Tema: Optimización Lida Buitrago García 25 de mayo de 2013 Se enumeran a continuación algunos pasos que son útiles al abordar un problema de esta naturaleza. 1. Hacer Hacer hasta donde sea posible un dibujo indicando indicando las variables ariables que intervienen intervienen en el problema. 2. Determinar Determinar la función a maximizar maximizar o minimizar minimizar asi como el interv intervalo alo en el cual está de…nida. de…nida. 3. Utilizar Utilizar la informació información n del problema problema para expresar expresar la función función obtenida en el paso 2., en términos términos de una sola variable, en este caso se recurre a la información auxiliar que da el problema. 4. Derivar Derivar la función función a optimizar optimizar respecto a su variable variable independiente. independiente. 5. Igualar Igualar a cero la derivada derivada de la función, y resolve resolverr la ecuación ecuación para la variable ariable independien independiente te (se obtienen los puntos críticos) 6. Hallar Hallar la segunda segunda derivada derivada y reemplaza reemplazarr los puntos puntos críticos, críticos, con el …n de utilizar el criterio criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos 7. Dar respuesta respuesta al problema. problema. : Es importante tener presente que las respuestas obtenidas deben ATENCI ON dar respuesta respuesta al problema; es decir no todos los puntos que satisf satisf acen la f uncion on a optimizar satisfacen el problema: EJEMPLO
Un alambre de 100 cm de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un cuadrado. ¿Cómo debe ser cortado el alambre para que: La suma de las áreas de las dos …guras sea máxima? La suma de las áreas de las dos …guras sea mínima? Solución:
1. Supóngase Supóngase que el alambre alambre se parte parte a una distancia distancia x de uno de sus extremos. Si x es la longitud de la circunferencia, entonces 100 x es el perímetro del cuadrado
1
2. La función a optimizar es el área del cuadrado mas el área del círculo. 100 x x El radio de la circunferencia es y el lado del cuadrado es . Ahora sea A (x) la función 2 4 x 2 100 x 2 que representa la suma de ambas áreas, entonces se tiene A (x) = + para 2 4 0 x 100, ya que se cuenta con 100 cm de alambre.
3. Para este problema este paso no es necesario ya que la asignación de variables en el grá…co nos permite de…nir a A (x) en términos de una sola variable. 4. Por ser A (x) una función continua en el intervalo [0; 100], existe un valor máximo y un valor mínimo de A (x) en dicho intervalo, por tanto se garantiza que el problema tendrá respuesta. Derivando la expresión se tiene d dA dx
= =
5. Al igualar a cero se obtiene que,
1 8
x 2
2
+
100 x 4
! 2
dx
1 (4x 100 + x) 8
(4x 100 + x) = 0, de donde x = 00
6. Al determinar la segunda derivada A (x) =
d
ser constante y positiva, determina que en x =
1 8
(4x 100 + x) dx
100 es un punto crítico. 4+
=
100 hay un mínimo. 4+
1 ( + 4) 8
la cual por
7. Como hay que dar respuesta al problema, se deben encontrar los valores máximos y minimos para el problema, por lo tanto se determinan los valores de A (x) para:
a )
b)
100 4+ 2
2
100 100 4+ 4
2
1 0B@ 1CA 0B@ CA
El punto crítico x =
100 100 ;A 4+ 4+
=
+
Y los extremos del intervalo A (0) y A (100) ; A (0) =
0 2
2
+
=
100 0 4
2500 +4
= 350;061
2
= 625
y
100 2 100 100 2 2500 + = = 795;77 lo cual indica que el valor mínimo se A (100) = 2 4 tiene para el punto crítico y el valor máximo para 100 cm, es decir se obtiene un área máxima cuando se forma solamente una circunferencia.
Ejercicios 1. Completar los siguientes enunciados de tal manera que al a…rmación sea correcta a )
Para determinar los valores extremos de una función es necesario determinar primero ___________.
b)
El criterio de segunda derivada dice que ___________________
c )
Al determinar la función a optimizar en un problema, es necesario hallar _________ para luego determinar los puntos críticos.
