Medida e Integracion

1. Medida Exterior

Medida de Lebesgue en Rn

Medida Exterior Medida de Lebesgue









La integral de Lebesgue surge del desarrollo de la integral de Riemann, ante las dificultades encontradas encontradas en las propiedades propiedades de paso al l´ımite para calcular la integral de una función definida como l´ımite puntual de una sucesión de funciones. La teor teor´ıa de Lebesgue Lebesgue se basa en un concepto concepto más as general general de lo que es la medida medida de un conjunto que la definición on eucl´ eucl´ıdea de volumen, y lleva ll eva a la definici´ defi nición de una familia de conjuntos ”medibles” que incluye a los conjuntos medibles – Jordan, y a la construcción construcción de una integral que puede aplicarse en contextos más as variados variados que la de Riemann (funciones no acotadas, dominios de integración on no acotados acotados,, ...) y que tiene mejor mejor comportamie comportamiento nto frente frente a las operaciones operaciones de l´ımite de funciones. La integral de Lebesgue frente a la de Riemann supone un paso comparable comparable a la construcción on de los números umeros reales frente a los racionales. Vamos a empezar el estudio por la construcción de la medida de Lebesgue, y luego desarrollaremos su concepto de integral.

Definici´ on on (Medida Exterior de Lebesgue) . Sea A un subconjunto cualquiera de Rn . Se define la medida exterior de Lebesgue de A de A como ∗

∞

∞





m (A) = inf {

n=1

v (Qn ), A ⊆

n=1

rect ángul ang ulos os cerrad cer rados os } Qn , Qn rect´

on de conjunto, definida en P (Rn ), la familia de todos los subconjuntos de m∗ es una función n [0 , ∞]. Quizá convenga recordar algunas de propiedades de las operaciones op eraciones R , y con valores en [0, en [0, [0, ∞] que nos pueden surgir: Si a es un número umero real, a + ∞ = ∞ y a − ∞ = ∞ • Si a


Si a es un número umero real, a > 0, 0, entonces a entonces a · ∞ = ∞ • Si a Si a es un número umero real, a < 0, 0, entonces a entonces a · ∞ = −∞ • Si a

• En general 0 · ∞, ∞ − ∞ son indeterminaciones Medida Exterior Medida de Lebesgue









Observaciones: 1. La definici definici´ón on puede hacerse indistintamente con rect´ angulos angulos abiertos, cerrados, o semiabiertos. En efecto, si llamamos ∞

∞





n(A) = inf {

=1

v (S n ), A ⊆

=1

angul os abiertos abie rtos } S n , S n rectángulos

es evidente que n(A) ≥ m ∗ (A), ya que si { S n }n es una familia de rectángulos abiertos que recubre a A, la familia de sus adherencias Q n = S n es una familia de rectángulos cerrados que también recubre a A y la serie de los volúmenes de los Qn es la misma que la de los S n


∞

∞





{

v(S n ), A ⊆

n=1

n=1 ∞



⊆{

v(Qn ), A ⊆

n=1

Medida Exterior

S n , S n rectángulos abiertos } ⊆ ∞



Qn , Qn rectángulos cerrados }

n=1

Medida de Lebesgue

Rec´ıprocamente, sea  > 0, y sea {Qn }n una familia de rectángulos que recubre a A tal ∞

que



v(Qn ) ≤ m ∗ (A) + /2. Para cada n ∈

N podemos

escoger un rectángulo abierto

n=1









∞

n+1

S n que contenga ea Qn , y tal que v(S n ) ≤ v(Qn ) + /2

. Entonces A ⊆



n=1

serie ∞

∞





v(S ) ≤

v(Q ) +



≤ m ∗(A) + 

S n , y la

Tomando ´ınfimos entre todas las posibles familias de rect´ angulos abiertos que recubren a A, tenemos n(A) ≤ m ∗ (A) + 



y como esto es cierto para todo  > 0, tiene que ser n(A) ≤ m ∗ (A). Con la desigualdad de antes se tiene el resultado. 2. Los conjuntos A ∈ Rn con m∗ (A) = 0 son los conjuntos de medida cero definidos en el estudio de la integral de Riemann. 3. Adem´ as, la medida exterior generaliza el concepto de volumen de un rect´ angulo: si R es n ∗ un rectángulo en R , m (R) = v(R) En efecto, una desigualdad es trivial, ya que si R es un rectángulo, y definimos Q 1 = R, y ∞

