BAB 2 LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dipaparkan mengenai konsep dasar tentang matriks meliputi definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi matriks, determinan, kofaktor, invers suatu matriks, serta metode yang dapat digunakan untuk mencari nilai determinan dan invers suatu matriks.
2.1 Matriks 2.1.1 Definisi Matriks
Menurut (Nicholson, 2004) matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Jadi sebuah matriks berikut:
dengan
berukuran
()
dapat ditulis sebagai
adalah entri-entri yang terletak dibaris ke dan kolom ke .
2.1.2 Jenis-Jenis Matriks
Berikut dipaparkan beberapa jenis matriks yang berhubungan dengan pembahasan dalam penelitian ini antara lain:
1. Matriks Bujur Sangkar
Matriks bujur sangkar adalah suatu matriks yang banyaknya banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom, yang dinyatakan dengan dapat ditulis dengan
dimana dimana
Universitas Sumatera Utara
2. Matriks Segitiga-Atas dan Segitiga-Bawah
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang entri dibawah atau diatas garis diagonal utama adalah nol (Zwillinger, 2003).
3. Matriks Simetris
Menurut ( Leon, 2001) suatu matriks jika
.
berukuran
disebut simetris
4. Minor dan Kofaktor
) adalah matriks bujur sangkar, maka minor entri
dinyatakan oleh
dan didefinisikan menjadi determinan sub-
Misalkan
= (
matriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolomke-j dihapuskan dari Bilangan
dinyatakan oleh
(Anton,2004).
5. Matriks Adjoin
dinamakan kofaktor entri
(Hefferon, 2012) Matriks adjoin dari matriks berukuran
Adjoin
dimana
[ =
]
adalah kofaktor-kofaktor dari matriks
.
adalah
6. Matriks Identitas
Leon
menyatakan matriks identitas adalah matriks yang
dinotasikan dengan
dimana
{ berorde
,
adalah entri-entri yang terletak dibaris ke dan kolom ke
Universitas Sumatera Utara
2.2 Determinan 2.2.1
Definisi Determinan
Determinan dari suatu matriks berordo
skalar yang diasosiasikan dengan matriks sebagai :
di mana
, dinyatakan sebagai det ( ) adalah
dan didefinisikan secara induktif
{ ()
adalah kofaktor-kofaktor yang
diasosiasikan dengan entri-entri dalam baris pertama dari
2.2.2
(Leon, 2001).
Definisi Kofaktor Matriks
Suatu matriks kuadrat
dengan
baris dan
kolom ke- , maka determinan dari matriks kuadrat dengan
kolom dihilangkan baris ke- dan
baris dan
kolom, yaitu sisa matriks yang tinggal (disebut minor matriks dari elemen
) diberi simbol
. Apabila pada setiap minor ditambahkan tanda + (plus)
atau – (minus) sebagai tanda pada determinan dan kemudian dinotasikan dengan simbol: simbol
maka diperoleh suatu kofaktor elemen yang biasanya diberi
. Dengan kata lain kofaktor
, sehingga setiap
elemen mempunyai kofaktor sendiri-sendiri (Anton, 2004).
Nilai determinan matriks
sama dengan penjumlahan hasil kali semua
elemen dari suatu baris atau kolom matriks yaitu:
dengan kofaktor masing-masing
a. Dengan menggunakan elemen-elemen baris kedet det
∑ ∑ dimana
...,n
b. Dengan menggunakan elemen-elemen kolom kedet det
dimana
...,n
Universitas Sumatera Utara
2.2.3
Sifat-Sifat Determinan
Berikut ini akan diperlihatkan beberapa sifat-sifat determinan menurut Sianipar (2008) yakni: a. Jika setiap elemen suatu baris (kolom) dari determinan suatu matriks digandakan dengan skalar
maka harga determinan menjadi
| |
.
b. Jika matriks adalah suatu matriks segitiga-atas maupun matriks segitiga bawah maka nilai determinannya adalah hasil perkalian setiap elemen diagonal utamanya c. Jika matriks
diperoleh dari matriks
dengan membawa baris ke-
(kolom) menjadi menjadi baris (kolom) yang lain, maka
||||
d. Jika suatu baris (kolom) merupakan satu atau lebih baris (kolom) dari suatu matriks kuadrat
| | | | maka
e. Determinan dari hasil ganda matriks sama dengan hasil ganda determinan masing-masing matriks itu, jadi:
| | | |||||
determinan dari jumlah (selisih) beberapa matriks tidak sama dengan jumlah (selisih) dari masing-masing determinan matriks itu, jadi:
| | | | || ||
Catatan. Jika determinan suatu matriks kuadrat
tingkat
sama dengan
nol , maka disebut singular, jika tidak disebut non singular.
