Md Solids

UNIVERSIDAD VERACRUZANA VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA

“RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TORSION UTILIZANDO M D S O L I D S”

MONOGRAFIA Que para obtener el título de: INGENIERO MECÁNICO ELÉCTRICISTA PRESENTA: ORSI MANUEL MOLINA JIMENEZ DIRECTOR DE MONOGRAFIA: ING. RODOLFO SOLORZANO HERNANDEZ

XALAPA, VER.

SEPTIEMBRE 2011

Índice

Introducción ............................................... ..................................................... ...... 1 ............................................................. ...... 3 Torsión ....................................................... ....................................................... ........... 18 MDSolids ............................................

Problemas de torsión aplicando MdSolids ..... 39 Comentarios finales.................................. ...... 71 ............................ ........................ 72 Bibliografía ....................................................

Introducción

Introducción La mecánica de materiales es un tema básico en muchos campos de la ingeniería, su objetivo principal es determinar los esfuerzos, deformaciones unitarias y desplazamientos en estructuras y en sus componentes, debido a las cargas que actúan sobre ellos. En el nivel universitario, particularmente en el caso específico del programa educativo en Ingeniería Mecánica Eléctrica de la Universidad Veracruzana, la mecánica de materiales se enseña prácticamente al inicio de los estudios de licenciatura, ya que como se ha dicho antes es un tema básico y necesario para los alumnos de las diversas áreas de la ingeniería.

Es importante tomar en cuenta que como en todos los cursos de mecánica, la solución de problemas es parte importante del proceso de aprendizaje. Por tanto, al abordar la mecánica de materiales el alumno deberá estar conciente de que sus estudios se dividirán en forma natural en dos partes: primero, comprender el desarrollo lógico de los conceptos, y segundo, aplicar esos conceptos a situaciones prácticas. Lo primero se logra estudiando las deducciones, explicaciones y ejemplos, y la segunda parte se logra resolviendo los problemas propuestos. Los problemas que se trabajan en el curso pueden ser de carácter numérico o de carácter simbólico (algebraico).

En los problemas numéricos las magnitudes de todas las cantidades son evidentes en cada etapa de los cálculos y se requiere trabajar con unidades específicas de medida (sistemas de unidades). Por su parte, los problemas simbólicos tienen la ventaja de que conducen a expresiones

“Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids”

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Introducción

matemáticas de aplicación general; una solución algebraica muestra la forma en la que cada variable afecta los resultados.

El objetivo del presente trabajo es aportar un instrumento que apoye el proceso de aprendizaje en lo que respecta a la resolución de problemas mediante la utilización de un software educativo para estudiantes que toman los cursos del área de la mecánica de materiales, llamado MDSolids. El software dispone de módulos didácticos para el análisis de diversos tópicos de la mecánica de materiales, sin embargo, dentro de los alcances de este trabajo se hará uso del MDSolids aplicándolo únicamente en la resolución de problemas de Torsión, tema que se estudia como parte del programa de la experiencia educativa Fundamentos de Mecánica de Materiales del programa educativo en Ingeniería Mecánica Eléctrica de la Universidad Veracruzana.


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Capítulo 1

Torsión

Capítulo 1

Torsión La torsión se refiere a la deformación de una barra recta al ser cargada por ) que tienden a producir una rotación alrededor del mom entos (o pares de torsión eje longitudinal de la barra. Algunos ejemplos de elementos en torsión: 

El vástago de un desarmador



Ejes de impulsión en automóviles



Ejes de transmisión



Ejes de hélices



Barras de dirección



Taladros Fig. 1.1.- Torsión de un destornillador aplicando un par T a la manija.

En la figura 1.2 se presenta un caso idealizado de carga torsional , que muestra una barra recta soportada en un extremo y cargada por dos pares de fuerzas iguales y opuestas. Cada par de fuerzas forma un p ar que tiende a torcer la barra respecto a su eje longitudinal.

Fig. 1.2.- Barra sometida a torsión por los pares T1 y T2 .


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Capítulo 1

Torsión

El m o m e n t o d e u n p a r es igual al producto de una de las fuerzas multiplicada por la distancia perpendicular entre las líneas de acción de las fuerzas. En la figura 1.3 (b), se representan cada uno de los momentos de los pares por un vector en forma de una flecha de cabeza doble.

La flecha es perpendicular al plano que contiene el par y, por lo tanto, en este caso, ambas flechas son paralelas al eje de la barra. La dirección (o sentido) del momento se indica por la regla de la mano d erecha : si los dedos de la mano derecha se arquean en el sentido del momento, el pulgar señalará el sentido del vector Otra representación de un momento es una flecha curva que actúa en el sentido de la rotación, como se muestra en la figura 1.3 (c). Los momentos que producen torcimiento en una barra, como los momentos T 1 y T 2 de la figura, se llaman pares o m o m e n t o s d e torsión .

Los miembros cilíndricos que están sujetos a un par y que transmiten potencia por medio de rotación se denominan ejes . La mayor parte de los ejes tienen secciones transversales circulares sólidas o tubulares.

Fig. 1.3.- Barra sometida a torsión por los pares T1 y T2.


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Capítulo 1

Torsión

Fig. 1.4.- Deformaciones de una barra circular en torsión pura.

En la figura 1.4 se muestra una barra prismática de sección transversal circular sometida a pares de torsión T que actúan en sus extremos Dado que todas las secciones transversales son idénticas y cada una está sometida al mismo par interno T , se dice que la barra está en torsión pura . Para visualizar la deformación de la barra, conviene imaginar que su extremo izquierdo está fijo Por la acción del par T , el extremo derecho girará (con respecto al extremo izquierdo) un pequeño ángulo  , conocido como án g u lo de to rs ión (o ángulo de rotación). El ángulo de torsión cambia a lo largo del eje de la barra y en secciones intermedias tendrá un valor  (x) entre cero en el extremo izquierdo y  en el extremo derecho. Si toda la sección transversal de la barra tiene el mismo radio y está sometida al mismo par (torsión pura), el ángulo  (x) variará de manera lineal entre los extremos.


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Capítulo 1

Torsión

Figura 1.5 (a): Consideremos a continuación un elemento de la barra entre dos secciones

transversales

a

una

distancia dx entre ellas. Figura 1.5 (b): Dicho

elemento

se

muestra

amplificado. El elemento está en un estado de cortante puro , lo que significa

que

está

sujeto

a

deformación por cortante pero no a deformación unitaria normal .

Fig. 1.5.- Deformación de un elemento de longitud dx cortado de una barra en torsión.

La magnitud de la deformación un itaria cortante  max en la superficie exterior de la barra está dada por:

En la cual d  /dx es la tasa de torsión o ángulo de torsión por unidad de longitud, denotado como  :

Ahora podemos escribir la ecuación para deformación unitaria cortante en la superficie exterior como:


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Capítulo 1

Torsión

En el caso especial de torsión pura, la tasa de torsión  es igual al ángulo de torsión  dividido entre la longitud L, y por lo tanto:

Ecuaciones para las deformaciones unitarias cortantes en tubos de sección circular: .

Fig. 1.6

donde r 1 y r 2 son los radios interior y exterior del tubo, respectivamente figura 1.6 Hasta el momento hemos considerado las deformaciones u nitarias cortantes en una barra circular en torsión . A continuación estudiaremos los sentidos y las magnitudes de los esfuerzos cortantes correspondientes.

El par T tiende a girar el extremo derecho de la barra en el sentido antihorario cuando se ve desde la derecha.


