MEKANIKA BAHAN TEKNIK SIPIL

Kuliah 8 :

Tegangan Normal Eksentris

Tegangan akibat gaya normal eksentris k t i (Tegangan Normal Eksentris)

Tegangan normal akibat normal akibat gaya normal  normal dapat dihitung dengan membagi besarnya gaya normal dan normal dan luas penampang. penampang P σ = A P = gaya dalam yang timbul pada suatu potongan g atau elemen struktur batang A = luas penampang

Akibat gaya normal P (tarik normal P (tarik atau tekan) maka seluruh penampang akan menderita tegangan yang  merata. merata Gaya P yang bekerja pada penampang akan menghasilkan tegangan yang merata jika posisi garis kerja gaya P melewati titik berat penampang.

Tegangan normal akibat gaya Normal Jika pada sebuah batang bekerja gaya normal, maka pada seluruh p p permukaan p penampang p g batangg akan timbul tegangan normal σ = P/A

Tegangan normal akibat gaya Normal Jika pada sebuah batang bekerja gaya normal, maka pada seluruh p p permukaan p penampang p g batangg akan timbul tegangan normal σ = P/A

Tegangan normal akibat gaya Normal Jika pada sebuah batang bekerja gaya normal, maka pada seluruh p p permukaan p penampang p g batangg akan timbul tegangan normal σ = P/A

Tegangan normal akibat gaya Normal Jika pada sebuah batang bekerja gaya normal, maka pada seluruh p p permukaan p penampang p g batangg akan timbul tegangan normal σ = P/A

Tegangan normal akibat gaya Normal Jika pada sebuah batang bekerja gaya normal, maka pada seluruh p p permukaan p penampang p g batangg akan timbul tegangan normal σ = P/A

Tegangan normal akibat gaya Normal Jika pada sebuah batang bekerja gaya normal, maka pada seluruh p p permukaan p penampang p g batangg akan timbul tegangan normal σ = P/A

Dari uraian tentang tegangan normal  di atas, maka bagaimanapun bentuk penampang batang, jika batang, jika luasnya A  A dan menderita gaya normal P  (b k j pada (bekerja d titik berat b t penampang),  ) maka akan selalu menghasilkan g tegangan yang sama yaitu : P σ = A

Bagaimana jika gaya normal bekerja tidak pada titik berat penampang (diluar titik berat penampang) ? penampang) ? Mengapa gaya normal harus M lh ditempatkan p diluar titik berat penampang ? Gaya normal yang bekerja diluar titik berat penampang dikenal dengan gaya normal eksentris.

e = jarak titik tangkap gaya normal terhadap titik berat penampang e = eksentrisitas gaya normal

Bagaimana menghitung tegangan akibat gaya normal eksentris ?

e = jarak titik tangkap gaya normal terhadap titik berat penampang e = eksentrisitas gaya normal

Bagaimana menghitung tegangan akibat gaya normal eksentris ?

Pada balok bekerja beban P eksentris

Pada balok bekerja beban P eksentris dan dua beban tambahan yang besarnya sama dengan P dan bekerja saling berlawanan arah.

Me = P*e

Me = P*e Akibat gaya normal eksentris P yang bekerja pada penampang balok, maka “seolah-olah” pada balok bekerja dua gaya yaitu gaya normal sentris P dan momen Me. M

Momen Me juga biasa dikenal dengan nama “ “momen eksentris” k t i ”

Analisa A li tegangan t pada d balok b l k yang menerima gaya normal eksentris sama seperti analisa tegangan balok y yang g menerima g gaya y normal sentris dan momen lentur P Me * y σ = ± A Ix P P *e * y σ = ± A Ix

Pada balok dengan penampang empat persegi panjang bekerja beban P eksentris dengan posisi beban P di bawah sumbu X

Titik K adalah titik tangkap beban P

Kondisi I akan terjadi jika Me*y/Ix > P/A Kondisi II akan terjadi jika Me*y/Ix = P/A Kondisi III akan terjadi jika Me*y/Ix < P/A

Kondisi II akan terjadi jika Me*y/Ix = P/A Me*y/Ix = P/A P*e*y/Ix = P/A y = h/2 Ix = 1/12*b*h3 A = b*h

