului Întoarce adevărat în cazul blancurilor Converteşte şirurile de caractere în format numeric Converteşte întregi în şiruri de caractere Converteşte matrice în şiruri de caractere Converteşte numere în şiruri de caractere Scrie date formatate în şiruri de caractere Converteşte şirurile de caractere în numere dublă precizie Converteşte şirurile de caractere în numere

6.6. Aplicaii numerice APLICA IA 28: Să se scrie intruc  iunile de mai jos în fi şierul script sistem.m. Să se salveze fi şierul în directorul curent şi să se lanseze în execu  ie programul tastând la linia de comand ă sistem.

% Program de rezolvare a unui sistem de ecuaii de tipul A*x=b => x=A -1*b clear % Sterge toate variabilele din workspace clc % Sterge ecranul Command Window n=1000; % Defineste numarul de necunoscute A = rand(n, n); % Creaza o matrice A de numere aleatoare b = rand(n, 1); % Creaza un vector coloana b de numere aleatoare tic, % Porneste cronometrul x1 = inv(A)*b; % Rezolva sistemul toc % Opreste cronometru


143/221

5/14/2018


144


tic, x2 = A\b; toc % Rezolva sistemul şi cronometreaza timpul de calcul Evalua  i diferen  ele între solu  iile x1 şi x2 calculate pe cele două căi, folosind comanda sum(abs(x1-x2)). Func  ia abs calculează modulul elementelor unei matrice. Sunt diferen  e între cele două solu  ii ? Care solu  ie este calculat ă mai rapid ?

Folosind MATLAB Editor se crează în directorul curent fişierul script sistem.m care conine comenzile MATLAB de mai sus şi se lansează în execuie prin tastarea în Command Window: sistem MATLAB va răspunde cu: elapsed_time = 2.4690 elapsed_time = 0.9850 Deci soluia x1 este calculată mai lent decât soluia x2. Diferena dintre cele două soluii se calculează cu formula: sum(abs(x1-x2)) MATLAB va răspunde cu: ans = 5.3549e-011 După cum era de aşteptat diferena dintre cele două soluii este foarte redusă. APLICA IA 29: Crea  i fi şierul func  ie medie_a.m con  inând instruc  iunile de mai jos şi salva  i-l în directorul curent. Lansa  i func  ia pentru calculul mediei aritmetice a elementelor vectorului V=1:2.54:50.

function m = medie_a (x) n = length (x); m = sum (x)/n; y = [’Media aritmetica a elementelor vectorului este:’ num2str(m)]; disp(y) Folosind MATLAB Editor se crează în directorul curent fişierul function medie_a.m care conine următoarele comenzile MATLAB de mai sus. Funcia de mai sus se lanseaz ă în execuie pentru calculul mediei aritmetice a elementelor vectorului V = 1: 2.54: 50 prin tastarea în Command Window a comenzilor: V = 1: 2.54: 50 medie_a (V)


144/221

5/14/2018



145

MATLAB va răspunde cu: Media aritmetica a elementelor vectorului este: 25.13 ans = 25.1300 APLICA IA 30: Crea  i fi şierul func  ie fact.m care are ca parametru de intrare un număr n şi calculează [n]! unde [n] reprezint ă partea întreagă a lui n. În cadrul fi şierului func  ie folosi  i comenzile MATLAB factorial şi floor. Lansa  i func  ia pentru calculul lui [10.1]! şi [20.6]!. Compara  i rezultatul cu cel ob  inut cu func  ia MATLAB prod(1:10) şi prod(1:20). Folosind MATLAB Editor se crează în directorul curent fişierul function fact.m care conine următoarele comenzile MATLAB: function f = fact (n) n = floor(n); f = factorial(n); Funcia de mai sus se lanseaz ă în execuie prin tastarea în Command Window a comenzilor: fact (10.1) fact (20.6) MATLAB va răspunde respectiv cu: ans = 3628800 ans = 2.4329e+018 Apoi se execută comenzile MATLAB: prod(1:10) prod(1:20) MATLAB va afişa răspunsul de mai jos, care este identic cu cel furnizat de funcia fact. ans = 3628800 ans = 2.4329e+018 APLICA IA 31: Ad ăuga  i două linii de help la fi şierul de tip func  ie fact.m definit în cadrul Aplica  iei 30, care să explice destina  ia func  iei respective, după structura de mai sus şi executa  i comanda help fact pentru a vizualiza rezultatul MATLAB.


145/221

5/14/2018


146


Folosind MATLAB Editor se adaugă la fişierul fact.m 3 linii de comentarii explicative structura fişierului fact.m devenind: function f = fact (n) % Functia fact are ca parametru de intrare numarul n si permite calculul lui [n]! % unde [n] reprezinta partea intreaga a numarului n. n = floor(n); f = factorial(n); Se tastează în Command Window comanda: help fact MATLAB va răspunde cu: Functia fact are ca parametru de intrare numarul n si permite calculul lui [n]! unde [n] reprezinta partea intreaga a numarului n. APLICA IA 32: Folosind instruc  iunile de control logic, crea  i în directorul curent fi şierul func  ie ec2.m care are ca parametrii de intrare trei numere (a, b, c) şi care calculează r ăd ăcinile ecua  iei de ordinul ax2+ bx + c =0. În plus func  ia trebuie să traseze graficul func  iei f= ax2+ bx + c func  ie de x, punând în eviden ă r ăd ăcinile şi maximul sau minimul func  iei. Lansa  i func  ia pentru diferite valori ale parametrilor de intrare a, b, c şi verifica  i corectitudinea opera  iilor. Folosind MATLAB Editor se crează în directorul curent fişierul function ec2.m care conine următoarele comenzi MATLAB: function f = ec2 (a, b, c) if a == 0 disp('Parametrul a trebuie sa fie nenul'); elseif b^2-4*a*c < 0 disp('Ecuatia are radacini complexe'); else x1 = (-b -+sqrt(b^2-4*a*c))/2/a; sqrt(b^2-4*a*c))/2/a; x2 disp(['Radacinile ecuatiei sunt: ' num2str(x1) ' si ' num2str(x2)]); x = [x2-(x1-x2):(x1-x2)/100:x1+(x1-x2)]; y = a*x.^2 + b*x + c; xm = -b/2/a; ym = -(b^2-4*a*c)/4/a; plot(x, y, xm, ym, 'r+', x1, 0, 'mo', x2, 0, 'mo'); end


146/221

5/14/2018



147

Lansând comanda MATLAB: ec2(1, 1, 1) MATLAB va răspunde cu: Ecuatia are radacini complexe Lansând comanda MATLAB: ec2(0, 1, 1) MATLAB va răspunde cu: Parametrul a trebuie sa fie nenul Lansând comanda MATLAB: ec2(1, -5, 6) MATLAB va răspunde cu următorul mesaj şi cu graficul din Fig. 6.11: Radacinile ecuatiei sunt: 3 si 2

Fig. 6.11. Trasarea graficului funciei de gradul 2.


147/221

5/14/2018


148


APLICA IA 33: Folosind instruc  iunile de control logic, crea  i în directorul curent fi şierul func  ie fx.m care are ca parametru de intrare un num ăr x şi care calculează valoarea func  iei: f(x) = 0.45*x+900, x-10, dacă -100
Folosind MATLAB Editor se crează în directorul curent fişierul function fx.m care conine următoarele comenzile MATLAB: function f = fx (x) if (x > -100) & (x < 100) f = x - 10; elseif >= 100) & (x <= 200) f = (x 0.45*x + 900; end x1 = -100:100; x2 = 100:200; f1 = x1 - 10; f2 = 0.45*x + 900; plot (x1, f1, 'b', x2, f2, 'r') Se lansează comanda MATLAB: fx(150) MATLAB va răspunde cu următorul mesaj, respectiv grafic: ans = 967.5000

Fig. 6.12. Trasarea graficului funciei f(x).


148/221

5/14/2018



149

APLICA IA 34: Folosind instruc  iunile de control logic, crea  i în directorul curent fi şierul script fib.m care să calculeze primii n termeni (n să poat ă fi modificat de utilizator) ai şirului Fibonacci:Fn = Fn-1 + Fn-2, unde F0 = F1 = 1. Pentru acela şi n programul să calculeze Fn/ Fn-1. Este acesta egal cu num ărul de aur (1 + sqrt(5))/2 ? raportul Trasa  i pe un grafic varia  ia func  ie de n a termenilor Fn şi pe alt grafic varia  ia func  ie de n a raportului Fn/Fn-1 pentru 1<=n<=50.

Folosind MATLAB Editor se crează în directorul curent fişierul function fib.m care conine următoarele comenzile MATLAB: n = 100; F0 = 1; F(1) = 1; F(2) = F(1) + F0; Rap(1) = F(1) / F0; Rap(2) = F(2) / F(1); for k = 3:n F(k) = F(k-1) + F(k-2) ; Rap(k) = F(k) / F(k-1) end vn = 0:50; figure(1); plot (vn, F(1:50), 'b') figure(2); plot (vn, Rap(1:50),'r') Se lansează în execuie comanda MATLAB: fib MATLAB va afişa cele două grafice de mai jos, Fig. 6.13.

Fig. 6.13. Trasarea graficelor specifice şirului Fibonacci.


149/221

5/14/2018


150


APLICA IA 35: Crea  i în directorul curent un fi şier script p_ec2.m care cere interactiv utilizatorului să introducă de la tastatur ă valorile a trei parametri de intrare (a, b, c) şi care în continuare apelează func  ia ec2.m definit ă în cadrul Aplica  iei 32. Calcula  i timpul scurs pentru calculul r ăd ăcinilor şi pentru trasarea graficului folosind ansamblul de func  ii tic, toc.

Folosind MATLAB Editor se crează în directorul curent fişierul script p_ec2.m care conine următoarele comenzile MATLAB: a = input('Introduceti parametrul a: '); b = input('Introduceti parametrul b: '); c = input('Introduceti parametrul c: '); tic ec2(a, b, c); toc Se scrie în Command Window instruciunea MATLAB: p_ec2 MATLAB va răspunde invitând utilizatorul să introducă pe rând cei trei parametrii, a, b, c ca mai jos, apoi este afişat timpul de calcul, respectiv graficul funciei x2 - 1 cu evidenierea rădăcinilor şi a punctului de minim: Introduceti parametrul a: 1 Introduceti parametrul b: 0 Introduceti parametrul c: -1 Radacinile ecuatiei sunt: 1 si -1 elapsed_time = 0.0310

Fig. 6.14. Trasarea graficului funciei de gradul 2.


150/221

5/14/2018



151

APLICA IA 36: Crea  i o interfa ă grafică folosind MATLAB GUIDE care să con  ină: • un obiect de tip Axes , pentru reprezent ări grafice • un obiect de tip Static Text ce define şte titlul graficului • un buton de tip Push Button pentru execu  ia graficelor Apăsând pe butonul tip Push Button să se reprezinte grafic func  ia peaks folosind în mod aleator unul din seturile de instruc  iuni de mai jos: 1) [X,Y,Z] = peaks; mesh(X,Y,Z); 2) [X,Y,Z] = peaks; surf(X,Y,Z); 3) [X,Y,Z] = peaks; surfc(X,Y,Z); 4) [X,Y,Z] = peaks; surfl(X,Y,Z); 5) [X,Y,Z] = peaks; pcolor(X,Y,Z);

Pentru crearea interfeei grafice se face apel la MATLAB GUIDE tastând la promptul ferestrei Command Window comanda guide. În cutia de dialog care tocmai a apărut selectai Blank GUI (Default) în câmpul GUIDE Template.

Fig. 6.15. Fereastra GUIDE Quick Start.


151/221

5/14/2018


152


După ce ai efectuat selecia clicai pe butonul OK al casuei de dialog. În urma acestei aciuni va apare o fereastră ce reprezintă mediul de dezvoltare MATLAB GUIDE având înf ăişarea ca în Fig. 6.16.

Fig. 6.16. Mediul de dezvoltare MATLAB GUIDE.

În zona din stânga ecranului sunt dispuse obiectele predefinite disponibile în MATLAB. Adăugai pe foaia de lucru un obiect de tip Axes, prin dragging. În continuare adăugai un obiect de tip Static Text şi un obiect de tip Push Button. După ce ai plasat pe foaie aceste obiecte acestea trebuiesc dimensionate ca s ă arate ca în Fig. 6.17.

Fig. 6.17. Noua înf ăişare a mediului de dezvoltare MATLAB GUIDE.


152/221

5/14/2018



153

Acum putei salva interfaa grafică cu numele graf_peaks printr-un clic pe meniul File + Save As. În urma operaiunii de salvare, MATLAB creaz ă două fişiere graf_peaks.fig şi graf_peaks.m cel de-al doilea fiind în mod automat deschis, ca în Fig. 6.18.

Fig. 6.18. Coninutul fişierului graf_peaks.m.

Acest ultim fişier conine codul specific interfeei grafice unde trebuiesc adăugate instruciunile de execuie a comenzilor de interaciune a utilizatorului cu programul. În continuare se vor schimba proprietăile obiectelor plasate pe foaia MATLAB GUIDE. Pentru aceasta executai un dublu clic pe obiectul axes1 deschizând astfel fereastra Property Inspector specifică acestui obiect grafic, ca în Fig. 6.19.

Fig. 6.19. Fereastra Property Inspector .


153/221

5/14/2018


154


Modificai proprietatea Tag a obiectului schimbând-o din axes1 în graf şi apoi închidei fereastra Property Inspector. Apoi se modifică proprietăile obiectului Static Text aflat în zonă superioară a ferestrei. Astfel proprietatea String este schimbată în Graficul functiei peaks, iar proprietatea Font Size este schimbată în 11. În continuare se modifică proprietatea String a obiectului Push Button aceasta devenind Plot. În final prin dublu clic pe zona dintre obiectele grafice se modifică proprietatea Name a ferestrei globale aceasta devenind Grafic - peaks. După efectuarea acestor modificări interfaa grafică trebuie să arate ca în Fig. 6.20.

Fig. 6.20. Noua înf ăişare a mediului de dezvoltare MATLAB GUIDE.

În cele ce urmează trebuie adăugat codul necesar plotării aleatoare a graficului functiei peaks. În acest sens selectai butonul Plot şi apoi meniul View + Component Callbacks + Callback. Această comandă va deschide fişierul cod de tip M în dreptul funciei pushbutton1_Callback. function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to pushbutton1 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)


154/221

5/14/2018



155

Instruciunile de mai jos trebuiesc introduse de către utilizator în continuare la corpul funciei: n = round(4*rand); [X, Y, Z] = peaks; axes(handles.graf); if n == 0 mesh(X, Y, Z); elseif n == 1 surf(X, Y, Z); elseif n == 2 surfc(X, Y, Z); elseif n == 3 surfl(X, Y, Z); else pcolor(X, Y, Z); end În continuare se salvează modificările efectuate în fişierul M şi de la linia de comandă a ferestrei Command Window se tastează graf_peaks. Această comandă va lansa interfaa grafică creată şi aceasta va apărea ca în Fig. 6.21.

