LUGAR Y FECHA DE ENTREGA: QUITO 08 DE DICIEMBRE DEL 2015
MATRICES Y DETERMINANTES DETERMINANTES Definición.
El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por ¨ |A| (las barras no significan valor absoluto). Determinante de orden uno
Determinante de orden dos
Dada
, se define como determinante de A:
MÉTODO DE SARRUS PARA EL CÁLCULO DEL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ Es aplicable para determinantes de matrices cuadradas de orden 2 y 3. 1) Para orden 2
Ejemplo de Aplicación:
2) Para orden 3
Para esta matriz aumentamos las dos primeras filas en la parte inferior de la matriz o aumentamos las dos primeras columnas en la parte final de la matriz. Aumentando filas:
El es la suma de los elementos de cualquier FILA (columna) multiplicada por su respectivo cofactor.
A=
A11
A12
A13
A14
A15
(-1)
1+1
(-1)
1+2
(-1)
1+3
(-1)
1+4
(-1)
1+5
A21
A22
A23
A24
A25
(-1)
2+1
(-1)
2+2
(-1)
2+2
(-1)
2+4
(-1)
2+5
A31
A32
A33
A34
A35
(-1)
3+1
(-1)
3+2
(-1)
3+3
(-1)
3+4
(-1)
3+5
A41
A42
A43
A44
A45
(-1)
4+1
(-1)
4+2
(-1)
4+3
(-1)
4+4
(-1)
4+5
A51
A52
A53
A54
A55
(-1)
5+1
(-1)
5+2
(-1)
5+3
(-1)
5+4
(-1)
5+5
Matriz adjunta La matriz adjunta de una matriz cuadrada A es otra matriz que resulta de sustituir cada elemento por su adjunto.
PROCESO MATEMATICO PARA CÁLCULO DE LA MATRIZ ADJUNTA DE UNA MATRIZ DE 5 X 5
A=
A11
A12
A13
A14
A15
(-1)
1+1
(-1)
1+2
(-1)
1+3
(-1)
1+4
(-1)
1+5
A21
A22
A23
A24
A25
(-1)
2+1
(-1)
2+2
(-1)
2+2
(-1)
2+4
(-1)
2+5
A31
A32
A33
A34
A35
(-1)
3+1
(-1)
3+2
(-1)
3+3
(-1)
3+4
(-1)
3+5
A41
A42
A43
A44
A45
(-1)
4+1
(-1)
4+2
(-1)
4+3
(-1)
4+4
(-1)
4+5
A51
A52
A53
A54
A55
(-1)
5+1
(-1)
5+2
(-1)
5+3
(-1)
5+4
(-1)
5+5
FILA 1 (-1) A11
1+1
A22
A23
A24
A25
A32
A33
A34
A42
A43
A52
A53
(-1) A14
(-1) A12
1+2
(-1)
A 21
A23
A24
A25
A35
A 31
A33
A34
A44
A45
A 41
A43
A54
A55
A 51
A53
1+4
(-1)
A 21
A22
A 23
A25
A31
A32
A 33
A41
A42
A51
A52
A 15
A 13
1+3
A21
A22
A24
A25
A35
A31
A32
A34
A35
A44
A45
A41
A42
A44
A45
A54
A55
A51
A52
A54
A55
A11
A12
A14
A15
1+5
A21
A 22
A23
A 24
A35
A31
A 32
A33
A 34
A 43
A45
A41
A 42
A43
A 44
A 53
A55
A51
A 52
A53
A 54
FILA 2
(-1) A21
2+1
A12
A 13
A14
A15
A32
A 33
A34
A42
A 43
A52
A 53
(-1) A24
(-1) A 22
2+2
(-1)
A11
A13
A14
A15
A35
A31
A33
A34
A35
