UNIVERSIDAD NACIONAL Depar tam ento de Estad ísti ca e Inf or m átic a
Ejercicios: Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variabilidad
1) El siguiente cuadro muestra muestra la distribución de la renta anual (en miles de soles) en que incurren 50 viviendas: Marca de Clase N° de Viviendas
18.85 3
21.55 2
24.25 7
26.95 7
29.65 11
32.35 11
35.05 9
a) Halle e interprete según según el enunciado i) Media, mediana y moda. MEDIA 17.5-20.20 20.20-22.90 22.90-25.60 25.60-28.30 28.30-31 31-33.70 33.70-36.40
X 18.85 21.55 24.25 26.95 29.65 32.35 35.05
f
F 3 2 7 7 11 11 9
3 5 12 19 30 41 50
Para sacar la amplitud intervalica hemos efectuado (21.55-18.85)=2.70=C X=18.85(3)+ 21.55(2)+ 21.55(2)+ 24.25(7)+…+35.05(9)/50 =1455.5/50 =29.11 MEDIANA Me= Li +C (N/2-Fi-1)/fi =28.30 +2.70(20/7) = 36.01 MODA M= Li +C (fi-fi-1/fi-fi+1) =28.30 +2.70 (11-7/4+(11-11)) =28.30+2.70 =31
ii)
Desviación estándar y coeficiente de variabilidad. S= ((xi-x)2fi/n = 1064.34/50 = 4.61 CV%= S/x *100= 4.61/29.11 *100=15.85%
b) Estime el porcentaje de viviendas con rentas superiores o iguales a 26 000 soles pero menores que 32 000 soles. 26.95
29.65
7
11
SE SUMARÁ 7+11= 18; PERO COMO LA MUESTRA ES 50, POR LO TANTO SE DIVIDIRÁ 18/50=0.36% = 36% c) Si las rentas menores que 28 300 soles se incrementaron en 2 500 soles y las rentas mayores o iguales que 28 300 soles se redujeron en un 30%. Calcule la nueva renta promedio. Xa=24.11 + 2.5 xb=0.70 * 32.18 Px=26,01(19) + 24.63 (31)/50 Px=25,38
2) Una compañía requiere los servicios de un técnico especializado. De los expedientes presentados, se han seleccionado 2 candidatos: A y B, los cuales reúnen los requisitos mínimos requeridos. Para decidir cuál de los 2 se va a contratar, los miembros del Jurado deciden tomar 7 pruebas a cada uno de ellos. Los resultados se dan a continuación:
Puntaje obtenido por A Puntaje obtenido por B
1
2
57 80
55 40
Prueba 3 4
54 62
52 72
5
6
7
62 46
55 80
59 40
a) Halle e interprete la media, mediana y moda de los dos candidatos. MEDIA:
A: 57+55+54+52+62+55+59=394/7=56-285 µ =56 B: 80+40+62+72+46+80+40=420/7= µ= 60 MEDIANA:
Hallar mediana de a: Me= 55 Hallar mediana de b: Me=62 MODA:
Hallar la moda en a: Mo= 55 Hallar la moda en b: Mo= 40 y 80 En b, la moda es bimodal o multimodal. b) Estadísticamente ¿Cuál de los candidatos debe ser contratado? Fundamente su respuesta. Debe ser contratado el candidato B porque, obtuvo la mayor puntación media aritmética o promedio.
3) Se toman las medidas de 80 personas las que tienen estatura media de 1.70 m y desviación estándar de 3.4 cm. Posteriormente se verificó que la media usada tenía 4 cm de menos. Rectifique los estadígrafos mencionados.
4) Una asistencia social desea saber cuál es el índice de natalidad en 2 distritos de Lima para lo que encuestó a 10 familias de cada distrito con los siguientes resultados A B
0 3
6 4
1 1
2 4
3 2
1 3
4 1
3 5
6 4
a) Calcule la media, mediana y moda para cada distrito e interprételos. MEDIA
A: 0 + 6 + 1+ 2 + 3 + 1 + 4 + 3 + 6+ 4=30 / 10 = 3 µ= 3 B: 3 + 4 + 1 + 4 + 2 + 3 + 1 + 5 + 4 + 3 =30 / 10= 3 µ = 3 En ambos la media fue 3: cada familia tendrá 3 hijos en promedio. MEDIANA
Hallar la mediana de A Me= 3 Hallar la mediana de B Me= 3
4 3
MODA
Moda de A: Mo= 1, 3, 4, 6 Moda de B: Mo= 3, 4 La moda en el distrito A, nos indica que la frecuencia de hijos que tienen estás familias son: 1, 3, 4, 6 La moda en el distrito B, nos indica que la cantidad de hijos que tiene en su mayoría son de: 3 y 4 hijos. b) Considera Ud. que en el distrito B, el número de hijos por familia es más homogéneo que en el distrito A. A) CV%= 1.95/3=65% B) CV%= 1.26/3=42% Esto quiere decir que B es más homogéneo.
5) La producción de papa en Tn. fue de 4000 Tn. con variancia de 3600 para el departamento de Cuzco, mientras que para el departamento de Puno fue de 10 000 Tn. con 1440000 de variancia, en que departamento se puede decir que la producción de papa es más homogénea. CUSCO PUNO X 4000 10000 S 3600 1440000 CV% (Cusco)= 3600/4000=1.5% CV% (Puno)= 1440000/10000=12% De estos resultados se puede determinar que cusco es más homogéneo. 6) El salario promedio en una ciudad es de 11 000 u.m. con una variancia de 2 000 u.m. ¿Cuáles serán la nueva media y la nueva variancia si se efectúan los siguientes cambios: X= 11000 S2= 2000 a) Se aumenta 810 u.m a todos. X´= X+810=11810 S2=2000 b) Se aumenta el 15 % de su salario a cada trabajador. X´= 1.15X= 1.15*810=931.5 S2=2000 c) Si se duplican los sueldos.
X´= 2X= 4.810=1620 S2=22* S2=4*2000=8000
7) En un examen 20 alumnos del curso A obtienen una media de 60 puntos. y desviación estándar de 20 puntos En el curso B los alumnos obtienen una media de 80 y desviación estándar de 16. Ante un reclamo se decide subir en 5% mas 5 puntos adicionales a todos los alumnos del curso A, en cambio como hubo muchas copias en el curso B se decidió disminuir la quinta parte de la calificación. Después de los mencionados ajustes ¿Cual es el puntaje medio de los 50 alumnos?
Numero Promedio Desviación
A 20 60 20
B 30 80 16
Los desvíos estándar no tienen ninguna influencia en estos cálculos. Curso A. 20 alumnos X´=(60*1,05)+5=68 Curso B. 80 alumnos. X´=(80*4/5)=64 El puntaje medio de los 50 alumnos (¿no será de los 100?) bueno tomo 100. X´ total= (20*68+80*64)/100= 64,8 8) Los siguientes datos pertenecen a la distribución de la producción de papas (en Tn.) en 40 zonas del país Y1´=20 f 2-f 5=2 Y5´= 100 f 1=4 f 3=20 Si se sabe que la distribución es simétrica y presenta 5 intervalos de clase. a) Reconstruya los intervalos de clase y obtenga las frecuencias absolutas. b) Calcule la media, la mediana y moda e interprételos. c) Calcule la variancia, desviación estándar y coeficiente de variabilidad.
