MATRICES Y DETERMINANTES
Nota
Matr ices 1. Definición.Definición.- Una matriz real es un conjunto de números reales arreglados en filas y columnas en forma de rectángulo. Ejemplos:
3 A = 9
5 4
;
6 C = 2 5 9
2 3 5 / 7 B) 1 3 / 4
;
a. Sin una matriz tiene “m” filas y “n” columnas se dice que es una matriz de orden m x n. En el ejemplo anterior A es un matriz de orden 3 x 4. b. Si el número de filas es es igual al número de columnas entonces se dice que la matriz es cuadrada y que su orden es es “n”. Ejemplo:
D ) 41
;
3
2 7
4
2 1
es una matriz
c. Si A es una matriz cuadrada, la diagonal principal de A, está formada por los elementos aij. Diag(M) = {2; -4}
columnas 1
3
cuadrada de orden 2.
2. Notación.Notación .-
M=
1 4
2 M =
5 3 4
4 1 2
d. Se llama traza de una matriz a la suma de los elementos de su diagonal principal. principal. Traza(M) = 2 + (-4) = -2
2 0 5
3. Matrices Iguales.Iguales.- Dos matrices A y B son iguales, si lo son todos los elementos que ocupan las mismas posiciones, es decir : aij = bij, para todo i, j.
filas
Ejemplos:
Columna j (j = 2)
2 A. 3 2 N = 21 43 1 5
0
2 5 3
2 1 3 4
4
1 5 4 2
Fila I (i = 3)
1 3 5 7 =
B. Para que:
2 y
2 4
1 3 5 7
x a = 3 1
2 b
se debe
verificar que : a = 2 , x = -2 , y = 3 , b = -1.
Fila 1 : 3, -2, 0, 2, 1 Fila 3 : -1, 4, -5, 3, 4 Columna 1 : 3, 2, -1, 5
4. Matrices Especiales.Especiales.a. Matriz Nula.Nula.- Todos sus elementos son ceros. Se denota por O.
Columna 3 : 0, -2, -5, 3
Ejemplo:
El 4 es el elemento que pertenece a la tercera fila y a la segunda columna esto se denota por :
0 O2 =
0 0
0
b. Matriz Diagonal.Diagonal.- Todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son ceros.
Letra de la matriz (minúscula)
3
Ejemplo: 4 = n32
A = 0
0
0 1 0
0 0 4
Número de columnas c. Matriz Escalar ..- Es una matriz diagonal en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales.
Número de filas n34 = 3 n12 = ___ n43 = ___
n25 = ___ n11 = ___ n44 = ___
Ejemplo:
“El elemento de la fila i, columna j, se representa por nij”
a
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 = a34
0 4 0 0
0 0 4 0
0 0 0 4
d. Matriz Identidad.Identidad.- Es la matriz escalar en la que sus elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad.
Una matriz en general, se escribe: 11 A = a21
4 0 M= 0 0
1
aij 3x 4
Ejemplo:
I = 0
0
0 1 0
0 0 1
e. Matriz Traspuesta.Traspuesta.- Se obtiene permutando las filas por las columnas. Ejemplo: 1 Si A =
2 5
4
3 6
1
4 5 6
At = 2 3
5. Suma de Matrices.Matrices.- Si A y B son matrices del mismo orden, entonces A + B es la matriz en la que cada elemento es la suma de los elementos de la misma fila y columna de A y B.
1. Escribir explícitamente la matriz “A”. A = (aij)3x2 / aij = i + 2j
3
a) 4
5
Ejemplo:
3 4
2 3 4 1 6 + = 4 5 2 1 1
1 5
3 7
1 5
6. Resta de Matrices.Matrices.- Se procede de la misma forma que la suma.
4
d) 0
1
2 2
3 3
2 8
5 = 2
2 11
2 7
3 0
2 3 4
1 6 3 = 3 12 9
8. Producto de Matrices m x r por r x n.n .- Para efectuar esta operación se debe cumplir que el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz. Ejemplos:
1
3 1 . 4 = 1 . 3 + 2 . 4 + (-1) (-1) = 12 1
2
2
1 ; B = 2
3 1
2.4 3.3 1( 2)
A . B = 4.4 ( 1)3 2( 2)
15 9
4 3 2
5 6 1
2.5 3.6 1( 1) = 4.5 ( 1)6 2( 1)
27 12
Deter minantes
Determinante de Segundo Orden.Orden .-
a
Si : A = c
7 8 9
2 0 4
e) N.A.
