El Álgebra Lineal es una rama de la Matemática que se utiliza para resolver problemas en áreas de estudio como la Física, Biología, Ingeniería, Estadística, Economía, Finanzas y Psicología. Entre las aplicaciones donde se utiliza al Álgebra Lineal está la transmisión de información, efectos especiales en películas y vídeo, producción del sonido, desarrollo de motores de búsqueda en Internet y también en el análisis de datos de tipo económico. En la presente guía el lector podrá encontrar dos tipos de ejercicios: la primera categoría son de tipo computacional, Este tipo de ejercicios son diseñados para que se emplee software para resolverlos resolverlos tales como: como: Matemáticas Matemáticas de Microsoft, MATLAB, MATLAB, etc. La segunda categoría está compuesta por ejercicios teóricos que, se pueden desarrollar al finalizar un tema en específico (actividades) y también al finalizar una unidad de estudio. Los ejercicios propuestos tienen toda clase de dificultad: baja, media y alta; con el propósito de que el lector los pueda resolver. En las dos categorías de ejercicios, se puede pedir que se demuestre un resultado o el análisis del mismo. Muchas de las veces se puede pedir que analice la solución obtenida y que se justifique el proceso realizado para obtener la misma, además de interpretar los resultados obtenidos. De acuerdo a nuestro sistema educativo actual, que se encuentra en vigencia a partir de que la LOEI fue aprobada para su aplicación (2012), se contempla que en el Segundo Año de Bachillerato General Unificado (BGU), de acuerdo a los lineamientos curriculares proporcionados proporcionados por el Ministerio de Educación, se revise el bloque de Álgebra y Geometría, en el cual se contempla el estudio del Álgebra Lineal al revisar las unidades de estudio referentes a Matrices y Determinantes. Determinantes. Para aventurarse al estudio del Álgebra Lineal, es importante seguir las siguientes recomendaciones:
Leer la guía detenidamente. Es posible que se tenga que revisar un tema en particular antes de avanzar a otro tema. Es preferible revisar los mensajes de alerta, notas y comentarios que se encuentren en la presente guía, especialmente en el lado izquierdo de la misma.
No esperar hasta que los problemas sean explicados en clase, ya que no aprenderá a resolverlos por cuenta propia.
Preguntar cuando un tema en particular no haya quedado claro. En el estudio del Álgebra Lineal cada idea abstracta tiene como base un compendio de conceptos desarrollados previamente.
Hacer uso de los recursos tecnológicos que proporciona la presente guía. En el lado izquierdo de la misma podrá encontrar links de descarga de software para trabajar en Álgebra Lineal, así como la utilización del mismo en el desarrollo de ejercicios propuestos.
Hacer uso de los recursos pedagógicos que proporciona la presente guía. Al término d e un tema de estudio se presentan ejercicios complementarios para su resolución, que se definen como “actividades”. Al término de una unidad de estudio se presenta una
miscelánea de ejercicios, la cual sirve de repaso general. Contando que el lector seguirá las recomendaciones antes citadas, y seguro de que el esfuerzo por aprender Álgebra Lineal se verá recompensado en un futuro, específicamente en el proceso enseñanza-aprendizaje; simplemente me queda desear mucho éxito en el estudio de esta maravillosa rama de la Matemática.
Freddy Arana
Realizar operaciones matriciales. Calcular determinantes de matrices y comprender la relación entre determinante e inversa de una matriz.
Realizar operaciones con matrices previa la determinación de si son posibles o no.
Resolver problemas utilizando la igualdad de matrices.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales con solución única, infinitas soluciones o sin solución mediante el método de Gauss-Jordan.
Calcular determinantes de matrices cuadradas (de orden menor o igual a tres) por medio de diferentes métodos: por menores, la regla de Sarrus, las propiedades de los determinantes.
Calcular determinantes utilizando TIC.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales de orden 2 o 3 utilizando la regla de Cramer.
Determinar la existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales utilizando el determinante de la matriz de coeficientes.
Opera con matrices de orden menor o igual que 3. Para matrices de órdenes mayores, utiliza la tecnología.
Fuente: http ://educ acion.go b.ec//LINEAMIENTOS_CURRICULARES_MA TEMATICAS_2BGU . p d f
Realizar operaciones con matrices previa la determinación de si son posibles o no.
Una matriz es un arreglo rectangular de números reales (o complejos) dispuestos u ordenados en
m- fi
y
del
n-
modo:
+
Filas de la matriz
Columnas de la matriz A las matrices se las puede representar con letras mayúsculas de nuestro alfabeto y utilizando paréntesis o corchetes, pero barras, debido a que las barras representan a un Los números reales (R), son todo número que se puede representar tanto en forma gráfica como en una recta numérica. Se pueden realizar varias operaciones con ellos en toda rama de la Matemática.
.
En forma abreviada, se puede expresar como: P=(p ij). Cada elemento (número) que pertenece a la matriz lleva dos subíndices, que indican la posición que tiene el elemento en la matriz; donde “i” indica la fila en la que se encuentra el elemento y “j” indica la
columna. Por ejemplo, en la matriz P, el elemento p 21 se encuentra en la fila 2 y columna 1. Ejemplos:
√ * + Sean las matrices
Opera con matrices de orden menor o igual que 3. Para matrices de órdenes mayores, utiliza la tecnología.
, por lo que su tamaño es
2x2. ¿Qué elemento es a)
8
? b) -1
c) 3
d) 2
Si identificamos correctamente la posición del elemento a 21 de En Segundo Año de BGU, se contempla el estudio de los siguientes temas referentes al bloque: Ecuación Vectorial de la Recta, Matrices y Determinantes, Transformaciones Geométricas y La Ecuación de la Circunferencia.
acuerdo a la fila y columna, se puede notar que es el número 3, opción c. ¿Qué elemento es a)
?
8
b) -1
c) 3
d) 2
Si identificamos correctamente la posición del elemento a 22 de acuerdo a la fila y columna, se puede notar que es el número 8, opción a. , por lo que su tamaño es 2x3.
A toda clase de número sea este real o complejo, se los puede organizar, por medio de una matriz.
¿Qué elemento es a)
?
2
b) 99
c) 0
d) 4
, por lo que su tamaño es 3x3. ¿Qué elemento es a)
?
3
b) 2
c) 1
d) 0
Si analizamos detenidamente cada una de las matrices, los elementos de cada una de ellas y el “tamaño” de las mismas;
podremos fijarnos que, en general, si una matriz tiene , se dirá que su tamaño o dimensión es
m- fi
y n-
, donde en
primer lugar siempre irá el número de filas y en segundo lugar el Para trabajar con matrices y determinantes, podemos utilizar el Software “ Para descargarlo ingresa a:
número de columnas.