A31
A32
A34
A35
A44
A45
A41
A43
A44
A45
A41
A42
A44
A45
A54
A55
A51
A53
A54
A55
A51
A52
A54
A55
A11
A12
A14
A15
A21
A22
A24
A25
2+4
(-1)
A 11
A12
A 13
A15
A31
A32
A 33
A41
A42
A51
A52
A 25
A23
2+2
2+5
A11
A 12
A13
A 14
A35
A31
A 32
A33
A 34
A 43
A45
A41
A 42
A43
A 44
A 53
A55
A51
A 52
A53
A 54
FILA 3
(-1) A31
3+1
(-1)
A12
A 13
A14
A15
A22
A 23
A24
A25
A 32
3+2
(-1)
A11
A13
A14
A15
A21
A23
A24
A25
A33
3+3
(-1) A21
2+1
A12
A 13
A14
A15
A32
A 33
A34
A42
A 43
A52
A 53
(-1) A24
(-1) A 22
2+2
(-1)
A11
A13
A14
A15
A35
A31
A33
A34
A44
A45
A41
A43
A54
A55
A51
A53
2+4
(-1)
A 11
A12
A 13
A15
A31
A32
A 33
A41
A42
A51
A52
A 25
A23
2+2
A11
A12
A14
A15
A35
A31
A32
A34
A35
A44
A45
A41
A42
A44
A45
A54
A55
A51
A52
A54
A55
A11
A12
A14
A15
2+5
A11
A 12
A13
A 14
A35
A31
A 32
A33
A 34
A 43
A45
A41
A 42
A43
A 44
A 53
A55
A51
A 52
A53
A 54
FILA 3
(-1) A31
3+1
A12
A 13
A14
A15
A22
A 23
A24
A42
A 43
A52
A 53
(-1) A34
(-1) A 32
3+2
(-1)
A11
A13
A14
A15
A25
A21
A23
A24
A25
A21
A22
A24
A25
A44
A45
A41
A43
A44
A45
A41
A42
A44
A45
A54
A55
A51
A53
A54
A55
A51
A52
A54
A55
A11
A12
A14
A15
3+4
(-1)
A 11
A12
A 13
A15
A21
A22
A 23
A41
A42
A51
A52
A 35
A33
3+3
3+5
A11
A 12
A13
A 14
A25
A21
A 22
A23
A 24
A 43
A45
A41
A 42
A43
A 44
A 53
A55
A51
A 52
A53
A 54
FILA 4
(-1) A41
4+1
A12
A 13
A14
A15
A22
A 23
A24
A32
A 33
A52
A 53
(-1) A44
(-1) A 42
4+2
(-1)
A11
A13
A14
A15
A25
A21
A23
A24
A25
A21
A22
A24
A25
A34
A35
A31
A33
A34
A35
A31
A32
A34
A35
A54
A55
A51
A53
A54
A55
A51
A52
A54
A55
4+4
(-1)
A 11
A12
A 13
A15
A21
A22
A 23
A25
A 45
A43
4+3
4+5
A11
A 12
A13
A 14
A21
A 22
A23
A 24
(-1) A34
3+4
(-1)
A 11
A12
A 13
A15
A21
A22
A 23
A41
A42
A51
A52
A 35
3+5
A11
A 12
A13
A 14
A25
A21
A 22
A23
A 24
A 43
A45
A41
A 42
A43
A 44
A 53
A55
A51
A 52
A53
A 54
FILA 4
(-1) A41
4+1
A12
A 13
A14
A15
A22
A 23
A24
A32
A 33
A52
A 53
(-1) A44
(-1) A 42
4+2
(-1)
A11
A13
A14
A15
A25
A21
A23
A24
A34
A35
A31
A33
A54
A55
A51
A53
4+4
(-1)
A 11
A12
A 13
A15
A21
A22
A 23
A31
A32
A51
A52
A 45
A43
4+3
A11
A12
A14
A15
A25
A21
A22
A24
A25
A34
A35
A31
A32
A34
A35
A54
A55
A51
A52
A54
A55
A11
A12
A14
A15
4+5
A11
A 12
A13
A 14
A25
A21
A 22
A23
A 24
A 33
A35
A31
A 32
A33
A 34
A 53
A55
A51
A 52
A53
A 54
FILA 5
(-1) A51
5+1
A12
A 13
A14
A15
A22
A 23
A24
A32
A 33
A42