2.2.4 Mencari Determinan Menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE)
Salah satu cara lain dalam menentukan determinan suatu matriks
adalah
dengan mereduksi bentuk matriks tersebut menjadi matriks baru yang mempunyai penghitungan determinan lebih mudah, misalkan dalam bentuk matriks segitiga, dimana determinan dari matriks segitiga adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utamanya (Anton, 2004).
Untuk mereduksi sebuah matriks, dapat dilakukan dengan operasi baris elementer. Operasi baris elementer merupakan operasi aritmatika (penjumlahan
Universitas Sumatera Utara
dan perkalian) yang dikenakan pada setiap unsur dalam suatu baris pada sebuah matriks. Operasi baris elementer meliputi : 1. Pertukaran baris 2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol 3. Penjumlahan suatu baris pada baris yang lain
Secara sederhana determinan suatu matriks merupakan hasil kali setiap unsur diagonal pada suatu matriks segitiga-atas atau matriks segitiga-bawah. Sehingga operasi baris elementer pada sebuah matriks akan mempengaruhi nilai determinannya. Pengaruh operasi baris elementer pada suatu matriks antara lain:
1) Jika ’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal
konstanta k, maka det( ’) = k det( ) 2) Jika
’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris
maka
dikalikan oleh
dipertukarkan,
det( )= - det( ) 3) Jika
’ adalah matriks yang dihasilk an bila kelipatan suatu baris
ditambahkan pada baris lain, maka det( ’) = det( ).
2.3 Invers Matriks 2.3.1
Definisi Invers Matriks
Menurut Zwillinger (2003) suatu (invertible)
matriks bujur sangkar dikatakan dapat dibalik
jika terdapat matriks
dinamakan invers dari
|| maka
ditulis
, sehingga
. Jika matriks
| |
adalah adjoin dari
tidak dapat didefinisikan
dinyatakan sebagai matriks singular. Invers dari dengan
sehinga
didefinisikan sebagai
dan
merupakan nilai
determinan matriks .
Universitas Sumatera Utara
2.3.2
Sifat-Sifat Invers Matriks
Berikut ini adalah beberapa sifat-sifat dari invers matriks antara lain:
1. Menurut Keith (2004) Jika matrik , maka
ataupun
adalah invers dari matriks
, maka
. dengan mengalikan
.
Bukti: Karena
adalah invers dari
kedua ruas di sisi kanannya dengan
diperoleh
sehingga
2. Jika
dan
. Tetapi
.
adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan ukurannya
sama, maka: a.
dapat dibalik
b.
3. Jika A adalah matriks yang dapat dibalik (invertible), maka: a.
dapat dibalik dan
b. b. Jika
c.
2.3.3
=
, maka
mempunyai kebalikan dan
dapat dibalik dan
untuk
Invers Matriks Dengan Metode Adjoin
Mencari invers suatu matriks dengan mempergunakan adjoin misalnya matriks kuadrat dengan baris dan kolomnya masing-masing sebesar
() yaitu elemen
suatu . Jadi
dan setiap elemen dari matriks mempunyai kofaktor,
mempunyai kofaktor
untuk semua elemen matriks
. Apabila semua kofaktor itu dihitung
, kemudian dibentuk suatu matriks
kofaktor dari semua elemen matriks
() [
sebagai elemennya, maka:
]
dengan
disebut matriks kofaktor
Universitas Sumatera Utara
Adjoin matriks
ialah suatu matriks yang elemen-elemennya terdiri dari
transpose semua kofaktor dari elemen-elemen matriks , yaitu apabila
dimana
ialah kofaktor dari elemen
Jadi, jelasnya
, maka adjoint matriks
(Supranto, 2003).
ialah transpose dari matriks kofaktor
() [ 2.3.4
,
yaitu:
, yaitu:
]
Invers Matriks Dengan Metode Counter
Mencari invers suatu matriks dengan Metode Counter menurut Supranto (2003) juga menyatakan apabila
suatu matriks kuadrat yang non-singular det
,
yaitu dengan baris dan kolom masing-masing sebanyak
dan
matriks. Kemudian diletakkan di sebelah kanan matriks
, maka diperoleh suatu
matriks
yang disebut
augemented matriks sebagai berikut:
Selanjutnya apabila terhadap baris-baris baik dari matriks jelasnya terhadap baris-baris augemented matriks elementer sedemikian rupa sehingga matriks
diperoleh invers dari .
suatu identitas
maupun matriks
. ,
, dilakukan tranformasi
berubah menjadi
maka akan
Universitas Sumatera Utara
