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PONTIFICIA PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESCUELA DE GRADUADOS
PROGRAMA: MBA GERENCIAL LVI CURSO: MATEMÁTICA FINANCIERA PROFESOR: JULIO AYCA VARGAS
TRABAJO GRUPAL EJERCICIOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA: PROBLEMAS BLANCK & TARQUIN: CAP. 4, 5 Y 6 PROBLEMA VAN
PRESENTADO POR: Sr. Jorge Flores Velazque Sr. Wilinton Lozano Corrales Sra. Saby Mendoza Marín Srta. Laura Palomino Mazuelos
FECHA 20.01.2013
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EJERCICIOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA: - PROBLEMAS BLANCK & TARQUIN: CAP. 4, 5 Y 6 - PROBLEMA VAN TABLA DE CONTENIDOS CAPÍTULO 4: TASAS DE INTERÉS NOMINALES Y EFECTIVAS .................................... 2 PROBLEMA 4.21 ................................................................ ............................................................. 2 PROBLEMA 4.23 ................................................................ ............................................................. 3 PROBLEMA 4.25 ................................................................ ............................................................. 4 PROBLEMA 4.27 ................................................................ ............................................................. 5 PROBLEMA 4.29 ................................................................ ............................................................. 6 PROBLEMA 4.31 ................................................................ ............................................................. 7 PROBLEMA 4.33 ................................................................ ............................................................. 8 PROBLEMA 4.35 ................................................................ ............................................................. 9 PROBLEMA 4.37 ................................................................ ........................................................... 10
CAPÍTULO 5: ANÁLISIS DE VALOR PRESENTE ............................................................. 11 PROBLEMA 5.10 ................................................................ ........................................................... 11 PROBLEMA 5.12 ................................................................ ........................................................... 12 PROBLEMA 5.14 ................................................................ ........................................................... 13 PROBLEMA 5.16 ................................................................ ........................................................... 14 PROBLEMA 5.18 ................................................................ ........................................................... 16 PROBLEMA 5.20 ................................................................ ........................................................... 17 PROBLEMA 5.23 ................................................................ ........................................................... 18 PROBLEMA 5.25 ................................................................ ........................................................... 19 PROBLEMA 5.30 ................................................................ ........................................................... 20
CAPÍTULO 6: ANÁLISIS DEL VALOR ANUAL. ................................................................ 22 PROBLEMA 6.2 ....................................................... ................................................................. ..... 22 PROBLEMA 6.3 ....................................................... ................................................................. ..... 23 PROBLEMA 6.5 ....................................................... ................................................................. ..... 24 PROBLEMA 6.7 ....................................................... ................................................................. ..... 25 PROBLEMA 6.9 ....................................................... ................................................................. ..... 26 PROBLEMA 6.11 ................................................................ ........................................................... 27 PROBLEMA 6.14 ................................................................ ........................................................... 28 PROBLEMA 6.15 ................................................................ ........................................................... 30 PROBLEMA 6.17 ................................................................ ........................................................... 31 .................................................................................................................................................... 31
PROBLEMA 6.19 ................................................................ ........................................................... 32
EJERCICIO VAN ................................................................................................................... 33 33 REFERENCIAS ............................................................................................................................ 34 34
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EJERCICIOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA: BLANK & TARQUIN: CAP. 4, 5 Y 6 PROBLEMA VAN CAPÍTULO 4: Tasas de interés nominales y efectivas
Problema 4.21 Una compañía que se especializa en el desarrollo de software para seguridad en línea, quiere tener disponibles $85 millones para dentro de 3 años pagar dividendos accionarios. ¿Cuánto dinero debe reservar ahora en una cuenta que gana una tasa de interés de 8% anual, compuesto trimestralmente? Solución: Gráfico: F= $ 85MM 0
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P=? Trimestralmente
Datos: i=8% anual, compuesto trimestralmente i efectiva trimestral= 8%/4 = 2% F= 85MM n = 3 años = 12 trimestres P = 85(P/F, 2%,12) P = 85(0.7885) P = $67.0225 millones
* Respuesta: Ahora debe reservar $67.0225 $67.0225 millones
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3
Problema 4.23 Hoy, una suma de $5000 con tasa de interés de 8% anual compuesto semestralmente, ¿a cuánto dinero equivalía hace 8 años? Solución: F = 5 000 n=8 r = 8% anual compuesto semestralmente m=2 P=?
é () = ( + ) -1 =(1+
. 2 ) 2
−1
= (1.04)2 − 1 = 0.0816 = . %
= ( + )
Despejando:
= ⁄( 1 + ) = 5000⁄(1 + 0.0816)
= . * Respuesta: Hace 8 años los $5000 equivalían a $2669.54
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Problema 4.25 La Identificación por Radio Frecuencia (IDRF) es la tecnología que se usa para que los conductores crucen rápido las casetas de cobro, y también con la que los rancheros rastrean el ganado de la granja al tenedor. Wal-Mart espera comenzar a usarla para dar seguimiento a los productos dentro de sus tiendas. Si los productos con etiquetas de IDRF dan lugar a un mejor control de los inventarios, la compañía ahorraría $1.3 millones mensuales a partir de tres meses después de hoy, ¿Cuánto podría desembolsar la empresa para implantar la tecnología, con una tasa de interés de 12% anual, compuesto mensualmente, si desea recuperar su inversión de 2 ½ años? Tasa interés nominal: Número de períodos =
r = 12% anual, compuesto mensualmente. 30 meses
Tasa interés efectiva:
i = 1%
Período, meses 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
mensual
Flujo Efectivo, $ millones
1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3
VP 0 =
$30.99
VP1 =
$31.61
=VA(D12,2,,F17)
=VNA(D12,C18:C45)
Respuesta: El monto a desembolsar hoy para recuperar la inversión en 2.5 años a una tasa de 12% anual compuesto mensualmente es de $ 30.99 millones.