El orden de una matriz es una caracteristica fundamental, ya que permite identificar el número de filas y de columnas que tiene una matriz. Es decir, que es la identificación de su tamaño o dimensión de la forma
.
Generalmente debe ir representado en la parte inferior derecha de Una matriz es un arreglo rectangular de números reales (o complejos) dispuestos u ordenados en -filas y -columnas
El orden de una matriz es una característica fundamental que identifica el tamaño o dimensión de la misma, de la forma .
la matriz, como se indica a continuación:
+ a)
Una matriz es nula cuando todos los elementos son iguales a cero.
Por ejemplo, la matriz C es una matriz nula de orden 2x3. b)
Se llama matriz fila a la que sólo tiene una fila, donde su dimensión (orden) es 1xn.
Por ejemplo, la matriz K es una matriz fila de orden 1x3. c)
Se llama matriz columna a la que sólo tiene una columna, donde su dimensión (orden) es mx1.
√ +
Por ejemplo, la matriz S es una matriz columna de orden 3x1. d)
Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas y columnas. Su orden es nxn, o simplemente de orden n.
+
El orden de una matriz es una característica fundamental que identifica el tamaño o dimensión de la misma, de la forma .
La matriz A es cuadrada de orden 2 (2 filas y 2 columnas). La matriz B es cuadrada de orden 3 (3 filas y 3 columnas). En las matrices cuadradas se puede identificar a un elemento importante, a la “diagonal principal” la cual es
formada por los elementos a 11, a22, a33,….., ann.
Existen algunas matrices, y cada una se diferencia por los elementos que las conforman.
En la matriz A, la diagonal principal está compuesta por los elementos: 1 y 5. En la matriz B, la diagonal principal está compuesta por los elementos: -5, 0 y 4. e)
Una matriz es triangular superior si los elementos que están debajo de la diagonal principal son nulos (ceros). Se dice que es triangular superior porque tiene “más peso” arriba que
abajo con respecto a la diagonal principal.
f)
Una matriz es triangular inferior si los elementos que están encima de la diagonal principal son nulos (ceros). Se dice que es triangular inferior porque tiene “más peso” abajo que
arriba con respecto a la diagonal principal.
Para introducir una matriz: Abrir el software. Dar clic en “Álgebra Lineal”. en “Insert Clic Matrix”. Introducir el número de filas y de columnas de la matriz. (Por ejemplo: Filas 2 y Columnas 2).
g)
Una matriz es diagonal si es a la vez triangular superior e inferior, es decir, sólo tiene elementos en la diagonal principal.
La matriz G es diagonal porque solo tiene elementos en la diagonal principal y son: 1, -45, 3 y 0. h)
Una matriz es escalar si es diagonal, donde todos los elementos son iguales, distintos de cero y de 1.
Clic en “Aceptar”
+
La matriz R es escalar porque tiene el mismo elemento en la diagonal principal y es el 2. i)
Introducir los valores de la matriz y clic en “Intro”:
Una matriz es identidad (o matriz unidad) si es diagonal, es decir, sólo tiene elementos en la diagonal principal. Dichos elementos son iguales a 1. Es la única matriz que tiene un nombre ya establecido y se suele representar por I n, donde n es el orden o tamaño de la matriz.
Para introducir una matriz transpuesta: Abrir el software. Dar clic en “Álgebra Lineal”. Clic en “transpose”. en “Insert Clic Matrix”. Introducir el número de filas y de columnas de la matriz. (Por ejemplo: Filas 2 y Columnas 3).
j)
Una matriz es transpuesta cuando cambiamos filas por columnas a una matriz. Es decir, cambiamos de escritura a las filas por columnas y viceversa. Se representa por Dada la matriz A
Su matriz transpuesta es
+
Las matrices suelen ser utilizadas en varios campos, donde se desee clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables. Si un importador de globos los importa de dos colores, sean verde (V) y azul (A). Todos los globos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se vende al precio (en dólares) indicado por la siguiente tabla: 0,04 0,03
Clic en “Aceptar”
0,08 0,05
0,12 0,08
Si en un año se venden el siguiente número de paquetes: 700000 50000 600000 40000 500000 500000
Introducir los valores de la matriz y clic en “Intro”:
Se puede resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de orden (tamaño) respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B).
2 un.
5 un.
10 un.
V A
+ V
Una matriz se utiliza para representar en forma rectangular varios números reales o complejos en forma ordenada.
A
2 un. 5 un. 10 un.
A las matrices anteriores se les denominan matrices de información, y recogen los datos numéricos de un problema en cuestión. La matriz siguiente proporciona las dsiatancias entre las ciudades indicadas (en millas terrestres):
+ Londres Madrid New York
El estudio de matrices permite resolver problemas en áreas de estudio como la Física, Biología, Ingeniería, Estadística, Economía, Finanzas y Psicología; cuando se desea representar en forma ordenada cierta información.
Londres Madrid New York
la siguiente información y como una matriz. La tabla siguiente, en donde se lista el factor de congelación del viento, muestra cómo una combinación de la temperatura y la velocidad del viento hace que un cuerpo se sienta más frío que la temperatura real. Cuando la temperatura es de 10 0F y el viento es de 15 millas por hora, el cuerpo pierde la misma cantidad de calor que la que perdería si la temperatura fuera de -18 0F sin viento.
Cuando vayas a utilizar el software , ten cuidado al introducir correctamente los valores de la matriz. Debes introducir los elementos de la primera fila, luego de la segunda fila y así sucesivamente.
12 -3 -11 -17
7 -9 -18 -24
0 -15 -25 -31
-5 -22 -31 -39
-10 -27 -38 -46
-15 -34 -45 -53
Para sumar dos matrices: Abrir el software. Dar clic en “Álgebra Lineal”. en “Insert Clic Matrix”. Introducir el número de filas y de columnas de la matriz. (Por ejemplo: Filas 2 y Columnas 2).
En el estudio de matrices, se pueden realizar varias operaciones. En algunas de ellas es importante el “orden de una matriz” ya que, el
orden será primordial para identificar si una operación se la puede realizar o no. Las operaciones básicas con matrices son: a) SUMA Y RESTA b) PRODUCTO POR ESCALAR c) PRODUCTO DE MATRICES a)
: Dadas dos matrices A y B, se puede realizar la suma o diferencia (resta) de acuerdo a las siguientes reglas:
Las dos matrices
.
Se suman o restan los elementos que se encuentren en la misma posición, lo que da lugar a otra matriz del mismo orden.
Clic en “Aceptar”. Repetir el paso anterior para introducir otra matriz y dar clic en “Aceptar”:
Dadas las matrices
y
El resultado de la
Introducir los valores de las matrices y clic en “Intro”:
El resultado de la
es:
es:
Para restar dos matrices: Abrir el software. Dar clic en “Álgebra Lineal”. en “Insert Clic Matrix”. Introducir el número de filas y de columnas de la matriz. (Por ejemplo: Filas 3 y Columnas 3).
