Mediciones y Errores Iván Alejandro Garzón Ortiz – Alex Andrango Departamento de Ciencias Ciencias Exactas Física, Universidad Universidad de las Fuerzas Armadas Sangolquí, Ecuador
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[email protected] Abstract By measuring and comparing the true or exact value of a quantity and the value obtained will always be a difference called measurement error. The accuracy of the measurement is related to the closeness of the value obtained by theoretical and actual value. In the absence of an accurate measurement we seek to reduce the minimum error using proper techniques and devices or instruments whose precision allows us to obtain satisfactory results. ne way way to redu reduce ce the the magn magnit itud udee of the the erro errorr is repe repeat ated ed as many many time timess as poss possib ible le measurement! because the average of the measurements it more reliable than any of them. The causes of the mistakes people make when making measurements! can be classified into systematic errors and random errors and therefore
ey!ords" measurement! error! accuracy! value obtained and true value. "es#men #l medir y comparar el valor verdadero o exacto de una magnitud y el valor obtenido siempre habr$ una diferencia llamada error de medici%n. &a exactitud de la medici%n se relaci relaciona ona con la cercan'a cercan'a del valor obtenido obtenido al valor valor te%rico te%rico y real. real. #l no existi existirr una medici%n exacta debemos procurar reducir el m'nimo error! empleando t(cnicas adecuadas y aparatos o instrumentos cuya precisi%n nos permita obtener resultados satisfactorios. )na forma de reducir la magnitud del error es repetir el mayor n*mero de veces posibles la medici%n! porque el promedio de las mediciones resultara m$s confiable que cualquiera de ellas. &as causas de los errores que se cometen al hacer mediciones! permite clasificarlos en errores sistem$ticos y errores accidentales.
$alabras clave: +edici%n! error! exactitud! valor obtenido! valor verdadero.
%& O'(E)I*O ,eterminar la densidad de un cuerpo de prueba! utilizando mediciones directas e indirectas del mismo. -xpresando correctamente el valor num(rico de estas mediciones empleando el concepto de cifras significativas y determinando la relativa exactitud de las mediciones directas e indirectas que se han utilizado! aplicando la Teor'a de -rrores y Teor'a de ropagaci%n de -rrores.
+& ,./AME.)A0I1. )E1"I0A +&%
A$"E0IA0I1.
2 E3)IMA0I1.4 $"E0I3I1. 2 E5A0)I)-/
A6reciación
/e denomina a pr eciaci%n o apr eciaci%n nominal de un instr umento a la menor divisi%n de escala de ese instr umento. +ientr as que al menor inter valo que un obser vador puede estimar con ayuda de la escala se la denomina estimaci%n de una lectur a. /e debe hacer una clar a distinci%n entr e exactitud y pr eci sión. -s costumbr e gener a lizada! sobr e todo en algunas nor mas r elativas a instr umentos de medida! designar a la exactitud como la pr ecisi%n de los mismos per o! tienen signif icados muy dif er entes.
Exactit#d &a exactitud da una idea del gr ado de apr oximaci%n con que el valor medido concuer da con el valor ver dader o0 es decir ! es la cer can'a del valor exper imental obtenido al valor r eal de dicha medida. /e la asocia con la calidad de la calibr aci%n del instr umento r es pecto de los patr ones de medida.
$recisión &a pr ecisi%n indica r epetitividad de los r esultados0 es decir ! el gr ado con el cual las medidas sucesivas arr o1an id(nticos valor es. Tam bi(n est$ asociada a la sensibilidad o menor var iaci%n de la magnitud que se pueda detectar con un instr umento 2o un m(todo de medici%n3. -n otr as palabr as! la pr ecisi%n es la capacidad de un instr umento de dar el mismo r esultado en dif er entes mediciones r ealizadas en las mismas condiciones y exactitud es la capacidad de un instr umento de medir un valor cer cano al valor de la magnitud r eal.