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Capítulo 1

Torsión

Los esfuerzos cortantes  que actúan sobre un elemento ubicado en la superficie de la barra tendrán las direcciones según se muestra en la figura 1.7 (a). La figura 1.7 (b) muestra una ampliación del elemento de esfuerzos de la figura 1.7 (a) en la que se muestran la deformación unitaria cortante y los esfuerzos cortantes.

Fig. 1.7.- Esfuerzos cortantes en una barra circular e n torsión.

Generalmente dibujamos los elementos de esfuerzos en dos dimensiones, pero debemos recordar siempre que los elementos de esfuerzos son en realidad objetos tridimensionales con espesor perpendicular al plano de la figura. Las magnitudes de los esfuerzos cortantes pueden determinarse a partir de la relación esfuerzo-deformación unitaria para el material de la barra. Si el material es elástico lineal , podemos usar la ley de Hooke en cortante

Los esfuerzos cortantes que actúan sobre una sección transversal van acompañados por esfuerzos cortantes de la misma magnitud que actúan sobre planos longitudinales.


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Capítulo 1

Torsión

Si el material es más débil en cortante sobre planos longitudinales que sobre planos transversales, la primera grieta por torsión aparecerá en dirección longitudinal sobre la superficie figura 1.8 .

Fig.1.8.- Esfuerzos cortantes longitudinal y transversal sujetos a torsión en una barra circular

Esfuerzos de tensión y compresión que actúan sobre un elemento de esfuerzo orientado a 45° con el eje longitudinal figura 1.9

Fig. 1.9.- Esfuerzos de tensión y compresión actuando en un elemento orientado 45° res ecto al e e lon itudianl.

El estado de cortante puro en la superficie de una barra equivale a esfuerzos iguales de tensión y compresión que actúan sobre un elemento orientado a un ángulo de 45° figura 1.10.

Fig. 1.10.


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Capítulo 1

Torsión

El siguiente paso en el análisis es determinar la relación entre los esfuerzos cortantes y el par de torsión T .

Fig. 1.11.

El momento resultante (igual al par T ) es la suma sobre toda el área de la sección transversal de todos los momentos elementales dM :

Fig. 1.12

donde:

es el mo mento po lar de inercia de la sección transversal circular.


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Capítulo 1

Torsión

Para un círculo de radio r y diámetro d , el momento polar de inercia es:

Fig. 1.13

Para el esfuerzo cortante máximo tenemos la ecuación conocida como fórmula de : la torsión

Fig. 1.14

En barras de sección circular sólida se simplifica como:

El esfuerzo cortante a una distancia  del centro de la barra es:


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Capítulo 1

Torsión

El án g u lo d e to rs ión p o r u n id ad d e lo n g itu d (expresado en rad/unidad de longitud) de una barra de material elástico lineal puede relacionarse con el par de torsión T aplicado:

Al producto JG que aparece en el denominador de la fórmula anterior se le denomina rigidez torsional. Para una barra en torsión pura, el án g u lo d e to rs ión (en rad) es:

(f T) : Rigidez torsion al un itaria* (k T) y flexibilidad torsional unitaria**

* La rigidez torsional unitaria es el par requerido para producir una rotación de un

ángulo unitario. ** La flexibilidad torsional unitaria es el recíproco de la rigidez torsional unitaria


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Capítulo 1

Los

Torsión

tubos

circulares

resisten

con

más

eficiencia cargas de torsión que las barras sólidas. Si la reducción de peso y el ahorro de material son importantes, es aconsejable utilizar un tubo circular. Fig. 1.15

Los impulsores grandes, lo de hélices y los ejes de generadores usualmente tienen secciones transversales circulares huecas. El análisis de la torsión de un tubo circular es casi idéntico al de una barra sólida. La torsión no uniforme difiere de la torsión pura en que la barra no tiene que ser prismática y en que los pares aplicados pueden actuar en cualquier parte del eje de la barra. Para analizar las barras en torsión no uniforme se aplican las fórmulas de la torsión pura a segmentos finitos de la barra y se suman los resultados o se aplican las fórmulas a elementos diferenciales de la barra; p or último se integran.


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Capítulo 1

Torsión

Caso 1

Barra constituida por segmentos prismáticos con par constante en cada segmento. El primer paso en el análisis es determinar la magnitud y sentido del par interno en cada segmento.

Generalmente

los

pares

se

determinan por inspección, pero en caso necesario se cortan secciones a través de la barra, se dibujan diagramas de cuerpo libre y se resuelven las ecuaciones de equilibrio.

Fig. 1.16

Para determinar los esfuerzos cortantes en cada segmento, solo necesitamos las magnitudes de los pares internos (T AB, T BC , T CD), ya que las direcciones de los esfuerzos no son de interés. Si buscamos el án g u lo d e to rs ión de toda la barra, necesitamos conocer la dirección del ángulo de giro en cada segmento para combinar los ángulos correctamente.


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Capítulo 1

Torsión

Caso 2

Barra con secciones transversales continuamente variables y par de torsión constante. Cuando el par es constante, el esfuerzo cortante máximo en una barra sólida siempre ocurre en la sección transversal con el menor diámetro.

Fig. 1.17

Caso 3

Barra con secciones transversales continuamente variables y par continuamente variable. El par interno T(x) puede evaluarse con ayuda de un diagrama de cuerpo libre y una ecuación de equilibrio.

Fig. 1.18


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Capítulo 1

Torsión

LIMITANTES

Los análisis descritos en esta sección son válidos para barras hechas de materiales elástico lineales con secciones transversales circulares (sólidas o huecas). Los esfuerzos determinados con la formula de la torsión son válidos en regiones de la barra alejados de concentraciones de esfuerzos. Las concentraciones de esfuerzo tienen relativamente poco efecto sobre el ángulo de torsión, por ello las ecuaciones para φ suelen ser validas. La fórmula de la torsión y las fórmulas para los ángulos de torsión para barras prismáticas podemos aplicarlas con seguridad a barras de secciones transversales variables solo cuando los cambios de diámetro sean pequeños y graduales. Como regla empírica, las fórmulas dadas son satisfactorias si el ángulo de ahusamiento (el ángulo entre los lados de la barra) es menor a 10°. Hay situaciones en donde los pares internos no pueden determinarse únicamente por medio de la estática. EJES ESTATICAMENTE INDETERMINADOS

Fig. 1.19 “Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids”

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Capítulo 1

Torsión

De hecho, los pares externos mismos no pueden determinarse a partir del diagrama de cuerpo libre del eje completo. Las ecuaciones de equilibrio deben complementarse con relaciones que involucren las deformaciones del eje y que se obtengan considerando la geometría del eje en cuestión.

Eje Estáticamente Indeterminado

Diagrama de cuerpo libre del eje

Se suprime una de las “restricciones” (TB)

Se suprime una la carga ( T 0 ) y se incluye la restricción (T B)

Fig. 1.20


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Capítulo 1

Torsión

DISEÑO DE EJES DE TRANSMISION

Las

especificaciones

principales

que

deben

cumplirse en el diseño de un eje de transmisión son la potencia que debe transmitirse y la velocidad d e rotación del eje.

Fig. 1.21

La función del diseñador es seleccionar el material y las dimensiones de la sección transversal del eje, para que el esfuerzo cor tante máxim o perm isible del material no

sea excedido cuando el eje transmite la . potencia requerida a la velocidad especificada

Fig. 1.22

Par ejercido sobre un eje que transmite una potencia P .

Velocidad de rotación angular (en rad/s)


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Capítulo 2

MDSolids

Capítulo 2

MDSolids MDSolids es un software educativo para estudiantes que toman el curso de Mecánica de los Materiales (también denominada Resistencia de Materiales y Mecánica de Sólidos Deformables). Este curso es normalmente una parte de la mecánica aplicada, en diversos programas de ingeniería. El software dispone de módulos didácticos para análisis de vigas estáticamente determinadas, miembros en torsión, columnas, estructuras sujetas a carga axial, armaduras, propiedades de secciones transversales, y el círculo de Mohr, incluyendo el análisis de las transformaciones de esfuerzo.