Dadas las siguientes matrices,
el resultado
de la suma y la diferencia.
+ + SUMA
DIFERENCIA
Las exportaciones, en millones de dólares, de 3 países A, B y C a otros 3 X, Y y Z en los años 2000 y 2001 vienen dadas por las matrices:
Clic en “Aceptar”. Repetir el paso anterior para introducir otra matriz y dar clic en “Aceptar”:
Introducir los valores de las matrices y clic en “Intro”:
en forma de matriz el total de exportaciones para el conjunto de los dos años.
¿Cuántos millones ha exportado el país B al Z en total?
el incremento de las exportaciones del año 2000 al 2001 con los datos del ejemplo anterior.
Para multiplicar un número por una matriz: Abrir el software. Dar clic en “Álgebra Lineal”. En entrada de datos, digitar un número cualquiera. Clic en el ícono de producto. en “Insert Clic Matrix”. Introducir el número de filas y de columnas de la matriz. (Por ejemplo: Filas 3 y Columnas 3).
x, y, z en la suma:
+ + + a, b, c para que se cumpla la igualdad:
Dada una matriz A y un número real k, el producto k.A se realiza multiplicando todos los elementos de la matriz A por k, resultando otra matriz de igual orden.
Clic en “Aceptar”:
Introducir los valores de la matriz y clic en “Intro”:
Dada la matriz A y k=-5
El producto por escalar entre k y A (k.A) es:
Dadas las siguientes matrices, Para sumar y/o restar dos matrices, , de lo contrario no se pueden sumar y/o restar.
una matriz
que verifique la ecuación: 2X – 4A = B
y
las matrices y sabiendo que:
Dos matrices A y B se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condición:
Para multiplicar dos matrices debe cumplirse que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.
Es decir que, si no se cumple esta condición, el producto A.B
, de modo que esta es una
condición que se debe comprobar antes de efectuar el producto de matrices.
Para multiplicar 2 matrices: Abrir el software. Dar clic en “Álgebra Lineal”. en “Insert Clic Matrix”. Introducir el número de filas y de columnas de la matriz. (Matriz 1: Filas 2 y Columnas 4 y matriz 2: Filas 4 y Columnas 3)
Dadas las matrices
y
Las matrices A y B
, debido a que
el número de columnas de A es 3 y el número de filas de B es 2: 3≠2
+ +
Dadas las matrices
Las matrices L y M
, debido a que el
número de columnas de L es 3 y el número de filas de M también es 3: 3=3 Si se comprueba que el producto A.B se puede realizar, si A
Clic en “Aceptar”. Repetir el paso anterior para introducir otra matriz y dar clic en “Aceptar”:
es una matriz de orden mxn y B es una matriz de orden nxp (donde n es el número de columnas de la matriz A y el número de filas de la matriz B), entonces el producto A.B da como resultado una matriz C de orden mxp siguiendo el siguiente proceso:
Introducir los valores de las matrices y clic en “Intro”:
“El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de “La vida no es fácil para ninguno de nosotros. Debemos tener perseverancia y por encima de todo confianza en uno mismo, debemos creer que somos dotados para algo y que ese algo puede ser alcanzado”..…
la matriz C=A.B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de la matriz A por los elementos de la columna j de la matriz B y sumando sus resultados”.
Dadas las siguientes matrices, verificar si se pueden multiplicar. De ser afirmativa la respuesta, realizar dicha operación:
y
Primero hay que comprobar que se puede efectuar el producto A.B. Analizando el orden de cada matriz, se Hay que dejar claro desde el principio que no todas las matrices pueden multiplicarse.
puede determinar que, el número de columnas de la matriz A es 4 y el número de filas de la matriz B también es 4. El resultado, según lo explicado anteriormente, será una matriz de orden 2x3.
Para trabajar con matrices y determinantes, podemos utilizar el Software Para descargarlo ingresa a:
Para completar los elementos de la matriz producto,
seguimos la regla descrita anteriormente: anteriormente: El elemento de la fila 1 y columna 1 de A.B proviene de multiplicar elemento a elemento (respetando la posición
de cada elemento) la fila 1 de la matriz A por la columna 1 James Joseph Sylvester (3 de septiembre de 1814, Londres – 15 15 de marzo de 1897, Oxford) fue un matemático inglés. Profesor en las universidades de Londres, Baltimore y Oxford hizo importantes contribuciones en el campo de las matrices (acuñó los términos matriz, invariante, discriminante y totient, entre otros), teoría de las invariantes algebraicas (en colaboración con su colega A. Cayley), determinantes, teoría de números, particiones y combinatoria. Utilizando determinantes descubrió el método dialítico para eliminar una incógnita entre dos ecuaciones polinomiales y creó un importante vocabulario matemático. Fue además fundador del American Journal of Mathematics.
de la matriz B y sumar los resultados, es decir:
( 3).(0) + (2).(1) + (1).(2) + (4).(3) = 0 + 2 + 2 + 12 = El elemento de la fila 1 y columna 2 de A.B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de la matriz A por la columna 2 de la matriz B y sumar los resultados, es decir: (-3).(-4) + (2).(-2) + (1).(0) + (4).(2) = 12 - 4 + 0 + 8 = El elemento de la fila 1 y columna 3 de A.B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de la matriz A por la columna 3 de la matriz B y sumar los resultados, es decir:
( 3).(1) + (2).(1) + (1).(2) + (4).(1) = 3 + 2 + 2 + 4 = Si ahora repetimos el mismo procedimiento con la segunda fila de la matriz A con cada una de las columnas de la matriz B, se obtiene como respuesta final:
Dadas las siguientes matrices, verificar si se pueden multiplicar. De ser afirmativa la respuesta, realizar dicha operación:
+
Analizando el orden de cada matriz, se puede determinar que, el número de columnas de la matriz H es 3 y el número de filas de la matriz J también es 3. El resultado,
según lo explicado anteriormente, será una matriz de orden 2x2. Para multiplicar matrices: Abrir el software.
2
En Matrix 1: digitar los elementos de la matriz 1.
Entonces:
*
Dadas las siguientes matrices, calcule la entrada (3,2) de G.P
En Matrix 2: digitar los elementos de la matriz 2.
+ +
Sea G.P=F, la entrada (3,2) de G.P es f 32, es decir, que se obtiene al multiplicar la fila 3 de la matriz G por la columna 2 de la matriz P, quedando:
+ Para las matrices A y B,
y B.A. ¿Son iguales?
Clic en “Multiply”
Clic en “Solve”
si es posible A.B
Para las matrices A y B,
si es posible A.B
y B.A. ¿Son iguales?
