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4º MEDIO: MEDIDAS DE POSICIÓN
También llamadas de centralización o de Sirven para para estudia estudiar r tendencia tendencia central. Sirven las características de los valores centrales de la distribución atendiendo a distintos criter criterios ios.. Veamos eamos su signif significa icado do con un ejemplo:
)jemplos: . 1allar 1allar la medi mediaa arit aritmét mética ica de de los los siguientes valores: %$ 2$ 3$ 4$ %.
5 % 6 2 6 3 6 4 6 % 5 (% x
Supongam Supongamos os que queremos queremos descri describir bir de una forma breve y precisa los resultados obtenidos por un conjunto de alumnos en un cierto examen diríamos: a! "a nota nota media media de de la clase clase es es de #$%. b! "a mitad de los alumnos &an obtenido una nota inferior a %. c! "a nota nota que que m's m's veces veces se se repit repitee es el el ($%. )n la expresión expresión a! se utili*a como medida la media aritmética simplement mentee la aritmética o simple media. )n la b! se emplea como omo medi edida la mediana$ que es el valor promedio que deja por debajo de ella la mitad de las notas y por encima de ella la otra mitad. + en la c! se usa el valor de la nota que m's veces se &a repetido en ese examen$ este valor es la moda.
MEDIA ARITMTICA ,ormalmente se suele distinguir entre media aritmética simple y media aritmética ponderada.
n5% x
5 7
8. Si las notas de un alumno en las dist distin inta tass asig asigna natu tura rass de un curs curso o durante una evaluación fueron: 2 % #$% 9$2 %$ #$8. 1allar la nota media de la evaluación. /esp. %$%###...! 9. "a medi mediaa de # elem elemen ento toss se sabe sabe que que es 4. Sabien Sabiendo do que cinco cinco de ello elloss son: 3$ 8$ 9$ % y 7$ &allar el elemento que falta. /esp. 9!
Media Media aritmé aritmétic ticaa "ondera "onderada da: ;or lo general$ en )stadística$ los datos se nos presentan agrupados mediante una distribución de frecuencias que &ace que no todos los elementos de la serie tengan el mismo peso específico$ y eso influye a la &ora de calcular la media$ por eso se llama media ponderada. Se define como la suma de los productos de cada cada elem elemen ento to de la ser serie por por su frecu frecuenc encia ia resp respec ecti tiva va$$ divi dividi dida da por el n-mero de elementos de la serie.
Media aritmética !im"le !im"le: )s la suma de
k
x i ni
todos los elementos de la serie dividida por el n-mero de ellos. Se calcula como:
x
i .
n
k
xi x
i .
n
siendo: x : la media k
x
i
: suma de elementos
i .
n : n-mero de elementos /incluyendo a los de igual valor! 0 : n-mero de elementos con distinto valor.
donde ni es la frec frecuen uenci ciaa o n-mer n-mero o de veces que se repite un valor. También ni puede ser la ponderación de cada ca da valor xi. )jemplos: .
=recuencia en días
844.444 884.444 944.444
% % (
1allar el salario medio durante ese mes. x
844.444 x % 884.444 x % 944.44 8(
8. >n alumno obtiene en tres ex'menes parciales las siguientes notas: 2$ % y 9 en el examen final consigue un #. Suponiendo que esta nota final tenga doble valor que las parciales$ ?cu'l ser' su nota media@ /esp. %$(! 9. Si la renta anual media de los trabajadores del campo es de .444.444 de pesos y la renta anual media de los trabajadores de la construcción en esa población es de .844.444 pesos$ ?sería la renta anual media para ambos grupos de .44.44 pesos@ )xplica. Sin embargo$ lo normal es )stadística es que los datos vengan agrupados en clases o intervalos$ o que nosotros mismos &agamos esa agrupación cuando el n-mero de elementos sea muy extenso$ ya que en ese caso el c'lculo de la media por los procedimientos vistos para datos sin agrupar sería muy laborioso. Antes de estudiar los métodos m's usuales para el c'lculo de la media con datos agrupados$ vamos a ver algunas propiedades de la media aritmética que nos ayudar'n a comprender mejor el contenido de esos métodos.
Pro"iedade! de la media aritmética: "as propiedades m's importantes son . "a suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de n-meros respecto de su media aritmética es cero. 8. "a suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de n-meros con respecto a cualquier otro n-mero es mínima cuando ese otro n-mero es precisamente la media aritmética. 9. Si suponemos$ antes de calcularla$ que la media de un conjunto de n-meros es cualquier n-mero A$ resulta que la verdadera media aritmética es:
x A
d n
donde A: media supuesta d : suma de las desviaciones respecto de A. n : n-mero de elementos. (. Si A n-meros tienen una media m$ A8 n-meros una media m8$ ....$ An n-meros una media mn$ entonces la media de todos ellos es: x
A. m. A8 m 8 An m n A. A8 An
o sea$ es la media aritmética ponderada de todas las medias. )jemplo: )n una cierta empresa de 34 empleados$ #4 de ellos ganan %44.444 pesos al mes y los 84 restantes ganan 244.444 pesos al mes$ cada uno de ellos. Se pide: a!
