MATRIKS Definisi : Suatu himpunan bilangan atau skalar yang disusun dalam bentuk bujur sangkar atau empat persegi panjang, yang terdiri dari baris dan kolom. Elemen Matriks diapit oleh kurung
( )
atau
[ ]
bentuk lain
║ ║. Nama Matriks biasanya ditulis dengan huruf kapital seperti A, B, C, dan sebagainya sedangkan elemen-elemennya dengan huruf kecil. I. Bentuk Umum Matriks
a11 a12 a a 22 A 21 ... ... a m1 a m2
... a1n ... a 2n ... ... ... a mn
Kolom_1 Kolom_2
Baris_1 Baris_2
Baris_m
Kolom_n
Dari matriks di atas menunjukkan : o A = (aij), i = 1, 2, …, m (Indeks baris) j = 1, 2, …, n (Indeks kolom) o Contoh :
a 11 A a 21 a 31
a 12 2 a 22 5 a 32 0
4 1 8
o aij adalah elemen matriks A yang terletak pada baris ke – i dan kolom ke–j. Dengan demikian a11 = 2, a12 = 4, a21 = 5, a22 = 1, a31 = 0 , dan a32 = 8
1
Ukuran Matriks atau Ordo Matrik Ordo suatu matriks dinyatakan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom. Suatu matriks dengan m baris dan n kolom dikatakan berordo m x n. Contoh :
Kesamaan Dua Matriks Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B atau aij = bij , jika dan hanya jika ordo keduanya sama, dan setiap elemen yang seletak sama, yaitu
aij = bij untuk setiap
i dan j. II. Operasi-0perasi Dasar Matriks a. Penjumlahan dan pengurangan Syarat : Dua
buah
matriks
bisa
dilakukan
operasi
penjumlahan atau pengurangan apabila dimensi (ordo)_nya sama. A = [aij], berordo m x n
dan B = [bij], berordo m x n
Jumlah A dan B adalah : A B = [aij] [bij] = [aij bij], juga berordo m x n Bentuk umum operasi penjumlahan dan pengurangan :
a c
b d
+
e g
f h
=
a e b f c g d h
a c
b d ̶
L f ee f O M P M h N Q gg h P
=
a e c g
2
bf d h
Contoh : 1.
dan
dan
maka : Tidak dapat dijumlahkan sebab ordonya tidak sama
2.
b. Perkalian skalar dengan matriks Jika suatu skalar (bilangan) dan A = [aij], maka hasil kali dengan matriks A adalah : A = [aij] Bentuk umum operasi perkalian dengan skalar :
a . c
b d
a = c
b d
Contoh : Jika
, maka :
5B = Hukum-hukum pada penjumlahan dan perkalian skalar Jika A, B, dan C matriks-matriks berordo sama, dan suatu skalar, maka :
a). A + B = B + A
(Hukum Komutatif)
b). A + (B + C) = (A + B) + C
(Hukum Asosiatif)
c). (A + B) = A + B
(Hukum Distributif)
Contoh :
3
2 (A + B) = 2A + 2B
c. Perkalian antara dua matriks Syarat : Banyaknya kolom pada matriks pertama harus sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua.
A
x
(m x p)
B
(p x n)
=
C
(m x n)
Syarat yg hrs dipenuhi
Bentuk umum operasi perkalian:
a b c d
x
e
f
g h
=
ae+bg
af+bh
ce+dg
cf+dh
Contoh :
4
Hukum-hukum pada operasi perkalian dua matriks: Jika A, B, dan C matriks-matriks yang memenuhi syarat perkalian matriks yang diperlukan, maka : a). A (B C) = (A B) C
(Hukum Asosiatif)
b). A (B + C) = A B + A C (Hukum Distributif) c). (B + C) A = BA + CA (Hukum Distributif) d). A (B – C) = A B – A C e). (B – C) A = B A – C A f). Perkalian tidak komutatif, AB BA d. Transpose dari Suatu Matriks (AT) Batasan I : Suatu matriks A = (aij) berukuran (m x n) maka transpose dari A, adalah matriks AT berukuran (n x m) yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke_i dari A sebagai kolom ke_i dari AT (dimana i = 1, 2, 3, …, m). Batasan II : Matriks
stanspose
elemen-elemen
diperoleh
baris
dengan
menjadi
menukar
elemen-elemen
kolom atau sebaliknya. Dengan perkataan lain : A(aij) = AT(aji) 3 4 1 7 A = 1 0 8 6 5 2 9 5
3 4 T A = 1 7
(3x4)
5 0 2 8 9 6 5 1
(4x3)
Beberapa sifat matriks transpose : (i) (A + B)
T
= AT + BT
(ii) (AT) T = A (iii) (AT) = ( A) T
, bila suatu skalar
(iv) (A . B) T = BT . AT ,A dan B harus memenuhi sifat perkalian 5
Contoh –contoh : 2 1 2 A= dan 3 0 1
2 3 T A = 1 0 2 1
1 B = 2 0
( AT )T =
2 1 2 AB= 3 0 1
1 2 = 0
BT = 1 2 0
2 3T 1 0 = 2 1 2 = A 3 0 1 2 1 4 3
(A B)T = 4 3
2 3 B . A = 1 2 0 1 0 2 1 T
T
= 4 3 = (A B)T
6
JOB SHEET 1
1 - 2
1. Jika : H 3 - 1 Hitunglah : a). H + H b). H2 - HT + 3H 2. Jika
2 x 6 4 = 1 y 2 x y 2 y 8 2
3.