P*e* y P = Ix A 1 bh 3 Ix 1 e= = 12 = h y*A h 6 *b*h 2

∴ Jarak e = 1/6 h merupakan posisi batas maksimum dimana penampang akan mengalami tegangan tekan semua atau kombinasi tekan dan tarik

Kondisi I akan terjadi jika Me*y/Ix > P/A

atau e > h/6

Kondisi II akan terjadi jika Me*y/Ix = P/A atau e = h/6 Kondisi III akan terjadi jika Me*y/Ix < P/A atau e < h/6

Analogi jika pada balok dengan penampang empat persegi panjang bekerja beban P eksentris dengan posisi beban P di atas sumbu X

Kondisi II akan terjadi j jjika e = 1/6 h

Gaya P juga dapat bekerja pada sumbu X. Dengan cara yang sama seperti pada gaya normal yang bekerja pada sumbu Y, maka analisa tegangan pada penampang akibat gaya normal eksentris sepanjang sumbu b X:

P Me * x ± σ = A Iy P P *e * x σ = ± A Iy Titik tangkap gaya normal

1 Iy = *h*b 12

3

Jika beban P bekerja sepanjang sumbu X, maka dengan cara yang sama daerah KERN dapat ditentukan sebagai berikut :

Karena posisi beban P dapat bekerja pada sumbu Y maupun sumbu X (bahkan dapat juga bekerja j diluar sumbu Y atau sumbu X), maka eksentrisitas beban terhadap titik berat penampang p p g diberi notasi “ex” dan “ey”

Beban P bekerja pada sumbu Y

P M Mex * y σ = ± A Ix P P * ex e * y σ = ± A Ix Beban P bekerja pada sumbu X

P Me Mey * x σ = ± A Iy P P * ey * x σ = ± A Iy

Beban P bekerja pada sumbu Y

Daerah KERN sepanjang sumbu Y : ex = h/6

Beban P bekerja pada sumbu X

Daerah KERN sepanjang sumbu X : ey = b/6

Bagaimana jika Gaya Normal bekerja diluar sumbu Y maupun sumbu X. X

Tegangan yang terjadi pada satu titik di dalam penampang dipengaruhi ketiga tegangan tersebut di atas dan nilainya sangat ditentukan dimana posisi dari titik yang ditinjay

Rumus umum tegangan :

σ =

P Mex * y Mey * x ± ± A Ix Iy

P P * ex * y P * ey * x σ = ± ± A Ix Iy

Titik P bekerja pada K (dikuadran ke IV) Tegangan pada titik A di kuadran ke II

P Mex * y Mey * x σ = − − A Ix Iy P P * ex * y P * ey * x σ = − − A Ix Iy

Titik P bekerja pada K (dikuadran ke IV) Tegangan pada titik B di kuadran ke I

P Mex * y Mey * x σ = − + A Ix Iy P P * ex * y P * ey * x σ = − + A Ix Iy

Bagaimana bentuk dari daerah y Normal bisa KERN jjika Gaya bekerja diluar sumbu Y maupun sumbu X.

Bagaimana bentuk dari daerah KERN jika Gaya Normal bisa bekerja diluar sumbu Y maupun sumbu X.

Pembahasan Soal Ujian

Soal No 1 (Bobot 50%).

Sebuah elemen struktur memiliki penampang berbentuk L berlubang seperti tampak pada  gambar di bawah ini. Ukuran penampang yang tertera pada gambar adalah dalam cm. gambar di bawah ini. Ukuran penampang yang tertera pada gambar adalah dalam cm.  Hitunglah momen inersia maximum dan momen inersia minimum penampang tersebut (Ix’ dan Iy’), dan gambarkan (dengan skala yang benar) sumbu‐sumbu max/min penampang  lengkap dengan besar perputaran sudutnya terhadap sumbu x.

A = 100*30 + 50*65 – 40*10 A = 5850 cm2

100 * 30 * 80 + 50 * 65 * 32.5 − 40 *10 * 35 5850 y = 56.688 cm y=

100 * 30 * 50 + 50 * 65 * 25 − 40 *10 * 25 5850 x = 37.8205 cm

x=

Soal No 1 (Bobot 50%).