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Problema 4.27 Es común que las tarjetas de video basadas en el procesador GTS GeForce de Nvidia cuesten $250, pero esta compañía lanzó una versión ligera del chip que cuesta $150. Si cierto fabricante de juegos de video compraba 3 000 chips por trimestre, ¿cuál fue el valor presente de los ahorros asociados con el chip más barato, durante un periodo de 2 años con una tasa de interés de 16% anual, compuesto trimestralmente? Solución:
* Respuesta: El valor presente es USD 2,019,823.46
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Problema 4.29 La división de productos ópticos de Panasonic planea una expansión de su edificio que tendrá un costo de $3.5 millones, para fabricar su poderosa cámara digital Lumix DMC. Si la compañía usa para todas las inversiones nuevas una tasa de interés de 20% anual, compuesto trimestralmente. ¿cuál es la cantidad uniforme por trimestre que debe obtener para recuperar su inversión en 3 años? Gráfico:
A= ?
0
1
2
3
i=20% P= $ 3.5MM
Datos: i= 20% anual, compuesto trimestralmente i efectiva trimestral = 20%/4= 5% A = 3.5(A/P,5%,12) A = 3.5(0.11283) A = $ 0.394905 millones A = $ 394, 905
* Respuesta: La cantidad uniforme por trimestre que debe obtener para recuperar su inversión en 3 años es = $ 394, 905
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Problema 4.31 Lotus Development tiene un plan de renta de software denominado SmartSuite, disponible en web. Puede disponerse de cierto número de programas a $2.99 por 48 horas. Si una compañía constructora usa el servicio 48 horas en promedio por semana. ¿Cuál es valor presente de los costos por rentar durante 10 meses con una tasa de 1% de interés mensual, compuesto semanalmente? (Suponga 4 semanas por mes). Solución: Costo : $ 2.99 x 48 horas Empresa: costo semanal: $2.99 Tiempo : 40 semanas A= $2.99 semanal n = 40 semanas r = 1% mensual compuesto semanalmente Tasa semanal nominal = ¼ = 0.25% P=? P = A (P/A,0.25%,40) P = 2.99 (P/A,0.25%,40) P = 2.99 (38.0199) P = $113.68
* Respuesta: El valor presente de los costos es de $113.68
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Problema 4.33 Metropolitan Walter Utilities compró una superficie acuática del distrito de riesgo. Elephant Butte, con un costo de $100 000 por mes, para los meses de febrero a septiembre. En lugar de hacer un pago mensual, la empresa hará un solo pago de $800 000 al final del año (es decir, al final de diciembre) por el agua utilizada. El retraso del pago representa en esencia un subsidio de parte de la empresa al distrito de riesgo. Con una tasa de interés de 0.25% mensual, ¿cuál es el monto del subsidio? Tasa interés nominal:
r = 0.25%
mensual
OPCION 1: Período (meses) 0 Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre
OPCIÓN 2:
Flujo Efectivo
-100,000 -100,000 -100,000 -100,000 -100,000 -100,000 -100,000 -100,000
VF =
$807,035
VF =
$813,103
=VF(C8,8,B14)
=VF(C8,3,,-D21)
Un solo pago de $ 800,000 al final de diciembre
Respuesta: el monto Valor final de opción 1 - opción 2 del Subsidio es $13,103
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Problema 4.35 Magnetek Instrument and Controls, fabricante de sensores de nivel líquido, espera que las ventas de uno de sus modelos incrementen 20% cada 6 meses, durante el futuro previsible. Si se espera que las ventas dentro de 6 meses sean de $150 000, determine el valor semestral equivalente de las ventas durante un periodo de 5 años, con una tasa de 14% de interés anual compuesto semestralmente. Solución: En primer lugar corresponde determinar el valor presente de las ventas futuras: Tasa de interés: 14% compuesto semestralmente => la tasa es 7% semestral. Periodo de 5 años con tasa semestral de 7% => se considera para el cálculo 10 periodos. Valor Presente = 150,000{1 – [(1+0.20)10/(1+0.07)10]}/(0.07 – 0.20) = 150,000(16.5197) = $2,477,955 A continuación se determina el valor semestral equivalente de las ventas. Valor semestral equivalente = 2,477,955(A/P,7%,10) Mediante tablas se calcula el factor de recuperación de capital (A/P) = 2,477,955(0.14238) = $352,811
* Respuesta: El valor semestral equivalente de las ventas es USD 352,811
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Problema 4.37 Fieldsaver Tecnologies, fabricante de equipo de precisión para laboratorio, obtuvo un préstamo de $2 millones para renovar una de sus instalaciones de pruebas. El préstamo se reembolsó en 2 años mediante pagos trimestrales que aumentaban $50 000 en cada ocasión. Con una tasa de interés de 3% trimestral, ¿cuál fue el monto del pago del primer trimestre?