5
2z w 3 z w = 1
x y
b d
A =
a c
b = ad - bc d
a) 4 d) 3
4
7
b) – b) –3 3 e) -2
1
5
c) 2
2 3 ; B = 2
3. Dado : A = 1
2 2 1 1 . Calcular : “2A “2A 1 3
3B”
4
a) 5
7 4
d) 1
0
4
2 9 5
b) 5
2 1 2
e) 4
2 4 9 c) 5 7 5
7
1
2 9 5
2 2 9
5
2 4. Determinar P(A) si : A =
1 además : 0
1
a) 10 d) 14
b) 5 e) 120
2 5. Si : A =
1
a)
14 9
b)
12 4
c)
4 2
3 ; B = 2
1 0
1 4
c) 12
2
12 7
1
d)
0 3 3 2 0 1 1 4
= 3 . 4 – 4 – (2) (2) (-5) = 12 + 10 = 22 x 1
0 2 – 1 . 0 = x 3 2 = x . x – 1 x
1 3
0 5 e) 0
1 7. Si : A2 = B2 =
0
2 BA =
1
0 0
2 2
0 0
0 1
3 . Calcular “A2 – 4A” 2
5 b)
1 5
4 2 1
3
0 5 d) 0
3 . Hallar “AB” 2
1 e)
2 6. Dada la matriz matriz : A =
5 a)
Ejemplo:
5
7 8 9
5 . Halle : 4
Determinante de A
3 2
5
c) 6
P(x) = 2x + 31. Dar la suma de elementos de P (A).
a. Sea : A = 4
3
“(x + 2y) – (z + w)”
7. Multiplicación por un Escalar .Escalar .- Se obtiene multiplicando todos los elementos de la matriz por el escalar. Ejemplo:
b) 4
x y 2. Si :
Ejemplo:
4 1 3 4
5 6 7
0 ; AB = 1
0 3
5 c)
0 5
0 1
1 . Hallar : (A + B) 2 0
1 ; 2
0
0 1
4 a)
0 4
8 b)
0 8
2 d)
0 2
1 e)
4 7
0 0
0 0
1 c)
0 1
0
a) – a) –39 39 d) 25
b) 32 e) 30
2
2 ; B = 4
3
3 5 , hallar la matriz “X” que 5 9
resuelve la ecuación : AX = B. Dar como respuesta la suma de sus elementos. a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
2 0
de : E = a 12 + a 2 + a33 22
a) 12 d) – d) –4 4
b) 16 e) -1
c) 4
c) 4
2x 1 16. Si : A =
5 9. Dadas las matrices : A =
7
3 8
1 2 ; B = 3 3
2 ; C = 4
3 3 y ,B= 1 2z
4
a) A < B < C d) B < A < C b) A < C < B e) C < B < A c) B < C < A
10. Indicar el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones :
b) 8 e) 5
1 17. Si : A =
c) 13
4 ; B = 5
2
3 2
a
a) 18 d) 24
b) 20 e) 26
ab n
II. III.
1
a) – a) –69 69 d) – d) –20 20
ab = 4ab ab
a) VVV d) FVF
b) VVF e) VFV
c) FVV
a) 0 d) 2
y y x + xy
c) 1
Log2 32 Log3 27 Log4 16 Log5 125 . Calcular : A
a) 15 d) 7
b) 13 e) 9 2
13. Dada la matriz : H = x x
3 , si H = 4. Hallar H 2
13
d)
b)
244 68
45
e)
c)
268 68
45
11
244 60
51
268 68
45
13
7 b)
5 d)
3 1
5 e)
9
2 3
5 2
7 c)
4
1 9
20. Dadas las matrices: A = 1
0
1 3 B= 5 . 7
4 ;
2
Hallar “AB” a) 19 d) 37
b) – b) –37 37 e) -25
c) – c) –19 19
21. Resolver la ecuación:
a2
11
a
1 1 5 = [0] 6
13
14. Si “x” satisface satisface la ecuación : 2 0
2 2
5
1
51
x +
y 3 y 2 ; 2 x 2 5 2 ; C = 4 1 ,
7 a)
c) 8
268 68
a)
c) 69
si : A = B. Calcular : A + C
1 x
b) – b) –1 1 e) -2
12. Si : A =
y el polinomio
2x 1 19. Dadas las matrices: matrices: A = x 1
11. Si : (1 + x) (1 - x) = y . Calcular :
x
b) 20 e) 49
5 y B=
2
E = y
2 1 4
P(x) = 5x – – 2. Hallar la suma de los elementos de P(A).
n 1 = -1 n n 1
a b a b
c) 22
1 3 2
18. Dada la matriz: A = 2
ab = 2a2b2 2 b
2 y C = 2A + 3B 1
Hallar traza (C)
3
I.
6 y y A = B. 1
Calcular el valor de : E = 4x + 2y - z a) 6 d) 9
2 . Entonces se cumple que : 5
2
1 4 , calcular el valor 5
3
15. Dada la matriz : A = 0
3
1 8. Si : A =
c) – c) –7 7
3 3
= 2
E = Traza (x) + x
1 2
4 . Calcular el valor de : 0
a) S = {-2, 3} b) S = {2, -3} c) S = {-2, -3}
d) S = {-2} e) S = {-3}
2 2