Qn = ∅ si n ≥ 2, entonces R ⊆









∞



n=1

∗

Qn y m (R) ≤



v(Qn ) = v(R)

n=1

Por otro lado, sea {Qn }n una familia numerable de rect´ angulos abiertos que recubra a R. Como R es compacto, esta familia tiene que admitir un subrecubrimiento finito, de modo que R ⊆

k

k

∞







j =1

Qnj . Pero entonces sabemos que v(R) ≤

j =1

v(Qnj ) ≤

v(Qn ).

n=1

Tomando ´ınfimos entre todas las familias de rect´ angulos abiertos que recubren a R, se

El siguiente teorema recoge las propiedades más importantes de la medida exterior de Lebesgue:

En la Teor´ıa de la Medida abstracta se pretende construir un procedimiento para medir conjuntos y para integrar funciones definidas en los subconjuntos de un espacio Ω . Dado un espacio Ω , una


medida exterior es una funci´ on de conjunto µ definida en el conjunto de todos los subconjuntos

de Ω que sea no negativa y verifique las tres primeras propiedades del teorema que viene a continuaci´ o n. Las otras dos propiedades son propias de la medida de Lebesgue, y de algunas otras medidas en espacios topol´ ogicos o espacios m´ etricos, que dotan a la estructura formada por el espacio y la medida de mejores propiedades de tipo topol´ ogico y geom´ etrico, pero no son imprescindibles para la coherencia de la teor´ıa y la construcci´ on de una integral.










Teorema (Propiedades de la medida exterior) . 1. m∗(∅) = 0 Medida de Lebesgue en Rn

2. Si A ⊆ B , m∗ (A) ≤ m∗ (B) (monoton´ıa) 3. Sea {An}n una familia numerable de conjuntos; entonces


m∗(

∞

∞





n=1

An) ≤

m∗(An) (subaditividad)

n=1

4. m∗(A) = inf {m∗ (G), G abierto , A ⊆ G } (regularidad) 







5. Para todo conjunto A y todo x ∈

(invariancia por traslaciones)

Rn ,

m∗(x + A) = m∗(A)

1) y 2) son triviales. Para demostrar 3), sea  > 0, y consideremos para cada A n una familia numerable de rectángulos { Qnm }m∈N tal que ∞

An ⊆



∞

Q

n m



y

m=1


m=1

∞

n=1

m(

n=1



∞



m=1

     ∞

An ) ≤

n=1



N} verifica

y se tiene ∗



n ∈

Qnm

∞



N,

    An ⊆

Medida de Lebesgue

 2n

Entonces la familia de todos los rectángulos {Qnm , m ∈ ∞

Medida Exterior

v(Qnm ) < m∗ (An ) +

∞

∞

n m

v(Q ) ≤

n=1

m=1

n=1

∞

 m (An ) + n =  + m∗ (An ) 2 n=1 ∗

Como esto es cierto para todo  > 0, se deduce que

∗

m(

∞

∞





An ) ≤

m∗ (An )

 

Para demostrar 4), una desigualdad es trivial, ya que si A ⊆ G entonces por 2) la medida exterior de A es menor que la de G, as´ı que m∗ (A) ≤ inf {m∗ (G), G abierto, A ⊆ G }


Para la otra desigualdad, consideramos la definición de la medida exterior con rect´ angulos abiertos: dado  > 0, sea { Qn }n una familia de rectángulos abiertos tales que ∞

