V. PUNTIR (TORSI)
1. Pendahuluan Masalah puntir (torsi) pada batang elastik penampang bulat pertama kali dipelajari oleh Coulomb sekitar tahun 1775. Secara umum puntiran terjadi bila balok atau kolom mengalami perputaran terhadap sumbunya. Perputaran demikian dapat diakibatkan oleh beban dengan titik kerja yang tidak terletak pada sumbu simetri.
Bila Bila balok balok mengal mengalami ami puntir puntiran an,, maka maka lapisa lapisan-la n-lapis pisan an pada pada penamp penampang ang balok balok cenderung bergeser satu dengan yang lain. Karena kohesi maka bahan akan melawan pergeseran tersebut sehingga timbullah tegangan geser geser puntir pada balok. Hal ini dapat ditunjukkan dengan memuntir sebatang rokok pada sumbu memanjang, akan timbul kerutan kerutan berbentuk spiral pada permukaan rokok, kerutan ini menunjukkan garis geseran yang terjadi. Contoh lain adalah sebatang kapur tulis yang dipuntir pada sumbu memanjang, kapur akan terputus, bidang patahan adalah bidang geser puntir. puntir. 2. Puntir pada Komponen Struktur
½b P L P
T = P.1/2b
T
Diagram Momen Puntir M = P.L
Diagram Momen Lentur
Gambar 5.1 Puntir Pada Balok Terjepit Sebelah
43
B P D A A
C T
B
C Gambar 5.2 Puntir pada Balok Balkon Perhatikan balok CD, terjadi momen jepit pada C dan pada D. Momen jepit di C akan mengakibatkan momen puntir pada balok AC, momen jepit di D akan mengakibatkan momen puntir pada balok BD. Pada dasarnya untuk keperluan perencanaan setiap balok harus diperiksa apakah balok tersebut mengalami puntir atau tidak. Sebab puntir akan mempengaruhi perencanaan penampang balok yang bersangkutan. Asumsi dasar pada analisis puntir 1. Bentuk penampang datar yang tegak lurus sumbu batang tetap datar setelah mengalami puntir 2. Regangan puntir yang terjadi berbanding lurus dengan jaraknya ke sumbu pusat 3. Tegangan geser yang terjadi berbanding lurus dengan regangan geser puntir. 3. Tegangan Geser Puntir Tegangan geser puntir yang akan dibahas disini adalah tegangan geser puntir pada penampang lingkaran. Apabila sebuah batang berpenampang lingkaran mengalami momen puntir sebesar T, maka akan terjadi tegangan geser puntir pada pada setiap elemen kecil dA pada penampang. Tegangan geser puntir terbesar terjadi pada sisi terluar penampang seperti pada Gambar 5.3.
τmaks ρ/r τmaks
r ρ O
B
C
dA
Gambar 5.3 Tegangan Geser Puntir pada Penampang
44
Dengan mengambil persamaan kesetimbangan gaya luar terhadap gaya dalam pada suatu irisan penampang pada Gambar 5.3. maka dapat diturunkan hubungan sebagai berikut : Gaya-gaya dalam :
ρ
Tegangan geser puntir =
r
τ maks
Luas = dA
ρ
Gaya = tegangan x luas =
r
τ maks .dA
Momen puntir dalam = gaya x lengan =
ρ r
τ maks .dA.ρ
Gaya-gaya luar : Momen puntir luar = T Gaya gaya dalam = Gaya gaya luar
∫
ρ
r
τmaks r
τ maks .dA.ρ = T
∫ ρ dA = T 2
Dari bab sebelumnya
∫ρ
2
dA = Ip (momen inersia polar), sehingga
τmaks Ip = T r
τmaks = T .r
(5.1)
I p
dengan :
τmaks
: tegangan geser puntir maksimum : momen torsi T : jari-jari lingkaran r : momen inersia polar I p πr 4 (penampang lingkaran) Ip = 2 4. Sudut Puntir Penampang Lingkaran
dx
T
45
dx
B
A
O
γmaks
D
d φ Gambar 5.4 Sudut Puntir Pada Penampang Untuk sudut-sudut kecil dalam radian maka tg γ = γ atau tg φ = φ sehingga: Panjang busur BD = γmaks dx atau Panjang busur BD = d φ.r γmaks.dx = d φ.r Dari Persamaan 4.7.
γmaks =
τ maks
G Dari Persamaan 5.1. τ maks = T .r I p
γ maks =
T .r GI p
T .r dx = d φ.r GI p d φ
= L
φ = ∫ 0
φ =
T dx GI p T GI p
dx
TL GI p
(5.2)
dengan :
φ T L G I p
: sudut puntir : momen puntir : panjang batang : modulus geser bahan : momen inersia polar
46
5. Puntir Pada Penampang Non Circular Puntir pada penampang non circular telah dikembangkan oleh Saint Venant tahun 1853. Secara matematis analisis puntir pada penampang non circular lebih rumit. Dua asumsi dasar pertama pada penampang lingkaran, tidak berlaku pada penampang segi empat. Pada penampang lingkaran, tegangan geser puntir akan maksimum pada jarak yang terjauh dari pusat penampang. Sedangkan pada penampang segiempat tegangan geser puntir justru nol pada jarak terjauh dari pusat penampang. Pada penampang segi empat, tegangan pada sudut-sudut penampang adalah nol dan tegangan maksimum berada pada tengah-tengah sisi panjang dari penampang, seperti terlihat pada Gambar 5.5.