+
todos los productos posibles entre las
+ +
matrices:
+ +
Además
A2 y A3.
En la Matemática, en muchos de los temas estudiados hasta la actualidad, se han determinado tanto números como operaciones. Si te piden , te están pidiendo que multipliques la matriz A por sí misma:
En el estudio de la Matemática se ha determinado que, un número puede tener un opuesto o “inverso”; caso similar sucede con las
operaciones básicas como la suma, donde su operación inversa es la resta, etc. Si una matriz es un arreglo rectangular de números, dicho arreglo puede tener también “un arreglo rectangular de números inverso” .
Hemos realizado con matrices varias operaciones, específicamente la multiplicación matricial y hemos visto algunas de las propiedades de esta operación. Si te piden , te están pidiendo que multipliques la matriz A por sí misma tres veces:
Hay que recordar que, en primer lugar, no siempre es posible efectuar la multiplicación de dos matrices; y en segundo lugar, que aunque sea posible realizar esta multiplicación, en general no es conmutativo, es decir: En el caso particular donde se trabaje con matrices cuadradas del mismo orden A y B, se puede notar que se puede efectuar los productos A.B y B.A; que darán como resultado otra matriz del mismo orden en ambos casos, aunque, como se ha dicho anteriormente, las matrices resultantes serán, en general distintas. Además, hay que enfatizar que el elemento neutro del producto
Si dos matrices se pueden multiplicar, en general la multiplicación no es conmutativa, es decir:
de matrices es la matriz identidad I n. En el estudio de matrices, podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n cualquiera, existe su matriz inversa X para el producto de matrices tal que:
es decir, el producto de la matriz A por su “inversa” produce el Para hallar la inversa de una matriz de orden 3: Abrir el software.
En Matrix 1: digitar los elementos de la matriz 1.
elemento neutro matricial, la matriz identidad I n. Pero, en matrices, existen algunas diferencias con respecto al caso de los números reales:
No se puede despejar la matriz X de la forma: X=I n /A, debido a que no se ha definido la división de matrices.
No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz inversa.
Por lo que, la definición de matriz inversa es la siguiente: Dada una matriz cuadrada A de orden n, se dice que la matriz A es invertible (que posee inversa), si existe otra matriz del mismo
Clic en “Inverse of a matrix”
Clic en “Solve”
orden, denominada matriz inversa de A y representada por
y
que cumple la siguiente propiedad:
Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es única (es decir que sólo hay una). Para determinar la matriz inversa se pueden utilizar 3 procesos: a) MÉTODO DE PRODUCTO DE MATRICES b) MÉTODO DIRECTO
Dividir cada elemento de “Answer” para el valor del determinante.
c) MÉTODO DE GAUSS-JORDAN a)
:
Para
determinar la matriz inversa por este método, el objetivo es plantear un sistema de ecuaciones. Debido a que se debe cumplir la propiedad: forma:
, se procede de la siguiente
*
Sea la matriz Un sistema de ecuaciones con incógnitas tiene cuando se obtienen valores únicos para todas las incógnitas, donde las mismas satisfacen a todas las ecuaciones del sistema.
y que
se tiene que cumplir que: A.A -1 = I2
Es decir que, al resolver el sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, aunque en realidad hay dos sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas cada uno, un sistema con x y z como incógnitas y otro sistema con y y t como incógnitas. Resolviendo el sistema (o los sistemas) se obtiene que Una matriz cuadrada A de orden n, se dice que la matriz A es invertible (que posee inversa), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A y representada por y que cumple la siguiente propiedad:
por lo que, la matriz inversa es:
*
Se puede comprobar que se cumple que:
, por lo
que la matriz A es invertible, tiene inversa:
*
Dada la matriz A, determinar si tiene la matriz inversa. Para hallar la inversa de una matriz por el método de producto de matrices, sólo se puede utilizar para
Siguiendo el mismo proceso descrito anteriormente, se tiene lo siguiente:
Para hallar la inversa de una matriz de orden 2: Abrir el software. Dar clic en “Álgebra Lineal”. Clic en “Inverse”. en “Insert Clic Matrix”. Introducir el número de filas y de columnas de la matriz. (Filas 2 y Columnas 2)
*
Al resolver el sistema de ecuaciones, de la ecuación 2x + 2z = 0 se obtiene x= – z, si se sustituye en la primera ecuación se obtiene – z + z = 1, es decir 0=1, lo cual es imposible. Por lo que, el sistema no tiene solución. Se concluye que la matriz A no es invertible,
En las siguientes matrices, matriz inversa:
Clic en “Aceptar”:
Introducir los valores de la matriz y clic en “Intro”:
si tiene
Al aplicar el Método Directo, si en una matriz cuadrada de orden 2 el valor del determinante llegara a ser cero (nulo); la matriz .
b)
El método directo es un proceso más rápido para hallar la matriz inversa. Pero, hay que aclarar que, este método sólo puedo ser utilizado en ; ya que para matrices cuadradas de orden superior (de 3 en adelante) no se ha podido determinar un proceso más rápido para determinar la inversa de una matriz. Para determinar la matriz inversa de forma directa se realiza lo siguiente:
Hallar el valor del
de la matriz: det (A) = |A|=a.d – b.c de los elementos de la
e intercambiarlos
y conservan sus signos y se intercambian (o multiplicar por -1) a los
elementos de la
y cambian de
signos
Únicamente al hallar la inversa de una matriz, se cumple la propiedad conmutativa para el producto de matrices:
La matriz inversa de una matriz cuadrada de orden 2, queda definida de la siguiente forma:
Para hallar la inversa de una matriz de orden 3: Abrir el software. Dar clic en “Álgebra Lineal”. Clic en “Inverse”. en “Insert Clic Matrix”. Introducir el número de filas y de columnas de la matriz. (Filas 3 y Columnas 3)
Dada la matriz A, determinar si tiene matriz inversa.
Realizamos el proceso descrito anteriormente:
de la matriz:
det (A) = |A|=(1)(1) – (2)(-1) = |A|= 1 + 2 =
La matriz inversa de A, es decir
, queda definida
de la siguiente forma:
* *
Comprobación:
Se puede comprobar que se cumple que:
Clic en “Aceptar”:
Introducir los valores de la matriz y clic en “Intro”:
:
Dada la matriz B, determinar si tiene matriz inversa.
Realizamos el proceso descrito anteriormente:
de la matriz: det (B) = |B|=(1)(2) – (2)(1) = |B|= 2 – 2 =
Debido a que el valor del determinante de la matriz B es igual a cero, se concluye que la matriz B, .
