matrices de transformacion homogenea

Necesidad Manipulación de piezas Necesidad de herramientas matemáticas para especificar posición y orientación de las piezas y del extremo del robot Herramientas Matemáticas

Movimiento espacial del extremo del robot

Localización espacial Especificación conjunta de la Especificación posición y orientación de un sólido rígido en el espacio, con respecto a un sistema de referencia fija S={O,X,Y,Z}

W

U

Al sólido rígido se le asocia un sistemas de coordenadas (dextrógiro) S’= {O’,U,V,W} La posición y orientación del sólido con respecto al sistema S, queda totalmente determinada por la del sistema Sćon respecto aS

Herramientas Matemáticas

V

Z Y X

Representación de la posición Vector de posición en coordenadas

– – Cilíndricas – Esféricas


Ejercicio: Obtener las componentes de los vectores U y V sobre los ejes cordenados X, Y. Teniendo en cuenta los vectores unitarios ix, jy y conociendo que que U y V son ortogonales.

___________ i V = ___________ i

U=

x

x


___________ j + ___________ j

+

y

y

Representación de la Orientación Mediante Matrices de Rotación. Caso 2D



P=

pui u + pv jv

P=

p x i x + p y j y

pu

=

P ⋅ iu

p x

=

P ⋅ i x

pv

=

P ⋅ jv

p y

=

P ⋅ j y



P=

pui u + pv jv

P=

p x i x + p y j y

pu

=

P ⋅ iu

p x

=

P ⋅ i x

pv

=

P ⋅ jv

p y

=

P ⋅ j y


Representación de la orientación mediante Matrices de Rotación. Caso 2D P=

p x i x + p y j y

p x

=

p y

=

(p i P⋅ j = (p i P ⋅ i x

=

y

p x = pui u p y =

⎡ p ⎤ ⎢ p ⎥ ⎣ ⎦ x

y

P=

⎡i ⋅ i ⎢ j ⋅ i ⎣ x

=

u u

+

pv jv

u u

+

pv jv

⋅i p i ⋅j u u

y

u

u


pui u + pv jv

x

+

pv jv

y

+

pv

)⋅i )⋅ j

x

y

⎡ p ⎤ ⎢ p ⎥ ⎣ ⎦

⋅i j ⋅j v

x

x

y

y

i x ⋅ jv ⎤ ⎡ pu ⎤ j y ⋅ jv ⎥⎦ ⎢⎣ pv ⎥⎦

R

=

⎡ p ⎤ R⎢ ⎥ ⎣ p ⎦ u

=

v

⎡cosθ − senθ ⎤ ⎢senθ cosθ ⎥ ⎣ ⎦



Matrices de Rotación. Composición de Rotaciones Concatenación de rotaciones Orden de la composición: Rotación sobre OX Rotación sobre OY Rotación sobre OZ


Multiplicación de matrices

Las rotaciones que se especifican con respecto a los EJES FIJOS se PREMULTIPLICAN

Matrices de Rotación. Interpretación Geométrica Si {xyz}R{uvw} representa la matriz de rotación que relaciona el sistema {UVW} con el sistema {XYZ} (i.e pxyz={xyz}R{uvw} puvw) Las columnas de la Matriz {xyz}R{uvw} corresponden con las coordenadas de los vectores u,v,w en la base {XYZ}

{xyz}R {uvw} =


ux vx wx uy vy wy uz vz wz

Matrices de Rotación. Interpretación Geométrica {xyz}R {uvw} =


ux vx wx uy vy wy uz vz wz

=

0 0 1

0 1 -1 0 0 0

Usos de la Matriz de Rotación La matriz de rotación R permite: 1. Representar la orientación del sistema móvil S’ con respecto al fijo S 2. Obtener las coordenadas de un punto en el sistema S, conocidas sus coordenadas en el sistema móvil 3. Obtener el punto b que resulta de rotar el punto a.


Propiedades Matrices de Rotación. Son matrices ortonormales: •Sus vectores por columnas o por filas son ortonormales entre si: •Producto escalar •de un vector por otro cualquiera = 0 •de un vector por si mismo =1

•Producto vectorial •de un vector por el siguiente da el tercero

•Su Inversa coincide con su Traspuesta •Su determinante es la unidad


Características del Uso de Matrices para Representar una Orientación • Su composición se realiza mediante el álgebra de matrices (facilidad de uso) • Precisan 9 elementos (redundancia) • Riesgo de inconsistencia tras varias operaciones (redondeos)


Representación de la Orientación. Ángulos de Euler •

Giros consecutivos entorno a 3 ejes, debiendo ser perpendicular cada eje con el siguiente.

