Universidad Central De Venezuela Departamento De Mecánica Mecánica I (0607)
Nombre C.I._____________________________________________________
El sistema está conformado por 3 cuerdas que sostienen un recipiente cuyo peso y su contenido son de . Adicionalmente, se aplica en el punto A una fuerza de , paralela al plano , con un ángulo variable como se muestra. Calcule:
Las tensiones en cada una de las cuerdas como una función del ángulo . (3pts) El valor de que maximiza la tensión AB. (2pts) Un valor de que minimice la tensión AC. (1pto) Evalúe cada tensión para cada cuarto de vuelta de . (1pto)
El sistema mostrado está formado por un cubo de peso y está sometido a 3 fuerzas, todas de valor excepto , que está indeterminada.
Calcule el valor de que garantice que el sistema puede reducirse a una fuerza única. (2pts)
Halle la ecuación de la línea de acción (eje) de la fuerza única. (2pts)
–
Reduzca a una sistema fuerza par en A. (2pts)
Ahora el mismo sistema anterior (con peso) está sometido al conjunto de fuerzas mostradas. Esta vez F1=P, F2=2P y F3=3P. Reemplace el sistema por un sistema equivalente en O. (2pts) Verifique que el sistema sólo puede reducirse a una llave de torsión y halle su eje y el paso de la misma. (3pto) Calcule la menor distancia ( d min min ) de la llave de torsión al centro O . (1pto) Dibuje el sistema reducido a una la llave de torsión con todos sus elementos. (1pto)
Jesús A. Pinto Pinto
El primer paso, como siempre, es realizar el Diagrama De Cuerpo Libre : En este caso, el punto A es la opción adecuada puesto que la línea de acción de cada fuerza lo atraviesan.
Como se observa a simple vista; las tensiones de las cuerdas están en direcciones no-obvias y, por lo tanto, debe realizarse la búsqueda de los vectores unitarios asociados a ellos.
Puntos (Coordenadas) [ mm ]
Con esto se pueden hallar los vectores unitarios para cada tensión:
Vectores Unitarios
Y se procede a definir completamente los vectores de las tensiones:
Tensiones
Jesús A. Pinto
La fuerza se descompone en direcciones
de la siguiente manera:
Y el peso se expresa vectorialmente como:
Esto permite aplicar para este conjunto la ecuación de equilibrio:
Al reemplazar los valores de y , esta ecuación vectorial puede escribirse escalarmente como:
Donde todas las fuerzas están en
. La solución para las magnitudes de las tensiones es: Tensiones [
Es de particular utilidad graficar estas funciones, lo cual puede hacerse utilizando los valores requeridos en el último apartado, esto es,
Ángulo [
]
2
Jesús A. Pinto
Las gráficas se muestran a continuación:
Estas gráficas muestran el rango natural de las funciones analíticas obtenidas y en ellas se observa que no existe algún ángulo tal que las tres cuerdas estén sometidas a tracción. Esto significa que el sistema no podrá conservar estar en equilibrio estático y se acelerará.
La gráfica del comportamiento correcto de las cuerdas es una función a trozos en virtud del hecho de que una cuerda no puede estar sometida a compresión :
Para hallar el valor que maximiza la tensión en la cuerda AB punto crítico de la función
-gráfica azul- se procede a ubicar el . Esto es:
Jesús A. Pinto
nula. En otras palabras la cuerda estará “floja” Para una vuelta completa los puntos críticos estarán en:
Utilizando el criterio de la segunda derivada o una evaluación directa de la función que el valor del ángulo que corresponde al máximo es ].