En las siguientes matrices, Para determinar la inversa de una matriz por el método directo, sólo se puede aplicar dicho método en matrices cuadradas de orden 2.
si tiene
matriz inversa:
El método de GaussJordan es un proceso donde se realizan “operaciones elementales en las filas de una matriz”. Consiste en realizar
transformaciones elementales en las filas de la matriz para llegar a obtener una matriz identidad del mismo orden. Realizando estas transformaciones con la matriz identidad se llegará a determinar la matriz A-1. OPERACIONES ELEMENTALES (TRANSFORMACIONES) EN LAS FILAS DE UNA MATRIZ:
Intercambiar dos filas entre sí: F 1
Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero.
Sumar o restar filas.
F2
A continuación, veamos cómo se realiza el método de Gauss-Jordan al trabajar con matrices. Dada la siguiente matriz
+ ( )
se procede a:
Escribir la “matriz aumentada”, considerando la
matriz formada por A y la matriz identidad correspondiente (dependiendo del orden).
|
Se transforma en matriz triangular superior (haciendo ceros por debajo de la diagonal principal) utilizando operaciones elementales en las filas de la matriz A. Para realizar esto es hacer cero los elementos por debajo de la diagonal en la primera columna utilizando la fila 1. Luego, hacer cero los elementos por debajo de la diagonal en la segunda columna utilizando
la
fila
2,
y
así
sucesivamente,
dependiendo del orden de la matriz. En la matriz escrita anteriormente, lo más conveniente sería sumar la fila 2 con la fila 1 y se obtiene:
|
Ahora, se transforma en matriz triangular inferior. Se procede de la misma forma que el paso anterior, haciendo cero los elementos por encima de la diagonal en la última columna utilizando la última
fila. Luego, hacer cero los elementos por encima de la diagonal en la penúltima columna utilizando la penúltima fila, y así sucesivamente. En la matriz escrita anteriormente, lo más conveniente sería dividir la fila 2 para 3 y se obtiene:
*
Finalmente, la siguiente operación sería realizar la operación F1 - 2F2 y se obtiene:
* *
Una vez que se tiene la matriz identidad en la parte izquierda de la matriz aumentada, se concluye que la parte derecha de la misma es la decir:
, es
| *
Cuanto mayor sea el orden de la matriz, es preferible realizar este método para hallar la inversa de una matriz, debido a que ya se determinó que, el método directo y el método de producto de Únicamente en matrices de orden 2, se pueden aplicar los 3 métodos para hallar la inversa de una matriz.
matrices únicamente se utilizan para matrices de orden 2 (2 filas y 2 columnas).
Dada la matriz B, determinar si tiene matriz inversa.
+ | + + + + + + ( )
Siguiendo los pasos anteriores, se procedería de la siguiente forma:
El concepto de matrices es muy utilizado en la práctica diaria, ya que permite organizar la información de una lista de precios, finanzas, vuelos aéreos, etc.; por medio de tablas, gráficos, etc. Dicha información estará distribuida en “filas” y “columnas” , característica elemental de matrices.
También se puede expresar, sacando factor común ¼:
+ |
Dada la matriz C, determinar si tiene matriz inversa.
Igual que el ejercicio anterior:
Debido a que aparece una fila de ceros, se concluye que la matriz C
.
En las siguientes matrices,
si tiene
matriz inversa por el método de Gauss-Jordan: Para hallar la inversa de una matriz de orden 2, se pueden aplicar los 3 métodos explicados.
Además, debe verificarse que:
,
+
Intercambiar dos filas entre sí: Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero. Sumar o restar filas.
Dada la matriz diagonal D,
su matriz
inversa. ¿Cómo se podría calcular de forma rápida la inversa de una matriz diagonal cualquiera?
+
Resolver sistemas de ecuaciones lineales con solución única, infinitas soluciones o sin solución mediante el método de Gauss-Jordan.
Si al realizar el método de Gauss-Jordan en algún momento alguna fila consta solo de ceros; una matriz
La matriz aumentada M de un sistema de
ecuaciones con
,
incógnitas es la siguiente:
Cada fila de la matriz M corresponde a una ecuación del sistema de ecuaciones y cada columna a los coeficientes de una incógnita, excepto la última, que corresponde a las constantes del sistema. Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz aumentada, específicamente, reduciéndola a forma escalonada mediante el método de Gauss-Jordan. Este proceso se ilustra en los siguientes ejemplos. Opera con matrices de orden menor o igual que 3. Para matrices de órdenes mayores, utiliza la tecnología.
Sea el sistema,
su matriz aumentada es la siguiente:
Ahora resolvemos por el método de Gauss-Jordan, sabiendo que Un sistema de ecuaciones con incógnitas se puede resolver por varios métodos: Método de Reducción Método de Sustitución Método de Igualación Método Gráfico Método de Gauss de Gauss Método Jordan Regla de Cramer
la primera columna corresponde a los coeficientes de la
, la
segunda a los de la , la tercera a los de la y la cuarta a los términos independientes:
De este modo, el sistema tiene
Sea el sistema,
Al resolver un sistema de ecuaciones con incógnitas por cualquier método, se pueden presentar 3 posibilidades: Solución única Infinitas soluciones Ninguna solución
( )
su matriz aumentada es la siguiente:
Ahora resolvemos por el método de Gauss-Jordan sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la , la segunda a los de la , la tercera a los de la , la cuarta a los de la y la quinta a los términos independientes:
Si dos (o más ecuaciones) tienen un mismo punto en común (se intersecan); el sistema de ecuaciones tiene .
Si dos (o más ecuaciones) coinciden, es decir que tienen los mismos puntos en común; el sistema de ecuaciones tiene .
( ) ( ) ( )
Como se puede evidenciar, se ha obtenido una fila de ceros, la cual se puede eliminar. Si se representa el sistema de ecuaciones correspondiente a dicha matriz, nos queda:
Si se despeja en cada ecuación la incógnita , y se obtiene:
Cuando sucede esto, se dice que el sistema de ecuaciones tiene Si dos (o más ecuaciones) no tienen puntos en común (no se intersecan); el sistema de ecuaciones .
. Si damos un valor concreto a la incógnita “t”, por ejemplo t=0;
se obtienen valores para , y
De este modo, el sistema tiene como Para resolver un sistema de 3 ecuaciones: Abrir el software. clic en Dar “Herramientas”.