A ⊆



∞

y

Qn

n=1 Medida Exterior Medida de Lebesgue

 

v(Qn ) ≤ m∗ (A) + 

n=1

∞

Basta definir G  =

Qn , que es un abierto que contiene a A, y

n=1 ∞ ∗

m (G ) ≤ 









v(Qn ) ≤ m∗ (A) + 

n=1

Entonces inf {m∗ (G), G abierto, A ⊆ G } ≤ m∗ (G ) ≤ m ∗ (A) + 

inf {m∗ (G), G abierto, A ⊆ G } ≤ m∗ (A)


Por u ´ltimo, para demostrar 5) sean A ⊆ Rn , y x ∈ Rn . Si {Qn }n es una familia de rectángulos que recubre a A, entonces {x + Qn }n es una familia de rect´ angulos que recubre a x + A, de modo que ∗

m (x + A) ≤

∞

∞





n=1










v(x + Qn ) =

v(Qn )

n=1

luego m ∗(x + A) ≤ m∗ (A) Análogamente m ∗(A) = m ∗ (−x + x + A) ≤ m∗ (x + A), por lo que se tiene la igualdad. (Volver al enunciado)



Sin embargo la medida exterior falla en cambio en una propiedad fundamental respecto al volumen: no es cierto en general que si A y B son conjuntos disjuntos, se tenga m∗ (A ∪ B) = m∗ (A)+m∗ (B), aunque hay que reconocer que tampoco es fácil encontrar ejemplos de conjuntos concretos para demostrar que la igualdad es falsa. Si queremos conseguir que esta propiedad se verifique, debemos prescindir de algunos con juntos. Esto da lugar a la definición de una familia de subconjuntos de Rn , para los cuales si

de esta familia de conjuntos no es la que damos aqu´ı, que se debe a Caratheodory, pero ésta resulta mucho más cómoda que la definición de Lebesgue. La comprobación de que ahora s´ı se verifica esta propiedad la haremos después, junto con el estudio del resto de las propiedades fundamentales de esta clase de conjuntos.











2. Medida de Lebesgue


Definici´ on (Conjuntos Medibles – Lebesgue) . Un conjunto A se dice medible –Lebesgue (en adelante conjunto medible) si verifica la siguiente propiedad: Para todo conjunto E se verifica la igualdad m∗ (E ) = m ∗ (E ∩ A) + m∗ (E \ A) E \ A E ∩ A

Medida Exterior

A

E

Medida de Lebesgue









Llamamos M a la familia de los conjuntos de Rn que son medibles. Se llama medida de Lebesgue en Rn a la restricci´ on de la medida exterior m ∗ a M: m : [0, ∞], m(A) = m∗ (A).

M

→

En el cap´ıtulo siguiente veremos cómo se puede construir un conjunto no medible en la recta real. Y una vez encontrado uno, es f´ acil imaginar infinitos conjuntos distintos no medibles, en la n recta o en el cualquier espacio R Algunas de las propiedades de los conjuntos medibles, y de sus medidas se recogen en el

Teorema (Propiedades de los conjuntos medibles - Lebesgue) . 1. Si A ∈

M,

entonces A c ∈ M

2. Si A y B son medibles, entonces A ∩ B ∈ M; y por tanto A \ B ∈


3. Si A y B son medibles, entonces A ∪ B ∈ m(A ∪ B) = m(A) + m(B) − m(A ∩ B)

M;

y si además A ∩ B tiene medida finita,

4. Si A1 , . . . , Ak es una familia finita de conjuntos medibles, entonces Medida Exterior Medida de Lebesgue

i=1





k



Ai ∈

M y

Ai ∈

M

i=1

5. Si {Ai }i es una familia numerable de conjuntos medibles, disjuntos dos a dos, entonces ∞



k



i=1





M

∞

Ai ∈

M.