Fig. 6.21. Înf ăişarea interfeei grafice după comanda de lansare.

Apăsând pe butonul Plot se trasează graficul funcie peaks în mod aleator într-unul din formatele propuse, ca în Fig. 6.22.


155/221

5/14/2018


156


Fig. 6.22. Graficul funciei MATLAB peaks ca rezultat la apelul butonului Plot .

APLICA IA 37: Să se creeze în directorul curent un fi şier script princ.m care apeleaz ă un alt fi şier de tip func  ie functie.m care are la rândul său ca parametri de intrare 5 numele reale, şi anume 2

(a, b, x0), şi care trasează graficul func  iei f = a ⋅ e -b(x-x 0 ) în intervalul [xmin, xmax] cu pasul (xmax-xmin)/1000. Parametrii xmin=-5, xmax=5 necesari trasării graficului vor fi defini  i în programul principal ca variabile globale.

Folosind MATLAB Editor se crează în directorul curent fişierul script princ.m care conine următoarele comenzile MATLAB: global xmin global xmax xmin=-5; xmax=5; functie(1, 2, 3); Apoi se crează în directorul curent fişierul function functie.m care conine următoarele comenzile MATLAB: function f= functie(a, b, x0) global xmin global xmax x = xmin:(xmax-xmin)/1000:xmax;


156/221

5/14/2018



157

f = a*exp(-b*(x-x0).^2); plot(x, f); În urma lansării în execuie a programului principal MATLAB va trasa urm ătorul grafic.

2

Fig. 6.23. Graficul funciei f = a ⋅ e -b(x -x 0 ) .

APLICA IA 38: Să se creeze în directorul curent un fi şier script cauta.m care să cear ă interactiv introducerea a două şiruri de caractere sirsursa şi şir. Acest fi şier trebuie să apeleze un fi şier de tip func  ie cautastring.m care trebuie creat şi care are ca parametri de intrare sirsursa şi şir. Func  ia trebuie să caute şir în sirsursa şi să înlocuiască apari  iile acestuia cu un şir de blancuri şi să afi şeze noul şir de caractere modificat. Folosind MATLAB Editor se crează în directorul curent fişierul script cauta.m care conine următoarele comenzile MATLAB: sirsursa = input('Introduceti sirul sursa: '); sir = input('Introduceti sirul ce trebuie inlocuit: '); cautastring(sirsursa, sir); Apoi se crează în directorul curent fişierul function cautastring.m care conine următoarele comenzile MATLAB: function f= cautastring(sirsursa, sir) sirrez = strrep(sirsursa, sir, ' '); disp(sirrez);


157/221

5/14/2018


158


În urma lansării în execuie a programului cauta.m MATLAB va cere utilizatorului introducerea şirurilor de caractere sursă, respectiv de înlocuit şi va afişa şirul rezultant. Introduceti sirul sursa: 'Intre;cuvinte;trebuie;spatiu'; Introduceti sirul ce trebuie inlocuit: ';' sirul rezultant este: Intre cuvinte trebuie spatiu APLICA IA 39: Să se creeze în directorul curent un fi şier script mare.m care să cear ă interactiv introducerea unui şir de caractere. Acest fi şier trebuie să înlocuiască toate caracterele şirului cu litere mari şi să afi şeze noul şir de caractere modificat. Folosind MATLAB Editor se crează în directorul curent fişierul script mare.m care conine următoarele comenzile MATLAB: sirsursa = input('Introduceti sirul sursa: '); sirrez = upper(sirsursa); disp(sirrez); În urma lansării în execuie a programului mare.m MATLAB va cere utilizatorului introducerea şirului de caractere sursă, şi-l va afişa pe cel rezultant: Introduceti sirul sursa: 'literele mici se fac mari' LITERELE MICI SE FAC MARI APLICA IA 40: Să se creeze în directorul curent fi şierul de tip func  ie sumasin.m care are ca parametru de intrare vectorul x=0:0.0001:5 de numere reale, calculează func  ia sumasin = sin + sinh + asin + asinh şi care traseaza graficul lui abs(sumasin) func  ie de x. Folosind MATLAB Editor se crează în directorul curent fişierul script sumasin.m care conine următoarele comenzi MATLAB: function f=sumasin(x) f = sin(x)+sinh(x)+asin(x)+asinh(x); plot(x, abs(f)); Întâi se defineşte vectorul x şi apoi se apelează funcia sumasin: x=0:0.0001:5; sumasin(x);


158/221

5/14/2018



159

În urma apelului funciei sumasin MATLAB va afişa graficul următor.

Fig. 6.24. Graficul funciei sumasin.

APLICA IA 41: Să se creeze în directorul curent un fi şier de tip script lista.m care cere ca date de intrare, în mod repetat, numele şi prenumele, grupa şi media unor studen  i şi apoi afi şeaza lista de studen  i, grupa şi mediile corespunzătoare în ordinea descrescătoare a mediilor. Programul se încheie când în loc de nume utilizatorul introduce un blanc. Se vor folosi structurile de tip cells , respectiv func  ia sort. Structurile de tip cells sunt matricele clasice însă elementele fi de diverse reale, şidentice cells(numerele iruri de cu caractere etc.). Accesarea elementelorpot structurilor de tiptipuri se face folosind acolade {} în loc de paranteze () cum se folose şte în cazul matricelor.

Folosind MATLAB Editor se crează în directorul curent fişierul script lista.m care conine setul de comenzi MATLAB de mai jos. clc; clear all; i = 1; gata = 0; while gata=== 0 numes input('Introduceti nume student: '); if numes == ' ' gata = 1; break; end nume{i} = numes; prenume{i} = input('Introduceti prenume student: '); grupa{i} = input('Introduceti grupa student: ');


159/221

5/14/2018


160


medie(i) = input('Introduceti medie student: '); i = i + 1; end if i~=1 [medieord I] = sort(medie); numeord = nume(I); prenumeord = prenume(I); grupaord = grupa(I); for k=1:length(medie) situatie{k, 1} = numeord{length(medie)-k+1}; situatie{k, 2} = prenumeord{length(medie)-k+1}; situatie{k, 3} = grupaord{length(medie)-k+1}; situatie{k, 4} = medieord(length(medie)-k+1); end situatie end Lansarea în execuie a fişierului de tip script lista.m conduce la rezultate similare cu cele prezentate mai jos. În urma introducerii interactive a datelor programul afi şează lista studenilor în ordinea descrescătoare a mediilor. Introduceti nume student: 'Popescu' Introduceti prenume student: 'Ion' Introduceti grupa student: '111IE' Introduceti student: 'Ionescu' 9.2 Introduceti medie nume student: Introduceti prenume student: 'George' Introduceti grupa student: '111IE' Introduceti medie student: 8.9 Introduceti nume student: 'Stanescu' Introduceti prenume student: 'Cristian' Introduceti grupa student: '111IE' Introduceti medie student: 9.7 Introduceti nume student: ' ' situatie = 'Stanescu' 'Cristian' '111IE' '111IE' [9.2000] [9.7000] 'Popescu' 'Ion' 'Ionescu' 'George' '111IE' [8.9000]


160/221

5/14/2018



161

APLICA IA 42: Calcula  i valorile curen  ilor I 1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 folosind teoremele lui Kirchoff şi opera  iile cu matrice din MATLAB. Pentru rezolvare să se creeze fi şierul script kirc5.m care să cear ă interactiv utilizatorului valorile rezisten  elor R1, R2, R3 şi R4 şi ale tensiunilor E1, E2 şi E3.  pune  i-le sub forma [R]*[I]=[E], unde [R] reprezint ă o matrice cunoscut ă de Cele 5 ecua  i deiidimensiune coeficien 5x5, [I] reprezint ă un vector coloană necunoscut care con  ine cei 5 curen  i, iar [E] reprezint ă un vector coloană cunoscut. Rezolva  i sistemul de ecua  ii prin două metode distincte şi afi şa  i rezultatele.

E1 I1

I 5 I2

I3 E3

R1

R2

R3 E2

I5

R4

I4

Se scriu ecuaiile lui Kirchoff corespunzătoare circuitului studiat: I1 - I2 + I5 = 0 - I3 + I4 + I5 = 0 R1·I1 + R2·I2 = E1 R2·I2 + R3·I3 = E2 R3·I3 + R4·I4 = E3 Sistemul de ecuaii trebuie pus sub forma matriceală [R]·[I] = [U] ca mai jos: 1·I1 - 1·I2 + 0·I3 + 0·I4 + 1·I5 = 0 0·I1 + 0·I2 - 1·I3 + 1·I4 + 1·I5 = 0 R1·I1 + R2·I2 + 0·I3 + 0·I4 + 0·I5 = E1 0·I1 + R2·I2 + R3·I3 + 0·I4 + 0·I5 = E2 0·I1 +0·I2 + R3·I3 + R4·I4 + 0·I5 = E3


161/221

5/14/2018


162

0  1 − 1 0  0 −1 1  0  adică sub forma:  R1 R 2 0 0  0 R 2 R3 0  0 0 R3 R 4 


1   I 1   0       1   I 2   0  0  ⋅  I 3  =  E 1       0   I 4   E 2  0   I 5   E 3 

Folosind MATLAB Editor se crează în directorul curent fişierul script kirc5.m ce conine următoarele comenzile MATLAB: R1 = input('Rezistenta 1: '); R2 = input('Rezistenta 2: '); R3 = input('Rezistenta 3: '); R4 = input('Rezistenta 4: '); E1 = input('Tensiunea 1: '); E2 E3 = = input('Tensiunea input('Tensiunea 2: 3: '); '); R = [1 -1 0 0 1; 0 0 -1 1 1; R1 R2 0 0 0; 0 R2 R3 0 0; 0 0 R3 R4 0]; U = [0; 0; E1; E2; E3]; I = R\U I = inv(R)*U Apelând programul kirc5.m cu parametrii de mai jos, MATLAB va calcula curen ii prin cele 5 laturi ale circuitului electric. kirc5 Rezistenta 1: 1 Rezistenta 2: 2 Rezistenta 3: 3 Rezistenta 4: 4 Tensiunea 1: 10 Tensiunea 2: 20 Tensiunea 3: 30 I = 3.2000 3.4000 4.4000 4.2000 0.2000 I = 3.2000 3.4000 4.4000 4.2000 0.2000


162/221

5/14/2018



163

Prin ambele metode se obin aceleaşi rezultate. Prin urmare valorile celor cinci curen i sunt: I1 = 3.2 A I2 = 3.4 A I3 = 4.4 A I4 = 4.2 A I5 = 0.2 A


163/221

5/14/2018


164


7. CALCULE NUMERICE CU POLINOAME În acest capitol se prezintă funciile MATLAB de calcul polinomial pentru evaluarea şi generarea polinoamelor seiicunosc descompunerea acestora când în frac simple.rădăcinile, pentru calculul derivatei polinoamelor şi Polinomul este o funcie cu o singură variabilă, care poate fi exprimat sub următoarea formă generală: F(x) = a1 x n + a 2 x n-1 + a 3 x n-2 + ... + a n x1 + a n+1

(7.1)

unde x este variabila, iar a1, a2, ... , an sunt coeficienii polinomului. Gradul polinomului este egal cu cea mai mare valoare a exponentului. Reprezentarea MATLAB a unui polinom constă într-un vector linie care conine coeficienii în ordinea descrescătoare a puterii variabilei. Coeficienii polinomului au indicii de la 1 la n+1. Spre exemplu reprezentarea MATLAB a polinomului: F(x) = x 4 + x 2 + 2x + 3,

(7.2)

este dată de vectorul rând: F = [1 0 1 2 3]

(7.3)

7.1. Evaluarea polinoamelor ia utilizatorului MATLAB Cea punemai la simpl dispozi maio singur multe ă modalit de evaluare polinoamelor. evaluarea pentru valoareăai variabilei, ca îna ă este exemplul de mai jos. Presupunem că polinomul ce urmează a fi evaluat este f(x) = x 4 + x2 + 2x + 3.

x = 1; f = x^4 + x^2 + 2*x + 3

(7.4)

Rezultatul MATLAB al operaiilor de mai sus este 7 . A doua metodă constă în evaluarea polinomului în mai multe puncte. În acest caz avem de a face cu operaii cu tablouri. Operaiile în acest caz sunt de tip element cu element şi presupun adăugarea unui punct înaintea operatorilor înmulire, împărire sau ridicare la putere. De pildă evaluarea polinomului f în punctele -1, 0, 1, 2 presupune utilizarea următoarei secvene MATLAB. x = [-1 0 1 2] ; f = x.^4 + x.^2 + 2*x + 3

(7.5)

A treia metodă de evaluare a polinoamelor constă în utilizarea funciei polyval cu următoarea sintaxă MATLAB:


164/221

5/14/2018



f = polyval(pf, x),

165

(7.6)

unde pf = [1 0 1 2 3] este polinomul f(x) = x 4 + x 2 + 2x + 3 declarat în sintaxa MATLAB, iar x conine punctele în care se evaluează polinomul, acesta putând fi exprimat sub forma unui scalar, vector sau matrice. De pildă pentru a evalua polinomul f în punctele -1, 0, 1, 2 se utilizează secvena de comenzi MATLAB de mai jos: pf = [1 0 1 2 3]; x = [-1 0 1 2] ; f = polyval(pf, x)

(7.7)

Rezultatul MATLAB este următorul: f = [3 3 7 27]

(7.8)

7.2. Operaii aritmetice cu polinoame 7.2.1. Adunarea şi scăderea. Să presupunem două polinoame f(x) şi g(x) având coeficienii înregistrai în vectorii rând f şi g conform cu sintaxa MATLAB. Opera iile de adunare şi scădere în MATLAB presupun că lungimile vectorilor f şi g să fie identice şi egale cu lungimea vectorului corespunzător polinomului de ordin mai mare. Coeficienii nuli ai celor două polinoame sunt adăugai explicit în vectorii corespunzători. De pildă să presupunem că: 4

2

2+

f(x) g(x)==xx –x2 + 2x + 3 s(x) = f(x) + g(x) d(x) = f(x) – g(x)

(7.9)

Dimensiunea vectorilor f şi g va fi de 5 şi anume: f = [1 0 1 2 3] g = [0 0 1 0 -2]

(7.10)

Polinoamele corespunzătoare vectorilor de mai sus sunt echivalente cu: f(x) = x 4 + 0x 3 + x 2 + 2x + 3 g(x) = 0x 4 + 0x 3 + x 2 + 0x – 2

(7.11)

Pentru a calcula polinoamele s(x) şi d(x) tastai secvena de comenzi MATLAB: f = [1 0 1 2 3] g = [0 0 1 0 -2]