se puede concluir
Para el caso de un valor que minimice a la tensión en la cuerda AC -gráfica roja- el enfoque no se puede basar en el estudio de los puntos críticos de dicha función. Por principio de las cuerdas inextensibles el valor mínimo en ellas es cero, por lo que hay que hallar cualquier valor donde :
Esta ecuación puede ser engorrosa de resolver. Analíticamente se puede hacer la siguiente manipulación:
Esto permite reagrupar la expresión como:
Ambos valores son de importancia dado que entre ellos la tensión de la cuerda en cuestión permanecerá en este conjunto de valores:
A pesar de que la manipulación algebraica puede proporcionar los resultados exactos , ciertamente esto puede ser difícil de prever. Incluso puede encontrarse el caso de funciones mucho menos manipulables por lo que es necesaria otra estrategia de resolución. Una de estas estrategias es el método iterativo de Newton-Raphson que se aplicará a continuación a modo ilustrativo:
Jesús A. Pinto
El método precisa de una semilla para iniciar. En virtud de tener las gráficas para guiar la búsqueda se iniciará con el valor . Entonces se tiene para la primera iteración:
Este esquema converge rápidamente (cuadráticamente); con unas pocas iteraciones se puede llegar a una respuesta:
i
Nota importante: Este método es sensible al valor de la semilla utilizado si la ecuación no tiene solución única. (Por ejemplo, se puede verificar que llegará a la solución 5,788 si la semilla es 5) Síntesis De Resultados
1
2 3
4
Tensiones En Cada Cuerda
Evaluación
Ángulo [
]
2
Jesús A. Pinto
–
–
Para calcular el valor de para llevar el sistema a una fuerza única debe tomarse en cuenta que esto ocurre cuando el producto escalar entre el momento resultante respecto a cualquier punto y la fuerza resultante sea nulo. La fuerza resultante en el sistema es:
– –
La toma de momentos respecto a O será entonces:
Con esto se calcula el producto punto citado:
De donde se concluye que:
Ahora se utiliza este valor para hallar la línea de acción de la fuerza única. Se toma un vector de posición genérico medido respecto a O vectorialmente con la fuerza resultante se produzca el momento
de modo que al multiplicarlo
:
Jesús A. Pinto
Lo cual genera el sistema de ecuaciones:
– –
Eligiendo despejar todas las variables en función de y haciendo
se tiene:
Y la ecuación de la línea de acción medida respecto a O está dada por:
Finalmente, la reducción del sistema usando como referencia al punto A se puede calcular fácilmente como:
Siendo la fuerza resultante la misma calculada anteriormente:
1 Valor de
2 Línea de Acción 3 Sistema Reducido a A
Síntesis De Resultados
Jesús A. Pinto
Para llevar el sistema a uno equivalente en O , se debe hallar la fuerza resultante y la suma de momentos respecto a dicho punto. La fuerza resultante
es:
El momento total respecto al punto O
, es:
En conclusión, el sistema de fuerzas equivalentes en O , está comprendido por y
:
Para verificar que el sistema puede reducirse a una llave de torsión basta con corroborar que los vectores y no son perpendiculares entre sí:
Ya que este producto escalar no es nulo, el sistema puede reducirse a una llave de torsión. Debe hallarse el momento paralelo a la fuerza resultante y el momento perpendicular a ésta :
Jesús A. Pinto
Es necesario hallar el vector unitario en la dirección de la fuerza resultante:
Para ubicar al eje de la llave de torsión, se define un vector de posición cualquiera (medido desde O), y se procede a ubicar sus coordenadas de manera que el momento producido por la fuerza resultante sea igual a , entonces:
Lo que genera el siguiente sistema de ecuaciones:
Jesús A. Pinto
Cuya solución es:
Al introducir el parámetro
se reescribe esta solución como:
El paso de la llave de torsión se define por la relación:
Para calcular la menor distancia al punto O, se puede calcular multiplicando al vector escalarmente por el vector (o su unitario), igualarlo a cero y resolver para el parámetro . Sin embargo, una estrategia más consiste es visualizar que escalarmente el momento es el resultado de:
Jesús A. Pinto
Expresado en decimales como:
. Síntesis De Resultados
1 Sistema equivalente en O 2
Eje de la llave de torsión Paso de la llave de torsión
3 Menor distancia a O
Esquema Reducido 4 Fuerza-Momento Llave de Torsión
Jesús A. Pinto