Adem´ as

m(

∞

  Ai ) =

i=1

m(Ai )

i=1

6. Si {Ai }i es una familia numerable de conjuntos medibles, entonces

∞

∞





i=1

7. Todo conjunto A con m ∗(A) = 0 es medible

Ai ∈

M y

i=1

Ai ∈

M

 (Saltar al final de la demostración) Demostraci´ on: (1) Supongamos que A es medible, y sea E un conjunto cualquiera de Rn . Entonces E ∩ Ac = E \ A y E \ Ac = E ∩ A, luego

m ∗ (E ∩ Ac ) + m∗ (E \ Ac ) = m ∗ (E \ A) + m∗ (E ∩ Ac ) = m∗ (E )


as´ı que A c es medible también.

(2) Sean ahora A y B medibles, y sea E un conjunto cualquiera de


m∗ (E ) = m ∗ (E ∩ A) + m∗ (E \ A)







. Por ser A medible (1)

Y por ser ahora B medible, m∗ (E ∩ A) = m∗ (E ∩ A ∩ B) + m∗(E ∩ A \ B)



n

R

de donde sustituyendo en la ecuación (1) queda m∗ (E ) = m∗ (E ∩ A ∩ B) + m∗ (E ∩ A \ B) + m∗ (E \ A) ≥ ≥ m∗ (E ∩ A ∩ B) + m∗ (E \ (A ∩ B))

(2)

E \ A

A

∩

E

B

\

A

A∩B


B

puesto que Medida Exterior Medida de Lebesgue

(E ∩ A \ B) ∪ (E \ A) = E \ (A ∩ B) as´ı que A ∩ B es medible. Y como A \ B = A ∩ (B c ), también es medible.









(3) Sean ahora A y B dos conjuntos medibles. Por (1), sus complementarios Ac y B c son medibles; por (2), la intersección de los complementarios A c ∩ B c es medible; y otra vez por (1) el complementario de este conjunto A ∪ B = (Ac ∩ B c )c es medible. En cuanto a la formula para la medida de una unión de conjuntos, utilizando que A es medible con el conjunto E = A ∪ B tenemos

m(A ∪ B) = m((A ∪ B) ∩ A) + m((A ∪ B) \ A) = m(A) + m(B \ A) y utilizando ahora que A es medible, con E = B


Medida Exterior

m(B) = m(B ∩ A) + m(B \ A) si m(A ∩ B) es finita, podemos despejar en la segunda ecuación la medida de B \ A y sustituir en la primera ecuación, y queda m(A ∪ B) = m(A) + m(B) − m(A ∩ B)

Medida de Lebesgue

(4) Sea ahora A 1 , . . . , Ak una familia finita de conjuntos medibles. Para cada N entre 2 y k podemos poner

   N









N −1

Ai =

i=1

Ai

∪ AN

i=1

−1 Razonando por inducción, para N = 1, A1 es medible. Si ∪N i=1 Ai es medible, entonces aplicando la propiedad (3), ∪N en medible. Repitiendo el proceso hasta N = k − 1 i=1 Ai es tambi´

Y poniendo

   k

k

Aci

Ai =

i=1



c

i=1

y aplicando las propiedades (1) y (3), tambi´ en la intersección ∩ ki=1 Ai es medible.

(5) Sea {An }n una familia numerable de conjuntos medibles disjuntos dos a dos (es decir, = m). Y sea A = ∪ ∞ An ∩ Am = ∅ si n  n=1 An La idea es estudiar las uniones finitas de conjuntos A n , e intentar ver lo que ocurre si n tiende a ∞ Consideramos la familia de conjuntos B k = ∪ kn=1 An . Por la propiedad (4), los conjuntos Bk son medibles. Además verifican para cada k ∈ N Bk = B k−1 ∪ Ak

y Bk−1 ∩ Ak = ∅

luego 







Bk ∩ Ak = A k

y Bk \ Ak = Bk−1

Sea E un conjunto cualquiera de Sabemos que

Rn .