La hipótesis del concepto MDSolids es que los estudiantes están más interesados en la comprensión de los problemas de tarea específicos asignados por sus profesores, y que los estudiantes usarán el software educativo si esto les ayuda con sus preocupaciones de curso inmediatas.

En el proceso, el software puede ayudar a desarrollar el problema que soluciona, proporcionando a los estudiantes una interface intuitiva que los dirige a los factores importantes que inciden en varios tipos de problema, les ayuda a visualizar la naturaleza de esfuerzos internos y deformaciones, y proporciona un medio fácil de usar y de investigar un número mayor de problemas y variaciones. Basado en esta premisa, MDSolids fue desarrollado con varios objetivos en mente: 

Versatilidad



Comunicación visual



Facilidad de Entrada



Explicaciones a base de texto


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Capítulo 2

MDSolids

Versatilidad MDSolids tiene MDSolids tiene rutinas que pertenecen a todos los aspectos enseñados en un curso típico de mecánica de materiales. materiales. Estas rutinas son agrupadas en doce módulos, similares a capítulos que pertenecen a una amplia gama de problemas de los textos comunes disponibles actualmente. Dentro de los módulos, cada rutina soluciona los tipos de problemas clásicos de la mecánica de materiales. materiales. El alcance de MDSolids MDSolids ofrece rutinas para ayudar a estudiantes en todos los niveles de comprensión, de la más fundamental en el conocimiento, la comprensión, y del tipo de aplicación a problemas más complejos que requieren el análisis y la síntesis.

Facilidad de entrada La facilidad de entrada es un u n aspecto esencial en el concepto MDSolids. MDSolids. La solución de problemas de mecánica de materiales materiales es bastante confusa para los estudiantes. Para se eficaz, el software no debe aumentar la confusión. Idealmente, el estudiante debería ser capaz de definir un problema de forma intuitiva y directamente de un libro sin la necesidad de un manual de usuario. MDSolids, MDSolids, proporciona señales gráficas para guiar a los usuarios en la entrada de datos. Las ilustraciones se pueden ajustar fácilmente para que la pantalla de entrada de MDSolids se MDSolids se vea muy similar a la ilustración de los libros de texto. Varias unidades (por ejemplo, las unidades de esfuerzo, las unidades de longitud) están disponibles y los factores de conversión están presentes para asegurar la consistencia dimensional.

Comunicación visual En cada rutina de MDSolids cuenta MDSolids cuenta con una imagen, dibujo o gráfico que representa gráficamente los aspectos importantes del problema. Los


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Capítulo 2

MDSolids

dibujos se utilizan para mostrar la dirección de los esfuerzos internos, las cargas aplicadas y las reacciones.

Explicaciones a base de texto Muchos

de

los

módulos

MDSolids MDSolids

proporcionan

explicaciones adicionales para describir con palabras cómo se realizan los cálculos. Estas explicaciones pueden ayudar a los estudiantes a desarrollar los procesos de pensamiento utilizados en la solución de problemas de la mecánica de materiales. materiales. Las explicaciones de texto son dinámicas y sensibles al contexto, diseñadas específicamente para el problema en particular en cuanto a los valores y las unidades registradas para el problema. Errores comunes en las ecuaciones de equilibrio, inconsistencia en las unidades y al manipular las ecuaciones se corrigen cuando el estudiante compara sus cálculos de la mano con las explicaciones de MDSolids. MDSolids.

Características

MDSolids ofrece al usuario opciones gráficas e intuitivas para todos los datos requeridos o unidades. En los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante, por ejemplo, el usuario puede hacer clic sobre el botón de una flecha vertical dirigida hacia abajo y entrar en la magnitud de la carga para definir una carga concentrada descendente vertical en lugar de tener que acordarse de introducir un signo negativo para la carga.

En la mayoría de los casos, cuatro unidades comunes (dos del sistema inglés y dos del sistema internacional) son dan para cada variable. Por ejemplo, la tensión puede ser calculada en psi, ksi, kPa, o MPa. El usuario es “Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids”

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MDSolids

libre de mezclar las unidades de cualquier forma deseada. Por ejemplo, la sección transversal de una viga podría ser definida en milímetros, su longitud en pulgadas, un diagrama de momento flexionante en kN∙m, y presentar el esfuerzo de flexión

en psi. Todas estas opciones para fuerzas y unidades se hacen con un simple clic en el botón correspondiente. Los conceptos de la mecánica de materiales son bastante difíciles sin necesidad de añadir confusión acerca de las convenciones de signo y sistemas de unidades.

El software está escrito en Visual Basic para correr en el entorno de Windows; Windows; se requiere como mínimo una resolución SVGA (800 x 600) y para correrlo es suficientemente un ordenador 486-33MHz, pero algunos de los gráficos se benefician en una máquina más rápida.

Figura 2.1 Pantalla principal de MDSolids


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Capítulo 2

MDSolids

Módulos

Biblioteca de problemas (Problem Library) Contiene rutinas diseñadas para doce tipos comunes de los problemas frecuentemente utilizados para introducir los conceptos de esfuerzo y deformación. Para cada tipo de problema, la rutina incluye preguntas típicas relativas a la estructura, las variaciones comunes (como el corte doble o cortante simple), y una imagen o dibujo que describe la geometría del problema. Después de que el estudiante hace clic en el botón Calcular , la rutina se prepara una explicación detallada del enfoque que se debe tomar para resolver el problema con los datos de entrada suministrados por el usuario y las unidades.

Por ejemplo, la rutina de la viga y el puntal se dedica a un grupo de problemas que comúnmente se utiliza para introducir los conceptos de esfuerzo y deformación. Estos problemas incluyen una viga que se fija en un extremo y con el apoyo de una barra o puntal en el otro extremo. A menudo, estos problemas requieren especificar el diámetro de los pernos y sus configuraciones, ya sea de corte simple o doble en las conexiones. El estudiante puede ser requerido para determinar la capacidad de la estructura teniendo en cuenta el esfuerzo normal permisible en el puntal y los esfuerzos de corte en las conexiones. Un problema de la viga y el puntal en cualquier configuración puede ser resuelto por este módulo.

Entramado (Trusses) Armaduras estáticamente determinadas pueden ser analizadas para determinar fuerzas axiales internas. La entrada de datos es visual y sólo requiere de la definición mínima por parte del usuario.


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Capítulo 2

MDSolids

Figura 2.2 Armadura estáticamente determinada

Las dimensiones de la armadura se establecen mediante la creación de una red definida por el usuario de los puntos de nodo. Los miembros de la armadura son definidos con el mouse para dibujar las líneas que conectan los nodos deseados. El software comprueba los miembros a medida que son definidos para garantizar que los supuestos de idealización de armadura están satisfechos (por ejemplo, los miembros conectados sólo en las articulaciones).

Los apoyos y cargas también son definidos con movimientos del mouse. Los controles de software permiten al menos a tres limitaciones de apoyo y de aceptar cargas sólo en las articulaciones. El etiquetado de las uniones se realiza automáticamente. Los ángulos de los miembros de la armadura se calculan y se muestran cuando la armadura es creada. Los resultados del análisis se muestran sobre la armadura. Los miembros de tensión, de compresión y de fuerza cero son indicados cada uno por un color diferente. Opcionalmente, los esfuerzos normales pueden ser calculados para los miembros de la armadura, o dado un límite de esfuerzos, el área de la sección transversal requerida para cada miembro puede ser calculada a partir de los resultados del análisis de armadura.


