MEDIA ARITMETICA La media aritmética es el e l valor obtenido al sumartodos los datos y dividir el e l resultado entre el número total de datos.
Propiedades de la media aritmética o o o o
Al evaluar la media se incluyen todos to dos los valores Un conjunto de datos solo tiene una media. Esta es única. La media es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones La media aritmética es la única medida de tendencia central en donde la suma de cualquier valor con respecto a la media siempre será cero. La media aritmética se aplica para datos agrupados y datos no agrupados:
Media aritmética para datos no agrupados
•
donde:
= Designa Designa la media aritmétic aritméticaa población o en la muestra. x i i = Valores que toma la variable en la población total de observaciones observaciones o datos n = Es el número total Ejemplo: Supngase que un almacén tiene !" empleados# y sus sueldos mensuales son: $%&'.((( ) %*!.((( ) %+%.&(( ) ,"!.%(( ) ,"%.((( ) -*!.((( ) %"%.((( ) %'+.((( ) ,'+.((( ) ''(.((( ) %"(.((( ) %,+."(( Se quiere determinar la media aritmética o promedio de los sueldos de los !" endedores Solucin:
El promedio del sueldo mensual# será de $,"-.!*!#+•
Media aritmética para datos agrupados /ara calcular la media aritmética# en este caso# las observaciones en cada clase o intervalo se representan con el punto medio de ésta 01arca de 2lase3. As4:
= x i = f i = n =
Designa la media aritmética Es el punto medio de cada clase o marca de clase. Es la frecuencia absoluta de cada clase. Es el número total de frecuencias o datos.
Ejemplo 5e la tabla de distribucin de 6recuencias anterior# tenemos:
El promedio de las ventas de los almacenes es de $!!.,%(.(((
L a media aritmética e s e l v a l o r o b t e n i d o al sumar todos los datos y d i v i d i r el resultado entre e l número t o t a l d e datos . es el s4mbolo de la media aritmética .
Ejemplo Los pesos de seis amigos son: &,# *!# -"# +&# &- y -& 7g. 8allar el peso medio.
Media aritmética para datos agrupados Si los datos v i e n e n agrupados en una tabla de 6recuencias# la e9presin de la media es:
xi
f i
x i · f i
[10, 20
1!
1
1!
[20, "0
2!
#
200
["0,$0
"!
10
"!0
[$0, !0
$!
%
$0!
[!0, &0
!!
#
$$0
[&0,'0
&!
$
2&0
['0, #0
'!
2
1!0
$2
1 #20
Ejercicio de media aritmética En un test realiado a un grupo de ," personas se ;an obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. (alcula la puntuaci)n media .
Propiedades de la media aritmética
1 L a suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribucin respecto a la media d e l a misma igual a cero .
Las suma de las desviaciones de los números &# %# '# !"# !( de su media aritmética -.+ es igual a (: & < -.+ = % < -.+ = ' < -.+ = !" < -.+ = !( < -.+ > > (. , < ,.+ < ".+ = ,. , = ". , > 0
2 L a media aritmética d e l o s cuadrados de las desviacione s de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se ;ace m*nima cuando dic;o número coincide con la media aritmética .
" Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número # la media aritmética q u e d a aumentada e n dic;o número .
$ Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética q u e d a multiplicada por dic;o número .
Observaciones sobre la media aritmética
1 L a media s e p u e d e +allar slo para variales cuantitativas .
2 L a media e s independiente de las amplitudes de los intervalos .
" L a media es muy sensible a las puntuaciones extremas . Si tenemos una distribucin con los siguientes pesos: +' 7g# +*7g # +' 7g# -" 7g# ++ 7g# -' 7g# -( 7g# !!( 7g.
L a media es igual a -, 7g# que es una medida de centrali-aci)n poco representativa de la distribucin.
$ L a media no se puede calcular si ;ay un intervalo con una amplitud indeterminada .
xi
f i
[&0, &"
&1. !
!
[&", &&
&$. !
1#
[&&, &%
&'. !
$2
[&%, '2
'0. !