+&+ $"O0E3O /E ME/I0I1. +edir es asociar una cantidad a una dada magnitud f'sica. #l resultado de medir se lo llama 4medida5. -l proceso de medici%n es una operaci%n f'sica experimental en la cual se asocia a una magnitud f'sica un valor dimensionado! en relaci%n a la unidad que arbitrariamente se a definido para medir dicho valor. +edir no representa en la mayor'a de los casos una tarea sencilla. 6equiere definir y e1ecutar correctamente tres pasos" qu( es lo que se va a medir! c%mo se va a medir y con qu( elementos se va a medir. ueden distinguirse tres sistemas involucrados en el proceso de medici%n" 7. /istema ob1eto 2qu(3" la cantidad a medir. 8. /istema de medici%n 2con qu( elementos3" el instrumento que utilizamos para medir. 9. /istema de comparaci%n o referencia 2c%mo3" la unidad empleada! con su definici%n y su patr%n. -1emplo" /i se desea medir el largo de una mesa! el instrumento de medici%n podr'a ser una regla. -ligiendo el /istema Internacional de )nidades 2/I3! la unidad ser$ el metro y la regla a usar deber$ estar calibrada en esa unidad o subm*ltiplos. &a medici%n consistir$ en determinar cu$ntas veces la regla y fracciones de ella entran en la longitud buscada. -l proceso! a ser efectuado por el operador u observador! puede ser definido un'vocamente en dos pasos" I. :alibraci%n" involucra el sistema de medici%n y el sistema de comparaci%n. II. &a medici%n propiamente dicha" involucra el sistema ob1eto y el sistema de medici%n. )na parte importante de la medici%n es la determinaci%n del error o el an$lisis de errores.
Medir :omparar una magnitud con su unidad con el fin de averiguar cuantas veces la primera contiene a la segunda. -se n*mero de veces es el valor de la magnitud. -n la pr$ctica el n*mero que se obtiene est$ afectado de error! por lo que dicho valor de la magnitud no se conoce si no es asociado con una incertidumbre que! por consiguiente! debe incluirse en el resultado.
Mes#rando +agnitud que se mide.
Medición #cci%n y efecto de medir. -l con1unto de operaciones que tienen por ob1eto el determinar el valor de una magnitud f'sica. +edida 6esultado de una medici%n 2por e1emplo" ;<< mm= es la medida de una longitud3. Tambi(n se utiliza como sin%nimo de medici%n.
Medida analógica &a que se presenta en forma continua! traduciendo de alguna manera la magnitud a medir en otra m$s directamente perceptible por nuestros sentidos 2desviaci%n de una agu1a! lectura de una regla graduada! etc.3
Medida digital &a que se presenta en forma discontinua! mediante una serie de cifras.
nidad de medida +agnitud cuyo valor num(rico se admite convencionalmente como uno. /irve para medir las magnitudes de su misma clase. -xisten diversos sistemas de unidades de medida! el de uso legal en -spa?a es el /istema Internacional de )nidades 2/.I.3 que figura en el anexo.
+&7 M8)O/O /E ME/I/A :on1unto de operaciones pr$cticas y te%ricas que se llevan a cabo en la obtenci%n de una medida.
M9todo de Medida /irecto -l que consiste en comparar una magnitud con otra de la misma clase elegida como patr%n o con un instrumento considerado como patr%n. -1emplo" medida de una masa frente a otra con una balanza.
M9todo de Medida Indirecto #qu(l en que el valor del mesurando se obtiene a partir de mediciones de otras magnitudes ligadas funcionalmente a ella. -1emplo" medida de la aceleraci%n a partir de mediciones de la velocidad y del tiempo.
+& E""O" /E ME/I0I1. -l error de medici%n se define como la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero. #fectan a cualquier instrumento de medici%n y pueden deberse a distintas causas. &as que se pueden de alguna manera prever! calcular! eliminar mediante calibraciones y compensaciones! se denominan determin'sticos o sistem$ticos y se relacionan con la exactitud de las mediciones. &os que no se pueden prever! pues dependen de causas desconocidas! o estoc$sticas se denominan aleatorios y est$n relacionados con la precisi%n del instrumento.