Gráfico
G=50,000
x 0
1
2
P= $ 2MM
2, 000,000 2, 000,000 2, 000,000 825,970 A
= A (P/A,3%,8) + 50,000(P/G,3%,8) = A (7.0197) + 50,000(23.4806) = A (7.0197)+ 1, 174,030 = A (7.0197) = $117,665
* Respuesta: El monto del pago del primer trimestre fue $117,665
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CAPÍTULO 5: Análisis de valor presente Problema 5.10 En 2004, las ventas de agua embotellada en los Estados Unidos fueron por 16.3 galones por persona. Una botella de Evian Natural Spring Walter cuesta 40c. Una instalación municipal de agua proporciona agua del grifo con un costo de $2.10 por cada 1000 galones. Si en promedio una persona bebe dos botellas de agua al día, o usa 5 galones diarios si obtiene dicha cantidad del grifo, ¿cuáles son los valores presentes de tomar agua embotellada o del grifo por persona durante 1 año? Utilice una tasa de interés de 6% anual, compuesto mensualmente, y 30 días por mes. Solución: 1. Agua embotellada : $ 0.40 x botella Consumo por persona: 2 botellas / día Costo por mes: (0.40 x 2 x 30) = $24 2. Agua del grifo : $2.10/1000 = $0.0021 x galón Consumo por persona: 5 galones / dia Costo por mes: (0.0021 x5 x30) = $ 0.315 A1 = $24 A2 = $0.315 n = 12 meses r = 6% anual, compuesto mensualmente Tasa mensual nominal = 6/12 = 0.5% Hallamos el valor presente dada una anualidad: P = ¿? Agua embotellada:
P = A (P/A, 0.5%, 12) P = 24 (P/A,0.5%,12) P = 24 (11.6189) P = 278.85
Agua del grifo:
P = A (P/A, 0.5%, 12) P = 0.315 (P/A,0.5%,12) P = 0.315 (11.6189) P = 3.66
* Respuesta: El valor presente de tomar agua embotellada es de $278.85 por persona, y de tomar agua del grifo es de $3.66 por persona, durante un año.
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Problema 5.12 Una empresa de manufactura transductores de presión amplificada trata de decidir entre las alternativas de máquina que se muestran a continuación. Compárelas sobre la base de sus valores presentes netos, con el empleo de una tasa de interés de 15% anual. Velocidad variable -250 000 -231 000 -140 000 50 000 6
Costo inicial, $ Costo de operación anual, $/año Reparación mayor en el año 3, $ Reparación mayor en el año 4, $ Valor de rescate, $ Vida, años
Velocidad dual -224 000 -235 000 -26 000 10 000 6
Solución:
Tasa de interés =
15%
anual
Velocidad Variable:
VPNvariable =
-250,000 – 231,000(P/A,15%,6) – 140,000(P/F,15%,4) + 50,000(P/F,15%,6)
VPNvariable =
-250,000 – 231,000(3.7845) – 140,000(0.5718) + 50,000(0.4323) VPN variable =
-1,182,657
Velocidad Dual:
VPNdual =
-224,000 –235,000(P/A,15%,6) –26,000(P/F,15%,3) + 10,000(P/F,15%,6)
VPNdual =
-224,000 –235,000(3.7845) –26,000(0.6575) + 10,000(0.4323) VPN dual =
-1,126,130
Respuesta: Por lo tanto al observar los resultados se elige la alternativa de la máquina con velocidad dual, porque representa el menor valor presente neto.
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Problema 5.14 En la producción de un polímero que reduce las pérdidas por fricción en las máquinas, pueden usarse dos procesos: el proceso K tendría un costo inicial de $160 000 y su operación costaría $7 000 por trimestre, mientras su valor de rescate sería de $40 000 después de 2 años de vida. El proceso L tendría un costo inicial de $210 000, otro de operación de $5 000 por trimestre, y un valor de rescate de $26 000 al terminar su vida de 4 años. ¿Cuál proceso debe elegirse con el criterio del valor presente, con una tasa de interés de 8% anual, compuesto trimestralmente? Solución:
* Respuesta: Debe elegirse el proceso K por ser el de menor costo
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Problema 5.16 El administrador de ciertas instalaciones de alta tecnología presentó a la GAO tres planes diferentes para operar infraestructura de operación de amar pequeñas. El plan A involucraría contratos de 1 año renovables, con pagos de $1 000 000 al comienzo de cada año. El plan B sería un contrato de 2 años y requeriría cuatro pagos de $600 000 cada uno, de los que el primero se efectuaría ahora y los otros tres a intervalos de 6 meses. El plan C consiste en un contrato de 3 años e implica un pago de $1 500 000 millones ahora y otro de $500 000 dentro de dos años. Si se supone que GAO podría renovar cualquiera de los planes en las mismas condiciones de quererlo así, ¿cuál de ellos es mejor, según el criterio de análisis del valor presente, con una tasa de interés de 6% anual, compuesto semestralmente?
Solución: Como se observa los periodos, tienen diferentes términos (vidas), por ende primero debemos de identificar el MCM de los 3 planes, siendo 6 años (1, 2,3 años)
Pla n A
VPA=?