Sea el sistema,
su matriz aumentada es la siguiente:
Ahora resolvemos por el método de Gauss-Jordan sabiendo que la
Clic en “Resolución de ecuaciones”. Escoger el sistema a resolver (por ejemplo, un sistema de 3 ecuaciones). En los espacios de ecuación (1, 2 y 3), digitar las ecuaciones a resolver.
primera columna corresponde a los coeficientes de la , la segunda a los de la , la tercera a los de la , la cuarta a los de la y la quinta a los términos independientes:
Como se puede evidenciar, se ha obtenido una INCONSISTENCIA,
Clic en “Resolver”:
debido a que si se representa el sistema de ecuaciones correspondiente a dicha matriz, nos queda:
En la última ecuación, no existen valores para las variables y . En consecuencia, el sistema de ecuaciones
.
la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss-Jordan:
Un área de aplicación del concepto de matrices son las gráficas por computadora. En un sistema de coordenadas, un objeto puede representarse por medio de una matriz que contenga las coordenadas de cada vértice o esquina. Por ejemplo se podría configurar un esquema de conexión por puntos en el que el rayo que se muestra esté representado por la matriz de la derecha:
En los siguientes sistemas de ecuaciones, si tienen solución única, infinitas o ninguna por el método de Gauss-Jordan:
Al resolver un sistema de ecuaciones con incógnitas por el método de Gauss-Jordan, si se resuelve con éxito, es decir, se logra que en la parte izquierda de la matriz aumentada se llegue a una matriz identidad, el sistema de ecuaciones tiene
Al resolver un sistema de ecuaciones con incógnitas por el método de Gauss-Jordan, si se llega a determinar una fila solo de ceros, el sistema de ecuaciones tiene
Al resolver un sistema de ecuaciones con incógnitas por el método de Gauss-Jordan, si se llega a determinar una inconsistencia (0=n; n≠0), el sistema de ecuaciones
{
+ +
Sean
y
(a)¿Cuáles son los valores de a 12 y a23? (b)¿Cuáles son los valores de b 11 y b31? (c) ¿Cuáles son los valores de c 13 y c31? Si
determine a, b, c y d. Si
determine a, b, c y d.
En los ejercicios 4 y 5 sean,
+ + + y
De ser posible calcule: (a) AT y (AT)T (b) (C + E)T y CT + ET (c) (2C + 3E)T (d) D – DT (e) 2AT + B De ser posible calcule: (a) (2A)T (b) (A – B)T (c) (3BT – 2A)T (d) (3AT – 5BT)T (e) ( – A)T y – (A)T
+ + + + + Calcule A.B: (a)
y
(b)
y
(c)
y
(d)
y
En los ejercicios 7 y 8 sean,
y
De ser posible calcule: (a) A.B (b) B.A (c) C.B + D (d) A.B + D.F (e) B.A + F.D De ser posible calcule: (a) A.(B.D) (b) (A.B).D (c) A.(C + E) (d) A.C + A.E (e) (D + F).A
+ Sean
y
Calcule las siguientes entradas de A.B: (a) La entrada (1,2) (b) La entrada (2,3) (c) La entrada (3,1) (d) La entrada (3,3)
Sean
y
Demuestre que A.B ≠ B.A.
Determine si es posible, la inversa de las matrices dadas: (a) (b) (c) (d)
(e)
(f)
(g)
+ +
Si Si
, determine A , determine C
Si
(a) Determine (b) Determine ( relacionan
. ¿Cómo se y ?
Determine todas las soluciones del sistema lineal dado en cada caso por el método de Gauss-Jordan: (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
{ {
DETERMINANTES Calcular determinantes de matrices cuadradas (de orden menor o igual a tres) por medio de diferentes métodos: por menores, la regla de Sarrus, las propiedades de los determinantes. Calcular determinantes utilizando TIC.
Es una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Si A es una matriz cuadrada, entonces el determinante es
El determinante se expresa de la siguiente forma: det(A) o |A|. No se pueden utilizar corchetes o paréntesis, debido a que es una escritura para definir a una matriz.
Dependiendo
el
orden
de
una
matriz,
existen
varios
determinantes. Los más elementales son: a) DETERMINANTE DE ORDEN 1 b) DETERMINANTE DE ORDEN 2 c) DETERMINANTE DE ORDEN 3 d) DETERMINANTE DE ORDEN SUPERIOR
Si A es una matriz cuadrada de orden 1: determinante de A se define como:
, entonces el
.
Es decir que, para una matriz de una entrada (a 11), el número a11 será el determinante de dicha matriz. Opera con matrices de orden menor o igual que 3. Para matrices de órdenes mayores, utiliza la tecnología.
Dada la matriz A=(6); entonces: det(A)=|A|=6
Si en una matriz de orden 2x2 se define el determinante de la matriz A, ésta se expresa como det(A) o también como |A|, como Se utilizan paréntesis y/o corchetes y/o Se utilizan barras
el número:
| | | | ||
Dada la matriz
Su determinante se define de la siguiente forma:
= 4 + 3 =7
Dada la matriz
Su determinante se define de la siguiente forma:
= 10 + 6 = 4
el valor del determinante de las
siguientes matrices cuadradas:
En una matriz de orden 3x3 se define el determinante de la matriz A, ésta se expresa como det(A) o también como |A|, mediante 2 Dada la matriz A=(a11), entonces el determinante de A se define como: |A|=a11. En la matriz entonces:
formas: a) REGLA DE SARRUS b) MÉTODO POR MENORES
A=(6);
Cuando aumenta el orden de una matriz A, es más complicado hallar el valor del determinante directamente. Para una matriz de orden 3, la regla de Sarrus facilita el cálculo de dichos determinantes. Lo que se realiza es aumentar 2 filas o 2 columnas, para que se puedan multiplicar en forma de diagonal los elementos Cuando se multipliquen los elementos, si se lo realiza de izquierda a En una matriz de orden 2x2 se define el determinante de la matriz A, ésta se expresa como det(A) o también como |A|, como el número:
| | | |
Dada la matriz
su determinante se define de la siguiente forma:
= 4 + 3 =7
derecha, los resultados deben conservar el signo y si se lo realiza de derecha a izquierda, los resultados deben cambiar de signo (es decir, multiplicar por -1). Dada la matriz
+
, el determinante
de la matriz A se calcula mediante la diferencia de dos expresiones de la siguiente forma: Los sumandos positivos se obtienen al multiplicar:
Los elementos de la diagonal principal: a 11, a22 y a33.
Los elementos: a12, a23 y a31.
Los elementos: a21, a32 y a13.
Es decir:
| |
ó
Para hallar el valor del determinante de una matriz de orden 2: Abrir el software. Dar clic en “Álgebra Lineal”. Clic en “determinant”. en “Insert Clic Matrix”. Introducir el número de filas y de columnas de la matriz. (Filas 2 y Columnas 2)
| | Los sumandos negativos se obtienen al multiplicar:
Los elementos de diagonal secundaria: a13, a22 y a31.
Los elementos: a11, a23 y a32.