, Maka nilai y adalah …
1 4 2 2 1 Jika : 2 2 + 3 0 + k 1 = 3 maka k adalah … 1 4 3 4 2
4. Diketahui matriks 2 p 2 3a -p -7 q -2 -5 6 A 4 -1 -4 , B -5 5 r , C -1 4 -2 r q -2 -5 4 7 -3 1 5 Jika A + B = C maka nilai p , q dan r berturut-turut adalah
5 a 3 3 2 3 5. Nilai c dari persamaan matriks : b 2 c 2 a 2 ab adalah … 6. Diketahui
1 1 4 4 5 2 1 2 p 2 3 3 2 4 3 1 q 1 Maka nilai p + q = …
7
IV. Jenis Matriks Khusus a. Matriks Bujur Sangkar Adalah matriks yang banyaknya baris = banyaknya kolom (berordo n) Contoh : Matriks berordo ( n x n)
Berikut ini adalah matriks bujur sangkar A( 3 x 3)
3 9 5 A = 4 2 6 1 8 9
a11 , a22 , a33
disebut Diagonal Utama
b. Matriks Nol Adalah matriks yang semua elemennya nol, ditulis dengan matriks 0 Sifat-sifat : 1). A + 0 = 0 + A = A 2). A . 0 = 0
dan
0.A=0
(Syarat perkalian harus dipenuhi ) Contoh :
0 0 0 A 0 0 0 0 0 0 c. Matriks Diagonal Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar diagonal utama adalah nol. A = aij Adalah matriks diagonal jika aij = 0 untuk i j Contoh :
A=
1 0 0 1
8 0 0 B = 0 7 0 0 0 2 8
d. Matriks Identity (Satuan) Adalah
matriks
diagonal
yang
elemen-elemen
diagonal
utamanya semuanya = 1 dan elemen lainnya = 0 Dengan perkataan lain : jika I adalah matriks identitas maka Iij = 1 untuk i = j dan Iij = 0 untuk i j
1 0 I2 = 0 1
1 0 I4 = 0 0
;
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Sifat-Sifat Matriks Identitas : 1) A . I = A 2) I . A = A ; syarat perkalian harus dipenuhi Contoh : 1 0 0 4 5 8 Jika A = ; dan I3 = 0 1 0 , maka : 6 7 9 0 0 1 A . I3
1 0 0 4 5 8 4 5 8 = . 0 1 0 = =A 6 7 9 0 0 1 6 7 9
1 0 4 5 8 4 5 8 I2 . A = . = =A 0 1 6 7 9 6 7 9 e. Matriks Skalar Adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utamanya sama = k Contoh :
8 0 0 0 8 0 0 0 8
1 0 0 adalah matriks skalar dapat ditulis skalar sebagai 8I = k =850 1 0 Matriks dengan 0 0 1
9
Matriks identity adalah bentuk khusus dari matriks skalar dengan k = 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 f. Matriks Segitiga Bawah (Lower Trianguler) Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di atas diagonal utama = 0 aij adalah Matriks Segitiga Bawah jika aij = 0 untuk i < j Contoh :
2 0 0 5 3 0 1 6 8
4 1 3 7
0 0 0 5 0 0 0 1 0 2 4 5
g. Matriks Segitiga Atas (Upper Trianguler) Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal utama = 0 aij adalah Matriks Segitiga Atas jika aij = 0 untuk i > j 3 2 7 0 8 1 0 0 2
1 0 0 0
7 3 6 5 0 2 0 0 0 8 2
0
h. Matriks Anti Simetris Adalah matriks persegi yang transposenya adalah negativenya atau AT = - A. aij adalah anti simetris jika aij = -aji untuk semua i dan j. Semua elemen diagonal utamanya = 0
0 2 3 A = 2 0 4 ; 3 4 0
AT
0 2 3 = 2 0 4 3 4 0
10
V. Determinan Setiap matriks bujur sangkar A selalu dikaitkan dengan suatu skalar matriks yang disebut DETERMINAN matriks tersebut, dan ditulis sebagai det (A) atau A a. Mencari determinan matriks ordo 2 x 2 Bentuk umum : a b a b Jika A = maka det ( A ) = = ad - bc c d c d Contoh : 2 3 2 3 Jika A = maka det (A) = = 10 – 12 = -2 4 5 4 5 1 2 1 2 Jika A = maka det (A) = = 4 – (– 4) = 8 2 4 2 4 b. Mencari determinan matriks ordo 3 x 3
Jika : A =
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
, maka determinan dari A adalah
Metode Sarrus
a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 -
-
-
+
+
+
Det (A) = |A|= a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 - a12 . a21 . a33 - a11 . a23 . a32 - a13 . a22 . a31
atau (a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32) - ( a12 . a21 . a33 + a11 . a23 . a32 + a13 . a22 . a31 )
11
Contoh : Hitunglah Determinan dari
2 3 1 M = 4 5 6 7 8 9
2 3 1 2 1 Jawab : = 4 5 6 4 5 7 8 9 7 8 Det ( M ) = M = (45) + (84) + (96) – (105) – (-48) – (-72) = 240 Catatan : Metode di atas tidak berlaku untuk matriks bujur sangkar berordo (4x4) atau yang lebih besar. c. Menghitung determinan dengan Penguraian (Ekspansi) secara baris dan kolom Minor dan kofaktor : Definisi : jika A adalah matriks persegi, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan sub matriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan (-1)
i+j
Mij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan
kofaktor entri aij. Contoh :
1 2 3 A = 4 5 6 ,maka 7 8 9
1 2 3
Minor Entri a11 adalah M11 =
5 6 4 5 6 = =45–48 = -3 8 9 7 8 9 Baris-1 dan kolom-1 dicoret
Kofaktor a11, adalah : c11 = (-1 ) 1+1 M11 = (-1)2 (-3) = -3
12
Demikian juga, minor entri a32 adalah :
1 2 3 4 5 6
M32 =
=
7 8 9
1 3 = 6 – 12 = -6 4 6 Baris-3 dan kolom-2 dicoret
Kofaktor a32 adalah :c32 = (-1)
3+2
M32 = (-1) 5 .M32 = (-1) (-6) = 6
TEOREMA LAPLACE Jika A suatu matriks persegi, maka determinan matriks A adalah jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya. Dengan perkataan lain :
A =
n
aij . cij = ai 1 ci 1 + ai 2 . ci 2 + . . .+ ai n . ci n
j 1
dengan i, disebut ekspansi menurut baris ke-i atau A =
n
aij . cij = a1 j c1 j + a2 j . c2 j + . . .+ an j . cn j
i 1
dengan j, disebut ekspansi menurut kolom ke-j Contoh :
a e A= i
b c d f g h j k l
m n
o
p
Ekspansi menurut baris 1 : f A =+ a j n
g h e k l -b i
g h e k l +c i
o
0 p
p
m
13
f j
h e l -d i
m n p
f j
g k
m n
o
Ekspansi menurut kolom 3 : e A =+ c i
f j
h a l -g i
m n p
b d a j l +k e
m n p
b d a b d f h -o e f h
m n p
i
j
l
Catatan : dalam pemilihan baris/kolom mana yang diekspansikan, tidak jadi persoalan karena hasilnya akan sama. Contoh :
1 0 3 A = 2 4 3 ; det (A) = ? 5 4 2 Jawab :
Ekspansi menurut kolom-1 : Det (A) = a11 c11 + a12 c12 + a13 c13 =3
4
3
4
2
-(-2 )
1
0
4 2
1
+5
0
4 3
= 3 (-4) – (-2) (-2) + 5 (3) = -1
Ekspansi menurut baris-3 : Det (A) = a31 c31 + a32 c32 + a33 c33 =5
1
0
4 3
-4
3
0
2 3
+ (-2 )
3
1
2 4
= 5 (3) – (4) (9) + (-2) (-10) = +15 – 36 +20 = 35 - 36 = -1 Untuk menyederhanakan perhitungan determinan, ekspansikan menurut baris atau kolom yang paling banyak mengandung elemen 0 (nol), karena suku-suku ini hasilnya nol. 2 3 5 Misal B = 4 0 0 8 1 7 14
Kita ekspansi menurut baris-2, Det (B)= -4
3
5
1
7
+0
2 5 8
7
-0
2
3
8 1
= -4(21-5) tidak perlu diikutkan
= -64
d. Sifat-sifat determinan 1. Tanda determinan berubah apabila dua baris/kolom ditukar tempatnya. Contoh :
a b c d e f g h i atau :
a b c d e f g
h
d e f a b c g h i
̶
=
=
̶
i
=
g h i a b c d e f
c b a f e d i
h g
2 5 0 3 2 1 1 2 4 3 2 1 =-2 5 0 = + 2 5 0 1 2 4 1 2 4 3 2 1 2. Jika dikali skalar, hanya untuk satu baris/kolom saja
2 3 2 Contoh: A = 4 1 1 0 3 2 2 3 2 Det (A) = 4 1 1 Andaikan baris satu dikalikan 5 maka : 0 3 2 10 15 10 2 3 2 4 1 1 =5 4 1 1 =5A 0 3 2 0 3 2 15
3. Tiap baris atau kolom boleh ditambah atau dikurangi baris atau kolom lain, tidak berubah tanda Contoh :
a+g b+h c+i d e f g h i
atau
g
23 3 5 3 1 1 4
2 3 5 3 1 4 = 4 4 8
a b-c c d e-f f
=
h-i
i
0
44 4 8
4. Kalau ada baris atau kolom semua elemennya 0, maka determinan = 0 Contoh : 3 7 2 A 0 0 0 1 2 1
B=
det (A) = 0
8
3
0 4
1
7
0 7
2
4
0 9
6
20 0 2
=0
5. Kalau ada 2 baris atau kolom yang sama, maka hasilnya = 0 Contoh : 4 6 A 2 4
2 1 3 0 2 5 1 3 5 2 1 3
6
1
5
7
B = 1
8
8
det (A) = 0 (baris 1 = baris 4)
4
7
3 6
9
0
5
4 9
5
7
3 6
3
8
10
=0
5 6
16
6. Kalau matriksnya berbentuk segitiga atas atau segitiga bawah, maka tinggal mengalikan semua elemen yang ada pada diagonal utamanya. Contoh : A =
B =
det(A) = 1.4 = 4
det(B) = 1.5.2 = 10
det(C) = 6
C =
17
JOB SHEET 2 1. Carilah determinan dari matriks di bawah ini !