0
1
2
3
4
5
6
3
4
5
6
$ 1,000,000 Pla n B
VPB=?
1
$ 600,000 Pla n C
2
$ 600,000
$ 600,000
$ 600,000
VPC=? 0
1
2
$ 500,000 $ 1,500,000
3
4
5
6
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Plan A: 1) Convertir la tasa a efectiva anual i efectiva anual: (1 + 0.06)2 – 1 = 2
Plan A VPa= -1, 000,000 - 1, 000,000(P/A, 6.09%,5) = -1,000,000 - 1,000,000 ((1+6.09%) ^5)-1/ (6.09 %*(( 1+6.09%) ^5)) = -1,000,000 - 1,000,000(4.2021) = -5,202,100 Plan B VPb = -600,000 – 600,000(P/A, 3%, 11) = -600,000 – 600,000(9.2526) = -6,151,560 Plan C VPc= =-1,500,000 – 500,000(P/F, 3%, 4) – 1,500,000(P/F, 3%, 6) - 500,000(P/F,3%,10) = -1, 500,000 – 500,000(0.8885) – 1,500, 000(0.8375) – 500,000(0.7441) = -3,572,550
* Respuesta: Se selecciona el Plan C, ya que el costo es menor en términos de VP; es decir el VPc es mayor en términos numéricos que el VPa y el VPb
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Problema 5.18 El Departamento de Energía propone nuevas reglas que ordenan un incremento para 2005 de 20% en la eficiencia de lavadoras de ropa y de 35% para 2008. Se espera que el aumento de 20% agregue $100 al precio actual de una lavadora, mientras que el de 35% sumará $240 al precio. Si el costo de la energía es de $80 por año con el 20% de incremento en la eficiencia, y de $65 anuales con 35% de aumento en la misma, ¿cuáles de estos dos estándares resulta más económico según el análisis del valor futuro, con una tasa de interés de 10% anual? Supongamos una vida de 15 años para todos los modelos de lavadoras.
Solución: 2005 Eficiencia 20% : Precio actual P : $100-----------------Costo Energía : A= $80 x año 2008 Eficiencia 35% Precio actual P : $240 ----------------Costo Energía: A= $65 x año F = ¿?
i = 10% anual
n = 15 años
1. Eficiencia 20% : Año
0
Inv inicial 20% costo Flujo neto de efectivo
100
100
1
2
3
4
80
80
80
-80
-80
-80
VALOR FUTURO DEL FEN (PERIODO 0 -15)=
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
80
80 80
80
80
80
80
80
80
80
80
80
-80
-80 -80 -80 -80 -80 -80 -80 -80 -80 -80
-80
Función =VF(10%,15,-80,100) S/. -2,959.52
2. Eficiencia 35% : Año
0
Inv inicial 35% costo Flujo neto de efectivo
240
240
1
2
3
4
65
65
65
-65
-65
-65
VALOR FUTURO DEL FEN (PERIODO 0 -15)=
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
65
65 65
65
65
65
65
65
65
65
65
65
-65
-65 -65 -65 -65 -65 -65 -65 -65 -65 -65
-65
Función =VF(10%,15,-65,240) S/. -3,067.75
* Respuesta: Según el análisis de valor futuro, el esquema de eficiencia del 20% resulta más económico pues los costos de $ 2,959,52 resultan ser menores que la otra alternativa.
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Problema 5.20 En cierta operación de manufactura pueden usarse tres tipos de barrenos para perforar. El más barato es uno de acero inoxidable de alta velocidad(HSS), pero tiene una vida más corta que uno de óxido de oro u otro de nitrito de titanio. La compra de los barrenos HSS costaría $3 500 y bajo las condiciones en que se usarían durarían tres meses. El costo de operación de dichos aditamentos sería de $2 000 por mes. Los barrenos de óxido de oro costarían $6 500 y durarían 6 meses, con un costo de operación de $1 500 mensuales. Los de nitrito de titanio tendrían un costo por operarlos de $1 200. Con una tasa de interés de 12% anual, compuesto mensualmente, ¿qué tipo de barreno debería usarse, según el análisis del valor futuro? Tasa de interés nominal: Tasa de interés efectiva:
r = 12 % anual compuesto mensualmente i = 1 % mensual
Opción A: con barreno de acero inoxidable (HSS) Opción B: con barreno de óxido de oro Opción C: con barreno de nitrito de titanio A
0 -3,500
1
2
3
-2,000
-2,000
-2,000
-3,500
-2,000
-2,000
-2,000
B Inv. Inicial GAO Recuperación FEN
0 -6,500
1
2
3
4
5
6
-1,500
-1,500
-1,500
-1,500
-1,500
-1,500
-6,500
-1,500
-1,500
-1,500
-1,500
-1,500
-1,500
C Inv. Inicial GAO Recuperación FEN
0 -7,000
1
2
3
4
5
6
-1,200
-1,200
-1,200
-1,200
-1,200
-1,200
-7,000
-1,200
-1,200
-1,200
-1,200
-1,200
-1,200
MCM = 6 : A Inv. Inicial GAO Recuperación FEN
0 -3,500
1
2
4
5
6
-2,000
-2,000
3 -3,500 -2,000
-2,000
-2,000
-2,000
-3,500 -2,000 S/. -18,488
-2,000
-5,500
-2,000 VF =
1
2
3
4
5
6
-1,500
-1,500
-1,500
-1,500
-1,500
-1,500
-6,500 -1,500 S/. -15,193
-1,500
-1,500
-1,500 VF =
1
2
3
4
5
6
-1,200
-1,200
-1,200
-1,200
-1,200
-1,200
-7,000 -1,200 S/. -13,955
-1,200
-1,200
-1,200 VF =
Inv. Inicial GAO Recuperación FEN
VP = MCM = 6 : B Inv. Inicial GAO Recuperación FEN
0 -6,500
VP = MCM = 6 : C Inv. Inicial GAO Recuperación FEN
0 -7,000
VP =
-2,000 -2,000 S/. -19,625
=VF(1%,6,,-B41)
-1,500 -1,500 S/. -16,128
-1,200 -1,200 S/. -14,813
Respuesta: Tomando en cuenta los resultados después de uniformizar el tiempo de vida útil se escogería la alternativa "C" porque se tiene el menor valor futuro.