•

Posibilidad de especificar los giros sobre ejes fijos (XYZ) o sobre ejes móviles (UVW)

•

12 combinaciones posibles sobre ejes fijos y 12 sobre ejes móviles

•

De todas las más frecuentes son:

• •

Ejes Móviles: WUW (ZXZ) y WVW (ZYZ) Ejes Fijos (XYZ)


Ángulos de Euler WUW • Girar el sistema OUVW un ángulo ϕ con respecto al eje OZ, convirtiéndose así en el OU'V'W’. • Girar el sistema OU'V'W' un ángulo θ con respecto al eje OU', convirtiéndose así en el OU''V''W'’. • Girar el sistema OU''V''W'' un ángulo ψ con respecto al eje OW'' convirtiéndose finalmente en el OU'''V'''W''' Si Herramientas Matemáticas

es nulo el primer y tercer giro se producen sobre el mismo eje (Z)

Ángulos de Euler WVW • Girar el sistema OUVW un ángulo ϕ con respecto al eje OZ, convirtiéndose así en el OU'V'W’. • Girar el sistema OU'V'W' un ángulo θ con respecto al eje OV', convirtiéndose así en el sistema OU''V''W'’. • Girar el sistema OU’’V’’W’’ un ángulo ψ con respecto al eje OW'', convirtiéndose finalmente en el OU'''V'''W'''. Si Herramientas Matemáticas

es nulo el primer y tercer giro se producen sobre el mismo eje (Z)

(guiñada, cabeceo y alabeo) •

Giros entorno a los ejes fijos (XYZ) • Guiñada-Cabeceo-Alabeo • Yaw-Pitch-Roll

•

Girar el sistema OUVW un ángulo ψ con respecto al eje OX. (Yaw)

•

Girar el sistema OUVW un ángulo θ con respecto al eje OY. (Pitch)

•

Girar el sistema OUVW un ángulo ϕ con respecto al eje OZ. (Roll)


Representación de la orientación. Par de rotación • Dados los sistemas {O,X,Y,Z}

y {O,U,V,W}, existe un único vector k (k x,k y.k z), tal que girando alrededor de él un ángulo se convierte el primer sistema en el segundo.

k es el vector propio real de la matriz de rotación. θ Se puede obtener como el argumento de los valores propios complejos de la matriz de rotación Herramientas Matemáticas

Representación conjunta mediante matrices


Coordenadas homogéneas


Matrices de transformación homogénea •

Matriz 4x4 que representa la transformación de un vector en coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro

• • • •

R3x3: matriz de rotación p3x1: vector de traslación f 1x3: transformación de perspectiva ((0,0,0) en el caso de robótica) w1x1: escalado global (1 en el caso de robótica)


Aplicación de las matrices de transformación homogénea

•

Representar la posición y orientación de un sistema girado y trasladado O'UVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ, que es lo mismo que representar una rotación y traslación realizada sobre un sistema de referencia.

•

Transformar un vector r expresado en coordenadas con respecto a un sistema O'UVW, a su expresión en coordenadas del sistema de referencia OXYZ.

•

Rotar (R) y trasladar (p) un vector r con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ para transformarlo en el r’.


Propiedades de las MTH NO son Ortonormales


Usos alternativos de las MTH


Traslación con matrices homogéneas Matriz básica de traslación:

Cambio de sistema de coordenadas:


T( p )

=

Desplazamiento de un vector:

Ejemplo de traslación (I). Trasladar el sistema (cambio de base) Según la figura el sistema O'UVW está trasladado un vector p(6,-3,8) con respeto del sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (r x , r y ,r z ) del vector r cuyas coordenadas con respecto al sistema O'UVW son r uvw(-2,7,3)


Ejemplo de traslación (II) Trasladar el vector •

Calcular el vector r ’xyz resultante de trasladar al vector r xyz(4,4,11) según la transformación T(p) con p(6,-3,8)


Rotación con matrices homogéneas •

Matrices de rotación básicas:


Rotación con matrices homogéneas Cambio de sistema de coordenadas:

Rotación de un vector:


Ejemplo de rotación Rotar el sistema (cambio de base) •

Según la figura el sistema OUVW se encuentra girado -90º alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas del vector r xyz si r uvw = [4,8,12]T


Combinación de rotaciones y traslaciones • Es posible combinar rotaciones y traslaciones básicas multiplicando las matrices correspondientes • El producto no es conmutativo: rotar y trasladar ≠ trasladar y rotar Trasladar T(p) y Girar Rotz(π)

Girar Rotz(π) y trasladar T(p) Transformaciones expresadas en el sistema móvil Herramientas Matemáticas

Orden de la combinación de rotaciones y traslaciones Rotación seguida de traslación (expresadas en sistema fijo):

Traslación seguida de rotación (expresadas en sistema fijo):


Ejemplo combinación de rotación y traslación (1) Rotación Traslación Sistema Fijo Un sistema OUVW ha sido girado 90° alrededor del eje OX y posteriormente trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (r x ,r y ,r z) del vector r con coordenadas r uvw (-3,4,-11).


Ejemplo composición de rotación y traslación (2) Traslación Rotación Sistema Fijo Un sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ y girado 90° alrededor del eje OX . Calcular las coordenadas (r x ,r y ,r z) del vector r de coordenadas r uvw (-3,4,-11).