-2 B = 3
4 -7
-1 2
1
3
-4
3
4
-1
4
1
-1 D = 1
3 0
2 -1
-2 0
1 -2
3 3
9 -9
7 -6
5 6
4 -3
2. Diketahui matriks :
F =
1 0
-2 1
Ditanya :|[(F2 + 2F) – FT] + I2| = ?
18
VI. Invers Matriks (A-1) Jika A dan B matriks- matriks persegi berordo n dan berlaku A B = B A = In, maka dikatakan B invers dari A dan ditulis A-1 , sebaliknya A adalah invers dari B , ditulis
A = B-1.
Tidak semua matriks persegi mempunyai invers, terjadi jika determinan dari matriks ≠ 0 (= Non singular) Sebuah matriks yang inversnya adalah dirinya sendiri dengan perkataan lain A . A = I , disebut matriks yang INVOLUTORY. Contoh : 1 1 2 5 Matriks A = mempunyai invers A-1 = 4 10 2 1 / 2 1 1 2 5 1 0 Karena A . A-1 = = = I2 4 10 2 1 / 2 0 1 1 1 2 5 1 0 Juga A-1 . A = = = I2 2 1 / 2 4 10 0 1 Ada beberapa cara untuk mencari invers : 1. Rumus abc
A-1 . A = I Contoh :
1 2 A 1 3
A=
1 2 1 3
dicek dulu apakah determinannya ≠ 0
= 3-2=1
Karena determinannya ≠ 0, maka inversnya bisa dicari
19
a b Misal invers dari A adalah A-1 = c d 1 12 x2 aa +bb = 1 0 x 2a 1 03 x1 c +d3b = 0 1 a + b =1
x2
2a + 2b = 2
2a + 3b = 0
x1
2a + 3b = 0 _
a + b =1 a =1+2 a =3
-b = 2 b = -2 c + d =0
x2
2c + 2d = 0
2c + 3d = 1
x1
2c + 3d = 1 _
c + d =0 c = -1
-d = -1 d=1
Jadi :
a A 1 c
b 3 2 d 1 1
2. Metode Adjoin Dari matrik A = (aij) di atas. Kita sebut kofaktor dari elemen aij sebagai cij, transpose dari matrik (cij) disebut matrik Adjoin dari A. c11 c 21 Adj. A = .... .... cn1
c21 c22 .... .... cn 2
.... .... c1n ... ... c2 n .... .... .... .... .... .... .... .... cnn
Contoh: Kita hendak mencari matrik adjoin dari
2 3 4 A = 0 4 2 1 1 5
Maka kofaktor ke 9 elemen dari A adalah sebagai berikut :
20
4 2 c11 = + 1 5
0 2 c12 = - 1 5
= -18 ,
=2,
0 4 c13 = + 1 1
=
3 4 c21 = - = -11 , 1 5
2 4 c22 = + 1 5
= 14 ,
2 3 c23 = - 1 1
= 5,
3 4 c31 = + = -10 , 4 2
2 4 c32 = - 0 2
= -4 ,
4,
2 3 c33 = + 0 4
=-8 ,
Jadi, adj. A =
18 11 10 2 14 4 4 5 8
Dengan pertolongan matrik adjoin kita dapat mencari invers suatu matrik dengan rumus A-1 =
adj. A , dengan syarat det( A)
det (A) 0
Contoh : kita dapat mencari A-1 dengan matrik adjoin sebagai berikut :
1 2
A= 1 3
maka
3 2 adj. A = , 1 1
Jadi, A-1 =
3 2 1 1 1
c11 = 3 ;
det (A) =
c12 = - 1 ;
1 2 1 3
3 2 = 1 1
21
=1
c21 = -2 ;
c22 = 1.
Tentukan invers dari matriks berikut :
2 3 4 A = 0 4 2 1 1 5 2
4
3
det(A) = 0 4
1
1
4 2 3 4 2 =2 + ; Ekspansi Laplace pada kolom-1 1 5 4 2 5 = - 36 - 10 = -46
18 11 10 adj. A 1 2 14 4 A = = det( A) 46 4 5 8 -1
Jadi,
9 / 23 11 / 46 5 / 23 = 1 / 23 7 / 23 2 / 23 2 / 23 5 / 46 4 / 23 3. Metode Gauss Contoh : Ditanya A-1 = ?
1 2 1 0
~
1 2 1 0 -2xII 1 0 3 -2 1 3 0 1 1xI 0 1 -1 1 ~ 0 1 -1 1
}
}
}
}
A
I2
I2
A-1
A-1 =
3 -2 -1 1
22
Carilah Invers dari matriks
1 2 1
A =
2 5 0
3 3 8 0 0 1
Penyelesaian : 1 2 1
B21
B32
B3
(-2)
(2)
(-1)
B23
B12
& B31
(-1)
(3)
(-2)
&
(-3) B13
2
3
|
1
0
5
3
|
0
1
0
8
|
0
0
1 0 2
1 0 0
2 1
3 3
| |
1 2
0 1
0
5
|
1
0
2 1
3 3
| |
1 2
0 1
0
1
|
5
2
1 0 0
2 1 0
3 3 1
1 0 0
2 1
0 0
0
1 0 0
0 0 1
0 0 1
1 2 5
0 1 2
0 0 1
| |
14 13
6 5
1
|
5
2
3 3 1
0 1
0 0
| |
40 13
16 5
0
1
|
5
2
Jadi, Invers dari A adalah
| | |
9 3 1
9 40 16 A-1 = 13 5 3 5 2 1
23
Baris-2 ditambah -2 kali baris-1, dan Baris-3 ditambah –1 kali baris-1
Baris-3 ditambah kali baris-2
2
Baris-3 dikalikan -1
Baris-2 tambah 3 kali baris-3, dan Baris-1 ditambah –3 kali baris3
Baris-1 ditambah -2 kali baris-2
JOB SHEET 3 1. Diketahui matriks :
Ditanya : (A2 ̶ AT + B + I2)
– 1
2. Carilah invers dari matriks di bawah ini dengan 3 cara :
24
VEKTOR Vektor secara geometris dapat dinyatakan berupa garis lurus yang mempunyai besar dan arah.