(7.12)

165/221

5/14/2018


166


s = f + g d = f - g Răspunsul MATLAB este: s = [1 d = [1

0 2 2 1] 0 0 2 5]

(7.13)

ceea ce corespunde următoarelor polinoame: s(x) = x 4 +2x 2 + 2x + 1 d(x) = x 4 + 2x + 5

(7.14)

7.2.2. Înmulirea şi împărirea. Înmulirea unui polinom cu un scalar este echivalentă cu înmulirea coeficienilor acelui polinom cu acel scalar. Înmulirea a două polinoame este echivalent operaiei de convoluie, realizată cu ajutorul funciei MATLAB conv care se apelează cuă sintaxa: p = conv(f, g)

(7.15)

unde f şi g sunt doi vectori rând ce conin coeficienii celor două polinoame exprimate în sintaxa MATLAB, iar c reprezintă vectorul coeficienilor polinomului rezultat prin operaia de înmulire p(x) = f(x)g(x). Operaia de împărire a două polinoame este echivalentă unei operaii de deconvoluie realizată apelând funcia MATLAB deconv cu sintaxa: [c r] = deconv(f, g)

(7.16)

unde f şi g sunt doi vectori rând ce conin coeficienii celor două polinoame exprimate în sintaxa MATLAB, iar c şi r reprezintă vectorii coeficienilor polinoamelor cât şi rest rezultate prin operaia de împărire f(x) = c(x)g(x) + r(x). Pentru exemplificarea operaiilor de înmulire şi împărire să considerăm polinoamele: f(x) = x 2 - 2x - 3 g(x) = x +1

(7.17)

Se vor calcula polinoamele obinute prin înmulirea şi împărirea celor două polinoame f şi g, şi nume p(x) = f(x)g(x) şi d(x) = f(x)/g(x), folosind următoarea secvenă MATLAB: f = [1 -2 -3] g = [1 1] p = conv(f, g) [c r] = deconv(f, g)

(7.18)

Rezultatele MATLAB sunt:


166/221

5/14/2018



p = [1 -1 -5 -3] c = [1 -3] r = [0 0 0],

167

(7.19)

ceea ce corespunde polinoamelor: • produs p(x) = x3 – x2 – 5x – 3 • cât c(x) = x – 3 • rest r(x) = 0

(7.20)

7.3. Descompunerea în fracii simple Descompunerea în fracii simple presupune scrierea raportului a dou ă polinoame ca sumă de fracii cu polinoame de ordinul I: F(x)/G(x) = r(1)/(x- p(1)) + r(2)/(x- p(2)) + ... + r(n)/(x- p(n)) + k(x)

(7.21)

Dacă polul p(i) este de ordinul m, descompunerea conine termeni de forma: r(i)/(x- p(i)) + r(i+1)/(x- p(i))2 + ... + r(i+m-1)/(x- p(i))m

(7.22)

Funcia MATLAB care efectuează operaii de descompunere în fracii simple este residue care se apelează cu sintaxa: (7.23) [r, p, k] = residue(F, G) unde F şi G reprezintă vectorii rând ai polinoamelor numitor şi numărător, iar r, p şi k vectorii coloană ai reziduurilor, polilor şi termenilor liberi. Dacă funcia residue se apelează cu sintaxa: [F, G] = residue(r, p, k)

(7.24)

aceasta returnează coeficienii polinoamelor F şi G, numărător şi numitor, al căror raport are reziduurile r, polii p şi termenii liberi k. Pentru exemplificare se va descompune în frac ii simple expresia: F(x)/G(x) = (x 3 + 2x 2 + 2)/(x 2+1)

(7.25)

Folosind secvena de comenzi MATLAB: F = [1 2 0 2]; G = [1 0 1]; [r, p, k] = residue(F, G)


(7.26)

167/221

5/14/2018


168


Se obin următoarele rezultate MATLAB: r = [-0.5 -0.5] p = [ i -i] k = [1 2]

(7.27)

care corespund următoarei descompuneri: F(x)/G(x) = -0.5/(x - i) - 0.5/(x + i) + x +2

(7.28)

7.4. Calculul derivatei Derivata unui polinom în MATLAB se calculeaz ă folosind funcia polyder care se apelează cu sintaxa: D = polyder(F)

(7.29)

F reprezintă vectorul rând al coeficienilor polinomului, în ordinea descrescătoare a puterilor variabilei, iar D este vectorul rând al coeficienilor polinomului derivat. Apelată cu sintaxa: D = polyder(F, G)

(7.30)

Funcia polyder returnează în vectorul D coeficienii derivatei polinomului produs F .G: D(x) = [F(x)G(x)]’ = F(x)’G(x) + F(x)G(x)’

(7.31)

Apelată cu sintaxa: [D, E] = polyder(F, G)

(7.32)

Funcia polyder returnează în vectorii D şi E coeficienii număratorului şi numitorului derivatei raportului polinoamelor D/E: D(x)/E(x) = [F(x)/G(x)]’ = [F(x)’G(x) - F(x)G(x)’]/G(x) 2

(7.33)

Pentru exemplificare să considerăm polinoamele: F(x) = x 3 + 2x 2 + 2 G(x) = x 2+1

(7.34)

Pentru a calcula derivatele următoare: Fd(x) = F(x)’ Gd(x) = G(x)’


(7.35)

168/221

5/14/2018



169

FGd(x) = [F(x)G(x)]’ AB(x) = A(x)/B(x) = [F(x)/G(x)]’, se va face apel la următoarea secvenă de comenzi MATLAB: F = [1 2 0 2]; G = [1 0 1]; Fd = polyder(F); Gd = polyder(G); FGd = polyder(F, G); [A, B] = polyder(F, G);

(7.36)

Se vor obine următoarele rezultate MATLAB: Fd = [3 4 0]

(7.37)

= [2 Gd FGd = [50] 8 3 8 0] A = [1 0 3 0 0] B = [1 0 2 0 1]

7.5. Calculul rădăcinilor MATLAB permite prin intermediul unor funcii speciale calculul rădăcinilor unui polinom, respectiv calculul coeficienilor unui polinom când se cunosc r ădăcinile acestuia. Dacă funcia f(x) este o funcie polinomială de gradul n, atunci f(x) = 0 are n r ădăcini, care pot fi reale sau complexe. În cazul în care coeficien ii funciei polinomiale sunt numere reale, rădăcinile complexe sunt grupate în perechi complex conjugate. Funcia MATLAB roots determină rădăcinile polinoamelor şi se apelează cu sintaxa: r = roots(f)

(7.38)

Funcia MATLAB poly determină coeficienii unui polinom ale cărui rădăcini sunt cunoscute şi se apelează cu sintaxa: f = poly(r)

(7.39)

În ambele situaii f este un vector rând care conine coeficienii polinomului, în ordine descrescătoare a puterilor variabilei, iar r este un vector coloană care conine rădăcinile polinomului. Funciile MATLAB roots şi poly sunt funcii reciproce efectuând trecerea de la coeficieni la rădăcini sau de la rădăcini la coeficieni. Pentru exemplificare se consideră polinomul F(x) = x 3 + 2x 2 + 2 şi se vor calcula rădăcinile acestuia folosind următoarea secvenă de instruciuni MATLAB: F = [1 2 0 2] R = roots(F)


(7.40)

169/221

5/14/2018


170


Rezultatul MATLAB este: R = [-2.3593

0.1797 + 0.9030i

0.1797 - 0.9030i]’

(7.41)

În mod similar pentru a determina polinomul caracterizat de rădăcinile 1, -2, 0 se face apel la următoarea secvenă de instruciuni MATLAB: R = [1; - 2; 0] F = poly(R)

(7.42)

Rezultatul MATLAB este: F = [1

1

-2

0]

(7.43)

Ceea ce corespunde polinomului f(x) = x 3 + x 2 - 2x.

7.6. Aplicaii numerice APLICA IA 43: Să se efectueze opera  iile de adunare, scădere, înmul  ire şi împăr  ire ale polinoamelor: f(x) = 3x4 + 2x + 3 g(x) = x3 – 1 Se folosesc comenzile MATLAB: f = [3 0 0 2 3]; g = [0 1 0 0 -1]; g1 = [1 0 0 -1]; s = f + g d = f - g p = conv(f, g) [c r] = deconv(f, g1) În urma lansării comenzilor de mai sus se obin rezultatele: s= 3 1 0 2 2 d = 3 -1 0 2 4 p = 0 3 0 0 -1 3 0 -2 -3 c= 3 0 r= 0 0 0 5 3 Prin urmare polinomul sumă este: s = 3X4 + X3 + 2X + 2


170/221

5/14/2018



171

Polinomul diferenă este: d = 3X4 - X3 + 2X + 4 Polinomul produs este: p = 3X7 - X4 + 3X3 - 2X - 3 Adică polinomul cât şi rest sunt: c = 3X, respectiv r = 5X + 3  IA 44: APLICA ă în frac  ii simple expresia: Să se descompun 4 f(x)/g(x) = (3x + 2x + 3)/( x3 – 1)

Se folosesc comenzile MATLAB: F = [3 0 0 2 3]; G = [1 0 0 -1]; [r, p, k] = residue(F, G) În urma lansării comenzilor de mai sus se obin rezultatele: r = 2.6667 -1.3333 - 0.5774i -1.3333 + 0.5774i p = 1.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i k= 3

0

Acest rezultat înseamnă că raportul F(x)/G(x) se descompune sub forma: F(x)/G(x) = r(1)/(x - p(1)) + r(2)/(x - p(2)) + r(3)/(x - p(3)) + k(x) APLICA IA 45: Să se calculeze derivata polinoamelor: f(x) = 3x4 + 2x + 3 g(x) = x3 – 1 f(x)g(x) f(x)/g(x) Se folosesc comenzile MATLAB: f = [3 0 0 2 3]; g = [1 0 0 -1]; fd = polyder(f) gd = polyder(g) fgd = polyder(f, g) [a, b] = polyder(f, g)


171/221

5/14/2018


172


În urma lansării comenzilor de mai sus se obin rezultatele:

fd = 12 0 0 2 gd = 3 0 0 fgd = 21 0 0 -4 9 0 -2 a = 3 0 0 -16 -9 0 -2 b = 1 0 0 -2 0 0 1 Acest rezultat înseamnă că: derivata polinomului f este: fd (x) = 12x 3 + 2 derivata polinomului g este: gd (x) = 3x 2 derivata polinomului f .g este: fgd (x) = 21x 6 - 4x3 + 9x2 - 2 derivata polinomului f/g este: fpg (x) = (3x 6 - 16x3 - 9x2 - 2)/(x6 -2x3 +1) APLICA IA 46:  iascript ăd ă  cinilor Folosind MATLAB calcul al r solu polinoamelor în directorul  iei: 1/x2 +x s+ă 3se=creeze curent unfunc fi şier care de să calculeze iile ecua 0.

Se folosesc comenzile MATLAB: f = [1 3 0 1]; r = roots(f) Rezultatul MATLAB este: r = [-3.1038

0.0519 + 0.5652i


0.0519 - 0.5652i]'

172/221

5/14/2018



173

8. FUNCII MATLAB DE INTERPOLARE ŞI APROXIMARE A DATELOR Interpolarea unui set discret de date [xi, yi] presupune determinarea unei funcii f(x) astfel încât f(xi) = yi, în vederea completării setului de date în orice alt punct x0 ≠ xi. Spre exemplu, fie date punctele de coordonate (x1, y1) şi (x2, y2). Se cere estimarea valorii y(x), în cazul în care x1
8.1. Căutarea datelor în tabele Prin căutarea datelor în tabele se în elege operaia prin care o anumită valoare este citită dintr-un tabel predefinit. Aceste operaii de căutare sunt utile în multe situa ii practice, de pildă în proiectare când trebuie efectuată o căutare automată a anumitor date de catalog etc.

8.1.1. Căutarea în tabele unidimensionale. Căutarea datelor în tabele unidimensionale poate fi efectuată utilizând funcia table1, apelată cu sintaxa: (8.1) z = table1(tab, x) Tabelul tab din care se citesc datele trebuie organizat sub forma unei matrice care are în prima coloană valorile lui x (abscisa ordonată crescător), iar în coloanele 2:n+1 cele n variabile căutate. Dacă valoarea x se găseşte între două valori din prima coloană a tabelului tab, funcia returnează o valoare interpolată liniar. În vederea exemplificării se vor folosi funciile de interpolare MATLAB pentru citirea valorii y corespunzătoare lui x = 1 din tabelul unidimensional de mai jos, Tabel 8.1. Tabel 8.1 x

y

-5

-4

1

7

25

16

1

49

În acest scop se va crea matricea Tabel având prima coloană formată din elementele lui x ordonate crescător, iar a doua coloană formată din elementele lui y asociate cu x. Citirea valorii lui y corespunzătoare elementului x = 1 presupune secvena de comenzi MATLAB: Tabel = [-5 -4 1 Tabel = Tabel’ y = table1(Tabel, -1)


7; 25

16

1

49]

(8.2)

173/221

5/14/2018


174


Rezultatul MATLAB este: y = 7 Pentru a utiliza funcia table1, prima coloană a tabelului unidimensional din care se citesc datele trebuie să fie monotonă, iar valoarea lui x trebuie să fie cuprinsă între x min şi x max. Totuşi funcia table1 este pe cale de a fi scoasă din limbajul MATLAB, în versiunile viitoare aceasta urmând a fi înlocuită de alte funcii mai performante.

8.1.2. Căutarea în tabele bidimensionale. Căutarea datelor în tabele bidimensionale poate fi efectuată utilizând funcia table2, apelată cu sintaxa: z = table2(tab, x, y)

(8.3)

Tabelul bidimensional tab din care se citesc datele trebuie s ă fie organizat ca o matrice care are în prima coloană valorile lui x ordonate crescător, iar în prima linie valorile lui y ordonate crescător. Celelalte elemente din tabel sunt valorile lui z asociate perechilor (x, y). Elementul z(1, 1) = 0. Dacă valorile x, respectiv y se găsesc între două valori din prima coloană sau linie a tabelului tab, funcia returnează o valoare interpolată liniar. Spre exemplificare să considerăm cazul în care se doreşte evaluarea valorii z corespunzătoare perechii (x, y) = (2.3, 3.1) din tabelul bidimensional de mai jos, Tabel 8.2. Tabel 8.2 x\y 1 2 3

1 2 4 8

2 4 16 64

3 6 36 216

4 8 64 512

Secvena ăMATLAB îndeplineasc condiiile: de căutare constă în primul rând în crearea matricei tab care să • Elementul din prima linie şi prima coloană să fie zero, tab(1, 1) = 0, • Prima linie, mai puin primul element s ă conină elementele lui y ordonate cresc ător, tab(1, 2:n+1) = y(1:n), • Prima coloană, mai puin primul element să conină elementele lui x ordonate cresc ător, tab(2:n+1, 1) = x(1:n), • Celelalte elemente ale matricei s ă reprezinte elementele asociate perechilor (x, y). Prin urmare matricea tab se defineşte astfel: 0 1 tab =  2  3

1 2 3 4  2 4 6 8  4 16 36 64   8 64 216 512

(8.4)

Secvena MATLAB este următoarea: tab = [0, 1, 2, 3, 4; 1, 2, 4, 6, 8; 2, 4, 16, 36, 64; 3, 8, 64, 216, 512] z = table2(tab, 2.3, 3.1)


(8.5)

174/221

5/14/2018



175

Se obine rezultatul: z = 100.84

(8.6)

Pentru a utiliza funcia table2, prima linie şi prima coloană a tabelului bidimensional din care se citesc datele trebuie să fie monotone. Valorile utilizate pentru x trebuie să fie cuprinse între prima şi ultima valoare din prima coloana (între x min şi x max) iar cele pentru y să fie cuprinse între prima şi ultima valoare din prima linie (între y min şi y max).