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Problema 5.23 El costo de ampliar cierta carretera en el Parque Nacional de Yellowstone es de $1.7 millones. Se espera que el costo de volverla a pavimentar y ejecutar otros trabajos de mantenimiento sea de $350 000 cada 3 años. ¿Cuál es el costo capitalizado de la carretera, con una tasa de interés de 6% anual? Solución: El valor presente de los costos no recurrentes es USD 1,700,000 La tasa de interés el 6% anual El costo de pavimentación y mantenimiento es USD 350,000 cada 3 años Para obtener el costo capitalizado se suma algebraicamente el valor presente de los costos no recurrentes con el valor anual equivalente de las cantidades recurrentes (costo de pavimentación y mantenimiento) Costo Capitalizado = -1,700,000 – 350,000(A/F,6%,3)/0.06 Mediante tablas determinamos el factor de amortización A/F = - 1,700,000 – 350,000(0.31411)/0.06 = $-3,532,308
* Respuesta: El costo capitalizado es de USD 3,532,308
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Problema 5.25 Una ciudad que intenta atraer a un equipo profesional de futbol planea construir un estadio nuevo, lo cual cuesta $250 millones. Se espera que los gastos de mantenimiento anuales asciendan a $800 000 por año. El pasto artificial tendría que sustituirse cada 10 años, con un costo de $950 000. Pintar el estado de cada 5 años costaría $75 000. Si la ciudad espera dar mantenimiento a la instalación en forma indefinida, ¿cuál sería su costo capitalizado, con un interés de 8% anual? Solución Paso 1: Diagrama de Flujo
i=8% anual 0
1
2
3
4
5
6
$ 75
7
8
9
10 ……… $ 75
$ 80 0M $ 80 0M $ 80 0M $ 80 0M $ 80 0M $ 80 0M $ 80 0M $ 80 0M $ 80 0M $ 80 0M
$ 950M
$ 250MM
Paso 2: Valor presente de los costos no recurrentes: US$ 250, 000,000 Paso 3: Valor anual uniforme equivalente de todas las cantidades recurrentes Gastos de mantenimiento: US$ 800,000 por año Pasto artificial: US$ 950,000 cada 10 años Pintar: US$ 75,000 cada 5 años CC = -250,000,000 – (800,000(A/F, 8%, 1)/0.08 – (950,000(A/F,8%,10))/0.08 – 75,000(A/F,8%,5)/0.08 CC = -250,000,000 – 800,000(1.00000)/0.08 – (950,000(0.06903))/0.08 – (75,000(0.17046))/0.08)
CC= -260,979,538 * Respuesta: el costo capitalizado sería $260,979,538
20
Problema 5.30 Compare las alternativas siguientes sobre la base de su costo capitalizado, con una tasa de 10% de interés anual. Pienso con base en Pienso con base petróleo inorgánica -250 000 -110 000 -130 000 -65 000 400 000 270 000 50 000 20 000 6 4
Costo inicial, $ Costo de operación anual, $/año Ingreso anuales, $/año Valor de rescate, $ Vida, años Solución:
i = 10%
Base en petróleo Año Costo inicial Ingreso anuales, Costo de operación anual Valor de rescate
0 -250,000
1
2
3
4
5
6
400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 -130,000 -130,000 -130,000 -130,000 -130,000 -130,000 50,000
Flujo neto de efectivo
-250,000
270,000 270,000 270,000 270,000 270,000 320,000
i = 10%
Base inorgánica Año
0 -110,000
Costo inicial Ingreso anuales, Costo de operación anual Valor de rescate Flujo neto de efectivo
-110,000
1
2
3
4
270,000 270,000 270,000 270,000 -65,000 -65,000 -65,000 -65,000 20,000 205,000 205,000 205,000 225,000
Siendo dos alternativas de vida finita diferente, usaremos el Mínimo Común Múltiplo para poder comprarlas. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Base en petróleo Año Costo inicial Ingreso anuale s, Costo de operación anual Valor de rescate Flujo neto de efectivo
0 -250,000
-250,000
1
2
3
4
5
6 7 8 9 10 11 12 -250,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 -130,000 -130,000 -130,000 -130,000 -130,000 -130,000 -130,000 -130,000 -130,000 -130,000 -130,000 -130,000 50,000 50,000 270,000 270,000 270,000 270,000 270,000 70,000 270,000 270,000 270,000 270,000 270,000 320,000
21
CC 1 inicial CC 2 recurrente: Función =-PAGO(10%,6,,-250000)/10% CC 3 recurrente: -130000/10% CC 4 recurrente: 4000/10% CC5 no recurrente_ Función =-PAGO(10%,6,,50000)/10% VAN TOTAL
Base inorgánica Año Costo inicial Ingreso anuales, Costo de operación anual Valor de rescate Flujo neto de efectivo
0 -110,000
-110,000
1
2
3
4 5 6 -110,000 270,000 270,000 270,000 270,000 270,000 270,000 -65,000 -65,000 -65,000 -65,000 -65,000 -65,000 20,000 205,000 205,000 205,000 115,000 205,000 205,000