Suatu vektor digambarkan dengan suatu anak panah, dimana panjang anak panah menyatakan besarnya vektor dan arah anak panah menunjukkan arah vektor.
B
Perhatikan gambar vektor di sebelah : Titik A disebut titik pangkal vektor atau titik tangkap vektor (initial point) Titik B disebut ujung vektor (terminal
A
point)
Suatu vektor yang titik pangkal A dan titik ujungnya B ditulis AB atau ditulis dengan sebuah huruf kecil yang diberi garis di atasnya, misal : a
Vektor standar adalah vektor yang titik pangkalnya terletak pada titik 0. y
0
Di
dalam
x
bidang
pangkalnya
A(x1,y1)
datar
(R2)
suatu
vektor
dan
titik
ujungnya
yang
B(x2,y2)
dituliskan dalam bentuk komponen sebagai berikut :
y2
25
titik dapat
Menggambar vektor : R2 : Vektor dua dimensi (x, y) atau (x1, x2) R3 : Vektor tiga dimensi (x, y, z) atau (x1, x2, x3) z y (x, y)
(x,y,z)
y x x
Gambar Vektor 2 dimensi
Gambar Vektor 3 dimensi
Operasi Dasar Vektor Yang akan dibicarakan adalah operasi penjumlahan Vektor dan perkalian skalar. a. Penjumlahan vektor. Misalkan kita hendak menjumlahkan Vektor a dan b . Kita mengenal dua metoda sebagai berikut : 1. Metoda jajaran genjang : Vektor hasil resultan yaitu ā + b diperoleh dari diagonal jajaran genjang yang dibentuk oleh ā dan b setelah titik awal ditempatkan berimpit.
3. Metoda
segitiga
:
Resultan
kita
peroleh
dengan
menempatkan titik awal salah satu Vektor ( misalnya b ) pada titik ujung Vektor yang lainnya, maka resultan adalah bertitik awal di titik awal ā dan betitik ujung di titik ujung b . 26
Catatan : Penjumlahan Vektor bersifat komutatif, artinya untuk setiap vektor ā dan b berlaku a b b a ;maka pemilihan Vektor mana yang didahulukan tidaklah menjadi persoalan. Dapat kita perbandingkan gambar 3 dan gambar 4 bahwa
ab ba.
Metode segi tiga baik sekali untuk menjumlahkan lebih dari 2 vektor. Misalkan hendak menjumlahkan a b c d e , maka berturut-turut kita tempatkan titik awal dari b pada titik ujung dari ā, titik awal dari c pada titik ujung dari b dan seterusnya ( pemilihan urutan tidak menjadi persoalan ).
Resultannya adalah Vektor yang titik awalnya di titik awal Vektor pertama (ā) dan titik ujungnya di titik ujung Vektor terakhir ( e )
27
Penjumlahan Vektor dengan operasi aritmatika Rumus umum:
ō = (a1, a2) ē = (b1, b2) maka ō + ē = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1 , a2 + b2) Contoh :
ō = (3, 2)
ō + ē = (3 + 5 , 2 + 4)
ē = (5, 4)
= (8, 6)
Pengurangan Vektor dengan operasi aritmatika
ō - ē = ō + (-ē) Rumus umum:
diketahui : ō = (a1, a2) ē = (b1, b2) maka ō - ē
= (a1, a2) - (b1, b2) = (a1 + (-b1) , a2 + (-b2)) = (a1 -b1, a2 -b2)
28
Contoh :
ō = (1, 3)
ō - ē = (1 - 4 , 3 – 2)
ē = (4, 2)
= (-3, 1)
Catatan : Sebagai gabungan dari operasi penjumlahan dan pengurangan vektor. Misalnya a b a (1b) a (b) yaitu menjumlahkan ā dengan - b . Tentu saja pengurangan Vektor tidak komutatif,
ab ba . Contoh :
b. Perkalian Vektor dengan skalar. Kalau k suatu scalar bilangan riil, ā suatu Vektor, maka perkalian perkalian scalar k ā adalah suatu Vektor yang panjangnya
k
kali panjang ā, dan arahnya sama dengan
arah a bila k positif atau berlawanan. Bila k = 0 maka k ā = 0 ; disebut Vektor nol yaitu Vektor yang titik awal dan titik ujungnya berimpit. Perkalian Vektor dengan scalar pada operasi aritmatika Rumus umum:
diketahui : ō = (a1, a2) Skalar : λ maka λ x ō
= λ x (a1, a2) = (λa1, λa2)
29
Contoh :
ō = (4, 2) λ=5
λ x ō = 5 x (4, 2) = (20, 10)
Transpose suatu Vektor Rumus umum: a
diketahui : ō = (a1, a2) maka Transpose ōT = 1 a
2
Contoh : T 3 ē = (3, 7) → ē = 7
Perkalian antara dua Vektor Rumus umum:
diketahui : ō = (a1, a2) ; ē = (b1, b2) maka ō x ē
b1 = (a1, a2) = a1.b1 + a2.b2 b 2
Contoh :
ō = (3, 5) ē = (2, 7) maka ō x ē
2 = (3, 5) 7
= 3.2 + 5.7 = 41
30
JOB SHEET 4 1. Gambarlah Vektor (Gunakan kertas berpetak) : a. ō = (2, 5) b. ū = (6, -2) c. ē = (4, 5, 6) d. ā = (-3, 2, -4) 2. Diketahui vektor: ā = (2, 0, -1, 3) ū = (5, 4, 7, -1) ē = (6, 2, 0, 9) Hitunglah : a) ā – ū b) 7ū + 3ē c) 3(ā - 7ū) d) –3ū - 8ē
31