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MDSolids

Indeterminado axial (Indet axial) En este módulo se consideran estructuras estáticamente indeterminadas sujetas a carga axial compuestas por dos miembros. Los problemas de éste tipo son, por lo general, los que se indican a continuación: miembros coaxiales, miembros de extremo a extremo con una carga aplicada en la unión, miembros de extremo a extremo con una separación entre los dos y sujetos a una variación de temperatura, miembros de extremo a extremo con un desajuste entre ellos que se cierra antes de aplicar una carga a la estructura, dos miembros axiales conectados a una barra fija rígida que gira y un cerrojo que pasa por una manga con una tuerca que es apretada.

Figura 2.3 Pantalla del módulo de estructuras indeterminado axial (miembros coaxiales)


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MDSolids

Torsión (Torsion) La torsión de elementos con secciones transversales circulares es considerada por el software MDSolids. Cuatro opciones diferentes de miembros de torsión están disponibles. El usuario puede definir un miembro de torsión simple (por ejemplo, un eje con un momento de rotación). Éste eje se muestra como una representación en tres dimensiones. Una cuadrícula se sobrepone en el eje para ilustrar la torsión producida por un momento de rotación. La perspectiva del dibujo es variable de modo que el usuario pueda observar el eje desde varios puntos de vista.

Figura 2.4 Torsión simple

Opcionalmente, una fuerza axial también puede ser considerada en el problema, y si el eje es una forma de tubular, los efectos de la presión pueden ser incluidos. Esto permite a problemas con carga axial y efectos de torsión ser considerados.


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MDSolids

Los cálculos de círculo de Mohr también pueden ser iniciados desde esta opción de torsión. Los valores estándar para los módulos de corte están disponibles para el usuario simplemente pulsando sobre el material deseado en un menú desplegable.

Dos opciones de torsión toman en cuenta los problemas de transmisión de potencia. Una de estas opciones considera un solo eje conectado a un motor mientras que la segunda opción considera un eje de potencia unido por engranajes a un eje simple.

Figura 2.5 Transmisión de potencia

La opción de eje de potencia simple también incluye un motor animado y el movimiento de engranaje con reguladores simulados de modo que los usuarios puedan observar los efectos producidos por el cambio de alimentación del motor, la velocidad, o relación de en granaje. “Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids”

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MDSolids

Cada una de estas tres opciones tiene un ejercicio de formato de definición flexible. El usuario introduce las variables conocidas y el software soluciona para el resto de las variables. El software incluye explicaciones adicionales que describen el procedimiento específico que debería ser usado para solucionar cada problema.

Una cuarta opción de torsión considera un solo eje con múltiples momentos de torsión. Esta opción produce un diagrama de momento de torsión, un diagrama esfuerzo cortante y un diagrama de ángulo de giro.

Figura 2.6 Eje de torsión con múltiples torques


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MDSolids

Vigas (Determinate Beams)

Figura 2.7 Modulo de vigas estáticamente determinadas (Diagramas de fuerza cortante y momento flexionantes)

El usuario puede definir a cualquier viga estáticamente determinada simplemente apoyada, con voladizo simple o doble y empotrada. Las cargas que pueden aplicarse a las vigas incluyen carga puntual, uniformemente distribuida, linealmente variable y momentos de flexión.

Los iconos mostrados en un formato de barra de herramientas permiten a los usuarios seleccionar la carga deseada sin necesidad de la consideración de una convención de signos. Los diagramas que muestran la fuerza cortante, momento flexionante, pendiente y deflexión son dibujados inmediatamente después de la entrada de una carga. Esto permite al usuario ver el efecto de cada carga al ser añadida.


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MDSolids

MDSolids incluye explicaciones adicionales que describen: 1) La forma de configurar las ecuaciones de equilibrio necesario para resolver las reacciones de la viga, 2) cómo las fuerzas concentradas y momentos afectan a la fuerza de corte y diagramas de momento, y 3) la forma de calcular el área en cada parte del diagrama de fuerza cortante, como encontrar puntos de cero en fuerza cortante, y como construir el diagrama de momento a partir del diagrama de fuerza cortante. Las cargas se pueden introducir, ya sea para análisis sin factor de carga o con factor . Las cargas sin factor se utilizan en la filosofía de diseño por esfuerzo permisible habitualmente encontrada en los textos de la mecánica de materiales. Las cargas con factor se utilizan en el diseño por resistencia para estructuras de acero y hormigón. Tres combinaciones de carga están disponibles: 1.4D, 1.2D + 1.6L, y 1.4D + 1.7L.

Con el mouse, el usuario puede pulsar en una posición específica sobre el diagrama de carga y obtener la fuerza cortante, momento, pendiente o la deflexión en ese punto.

Flexión (Flexure) Si una sección transversal se define, el software puede mostrar la forma de la sección transversal y trazar la distribución de cualquier esfuerzo normal o cortante, los cuales varían en la profundidad de la sección. El software incluye una pestaña desplegable en la que los usuarios puedan indicar una posición específica en la profundidad de la sección transversal y muestra los valores de esfuerzo normal y cortante calculados para ese punto. En el cálculo del


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Capítulo 2

MDSolids

esfuerzo cortante, el valor de Q también se calcula para la posición elegida por el usuario.

Figura 2.8 Diversas pantalla del modulo de flexión


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Capítulo 2

MDSolids

Las distribuciones de esfuerzo se trazan y algunos ejercicios específicos pueden ser calculados para secciones transversales compuestas. Además, las fuerzas axiales en la sección transversal también pueden ser consideradas de modo que las cargas combinadas puedan ser analizadas.

El usuario puede definir esfuerzos admisibles para que la fuerza axial admisible, la fuerza cortante y el momento flexionante puedan ser calculados. Los estudiantes que lo requieran podrán resolver ejercicios de diseño de vigas para calcular el tamaño de viga necesaria. La flexión de formas asimétricas puede ser considerada.

Propiedades de la sección (Section Properties) Los menús permiten al usuario calcular las propiedades de la sección transversal de 19 figuras genéricas diferentes. Las formas generales que se incluyen son: “I, T, C, L, Z ", caja, circular sólida, tubular y las formas rectangulares. También se incluyen formas dobles I, T, C y L.

Los botones de visualización permiten al usuario hacer girar la forma a la orientación deseada. Por ejemplo, una forma de T se puede girar de modo que el tallo de la T señale hacia arriba. Esta característica permite a los usuarios hacer coincidir exactamente con lo planteado en el ejercicio particular que se esté analizando.

Las

propiedades

de

la

sección

calculada

incluyen:

localización del centroide, momento de inercia, módulo de sección, radio de giro, módulo plástico, momento polar de inercia y, momentos máximos y mínimos de


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MDSolids

inercia. La forma de la sección transversal se vuelve a dibujar a escala y se muestran los ejes centroidales.

Figura 2.9 Modulo propiedades de la sección

El módulo de elasticidad de la sección se puede introducir directamente o el usuario puede seleccionar de una lista de materiales comunes. Por ejemplo, el usuario simplemente podría pulsar sobre " el Aluminio 6061-T6 " y el software recuperará un valor de 10,000,000 de psi para el módulo de elasticidad.

Las propiedades de sección también pueden ser calculadas para áreas transversales compuestas. Dos materiales diferentes pueden ser seleccionados y asignados a las partes deseadas de las secciones transversales. “Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids”

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MDSolids

Para las secciones transversales compuestas, los resultados se dan en términos del método de área transformada para posibles transformaciones.

incluye

MDSolids

las

dimensiones

y

propiedades

seleccionadas por el American Institute of Steel Construction (AISC) de una lista de perfiles de acero estándar, en denominaciones usuales de los sistemas inglés (US) y métrico (SI).