A 43
(-1) A54
(-1) A 52
5+2
(-1)
A11
A13
A14
A15
A25
A21
A23
A24
A25
A21
A22
A24
A25
A34
A35
A31
A33
A34
A35
A31
A32
A34
A35
A44
A45
A41
A43
A44
A45
A41
A42
A44
A45
5+4
(-1)
A 11
A12
A 13
A15
A21
A22
A 23
A31
A32
A41
A42
A 55
A53
5+5
A11
A 12
A13
A 14
A25
A21
A 22
A23
A 24
A 33
A35
A31
A 32
A33
A 34
A 43
A45
A41
A 42
A43
A 44
EJERCICIO DE APLICACIÓN CALCULO DE LA MATRIZ ADJUNTA
A=
5+3
1
2
9
9
9
(-1)
1+1
(-1)
1+2
(-1)
1+3
(-1)
1+4
(-1)
1+5
3
7
5
5
6
(-1)
2+1
(-1)
2+2
(-1)
2+2
(-1)
2+4
(-1)
2+5
1
1
8
0
1
(-1)
3+1
(-1)
3+2
(-1)
3+3
(-1)
3+4
(-1)
3+5
4+1
4+2
4+3
4+4
4+5
(-1) A51
5+1
A12
A 13
A14
A15
A22
A 23
A24
A32
A 33
A42
A 43
(-1) A54
(-1) A 52
5+2
(-1)
A11
A13
A14
A15
A25
A21
A23
A24
A34
A35
A31
A33
A44
A45
A41
A43
5+4
(-1)
A 11
A12
A 13
A15
A21
A22
A 23
A31
A32
A41
A42
A 55
A53
5+3
A11
A12
A14
A15
A25
A21
A22
A24
A25
A34
A35
A31
A32
A34
A35
A44
A45
A41
A42
A44
A45
3
7
5
6
5+5
A11
A 12
A13
A 14
A25
A21
A 22
A23
A 24
A 33
A35
A31
A 32
A33
A 34
A 43
A45
A41
A 42
A43
A 44
EJERCICIO DE APLICACIÓN CALCULO DE LA MATRIZ ADJUNTA
A=
1
2
9
9
9
(-1)
1+1
(-1)
1+2
(-1)
1+3
(-1)
1+4
(-1)
1+5
3
7
5
5
6
(-1)
2+1
(-1)
2+2
(-1)
2+2
(-1)
2+4
(-1)
2+5
1
1
8
0
1
(-1)
3+1
(-1)
3+2
(-1)
3+3
(-1)
3+4
(-1)
3+5
2
0
0
1
4
(-1)
4+1
(-1)
4+2
(-1)
4+3
(-1)
4+4
(-1)
4+5
1
1
1
1
1
(-1)
5+1
(-1)
5+2
(-1)
5+3
(-1)
5+4
(-1)
5+5
FILA 1
(-1) A11
1+1
7
5
5
6
1
8
0
0
0
1
1
(-1) A14
(-1) A 12
1+2
(-1)
3
5
5
6
1
1
8
0
1
1
1
0
1
1
4
2
0
1
4
2
0
1
4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
9
9
1
1
0
1
1+4
(-1)
3
7
5
6
1
1
8
2
0
1
1
A 15
A 13
1+3
1+5
3
7
5
5
1
1
1
8
0
0
4
2
0
0
1
1
1
1
1
1
1
FILA 2
(-1) A21
2+1
(-1)
2
9
9
9
1
8
0
1
A 22
2+2
(-1)
1
9
9
9
1
8
0
1
A 23
2+3
(-1) A11
1+1
7
5
5
6
1
8
0
0
0
1
1
(-1) A14
(-1) A 12
1+2
(-1)
3
5
5
6
1
1
8
0
1
4
2
0
1
1
1
1
1+4
(-1)
3
7
5
6
1
1
8
2
0
1
1
A 15
A 13
1+3
3
7
5
6
1
1
1
0
1
1
4
2
0
1
4
1
1
1
1
1
1
1
2
9
9
1+5
3
7
5
5
1
1
1
8
0
0
4
2
0
0
1
1
1
1
1
1
1
FILA 2
(-1) A21
2+1
2
9
9
9
1
8
0
0
0
1
1
(-1) A24
(-1) A 22
2+2
(-1)
1
9
9
9
1
1
8
0
1
1
1
0
1
1
4
2
0
1
4
2
0
1
4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
9
9
2+4
(-1)
1
2
9
9
1
1
8
2
0
1
1
A 25
A 23
2+3
2+5
1
2
9
9
1
1
1
8
0
0
4
2
0
0
1
1
1
1
1
1
1
FILA 3
(-1) A31
3+1
2
9
9
9
7
5
5
0
0
1
1
(-1) A34