C#lc$lo de la media aritmética a "artir de dato! a%r$"ado! en cla!e!& 1ay dos métodos principalmente para calcular la media de una distribución con datos agrupados: método directo /o largo! y método abreviado /o corto!.
Método directo Bonsiste en aplicar la fórmula ya vista para el c'lculo de la media ponderada$ con la -nica salvedad de que se toman como valores representativos de la variable los puntos medios de cada intervalo$ que se denotan con xm. C sea:
x
x m ni n
Bomo ejemplo considerar el mismo de los dos casos anteriores. )jemplo: 1allemos la media aritmética por el método directo de la siguiente serie:
Método a're(iado Bonsiste en elegir un intervalo en el que se supone que estar' la media /aunque no sea así!$ y llamamos A al valor de la media supuesta$ que coincidir' con el centro del intervalo elegido. )ntonces aplicamos la fórmula
x A
d ni n
Siendo d las desviaciones de las marcas de clase con respecto a la media supuesta A$ y ni la frecuencia de cada intervalo. )jemplo: eali*ar el mismo anterior para poder comparar mejor los procedimientos. )ste método abreviado es m's r'pido que el método directo$ pues las operaciones que &ay que reali*ar son m's sencillas.
Método cla(e Se diferencia fundamentalmente del método abreviado en que en lugar de calcular las desviaciones d de cada marca de clase a la media supuesta$ simplemente se escriben al lado de cada marca unos n-meros enteros DdE$ que expresan el n-mero de clases$ m's uno$ que &ay desde la marca considerada a la marca que coincide con la media supuesta. A estos n-meros se les asigna signo menos si est'n por debajo de la media considerada y signo m's si est'n por encima. "a fórmula que se utili*a es la siguiente:
x A
n i d I n
donde F es un n-mero igual a la amplitud o longitud de las clases o intervalos.
>na ve* dispuestos todos los valores que toma la variable en una serie creciente o decreciente$ el valor central de esa serie$ si existe$ es la mediana. Así pues$ la mediana deja el mismo n-mero de valores a su i*quierda como a su derec&a. Buando no existe un valor central se puede definir como la media aritmética de los valores medios. ;ara su c'lculo distinguiremos tres casos: a! Gediana de una serie con datos no agrupados. b! Gediana de una serie con datos agrupados por frecuencias y agrupados en intervalos. c! Gediana de una serie con datos agrupados sólo por frecuencias$ pero sin agrupar en intervalos.
C#lc$lo de la mediana con dato! no a%r$"ado! ;ara calcular la mediana con datos no agrupados se ordenan los elementos en orden creciente o decreciente$ y la mediana es el valor que ocupa el lugar n .
8
)jemplos:
Sea a&ora la serie: 9$ ($ ($ ($ #$ 3 donde el elemento ( tiene una frecuencia 9. Bonsideremos el intervalo que comprende cada elemento desde 4$% unidades a loa i*quierda &asta 4$% unidades a la derec&a. )n nuestra serie$ los tres elementos ( se distribuyen entre 9$% y ($%. "os representamos en el eje real de la siguiente forma:
Vemos que el valor ($# deja a su i*quierda tres elementos /9$ ( y (! y a su derec&a otros 9 /($ # y 3!$ luego la mediana es ($#.
n: ,-mero total de valores. )jemplo :
Cla!e!
C#lc$lo de la mediana con dato! a%r$"ado! Buando los datos conviene agruparlos por intervalos$ debido al elevado n-mero de ellos$ la mediana se calcula de la siguiente forma: . Se calcula nH8. 8. A la vista de las frecuencias acumuladas$ se &alla el intervalo que contiene a la mediana. 9. Se calcula la frecuencia del intervalo que contiene a la mediana. (. Se &alla uno cualquiera de los límites exactos /el superior o el inferior! del intervalo que contiene a la mediana. Sabiendo que límites exactos de un intervalo a I b$ se refiere a los n-meros aJ4$% y b64$%. %. Se &alla la frecuencia de los valores que quedan Dpor debajoE del intervalo que contiene a la mediana$ o la frecuencia de los valores que quedan Dpor encimaE$ y seg-n &ayamos decido &acer$ calculamos la mediana por alguna de estas dos fórmulas$ respectivamente: M I
M L
I f M
/
n 8
f i !