En cada análisis de sección transversal el programa genera una tabla con los parámetros calculados, que incluyen: 1) centroide y momentos de inercia, 2) eje neutro (y/o plano neutro) y módulo de la sección, y 3) producto de inercia. Para las áreas compuestas, el centroide y el momento de inercia están calculados con la conversión del material A en el material B y viceversa. Los cálculos de propiedades de sección actúan recíprocamente tanto con la viga, la flexión, como con la rutina de columna.

Columnas (Columns) Los cálculos de columnas se basan en la fórmula de pandeo de Euler:

 

   

MDSolids muestra dos vistas de pandeo, del eje fuerte y el eje débil, con las vistas de corte transversal correspondientes para cada columna. “Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids”

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Capítulo 2

MDSolids

Cualquier condición de soporte en los extremos de la columna (articulado, fijo, empotrado y libre) puede ser seleccionada para uno u otro extremo de la columna.

Figura 2.10 Módulo de pandeo de columnas

La carga crítica de pandeo y el esfuerzo son calculados por el software, que además, muestra la dirección del pandeo de la columna. El usuario también puede agregar soportes intermedios en cualquier dirección que se pueden colocar en cualquier posición entre los apoyos de los extremos. Un gráfico de esfuerzo crítico contra la relación de esbeltez se muestra y los resultados de las dos direcciones de pandeo se indican sobre la curva.

Opcionalmente, el usuario puede definir el límite de elasticidad del material y/o el límite de proporcionalidad de modo que el pandeo de Euler pueda ser evaluada. “Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids”

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Capítulo 2

MDSolids

Se pueden realizar diseños de columnas utilizando el acero estándar, el aluminio y/o madera.

Figura 2.11 Diseño de columnas

Círculo de Mohr (Mohr’s circle) El análisis del círculo de Mohr para planos de esfuerzo y los momentos de inercia están disponible en MDSolids. Los esfuerzos normales en las direcciones x y y son especificados en términos de tensión o compresión y no como un número positivo o negativo. El esfuerzo cortante se define en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario sobre la cara x positiva del elemento de esfuerzos. Un diagrama de orientación aparece para mostrar el resultado de las condiciones de esfuerzo según lo especificado por el usuario.


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Capítulo 2

MDSolids

El círculo de Mohr se dibuja, etiquetando los puntos que corresponden a la orientación de los ejes x y y del elemento de esfuerzos. Se dibujan planos de esfuerzos separados para indicar la orientación de los esfuerzos principales en relación con el sistema de coordenadas xy, así como la orientación del esfuerzo cortante máximo.

Los diagramas de los estados de esfuerzos dan a los usuarios una clara representación visual de la orientación o dirección de rotación del estado de esfuerzos para representar los planos de esfuerzos principales y de esfuerzo cortante máximo. Los esfuerzos en cualquier orientación arbitraria pueden ser obtenidos a partir del diagrama de un plano de esfuerzos ubicado en el interior de un transportador que permite al usuario obtener los valores correspondientes en cualquier orientación arbitraria con simplemente un clic del ratón.

Figura 2.12 Módulo de transformación por círculo de Mohr “Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids”

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Capítulo 2

MDSolids

Los cálculos del círculo de Mohr se pueden obtener tanto desde el módulo de vigas estáticamente determinadas como de las partes del módulo de miembros de torsión de MDSolids. Los datos de planos de esfuerzos combinados automáticamente son suministrados desde estas rutinas al cálculo de círculo de Mohr. Los cálculos de esfuerzo plano se pueden obtener a partir de los datos de deformación normal y cortante.

Dos tipos de galgas extensómetricas, rectangulares y en delta, que pueden ser analizadas en este modulo.

Figura 2.13 Módulo de transformación por círculo de Mohr (galgas extensómetricas)

Los momentos principales de inercia pueden ser calculados a partir de los momentos de inercia en torno a dos ejes ortogonales más el producto de inercia.


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Capítulo 2

MDSolids

Análisis General (General Analysis, Axial Torsion Beams) En este módulo se consideran estructuras axiales estáticamente determinadas e indeterminadas, ejes y vigas.

Figura 2.14 Módulo de análisis general


Página 38

Capítulo 3

Problemas de torsión aplicando MdSolids

Capítulo 3 Problemas de torsión aplicando MdSolids En este capítulo se presenta una selección de problemas de elementos cargados axialmente (tomados del libro de texto “Mecánica de Materiales”, 5ª. edición de Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr., John T.

DeWolf y David F. Mazurek, editorial McGraw-Hill ) cuya solución puede realizarse con la ayuda del MDSolids. Es conveniente hacer mención que para poder implementar el software en la resolución de los ejercicios, éstos deben adaptarse a las características de las rutinas disponibles que han sido diseñadas para problemas tipo de algunas ediciones de textos clásicos de mecánica de materiales. Para consultar el listado de ejercicios abra el programa y haga clic en MDSolids Help Documents (Figura 3.1).

Figura 3.1 MDSolids documentos de ayuda

“Resolución de problemas de Torsión utilizando MdSolids”

Página 39

Capítulo 3


En la ventana de la figura 3.1, seleccione MDSolids Navigator y haga clic en el botón Open y se abrirá como en la figura 3.2 (a).

(a)

(b) Figura 3.2 MDSolids Navigator

El MDSolids Navigator tiene la intención de ayudarle a utilizar MDSolids en el contexto del estudio de la mecánica de los materiales. Usted encontrará una serie de libros de texto que figuran en la tabla de contenidos “Resolución de problemas de Torsión utilizando MdSolids”

Página 40

Capítulo 3


(figura 3.2 (b)). Abra el libro que corresponde a su libro de texto de clase y encontrará una lista de problemas que pueden ser resueltos y explicados por MDSolids. Haga clic en un número de problemas y el MDSolids Navigator le mostrará una breve descripción de los pasos que debe realizar para resolver el problema con la ayuda del software.

En el caso de que la edición del libro de texto que utiliza en su curso no corresponda a la especificada por el programa deberá elegir problemas similares a los que se enlistan, por lo que sería conveniente contar con un ejemplar de ambas ediciones para realizar la comparativa. Esperando que estas notas sirvan de apoyo a los estudiantes del curso de la experiencia educativa Fundamentos de Mecánica de Materiales en lo concerniente al análisis de Torsión, a continuación se presentan once ejercicios resueltos con MDSolids.


Página 41

Capítulo 3


PROBLEMA 1 (3.1)

Para el cilindro que se muestra en la figura determine el máximo esfuerzo causado por un par de torsión con magnitud T = 1.5 kN · m

Figura 3.3 Problema 1

Procedimiento aplicando MdSolids: 

Haga clic en torsión.



Seleccione Analysis Options, haga clic en Simple Torsion.



Marque la casilla pequeña al lado de los valores conocidos. El cuadro de entrada junto a él va a cambiar de color a amarillo, lo que indica que los datos se pueden introducir.



Para las variables que se han de calcular, deje el cuadro pequeño al lado sin seleccionar.



Para este problema, compruebe el esfuerzo cortante, de diámetro exterior, y relación de ID / OD.



Asegúrese de que las otras casillas estén desmarcadas.



Introducir los datos en los recuadros amarillos. Establecer las unidades deseadas.



Haga clic en Compute.