8.2. Interpolarea funciilor de o singură variabilă MATLAB pune la dispoziia utilizatorului trei tipuri de interpolari: liniar ă, spline cubică şi polinomială. În toate aceste cazuri se presupune c ă există un set de date care reprezint ă coordonatele (xi, yi). Obiectivul îl constituie estimarea valorilor funciei f(x), pentru orice 1, x2]. Curba de interpolare trece prin toate punctele care o definesc, legea de punct x ∈ [x interpolare între puncte putând fi liniar ă, cubică sau polinomială. Valorile estimate prin interpolare între punctele date depind de tipul de interpolare ales.

8.2.1. Interpolarea liniară. Dacă se presupune că valoarea funciei între două puncte x1 şi x 2 poate fi estimată printr-o linie dreaptă, ca în Fig. 8.1, atunci valoarea funciei în orice punct x situat între cele dou ă valori se deduce prin expresia: y = f(x) = y1 + (x – x1)(y2 – y1)/(x2 – x1)

(8.7)

f(x) y2 y y1 x x1

x

x 2

Fig. 8.1. Principiul interpolării liniare.

Interpolarea liniară a funciilor de o singură variabilă presupune utilizarea funciei table1 care se apelează cu sintaxa: y = table1(tab, x)

(8.8)

Primul argument al funciei este numele tabelului (de pildă tab) ce conine datele care se referă la coordonatele (xi, y i). Dacă acesta este un fişier pe disc, atunci fişierul trebuie întâi încărcat folosind funcia load .


175/221

5/14/2018


176


Al doilea argument se referă la valoarea (sau valorile) lui x pentru care se doreşte determinarea valorii (sau valorilor) interpolate. Datele din prima coloan ă a tabelului (valorile lui x) trebuiesc aranjate în ordine crescătoare, iar valorile lui x trebuie să se găsească între prima şi ultima valoare a primei coloane, în caz contrar MATLAB afi şează un mesaj de eroare. Dacă tabelul din care se citesc datele con ine mai mult de două coloane, funcia table1 returnează un vector linie cu N-1 elemente unde N reprezint ă numărul de coloane ale tabelului. Fiecare valoare returnată este interpolată din coloana corespunzătoare a datelor.

8.2.2. Interpolarea spline cubică. Curba obinută prin interpolare spline cubică este o curbă netedă, definită de un set de polinoame de gradul trei. Curba pe por iuni, între fiecare pereche de puncte este un polinom de gradul trei calculat astfel încât s ă conducă la tranziii netede de la un polinom de gradul trei la altul. De pild ă şase puncte sunt conectate prin intermediul a cinci curbe diferite de gradul trei, ce constituie o funcie netedă între toate cele şase puncte. Curba de interpolare spline cubică se calculează cu funcia spline care se apelează cu sintaxa: yi = spline(x, y, xi) (8.9) unde : • x şi y sunt vectorii care conin abscisele şi ordonatele datelor iniiale, • xi este un vector care conine noile abscise, de regulă cu pas mai fin, • yi este vectorul returnat, asociat lui xi. Spre exemplificare să considerăm un reostat care se încălzeşte prin efect Joule, evoluia în timp a temperaturii sale medii fiind prezentat ă în Tabelul 8.3. Tabel 8.3 Teta [˚C] Timp [sec.]

20 0

60 30

120 60

200 90

300 120

430 150

Pentru a calcula temperatura medie din 10 în 10 secunde, interpolat ă folosind funcia MATLAB spline, se va urma setul de instruciuni de mai jos. Timp = [0 30 60 90 120 150]; Teta = [20 60 120 200 300 430]; Timpn = 0:10:150;

(8.10)

Tetan = spline(Timp, Teta, Timpn) Rezultatul MATLAB este următorul: Tetan = [20.0000 31.1523 44.4774 60.0000 77.7449 97.7366 120.0000 144.5350 171.2428 200.0000 230.7819 263.9588 300.0000 339.3745 382.5514 430.0000] (8.11) Reprezentarea grafică a celor două tipuri de interpolări este prezentată în Fig. 8.2 şi se realizează folosind următoarea comandă MATLAB: plot(Timp, Teta,’r-o’, Timpn, Tetan)


(8.12)

176/221

5/14/2018



177

Fig. 8.2. Rezultatele numerice obinute prin interpolare liniar ă şi spline.

8.2.3. Interpolarea prin metoda transformatei Fourier. Funcia MATLAB interpft permite interpolarea datelor utilizând metoda FFT (Fast Fourier Transform). Sintaxa funciei este următoarea: y = interpft(x, n)

(8.13)

Funcia returnează un vector y de lungime n obinut din vectorul x ce conine valorile unei funcii periodice. Numărul n trebuie să fie mai mare decât numărul de elemente ale vectorului x, iar rezultatul are o periodicitate circular ă dată de utilizarea Transformatei Fourier. De pildă pentru a interpola cu pas dublu un set de date corespunz ător funciei periodice y = sin(2π π k/8) se foloseşte următoarea secvenă de comenzi MATLAB. În final se evaluează diferena între valorile interpolate şi valorile reale corespunzătoare funciei y şi se plotează valorile în cele două cazuri, Fig. 8.3. Diferenele între cele două seturi de valori este foarte mică. k = 0:7; y = sin(2*pi*k/8); yi = interpft(y, 16); k1 = 0:15; yr = sin(2*pi*k1/16); err = max(abs(yr - yi)); plot(k1, yi, k1, yr, 'or');


(8.14)

177/221

5/14/2018


178


Fig. 8.3. Interpolare prin metoda transformatei Fourier.

8.2.4. Interpolarea Hermite. Funcia MATLAB pchip poate realiza interpolarea datelor folosind funcii polinomiale cubice de tip Hermite, pe por iuni. Sintaxa de apel este: yi = pchip(x, y, xi)

(8.15)

unde : • x şi y sunt vectorii care conin abscisele şi ordonatele datelor iniiale, • xi este un vector care conine noile abscise, de regulă cu pas mai fin, • yi este vectorul returnat, asociat lui xi.

8.2.5. Interpolarea multiplă. Funcia MATLAB interp1 poate realiza interpolarea datelor după o lege liniar ă, cubică sau spline cubică şi se apelează cu sintaxa: yi = interp1(x, y, xi, ’metoda’);

(8.16)

unde prin ’metoda’ se înelege unul din cuvintele cheie: • ’linear’ – pentru interpolare liniară; • ’spline’ – pentru interpolare spline cubică; • ’cubic’ – pentru interpolare cubică; • ’nearest’ – pentru interpolare de tipul cel mai apropiat vecin; • ’pchip' – pentru interpolare Hermite cubică pe poriuni etc. Funcia interp1 permite totodată şi extrapolarea rezultatelor în cazul în care xi se extinde dincolo de limitele inferioară sau superioară a vectorului x. În acest caz funcia se apelează cu sintaxa: yi = interp1(x, y, xi, 'metoda', 'extrap');


(8.17)

178/221

5/14/2018



179

Toate regulile de interpolare presupun o ordonare monotonă a vectorului x. În plus, metoda ’cubic’ cere ca punctele pe axa x să fie egal distanate. Dacă y este o matrice cu numărul de linii egal cu cel al vectorului x şi cu N coloane, interp1 returnează o matrice cu un număr de linii egal cu cel al vectorului xi şi cu N coloane. Fiind dat setul de valori de mai jos, Tabel 8.4, se vor interpola valorile temperaturii Teta din 10 în 10 secunde, folosind interpolare liniară, cubică şi spline cubică. Tabel 8.4 Teta [˚C] Timp [sec.]

20 0

60 30

120 60

200 90

300 120

430 150

În acest sens se foloseşte secvena de comenzi MATLAB de mai jos. Timp = [0 30 60 90 120 150]; Timpn = 0:10:150; Teta = [20 60 120 200 300 430]; Tetal = interp1(Timp, Teta, Timpn, ’linear’) Tetas = interp1(Timp, Teta, Timpn, ’spline’) Tetac = interp1(Timp, Teta, Timpn, ’cubic’)

(8.18)

Rezultatele grafice sunt prezentate în Fig. 8.4, în care se remarc ă similitudinea evidentă între seturile de valori obinute prin interpolare liniar ă, cubică şi spline cubică.

Fig. 8.4. Rezultatele interpolării multiple.

8.3. Interpolarea funciilor de două variabile Interpolarea funciilor de două variabile presupune utilizarea unor funcii MATLAB special destinate unor astfel de calcule, cum ar fi interp2 şi griddata.


179/221

5/14/2018


180


8.3.1. Interpolarea multiplă. Funcia interp2 permite interpolarea funciior de două variabile după diferite legi şi se apelează cu sintaxa: zi = interp2(x, y, z, xi, yi,’metoda’)

(8.19)

unde ’metoda’ poate fi unul din cuvintele cheie: • ’nearest’ – pentru interpolare de tipul cel mai apropiat vecin; • ’linear’ – pentru interpolare biliniară; • ’cubic’ – pentru interpolare bicubică; • ’spline’ – pentru interpolare spline cubică; ’Metoda’ implicită de interpolare este cea liniară. De pildă pentru o interpolare spline a funciilor de două variabile, funcia interp2 se apelează cu sintaxa: zi = interp2(x, y, z, xi, yi,’spline’)

(8.20)

ia returneaz ă în matricea zi ătoare Func valorile i yi. Matricele x în care sunt dateinterpolate valorile luicorespunz z. Dacă x sunt şvectori, valorile şi y specific ă punctele şi ylui xi acestora trebuie să fie monotone şi egal distanate ca cele obinute cu funcia meshgrid în exemplul de mai jos:

[X, Y] = meshgrid(1:3, 10:14)

(8.21)

X = 1 1 1 1 1

(8.22)

Y= 10 11 12 13 14

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 (8.23)

10 11 12 13 14

10 11 12 13 14

În cazul valorilor în afara intervalelor de definiie ale lui x şi y se returnează NaN în matricea zi. Apelată cu sintaxa : zi = interp2(z, xi, yi),

(8.24)

funcia interp2 subînelege că x=1:n şi y=1:m unde [m, n] = size(z) şi returnează o matrice zi cu dimensiunea m x n, ce reprezintă interpolarea datelor din matricea z Apelată cu sintaxa:


180/221

5/14/2018



zi = interp2(z, k),

181

(8.25)

funcia returnează o matrice zi care expandează matricea z prin întreeserea unei coloane şi a unei linii interpolate biliniar între cele existente, operând recursiv de k ori. Prin urmare pentru o matrice z cu dimensiunea 3 x 4 şi pentru k = 2 rezultă la prima interpolare matricea zi cu dimensiunea 5 x 7 , iar după a kdoua interpolare o matrice de dimensiune 9 x 13. Prin acest procedeu pasul devine de p = 2 ori mai fin. Spre deosebire de funciile care citesc din tabele prin interpolare valorile precizate, această funcie returnează o matrice a tuturor valorilor interpolate. Considerând de exemplu matricea: 2 6 6 5 A = 3 4 8 6 4 6 9 5

(8.26)

Interpolarea biliniară a matricei A presupune folosirea secvenei de comenzi MATLAB: A = [2 6 6 5; 3 4 8 6; 4 6 9 5]; (8.27) Ai = interp2(A, 2, ’linear’) A1 = interp2(A, 1, ’linear’) V = A1(4, 6) Răspunsul MATLAB este V = 7 .

8.3.2. Comparaie între metodele de interpolare. Pentru a compara rezultatele obinute cu diverse metode de interpolare bidimensională să considerăm o matrice de date de dimensiune 7 x 7 . Vom genera funcia peaks cu o rezoluie slabă: [x,y] = meshgrid(-3: 1: 3); z = peaks(x, y); figure(1) surf(x, y, z)

(8.28)

Fig. 8.5. Reprezentarea grafică a funciei peaks cu rezoluie slabă.


181/221

5/14/2018


182


Vom genera un mesh mai fin pentru interpolare. [xi, yi] = meshgrid(-3: 0.25: 3); Vom interpola datele folosind metodele”nearest”, ”bilinear”, ”bicubic” : zi1 = interp2(x, y, z, xi, yi, 'nearest'); zi2 = interp2(x, y, z, xi, yi, 'bilinear'); zi3 = interp2(x, y, z, xi, yi, 'bicubic');

(8.29) (8.30)

Pentru comparaie vom trasa graficele, Fig. 8.6, obinute cu funciile surf şi contour. figure(2); subplot(2, 3, 1); surf(xi, yi, zi1); subplot(2, 3, 2); surf(xi, yi, zi2); subplot(2, 3, 3); surf(xi, yi, zi3);

(8.31)

subplot(2, subplot(2, 3, 3, 4); 5); contour(xi, contour(xi, yi, yi, zi1); zi2); subplot(2, 3, 6); contour(xi, yi, zi3);

Fig. 8.6. Rezultatele interpolării bidimensionale multiple ale funciei peaks.

8.3.3. Interpolarea datelor pe un grid 2D. Această facilitate a MATLAB-ului presupune interpolarea unui set de date func ie de două variabile în nodurile unui grid uniform 2D. Interpolarea datelor se efectuează cu ajutorul funciei griddata care se apelează cu sintaxa: zi = griddata(x, y, z, xi, yi)


(8.32)

182/221

5/14/2018



183

Astfel valorile matricei zi corespund elementelor matricelor xi şi yi. Matricea z asociază fiecărei perechi (x, y) câte o valoare z. Matricele xi şi yi sunt de tipul celor obinute cu funcia meshgrid şi formează un grid uniform. Apelată cu sintaxa: (8.33) [Xi, Yi, Zi] = griddata(x, y, z, xi, yi), funcia griddata întoarce matricea interpolată Zi, ca mai sus, îns ă întoarce şi matricele Xi, Yi formate din vectorul rând xi şi din vectorul coloană yi. 2

2

Să considerăm de pildă funcia z = xe − x − y calculată în 100 de puncte aleatoare între [-2; 2]. x = rand(100, 1)*4-2; y = rand(100, 1)*4-2; z = x.*exp(-x.^2-y.^2);

(8.34)

Vectorii x, coningrid: date neuniform distribuite. Vom defini un grid uniform şi vom y, şipe z acest interpola datele gr = -2:.25:2; [XI,YI] = meshgrid(gr, gr); ZI = griddata(x, y, z, XI, YI);

(8.35)

Vom plota datele interpolate împreună cu datele iniiale folosite la interpolare: mesh(XI, YI, ZI), hold plot3(x, y, z, 'o'), hold off

(8.36)

Fig. 8.7. Interpolarea datelor pe un grid folosind funcia griddata.