Utilizando ahora que A k es medible m∗ (E ∩ Bk ) = m∗ (E ∩ Bk ∩ Ak ) + m∗ (E ∩ Bk \ Ak ) = m∗ (E ∩ Ak ) + m∗ (E ∩ Bk−1 ) Repitiendo el proceso con B k−1


m(E ∩ Bk−1 ) = m ∗ (E ∩ Ak−1 ) + m∗(E ∩ Bk−2 ) Y sustituyendo arriba m∗ (E ∩ Bk ) = m∗ (E ∩ Ak ) + m(E ∩ Ak−1 ) + m∗ (E ∩ Bk−2 )


Y si lo repetimos k veces, k ∗

m (E ∩ Bk ) =



m∗ (E ∩ An )

n=1









Sustituyendo en la ecuación (3) k ∗

m (E ) =



k ∗

∗

m (E ∩ An ) + m (E \ Bk ) ≥



m∗ (E ∩ Ak ) + m∗ (E \ A)

puesto que B k ⊆ A, y entonces (E \ A) ⊆ (E \ Bk ) Como esta desigualdad es cierta para todo k, tiene que ser cierta también para la serie, y ∞ ∗

m (E ) ≥

      

m∗ (E ∩ An ) + m∗ (E \ A) ≥

n=1

∞


∗

≥ m

E ∩ An

+ m∗ (E \ A) =

n=1

∞

= m∗ E ∩

An

+ m∗ (E \ A) =

n=1

∗

= m (E ∩ A) + m∗ (E \ A)


Por tanto A es medible. Además si en esta última cadena de desigualdades ponemos en particular E = A, tenemos ∞









∞

   

m(A) ≥

m(A ∩ An ) + m(A \ A) =

n=1

n=1

Luego efectivamente ∞

m

∞

A

=



m(A )

m(An ) ≥ m(A)

(6) Sea ahora {An }n una familia numerable de conjuntos medibles (no necesariamente dis juntos dos a dos), y sea A = ∪ ∞ n=1 An La idea para demostrar que A es medible es escribirlo como unión de conjuntos disjuntos dos a dos, para lo cual basta definir Medida de Lebesgue en Rn

−1 B1 = A 1 , B2 = A 2 \ A1 , . . . , Bn = An \ (∪ni=1 Ai )

A2 B2 = A2 \ A1


B1 = A1

A1

A3 







B3 = A3 \ (A1 ∪ A2 )

Ahora los conjuntos Bn son conjuntos medibles disjuntos dos a dos, y su unión es medible, ∞ as´ı que A = ∪ ∞ n=1 Bn = ∪ n=1 An es medible c c ∞ Por otro lado aplicando la propiedad (1) el conjunto ∩∞ en es medible. n=1 An = (∪n=1 An ) tambi´

• como E ∩ A ⊆ A, m ∗ (E ∩ A) ≤ m ∗ (A) = 0, luego m ∗ (E ∩ A) = 0 también • y como E \ A ⊆ E , m ∗ (E \ A) ≤ m∗ (E ) Sumando las dos ecuaciones


Medida Exterior

m∗ (E ∩ A) + m∗ (E \ A) ≤ 0 + m∗ (E ) Por tanto A es medible.

(8)Para terminar, sea A medible, y sea x un punto fijo de Rn . Sabemos que la medida exterior es invariante por traslaciones, luego para cualquier conjunto E ⊆ Rn se tiene

Medida de Lebesgue

m∗ (E ) = m∗ (−x + E ) = m∗ ((−x + E ) ∩ A) + m∗ ((−x + E ) \ A) = = m∗ (−x + (E ∩ (x + A))) + m∗ (−x + (E \ (x + A))) = = m∗ (E ∩ (x + A)) + m∗ (E \ (x + A)) 







As´ı que x + A es también medible. Y ya sabemos que m(A) = m∗ (A) = m∗ (x + A) = m(x + A) (Volver al enunciado) 

Además se tiene el siguiente resultado para sucesiones monótonas de conjuntos:

Proposici´ on (Sucesiones monótonas).