Los elementos: a12, a21 y a33. Es decir:
| | | |
ó
Entonces, el determinante de la matriz A será igual a:
Clic en “Aceptar”:
Dada la matriz
Introducir los valores de la matriz y clic en “Intro”:
+
Aplicando la Regla de Sarrus, aumentando columnas se tiene:
| | ] [
= – 28 – 36 – 105 – 48 =
Para hallar el valor del determinante de una matriz de orden 3: Abrir el software. Dar clic en “Álgebra Lineal”. Clic en “determinant”. en “Insert Clic Matrix”. Introducir el número de filas y de columnas de la matriz. (Filas 3 y Columnas 3)
+ | | ] [
Dada la matriz
Aplicando la Regla de Sarrus, aumentando filas se tiene:
= – 28 – 36 – 105 – 48 =
Para definir determinantes de matrices de orden mayor a 2, es necesario definir el
.
Dada una matriz cuadrada A de orden n, se define el menor complementario de un elemento de A, a ij, como el determinante de la matriz (submatriz) que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j en la que se encuentre dicho elemento aij. Se suele representar como
Clic en “Aceptar”:
.
El cofactor o adjunto Aij de aij se define como:
es decir, es el menor complementario correspondiente
acompañado de un signo (+) o ( ) dependiendo de la fila
Introducir los valores de la matriz y clic en “Intro”:
y la columna en la que se encuentre el elemento en
cuestión:
En general, puede determinarse si el signo del menor complementario y del adjunto o cofactor coinciden o no utilizando una sencilla regla gráfica. Para matrices de orden 3 y de orden 4 se puede determinar los signos de la siguiente forma:
+
Dada la matriz
+
su determinante se define de la siguiente forma:
donde el (+) significa que el adjunto o cofactor coincide
con el menor complementario y el ( ) indica que tienen signo contrario.
Luego de haber hallado los adjuntos o cofactores, se procede a definir el valor del determinante de acuerdo al siguiente postulado: “Dada una matriz cuadrada A de tamaño n, se define su
determinante como la suma del producto de los elementos de una fila (o columna) cualquiera de la matriz elegida, por sus correspondientes adjuntos o cofactores”.
+
Dada la matriz
su determinante se define de la siguiente forma:
Dada la matriz
+
los menores complementarios de cada uno de los elementos de la primera fila son:
–
Menor de 2:
=(7)(2) (0)( 3)=14 0=
Menor de 4: Menor de 5:
– – – –
=(6)(2) (3)( 3)=12+9=
=(6)(0) (3)(7)=0 21=
Ahora definidos los menores, se procede a definir los adjuntos o cofactores, de la siguiente forma:
– – – – – – – – – – – – + Adjunto de 2: A11=( 1)1+1.M11=(1)(14)=
Para hallar el valor del determinante de una matriz de orden 3: Abrir el software.
En Matrix 1: digitar los elementos de la matriz.
Adjunto de 4: A12=( 1)1+2.M12=( 1)(21)=
Adjunto de 5: A13=( 1)1+3.M13=(1)( 21)=
Luego, el determinante se define de la siguiente forma: ( 2)( )+(4)(
)+(5)(
)=
Dada la matriz
aplicando la definición, si se elige la columna 2 queda:
=4.[ (12+9)]+ 7.( 4 15)+ 0.[ (6 30)] = 84 133+0=
Clic en “Solve”
el valor del determinante de las siguientes matrices cuadradas por la Regla de Sarrus y por menores:
+
Para poder definir determinantes de matrices de orden mayor a 2, es necesario definir el “menor complementario” y los “adjuntos” o “cofactores”.
+
El cofactor o adjunto A ij de aij se define como: es decir, es el menor complementario correspondiente acompañado de un signo (+) o ( ) dependiendo de la fila y la columna en la que se encuentre el elemento en cuestión.
Cuando el orden de una matriz aumenta con respecto a matrices de orden 2 y 3, es decir, de orden 4 en adelante; se define el determinante de la matriz A, éste se expresa como det(A) o también como |A|, más conocido como “determinante de orden superior”.
Para matrices de orden 4 en adelante, la única forma de definir el valor del determinante es trabajando por menores, debido a que es la única forma de ir simplificando los cálculos para que, se pueda trabajar como si fueran determinantes de orden 3 y 2.
+ + + +
Dada la matriz
Para matrices de orden 3, los signos de los adjuntos o cofactores se define de la siguiente forma:
aplicando la definición de determinante por menores, si se elige la fila 1 queda:
Ahora, se tienen 4 determinantes de orden 3, donde se puede trabajar sin problemas por cualquiera de los 2 métodos antes estudiados (regla de Sarrus y por menores). Si aplicamos la regla de Sarrus, aumentando dos filas en cada uno de los determinantes, se tiene lo siguiente:
Para matrices de orden 4, los signos de los adjuntos o cofactores se define de la siguiente forma:
( ) ( )
Evaluando cada uno de los determinantes, considerando los signos de los adjuntos o cofactores y reduciendo correctamente, se tiene lo siguiente:
= 1.(0+48 14 3+0+0)+3.[ (0 32 70 15+32+0)] + ( 2).[(0 4+0 30+4+0)]+4.[ (96 28+0 210 6+0)] = 31 + 255 + 60 + 592 =
Para hallar el valor del determinante de una matriz de orden 4: Abrir el software. Dar clic en “Álgebra Lineal”. Clic en “determinant”. en “Insert Clic Matrix”. Introducir el número de filas y de columnas de la matriz. (Filas 4 y Columnas 4)
el valor del determinante de las siguientes matrices cuadradas por menores:
F
Q
Clic en “Aceptar”:
Introducir los valores de la matriz y clic en “Intro”:
Calcular determinantes de matrices cuadradas (de orden menor o igual a tres) por medio de diferentes métodos: por menores, la regla de Sarrus, las propiedades de los determinantes.
Existen algunas propiedades importantes que tienen los determinantes, que, pueden simplificar muchos cálculos futuros, y son:
Si una matriz tiene una fila (o columna) de ceros, el determinante es nulo.
| | ] [
Si una matriz tiene dos filas (o columnas) iguales, el determinante es nulo.
| | [ ]
Si se intercambian dos filas (o columnas), su determinante cambia de signo.
Opera con matrices de orden menor o igual que 3. Para matrices de órdenes mayores, utiliza la tecnología.
| |
= ( 2)(1)(0)+(2)(7)(5)+(4)(6)(1) [(4)(1)(5)+(1)( 2)(7)+(2)(6)(0)] =70 + 24 20 +14= Intercambiando las filas 2 y 3 se tiene:
Para poder definir determinantes de matrices de orden 3, se puede definir de dos formas: por la regla de Sarrus y por menores.
| | [ ]
Si se multiplica todos los elementos de una fila (o columna) de un determinante por un número; el determinante queda multiplicado por dicho número.
Al utilizar el proceso por menores, se puede demostrar que el valor del determinante no depende de la fila o columna elegida para calcularlo.