-
Error Aleatorio. ara conocer este tipo de errores primero debemos de realizar un muestreo de medidas. :on los datos de las sucesivas medidas podemos calcular su media y la desviaci%n t'pica muestral. :on estos par$metros se puede obtener la ,istribuci%n normal caracter'stica! A! sC! y la podemos acotar para un nivel de confianza dado.
-
Error 3istemático. ermanecen constantes en valor absoluto y en el signo al medir una magnitud en las mismas condiciones! y se conocen las leyes que lo causan. ara determinar se debe de calcular la media aritm(tica de estas medidas y despu(s hallar la diferencia entre la media y la magnitud.
&as principales causas que producen errores se pueden clasificar en" -rror debido al instrumento de medida. -rror debido al operador. -rror debido a los factores ambientales. :ualquiera que sea la precisi%n del dise?o y fabricaci%n de un instrumento presentan siempre imperfecciones #unque es imposible conocer todas las causas del error es conveniente conocer todas las causas importantes y tener una idea que permita evaluar los errores m$s frecuentes
-
Error de alineación&
-
Error de dise;o y
-
Error 6or desgaste del instr#mento& ,ebido a este tipo de errores se tienen que realizar verificaciones peri%dicas para comprobar si se mantiene dentro de unas especificaciones.
-
Error 6or 6recisión y
-
Error de mal 6osicionamiento. curre cuando no se coloca la pieza adecuadamente alineada con el instrumento de medida o cuando con peque?os instrumentos manuales se miden piezas grandes en relaci%n de tama?o.
-
Error de lect#ra y 6aralaje. :uando los instrumentos de medida no tienen lectura digital se obtiene la medida mediante la comparaci%n de escalas a diferentes planos. -ste hecho puede inducir a lecturas con errores de apreciaci%n! interpolaci%n! coincidencia! etc.
-
Errores =#e no admiten tratamiento matemático. -rror por fatiga o cansancio.
7& MA)E"IA>E3 2 E?I$O3& +ateriales" D :uerpo de rueba Eerramientas" D :alibrador F Gernier D Tornillo +icrom(trico D Balanza
& $"O0E/IMIE.)O H.7. ,eterminar el valor de la apreciaci%n de cada uno de los equipos y registrar en la respectiva tabla. H.8. -ncerar los equipos de medida. H.9 +edir la altura del cilindro con el calibrador 7< veces y registrar en la tabla de datos. H.H 6egistre los datos en las unidades que dan los instrumentos con las apreciaciones del instrumento en la ho1a t(cnica de datos.
@& )A'>A0I1. /E /A)O3&
&os datos obtenidos! ord(nelos en los cuadros presentados a continuaci%n"
$arámetro: #ltura Instr#mento: :alibrador ie de 6ey A6reciación" ect#ras: 7< 0#er6o de 6r#eba: :ilindro Magnit#d:#ltura (h )
A6reciación Inst: 2<.<;3 mm
Mediciones n
>ect#ras 5 mmB
*alor 6robable ´ X mm B
/esvió ´ ( mm) δ = X − X
/esvio+ 2 2 δ ( mm )
% + 7 @ C D F %
8.8< 8.9< 8.8; 8.8< 8.9< 8.8; 8.8; 8.9< 8.8; 8.8; X
8.8; 8.8; 8.8; 8.8; 8.8; 8.8; 8.8; 8.8; 8.8; 8.8;
nH 7<
∑
∑ δ
H88.;; ∆ X s
H<
∆ X a
2
J
; ∆ X
H<.