Kombinasi Linier dari Vektor-vektor Ada Vektor-vektor : ā1, ā2 , ā3 …, ān Skalar-skalar : 1, 2, 3 …, n dapat dikatakan kombinasi linier jika : ū = 1ā1 + 2ā2 + 3ā3 + … + nān Contoh : 1. ā1 = (3, 2, 1) ; 1 = 3 ā2 = (0, 1, 2) ; 2 = 5 Buatlah kombinasi linier dari ā1 dan ā2 : Jawab : ū = 1ā1 + 2ā2 = 3(3, 2, 1) + 5(0, 1, 2) = (9, 6, 3) + (0, 5 , 10) = (9, 11, 13) 2. Diketahui vektor : ā1 = (1, 2, -1) ā2 = (6, 4, 2) Apakah vektor : a. ū = (9, 2, 7) b. ē = (4, -1, 8) Masing-masing kombinasi linier dari vektor ā1 dan vektor ā2 ? Jawab : a. Jika ū kombinasi linier dari ā1 dan ā2 , maka : (9, 2, 7) = 1 (1, 2, -1) + 2 (6, 4, 2) (9, 2, 7) = (1, 21, -1) + (62, 42, 22) maka diperoleh 3 persamaan : I. 9 = 1 + 62 II. 2 = 21 + 42
dieliminasi
III. 7 = -1 + 22
32
9 = 1 + 62 7 = -1 + 22 16 = 82 2 = 2
+
Substitusi ke persamaan I atau III (jangan ke pers. II): I. 9 = 1 + 62 9 = 1 + 6(2) 1 = -3 Persamaan II, untuk memeriksa apakah hasil sudah betul ? II. 2 = 21 + 42 2 = 2(-3) + 4(2) 2 = 2 (Cocok) Kesimpulan : vektor ū kombinasi linier dari vektor ā1 dan ā2 ū = 1ā1 + 2ā2 ū = -3ā1 + 2ā2 b. Jika vektor ē kombinasi linier dari vektor ā1 dan ā2, maka : (4, -1, 8) = 1 (1, 2, -1) + 2 (6, 4, 2) (4, -1, 8) = (1, 21, -1) + (62, 42, 22) maka diperoleh 3 persamaan : I. 4 = 1 + 62
Eliminasi
II. -1 = 21 + 42 III. 8 = -1 + 22 4 = 1 + 62 -1 = 21 + 42
2 8 = 21 + 122 1 -1 = 21 + 42 9 = 82 9 2 = /8
Substitusi ke persamaan I atau II : I. 4 = 1 + 62 4 = 1 + 6(9/8) 1 = 4 -
27/4
1 = -2 3/4 Periksa dengan persamaan III : 8 = -1 + 22 8 = -(-2 3/4) + 2(9/8) 33
8 = 2 3/4 +
18/8
8 =
11/4 + 18/8
8 =
22/8 + 18/8
8 =
40/8
8 ≠ 5 (Tidak cocok) Kesimpulan : vektor ē = (4, -1, 8) kombinasi linier dari vektor ā1 dan ā2
34
bukan
JOB SHEET 5 Diketahui Vektor : ā1 = (1, -1, 3) ā2 = (2, 4, 0) Ditanya : a. Ū1 = (1, 5, 6) b. Ū2 = (2, -4, 0) c. Ū3 = (3, 3, 3) d. Ū4 = (0, 0, 0) Apakah masing-masing Ū1, Ū2, Ū3 dan Ū4 merupakan kombinasi linier dari vektor ā1 dan ā2 ?
35
BEBAS LINIER (LINEARLY INDEPENDENT) TAK BEBAS LINIER (LINEARLY DEPENDENT) Definisi I : Misal : Vektor-vektor ā1, ā2 , ā3 …, ān dikatakan bebas atau tidak bergantungan jika ada bilangan-bilangan 1, 2, 3 …, n yang semuanya 0, sehingga 1.ā1 + 2.ā2 + … + n.ān = 0 (= Semuanya 0, Tak Cocok) Definisi II : Misal : Vektor-vektor ā1, ā2 , ā3 …, ān dikatakan tak bebas atau bergantungan jika ada bilangan-bilangan 1, 2, 3 …, n yang tidak semuanya 0, sehingga 1.ā1 + 2.ā2 + … + n.ān = 0 (= Tak semuanya 0, Cocok) Contoh : 1. Vektor :
ā1 = 3, 6
→ Selalu bebas
3, 6 = 0
ā2 = 0, 0
→ Selalu Tak bebas
0, 0 = 0 2. Diketahui dua buah vektor 2, 3 dan 1, 4 2, 3 + 1, 4 = 0 2 + = 0 3 + 4 = 0
2 + = 0 2(0) + = 0 =0
x 4 8 + 4 = 0 x 1 3 + 4 = 0 5 =0 = 0 =0 =0
36
(-)
Bebas
3. Diketahui dua buah vektor 4, 3 dan -4, -3 Cara 1 : 4, 3 + -4, -3 = 0 4, 3 + -4, -3 = 0 1 4, 3 + 1 -4, -3 = 0
Tak bebas
Cara 2 : 4, 3 = -4, -3 4
= -4 = -1
3
= -3 = -1
Cocok / sama: Tak bebas
4. Diketahui vektor-vektor :
ā1 = 1, 3, 2
ā1 = Bebas (karena bukan vektor 0)
ā2 = 2, -1, 4 ā3 = -1, 2, -3 Vektor ā2 dan ā1 : 2, -1, 4 = 1, 3, 2 2
= 1 1 = 2
1 = 3 2
-1
= 32 2 = -1/3
4
= 23 3 = 2
Tidak cocok : Bebas
Vektor ā3 , ā1 dan ā2 : -1, 2, -3 = 6, 3, 2 + 2, -1, 4 I. II.
–1 = 6 + 2 x 1 2 = 3 -
x2
–1 = 6 + 2 4 = 6 - 2 + 3 = 12 = 4
Substitusi ke persamaan I atau II : II. 2 = 3 - = -2 + 12 = 10 37
III.
-3
= 2 + 4
-3 -3 -3
= 2.4 + 4.10 = 8 – 40 -32 ( Tidak cocok Bebas)
5. Diketahui vektor-vektor :
1 0 1 0 , 1 , 0 a. 0 1 1 1 0 1 1 0 2 1 3 0 0 0 1 1 1
+
3
2 2
= 0 → 1 = 0 = 0 → 2 = 0
+
3
= 0 → 3 = 0
1, 2, 3 semuanya 0, Bebas linier b.
1 0 1
1 1 , 2 , 2 0 2
1 1 1 1 0 2 2 3 2 0 1 0 2 1 - 2 +
1
3
=0
22 + 23
=0
+ 23
=0
Karena : - 2 - 3 = 0 Jadi : Tak bebas linier
38
- 2 - 3 = 0 2 + 3 = 0 (-)
Cocok 2 + 3 = 0
JOB SHEET 6
Diketahui Vektor :
ā1 = 0, 0, 0 ā2 = -8, 2, -6 ā3 = -4, 1, -3 Ditanya, Apakah vektor-vektor di bawah ini Bebas atau Tak Bebas Linier : a. ā1 b. ā2 c. ā3 d. ā1 dan ā2 e. ā1 dan ā3 f. ā2 dan ā3 g. ā1 , ā2 dan ā2 h. ā2 , ā1 dan ā3 i. ā3 , ā2 dan ā1
39
Basis, Dimensi, dan Kombinasi linier Batasan : 1. Himpunan n vektor-vektor { Ū1, Ū2, Ū3,
…,
Ūn} dinamakan
Basis, jika : (i). { Ū1, Ū2, Ū3, …, Ūn} → Bebas linier (ii). { Ū1, Ū2, Ū3, …, Ūn} → Membangun 2. Dimensi adalah banyaknya vektor yang bebas Contoh :
1 3 a. , 2 4 b.
c.