183/221

5/14/2018


184


8.4. Aproximarea polinomială prin metoda celor mai mici pătrate Pentru ca aproximarea unui set de date de tip perechi (xi, yi), i = 1...n, printr-o curbă, s ă fie considerată cea mai bună, trebuie ca suma pătratelor distanelor de la fiecare punct la curba aproximată (de tip polinomial) să fie minimă. Luând în cosiderare această condiie este posibil ca nici un punct al setului de date s ă nu se găsească pe curba aproximată. Acest aspect separă în mod evident noiunea de aproximare de cea de interpolare, în ultimul caz toate punctele fiind obligatoriu situate pe curba respectivă. În acest context aproximarea setului de date presupune identificarea coeficien ilor ai ai unui polinom de tipul: p(x) = a0 x n + a1 x n-1 + a 2 x n-2 + ... + a n-1 x1 + a n

(8.37)

Dacă setul de date are n elemente toate datele se află pe curba de aproximare. Pentru un grad al polinomului mai mic decât lungimea setului de date, aproximarea este cu atât mai bună cu cât gradul polinomului este mai apropiat de lungimea setului de date. Utilizarea unui polinom cu grad mai mare decât lungimea setului de date poate conduce la erori de aproximare importante. Determinarea celei mai bune aproximări a unui set de date (x, y), cu un polinom de ordin n, presupune folosirea funciei MATLAB polyfit care se apelează cu sintaxa: p = polyfit(x, y, n)

(8.38)

Funcia polyfit găseşte coeficienii polinomului p care aproximează cel mai bine setul de date, în sensul celor mai mici pătrate. În apelul funciei x şi y sunt vectori coninând datele ce trebuiesc aproximate şi n este ordinul polinomului rezultant. Să considerăm de pildă setul de date (x, y): x = [1 2 3 4 5]; y = [5.5 43.1 128 290.7 498.4];

(8.39)

Un polinom de ordinul 3 care aproximează setul anterior de date este: p = polyfit(x, y, 3)

(8.40)

Rezultatul MATLAB este: (8.41) p = -0.1917 31.5821 -60.3262 35.3400 Pentru a calcula valorile polinomului rezultant obinut cu polyfit pe un set de date mai fin şi pentru a plota comparativ rezultatele urmai secvena MATLAB de mai jos. x2 = 1:.1:5; y2 = polyval(p, x2); plot(x, y, 'o', x2, y2) grid on


(8.42)

184/221

5/14/2018



185

Fig. 8.8. Aproximarea polinomială a setului de date folosind funcia polyval.

8.5. Interpolarea funciilor de trei variabile MATLAB permite interpolarea funciilor de trei variabile prin utilizarea unor funcii specifice cum ar fi interp3 şi griddata3.

8.5.1. Interpolarea multiplă. Funcia interp3 permite interpolarea funciior de trei variabile după diferite legi şi se apelează cu sintaxa: vi = interp3(x, y, z, v, xi, yi, zi, ’metoda’)

(8.43)

unde ’metoda’ poate fi unul din cuvintele cheie: • ’nearest’ – pentru interpolare de tipul cel mai apropiat vecin; • ’linear’ – pentru interpolare biliniară; • ’cubic’ – pentru interpolare bicubică; • ’spline’ – pentru interpolare spline cubică; ’Metoda’ implicită de interpolare este cea liniară. De pildă pentru o interpolare spline a funciilor de trei variabile, funcia interp3 se apelează cu sintaxa: vi = interp3(x, y, z, v, xi, yi, zi, ’spline’)

(8.44)

Funcia returnează în matricea vi valorile interpolate corespunzătoare lui xi, yi şi zi. Matricele x, y şi z specifică punctele în care sunt date valorile lui v. Dacă x, y şi z sunt vectori, valorile acestora trebuie să fie monotone şi egal distanate ca cele obinute cu funcia meshgrid . În cazul valorilor în afara intervalelor de defini ie ale lui x, y şi z se returnează NaN în matricea zi. Apelată cu sintaxa :


185/221

5/14/2018


186


vi = interp3(v, xi, yi, zi),

(8.45)

funcia interp3 subînelege că x = 1:n, y = 1:m şi z = 1:p unde [m, n, p] = size(v) şi returnează o matrice vi cu dimensiunea m x n x p, ce reprezintă interpolarea datelor din matricea v. Apelată cu sintaxa: vi = interp3(v, k),

(8.46)

funcia returnează o matrice vi care expandează matricea v prin întreeserea unor coloane şi linii interpolate liniar între cele existente, operând recursiv de k ori. Considerând de pildă funcia MATLAB flow, prin interpolare se obin următoarele rezultate. [x, v] == meshgrid(.1:.25:10,-3:.25:3,-3:.25:3); flow(10); [xi,y,yi,z,zi] vi = interp3(x, y, z, v, xi, yi, zi); slice(xi, yi, zi, vi, [6 9.5], 2, [-2 .2])

(8.47)

Fig. 8.9. Interpolarea multiplă funciilor de 3 variabile.

8.5.2. Interpolarea datelor pe un grid 3D. Funcia griddata3 permite interpolarea datelor funcie de trei variabile, pe un grid uniform 3D, dup ă diferite legi şi se apelează cu sintaxa: vi = griddata3(x, y, z, v, xi, yi, zi, ’metoda’)


(8.48)

186/221

5/14/2018



187

8.6. Aplicaii numerice APLICA IA 47: Se d ă o bobină cu miez feromagnetic având caracteristicile prezentate în figura de mai jos. Curba de magnetizare a miezului feromagnetic se d ă în tabelul de mai jos şi va trebui introdusă într-un fi şier text care să fie citit de programul MATLAB. H [A/m] 0 500 1400 5000 8200 11500 15000

B [T] 0 0,2 0,49 1,08 1,34 1,53 1,67

20000 26800 36700 57200

1,84 1,96 2,03 2,1

Γ

L=100 mm

NI=10000 A

S = 900 mm2

Aplicând legea circuitului magnetic ∫ H ⋅ dl = NI pe conturul închis Γ să se determine Γ

valorile induc  iei magnetice Bo şi a fluxului fascicular φ o în miezul magnetic (aceste valori se consider ă constante pe toat ă regiunea miez magnetic). Pentru rezolvarea problemei va trebui creat un fi şier M care să cear ă interactiv utilizatorului valorile celor trei parametri NI, L, şi S. Pe baza acestora programul ă  table1 ă ă ă MATLAB trebuie s apeleze func ia care s fac interpolarea liniar a valorilor B-H. În final se va trasa grafic curba de magnetizare B-H cu eviden  ierea punctului H o-Bo.

Folosind editorul Notepad se crează fişierul b-h.txt care conine dependena B-H a miezului magnetic al bobinei, ca mai jos. 0

0

500 0.2 1400 0.49 5000 1.08 8200 1.34 11500 1.53 15000 1.67 20000 1.84 26800 1.96 36700 2.03 57200 2.1


187/221

5/14/2018


188


În cazul în care fişierul deja este creat se trece peste această etapă. Se crează în directorul curent fişierul bobina1.m ce conine instruciunile MATLAB: bh = load('b-h.txt'); NI = input('Solenatie [A]: '); L input('Lungime [m]:');'); S == input('Arie miez miez [m**2]: Hm = NI/4/L; [Bm] = table1(bh, Hm); disp('Bm = '); disp(Bm); Fi0 = Bm*S; disp('Fi0 = '); disp(Fi0); plot(bh(:,1), bh(:,2), Hm, Bm, 'ro') xlabel ('H [A/m]'); ylabel ('B [T]'); În urma apelului fişierului bobina1.m MATLAB va cere introducerea parametrilor NI, L, şi S şi va răspunde cu următoarele mesaje, respectiv cu graficul din Fig. 8.10: bobina1 Solenatie [A]: 10000 Lungime miez [m]: 0.1 Arie miez [m**2]: 900*1e-6 Bm = 1.9282 Fi0 = 0.0017

Fig. 8.10. Interpolarea liniară a curbei de magnetizare B-H.

Deci inducia în miez este Bm = 1.9282 T iar fluxul fascicular este Fi0 = 0.0017 Wb.


188/221

5/14/2018



189

APLICA IA 48: Să se reia aplica  ia anterioar ă dar folosind pentru interpolare func  ia MATLAB spline. Considerându-se fişierul b-h.txt care conine dependena B-H a miezului magnetic al bobinei deja creat se crează în directorul curent fişierul bobina2.m ce conine instruciunile MATLAB: bh = load('b-h.txt'); NI = input('Solenatie [A]: '); L = input('Lungime miez [m]: '); S = input('Arie miez [m**2]: '); Hm = NI/4/L; [Bm] = spline(bh(:, 1), bh(:, 2), Hm); disp('Bm = '); disp(Bm); Fi0 = Bm*S; disp('Fi0 = '); disp(Fi0); În urma apelului fişierului bobina2.m MATLAB va cere introducerea parametrilor NI, L, şi S şi va răspunde cu: bobina2 Solenatie [A]: 10000 Lungime miez [m]: 0.1 Arie miez [m**2]: 900*1e-6 Bm = 1.9382 Fi0 = 0.0017 Deci inducia în miez este Bm = 1.9382 T iar fluxul fascicular este Fi0 = 0.0017 Wb. Valorile sunt foarte apropiate de cele ob inute cu funcia de interpolare table1. APLICA IA 49: Să se interpoleze cu pas de 500 A/m curba de magnetizare B-H dat ă în tabelul alăturat, folosind interpolarea liniar ă , cubică şi spline cubică. Să se traseze pe acela şi grafic curba ini  ială şi curbele ob  inute prin interpolare. H [A/m] 0 500 1400 5000 8200 11500 15000

B [T] 0 0,2 0,49 1,08 1,34 1,53 1,67


189/221

5/14/2018


190

20000 26800 36700 57200


1,84 1,96 2,03 2,1

Considerându-se fişierul b-h.txt care conine dependena B-H a miezului magnetic al bobinei deja creat se crează în directorul curent fişierul interpolare_m.m ce conine instruciunile MATLAB: bh = load('b-h.txt'); h1 = 0:500:57200; bl = interp1(bh(:, 1), bh(:, 2), h1, 'linear') b2 = interp1(bh(:, 1), bh(:, 2), h1, 'spline') b3 = interp1(bh(:, 1), bh(:, 2), h1, 'cubic') plot(bh(:, 1), bh(:, 2), 'o', h1, b1, h1, b2, h1, b3) xlabel ('H [A/m]'); ylabel ('B [T]'); În urma lansării în execuie a fişierului interpolare_m.m se obine graficul:

Fig. 8.11. Interpolarea multiplă a curbei de magnetizare B-H.

APLICA IA 50: Să se interpoleze func  ia z = e − x − y în intervalul [-2; 2] calculat ă în 50 de puncte aleatoare şi s ă se reprezinte grafic datele interpolate împreună cu datele ini  iale folosite la interpolare. 2


2

190/221

5/14/2018



191

Se folosesc comenzile MATLAB: gr = -2:.25:2; [XI,YI] = meshgrid(gr, gr); x = rand(100,1)*4-2; y = rand(100, 1)*4-2; z = exp(-x.^2-y.^2); ZI = griddata(x, y, z, XI, YI); mesh(XI, YI, ZI), hold on; plot3(x, y, z, 'o'), hold off; MATLAB va afişa graficul următor:

Fig. 8.12. Interpolarea funciei z = e − x

2

− y 2

calculată în 50 de puncte aleatoare .

APLICA IA 51: Aproxima  i cu polinoame de gradele {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} setul de date din tabelul de mai jos. Să se traseze pe acela şi grafic, cu pas de dx=0.1 rezultatele ob  inute, eviden  iind setul de date ini  iale. X 1 2 3 4 5

Y 5.5 43.1 128 290.7 200

Se foloseşte setul de comenzi MATLAB de mai jos:


191/221

5/14/2018


192


x = [1 2 3 4 5]; y = [5.5 43.1 128 290.7 290]; p0 = polyfit(x, y, 0); p1 = polyfit(x, y, 1); p2 = polyfit(x, y, 2); p3 = polyfit(x, y, 3); p4 = polyfit(x, y, 4); p5 = polyfit(x, y, 5); p6 = polyfit(x, y, 6); xn = 1: 0.1: 5; y0 = polyval(p0, xn); y1 = polyval(p1, xn); y2 = polyval(p2, xn); y3 = polyval(p3, xn); y4 = polyval(p4, xn); y5 = polyval(p5, xn); y6 = polyval(p6, xn); plot(x, y, 'o', xn, y0, xn, y1, xn, y2, xn, y3, xn, y4, xn, y5, xn, y6); grid on; În urma lansării comenzilor MATLAB va trasa graficul din Fig. 8.13.

Fig. 8.13. Aproximarea polinomial ă a setului de date specifice Aplica  iei 51.


192/221

5/14/2018



193

9. DERIVAREA ŞI INTEGRAREA NUMERICĂ A FUNCIILOR Derivarea şi integrarea sunt operaii matematice fundamentale utilizate la rezolvarea unui mare număr de probleme din inginerie şi ştiină. În anumite situaii soluiile analitice sunt dificil sau chiar cu neputină de obinut, în asemenea cazuri fiind necesară aplicarea metodelor de derivare şi integrare numerică.

9.1. Derivarea numerică Derivata unei funcii f(x) reprezintă viteza de variaie a funciei în raport cu variabila x. Derivata este definită prin raportul dintre variaia funciei f(x), notată cu df(x) şi variaia lui x, notată cu dx: (9.1) f’(x) = df(x)/dx Interpretarea geometrică a derivatei într-un punct este dată de panta tangentei la graficul funciei în punctul considerat, Fig. 9.1. f(x)

f(x)

f’(a)

Maxim global

Maxim local

Minim local

0

a

b

x

Fig. 9.1. Interpretarea geometrică a derivatei.

0

b

x

Fig. 9.2. Minime locale şi globale.