<<
∑ δ
H-<.<;
H<.<8L
ErH<.<<
E6H<.
mm
´ ± ∆ X = 28.25 ± 0.05 X 2 mm 3
$arámetro: ,i$metro Instr#mento: Tornillo +icrom(trico A6reciación: ect#ras: 7< 0#er6o de 6r#eba: :ilindro Magnit#d:,i$metro ( D )
A6reciación Ins: 2<.<73 mm
Mediciones n
>ect#ras 5 mmB
*alor 6robable ´ X mm B
/esvió ´ ( mm) δ = X − X
/esvio+ 2 2 δ ( mm )
% + 7 @ C
78.M; 78!M;L 78!MM< 78!M; 78!MM7 78!M;
78.M; 78.M; 78.M; 78.M; 78.M; 78.M;
D F %
∑
nH 7<
78!M;K 78!M; 78!MM< 78!M;L X
78.M; 78.M; 78.M; 78.M;
∑
H78M.; ∆ X s
∆ X a
H<
∆ X H<.<<H H
$arámetro: +asa Instr#mento: Balanza A6reciación: ect#ras: 7< 0#er6o de 6r#eba: :ilindro Mediciones >ect#ras 5 n gB % + 7
9<.7M
∆ X a
H<
<.<; g
∑ δ ∆ X
H<.<;g
´ ± ∆ X = 30.16 ± 0.05 X
*ol#men V =
πD
2
∗h
4 2
V =
π ( 12.658 ) ∗28.25 4
3
V =3354.99 mm
∆ V =
√( ) dV dD
2 2
∗∆ D +
( ) dV dh
2
∗∆ h2
H
2
9<.7M
H%
2
mm B
H9<.7M ∆ X s
∑ δ
Magnit#d:+asa 2g3 A6reciación Inst: 2<.73 g *alor /esvió /esvio+ ´ ( g) 6robable δ = X − X δ ( g ) ´ X g B
∑ X
nH 7
ErH<.<<
ErH g B
H<.<;g
<.<<8; g
∑ δ
2
H&+@ E6H
dV πDh π ( 12.658 )( 28.25 ) = = dD 2 2
dV π D = dh 4
∆ V =
√(
2
2
=
π ( 12.658 ) 4
π ( 12.658 )( 28.25 ) 2
) ∗( 2
2
0.0007 )
(
+
) ∗(
2 2
π ( 12.658 ) 4
3
V + ∆ V =3354.99 ± 1.44 mm −5
−5
V + ∆ V =33.55∗10 ± 0.144 ∗10 m
3
/ensidad ρ=
m V
ρ=
30.16 3.3550
∆ ρ=
=8.99
g cm
3
√( ) ∗ +( ) ∗ dρ dm
2
dρ dV
2
∆m
2
∆V
2
dρ 1 1 = = dm V 3.3550 dVρ m 30.16 = 2= dV V ( 3.3550 )2
∆ ρ=
√(
1 3.3550
) (( 2
2
∗1 +
3.3550
)
2
30.16 2
)
∗(1.44∗10− ) =0.30 3 2
2
0.0007 )
=1.44
ρ + ∆ ρ =8.99 ± 0.30
ρ + ∆ ρ =8990 ± 300
g cm
3
kg m
3
Error H ¿ valor teorico − valor experimental∨
¿ valor teorico
∗100 =
|8.91−8.99| ∗100= 0.89
¿
8.91
/ensidad )eórico d=
Ex6erimental
m v .L7 8.99 ± 0.30
g
Error B
3#bstancia
0.89
:obre
g cm
3
3
cm
C& $"EG.)A3 A&- J0onsiderando la )eorKa de Mediciones4 $ro6agación de Errores4 determine el vol#men y la densidad del c#er6o de 6r#eba con s#s res6ectivos errores relativos y 6orcent#alesL *ol#men V =
πD
2
∗h
4 2
V =
π ( 12.658 ) ∗28.25 4
3
V =3354.99 mm
∆ V =
√( ) dV dD
2 2
∗∆ D +
( ) dV dh
2
∗∆ h2
dV πDh π ( 12.658 )( 28.25 ) = = dD 2 2
dV π D = dh 4
∆ V =
√(
2
2
=
π ( 12.658 ) 4
π ( 12.658 )( 28.25 ) 2
) ∗( 2
2
0.0007 )
3
V + ∆ V =3354.99 ± 1.44 mm −5
−5
V + ∆ V =33.55∗10 ± 0.144 ∗10 m
/ensidad ρ=
m V
3
(
+
) ∗(
2 2
π ( 12.658 ) 4
2
0.0007 )
=1.44
ρ=
30.16 3.3550
∆ ρ=
=9
g cm
3
√( ) ∗ +( ) ∗ dρ dm
2
dρ dV
2
∆m
2
∆V
2
1 dρ 1 = = dm V 3.3550
dρ m 30.16 = 2 = dV V ( 3.3550 )2
∆ ρ=
√(
1 3.3550
) ∗ +( ( 2
ρ + ∆ ρ =9 ± 0.30
1
3.3550
)
2
30.16
2
2
)
∗(1.44∗10− ) =0.30 3 2
g cm
ρ + ∆ ρ =9000 ± 300
3
kg m
3
Error H ¿ valor teorico − valor experimental∨
¿ valor teorico
¿
∗100 =
|8.91−8.99| 8.91
∗100= 0.89
'&- J?#9 entiende 6or ci