1 3 5 , , 2 4 1 1 2 2 , 1 3 0
Basis (Bebas dan membangun)
Bebas tapi tak sebangun
Bukan basis karena tak sebangun
3. Kombinasi linier Vektor
Ā kombinasi linier dari
{ Ū1, Ū2, Ū3,
terdapat 1, 2, 3, … , n sehingga n :
 i Ûi i
dimana i = 1, 2, …
Syarat lain : Tak bebas linier Contoh : 1.
1 A 1 0
1 , 0 2
0 , 2 1
1 1 0 λ1 1 λ 2 0 λ 3 2 0 0 2 1 40
…,
Ūn}
jika
1
+ 2
1
2 - 23 = 0
=0 + 23
=0
3
=0
22 +
(-)
2 - 23 = 0
x2
22 - 43
22 + 3 = 0
x1
22 +
3
=0 =0 -
-53
=0
3
=0
22 + 3 = 0 22 + 0 = 0 2= 0 1 + 2 1 + 0
=0 = 0 1= 0
1, 2, 3 = 0 (Semuanya 0) (i) Bebas linier (ii) membangun
Jadi A : Basis
2.
1 B 1 0
1 , 0 2
1 , 2 - 2
1 1 1 λ1 1 λ 2 0 λ 3 2 0 0 2 - 2 1 1
+ 2
3
=0
+ 23
=0
+
22 -
23
=0
(i) Tak bebas linier (ii) Membangun
2 - 3 = 0 (-) :2
→
Cocok 2 - 3 = 0
Jadi B : Bukan Basis
41
3.
1 C 2 2
2 , 1 1 1 + 22 = 0 21 + 1 = 0 21 + 2 = 0
1 2 λ1 2 λ 2 1 0 2 1 21 + 4 2 = 0 2 = 0 _
21 +
32 = 0 → 2 = 0 ; 1 = 0 (i)
bebas linier
(ii)
tidak membangun
Jadi C : Bukan Basis
4. 1 1 Vektor 0 kombinasi linier dari 1 0 1
1 , 1 , karena : 2
Cara I :
1 1 1 0 λ 1 - 1 λ 2 1 1 0 2 1 = 1 + 2
→
1
=
0 = -1 + 2
→
1
=
2
1=
→
2
=
½
22
½ + ½ (C Cocok => Tak Bebas) =
½
Karena Tak bebas linier : Kombinasi linier
42
Cara II (Metode Gauss): Catatan : Tak bebas : Banyak baris tak nol < banyak kolom tak nol Bebas
: Banyak baris tak nol = banyak kolom tak nol
Buktikan Tak bebas linier . Banyak baris tak nol = 2 Banyak kolom tak nol = 3 JadiBukti akibatnya : : Tak bebas linier
5. Dari soal no. 1, gunakan cara II
Bukti :
Matrik akhir mempunyai : baris tak nol = 3 kolom tak nol = 3
Bebas linier
6. Dari soal no. 2, gunakan cara II
Baris tak nol = 2 Kolom tak nol = 3 2<3 Tak bebas linier
43
JOB SHEET 7
1. Apakah
Kombinasi linier atau bukan dari :
2. Apakah himpunan vektor di bawah ini basis atau bukan
44
SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL) I.
Sistem Persamaan Linier Homogen
a11 a12 x1 0 a x 0 a 21 22 2
a11 x1 + a12 x2 = 0 a21 x1 + a22 x2 = 0
a11 a12 A a21 a22
Disebut matriks koefisien Ax =0
Sistem Persamaan linier ini mempunyai jawab Trivial dan Tak trivial. II. Sistem Persamaan Linier Tak Homogen
a11x1 a 21x1
a12x 2 a 22x 2
b1 b2
a 11 a 21
a 12 a 22
x 1 b1 x b 2 2
a11 a12 b1 (A,b) Disebut matriks lengkap a21 a22 b2 Ax =b Sistem Persamaan linier tak homogen mempunyai jawab, jika dan hanya jika rank matriks koefisien = rank matriks lengkap. Batasan : Banyak maksimal vektor-vektor yang bebas linier disebut rank matriks. Contoh : Penyelesaian Cara I : 1. Apakah persamaan di bawah ini mempunyai jawab ?
x1 x2 0 x1 2x2 3
1 - 1 x 1 0 1 - 2 x 3 2 45
1
-1
a1 = {1, -1} → Bebas
1
-2
a2 = {1, -2} → Juga Bebas
A=
Jadi Rank A = 2 ………. (I) 1 -1 0
a1 = {1, -1, 0} → Bebas
1 -2 3
a2 = {1, -2, 3} → Bebas
(A, b) =
Jadi Rank A, b = 2 ………. (II) Karena I = II , maka persamaan Mempunyai jawab 2.
x1 x2 2 2x1 2x2 2 a1 = {1, -1} → Tak bebas a2 = {2, -2} → Tak bebas Jadi Rank A = 0 ………. (I) 1 -1
2
2 -2
2
a1 = {1, -1, 2} → Bebas
(A,b) = a2 = {2, -2, 2} → Bebas
Jadi Rank A, b = 2 ………. (II) Karena I ≠ II , maka persamaan Tidak mempunyai jawab Penyelesaian Cara II : 1.
x1 x2 0 x1 2x2 3 → x2 = -3
x1 – x2 = 0 x1 = -3
Mempunyai jawab
jadi
46
2.
x1 x2 2 2x1 2x2 2
0x1 + 0x2 = 1 0 1 Tidak Cocok
jadi tidak mempunyai jawab Menurut ilmu ukur persamaan tersebut sejajar. 2x1 - 2x2 = 2
X2
x1 - x2 = 2
+1
▪
▪
+2
X1
-1 ▪
▪ -2
3.
x1 x2 1 2x1 2x2 2
0x1 + 0x2 = 0
x1 – x2 = 1 , x1 = 1 + t x2 = t 4.
misal x2 = t
x + 2y + 3z = 6 2x -
y+ z=2
x + 7y + 8z = 11
47
0 = 0 Cocok Mempunyai jawab
1 0 0
2
3
5
5
5
5
6 ~ 10 : 5 5 : 5
1 2 3 6 ~ 0 1 1 2 ~ 0 1 1 1 1xII
1 0 0
2 3 1
1
0
0
6 2 1
0x + 0y + 0z = -1 0 ≠ -1 Tidak Cocok Jadi tidak mempunyai jawab 5.