Relación de ID / OD es la relación entre el diámetro interior de diámetro exterior. Este será un número positivo mayor que o igual a 0,0 pero inferior a 1,0. Para un eje sólido, Relación de ID / OD es de 0,0. Para una tubería (o huecos) del eje, la relación de ID / OD será mayor que 0,0 pero menor que 1.0. Por ejemplo, si una tubería tiene un diámetro exterior de 40 mm y un diámetro interior de 30 mm, relación de ID / OD es de 0,75. “Resolución de problemas de Torsión utilizando MdSolids”

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Capítulo 3


Figura 3.4 Solución problema 1    

Al dar clic en el botón Compute en automático se despliega una ventana (justo debajo de la imagen de ejemplo) y nos muestra el planteamiento. Para este caso únicamente se utiliza la ecuación de Esfuerzo Cortante Máximo:



 

Para la J (momento polar de inercia) va a estar dado por la siguiente fórmula:

 

 




Página 43

Capítulo 3


PROBLOEMA 2 (3.3)

Si se sabe que el diámetro interior del eje hueco mostrado es d = 0.9 in. Determine el esfuerzo cortante máximo causado por un par de torsión de magnitud T = 9 kip · in.

Figura 3.5

Procedimiento aplicando MdSolids:

Problema 2



Haga clic en torsión






Marque la casilla pequeña al lado de los valores conocidos. El cuadro de entrada junto a él va a cambiar de color a amarillo, lo que indica que los datos se debe introducir.






Para este problema, compruebe el torque (par de torsión), de diámetro exterior, y relación de ID / OD.











Página 44

Capítulo 3


Figura 3.6 Solución problema 2    

Al dar clic en el botón Compute en automático se despliega una ventana (justo debajo de la imagen de ejemplo) y nos muestra el planteamiento. Para este caso únicamente se utiliza la ecuación de Esfuerzo Cortante Máximo: 

 


 

 



Cabe destacar que cuando se tiene un eje hueco la  la obtendremos mediante la relación ID / OD es decir el diámetro interior entre el diámetro exterior.


Página 45

Capítulo 3


PROBLEMA 3 (3.4)

Si se sabe que el d = 1.2 in. Determine el par de torsión T que causa un esfuerzo cortante máximo de 7.5 ksi en el eje hueco que se muestra en la figura.

Figura 3.7


Problema 3















Para este problema, compruebe el torque (par de torsión), de diámetro exterior, y relación de ID / OD.











Página 46

Capítulo 3


Figura 3.8 Solución problema 3      

Al dar clic en el botón Compute en automático se despliega una ventana (justo abajo de la imagen de ejemplo) y nos muestra el planteamiento. Para este caso se utiliza la ecuación de Esfuerzo Cortante Máximo y se realiza el despeje de T :









 


 

 





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Capítulo 3


PROBLEMA 4 (3.9)

Los pares de torsión mostrados se ejercen sobre las poleas A y B. Si se sabe que cada eje es sólido, determine el esfuerzo cortante máximo a) en el eje AB, b) en el eje BC.

Figura 3.9


Problema 4






Seleccione Analysis Options, haga clic en Multiple Torques



Determine el numero de pares.



Introduzca los datos de torque (par de torsión), dirección, y las unidades.



Introduzca los datos del eje (largo, OD, ID, módulo de corte) y las unidades.



Para acelerar la entrada de datos, es posible introducir datos en la etiqueta Default Values que se ubica en el lado derecho del formulario. Introduzca la longitud, OD, ID, y módulo de corte. Haga clic en Apply Defaults y estos valores se introducirá en todos los segmentos del eje. Usted puede cambiar los valores de cualquier segmento específico del árbol directamente en las casillas numeradas del eje AB, BC eje, etc.



En el cuadro denominado Set Plot, elegir el tipo de gráfica que desea ver: Torque, la esfuerzo cortante, o ángulo de giro.





Página 48

Capítulo 3


Figura 3.10 Solución problema 3         

Nota: Se notara que la posición mostrada en la figura 3.9 es distinta a la que se muestra en el programa, solo hay que realizar dicho ajuste es decir para el resultado del inciso a) el resultado lo pide con las letras AB pero en la figura 3.10 será BC, únicamente hay que ajustar dichas letras a los resultados solicitados.

Al dar clic en el botón Compute en automático aparecen los diagramas de Torque, Esfuerzo Cortante y Angulo de Giro, estos diagrama los podemos ver a detalle en el momento en que se da clic a una de las opciones que aparece arriba del botón Compute, se debe tomar en cuenta que en ocasiones no todos los diagramas aparecerán, es decir, si no se tiene longitud el diagrama de Angulo de Giro ( Rotation Angle ) no se podrá visualizar. Todo depende de lo que se pida y en base a los datos los diagramas estarán presentes. También cabe destacar que en esta opción no aparecen los procedimientos de resolución sin embargo, en este ejemplo como en los siguientes se darán unos tips de cómo llegar al resultado solicitado. “Resolución de problemas de Torsión utilizando MdSolids”

Página 49

Capítulo 3


Para obtener el inciso a) se procede primero con la aplicación del Esfuerzo Cortante:

 

 

: Posteriormente para el inciso b) se realiza una suma de los Pares de Torsion:

     Enseguida aplicamos de nuevo la formula de Esfuerzo Cortante:

 

 


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Capítulo 3


PROBLEMA 5 (3.32)

a) Para el eje solido de acero que se muestra en la figura (G = 77 GPa). Determine el ángulo de giro en A, b) Resuelva el inciso a) con el supuesto de que el eje de acero es hueco con un diámetro exterior de 30 mm y un diámetro interior de 20 mm. Figura 3.11 Problema 5








Marque la casilla pequeña al lado de los valores conocidos. El cuadro de entrada junto a él va a cambiar de color a amarillo, lo que indic quae los datos se debe introducir.






Para este problema, compruebe el diámetro exterior, relación de ID / OD, longitud de eje y angulo de giro.










Relación de ID / OD es la relación entre el diámetro interior de diámetro exterior. Este será un número positivo mayor que o igual a 0,0 pero inferior a 1,0. Para un eje sólido, Relación de ID / OD es de 0,0. Para una tubería (o huecos) del eje, la relación de ID / OD será mayor que 0,0 pero menor que 1.0. Por ejemplo, si una tubería tiene un diámetro exterior de 40 mm y un diámetro interior de 30 mm, relación de ID / OD es de 0,75.


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Capítulo 3


Para el inciso a): Figura 3.12 Solución problema 5   

Al dar clic en el botón Compute en automático se despliega una ventana (justo debajo de la imagen de ejemplo) y nos muestra el planteamiento. Para este caso primero se utiliza la ecuación de Esfuerzo Cortante Máximo: 

 

Una vez obtenido el  procedemos a obtener el ángulo de giro ( ) mediante la siguiente formula: 

 


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Capítulo 3


Para el inciso b ) :

Figura 3.13 Solución problema 5   

Al dar clic en el botón Compute en automático se despliega una ventana (justo debajo de la imagen de ejemplo) y nos muestra el planteamiento. Para este caso primero se utiliza la ecuación de Esfuerzo Cortante Máximo: 

 

Una vez obtenido el  procedemos a obtener el ángulo de giro ( ) mediante la siguiente formula: 

 



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Capítulo 3


PROBLEMA 6 (3.33)

El barco A a comenzado a perforar un pozo petrolero en el suelo oceánico a una profundidad 5 000 ft. Si se sabe que la parte superior de la tubería de acero para la perforación 8 in. De diámetro (G =    psi) gira dos revoluciones completas antes de que el barreno en B empiece a operar, determine el esfuerzo cortante máximo causado en la tubería de torsión.

