-n los datos obtenidos en la medici%n del di$metro del cilindro observamos dos cifras significativas! ya que nuestra lista de diez valores lo permite apreciar &os valores apreciados no pueden variar de las cifras consideradas como significativas ya que entrar'a en lo il%gico -stas cifras fueron utilizadas como referencia en la obtenci%n de nuevos valores que se iban dando en la medici%n A7C.
0&- J0ree =#e a#mentando inde
)n modo de minimizar la incidencia de los errores estad'sticos! es realizar varias mediciones del mesurando. ,ado el car$cter al azar de los este tipo de errores es claro que! al promediar los resultados! el promedio estar$ menos afectado de las desviaciones estad'sticas que los valores individuales.
/&- JEn =#9 criterios se <#ndamenta la )eorKa de Errores y describa los 6rinci6ales 6arámetros =#e #tilizaL •
•
•
)na magnitud f'sica es un atributo de un cuerpo! un fen%meno o una sustancia! que puede determinarse cuantitativamente! es decir! es un atributo susceptible de ser medido. ,ecimos que conocemos el valor de una magnitud dada! en la medida en que conocemos sus errores. -n ciencia consideramos que la medici%n de una magnitud con un cierto error no significa que se haya cometido una equivocaci%n o que se haya realizado una mala medici%n.
-rror absoluto" es el valor de la incertidumbre combinada. Tiene las mismas dimensiones que la magnitud medida y es conveniente expresarla con las mismas unidades de (sta. -rror relativo" eN J ,N O N el cociente entre el error absoluto y el me1or valor de la magnitud. -rror relativo porcentual! es la incertidumbre relativa multiplicada por 7<<.
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•
•
•
•
-n todo proceso de medici%n existen limitaciones dadas por los instrumentos usados! el m(todo de medici%n! el observador 2u observadores3 que realizan la medici%n Tanto los instrumentos que usamos para medir como las magnitudes mismas son fuente de incertezas al momento de medir. ara establecer el valor de un mesurando tenemos que usar instrumentos de medici%n y un m(todo de medici%n. #simismo es necesario definir unidades de medici%n lo que procuramos en toda medici%n es conocer las cotas 2o l'mites probabil'sticos3 de estas incertezas! # su vez! las magnitudes a medir no est$n definidas con infinita precisi%n &a exactitud de un instrumento o m(todo de medici%n est$ asociada a la calidad de la calibraci%n del mismo.
-rrores estad'sticos" /on los que se producen al azar. -rrores sistem$ticos" se originan por las imperfecciones de los m(todos de medici%n •
-l error de medici%n lo expresamos! en forma cuantitativa y lo m$s precisamente posible! las limitaciones que nuestro proceso de medici%n introduce en la determinaci%n de la magnitud medida.