x 2y + 3z = 6
3 6 ~ 1 2 3 6 ~ 1 2 2 1 1 2 2xI 0 5 5 10 : 5 1 3 1 3 1xI 0 1 4 3 ~
2x ─ y + z = 2 x + 3y ─ z = 3
6 ~ 1 2 3 0 1 1 2 ~ 0 1 4 3 1xII
y+z =2
1 2 3 0 1 1 0 0 5
6 ~ 2 ~ 5 : 5
y =1
x + 2y + 3z = 6
x =1
1 2 3 6 0 1 1 2 0 0 1 1
z=1
x 1 y 1 z 1
6. 2x1 - x2 + x3 – x4 = 3 x1 + x2 - 2x3
=2
x2 - x3 + x4 = 1 1 1 2 0 2 ~ 1 1 2 0 2 ~ 1 1 2 0 2 0 1 1 1 1 ~ 0 1 1 1 1 ~ 0 1 1 1 1 0 3 5 1 1 3xII 0 0 2 2 2 : 2 0 0 1 1 1
Mempunyai jawab x1 + x2 - 2x3
=2
x2 - x3 + x4 = 1 x3 + x4
Misal : x4 = t
=1
x3 = 1 - t
x2 = 1 + 1 – t – t = 2 – 2t x1 = 2 + 2 + 2t + 2 - 2t = 2 48
x1 = 2 x2 = 2 - 2t x3 = 1 - t x4 = t Persamaan Linier Homogen 1. x1 + x2 - x3
=0
x1 - x2 + x3
=0
2x1 + x2 + 2x3 = 0
Jawaban Trivial 2. 2x1 - x2 - x3 - x4
=0
x1 + x2 - 2x3
=0
x1 + x2 - 2x3
=0
x2 - x3 +
1∕3x4
=0
Misal : x3 = s
dan x4 = t
x2 = x3 - 1∕3x4 = s - 1∕3t x1 = - x2
+
2x3
=
- s + 1∕3t + 2s
=
s + 1∕3t
49
Jawaban Tak trivial
JOB SHEET 8 Apakah sistem persamaan linier tak homogen di bawah ini “Mempunyai Jawab” atau “Tidak mempunyai Jawab”, jika “Ya” tentukan jawabannya ! 1. x y + 2z
=1
x + y 2z
=2
x 3y z = 2 2. 2x1 + x2 + 2x3 + x4 x1 x2 2x3
=1 =2
2x1 3x2 + x3 2x4 = 2 3. x1 x2 x3 x4 2x5
=3
2x1 x2 2x3 x4 2x5 = 2 3x1 x2 x3 2x4 x5 Apakah
sistem
= 4
persamaan
linier
homogen
mempunyai jawaban “Trivial” atau “Tak Trivial” 1. w + x 2y + z
=0
w + x 2y 2z
=0
2w x + 2y + 3z
=0
2. x1 x2 2x3 x4 3x5 = 0 x1 2x2 x3 2x5
=0
x1 x2 x3 3x4 2x5
=0
50
di
bawah
ini
Sifat-sifat Persamaan Linier Tak Homogen 1. Tidak mempunyai penyelesaian, jika unsur terkanan dari baris terbawah = 1 Contoh :
; 2. Mempunyai penyelesaian, jika unsur 1 dari baris terbawah tidak pada kolom terakhir Contoh :
a. Mempunyai tepat 1 penyelesaian, jika banyak baris tak nol = banyak nilai yang dicari b. Mempunyai lebih dari satu penyelesaian, jika banyak baris tak nol banyak nilai yang dicari Contoh : 1.
x1 – x2 + x3
=4
2x1 – x2 – x3
=2
x1
Apakah persamaan ini Mempunyai penyelesaian ?
– 2x3 = 1
Jawab :
Tidak mempunyai penyelesaian
51
2.
x1
– x3 + 2x4
2x1 – x2 – x3 + x4 2x1 – 2x2
– x4
=2
Apakah persamaan ini Mempunyai penyelesaian ?
=3 =2
Jawab :
Sifat 2 Jadi mempunyai penyelesaian
Penyelesaiannya : Banyak baris tak nol = 3 Banyak nilai yang dicari = 4
x1
x3 + 2x4 = 2 x2 – x3 + 3x4 = 1
Misalkan : x3 = t
x4 = 0 x2 x3 + 3x4
=1
x2 = 1 + x3 – 3x4 = 1 + t – 3(0) = 1 + t x1 = 2 + x3 – 2x4 = 2 + t – 0 = 2 + t
52
3<4 Jadi lebih dari satu penyelesaian (sifat 4)
3.
x1 + x2 – x3 + x4
=3
2x1 – x2 + x3 – x4
=1
Apakah persamaan ini Mempunyai penyelesaian ?
x1 + 2x2 – x3 + 2x4 = 4 x1 + 2x2 – x3 + 3x4 = 5 Jawab :
Sifat 2 : Mempunyai penyelesaian Penyelesaiannya : Banyak baris tak nol = 4 Banyak nilai yg dicari = 4
4=4
Jadi mempunyai tepat satu penyelesaian (sifat 3) x4 = 1 , x3 = -2/3 , x2 = 1 – 1 = 0 x1 = 3 – x4 + x3 – x2 = 3 – 1 – 2/3 – 0 =
53
4/ 3
JOB SHEET 9 Apakah persamaan-persamaan ini mempunyai penyelesaian. Jika Ya, tentukan penyelesaiannya ! 1.
4x1 + 8x2 – 4x3 = 4 x3
2. 2x1
= 2 + x2 – 2x3 – 2x4 = 2 + 4x2
x1 – 4x2 3. 2w
– 2y – 2z
= 2 – x3 + 2x4 = 2 + 4x
w – 4x
= 2 – y + 2z
2+x+y
=0
8x – 4y
=4
54
KARAKTERISTIK EIGEN Batasan : 1. Vektor ū R, ū 0 dan R, dimana A ū = ū, maka disebut nilai eigen 2. diketahui maka akan terdapat persamaan eigen dan vektor eigen. A matriks ukuran n x n dan bilangan sembarang, maka terjadi : Aū= ū
Aū=Iū
Iū–Aū=0
( I – A) ū = 0
Supaya ada jawab tak trivial maka l I – A l = 0 Contoh :
2 3 1. A 4 1 Jawab :
Carilah nilai-nilai eigen !
1 0 2 3 λ 0 2 3 λ 0 1 4 1 0 λ 4 1
2 3 ( (λ – 2) (λ –1) – 12 = 0 4 1 λ2 – 3λ + 2 – 12 = 0
λ2 – 3λ - 10 = 0 2.
λ1 = 5 , λ2 = -2
1 0 8 A 0 2 1 1 0 3
Tentukan : 1. Persamaan eigen 2. Nilai eigen 3. Vektor-vektor eigen 4. Ruang eigen beserta basis dan dimensinya!
55
Jawab : 1.