τmaks h
b = sisi panjang h = sisi pendek
b Gambar 5.5 Distribusi Tegangan Geser Puntir Tegangan Geser Puntir
τ maks =
T
α.b.h
(5.3)
2
Sudut puntir :
φ=
TL
β .b.h
3
.G
(5.4)
Tabel 5.1 Koefisien α dan β Penampang Persegi b h
α β
1,00
1,50
2,00
3,00
6,00
10,00
∞
0,208 0,141
0,231 0,196
0,246 0,229
0,267 0,263
0,299 0,299
0,312 0,312
0,333 0,333
47
6. Contoh-Contoh Contoh 5.1
1,15 kN A C 1m
3m B
Balok horizontal AB dijepit di A. Batang BC juga horizontal tetapi tegak lurus dengan batang AB. Pada titik C bekerja gaya vertikal sebesar 1,15 kN. a. Hitung tegangan geser puntir maksimum penampang pada batang AB dan sudut puntir pada ujung B apabila penampang batang AB adalah lingkaran dengan diameter 55 mm. b. Hitung tegangan geser puntir maksimum penampang pada batang AB dan sudut puntir pada ujung B apabila penampang batang AB adalah persegi dengan tinggi 60 mm dan lebar 40 mm. Modulus geser bahan (G) = 77,5 GPa Penyelesaian : Momen puntir pada batang AB TAB = 1,15x1 = 1,15 kNm a. Penampang lingkaran Tegangan Geser puntir maksimum pada penampang
τ AB
6
27,5 = T .r = 1,15.10 4 1 I p 2 π .27,5
= 35,2 Mpa
Sudut puntir pada penampang :
φ B =
T . L G .I p
6
1,15.10 .3000 77,5.10 3. 1 2 π .27,5 4
=
= 0,049 rad
b. Penampang persegi Tegangan geser puntir maksimum pada penampang
τ AB =
T
α.b.h 2
=
1,15.10
6
0,231.60.40 2
= 51,86 Mpa
Sudut puntir pada penampang
φ B =
6
T .L
β .b.h
3
G
=
1,15.10 .3000 0,196.60.40 3.77,5.10 3
= 0,059 rad
48
Contoh 5.2 0,75 kN 0,4 kN A E D 3m
B
1m C
1,5 m Balok horizontal AB berpenampang lingkaran dengan diameter 55 mm, balok horizontal BC juga berpenampang lingkaran dengan diamet er 40 mm. Batang BE dan batang CD juga horizontal tetapi tegak lurus dengan batang AC. Pada titik D bekerja gaya vertikal sebesar 0,4 kN dan pada titik E bekerja gaya vertikal sebesar 0,75 kN. a. Hitung tegangan geser puntir maksimum pada penampang pada batang AC. b. Hitung sudut puntir pada ujung C, modulus geser bahan, G = 77,5 Gpa. Penyelesaian : Diagram momen puntir Akibat gaya 0,75 kN A
B
C 0,75 kNm
Akibat gaya 0,4 kN A
B
C 0,4 kNm
Kedua diagram momen puntir diatas dijumlahkan sehingga diperoleh : A
B
C 0,4 kNm 1,15 kNm
49
Tegangan geser puntir Momen inersia polar batang AB I p = ½ πr 4 = ½ . π.27,54 = 898360,5 mm 4 Tegangan geser puntir pada batang AB
τ AB
6
= T .r = 1,15.10 .27,5 I p 898360,5
= 35,20 MPa
Momen inersia polar batang BC I p = ½ πr 4 = ½ . π.204 = 251327,41 mm 4
τ BC
6 T .r 0,4.10 .20 = = I p 251327,41
= 31,83 MPa
Maka tegangan geser puntir maksimum ada pada batang AB sebesar 35,20 MPa Sudut puntir Sudut puntir di B
φ B =
T AB .L AB GI p
φc =
T BC .L BC GI p
6
=
1,15.10 .3000 77,5.10 3.898360,5
=
0,4.10 .1500 = 0,031 rad 77,5.10 3.251327,41
= 0,049 rad
6
φc total = 0,049 + 0,031 = 0,08 rad Maka sudut puntir di C = 0,08 rad. Contoh 5.3 Berapakah seharusnya panjang sebuah kawat aluminium yang berdiameter 5 mm hingga benda ini dapat dipelintir sebesar satu putaran penuh tanpa melebihi tegangan geser sebesar 42 MPa, modulus geser bahan 27 GPa. Penyelesaian : Momen inersia polar I p = 1 2 .π .r 4
= 1 2 .π .2,5 4 = 61,32 mm4
τ = T .r I p
T .2,5 61,32 T = 1030 Nmm
42 =
φ=
T . L GI p
dipelintir satu putaran penuh maka φ = 2π 2π
= 1030 L
27000.61,32 L = 10094 mm L = 10,094 m
50