2'
['2, /
# 10 0
En este caso no es posible ;allar la media p o r q u e n o podemos calcular la marca de clase de último intervalo.
CARACTERISTICAS COMPARATIVAS DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Media Aritmética
1. Es una medida totalmente numérica o sea sólo puede calcularse en datos de caracter!sticas cuantitativas. ". En su c#lculo se toman en cuenta todos los valores de la variable. $. Es lógica desde el punto de vista algebraico. %. &a media aritmética es altamente afectada por valores e'tremos. (. )o puede ser calculada en distribuciones de frecuencia que tengan clases abiertas. *. &a media aritmética es única+ o sea+ un con,unto de datos numéricos tiene una - solo una media aritmética. Mediana
1. En su c#lculo no se inclu-en todos los valores de la variable. ". &a Mediana no es afectada por valores e'tremos. $. uede ser calculada en distribuciones de frecuencia con clases abiertas.
%. )o es lógica desde el punto de vista algebraico. Moda
1. En su c#lculo no se inclu-en todos los valores de la variable. ". El valor de la moda puede ser afectado grandemente por el método de designación de los intervalos de clases. $. )o est# definida algebraicamente. %. uede ser calculada en distribuciones de frecuencia que tengan clases abiertas. (. )o es afectada por valores e'tremos.
Media /eométrica
1. 0e toman en cuenta todos los valores de la variable ". Es afectada por valores e'tremos aunque en menor medida que la media aritmética. $. &a media geométrica de un número - su rec!proco ser# siempre igual a uno. %. )o puede ser calculada en distribuciones con clase abiertas. (. Es ma-ormente usada para promediar taas de cambio+ raones - valores que muestren una progresión geométrica. Propiedades de la media aritmética PROPIEDAD 1: La suma de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a la media aritmética es 0. n
% x i
X $
i 1
Veamos n
% x i X $ i 1
ue
n i
resulta
al
% x i n i X n i $
n i x i n i
x i n i
n
.n
1 n i
0
operar
1
x i n i
n i 1
la
si!uiente X n i
1 n i
e"presi#n: x i n i X
. n i
1 n i
&endremos x i n i X n
ue 1 n i
0
n i
PROPIEDAD ': La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a una constante cualuiera se (ace m)nima cuando dic(a constante coincide con la media aritmética (Teorema de KÖRING$. '
'
D ( k ) =
∑ ( x i − k ) n i
n
=
∑ ( x i − x ) n i
n
= prop 1 = 0
n i n
=0
k x =
Para
%media aritmética$ el valor de las desviaciones ser* m)nima.
PROPIEDAD +: ,i a todos los valores de la variable se le suma una misma cantidad- la media aritmética ueda aumentada en dic(a cantidad:
y i
,upon!amos ue tenemos una variable " de la ue conocemos su media. ,upon!amos a(ora ue tenemos otra variable- ue se calcula a partir de la anterior de la si!uiente orma: x i k . ,i a(ora ueremos calcular la media de esta se!unda variable: n
y i n i y
x i
i 1
k n i
n x i n i
kn
n x i n i
n
n
n
x i n i n
x i n i
kn i
n
k n i n
x i n i
k n i
n
n
k
X
como
x i n i
Y X k
si sustituimos tendremos
ue es lo ue pretend)amos demostrar.
PROPIEDAD /: ,i todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante la media aritmética ueda multiplicada por dic(a constante . La demostraci#n se realiar)a de manera an*lo!a a la anterior. O&A: De las dos propiedades anteriores se deduce ue la resta 2 la divisi#n se realiar)an de i!ual manera para la propiedad + 2 / respectivamente.
Corolario: ,i una variable es transormaci#n lineal de otra variable %suma de un n3mero 2 multiplicaci#n por otro$- la media aritmética de la 14 variable si!ue la misma transormaci#n lineal con respecto a la media aritmética de la '4 variable- siendo 2i 5 a "i 6 b - donde a 2 b son n3meros reales: y
y i n i
%ax i
n
b$n i
%ax i n i
n
bn i $
a
n
x i n i n
b
n i n
a x b
Podemos utiliar esta metodolo!)a para calcular la media de la si!uiente distribuci#n.