I n / f s ! f M 8
siendo: G: Gediana l: "ímite inferior del intervalo de la mediana. ": "ímite superior del intervalo de la mediana F: Amplitud del intervalo de la mediana. f G: =recuencia del intervalo de la mediana. f i: =recuencia acumulada de los valores inferiores al intervalo de la mediana. f s: =recuencia acumulada de los valores superiores al intervalo de la mediana.
3 I 8# 82 I 9% 9# I (( (% I %9 %( I #8 #9 I 2 28 J 34
Bon los tres primeros intervalos o clases$ abarcamos 2 elementos y con las cuatro primeras abarcamos 87$ luego est' claro que la mediana se encuentra en la cuarta clase$ pues nH8 5 84. )ntonces l 5 (($% /límite inferior de la clase mediana! F 5 7 /amplitud de cada intervalo! f G 5 8 /frecuencia de la clase mediana! f i 5 2 /frecuencia acumulada en el intervalo inmediatamente anterior al de la mediana! n 5 (4 /n-mero total de elementos de la serie! "uego M .(($%
7 .8
/ 84 .2 ! .(#$3
)jercicio:
C#lc$lo de la mediana con dato! a%r$"ado! !ólo "or *rec$encia! Se puede decir que es un caso particular del método anterior. )l procedimiento es el siguiente: >na ve* calculado el n-mero alrededor del cual se encuentra la mediana$ se considera este n-mero como centro de un intervalo de amplitud a continuación se aplica la fórmula anterior para el c'lculo con datos agrupados en intervalos. )jemplo:
+
*
* a
8 9 ( % # 2 3 7 4
% 2 # 8 84 % # % 8
% 8 3 94 %4 #% 2# 38 32 37
n 5 37H8 5 (($% ;or tanto$ la mediana es un valor próximo a %. M
($%
. 84
/(($% 94! %$88%
:
Cla!e 4 I 84 84 I 94 94 I (4 (4 I %4 %4 I #4 #4 I 24 24 I 34 34 I 74
MODA Mo
"a moda de una serie de n-meros es el valor que se presenta con mayor frecuencia es decir$ el que se repite un mayor n-mero de veces. )s por tanto$ el valor com-n. ;or ejemplo$ en la serie: 8$ ($ ($ %$ %$ %$ 2$ 3$ la moda es %. )n una distribución puede ocurrir que &aya dos o m's modas$ entonces se &abla de distribución bimodal$ trimodal$ etc. Fncluso puede no existir la moda$ como en la serie 8$ 9$ ($ %$ 2$ 4.
C#lc$lo de la moda con dato! a%r$"ado! )n el caso de una distribución de frecuencias con datos agrupados$ si &iciéramos una gr'fica o curva de frecuencias$ la moda sería el valor /o valores! de la variable correspondiente al m'ximo /o m'ximos! de la curva. "a moda se puede calcular aplicando la siguiente fórmula: M o l /
. . 8
! I
donde: l: límite inferior de la clase que contiene a la moda. /Blase Godal!
(4
)rec$encia ( 8 94 3 % 2 9 7 7 7 .8
.4 ($83
)jercicio: 1allar las tres medidas de tendencia central$ media$ mediana y moda$ de la siguiente tabla:
Cla!e!
ni
4 I 84 84 I 94 94 I (4 (4 I %4 %4 I #4 #4 I 24 24 I 34 34 I 74
( 8 94 3 % 2 9
* a
d
* d
esp: (($7 (($% (($83 respectivamente.
Con!ideracione! *inale! )n general$ la media aritmética es la medida m's utili*ada ya que se puede calcular con exactitud y se basa en el total de las observaciones. Se emplea preferentemente en distribuciones simétricas y es el valor que presenta menores fluctuaciones al &acer variar la composición de la muestra. =inalmente$ la media aritmética es especialmente -til cuando se precisa después calcular otros valores estadísticos$ como desviaciones$ coeficientes de correlación$ etc.
"a mediana es preferida cuando la distribución de los datos es asimétrica$ y cuando los valores extremos est'n tan alejados que distorsionarían el significado de la media. También se calcula la mediana en aquellas distribuciones en las que existen valores sin determinar$ por ejemplo$ aquellas cuya primera clase es del tipo Dmenos que xE$ y la -ltima clase: Dm's de yE. )n definitiva$ lo m's importante de esta medida es que no se ve afectada por los valores extremos. Tiene$ sin embargo$ como inconveniente que se presta menos a operaciones algebraicas que la media aritmética. "a moda es una medida que no suele interesar especialmente$ a no ser que &aya tal concentración de datos en la distribución que un valor destaque claramente sobre todos los dem's. ;uede servir también para cuando queramos estimar de una forma r'pida$ y no muy precisa$ una medida de tendencia central. "a moda$ al igual que la mediana$ es un valor que no se ve afectado por los valores extremos de la distribución y también es poco susceptible de efectuar con él operaciones algebraicas.