2
d )
Si en un problema de optimización se pide hallar valores máximos y mínimos y al utilizar los criterios de primera y segunda derivada solo se obtiene uno de ellos, entonces el valor faltante se debe encontrar en __________________. Resolver los siguientes problemas
2. Determinar dos números no negativos cuya suma sea 1 y la suma de sus cuadrados sea mínima. 3. Si a y b son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es 1. Hallar el máximo valor que puede tomar 2a+b. 4. Se va a fabricar una lata cilíndrica sin tapa para contener 100cm3 de líquido. Encontrar las dimensiones que minimizan el material requerido en la construcción. 5. Una página rectangular ha de contener 96 cm2 de texto. Los márgenes superior e inferior tienen 3cm de anchura y los laterales 2cm. Qué dimensiones de la página minimizan la cantidad de papel requerida?
6. Dos fábricas están situadas a un mismo lado de una carretera, la una a 4 Kms. Y la otra a 6 Kms. de distancia. Los puntos de la carretera más próximos a las fábricas están separados 5 Kms. Se desea instalar una central eléctrica que suministre energía a ambas fábricas. En que punto del borde de la carretera debe instalarse para que la distancia total a las fábricas sea mínima. 7. Una caja descubierta por la parte superior y de base cuadrada debe construirse con 192 pie material, ¿Cuales deben ser las dimensiones de la caja para que el volumen sea máximo?.
2
de
8. Se va a construir una caja abierta recortando cuadrados iguales en cada una de las esquinas de una hoja de cartón de 12 pulg 2 para después doblar hacia arriba los lados. Calcule la longitud del lado del cuadrado que se debe recortar para que se maximice el volumen. ¿ Cuál es el volumen?
Figura ejercicio 9
3
9. Una ventana tiene de un rectángulo con un semicírculo en la parte superior ( el diámetro del semicírculo mide lo mismo que la base del rectángulo). Si el perímetro de la ventana es igual a 30 cm. Calcule las dimensiones de la ventana para que por ella entre la mayor cantidad posible de luz (mayor área posible) Una tienda de campaña va a tener una forma cónica. Calcular la razón entre la medida del radio y la altura para que una tienda de determinado volumen requiera la menor cantidad de material. 10. Un trozo de alambre de 20 cm de longitud se va a cortar en dos segmentos, cada uno de los cuales será doblado para formar un cuadrado. ¿Cómo deberá cortarse el alambre de manera que el área total de los dos cuadrados sea la más pequeña posible? 11. Una empresa fabrica y vende escritorios y trabaja en competición perfecta (los precios de los artículos son constantes) y puede vender a un precio de $200 el escritorio todos los escritorios que produce. Si x escritorios se producen y se venden cada semana y C (x) dolares es el costo total de producción semanal, entonces C (x) = x2 + 40x + 3000: Determinar cuántos escritorios deberán fabricarse por semana para que la empresa obtenga la mayor utilidad total por semana. ¿Cuál es dicha utilidad máxima por semana? 12. Se va a edi…car una construcción de un solo piso que tenga una super…cie rectangular de 13200 pies2 ; se necesitará un área de descarga de 22 pies de ancho en las partes frontal y trasera y además se necesitará un área de descarga de 15 pies de ancho a los lados. Calcular las dimensiones del lote que tenga la menor área en la cual se pueda levantar dicha construcción. 13. Se ha determinado que si los salarios se excluyen, el número de dolares en el costo por kilómetro 1 por el manejo de un camión es de 8 + 300 x; donde x km/h es la velocidad del camión. Si el salario combinado del conductor y de su ayudante es de $27 por hora, ¿Cuál debe ser la velocidad promedio del camión para que el costo por kilómetro sea mínimo? 14. La sección transversal de una pileta tiene forma de un triángulo isósceles invertido. Si las longitudes de los lados iguales es de 38 cm, hallar el tamaño del ángulo que dará a la pileta su máxima capacidad. 15. Un campo rectangular que tiene un área de 2700 m2 será cercado con una barda y se empleará una barda central para dividirlo por la mitad. Si el costo de la barda central es de $6 por metro y el de la barda de los lados es de $9 el metro, calcular las dimensiones del campo que hagan que el costo de la barda sea mínimo. 16. Un fabricante de cajas va a fabricar una caja cerrada con un volumen especí…co V , cuya base será un rectángulo con una longitud tres veces mayor que su anchura. Determinar cuales son las dimensiones más económicas. 17. ¿ Cuál es el área máxima del rectángulo inscrito en una semicircunferencia de radio r? 18. Determinar las dimensiones del rectángulo que tenga área máxima y que se pueda inscribir en un triángulo equilátero con lado de longitud L. Sí un lado del rectángulo esta en la base del triángulo. 19. Un rectángulo con 36 cm de perímetro gira sobre uno de sus lados generando un cilindro. Encontrar el volumen máximo del sólido generado.
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