9. Sea {An }n una sucesi´ on no decreciente de conjuntos medibles ( An ⊆ A n+1 para todo n). Entonces ∞

m(



n=1


An ) = lim m(An ) n

10. Sea {An }n una sucesi´ on no creciente de conjuntos medibles ( An ⊇ A n+1 para todo n), y tal que existe alg´ un n 0 con m(An ) < ∞ . Entonces 0

∞

m(



n=1 







An ) = lim m(An ) n

 (Saltar al final de la demostración) Demostraci´ on: Observemos primero que como consecuencia de las propiedades de los conjuntos medibles, si A y B son dos conjuntos medibles, con B ⊆ A, entonces m(A) = m(B) + m(A \ B), y si B tiene medida finita, entonces m(A \ B) = m(A) − m(B)

(9) Supongamos primero que existe k0 ∈ N tal que m(Ak ) = ∞ . Como para todo k ≥ k 0 Ak ⊆ A k , entonces m(Ak ) = ∞ y por tanto lim n→∞ m(An ) = ∞ Por otro lado, como A k ⊆ ∞ en m( ∞ n=1 An , tambi´ n=1 An ) = ∞ , y se tiene la igualdad. 0

0



0



Supongamos entonces al contrario que todos los conjuntos A n tienen medida finita. ∞


Poniendo A0 = ∅ , podemos escribir

Medida de Lebesgue

n=1

m(



∞

An ) = m(

n=1







 

(An \ An−1)) =

n=1

(An \ An−1 )

n=1

lim

N →∞

∞

N





m(An \ An−1 ) = lim

N →∞

n=1

∞

= 

An =

Los conjuntos An \ A n−1 son medibles, disjuntos dos a dos, y m(An \ An−1 ) = m(An ) − m(An−1 ). Aplicando la aditividad de la medida de Lebesgue, ∞

Medida Exterior

∞

 

m(An \ An−1 ) =

n=1

m(An ) − m(An−1 ) = lim m(AN ) N →∞

n=1

(10) Sea ahora {An }n∈N decreciente, y sea n0 tal que m(An ) < ∞ . Entonces para todo k 0

mayor que n0 se tiene m(Ak ) ≤ m(An ) < ∞. Además 0

∞

∞





n=1

An =

An por ser la sucesión

n=n0

decreciente. Podemos suponer entonces para mayor comodidad que n 0 = 1

∞

Utilizando que



An es medible, y que está contenido en A 1, se tiene

n=1

m(A1) = m(A1 ∩ (

∞

∞





An )) + m(A1 \

n=1 ∞


= m(



n=1 ∞

An ) + m(

n=1

An ) =



(A1 \ An ))

n=1

Ahora la sucesión {A1 \ An }n es creciente, con lo que aplicando el apartado (1) ∞

Medida Exterior

m(A1) = m(

Medida de Lebesgue

  

An ) + lim m(A1 \ An ) = n→∞

n=1 ∞

= m(

An ) + lim (m(A1 ) − m(An )) = n→∞

n=1 ∞









= m(

An ) + m(A1 ) − lim m(An )

n=1

luego ∞

m(



A ) = lim m(A )

n→∞

(Volver al enunciado)



Observaciones:


La propiedad (10) no es cierta si para todo n ∈ N, m(An ) = ∞. Como ejemplo, sen An = [n, ∞) en R: An+1 ⊆ A n para todo n, luego es una sucesión decreciente. m(An ) = ∞ para todo n, luego lim n m(An ) = ∞ ∞

Y sin embargo



An = ∅ luego su medida es 0.

n=1










Sólo falta ver que los conjuntos A n as´ı definidos son medibles. Para ver esto último, vamos a utilizar los resultados anteriores para conocer en lo posible cu´ ales son los conjuntos medibles de Rn (hasta el momento sólo tenemos como ejemplo los conjuntos que ya conocemos de medida cero). Los resultados fundamentales son los dos siguientes:

Proposici´ on. Todo rectángulo R ⊆ Demostraci´ on:

n

R

es medible.