Xi
ni
+7/+' +7/+' +7/+8 +7/+7 +7//0
/ 7 / + 7 y i
x i +7/+8 '
,i eectuamos un cambio de variable centrado- tendremos::
tomando como nueva variable el valor m*s
xi
ni
yi
yi ni
+7/+' +7/+' +7/+8 +7/+7 +7//0
/ 7 / + 7
%+7/+' 9 +7/+8$' 5 9' %+7/+' 9 +7/+8$' 5 91 %+7/+8 9 +7/+8$' 5 0 %+7/+7 9 +7/+8$' 5 1 %+7//0 9 +7/+8$' 5 '
97 97 0 + 18
n = 27
3 y =
y i n i n
=
+ '<
=
1 ;
x +7/+8
y
x ' y +7/+8
'
=omo
'
1
+7/+8
;
0-''' +7/+8
+7/+8-'''
- entonces
PROPIEADAD >: 9 ,i en un con?unto de valores se pueden obtener ' # m*s subcon?untos dis?untos- la media aritmética del con?unto se relaciona con la media aritmética de cada uno de los subcon?untos dis?untos de la si!uiente orma: N
x i N i X
I 1
n
x i ,iendo
la media de cada subcon?unto 2 i el n3m. de elementos de cada subcon?unto.
Veamos la demostraci#n de la propiedad: ,ea la distribuci#n " 1- " '- " +- " /- @@ "n- " n61- " n6' @@@."observando ue (abr)an como dos subcon?untos de n 2 9n elementos cada uno. ,i consideramos la media aritmética de la
x i n i
X
n 2 calculamos los sumatorios para los dos subcon?untos- la e"presi#n de la media
distribuci#n:
uedar)a: n
k
x j n j j 1
X
n
k
x r n r r n 1
x j n j
x r n r
j 1
n
r n 1
n
n
,i multiplicamos numerador 2 denominador de cada una de las racciones por una misma cantidad el resultado no var)a- por tanto- multiplicaremos la primera por 1 ue es su n3mero de elementos del primer subcon?unto 2 la se!unda por ' ue es el correspondiente- la e"presi#n uedar*: n
n
x j n j n
N1
k
x j n j
N'
j 1
X
N1
j 1
x r n r
N1
x j n j N'
j 1
n
N'
x j n j j 1
r n 1
N 1n
N'n
n
N1
n
como
x 1 2
kn
x rj n jr r n 1
N'
x ' son la media del primer 2 se!undo subcon?unto- la e"presi#n la podemos e"presar de la si!uiente X X 1
N1 n
X '
N'
X 1N 1 X ' N '
n
n
manera: ue es lo ue uer)amos demostrar 2a ue si las recuencias se multiplican o dividen por un mismo n3mero- la media no var)a IBPOR&A&E: Ca2 ue tener en cuenta ue la media aritmética es mu2 sensible a los valores e"tremos- es decir- a valores numéricos mu2 dierentes- %tanto por lo !randes- o peueos ue sean$- al resto de la muestra. Esto puede resultar un problema. Ca2 ormas de resolverlo- ue veremos m*s adelante.