E&- AverigNe en =#e consiste el $rinci6io de Indeterminación de einsenberg4 6onga #n ejem6lo de medición a6licando el 6rinci6io& -stablece la imposibilidad de que determinados pares de magnitudes f'sicas sean conocidas con precisi%n arbitraria. /ucintamente! afirma que no se puede determinar! en t(rminos de la f'sica cu$ntica! simult$neamente y con precisi%n arbitraria! ciertos pares de variables f'sicas! como son! por e1emplo! la posici%n y el momento lineal 2cantidad de movimiento3 de un ob1eto dado. -n otras palabras! cuanta mayor certeza se busca en determinar la posici%n de una part'cula! menos se conoce su cantidad de movimiento lineal y! por tanto! su velocidad. -ste principio fue enunciado por Perner Eeisenberg en 7L8K. -l principio de indeterminaci%n no tiene un an$logo cl$sico y define una de las diferencias fundamentales entre f'sica cl$sica y f'sica cu$ntica. ,esde un punto de vista l%gico es una consecuencia de axiomas corrientes de la mec$nica cu$ntica y por tanto estrictamente se deduce de los mismos. -1emplo" &as part'culas! en mec$nica cu$ntica! no siguen trayectorias definidas. o es posible conocer exactamente el valor de todas las magnitudes f'sicas que describen el estado de movimiento de la part'cula en ning*n momento! sino s%lo una distribuci%n estad'stica. or lo tanto no es posible asignar una trayectoria a una part'cula. /' se puede decir que hay una determinada probabilidad de que la part'cula se encuentre en una determinada regi%n del espacio en un momento determinado. !Es cierto que podemos reci"ir una partícula, y en su llegada determinar su posición y el momento que de"ería #a"er tenido para llegar #asta a#í$ Esto es verdad$ %ero no es a lo que la relación de incerteza #ace re&erencia$ El principio se re&iere a la predicti"ilidad de una situación, no consideraciones acerca del pasado$ 'o est( "ien decir !s) cu(l era el momento antes de que pasara y a#ora conozco su posición*, ya que a#ora nuestro conocimiento del momento se #a perdido$ El #ec#o ya no nos permite predecir el momento vertical$ Estamos #a"lando de una teoría predictiva, no de medidas despu)s de que #aya ocurrido$ Así que tenemos que #a"lar de lo que podemos predecir$*
D& 0O.0>3IO.E3 2 "E0OME./A0IO.E3& •
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,e acuerdo con lo que hemos observado! y los datos obtenidos en los e1ercicios! tenemos que cada vez que se efect*e el con1unto de operaciones requeridas para medir una determinada magnitud! se obtendr$ un n*mero que solamente en forma aproximada representa la medida buscada. or lo tanto! cada resultado de una medici%n est$ afectado por un cierto error. #l concluir con el experimento adquirimos mayor destreza en el mane1o de los distintos instrumentos! familiariz$ndonos con las magnitudes! unidades y errores de los mismos. :onsideramos la realizaci%n de esta pr$ctica importante! ya que nos permiti%! verificar por experiencia propia! lo aprendido en teor'a. o se puede obtener valores exactos. #dem$s existen herramientas con menor error que otras.
•
#dem$s se concluye que aquel instrumento que posea menor error sistem$tico 2lectura m'nima3 posee! el error es menor.
•
Tambi(n es bueno detallar que se debe tener un adecuado mane1o de los instrumentos.
•
:ualquiera que sea la precisi%n del dise?o y fabricaci%n de un instrumento presentan siempre imperfecciones. # estas! con el paso del tiempo! les tenemos que sumar las imperfecciones por desgaste.
'I'>IOG"A,PA& A7C. Teor'a de errores de mediciones! Q(lix :ernuschi! -ditorial )niversitaria! 7LM D http"OOes.wikipedia.orgOwikiO-rrorRdeRmedici>:9>B9n A8C. atricio Galle1o #yala! &aboratorio de Q'sica! 7LLK! -diciones 6oding A9C. #ntonio +$ximoDBeatriz #lvarenga! Q'sica Seneral! 8<<7! :uarta edici%n AHC. . S&,-+B-6S! Q'sica Seneral y -xperimental! 7LL! Golumen 7 A;C. http"OOwww.elsaposabio.comOfisicaOUpJHM97
AMC. http"OOes.wikipedia.orgOwikiO-rrorRaleatorio AKC.https"OOwww.google.com.ecOUgfeRrdJctrlVeicrWqJ-rrorXabsoluto