Punctele cu derivată nulă (puncte critice) pot reprezenta fie o regiune orizontală a funciei, fie un punct de maxim sau minim local sau global al func iei, Fig. 9.2. Dacă derivata a doua într-un punct critic este pozitiv ă, atunci valoarea funciei în punctul respectiv este un minim local, iar dac ă derivata a doua în punctul critic este negativă, atunci ă unmicile valoarea funcnumeric iei în acel maximerori local.conducând astfel la o dep ărtare Derivarea poate reprezint amplifica ă punct semnificativă de soluia analitică.

9.1.1. Aproximarea derivatelor prin diferene finite. Aproximarea derivatei de ordinul I în punctul x k poate fi efectuată folosind aproximarea prin diferen  e finite regresive, progresive sau centrate, Fig 9.3:


193/221

5/14/2018


194


(a) diferen  e finite regresive f ' ( x) ≅

(b) diferen  e progresive f ' ( x) ≅

f ( xk ) − f ( xk −1 ) xk − xk −1

f ( xk +1 ) − f ( xk ) x

(c) diferen  e centrate f ' ( x) ≅

k +1

− x

(9.2) (9.3)

k

f ( xk +1 ) − f ( xk −1 ) xk +1 − xk −1

(9.4) f(x)

f(x)

f(xk-1)

f(xk-1) f(xk)

0

xk-1

xk

f(xk)

f(xk+1)

xbk+1

0

x

a)

xk-1

xk

f(xk+1)

xbk+1

x

b)

f(x) Fig. 9.3. Aproximarea numerică a derivatelor prin diferene finite. f(xk-1)

0

f(xk)

xk-1

xk

a) b) diferen diferenee regresive; progresive; c) diferene centrate;

f(xk+1)

xbk+1

x

c)

Precizia acestor estimări depinde de distana dintre punctele utilizate pentru calcul, o distană mai mică conducând în general la o estimare mai precis ă a derivatei. 9.1.2. Aproximarea numerică a derivatelor. Aproximarea derivatelor poate fi efectuată folosind funcia MATLAB diff . Această funcie evaluează diferenele dintre elementele succesive ale unui vector sau dintre elementele unei coloane ale unei matrice şi se apelează cu una din sintaxele: Y = diff(X) Y = diff(X, n)


(9.5)

194/221

5/14/2018



195

Dacă X este vectorul X=[X(1), X(2), ..., X(n)] , rezultatul apelului funciei: Y= diff(X)

(9.6)

este un vector ce conine diferenele dintre elementele succesive ale vectorului X , şi anume: Y=[X(2)-X(1), ..., X(n)-X(n-1)]

(9.7)

Lungimea vectorului Y este mai mică cu un element decât lungimea vectorului X . Dacă X este o matrice, diferenele se calculează pe fiecare coloană prin scăderea elementului curent din linia imediat superioară, conform relaiei : Y = diff(X)

(9.8)

Rezultatul apelului funciei este matricea: Y= X(2:m,:)- X(1:m-1,:)

(9.9)

Unde m reprezintă numărul de linii ale matricei X . Apelată cu argumentul n, funcia diff returnează diferena de ordinul n a vectorului X . De pildă diferenele de ordinul I şi II ale vectorului x = [1 2 3 4 5] se calculează cu sintaxa MATLAB: x = [1 2 3 4 5]; do1 = diff(x) do1 = 1 1

1

(9.10)

1

do2 = diff(x,2) do2 = 0 0

(9.11)

0

Funcia diff permite calculul derivatei numerice a unei funcii y(x) cu relaia: (9.12) dy = diff(y)./diff(x) De pildă pentru calculul derivatei lui y = [0 3 4 4 2 3 5] funcie de x = [0 1 2 3 4 5 6] şi plotarea acestor două funcii, Fig. 9.4, se face apel la următoarea sintaxa MATLAB: x = [0 1 2 3 4 5 6] y = [0 3 4 4 2 3 5] dy = diff(y)./diff(x) plot(x, y, x(1:end-1), dy)


(9.13)

195/221

5/14/2018


196


Fig. 9.4. Aproximarea numerică şi plotarea derivatei.

9.1.3. Aproximarea numerică a Laplaceanului. Aproximarea Laplaceanului prin formula în cinci puncte poate fi efectuată cu ajutorul funciei MATLAB del2. Această funcie se apelează cu sintaxa : V = del2(U)

(9.14)

în care elementele matricei V , de aceeaşi dimensiune cu matricea U sunt calculate cu relaia: V i , j =

U i+1, j + U i −1, j + U i , j +1 + U i , j −1 − U i , j 4

(9.15)

În cazul nodurilor situate la marginea domeniului de calcul, media este calculat ă doar cu nodurile ce aparin domeniului de calcul. Dacă matricea U este asociată funciei u(x, y) evaluată în nodurile unei reele cu pas constant, atunci : D = 4*del2(U)

(9.16)

este aproximarea cu diferene finite a operatorului diferenial Laplace, aplicat lui u, adică: ∆2 u =

∂ 2u ∂ 2u + ∂ x 2 ∂ y 2

(9.17)

Pentru a calcula şi plota, Fig. 9.5, aproximarea numerică a Laplaceanului funciei u(x, y) = 2x 4 + 3y 5 în intervalul x∈ [-4, 4] şi y∈ [-4, 4] , se face apel la secvena de comenzi MATLAB:


196/221

5/14/2018



[x, y] = meshgrid(-4:4, -4:4); U = 2*x.^4 + 3*y.^5 V = 4*del2(U) mesh(x, y, V)

197

(9.18)

Fig. 9.5. Aproximarea numerică şi plotarea derivatei.

9.1.4. Aproximarea numerică a gradientului. Aproximarea şi reprezentarea grafică a gradientului unei funcii u(x, y) este posibilă în MATLAB prin intermediul funciilor gradient şi quiver. Funcia gradient se apelează cu sintaxa: [dux, duy] = gradient(u, dx, dy)

(9.19)

şi returnează derivatele pariale numerice ale matricei funciei u în matricele dux=du/dx şi duy=du/dy. În apelul de mai sus dx şi dy pot reprezenta nişte scalari ce conin pasul de discretizare pe direciile X şi Y sau pot fi vectori ce con in toate coordonatele după aceste direcii. Dacă dx şi dy sunt omişi se consideră că dx = dy = 1. Dacă funcia gradient este apelată cu una din sintaxele:

dyx = gradient(Y) dyx = gradient(Y, dy)

(9.20)

aceasta returnează un vector care conine derivata numerică dy/dx. Funcia quiver permite reprezentarea grafică sub forma unor mici s ăgei (vectori orientai) a unui câmp de vectori. Vectorii astfel reprezenta i corespund fiecărei perechi (X, Y) a matricelor X şi Y . Funcia quiver se apelează cu una din sintaxele:


197/221

5/14/2018


198


quiver (X, Y, dx, dy) quiver (X, Y, dx, dy, S) quiver (dx, dy)

(9.21)

Perechile (dx, dy) formate din matricele dx şi dy determină direcia şi modulul câmpului de vectori orientai. Dacă X şi Y sunt vectori, X corespunde coloanelor lui dx şi dy, iar Y corespunde liniilor acestora ( X trebuie să aibă lungimea egală cu numărul de coloane, iar Y cu numărul de linii). Dacă X şi Y sunt omişi, se consideră că X = 1:n şi Y=1:m, unde m este numărul de linii al matricelor dx şi dy, iar n numărul de coloane al acestora. Argumentul S, care este un scalar, permite aplicarea unui factor de scalare lungimii vectorilor orientai şi reprezentai grafic. Se pot folosi toate tipurile de linii şi culori specificate în instruciunea plot. Spre exemplificare să calculăm şi să reprezentăm grafic, Fig. 9.6, gradientul funciei 2 2 z (x, y) = x e − x − y în intervalul x∈ [-2, 2] şi y∈ [-2, 2] . Vom face apel la sintaxa MATLAB: [X,Y] = meshgrid(-2: .2: 2); Z = X.*exp(-X.^2 - Y.^2); [dx,dy] = gradient(Z, .2, .2); contour(X, Y, Z) hold on quiver(X, Y, dx, dy) grid off hold off

(9.22)

Fig. 9.6. Aproximarea numerică a gradientului.


198/221

5/14/2018



199

9.2. Integrarea numerică Integrala unei funcii f(x) pe intervalul [a, b] : b

S = ∫ f ( x)dx ,

(9.23)

a

are semnificaia ariei delimitată de axa Ox, curba f(x) şi dreptele x = a şi x = b, Fig. 9.7. y

f(x)

S a

b

x

Fig. 9.7. Semnificaia grafică a integralei.

Calculul numeric al unei integrale poate fi efectuat prin: • Aproximarea funciei de integrat f(x) printr-o altă funcie g(x), unde g(x) este determinată astfel încât integrala să fie uşor de calculat. • Aproximarea funciei de integrat f(x) printr-un set de funcii liniare sau parabolice, pe poriuni. Dacă aproximarea se face cu func ii liniare pe poriuni, aria se poate calcula ca sumă a trapezelor care o compun, această metodă fiind cunoscută sub numele de Metoda Trapezelor . Dacă aproximarea se face cu funcii pătratice pe poriuni, metoda este cunoscută ca Metoda lui Simpson.

9.2.1. Metoda trapezelor şi metoda lui Simpson Dacă integrala se aproximează prin trapeze, iar intervalul [a, b] este împărit în n seciuni egale, adică pasul şi abscisa curentă sunt: h = (b-a)/n > 0, xi = a + i . h pentru 1 ≤ i ≤ n

(9.24)

atunci integrala poate fi estimată prin: n −1

ST = h/2(y a + y b + 2 ∑ y i ), unde yi = f(x ). i

(9.25)

i =1

Dacă integrala este aproximată prin suma ariilor unor curbe pătratice, iar intervalul [a, b] divizat în 2n seciuni egale:


199/221

5/14/2018


200


h = (b - a)/(2n) = xi+1 - xi > 0, unde xi = a + i . h, cu 1 ≤ i ≤ 2n

(9.26)

atunci integrala poate fi estimată prin expresia: SS = h/3[y a + y b + 4(y1 + y 3 + ... + y 2n-1 ) + 2(y 2 + y 4 + ... + y 2n-2 )] , unde yi = f(x )i (9.27) Această ultima expresie este cunoscută sub numele de formula generalizată a lui Simpson. În general, obinerea unei evaluări mai precise a integralei presupune utilizarea unui pas mai fin de discretizare a intervalului [a, b] , Fig. 9.8. y

f(x)

S x0 = a x1

…

xn-1 xn=b

x

Fig. 9.8. Calculul numeric al integralei.

9.2.2. Calculul numeric al integralelor pe intervale infinite. Pentru calculul integralelor convergente de forma: ∞

S = ∫ f ( x)dx

(9.28)

a

Se folosesc două metode: • Schimbarea variabilei, care uneori presupune transformarea intervalului [a, +∞ ) într-un interval finit; • Separarea integralei în două integrale: ∞

b

∞

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx a

a

(9.29)

b

În ultimul caz, prima integrală se evaluează printr-una dintre metodele expuse anterior, iar pentru a doua se procedează astfel: • Fie se neglijează acest termen, dacă b este suficient de mare şi dacă: b

2b

∫a f ( x)dx >> ∫b f ( x)dx


(9.30)

200/221

5/14/2018



201

• Fie se aproximează forma asimptotică a lui f(x) printr-o funcie g(x) ≈ f(x), care

pentru x suficient de mare permite calculul analitic al integralei funciei g(x).

9.2.3. Funcii MATLAB de integrare numerică. MATLAB pune la dispoziia utilizatorului mai multe funcii de calcul numeric al integralelor şi anume quad, quad8, quadl, trapz, dblquad, triplequad. Funciile MATLAB quad, quad8 şi quadl permit calculul numeric al integralelor funciilor de o variabilă, acestea putând fi apelate de pildă cu una din sintaxele: s = quad8(fun, a, b) s = quad8(fun, a, b, tol) s = quad(fun, a, b) s = quad(fun, a, b, tol) s = quadl(fun, a, b) s = quadl(fun, a, b, tol)

(9.31)

În apelurile de mai sus s desemnează valoarea integralei, adică suprafaa cuprinsă între curba determinată de funcia fun şi abscisa, a şi b reprezintă limitele domeniului de integrare [a, b] , iar tol reprezintă eroarea relativă admisă între doi paşi consecutivi. Dacă apelul de integrare numerică include şi tol atunci integrarea funciei continuă să se rafineze până când eroarea relativă a estimării este mai mică decât tolerana. Dacă tolerana tol este omisă, valoarea implicită este 10-3 . (Estimare anterioara – Estimare curentă )/Estimare curentă ≤ tol

(9.32)

Să considerăm ca exemplu calculul numeric al integralei funciei y = f(x) = 1/(x 2+1) în intervalul [0, 2]. În general funcia fun poate fi: • Un obiect inline ca de pildă: fun = inline('1./(x.^2+1)');

(9.33)

În acest caz calculul numeric al integralei func iei y = 1/(x 2+1) în intervalul [0, 2] presupune sintaxa MATLAB: S1 = quad(fun, 0, 2) S2 = quad8(fun, 0, 2) S3 = quadl(fun, 0, 2)

(9.34)

Rezultatul MATLAB obinut prin utilizarea celor trei func ii MATLAB este identic şi anume: 1.1071 • Un fişier MATLAB de tip funcie, ca de pildă fişierul fun.m:

function y = fun(x) y = 1./(x.^2+1);


(9.35)

201/221

5/14/2018


202


Astfel, calculul numeric al integralei funciei y = 1/(x 2+1) în intervalul [0, 2] presupune sintaxa MATLAB: S1 = quad(@fun, 0, 2) S2 = quad8(@fun, 0, 2) S3 = quadl(@fun, 0, 2)

(9.36)

Rezultatul MATLAB obinut prin utilizarea celor trei func ii MATLAB este identic şi anume: 1.1071. Funciile quad, quad8, quadl , se utilizează dacă integrandul se poate exprima sub forma unei funcii analitice. Dacă funcia de integrat este descrisă prin valori numerice, se aproximează mai întâi acestea printr-o funcie corespunzătoare şi apoi funcia se scrie în sintaxa MATLAB de mai sus. Funcia trapz realizează calculul numeric al integralei prin metoda trapezelor şi se apelează cu una din sintaxele: Z = trapz(X, Y) Z = trapz(Y)

(9.37)