Media geométria y arm!nia" a# Media geométria: Responde a la si!uiente e"presi#n
G
n
n
n
n
n
x 1 1 x ' ' x + ' ...... x k k
2 se la puede deine- como la ra) n9ésima del producto de todos los valores de la variable. &ambién la podemos representar como: 1
G
n
n
n
nk
% x 1 1 x ' ' x + + ....... x k $ n
O&A: En muc(as ocasiones- los valores de la distribuci#n nos impiden poder eectuar los c*lculos al e"ceder la capacidad de la calculadora. tiliaremos las propiedades de los lo!aritmos: l! %a.b$ 5 l! a 6 l! b l! an 5 n l! a 1 n1 n' n+ nk n l!% x 1 x ' x + ....... x k $
l! G
1 n
n
n
%l! x 1 1 l! x ' ''
1 n n
l! x + +
n
n
n
n
l!% x 1 1 x ' ' x + + ....... x k k $ n
.... l! x k k $
sabiendo ue lo podemos e"presar en notaci#n compacta: n i l! x i 1 %n1 l! x 1 n ' l! x ' n + l! x + ...... n k l! x k $ n n
l! G
- por lo ue podemos decir ue n i l! x i n
F 5 anti l! El lo!aritmo de la media !eométrica es la media aritmética de los lo!aritmos de los valores de la variable. El problema se presenta cuando al!3n valor es 0 # ne!ativo 2 e"ponente de la ra) par 2a ue no e"ista ra) par de un n3mero ne!ativo. ,uele utiliarse cuando los valores de la variable si!uen una pro!resi#n !eométrica. &ambién para promediar porcenta?es- tasas- nG )ndices- etc. siempre ue nos ven!an dados en porcenta?es. E?emplo: Callar la media !eométrica de la si!uiente distribuci#n:
xi
ni
100 1'0 1'> 1/0
10 > / + n 5 '' l! G
n i l! x i n
por lo tanto ser* conveniente ampliar la tabla con lo ue nos uedar*
xi
ni
lg xi
ni lg xi
100 1'0 1'> 1/0
10 > / + n 5 ''
l! 100 5 ' l! 1'0 5 '.0<; l! 1'> 5 '.0;< l! 1/0 5 '.1/8
'0 10-+;8 7-+7< 8-/+7 />.''1
n i l! x i
l! G
/>-''1
n
'-0>8
''
F 5 anti l!. '-0>>> 5 $$3%&32 O&A: En la calculadora el antilo!aritmo se (alla apretando la tecla ,CIH& lo! "
'# Media arm!nia" a re)re*entaremo* omo +: Es la inversa de la media aritmética de las inversas de los valores de la variable- responde a la si!uiente e"presi#n: H
n n i
n n1
n'
n+
x i
x 1
x '1
x +
....
,e utilia para promediar velocidades- tiempos- rendimiento- etc. %cuando inlu2en los valores peueos$. ,u problema: cuando al!3n valor de la variable es 0 o pr#"imo a cero no se puede calcular. Ejemplo: calcular la media arm#nica de la si!uiente distribuci#n:
xi
ni
100 1'0 1'> 1/0
10 > / +
Para poder (allarla- es necesario ue calculemos el inverso de " 2 el inverso de la recuencia por lo ue ampliaremos la tabla con ' columnas adicionales :
H
xi
ni
$,xi
ni,xi
xini
100 1'0 1'> 1/0
10 > / + 5 ''
1100 11'0 11'> 11/0
0.1 0.0/' 0.0+' 0.0'1 0.1;>
1000 800 >00 /'0 '>'0
n n i x i
'' 0-1;>
11' -7' X
x i n i n
'>'0 ''
11/ ->/>
Entre la media aritmética la media !eométrica 2 media arm#nica se da siempre la si!uiente relaci#n: H ≤ G ≤ X
M-.I/N/: Me La mediana o valor mediano ser* el valor de la variable ue separa en dos !rupos los valores de las variables- ordenadas de menor a ma2or. Por tanto es una cantidad ue nos indica orden dentro de la ordenaci#n. n ' El lu!ar ue ocupa se determina dividiendo el nG de valores entre ': =uando (a2 un n3mero impar de valores de la variable- la mediana ser* ?usto el valor de orden centraln n N i 1 N i Me x i ' ' auel cu2a recuencia absoluta acumulada coincida con . Es decir: . Por tanto la mediana coincide con un valor de la variable. n ' El problema est* cuando (a2a un n3mero par de valores de la variable. ,i al calcular resulta ue es un valor menor ue una recuencia absoluta acumulada- el valor de la mediana ser* auel valor de la variable cu2a n N i 1 N i Me x i ' recuencia absoluta cumpla la misma condici#n anterior: . Por el contrario si coincide x i x i 1 N N i Me ' ' ue - para obtener la mediana realiaremos el si!uiente c*lculo: Ejemplo: ,ea la distribuci#n
xi
ni
Ni
1 ' >
+ / ;
+ < 18
7
$0
2&
10 1+
< ' n 5 +>
++ +>
n
+> '
'
1<->
lu!ar ue ocupa N i
n 1
'
N i
18 1<-<
'8
Me
x i
-por lo tanto Me = 7
como se produce ue El otro caso lo podemos ver en la si!uiente distribuci#n:
xi
ni
Ni
1 '
+ /
+ <
1
$&
< 10
10 8 n5 +'
'8 +'
Me
x 1 x i '
1
> < '
8
Lu!ar ue ocupa 5 +'' 5 18 55 otar ue en este caso se podr)a (aber producido ue (ubiera una recuencia absoluta acumulada superior a 18. En este caso se calcular)a como en el e?emplo anterior.