(-1) A 32
3+2
(-1)
1
9
9
9
6
3
5
5
6
3
7
5
6
1
4
2
0
1
4
2
0
1
4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
9
9
3+4
(-1)
1
2
9
9
3
7
5
2
0
1
1
A 35
A 33
3+3
3+5
1
2
9
9
6
3
7
5
5
0
4
2
0
0
1
1
1
1
1
1
1
FILA 4 (-1)
4+1
2
(-1) 9
9
9
4+2
(-1) 9
9
9
4+3
1
FILA 3
(-1) A31
3+1
2
9
9
9
7
5
5
0
0
1
1
(-1) A34
(-1) A 32
3+2
(-1)
1
9
9
9
6
3
5
5
1
4
2
0
1
1
1
1
3+4
(-1)
1
2
9
9
3
7
5
2
0
1
1
A 35
A 33
3+3
1
2
9
9
6
3
7
5
6
1
4
2
0
1
4
1
1
1
1
1
1
1
2
9
9
3+5
1
2
9
9
6
3
7
5
5
0
4
2
0
0
1
1
1
1
1
1
1
FILA 4 (-1) A41
4+1
2
9
9
9
7
5
5
1
8
1
1
(-1) A44
(-1) A 42
4+2
(-1)
1
9
9
9
6
3
5
5
6
3
7
5
6
0
1
1
8
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
9
9
4+4
(-1)
1
2
9
9
3
7
5
1
1
1
1
A 45
A 43
4+3
4+5
1
2
9
9
6
3
7
5
5
8
1
1
1
8
0
1
1
1
1
1
1
FILA 5 (-1) A51
5+1
2
9
9
9
7
5
5
1
8
0
0
(-1) A54
(-1) A 52
5+2
(-1)
1
9
9
9
6
3
5
5
6
3
7
5
6
0
1
1
8
0
1
1
1
0
1
1
4
2
0
1
4
2
0
1
4
5+4
(-1)
1
2
9
9
3
7
5
6
A 55
A 53
5+3
5+5
1
2
9
9
3
7
5
5
(-1) A44
4+4
(-1)
1
2
9
9
3
7
5
1
1
1
1
A 45
4+5
1
2
9
9
6
3
7
5
5
8
1
1
1
8
0
1
1
1
1
1
1
FILA 5 (-1) A51
5+1
2
9
9
9
7
5
5
1
8
0
0
(-1) A54
Adj (A) =
(-1) A 52
5+2
(-1)
1
9
9
9
6
3
5
5
0
1
1
8
1
4
2
0
5+4
(-1)
1
2
9
9
3
7
5
1
1
2
0
A11
-57
A 12
A21
175
A31
A 55
A 53
5+3
1
2
9
9
6
3
7
5
6
0
1
1
1
0
1
1
4
2
0
1
4
5+5
1
2
9
9
6
3
7
5
5
8
1
1
1
8
0
0
4
2
0
0
1
59
A 13
14
A 14
-98
A 15
A 22
200
A 23
18
A 24
-126
A 25
7
A 32
8
A 33
105
A 34
134
A 35
A41
-56
A 42
-64
A 43
29
A 44
-203
A 45
-240
A51
1332
A 52
405
A 53
-7
A 54
-820
A 55
-871
-57
59
14
-98
4
175
200
18
-126
-119
7
8
105
134
30
-56
-64
29
-203
-240
1332
405
-7
-820
-871
4
-119 30
Adj (A) =
A11
-57
A 12
59
A 13
14
A 14
-98
A 15
A21
175
A 22
200
A 23
18
A 24
-126
A 25
A31
7
A 32
8
A 33
105
A 34
134
A 35
A41
-56
A 42
-64
A 43
29
A 44
-203
A 45
-240
A51
1332
A 52
405
A 53
-7
A 54
-820
A 55
-871
-57
59
14
-98
4
175
200
18
-126
-119
7
8
105
134
30
-56
-64
29
-203
-240
1332
405
-7
-820
-871
4
-119 30
Matriz inversa. La matriz inversa de una matriz cuadrada es otra matriz cuyo producto por la primera es igual a la matriz unidad o identidad:
Para obtener la matriz inversa A -1 de una matriz A se utiliza la matriz adjunta:
Nota: Es condición necesaria que el determinante de A sea distinto de 0.