λ 1 0
0 λ2
8 1
λ 1 0
0 λ2
1
0
λ3
1
0
= ( – 1) ( – 2) ( – 3) + 0 + 0 – 8 ( – 2) – 0 – 0 = 0 = ( – 2) { ( – 1) ( – 3) – 8} = 0 Persamaan Eigen 2. – 2 = 0 1 = 2 ( – 1) ( – 3) – 8 = 0 2
– 4 + 3 – 8 = 0
2 – 4 – 5 = 0 2 = 5 dan 3 = -1
1 2 2 5 3 1
Nilai Eigen
3. 1 = 2 0 8 1 0 8 2 1 0 2 2 1 0 0 1 1 0 2 3 1 0 1
1 0 8 x1 0 0 0 1 x 0 2 1 0 1 x3 0
x3 = 0
x1 ― 0 = 0
x1
– 8x3
= 0
– x3
= 0
- x1
– x3
= 0
x1 = 0
Misal x2 = t Vektor eigen ialah
4.Ruang eigen E1 =
x x x
1 2 3
0 1 = t 0
0 t 1 , t R 0 56
0 1 0
dimensinya E1 = 1 , basis =
2 = 5
4 0 8 x1 0 0 3 1 x 0 2 1 0 2 x3 0 x1 -x1
4x1
– 8x3 = 0 3x2 – x3 = 0
-x1
+ 2x3 = 0
– 2x3 = 0 3x2 – x3 = 0 Misal : x2 = t , x3 = 3t x1 – 6t = 0 + 2x3 = 0 x = 6t 1
Vektor eigen ialah =
x1 6 x 2 = t 1 x 3 3
6 Ruang eigen E2 = t 1 , t R 3 dimensinya E2 = 1 , basis = 3 = -1
6 1 3
– 8x3 = 0 2 0 8 x1 0 - 2x1 0 3 1 x 0 –3x2 – x3 = 0 2 1 0 4 x 3 0 - x1 – 4x3 = 0 -x1 -x1
– 4x3
= 0
-3x2 – x3 = 0 Misal : x2 = t , x3 = -3t x1 – 12t = 0 + 4x3 = 0 x = 12t 1
57
Vektor eigen ialah =
x1 12 x2 = t 1 x3 -3
Ruang eigen E3 =
dimensinya E3 = 1 , basis =
58
JOB SHEET 10 Diketahui matriks :
Tentukan kedua Matriks di atas : 1. Persamaan eigen 2. Nilai eigen 3. Vektor-vektor eigen 4. Ruang eigen beserta basis dan dimensinya!
59
DIAGONALISASI Batasan : Matriks bujur sangkar dapat didiagonalkan, jika terdapat matriks tak singular P, sehingga P-1.A.P matriks diagonal. Misal A dapat didiagonalkan, maka terdapat matriks tak singular P sehingga A1 = P-1.A.P dimana : A1
= matriks diagonal
P
= matriks tak singular
Dalil : Matriks A (berukuran n x n) dapat didiagonalkan jika dan hanya jika A mempunyai n vektor eigen yang bebas linier, dan vektor-vektor eigen matriks A itu adalah kolom-kolom matriks P yang mendiagonalkan A. Contoh : 1. Tunjukkan matriks
1 0 1
A
= dapat didiagonalkan 2. Tentukan
matriks
tak
singular
0 2 0
8 1 3
yang
mendiagonalkan
matriks A 3. Tentukan matriks diagonalnya. Jawab : 1.
λ 1 0 8 λ 1 0 0 λ 2 1 0 λ 2 1 0 λ 3 1 0 = ( – 1) ( – 2) ( – 3) + 0 + 0 – 8 (– 2) – 0 – 0 = 0 = ( - 2) { ( – 1) ( – 3) – 8} = 0
60
– 2 = 0 1 = 2 ( – 1) ( – 3) – 8 = 0 2 – 4 + 3 – 8 = 0 2 – 4 – 5 = 0 2 = 5 dan 3 = -1
1 2 2 5 3 1
Nilai Eigen
1 = 2
1 0 8 x1 0 0 0 1 x 0 2 1 0 1 x3 0 x3 = 0
x1 ― 0 = 0
Misal x2 = t
x x x
Vektor ā ialah
–8x3
= 0
– x3
= 0
-x1
– x3
= 0
x1 = 0 1 2 3
0 1 = t 0
2 = 5
4 0 8 x1 0 0 3 1 x 0 2 1 0 2 x3 0 x1 -x1
4x1
– 8x3 = 0 3x2 – x3 = 0
- x1
+ 2x3 = 0
– 2x3 = 0 3x2 – x3 = 0 Misal : x2 = t , x3 = 3t x1 – 6t = 0 + 2x3 = 0 x = 6t
Vektor ē ialah =
1
x1 x 2 = t x 3 61
6 1 3
3 = -1 -2x1
2 0 8 x1 0 0 3 1 x 0 2 1 0 4 x3 0 -x1
– 4x3
– 8x3 = 0
-3x2 – x3 = 0
-x1
– 4x3 = 0
= 0
-3x2 – x3 = 0 Misal : x2 = t , x3 = -3t -x1
x1 – 12t = 0
+ 4x3 = 0
x1 = 12t
x Vektor ō ialah = x x 0 Maka ā, ē, ō = 1 0
1 2 3
12 1 = t 3
6 , 1 3
12 , 1 3
Himpunan vektor-vektor di atas merupakan calon P. Adapun syarat P adalah (1) Non Singular (2) Bebas linier Kita coba cek kedua syarat tersebut : (1) Apakah Non Singular ?
= 36 + 18 = 54 0 (Non Singular)
(2) Apakah Bebas Linier ?
62
0 6 12 II 1 1 1 ~ 1 1 1 ~ 1 1 1 ~ 1 1 1 I 0 6 12 : 6 0 1 2 ~ 0 1 2 ~ 0 3 3 ~ 0 3 3 : 3 0 1 1 1XII 0 0 3 : 3 1 0 0
1 1 0
1 2 1
Banyak baris tak nol = 3 Banyak kolom tak nol = 3
Jadi ; Bebas linier
Karena kedua syarat terpenuhi ( non singular dan bebas linier) maka
himpunan
vector-vektor
tersebut
syah
sebagai
selanjutnya berarti matriks A dapat didiagonalkan.
4. Jadi P =
0 6 12 1 1 1 0 3 3
5.Tentukan A1, cari dulu P
-1
=?
~ 0 6 12 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 6 12 1 0 0 2 III 0 3 3 0 0 1 ~ 0 3 3 0 0 1 ~ 1 1 1 0 1 0 ~ 0 0 18 1 0 - 2 ~ 0 3 3 0 0 1 :3
1 1 1 0 1 0 ~ 0 0 18 1 0 2 0 1 1 0 0 13
1 1 1 0 1 0 ~ 1 1 1 0 1 0 II 0 1 -1 0 0 1 ~ 0 1 -1 0 0 1 III 3 3 -2 1 0 0 18 1 0 - 2 :18 0 0 1 18 0 18 ~
63
P
1 0 - 2 0 1 1 0 1 0 18 0 1 0 0 1 18 0
-1 3 2 9 -1 9
2xIII ~ ~
2 1 18 1 18 0 1 18 0
Jadi P-1 =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
-2 18 1 18 1 18
1 0 0
-1 9 2 9 -1 9
2 18 2 1 2 1 0 4 9 18 1 1 0 2 9
1 9
2 18 2 1 0 8 0 6 12 1 1 0 4 0 2 1 1 1 1 18 1 0 2 1 0 3 0 3 3
A1 = P-1.A.P
0 36 0 1 0 90 0 18 0 0 18
64
2 0 0 0 5 0 0 0 1
JOB SHEET 11
Diketahui matriks :
Carilah matriks diagonal_nya !
65