7
8 -110,000 270,000 270,000 -65,000 -65,000 20,000 205,000 115,000
CC 1 inicial CC 2 recurrente: función =-PAGO(10%,4,,-110000)/10% CC 4 recurrente: 270000/10% CC5 recurrente: -65000/10% CC6 no recurrente: =-PAGO(10%,4,,20000)/10% VAN TOTAL
-250,000 -324,018 -1,300,000 4,000,000 64,804 2,190,785
9
10
11
12
270,000 -65,000
270,000 -65,000
270,000 -65,000
205,000
205,000
205,000
270,000 -65,000 20,000 225,000
-110,000 -237,018 2,700,000 -650,000 43,094 1,746,076
* Respuesta: Al comparar las 2 alternativas resulta más conveniente la Alternativa 1: Base en petróleo por tener el mayor VAN $2,190,785.
22
CAPÍTULO 6: Análisis del valor anual. Problema 6.2 La máquina A tiene una vida de 3 años sin valor de rescate y suponga que el servicio que proporciona sería de solo 5 años. La alternativa A implica volver a comprar la máquina y conservarla durante 2 años únicamente. ¿Cuál tendría que ser su valor de rescate después de 2 años para que su valor anual fuera el mismo con el ciclo de vida de 3 años y una tasa de interés de 10% anual?. Año 0 1 2 3 4 5
Alternativa A, $ -10 000 -7 000 - 7 000 - 7 000
Alternativa B, $ -20 000 -5 000 -5 000 -5 000 -5 000 -5 000
Solución: Tasa de interés: i = 10 % anual
I Inv. Inicial GAO Recuperación FEN VPI = II Inv. Inicial GAO Recuperación FEN VPII =
0 -10,000
-10,000
1
2
3
-7,000
-7,000
-7,000
-7,000
-7,000
-7,000
-27,408 0 -10,000
-10,000
-11,021 4
5
-7,000 -7,000
-7,000 X -7,000
1
2
-7,000
-7,000
3 -10,000 -7,000
-7,000
-7,000
-17,000
-44,049
= PAGO(10%,3,-B23)
AI =
A II =
-11,620 + [X * (A/F, 10%, 5)]
Por lo tanto igualando las anualidades de ambas opciones se tiene: -11,620 + [X * (A/F, 10%, 5)] = -11,021 -11,620 + (X * 0.1638) = -11,021
X = $ 3,657 Respuesta: El valor de rescate después de 2 años de comprada a máquina sería de $ 3,657.
23
Problema 6.3 Una empresa de consultoría en ingeniería estudia dos modelos de SUV para sus directivos. El de la marca General Motors tendrá un costo inicial de $26 000, uno de operación de $2 000, y un valor de rescate de $12 000 después de 3 años. Por otra parte, el fabricado por Ford tendría un costo inicial de $29 000, uno de operación de $1 200, y un valor de reventa de $15 000 una vez transcurridos 3 años. Con una tasa de interés de 15% anual. ¿cuál modelo debe de comprar la compañía?. Haga un análisis del valor anual. Solución:
* Respuesta: La compañía debe adquirir el vehículo SUV de la marca Ford por ser de menor costo considerando el valor anual.
24
Problema 6.5 Un ingeniero químico estudia dos calibres de tubería para transportar productos destilados de una refinería al tanque de una granja. La compra de un tubo delgado costaría menos (incluyendo las válvulas y otros accesorios) pero tendría una elevada pérdida por fricción y, por lo tanto, un mayor costo de bombeo. Una tubería con estas características costaría $1.7 millones una vez instalada y tendría un costo de operación de $12 000 por mes. Otra de mayor diámetro costaría $2.1 millones ya instalada, pero su costo de operación sería únicamente de $8 000 por mes . ¿Qué calibre de tubo es más económico, con una tasa de interés de 1% mensual, según el análisis del valor anual? Suponga que el valor de rescate es el 10% del costo inicial para cada tubo al final del período de 10 años del proyecto. Solución: RC tubería pequeña = -1, 700,000(A/P,1%,120) – 12,000 + 170,000(A/F,1%,120) = -1,700,000(0.01435) – 12,000 + 170,000(0.00435) = $ -35,656 RC tubería grande = -2, 100,000(A/P,1%,120) – 8,000 + 210,000(A/F,1%,120) = -2, 100,000(0.01435) – 8,000 + 210,000(0.00435) = $-37,222
* Respuesta: El calibre más económico, corresponde a la “tubería pequeña”
25
Problema 6.7 Un ingeniero industrial analiza la compra de dos robots para una compañía que manufactura fibra óptica. El robot X tendría un costo inicial de $85 000, otro anual de mantenimiento y operación (M&O) de $30 000 y un valor de rescate de $40 000. El robot Y tendría un costo inicial de $97 000, costos de M&O de $27 000 por año, y un valor de rescate de $48 000 . ¿Cuál debiera seleccionar sobre la base de comparar su valor anual con una tasa de interés de 12% anual? Use un periodo de estudio de 3 años.