Sean R un rectángulo y E un subconjunto cualquiera de Rn . Por la definición de la medida exterior de E , dado un  > 0, existe una familia numerable de rectángulos Q n tales que E ⊆

8

∞





Qn

y

n=1


v(Qn ) < m∗ (E ) + 

n=1

Entonces m∗ (E ) ≤ m∗ (E ∩ R) + m∗ (E \ R) ≤

         ∞

∗

≤ m Medida Exterior

∞

Qn ∩ R

n=1

∗

Qn \ R

+m

n=1

∞

Medida de Lebesgue

≤

(m∗ (Qn ∩ R) + m∗ (Qn \ R))

n=1









El conjunto Qn ∩ R es un rectángulo, y por tanto su medida exterior coincide con su volumen, m∗ (Qn ∩ R) = v(Qn ∩ R)

Q

n

S 1

n

S 2

n

Q

n


∩

R

R

Y el conjunto Qn \ R se puede descomponer como una unión finita de rectángulos S 1n , . . . , Skn n que no se solapan, de modo que kn

Medida Exterior

∗

∗

m (Qn \ R) = m (

i=1

Medida de Lebesgue

Sustituyendo en la serie







kn n i

S ) ≤

 i=1

m∗ (E ) ≤ m∗ (E ∩ R) + m∗ (E \ R) ≤

  ∞





v(S in )

≤

v(Qn ∩ R) +

n=1 ∞

=

  kn

v(S in ) =

i=1

v(Q ) ≤ m∗ (E ) + 

Como esta desigualdad se verifica para cualquier  > 0, tiene que ser m∗ (E ) = m ∗ (E ∩ R) + m∗ (E \ R) as´ı que R es medible.




Teorema. Todo conjunto abierto de Rn puede ponerse como uni´ on numerable de rectángulos. Demostraci´ on:










Si G es un conjunto abierto de Rn , para cada punto x ∈ G existirá una bola centrada en x contenida en G. Podemos construir un rectángulo Qx que contenga a x y esté contenido en la bola, y tal que los vértices de Q x tengan todas sus coordenadas racionales. Si llamamos Q a la familia de todos los rectángulos posibles en Rn que tiene todos sus vértices con todas sus coordenadas racionales, Q es numerable, y podemos poner G =



{Q ∈ Q, Q ⊆ G}

que será como mucho una unión numerable de rectángulos.



Corolario 1. 1. Todo conjunto abierto de Rn es medible. 2. Todo conjunto cerrado es medible.


3. Cualquier conjunto que se pueda obtener mediante una cantidad numerable de operaciones conjuntistas de uni´ on, intersecci´ on o diferencia de conjuntos abiertos o cerrados, es medible. (Esta familia de conjuntos recibe el nombre de σ-álgebra de Borel de Rn ) 4. Todo conjunto medible Jordan es también medible Lebesgue. (El rec´ıproco no es cierto)










Demostraci´ on: Los tres primeros apartados se deducen directamente de los dos últimos teoremas, utilizando las propiedades de los conjuntos medibles. Para el último apartado, si A es un conjunto medible Jordan, basta poner el conjunto A como unión de su interior y la parte de la frontera que esté en A: A = A0 ∪ (F r(A) ∩ A) Aqu´ı A0 es medible por ser un conjunto abierto, y F r(A) ∩ A es un subconjunto de la frontera de A. Como A es medible Jordan su frontera es un conjunto de medida cero, luego F r(A) ∩ A también tiene medida cero, y por tanto es medible - Lebesgue. As´ı que A es medible - Lebesgue.

Medida e Integracion

Recommend Documents