Apelată cu două argumente, funcia trapz calculează integrala funciei y(x). X este un vector coloană care conine abscisele, iar Y este un vector coloană sau o matrice, cu acelaşi număr de linii ca X , care conine valorile funciei corespunzătoare acelor abscise. Z este un scalar dacă Y este un vector. Dacă Y este o matrice, Z este un vector linie în care sunt returnate ariile calculate pentru fiecare coloană a lui Y . Dacă funcia trapz este apelată numai cu argumentul Y , distana dintre două abscise succesive este considerată egală cu unitatea. În acest caz limitele de integrare sunt a = 1 şi b = N ( N numarul de elemente ale vectorului Y ). Funcia trapz presupune că integrandul este dat prin valori numerice în noduri echidistante ale intervalului de integrare. Dacă funcia de integrat este descrisă sub forma analitică y=f(x), în primul rând se crează cei doi vectori care conin valorile perechilor abscisă-ordonată (x-y). Acest lucru se realizează prin evaluarea funciei f(x) cu un pas adecvat pentru x şi ulterior se aplică funcia trapz. Integrarea funciilor de două variabile presupune un calcul de forma: y max x max

S=

∫ ∫ f ( x, y)dxdy

(9.38)

y min x min

Pentru a calcula o integrală ca cea de mai sus, se poate folosi func ia dblquad , care se poate apela de pildă cu una din sintaxele MATLAB: s = dblquad(fun, xmin, xmax, ymin, ymax) s = dblquad(fun, xmin, xmax, ymin, ymax, tol),

(9.39)

unde primul argument fun este un şir de caractere coninând numele funciei integrand, iar al doilea până la al cincilea argument reprezintă:


202/221

5/14/2018



203

xmin limita inferioară a domeniului de integrare corespunzător integralei interioare, xmax limita superioară a domeniului de integrare corespunzător integralei interioare, ymin limita inferioară a domeniului de integrare corespunzător integralei exterioare, ymax limita superioară a domeniului de integrare corespunzător integralei exterioare. tol tolerana cu care este evaluată numeric integrala. Să considerăm că f(x, y) = y sin(x) + x cos (y). Primul pas constă în construcia funciei a cărei integrală trebuie evaluată. Funcia trebuie să fie capabilă să întoarcă un vector atunci când se introduce un vector. Trebuie deasemenea stabilită care variabilă este în integrala interioară şi care este în integrala exterioară. În acest exemplu, variabila interioară este x şi variabila exterioară este y (ordinea în integrala este dxdy). În acest caz, funcia integrand este definită în fişierul MATLAB de tip funcie fun2. function f = fun2(x, y) f = y*sin(x) + x*cos(y); Pentru a evalua integrala dublă, se foloseşte sintaxa: s = dblquad(@fun2, xmin, xmax, ymin, ymax);

(9.40)

(9.41)

Considerând integrala funciei fun2 în domeniul mărginit de [ π apelul π , 2 π π ] şi [0, π π ] prin sintaxei MATLAB: xmin = pi; xmax = 2*pi; ymin = 0; ymax = pi; s = dblquad(@fun2, xmin, xmax, ymin, ymax)

(9.42)

se obine rezultatul -9.8696 . Integrarea funciilor de trei variabile presupune un calcul de forma: z max y max x max

S=

∫ ∫ ∫ f ( x, y, z)dxdydz

(9.43)

z min y min x min

Pentru a evalua integrale ale funciilor cu trei variabile se foloseşte funcia MATLAB triplequad putând fi apelată de pildă cu una din sintaxele: triplequad(fun, xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax) triplequad(fun, xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax, tol),

(9.44)

unde primul argument fun reprezintă un şir de caractere ce desemnează funcia de integrat, xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax reprezintă limitele domeniului de integrare, iar tol tolerana de evaluare numerică a integralei.


203/221

5/14/2018


204


Considerând de pidă funcia f(x, y, z) = y sin(x)+z cos(x), calculul integralei acestei funcii pe domeniul x∈ [0, π π ], y∈ [0, 1], z∈ [-1, 1] presupune de pildă o sintaxa MATLAB ca cea de mai jos. s = triplequad(inline('y*sin(x) + z*cos(x)'), 0, pi, 0, 1, -1, 1)

(9.45)

Rezultatul MATLAB este s = 2.

9.3. Aplicaii numerice APLICA IA 52: Să se calculeze derivata de ordinul I şi II al lui y = [0 3 4 4 2 3 5 7 11 11 9] func  ie de x = [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10] şi să se ploteze pe acelasi grafic func  ia y(x), y’(x) şi y”(x). Se foloseşte setul de comenzi MATLAB de mai jos: x = [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]; y = [0 3 4 4 2 3 5 7 11 11 9]; dy = diff(y)./diff(x) d2y = diff(dy)./diff(x(1:end-1)) plot(x, y, x(1:end-1), dy, x(1:end-2), d2y); grid on; MATLAB va răspunde cu următoarele rezultate numerice şi grafice: dy = 3 1 0 -2 1 2 2 4 0 -2 d2y = -2 -1 -2 3 1 0 2 -4 -2

Fig. 9.9. Graficul funciilor y, y' şi y".


204/221

5/14/2018



205

APLICA IA 53: Să se evalueze numeric Laplaceanul V al func  iei U(x, y) = x4 y5 în intervalul x∈[-4, 4] şi y∈[-4, 4] şi să se ploteze pe acela şi grafic func  ia U şi V. Se foloseşte următorul set de comenzi MATLAB: [x, y] = meshgrid(-4:4, -4:4); U = x.^4.*y.^5; V = 4*del2(U); mesh(x, y, U); hold on; mesh(x, y, V); hold off; MATLAB va afişa graficul următor.

Fig. 9.10. Graficul funciilor U şi V.

APLICA IA 54: 2

2

Presupunând că poten  ialul magnetic scalar φ are expresia φ (x, y) = x ⋅ y ⋅ e , să se calculeze numeric şi să se ploteze mărimea intensitate a câmpului magnetic irota  ional H, în intervalul x∈[-2, 2] şi y∈[-2, 2], pentru dx = dy = 0.2. − x − y

Se foloseşte următorul set de comenzi MATLAB: [X,Y] = meshgrid(-2: .2: 2); FI = X.*Y.*exp(-X.^2 - Y.^2);


205/221

5/14/2018


206


[dx,dy] = gradient(FI, .2, .2); contour(X, Y, FI); hold on; quiver(X, Y, dx, dy); grid off; hold off; MATLAB va afişa graficul din Fig. 9.11.

Fig. 9.11. Graficul funciei H.

APLICA IA 55: Să se calculeze integrala numerică a func  iei f(x) = e x în intervalul [-2; 2] calculat ă cu cele trei func  ii MATLAB şi cu toleran  e de {100 , 10-2 , 10-4 }. Compara  i rezultatele. 2

Se foloseşte setul de comenzi MATLAB de mai jos: fun = inline('exp((x).^2)'); S10 = quad(fun, -2, 2, 1) S12 = quad(fun, -2, 2, 1e-2) S14 = quad(fun, -2, 2, 1e-4) S20 = quad8(fun, -2, 2, 1) S22 = quad8(fun, -2, 2, 1e-2) S24 = quad8(fun, -2, 2, 1e-4) S30 = quadl(fun, -2, 2, 1) S32 = quadl(fun, -2, 2, 1e-2) S34 = quadl(fun, -2, 2, 1e-4)


206/221

5/14/2018



207

MATLAB va răspunde cu: S10 = 33.0045 S12 = 32.9144 S14 = 32.9053 S20 S22 = = 32.9053 32.9053 S24 = 32.9053 S30 = 33.0567 S32 = 32.9053 S34 = 32.9053 APLICA IA 56: 2 Să se calculeze integrala numerică a func  iei de două variabile f(x) = (y + 1)e x în intervalul x∈[-2, 2] şi y ∈ [-2, 2] calculat ă cu func  ia MATLAB dblquad şi cu toleran  e 0

-2

-4

de {10 , 10 , 10 }.

Folosind MATLAB Editor se crează în directorul curent fişierul function fun2.m ce conine următoarele comenzile MATLAB: function f = fun2(x, y) f = (y+1)*exp(x.^2); Pentru calculul integralei se foloseşte setul de comenzi MATLAB de mai jos scris în Command Window: xmin xmax == -2; 2; ymin = -2; ymax = 2; s0 = dblquad(@fun2, xmin, xmax, ymin, ymax,1) s2 = dblquad(@fun2, xmin, xmax, ymin, ymax,1e-2) s4 = dblquad(@fun2, xmin, xmax, ymin, ymax,1e-4) MATLAB va răspunde cu: s0 = 132.0180 s2 = = 131.6210 131.6278 s4 APLICA IA 57: Să se calculeze

integrala numerică a func  iei de trei variabile 2 f(x) = (x + y + z + 1)(ye + xe y ) în intervalul x∈[-2, 2,], y∈ [-2, 2] şi z ∈ [-2, 2] calculat ă cu func  ia MATLAB triplequad şi cu toleran  e de {100 , 10-2 , 10-4 }. x2


207/221

5/14/2018


208


Folosind MATLAB Editor se crează în directorul curent fişierul function fun3.m ce conine următoarele comenzile MATLAB: function f = fun3(x, y, z) f = (x+y+z+1)*(y.*exp(x.^2) + x.*exp(y.^2)); Pentru calculul integralei se foloseşte setul de comenzi MATLAB de mai jos scris în Command Window: xmin = -2; xmax = 2; ymin = -2; ymax = 2; zmin = -2; zmax = 2; s0 = triplequad(@fun3, xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax,1e-2) zmax,1) s2 s4 = triplequad(@fun3, xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax,1e-4) MATLAB va răspunde cu: s0 = 1.4082e+003 s2 = 1.4040e+003 s4 = 1.4040e+003


208/221

5/14/2018



209

10. INTEGRAREA NUMERICĂ A ECUAIILOR DIFERENIALE În acest capitol se prezintă funciile MATLAB de rezolvare a ecuaiilor difereniale de ordinul întâi şi metodele de rezolvare a ecuaiilor difereniale de ordin superior, prin convertire în sisteme de ecuaii difereniale de ordinul întâi. Funciile MATLAB din această categorie au la baza metoda de integrare Runge-Kutta.

10.1. Ecuaiile difereniale de ordinul întâi O ecuaie diferenială de ordinul întâi are forma: y’ = dy/dx = g(x, y)

(10.1)

unde x este variabilă independentă, iar y este funcia necunoscută. Deşi soluiile analitice ale ecuaiilor difereniale sunt preferate, acestea nu pot fi întotdeauna obinute. Metodele numerice cele mai cunoscute de rezolvare a ecua iilor difereniale sunt: metoda Euler şi metoda Runge-Kutta. Ambele metode rezolvă ecuaiile aproximând funciile prin descompunere în serii Taylor: (b - a) 2 '' (b - a) n (n) f(b) = f(a) + (b - a)f (a ) + f (a ) + ... + f ( a ) + ... 2! n! '

(10.2)

Aproximarea de ordinul întâi foloseşte funcia şi derivata de ordinul întâi a acesteia: '

f(b) = f(a) + (b - a)f (a)

(10.3)

iar aproximarea de ordinul doi foloseşte funcia şi derivata sa de ordinul doi: f(b) = f(a) + (b - a)f ' (a) +

(b - a) 2 '' f (a) 2!

(10.4)

Creşterea numărului de termeni în dezvoltarea în serie Taylor creşte precizia aproximării.

10.2. Funcii MATLAB pentru integrare numerică a ecuaiilor difereniale MATLAB pune la dispoziie mai multe funcii pentru integrarea numerică a ecuaiilor difereniale de ordinul întâi printre care: ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb care rezolvă ecuaiile folosind metoda Runge-Kutta. Funciile odeX (unde X reprezintă unul dintre indicativele 45, 23, 113, 15s, 23s, 23t, 23tb) se pot apela de pildă cu una din sintaxele de mai jos: [x, y] = odeX(’yprim’, x0, xf, y0) [x, y] = odeX(’yprim’, x0, xf, y0)


(10.5)

209/221

5/14/2018


210


[x, y] = odeX(’yprim’, x0, xf, y0, tol, trace) [x, y] = odeX(’yprim’, x0, xf, y0, tol, trace), unde: • yprim este o variabilă de tip şir de caractere reprezentând numele unui fi şier M, de tip funcie, ce defineşte derivata funciei necunoscute y, • x0 este valoarea iniială a variabilei x, • xf este valoarea finală a variabilei x, • y0 este un vector coninând condiiile iniiale, • tol este precizia dorită a soluiei (opională). Implicit tol = 10-3 pentru ode23, tol = 10-6 pentru ode45 etc. • trace este un parametru care asigur ă tipărirea rezultatelor intermediare în mod opional. Valoarea implicită este zero, adică f ără tipărire. Numărul de puncte xi aparinând intervalului ( x0, x f ), în care funciile odeX returnează i iile odeX valorile y necunoscutei, un parametru al acestora. apelează metode deale integrare de tip este Runge-Kutta, cu intern stabilirea automatăFunc a pasului. Algoritmul Runge-Kutta cu pas automat î şi alege pasul în funcie de gradientul soluiei, respectiv un pas mai mare când gradientul y’(x) are o valoare mai mică. Funciile MATLAB au două argumente de ieşire: valorile variabilei x şi mărimile corespunzătoare ale necunoscutei y, care reprezintă soluia numerică a ecuaiei difereniale. Pentru exemplificare să rezolvăm ecuaia diferenială y’=x 2 pe intervalul [2, 4] , cu condiia iniiala y(2) = 0.5. Soluia analitică a ecuaiei este ya =1/3*x^3-6.5/3. Astfel, pentru a rezolva numeric ecuaia diferenială vom crea un fişier funcie MATLAB ce conine:

function dy = g1(x, y)

(10.6)

dy = x^2; Fişierul are numele g1.m, şi se apelează cu secvena MATLAB: [x, yn] = ode23(’g1’, [2, 4], 0.5);

(10.7)

Pentru a plota pe acelaşi grafic soluia analitică şi cea numerică vom executa setul de comenzi MATLAB (10.8), rezultatul grafic fiind prezentat în Fig. 10.1: ya =1/3*x^3-6.5/3; plot(x, yn‚ ’o’, x, ya);

(10.8)

grid;


210/221

5/14/2018



211

Fig. 10.1. Integrarea unei ecuaii difereniale de ordinul I şi plotarea soluiei.

Să continuăm cu rezolvarea ecuaiei difereniale y’ = sin(100*pi*x) + 30*y pe intervalul [0, 0.1] , cu condiia iniială y(0) = 0. Rezolvarea numerică a ecuaiei difereniale presupune crearea unui fişier funcie MATLAB ce conine: function dy = g2(x, y) dy = sin(100*pi*x) + 30*y;

(10.9)

Fişierul are numele g2.m, şi se apelează cu secvena MATLAB: [x, y] = ode23(’g2’, [0:0.001:0.1], 0);

(10.10)

Pentru a plota soluia numerică, Fig. 10.2, vom executa comenzile MATLAB: plot(x, y); grid;

(10.11)

Fig. 10.2. Plotarea soluiei unei ecuaii difereniale de ordinul I.