Matriz inversa. La matriz inversa de una matriz cuadrada es otra matriz cuyo producto por la primera es igual a la matriz unidad o identidad:
Para obtener la matriz inversa A -1 de una matriz A se utiliza la matriz adjunta:
Nota: Es condición necesaria que el determinante de A sea distinto de 0.
Propiedades de la inversión de matrices La matriz inversa, si existe, es única A-1·A = A·A-1= I (A·B)-1 = B-1·A-1 (A-1)-1 = A (kA)-1 = (1/k) · A-1 (At) –1 = (A-1) t PROCESO MATEMATICO PARA EL CÁLCULO DE UNA MATRIZ INVERSA USANDO DETERMINANTES
A=
A11
A12
A13
A14
A15
(-1)
1+1
(-1)
1+2
(-1)
1+3
(-1)
1+4
(-1)
1+5
A21
A22
A23
A24
A25
(-1)
2+1
(-1)
2+2
(-1)
2+2
(-1)
2+4
(-1)
2+5
A31
A32
A33
A34
A35
(-1)
3+1
(-1)
3+2
(-1)
3+3
(-1)
3+4
(-1)
3+5
A41
A42
A43
A44
A45
(-1)
4+1
(-1)
4+2
(-1)
4+3
(-1)
4+4
(-1)
4+5
A51
A52
A53
A54
A55
(-1)
5+1
(-1)
5+2
(-1)
5+3
(-1)
5+4
(-1)
5+5
El proceso para el cálculo de la matriz adjunta ya fue indicado en el paso anterior y el cálculo del determinante se lo realiza de la siguiente manera:
El proceso el parecido al cálculo de la matriz adjunta Solo es necesario hacer el cálculo para una fila o bien para una columna
(-1) A11*
1+1
(-1)
A22
A23
A 24
A25
A32
A33
A 34
A42
A43
A52
A53 (-1)
+
A13*
A15*
A12*
A21
A23
A 24
A25
A35
A 31
A33
A 34
A35
A 44
A45
A 41
A43
A 44
A45
A 54
A55
A 51
A53
A 54
A55
1+3
(-1)
A21
A22
A24
A25
A31
A32
A34
A41
A42
A51
A52
(-1) +
+
1+2
+
A14*
A21
A22
A23
A25
A35
A31
A32
A33
A35
A44
A45
A41
A42
A43
A45
A54
A55
A51
A52
A53
A55
1+5
A21
A22
A23
A24
A31
A32
A33
A34
A41
A42
A43
A44
A51
A52
A53
A54
El resultado de estas operaciones es el valor del determinante:
Det
Ejemplo Calculo del determinante
A=
1+4
1
2
9
9
9
3
7
5
5
6
1
1
8
0
1
2
0
0
1
4
1
1
1
1
1
(-1) 1*
1+1
(-1)
7
5
5
6
1
8
0
0
0
1
1 (-1)
+
9*
9*
2*
3
5
5
6
1
1
8
0
1
1
4
2
0
1
4
1
1
1
1
1
1
1+3
(-1)
3
7
5
6
1
1
0
2
0
1
1
(-1) +
+
1+2
+
9*
1+4
3
7
5
6
1
1
1
8
1
1
4
2
0
0
4
1
1
1
1
1
1
1+5
3
7
5
5
1
1
8
0
2
0
0
1
1
1
1
1
Determinante = 869
Una vez que tenemos la adjunta y el valor del determinante procedemos a calcular la inversa aplicando la fórmula:
EJERCICIO DE APLICACIÓN CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA
A=
1
2
9
9
9
3
7
5
5
6
1
1
8
0
1
2
0
0
1
4
1
1
1
1
1
Del ejercicio anterior tenemos la adjunta y además el valor del determinante