Para este problema, compruebe el diámetro exterior, relación de ID / OD, longitud de eje, angulo de giro y esfuerzo cortante maximo










Relación de ID / OD es la relación entre el diámetro interior de diámetro exterior. Este será un número positivo mayor que o igual a 0,0 pero inferior a 1,0.Para un eje sólido, Relación de ID / OD es de 0,0. Para una tubería (o huecos) del eje, la relación de ID / OD será mayor que 0,0 pero menor que 1.0. Por ejemplo, si una tubería tiene un diámetro exterior de 40 mm y un diámetro interior de 30 mm, relación de ID / OD es de 0,75. “Resolución de problemas de Torsión utilizando MdSolids”

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Capítulo 3


Figura 3.15 Solución problema 6    

Al dar clic en el botón Compute en automático se despliega una ventana (justo debajo de la imagen de ejemplo) y nos muestra el planteamiento. Para este caso primero se utiliza la ecuación de Angulo de Giro pero despejando “T ” para obtener el par de torsión:



 

Posteriormente se procede a utilizar la formula de Esfuerzo Cortante Máximo:



 


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Capítulo 3


PROBLEMA 7 (3.59)

La camisa de acero CD ha sido unida al eje de acero de 40 mm de diametro AE por medio de bridas rigidas soldadas a la camisa y al eje. El diámetro exterior de la camisa es de 80 mm y su espesor de pared de 4 mm. Si se aplican pares de torsión de 500 N · m, como se muestra en la figura, determine el esfuerzo cortante máximo en la camisa.






Seleccione Analysis Options,, haga clic en Indeterminate Coaxial Shafts



Seleccione la opción a



Introducir los datos y las unidades






Ver animación (recomendado)


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Capítulo 3


Figura 3.17 Solución problema 7    

Para la resolución de este problema se mostrara un ejemplo de la manera fácil y sencilla que MdSolids plantea en cada problema, es decir los pasos a seguir para llegar al resultado solicitado. A pesar de que el programa está en el idioma ingles, no resulta nada difícil comprender el procedimiento, el programa se encarga de brindar una comprensión optima de los problemas mediante el planteamiento de formulas y la sustitución de datos, ofreciéndole al operador una forma fácil, rápida y sencilla de solucionar cualquier caso que se le presente. Procedimiento: Equilibrium Begin by cutting a free-body diagram (FBD) through the coaxial shaft. The FBD should include the free end of the shaft. The equilibrium equation for the sum of torques about the axis of the shaft can be written as:

Mo = T - T1 - T2 = 0 Therefore: T = T1 + T2 Since this is the only independent equilibrium equation, this type of problem is statically indeterminate. We must develop a second equation.


Página 57

Capítulo 3


Torque-Twist Relationship The relationship between the torque in a shaft and its resulting angle of twist is given by:

= TL / GJ We can write a torque-twist relationship for each shaft. For the outer shaft:

1

= T1L / G1J1

For the inner shaft:

2

= T2L / G2J2

Geometry of Deformations Equation Since the inner and outer shafts are connected, they rotate through the same angle of twist, i.e.:

1 = 2 Compatibility Equation Substitute the torque-twist relationships into the geometry of deformation equation:

T1L / G1J1 = T2L / G2J2 Notice that the compatibility equation has the same two variables, T1 and T2, as the equilibrium equation. Using both the equilibrium equation and the compatibility equation, we can solve the statically indeterminate coaxial torsion problem. Section Properties Before we begin, we will need to compute section properties for the two shafts. For outer shaft (1), the radial distance to the outside surface of the shaft (where the largest shear stress occurs) is c1 = 40.0 mm and the polar moment of inertia J1 is computed as:

J1

=  /32 × [D14 - d14] =  /32 × [(80.0 mm)4 - (72.0 mm)4] = 1.4E+06 mm4

For inner shaft (2), the radial distance to the outside surface of the shaft is c2 = 20.0 mm and the polar moment of inertia J2 is computed as: J2

=  /32 × (D2)4 =  /32 × (40.0 mm)4 = 251,327.4 mm4

Calculation In this problem, the external torque T is known, and we are asked to compute the resulting shear stresses in the outer and inner shafts. From the compatibility equation, we can derive an expression for T1:

T1

= [(G1 /G2)(J1 /J2)] T2

Substitute this expression into the equilibrium equation: T

= [(G1 /G2)(J1 /J2)] T2 + T2

Solve this equation for T2:


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Capítulo 3 T2


= T / [(G1 /G2)(J1 /J2) + 1 ] = (500.000 N-m) / [(80,000.00 MPa/80,000.00 MPa)(1.4E+06 mm4 /251,327.4 mm4) + 1

] = 76.895 N-m Backsubstituting into the equilibrium equation, we determine T1: T1

= T - T2 = 500.000 N-m - 76.895 N-m = 423.105 N-m

Now that we know T1 and T2, we can compute the shear stress in each shaft. For outer shaft (1):

1

= T1c1 / J1 = (423.105 N-m)(40.0 mm) / 1.4E+06 mm4

= 12.238 MPa


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Capítulo 3


PROBLEMA 8 (3.73)

El diseño de un elemento de maquina requiere que un eje de diámetro exterior transmita 45 kW, a) si la velocidad de rotación es de 700 rpm, determine el esfuerzo cortante máximo en el eje a, b)si la velocida de rotación puede incrementarse en 50 % a 1080 rpm, determine el máximo diámetro interior del eje b para el esfuerzo cortante máximo sea el mismo en cada eje.






Seleccione Analysis Options, haga click en Power Shaft



Marque la casilla pequeña al lado de los valores conocidos. El cuadro de entrada junto a él va a cambiar de color a amarillo, lo que indica que los datos se pueden introducir.



Para las variables que se han de calcular, deje el cuadro pequeño a lado del nombre sin marcar



Para este problema, compruebe potencia del motor, velocidad de rotación, de diámetro exterior, y relación de ID / OD



Asegúrese de que las casillas estén desmarcadas



Introducir los datos en los recuadros amarillos. Establecer las unidades deseadas




Relación de ID / OD es la relación entre el diámetro interior de diámetro exterior. Este será un número positivo mayor que o igual a 0,0 pero inferior a 1,0. Para un eje sólido, Relación de ID / OD es de 0,0.Para una tubería (o huecos) del eje, Relación de ID / OD será mayor que 0,0 pero menor que 1.0. Por ejemplo, si una tubería tiene un diámetro exterior de 40 mm y un diámetro interior de 30 mm, relación de ID / OD es de 0,75.


Página 60

Capítulo 3


Para el inciso a):

Figura 3.19 Solución problema 8    

Primero se obtendrá el par de torsión “T” mediante la siguiente fórmula:



 

Ahora procederemos a obtener el Esfuerzo Máximo en el Eje:



 


Página 61

Capítulo 3


Para el inciso b ):

Figura 3.20 Solución problema 8    

Primero se obtendrá el par de torsión “T” mediante la siguiente fórmula:



 

Ahora procederemos a obtener el Esfuerzo Máximo en el Eje:



 

Nota: en este inciso lo único que debemos cambiar es la “N” , es decir las revoluciones por minuto son el doble (1080 rpm)


Página 62

Capítulo 3


PROBLEMA 9 (3.151)

Si se sabe que un agujero de 0.40 in. De diámetro ha sido perforado en los ejes AB, BC y CD, determine a) el eje en el que ocurre el máximo esfuerzo cortante, b) la magnitud del esfuerzo.

Figura 3.21


Problema 9






Seleccione Analysis Options, haga clic en Multiple Torques



Determine el numero de pares



Introduzca los datos de torque, dirección, y las unidades



Introduzca los datos del eje (largo, OD, ID, módulo de corte) y las unidades



Para acelerar la entrada de datos, es posible introducir datos en la etiqueta Default Values que se ubica en el lado derecho del formulario. Introduzca la longitud, OD, ID, y módulo de corte. Haga clic en Apply Defaults y estos valores se introducirá en todos los segmentos del eje. Usted puede cambiar los valores de cualquier segmento específico del árbol directamente en las casillas numeradas del eje AB, BC eje, etc.