Para matrices de orden 4 en adelante, la única forma de definir el valor del determinante es trabajando por menores, ya que es la única forma de ir simplificando los cálculos para que, se pueda trabajar como si fueran determinantes de orden 3 y 2.
| | [ ] | | [ ] Multiplicando por 2 la fila 3 se tiene:
Si a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta otra fila (o columna) multiplicada por un número, el determinante no cambia.
| | [ ]
Aplicando la operación
se tiene:
ō
K ōwa Seki o Takakazu Seki (Seki K ōwa o Seki Takakazu) (nacido 1637 – 5 de diciembre de 1708) fue un matemático japonés que creó una nueva notación algebraica y estableció las bases para el posterior desarrollo del wasan (matemática tradicional japonesa). Motivado por cómputos astronómicos, hizo un importante trabajo en el cálculo integral y ecuaciones indeterminadas de números enteros, que fueron desarrolladas por sus sucesores. Descubrió algunos de los teoremas y teorías que fueron descubiertos en el occidente. Por ejemplo, las resultante y los determinantes le son atribuidos a él. (Las resultantes fueron publicadas en 1683, pero su versión completa no se publicó hasta 1710). También hizo estudios sobre el cálculo de determinantes de orden superior coincidiendo en el tiempo con Leibniz al publicar sus resultados.
ō ō
| | [ ]
El determinante de una matriz es igual al de su matriz transpuesta:
| | [ ] | | [ ]
El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de dichas matrices por separado:
+ + + | | [ ]
Si obtenemos los determinantes de A y B por separado y luego multiplicamos las respuestas se tiene:
Si una matriz tiene una fila (o columna) de ceros, el determinante es nulo. Si una matriz tiene dos filas (o columnas) iguales, el determinante es nulo. Si se intercambian dos filas (o columnas), su determinante cambia de signo. Si se multiplica todos los elementos de una fila (o columna) de un determinante por un número; el determinante queda multiplicado por dicho número. Si a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta otra fila (o columna) multiplicada por un número, el determinante no cambia. El determinante de una matriz es igual al de su matriz transpuesta. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de dichas matrices por separado: |A.B|= |A|.|B| Si una matriz A tiene inversa, se verifica que:
| | [ ] || [ ]
Por lo tanto:
* | | | |
Si una matriz A tiene inversa, se verifica que:
y
Por lo tanto:
Resolver sistemas de ecuaciones lineales de orden 2 o 3 utilizando la regla de Cramer. Determinar la existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales utilizando el determinante de la matriz de coeficientes.
Es un método utilizado para resolver un sistema lineal de
-
ecuaciones con -incógnitas cuya matriz de coeficientes no sea nulo (es decir, no sea cero). La matriz aumentada M de un sistema de
ecuaciones con
,
incógnitas es la siguiente:
Cada fila de la matriz M corresponde a una ecuación del sistema de ecuaciones y cada columna a los coeficientes de una incógnita, excepto la última, que corresponde a las constantes del sistema. Para resolver un sistema de ecuaciones por la regla de Cramer Al resolver un sistema de ecuaciones con incógnitas por el método de Gauss-Jordan, se trabaja con
(trabajando con el concepto de determinantes), se debe escribir la matriz aumentada del sistema, donde la matriz sea cuadrada, de la siguiente forma: a) Calcular el determinante de la matriz de coeficientes (variables). Si el determinante llegara a ser cero, no se puede aplicar la regla de Cramer. b) Si el determinante de la matriz de coeficientes es diferente de cero, para cada incógnita (variable), se puede definir de la siguiente forma:
| | ||
donde Ai es la matriz que se obtiene a partir de A, Opera con matrices de orden menor o igual que 3. Para matrices de órdenes mayores, utiliza la tecnología.
reemplazando la i-ésima columna de A por la de las constantes del sistema.
Este proceso se ilustra en los siguientes ejemplos:
Sea el sistema, Gabriel Cramer (17041752) nació en Ginebra, Suiza, en donde transcurrió toda su existencia. Permaneció soltero, viajó profusamente, enseñó en la Académie de Calvin, y participó de manera activa en asuntos cívicos. La regla para resolver sistemas de ecuaciones lineales apareció en un apéndice de su libro , publicado en 1750. La regla ya era conocida por otros matemáticos, pero no se había difundido ni explicado con claridad, hasta su aparición en esta obra de Cramer, que tuvo mucha influencia en los círculos matemáticos.
| +
su matriz aumentada es la siguiente:
Ahora para resolver por la regla de Cramer: Entonces,
| | | | | | |
Luego,
De este modo, el sistema tiene
Sea el sistema,
su matriz aumentada es la siguiente:
Ahora para resolver por la regla de Cramer:
Entonces,
Al resolver un sistema de ecuaciones con incógnitas por la regla de Cramer, se trabaja con
Luego,
Si (n-ecuaciones con n-incógnitas), la regla de Cramer se vuelve computacionalmente ineficiente y es mejor utilizar el método de Gauss-Jordan.
| | [ ] | | | | | |
De este modo, el sistema tiene La regla de Cramer sólo se puede aplicar si un sistema de ecuaciones es de orden 2 y 3, donde su matriz de coeficientes no sea nula
Sea el sistema,
su matriz aumentada es la siguiente:
| | | [ ]
Ahora para resolver por la regla de Cramer: Al resolver un sistema de -ecuaciones con incógnitas, si al definir el valor del determinante de la matriz de coeficientes (incógnitas), el resultado es cero (nulo), el sistema de ecuaciones
Entonces,
Debido a que el determinante de la matriz de coeficientes (variables) es igual a cero, el sistema de ecuaciones , debido a que no ha sido definida la división para cero. la solución del siguiente sistema de ecuaciones por la regla de Cramer:
“El estudio debe ser considerado como un pilar fundamental en nuestras vidas, porque nos permite enfrentar a nuestros temores y a la sociedad que algún día nos juzgará”..…
Sea
+
Obtenga todos adjuntos. Sea
los
| |
Evalúe: (a) (b) cofactores
o
Calcule todos los cofactores o adjuntos de los elementos de la segunda fila, y todos los cofactores de los elementos de la tercera columna. En los ejercicios 3 y 4, evalúe el determinante por la regla de Sarrus y por menores:
| | || || || | | || || || + Si
verifique que: det(A)= det(AT)
, donde
Verifique que: siguientes matrices: (a) (b)
para las
+ + + +
Verifique que: siguiente matriz:
+
para la
Determine todas las soluciones del sistema lineal dado en cada caso por la regla de Cramer: (a) (b)
(c)
Kolman, B. Álgebra Lineal. Octava Edición.
Cueva, N. & otros. Álgebra Lineal. Escuela Politécnica Nacional. QuitoEcuador.
www.wikipedia.org