Composición general de matrices homogéneas (I) Transformaciones

definidas

PREMULTIPLICACIÓN

sobre

sistema

el

fijo

(OXYZ)



Ejemplo: • Obtener la matriz de transformación que representa al sistema O'UVW obtenido a partir del sistema OXYZ mediante – giro de ángulo - π alrededor del eje OX, – traslación de vector p xyz(5,5,10) – giro de π sobre el eje OZ

T

=

Rotz(π )T ( p) Rotx (−π )


=

⎡−1 0 ⎢ 0 −1 ⎢ ⎢0 0 ⎢0 0 ⎣

0

0 ⎤ ⎡1

0

0

0

0

1

0

1 0

⎥⎢0 ⎥⎢ 0 ⎥ ⎢0 ⎥⎢ 1 ⎦ ⎣0

0

1

0

0

⎤ ⎡1 0 0 ⎥⎢ 5 0 −1 0 ⎥⎢ 10⎥ ⎢0 0 −1 ⎥⎢ 1 ⎦ ⎣0 0 0 5

0⎤

⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦ 0

=

⎡−1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣

0

0

1

0

0

−1

0

0

−5 ⎤ −5 ⎥ ⎥ 10 ⎥ ⎥ 1 ⎦

Composición general de matrices homogéneas (II) Transformación

definidas

sobre

POSMULTIPLICACIÓN

el

sistema

móvil

(OUVW)



Ejemplo: •

Obtener la matriz de transformación que representa las siguientes transformaciones:

– Traslación de un vector pxyz(-3,10,10); – giro de -180° sobre el eje O'U del sistema trasladado – giro de 180° sobre el eje O'V del sistema girado.

T

=

T ( p) Rotx (−π ) Roty (π )


=

⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣

0

0

1

0

0

1

0

0

−3⎤⎡1 0 0 ⎥⎢ 10 0 −1 0 ⎥⎢ 10 ⎥ ⎢0 0 −1 ⎥⎢ 1 ⎦ ⎣0 0 0

0 ⎤ ⎡−1

0

0

0⎤

0

1

0

0

⎥⎢ 0 ⎥⎢ 0 ⎥⎢ 0 ⎥⎢ 1 ⎦⎣ 0

0

−1

0

0

⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦

=

⎡−1 0 ⎢ 0 −1 ⎢ ⎢0 0 ⎢0 0 ⎣

0 0 1 0

−3⎤ ⎥ 10 ⎥ 10 ⎥ ⎥ 1 ⎦

Reglas de composición de MTH Si el sistema OÚVW se obtiene mediante transformaciones definidas con respecto al: – Sistema fijo OXYZ, las MTH de cada transformación se deben premultiplicar – Sistema móvil OÚVW, las MTH de cada transformación se deben postmultiplicar


Interpretación geométrica de las MTH

• • • •

p representa la posición del origen de O'UVW con respecto del sistema OXYZ. n representa las coordenadas del eje O'U del sistema O'UVW con respecto del sistema OXYZ. o representa las coordenadas del eje OY del sistema O'UVW con respecto del sistema OXYZ. a representa las coordenadas del eje O'W del sistema O'UVW con respecto del sistema OXYZ.


MTH Para la figura de abajo, encuentre las matrices de transformación de 4x4 y para i=1, 2, 3, 4, 5


Interpretación geométrica de las MTH. Aplicación en un robot

{R} {H}


La localización del extremo del robot respecto a su base queda definida asociando a la base del robot un sistema de referencia fijo {R}=(OXYZ) y al extremo un sistema de referencia {H} que se mueva con él. Expresado en la base {R}, el origen de {H} está en el punto p y los vectores directores de {H} son n, o, a escogidos de modos que: • a: vector en la dirección de aproximación del extremo del robot a su destino (approach). • o: vector perpendicular a a en el plano definido por la pinza del robot. • n: vector que forme terna ortogonal con los dos anteriores.

Relación entre los métodos de localización espacial ANGULOS DE EULER – MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA

WUW

WVW

XYZ


Relación entre los métodos de localización espacial MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA- ANGULOS DE EULER

Se deberán despejar ϕ, θ y ψ. de la relación directa. θ aparece como elemento aislado, pudiéndose despejar directamente A continuación se pueden obtener ϕ y ψ. En los casos WUW y WVW, si θ es 0, se produce indeterminación y solo se puede obtener el valor de ϕ+ψ.


Relación entre los métodos de localización espacial PAR DE ROTACIÓN – MATRICES DE TRANSFORMACIÓN

Se trata de expresar el giro θ en rotaciones básicas 1.Se gira k hasta hacerlo coincidir con Z (T(x,α),T(y,-β)). 2.Se realiza el giro dado por el par ( θ). 3.Se deshacen las rotaciones iniciales

Siendo


Vθ = 1 - Cθ.

Relación entre los métodos de localización espacial MATRICES DE TRANSFORMACIÓN - PAR DE ROTACIÓN

=

Nota: Cuando θ es próximo a 0 o a π, las ecuaciones quedan indeterminadas V es el verseno definido por Vθ = 1 – Cθ Herramientas Matemáticas

matrices de transformacion homogenea

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