Solución: Robot X
i= 12%
Año
Costo inicial Costo de operación anual (COA) Valor de rescate
0
1
2
3
-85,000 -30,000
-30,000
-30,000 40,000
A1: Año 0 a anualidad---- Funcion =-PAGO(12%,3,-85000)
-35,390
A2: COA
-30,000
A3: valor de rescate a anualidad,dado F-- Función =-PAGO(12%,3,,40000)=
11,854
VALOR ANUAL : A1+A2+A3
-53,536
Robot Y
i= 12%
Año
Costo inicial Costo de operación anual Valor de rescate
0
1
2
3
-97,000 -27,000
-27,000
-27,000 48,000
A1: Año 0 a anualidad---- Funcion =-PAGO(12%,3,-97000)=
-40,386
A2: COA
-27,000
A3: Función=-PAGO(12%,3,,48000)=
14,225
VALOR ANUAL : A1+A2+A3
-53,161
*Respuesta: Considerando el Valor Anual deberíamos considerar el Robot Y.
26
Problema 6.9 Un ingeniero mecánico analiza dos tipos de sensores de presión para una línea de vapor de baja presión. ¿cuál debe seleccionarse, con base en la comparación del valor anual, con una tasa de interés de 12% por año? Los costos se muestran a continuación. Costo inicial, $ Costo de mantenimiento, $/año Valor de rescate, $ Vida, años
Tipo X -7 650 -1 200 0 2
Tipo Y -12 900 -900 2 000 4
Solución: Tasa de interés: i = 12 % anual
X Inv. Inicial GAO Recuperación FEN
0 -7,650
1
2
-1,200 -7,650
-1,200
-1,200 0 -1,200
0 -12,900
1
2
3
4
-900
-900
-900
-12,900
-900
-900
-900
-900 2,000 1,100
MCM = 4 : X 0 Inv. Inicial -7,650 GAO Recuperación FEN -7,650 VP = -$17,393
1
2 -7,650 -1,200 0 -8,850
3
4
Y Inv. Inicial GAO Recuperación FEN
MCM = 4 : Y 0 Inv. Inicial -12,900 GAO Recuperación FEN -12,900 VP = -$14,363
-1,200 -1,200
-1,200
-1,200 0 -1,200 -1,200 AX = -$5,726
1
2
3
-900
-900
-900
-900
-900
= PAGO(12%,4,-B32)
4
-900 2,000 -900 1,100 AX = -$4,729
=PAGO(12%,4,-B39)
Respuesta: Tomando en cuenta los resultados después de uniformizar el tiempo de vida útil se escogería el sensor de presión de tipo "Y" porque representa la menor anualidad.
27
Problema 6.11 Para producir un polímero pueden usarse dos procesos que reducen las pérdidas por fricción en las máquinas. El proceso K tendría un costo inicial de $160 000, otro de operación de $7 000 mensuales, y un valor de rescate de $40 000 después de 2 años de vida. El proceso L tendría un costo inicial de $210 000, otro de operación de $5 000 por mes, y un valor de rescate de $26 000 después de 4 años de vida. ¿Cuál proceso debe seleccionarse, de acuerdo con el análisis de valor anual, con un interés de 12% por año, compuesto mensualmente?
Solución:
*Respuesta:. Debe seleccionarse el proceso L por tener un menor costo tomando en consideración el valor anual.
28
Problema 6.14 El departamento de carreteras estatales trata de decidir si debe colocar baches en una sección pequeña de un camino local o repavimentarlo. Si se usa el método del bacheo, se requerirían aproximadamente 300 metros cúbicos de material, con un costo d e $700 por metro cúbico (en el sitio). Además, al mismo tiempo tendrían que mejorarse las cunetas a un costo de $24 000. Estas mejoras durarían al menos 2 años y después tendrían que volverse a hacer. El costo anual del mantenimiento preventivo en la carretera bacheada sería de $5 000. La alternativa es que el Estado repavimente el camino, con un costo $850 000. Esta superficie duraría la menos 10 años si se le da mantenimiento, lo que costaría $2 000 por año, y comienza dentro de 3 años. Cualquiera que sea la alternativa seleccionada, el camino se reconstruiría por completo dentro de 10 años. Con una tasa de interés de 8% anual, ¿cuál alternativa debe seleccionar el Estado, según el análisis del valor anual? Solución:
Alternativa 1: Método del bacheo Requerimiento: 300m3 de material, C/U $700 =$ 210,000 Costo de cunetas: $ 24,000 COA de mantenimiento: $ 5,000 0
1
2 … ( Continua )
$ 5,000 Material: $ 210,000 Cunetas : $ 24,000
RC = - ((700) (300) + 24,000)(A/P,8%,2) – 5000 = -234,000(0.56077) – 5000 = $-136,220
Alternativa 2: Repavimentación del camino Costo: $ 850,000
29
COA de mantenimiento: $ 2000, a partir del año 3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
$ 2,0 00 $ 2,0 00 $ 2,0 00 $ 2,0 00 $ 2,0 00 $ 2,0 00 $ 2,0 00 $ 2,0 00 $ 850,000
RC= -850,000(A/P,8%,10) – 2000(P/A,8%,8)(P/F,8%,2)(A/P,8%,10) = -850,000(0.14903) – 2000(5.7466)(0.8573)(0.14903) = -126,676 – 1,468 = $-128,144
*Respuesta: El Estado debe elegir la Alternativa 2 “Repavimentación del camino”
30
Problema 6.15 ¿Cuánto debe depositar Ud. En su cuenta de ahorros para el retiro si comienza hoy y continúa haciéndolo anualmente hasta el noveno año (es decir, 10 depósitos), si desea tener la capacidad de retirar $80 000 por año para siempre, y empieza hacerlo dentro de 30 años? Suponga que la cuenta gana un interés de 10% anual. Solución:
i = 10%
A=¿?