[ L i −1 - Li ) En di*tri'ione* agr)ada* - (a2 ue determinar el intervalo mediano - la orma de (acerlo ser* calcular el valor de la mitad de n- 2 observar ue intervalo tiene una recuencia absoluta acumulada ue cumpla n N i −1 < < N i ' . Después de saberlo (aremos el si!uiente c*lculo: N Me
,iendo:
L i
1
'
N i n i
1
a i
J Li91- Li$ el intervalo ue contiene a la recuencia acumulada ' ai 5 amplitud de dic(o intervalo.
E?emplo:
4 i5$% i#
ni
Ni
J'0 - '>$ J'> - +0$
100 1>0
100 '>0
430 % 31#
200
610
J+> - /0$ J/0 - />$
170 /1 5 8<1
8+0 8<1
8<1' 5 ++>.> K Be estar* en el intervalo J+0 9 +> $. Por tanto realiamos el c*lculo: n N i 1 ++-> '>0 ' Me L i 1 a i +0 L > +'-1+7 n i '00
M./: Mo ,er* el valor de la variable ue m*s veces se repite- es decir- el valor ue ten!a ma2or recuencia absoluta. Pueden e"istir distribuciones con m*s de una moda: bimodales- trimodales- etc. En las distribuciones sin a!rupar- la obtenci#n de la moda es inmediata. E?emplo:
xi
ni
1
'
2
7
+
>
6
7
>
/
Boda M'- /N- en este caso tenemos una distribuci#n bimodal. En los supuestos ue la distribuci#n ven!a dada en intervalos- es decir- sea a!rupada- se pueden producir dos casos: ue ten!an la misma amplitud- o ue esta sea distinta. ,i tienen la misma amplitud- en primer lu!ar tendremos ue encontrar el intervalo modal- ser* auel ue J L i −1 - L i $ tendr* ma2or recuencia absoluta
. Posteriormente realiaremos el si!uiente c*lculo: Mo
L i
1
n i
n i
1
1
n i
a i 1
,iendo: Li91 5 e"tremo inerior del intervalo modal ai amplitud de dic(o intervalo ni91 6 ni61 ue contiene la moda.
5 densidades de recuencia de los intervalos anterior 2 posterior respectivamente al
=uando los intervalos sean de distinta amplitud- el intervalo modal ser* el de mayor den*idad de n i d i a i
8reenia - es decir
-2a ue consideraremos la calidad del intervalo en unci#n de la recuencia 2 de la d i 1 Mo L i 1 a i d i 1 d i 1
amplitud. Para realiar el c*lculo- tendremos en cuenta la si!uiente e"presi#n: ota: x
1.9 =uando (a2 una 3nica moda- la mediana suele estar comprendida entre 2 Bo. x '.9 =uando la distribuci#n es simétrica %con 1 moda$ se cumple ue: 5 Be5Bo E?emplo: Callar la moda de la si!uiente distribuci#n
4i5$%i#
ni
di = ni,a i
J0 - '>$
'0
0.7
421 % 10#
$60
1"&
J>0 - 100$ J100 - 1>0$ J1>0 - '00$
170 /0 '0
+.8 0.7 0./
=alculamos el intervalo modal J'> Q >0$. Operamos:
Mo
L i
1
d i
d i
1
1
d i
a i 1
'>
+-8 0-7 +-8
'>
/>->