1 * 100 * 30 3 + 100 * 30 * (80 − 56.688) 2 12 1 + * 50 * 65 3 + 50 * 65 * (32.5 − 56.688) 2 12 1 − * 10 * 40 3 − 10 * 40 * (35 − 56.688) 56 688) 2 = 12 Ix = 4659580.66 2 cm 4 Ix =

1 * 30 * 100 3 + 100 * 30 * (50 − 37.8205) 2 12 1 + * 65 * 50 3 + 50 * 65 * (25 − 37.8205) 2 12 1 − * 40 * 10 3 − 10 * 40 * (25 − 37.8205) 2 = 12 Iy y = 4087211.53 8 cm 4 Iy =

Ixy = 100 * 30 * (80 - 56.688)(50 − 37.8205) + 50 * 65 * (32.5 - 56.688)(25 − 37.8205) − 10 * 40 * (35 - 56.688)(25 − 37.8205) = 1748397.43 6 cm 4

Soal No 1 (Bobot 50%).

Ix = 4659580.66 2 cm 4 Iy = 4087211.538 cm4

Ixy = 1748397.43 6 cm 4

tg g 2θ =

− 2Ixy -2 * 1748397.43 6 = = − 6.10933 (Ix − Iy) (4659580.6 62 - 4087211.53 8)

2θ = − 80.704 o θ = − 40.352 o

Imax/min =

(Ix + Iy) Ix − Iy 2 ± ( ) + Ixy 2 2 2

((4659580.662 + 4087211.538)) 4659580.662 − 4087211.538 2 ± ( ) + 1748397.43 1748397 436 2 2 2 Imax/min = 4373396.1 ± 1771664.527

I Imax/min / i =

Soal No 1 (Bobot 50%).

Ix = 4659580.66 2 cm 4 Iy = 4087211.538 cm4 Imax = 4373396.1 + 1771664.527 = 6145060.627 cm 4 Imin = 4373396.1 − 1771664.527 = 2601731.573 cm 4

Imax + Imin = 6145060.62 6145060 62 7 + 2601731.57 2601731 57 3 = 8746792.2 8746792 2 cm 4 Ix + Iy = 4659580.66 2 + 4087211.53 8 = 8746792.2 cm 4

Soal No 1 (Bobot 50%).

Soal No 2 (Bobot 50%). Balok di atas 2 tumpuan menderita beban merata q = 2 kN/m dan P = 5 kN ( seperti terlihat dalam ggambar )). Penampang p g Balok seperti p terlihat ppada ppotongan g I-I. a. Hitung dan Gambarkan diagram tegangan normal ( σ ) yang terjadi akibat beban tersebut pada penampang di titik 1 b. Hitung dan Gambarkan diagram tegangan normal ( σ ) yang terjadi akibat beban tersebut pada penampang di titik 2 c. Hitung dan Gambarkan diagram tegangan geser ( τ ) yang terjadi akibat beban tersebut pada penampang di titik 1 d. Hitung dan Gambarkan diagram tegangan geser ( τ ) yang terjadi akibat beban tersebut pada penampang di titik 2

Ukuran Penampang dalam cm

Potongan I-I

Soal No 2 (Bobot 50%).

VA  =  (5sin60 VA (5sin60*3 3  +  2 + 2*11.5*(11.5/2‐2))/8 11.5 (11.5/2 2))/8  =  12.405 kN 12.405 kN (↑) VB  =  (5sin60*5  +  2*11.5*(11.5/2‐1.5))/8  =  14.925 kN (↑) HA  =  2.5 kN (→)

Soal No 2 (Bobot 50%).

Gaya dalam pada titik 1 : N = 2.5 kN (tekan) M = 12.405 * 3.5 – 0.5*2*52 = 18.4175 kN m(+) D  =  12.405 – 2*5 = 2.405 kN Gaya dalam pada titik 2 : N 0 N = 0 M = 14.925 * 1 – 0.5*2*32 = 5.925 kN m (+) D  =  12.405 – 2*8.5 – 5sin60 = ‐8.925 kN

Soal No 2 (Bobot 50%).

Tidak dianjurkan untuk membuatnya membuatnya

Soal No 2 (Bobot 50%).