*
0
1
2
3 4 5
6
7
8
P2
P1
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30
31
32
-80000 -80000 -80000
Encontramos P1 en el año 29 y luego lo e nviamos al año 9 (P2) P1
VP = A/i = -8000/10% =
P2 =
P/F = Funcion =VA(10%,20,,-800000)
A=
A/F = Función =-PAGO(10%,10,,118915)
S/. -800,000 S/. 118,915 S/. 7,461
* Respuesta: se debe depositar $ 7,461 en la cuenta de ahorros.
31
Problema 6.17 Un agente de bolsa afirma que puede ganar 15% de manera consistente con el dinero de un inversionista. Si ella invierte $20 000 ahora, $40 000 dentro de 2 años y $10 000 anuales hasta el año 11, y comienza a hacer esto cuatro años después de hoy, ¿cuánto dinero podría retirar el cliente cada año y para siempre, si se inicia dentro de 12 años, la agente de bolsa logra lo que dijo y la cuenta gana 6% anual del año 12 en adelante? Ignore los impuestos. Solución:
El valor presente de una anualidad infinita no capitalizada es: VP = A / i% Entonces la anualidad es:A = VP * i % i%=
15%
Períodos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Inversión Inicial -20,000 -40,000 Ahorro anual -10,000 -10,000 -10,000 -10,000 -10,000 -10,000 -10,000 -10,000 Retiro anual Flujo de efectivo neto -20,000 0 -40,000 0 -10,000 -10,000 -10,000 -10,000 -10,000 -10,000 -10,000 -10,000 VP en el año "0" -$79,751 =VNA(B12,C18:M18)+B18 VF en el año "11" $371,031 =VF(B12,11,,B19) Tasa de interés del año 12 hacia adelante 6% =B20*B21 Anualidad del año 12 al infinito $22,262
Respuesta: El cliente podría retirar $ 22,262 cada año y para siempre, iniciándose del año 12 hacia adelante con una tasa de 6 % anual.
12
13 al infinito
32
Problema 6.19 El flujo de efectivo asociado con el arreglo y mantenimiento de un monumento ubicado en Washington, D.C. es de $100 000 ahora y $50 000 cada 5 años para siempre. Determine su valor anual equivalente perpetuo (en los años 1 al infinito) con una tasa de interés de 8% anual.
Solución:
*Respuesta:. El valor anual equivalente perpetuo es de USD 16,522.82
33
EJERCICIO VAN Una empresa estudia un proyecto de inversión que presenta las siguientes características: Desembolso inicial: 90,000 Ingresos proyectados 1er año: 30,000 Para el resto de los años se espera que los ingresos sean un 10% superior al del año anterior. Los egresos entre el año 1 y el año 5 son 15,000. Duración del proyecto: 5 años Valor residual: 20,000. Costo de capital 8% Responder lo siguiente: 1) Según el criterio del VAN ¿se puede llevar a término esta inversión? 2) Si la empresa sólo acepta aquellos proyectos que representen una rentabilidad de 11% ¿Se haría la inversión?
Solución : Encontramos el VAN del flujo neto de efectivo del proyecto. Luego estimamos el índice de rentabilidad: i = 8%
0 Inversión Inicial
1
2
3
4
5
-90,000.0
Ingresos
30,000.0
33,000.0
36,300.0
39,930.0
43,923.0
Egresos
-15,000.0
-15,000.0
-15,000.0
-15,000.0
-15,000.0
15,000.0
18,000.0
21,300.0
24,930.0
48,923.0
Valor residual
20,000.0
Flujo neto de efectivo
-90,000.0
VAN 1 (INICIAL)
-90,000.0
VAN 2 (Año 1-5)
97,850.1
VAN TOTAL
INDICE DE RENTABILIDAD =
7,850.1
VAN 2 VAN 1 INICIAL
INDICE DE RENTABILIDAD =
97,850.1 -90,000.0
INDICE DE RENTABILIDAD = Rentabilidad
-1.0872 8.72%
Respuesta 1: Según el criterio del VAN, esta inversión SI se puede llevar a término, debido a que el VAN es mayor a 0. Respuesta 2: El proyecto tiene una rentabilidad de 8.72%, siendo menor a la requerida por la empresa (11%), entonces esta inversión no debería realizarse.