211/221

5/14/2018


212


10.3. Integrarea ecuaiilor difereniale de ordin superior şi a sistemelor de ecuaii difereniale O ecuaie diferenială de ordin superior este echivalentă cu un sistem de ecuaii difereniale cuplate, de ordinul întâi. De pildă ecuaia ecuaia diferenială de ordinul n : y(n) = f(x, y, y’, y”, ..., y (n-1) ) (10.12) la care se asociază notaiile: y1(x) = y(n-1) y 2(x) = y(n-2) ... y n-2(x) = y” y n-1(x) = y’

(10.13)

y n(x)

=y este echivalentă cu un sistem de n ecuaii difereniale de ordinul întâi:

y1’ = y(n) = g(x, u n , u n-1 , ..., u1 ) y 2’ = y1 ... y n-2’ = y n-3 y n-1’ = y n-2

(10.14)

Să rezolvăm de pildă următoarea ecuaie diferenială liniară de ordinul doi : y” + (y 2 - 2) . y’ -1 = 0; condiii iniiale: y(0) = 1, y’(0) = 0

(10.15)

Ecuaia este echivalentă cu sistemul: y1’ = y1(2 - y 2 2 ) +1 y 2’ = y1

(10.16)

Rezolvarea acestui sistem presupune întâi crearea unui fi şier funcie MATLAB care conine: function yprim = ecdif(x, y); yprim =[ y(1).*(2 - y(2).^2) + 1; y(1)];

(10.17)

Pentru integrarea sistemului de ecuaii difereniale de ordinul întâi pe intervalul [0, 20] , şi pentru plotarea funciei şi a derivatei sale, Fig. 10.3, se utilizează instruciunile MATLAB: t0 = 0; tf = 3; y0 = [0, 1]; [t, yy] = ode23(’ecdif’, [t0, tf], y0);


(10.18)

212/221

5/14/2018



213

plot(t, yy(:, 1), ’--b’, t, yy(:, 2), ’-r’); grid; text(2.1, 2.6, 'functia y'); text(2.1, 0.75, 'derivata functiei y');

Fig. 10.3. Integrarea unei ecuaii difereniale de ordin superior şi plotarea soluiei şi a derivatei.

10.4. Aplicaii numerice APLICA IA 58: Se consider ă un transformator monofazat caracterizat de: Rk = 2 Ω , Lk = 13 mH, U 1n= 220V, ω = 100π . Se consider ă că în secundarul transformatorului apare un scurtcircuit brusc la momentul t=0. Transformatorul este alimentat cu o tensiune de forma u1(t)=U 1n√ 2sinω t. Se consider ă i1k (0) = 0. Considerând ecua  ia de tensiuni a transformatorului la scurtcircuit: Rk i1k + Lk di1k /dt = U 1n√ 2sinω t, să se traseze varia  ia în timp pe zece perioade a curentului de scurtcircuit brusc i1k . Folosind MATLAB Editor se crează în directorul curent fişierul function tr_scc.m care conine următoarele comenzile MATLAB: function dik = tr_scc(t, ik) Rk = 2; Lk = 13*1e-3; U1n = 220; omega = 100*pi; dik = 1/Lk*(U1n*sqrt(2)*sin(omega*t) - Rk*ik);


213/221

5/14/2018


214


Apoi se apelează funcia creată cu succesiunea de comenzi MATLAB: [t, ik] = ode23('tr_scc', [0:0.001:0.2], 0); plot(t, ik); grid on; xlabel('t [s]'); ylabel('i_1_k [A]'); MATLAB va afişa variaia în timp a curentului ca în Fig. 10.4.

Fig. 10.4. Graficul funciei i1k.

APLICA IA 59: Se consider ă o placă plană de grosime Dx = 0,1 m. Câmpul termic sta  ionar al plăcii verifică ecua  ia diferen  ială: 2

d T 2

dx

− 15T 2 = 1000 .

Pe suprafa  a x = 0 se cunosc temperatura (T(0) = 100 ° ), respectiv

gradientul de temperatur ă (-T’(0) = 10). Să se ploteze pe acela şi grafic temperatura T, respectiv gradientul de temperatur ă -T’, func  ie de coordonata x.

Folosind MATLAB Editor se crează în directorul curent fişierul function termic.m care conine următoarele comenzile MATLAB: function th = termic(x, teta) th =[ 15*teta(2)^2 + 1000; teta(1)]; Apoi se apelează funcia creată cu succesiunea de comenzi MATLAB:


214/221

5/14/2018



215

Dx = 0.1; teta0 = [100, -10]; [x, teta] = ode23('termic', [0:0.001:Dx], teta0); plot(x, teta); grid on; xlabel('x [m]'); ylabel('teta [degC]') MATLAB va afişa variaia funcie de x a temperaturii ca în figura de mai jos.

Fig. 10.5. Graficul funciei i1k.


215/221

5/14/2018


216


11. FUNCII DE OPTIMIZARE NUMERICĂ Problema optimizării unor funcii matematice de una sau mai multe variabile apare deseori în inginerie. Funciile ce trebuiesc optimizate (minimizate sau maximizate) modelează de regulă anumite caracteristici specifice unor echipamente sau procese ce trebuiesc, la rândul lor, optimizate. Definirea problemei de minimizare pe un interval a unei func ii obiectiv F(x1, x2, x3, ..., xn) dependentă de un set de n parametri, constă în găsirea setului optim de parametri x1, x2, ..., xn, aparinând intervalului impus, pentru care funcia are valoarea cea mai mică. Funciile de minimizare implementate pe platforma de baz ă a pachetului de programe MATLAB (există un modul special denumit Optimization Toolbox destinat exclusiv problemelor de optimizare numerică), în cazul în care avem de a face cu una sau mai multe variabile sunt: fminbnd pentru minizarea funciilor de o singură variabilă într-un interval impus, fminsearch pentru minizarea funciilor de mai multe variabile, fzero pentru determinarea zeroului funciilor de o singură variabilă într-un interval impus.

11.1. Minimizarea funciilor de o variabilă Funcia fminbnd de minimizare a funciilor de o variabilă poate fi apelată folosind mai multe sintaxe, câteva dintre acestea fiind prezentate mai jos: x = fminbnd(fun, x1, x2) x = fminbnd(fun, x1, x2, optiuni) [x, fval] = fminbnd(fun, x1, x2, optiuni)

(11.1)

Funcia întoarce valoarea parametrului x din intervalul [x1, x2] pentru care funcia fun este minimă şi eventual valoarea corespunzătoare a funciei fval . Apelul funciei cu op  iuni permite afişarea valorilor intermediare, permite fixarea numărului maxim de iteraii şi de evaluări, fixarea criteriului de eroare etc. (pentru detalii tastează help options în Command Window). Să calculăm minimul funciei sin(x) în intervalul [0; 2ππ ] . Pentru aceasta vom folosi sintaxa MATLAB: [x, fmin] = fminbnd(’sin’, 0, 2*pi)

(11.2)

Rezultatul MATLAB este: x = 4.7124 fmin = -1.0000

(11.3)

Deci minimul funciei este -1 şi se obine la x = 4.7124 adică 3π π /2.


216/221

5/14/2018



217

11.2. Minimizarea funciilor de mai multe variabile Funcia de minimizare multidimensională fminsearch poate fi apelată în mai multe feluri, câteva dintre sintaxele de apel fiind prezentate mai jos: x = fminsearch(fun,x0) x = fminsearch(fun,x0,optiuni) [x,fval] = fminsearch(...)

(11.4)

Funcia fminsearch întoarce valoarea parametrului multidimensional x cea mai apropiată de valoarea x0, pentru care funcia fun prezintă un punct de minim local. În variabila fval este întoarsă valoarea funciei corespunzătoare punctului de minim local. Apelul funciei cu optiuni permite afişarea valorilor intermediare, permite fixarea numărului maxim de iteraii şi de evaluări, fixarea criteriului de eroare etc. ăm minimul Să calcul funciei Rosenbrock sau ”banana”, fiuncie utilizată deseori pentru testarea algoritmilor de optimizare:

f(x, y) = 100(y-x 2 ) 2+ (1-x) 2 + 2

(11.5)

Pentru aceasta vom crea întâi fişierul funcie care conine: function b = banana(x, y); b = 100*(y – x^2)^2 + (1 – x)^2 + 2

(11.6)

Pentru determinarea punctului de minim putem folosi sintaxa MATLAB: [xy, fmin] = fminsearch(’banana’, [0, 0])

(11.7)

Rezultatul MATLAB este: xy = 1.0000 1.0000 fmin = 2.0000

(11.8)

Deci minimul funciei este 2 şi se obine la xy = [1, 1] adica x = 1 şi y = 1.

11.3. Calculul zerourilor funciilor de o variabilă reală MATLAB permite calculul zeroului unei funcii de o variabilă reală prin intermediul funciei fzero. Sintaxele de apel ale funciei MATLAB sunt multiple ca de exemplu: x = fzero(fun, x0) x = fzero(fun, x0, optiuni) [x, fval] = fzero(fun, x0, optiuni)


(11.9)

217/221

5/14/2018


218


Funcia MATLAB returnează zeroul funciei f(x) situat cel mai aproape de valoarea iniială impusă x0. Valoarea x0 poate fi un scalar sau un interval. Dac ă x0 este un interval atunci valorile funciei la capetele intervalului trebuie să aibă semne diferite, altfel funcia întoarce un mesaj de eroare. În fval funcia întoarce valoarea funciei în punctul x. Apelul funciei cu optiuni permite afişarea valorilor intermediare, fixarea numărului maxim de iteraii şi de evaluări, fixarea criteriului de eroare etc. Diferena între funcia fzero şi roots constă în faptul că funcia roots se aplică funciilor polinomiale şi calculează toate zerourile (rădăcinile) polinomului, reale sau complexe, pe când funcia fzero se aplică oricărei funcii de o variabilă reală şi returnează un singur zero, situat în preajma valorii iniiale x0. Spre exemplificare să calculăm zeroul funciei f(x) = (x-5) 2 – 4, cel mai apropiat de x0 = 2. Pentru aceasta să creem fişierul funcie fct.m care conine instruciunile: function ff = fct(x); ff = (x-5) 2 – 4;

(11.10)

Funcia se apelează cu sintaxa MATLAB: [x, fx] = fzero(’fct’, 2)

(11.11)

şi se obine rezultatul: x = 3 şi fx = 0.

11.4. Aplicaii numerice APLICA IA 60: Să se calculeze minimul func  iei f(x) = (x - 10)2 - 1 pe intervalul [0, 20] şi valoarea func  iei în acel punct folosind func  ia MATLAB fminbnd. Se foloseşte următorul set de comenzi MATLAB: fun = inline('(x - 10)^2 - 1'); [xmin, funval] = fminbnd(fun, 0, 20) MATLAB va afişa următoarele rezultate numerice: xmin = 10 funval = -1 APLICA IA 61: Să se calculeze minimul func  iei f(x, y) = sin(x)*(x - 10)2 + (x2 + y)2 + 3 şi valoarea func  iei în acel punct folosind func  ia MATLAB fminsearch. Plota  i grafic func  ia eviden  iind punctul de minim.


218/221

5/14/2018



219

Se foloseşte următorul set de comenzi MATLAB: fun = inline('sin(x(1))*(x(1) - 10)^2 + (x(1)^2+x(2))^2 + 3'); [xmin, funval] = fminsearch(fun, [0, 0]) [x, y] = meshgrid(-10: 0.1: 10); z = sin(x).*(x - 10).^2 + (x.^2+y).^2 + 3; mesh(x, y, z); hold on; plot3(xmin(1), xmin(2), funval,'ro'); hold off; MATLAB va afişa următoarele rezultate numerice şi grafice: xmin = -1.7395 -3.0260 funval = -132.8593

Fig. 11.1. Graficul funciei f(x, y).

APLICA IA 62: Să se calculeze zeroul func  iei f(x) = sin2(x) + x2 - 3 în intervalul [0, 3] folosind func  ia MATLAB fzero . Se foloseşte următorul set de comenzi MATLAB: fun = inline('sin(x)^2 + x^2 - 3'); [xmin, funval] = fzero(fun, [0, 3])


219/221

5/14/2018


220


x = 0: 0.01: 3; y = sin(x).^2 + x.^2 - 3; plot(x, y, xmin, funval,'ro'); grid on; MATLAB va afişa următoarele rezultate numerice şi grafice: xmin = 1.4220 funval = 0

Fig. 11.2. Graficul funciei f(x, y).


220/221

5/14/2018



221

12. BIBLIOGRAFIE ŞI WEBOGRAFIE [1] Mathworks: MATLAB User’s Guide – Version 6.5. [2] Ghinea M., Fireeanu V.: MATLAB – Calcul numeric şi grafică, Ed. Teora, Bucureşti, [3] 2000. Hunt B., Lipsman R., Rosenberg J.: A Guide to MATLAB: for Beginners and Experienced Users, Cambridge University Press, 2001, ISBN: 0521-00859-X. [4] Lapresté JT: Aide-mémoire MATLAB, Elipses , France, 2002, ISBN: 2-7298-0952-X. [5] Kharab A. , Guenther R.: An Introduction to Numerical Methods: A MATLAB Approach, Chapman & Hall/CRC, 2002, ISBN: 1-58488-281-6. [6] Otto SR, Denier JP: An Introduction to Programming and Numerical Methods in MATLAB, Springer, 2005, ISBN: 1-85233-919-5. [7] Sticklen J., Eskil MT: An Introduction to Technical Problem Solving with MATLAB v. 7 , Great Lakes Press, 2005, ISBN: 1-881018-80-6. [8] Mokhtari M., Marie, M.: Applications de MATLAB 5 et Simulink 2, Springer, 1998, 2-287-59651-8. [9] ISBN: Hanselman D. , Littlefield B.: Mastering MATLAB 7 , Prentice Hall, 2005, ISBN: 0-13143018-1 [10] Redfern D. , Campbell C.: The MATLAB 5 Handbook , Springer, 1998, ISBN: 0-38794200-9. [11] Yang W.: Applied Numerical Methods Using MATLAB, Wiley New York, ISBN: 0471698334. [12] Hahn BD: Essential MATLAB for Scientists and Engineers, ISBN: 0750652403. [13] http://www.mathworks.com/academia/student_center/tutorials/index.html?link=body [14] http://texas.math.ttu.edu/~gilliam/ttu/mlhtml_1/m4330_ml_1.html [15] http://www.yorku.ca/jdc/courses/Matlab/ [16] [17] http://www.math.udel.edu/~driscoll/teaching/matlab_adv.pdf http://physics.gac.edu/~huber/matlab/ [18] http://www.math.utah.edu/lab/ms/matlab/matlab.html [19] http://www.glue.umd.edu/~nsw/ench250/matlab.htm [20] http://staff.science.uva.nl/~brandts/SIMPROG/matlab.html


221/221

Matlab Pentru Inginerie

Recommend Documents