Matriz (matemática) Na matemática, uma matriz é uma tabela de m x n símbolos sobre um corpo F, representada sob a forma de um quadro com m linhas e n colunas e utilizado, entre outras coisas, para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações transformações lineares.
Organização de uma matriz
Notações e definições As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como ai,j ou a[i,j]. Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente geralmente chamada de vetor. Uma matriz 1 × n (uma linha e n colunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, e uma matriz m × 1(uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna. Nas linguagens de programação, programação , os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 ( Fortran, Fortran, MATLAB, MATLAB, R (linguagem de programação), etc) ou a partir de 0 (C ( C (linguagem de programação) e seus dialetos). dialetos). Por exemplo, o elemento a(1,1) em Fortran corresponde ao elemento a[0][0] em C.
Exemplos A matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais
Nesse exemplo, o elemento a 1 2 é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.
As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por
exemplo, aij = i + j, para i de 1 a 3 e j de 1 a 2, define a matriz 3x2
.
Algumas definições A transposta de uma matriz A m × n é a matriz Atn × m em que , ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornarse-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da m coluna.
Exemplo: Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal os elementos a ij onde i = j, para i de 1 a n. A matriz identidade In é a matriz quadrada n × n que tem todos os membros da diagonal principal iguais a 1 e 0 nas outras posições. Exemplo:
.
A única matriz identidade que não contém zero é a matriz identidade de ordem 1: Uma matriz A é simétrica se A = At. Isso só ocorre com matrizes quadradas.
Operações envolvendo matrizes Não se define adição ou subtração de um número com uma matriz, e nem divisões envolvendo matrizes. Multiplicação por um escalar
A multiplicação é uma das operações que precisamos ter mais atencão,pois qualquer erro pode ser fatal. Para multiplicar uma matriz é só pegar linha por coluna. Por exemplo:
Adição e subtração entre matrizes
Dado as matrizes A e B do tipo m por n, sua soma A + B é a matriz m por n computada adicionando os elementos correspondentes: ( A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j ]. Por exemplo:
Para melhorar a forma de calcular, você pode reescrever a segunda matriz, revertendo seus elementos, onde o elemento (-1) passará para (1) e o elemento (2) passará para (-2) e assim sucessivamente. Após feito isso, além de fazer A-B, você usará A+B. Lembre-se: Você só pode fazer isso com Matriz negativa, onde recebe o sinal negativo, por exemplo:
em -A+B, o A que poderá ser reescrito. Multiplicação de matrizes
Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se A é uma matriz m por n e B é uma matriz n por p, então seu produto AB é a matriz m por p (m linhas e p colunas) dada por:
para cada par i e j. Por exemplo:
A multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades: z A e B m×n e matriz C k ×m ("distribuição à esquerda"). É importante notar que a comutatividade não é geralmente garantida; isto é, dados as matrizes A e B com seu produto definido, então geralmente AB ≠ BA. Algoritmo para a multiplicação de uma matriz A por
matriz C:
uma matriz B, sendo o resultado gravado numa
Propriedades Determinante
O determinante é uma propriedade matricial útil na resolução de sistema de equações lineares (que sempre podem ser representados através de matrizes), além de outras aplicações matemáticas. Transposta da Multiplicação
Para respeitar a correspondência entre linhas e colunas de uma multiplicação, a transposta de uma multiplicação de matrizes é dada como a transposta de cada matriz multiplicada na ordem inversa. Para o caso de duas matrizes: ( A * B)t = Bt * At No caso de N matrizes: ( A * B * C * ... * N )t = N t * ... * Bt * At Característica
A característica de uma matriz é um inteiro não negativo que representa o número máximo de linhas (ou colunas) da matriz que são linearmente independentes. [1] De acordo com o teorema de Kronecker, temos que a característica de uma matriz B é c se e somente se: • •
Existe pelo menos uma submatriz c*c cujo determinante é diferente de zero. Toda submatriz quadrada de ordem superior a c tem determinante zero.
Um menor de uma matriz é o determinante de uma de suas submatrizes. Logo, B tem a característica c quando pelo menos uma de suas submatrizes tem um determinante c não nulo (seu menor ) e todo menor de ordem superior é igual a zero. Se c for não nulo, então c é o maior inteiro não-negativo tal que B possui pelo menos uma submatriz c * c com determinante diferente de zero. De acordo com a definição,
Onde m é o número de linhas e n o número de colunas de B.