En el cuadro denominado Set Plot, elegir el tipo de gráfica que desea ver: Torque, la esfuerzo cortante, o ángulo de giro.





Página 63

Capítulo 3


Figura 3.22 Solución problema 9    

Nota: Se notara que la posición mostrada en la figura 3.21 es distinta a la que se muestra en el programa, solo hay que realizar dicho ajuste es decir para el resultado del inciso a) el resultado lo pide con las letras AB pero en la figura 3.22 será CD, únicamente hay que ajustar dichas letras a los resultados solicitados.

Al dar clic en el botón Compute en automático aparecen los diagramas de Torque, Esfuerzo Cortante y Angulo de Giro, estos diagrama los podemos ver a detalle en el momento en que se da clic a una de las opciones que aparece arriba del botón Compute, se debe tomar en cuenta que en ocasiones no todos los diagramas aparecerán, es decir, si no se tiene longitud el diagrama de Angulo de Giro ( Rotation Angle ) no se podrá visualizar. Todo depende de lo que se pida y en base a los datos los diagramas estarán presentes. También cabe destacar que en esta opción no aparecen los procedimientos de resolución sin embargo, en este ejemplo como en los siguientes se darán unos tips de cómo llegar al resultado solicitado. “Resolución de problemas de Torsión utilizando MdSolids”

Página 64

Capítulo 3


Para el inciso a) se procede a checar la grafica (fig. 3.22 ), como se puede notar el Máximo Esfuerzo Cortante se localiza en CD y observando la figura 3.21 podemos notar que el Máximo Esfuerzo Cortante se localiza en AB. Como se había mencionado antes es cuestión de ajustar las letras de la figura que presenta MdSolids dependiendo de cómo está ubicada la figura del problema. Para el inciso b) se tiene lo siguiente: Primero se procede a realizar una suma de momentos con respecto a x en la sección AB:

Posteriormente se realiza suma de momentos con respecto a x en la sección BC:

Ahora en la sección CD:

Se procede a utilizar la formula de Esfuerzo Cortante pero antes se obtendrá el Momento Polar de Inercia para realizar la sustitución:


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Capítulo 3


PROBLEMA 10 (3.155)

Dos ejes solidos de acero (G = 77.2 GPa) están conectados a un disco de acoplamieto B y a soportes fijos en A y C. Para las cargas que se muestran, determine a) la reacción en cada soporte, b) el esfuerzo cortante máximo en el eje AB, c) el esfuerzo cortante máximo en el eje BC.






Seleccione Analysis Options, haga clic en Indeterminate End-to-End Shaft



Seleccione la opción a



Introducir los datos y las unidades






Ver animación (recomendado)


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Capítulo 3


Figura 3.24 Solución problema 10              

     

     

Para la resolución de este problema se hará uso de una de las propiedades que nos aporta MdSolids y la cual facilita al estudiante llegar al resultado mediante un procedimiento conciso y entendible. El planteamiento que nos ofrece el programa es el siguiente: Equilibrium Begin by cutting a free-body diagram (FBD) through the composite shaft around the flange at B. The equilibrium equation for the sum of torques about the axis of the shaft can be written as:

Mo = T - T1 + T2 = 0 Note that we make it a point to always assume positive internal torques, even when common sense might dictate otherwise. The equilibrium equation simplifies to: T = T1 - T2 Since this is the only independent equilibrium equation, this type of problem is statically indeterminate. We must develop a second equation.

Torque-Twist Relationship The relationship between the torque in a shaft and its resulting angle of twist is given by:

 = TL / GJ “Resolución de problemas de Torsión utilizando MdSolids”

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Capítulo 3


We can write a torque-twist relationship for each shaft. For shaft (1):

1

= T1L1 / G1J1

For shaft (2):

2

= T2L2 / G2J2

Geometry of Deformations Equation To develop the geometry of deformations equation, we want to work sequentially and systematically along the composite shaft, moving in a +x direction. To determine the angle of twist in a shaft, we find the rotation angles at the forward and aft ends of the segment and subtract them. The angle of twist in shaft (1) is the difference between the rotation angle at flange B (i.e., the forward end) and the rotation angle at support A (i.e., the aft end):

1 = B - A Since A is a fixed support, A = 0. Therefore:

1 = B Similarly, the angle of twist in shaft (2) is the difference between the rotation angle at support C and the rotation angle at flange B:

2 = C - B Since C is a fixed support, C = 0. Therefore:

2 = -B Add the two equations to obtain the geometry of deformations equation for end-to-end shafts:

1 + 2 = 0 Compatibility Equation Substitute the torque-twist relationships into the geometry of deformation equation:

T1L1 / G1J1 + T2L2 / G2J2 = 0 Notice that the compatibility equation has the same two variables, T1 and T2, as the equilibrium equation. Using both the equilibrium equation and the compatibility equation, we can solve the statically indeterminate end-to-end shaft problem. Section Properties Before we begin, we will need to compute section properties for the two shafts. For shaft (1), the radial distance to the outside surface of the shaft (where the largest shear stress occurs) is c1 = 25.0 mm and the polar moment of inertia J1 is computed as:

J1

=  /32 × (D1)4 =  /32 × (50.0 mm)4 = 613,592.3 mm4


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Capítulo 3


For shaft (2), the radial distance to the outside surface of the shaft is c2 = 19.0 mm and the polar moment of inertia J2 is computed as: J2

=  /32 × (D2)4 =  /32 × (38.0 mm)4 = 204,707.7 mm4

Calculation In this problem, the external torque T is known, and we are asked to compute the resulting shear stresses in the shafts (1) and (2). From the compatibility equation, we can derive an expression for T1:

T1

= -[(G1 /G2)(J1 /J2)(L2 /L1)] T2

Substitute this expression into the equilibrium equation: T

= -[(G1 /G2)(J1 /J2)(L2 /L1)] T2 - T2

Solve this equation for T2:

T2

= -T / [(G1/G2)(J1/J2)(L2/L1) + 1 ] = (-1.400 kN-m) / [(77.20 GPa/77.20 4 mm )(250.0 mm/200.0 mm) + 1 ] = -0.2949 kN-m = 295 N-m

GPa)(613,592.3

mm 4/204,707.7

Backsubstituting into the equilibrium equation, we determine T1: T1

= T + T2 = 1.400 kN-m + (-0.2949 kN-m) = 1.105 kN-m = 1105 N-m

Now that we know T1 and T2, we can compute the shear stress in each shaft. For shaft (1): 1

= T1c1 / J1 = (1.105 kN-m)(25.0 mm) / 613,592.3 mm 4

= 45.024 MPa Note: Make the units consistent before performing the hand calculation. and for shaft (2): 2

= T2c2 / J2 = (-0.2949 kN-m)(19.0 mm) / 204,707.7 mm 4

= -27.375 MPa


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Comentarios finales

Comentarios finales Este trabajo presenta una propuesta para complementar con software especializado la enseñanza presencial o el uso de libros texto, es decir tomar ventaja de la tecnología disponible para mejorar la calidad y eficiencia del aprendizaje.

Las posibilidades de usar visualizaciones y simulaciones animadas es una ventaja clara comparada con los libros, especialmente si hay que estudiar diagramas de cuerpo libre, distribución de esfuerzos y procesos de deformación.

El ambiente de poco estrés creado bajo un software adecuado para el aprendizaje autodidáctico permite a los estudiantes avanzar según su propio ritmo.


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