A = 75 * 15 + 45 * 40 + 65 * 15 + 85 * 15 − 30 * 25 A = 4425 cm 2

y=

⎞ ⎛ 75 * 15 * 77.5 + 45 * 40 * 50 ⎟ ⎜ + 65 * 15 * 22.5 + 85 * 15 * 7.5 ⎟ ⎜ ⎜ − 30 * 25 * 45 ⎠ ⎝ 4425

y = 39.534 cm

1 * 75 * 15 3 + 75 * 15 * ((77.5 - 39.534)) 2 12 1 * 45 * 40 3 + 45 * 40 * (50 - 39.534) 2 12 1 + * 65 * 15 3 + 65 * 15 * (22.5 - 39.534) 2 12 1 + * 85 * 15 3 + 85 * 15 * (7.5 - 39.534) 2 12 1 − * 25 * 30 3 - 30 * 25 * (45 - 39.534) 2 12 Ix = 3634663 .665 cm 4

Ix =

Soal No 2 (Bobot 50%).

A = 4425 cm 2

yb b = 39.534 39 534 cm ya = 45.466 cm Ix = 3634663 .665 cm 4

Gaya dalam pada titik 1 : N = 2.5 kN (tekan) M = 18.4175 kN m(+) N M * ya + A Ix 2.5 18.4175 * 0.45466 + σa = 0.4425 0.03634663 665

σa =

σa = 236 .034 kN/m 2 = 0.236034 MPa (tekan)

N M * yb − A Ix 25 2.5 18 4175 * 0.39534 18.4175 0 39534 σb = − 0.03634663 665 0.4425

σb =

σb = − 194 .676 kN/m 2 = − 0.194676 MPa (tarik)

Soal No 2 (Bobot 50%). Diagram tegangan normal pada titik 1 :

Soal No 2 (Bobot 50%).

A = 4425 cm 2 yb b = 39.534 39 534 cm ya = 45.466 cm Ix = 3634663 .665 cm 4

Gaya dalam pada titik 2 : N 0 N = 0 M = 5.925 kN m (+) M * ya I Ix 5.925 * 0.45466 σa = 0.03634663 665 σa =

σa = 74.116 kN/m 2 = 0.074116 MPa (tekan)

M * yb Ix 5 925 * 0.39534 5.925 0 39534 σb = 0.03634663 665

σb =

σb = 64.446 kN/m 2 = 0.064446 MPa (tarik)

Soal No 2 (Bobot 50%). Diagram tegangan normal pada titik 2 :

Soal No 2 (Bobot 50%). Tegangan geser pada titik 1 :

S1 = 75*15*37.966 = 42711.75 cm3 S2 = 45*10*25.466 = 11459.7 cm S2 45*10*25 466 11459 7 3 S3 = 2*10*20.466*0.5*20.466 = 4188.572 cm3 S4 = 2*10*9.534*0.5*9.534 = 908.972 cm3 S5 = 65*15*17.034 = 16608.15 cm3 S6 = 85*15*32.034 = 40843.35 cm3

Soal No 2 (Bobot 50%). Tegangan geser pada titik 1 :

D  =  2.405 kN

τ1 = (2.405*0.04271175)/(0.75*0.03634663) = 3.768 kN/m / / 2 = 0.003768 MPa τ2 = 75/45*3.768 kN/m2 = 6.28  kN/m2 =  0.00628 MPa τ3= (2.405*0.05417145)/(0.45*0.03634663) = 7.965 kN/m2 = 0.00797 MPa τ4= 45/20* 7.965 kN/m2 = 17.921 kN/m2 = 0.017921 MPa τ5= (2.405*0.058360022)/(0.20*0.03634663) = 19.308 kN/m2 = 0.019308 MPa

Soal No 2 (Bobot 50%). Tegangan geser pada titik 1 :

D  =  2.405 kN

τ9 = (2.405*0.04084335)/(0.85*0.03634663) = 3.179 kN/m / / 2 = 0.003179 MPa τ8 = 85/65*3.719 kN/m2 = 4.863  kN/m2 =  0.004863 MPa τ7= (2.405*0.0574515)/(0.65*0.03634663) = 5.848 kN/m2 = 0.005848MPa τ6= 65/20* 5.848 kN/m2 = 19.007 kN/m2 = 0.019007 MPa τ5= (2.405*0.058360472)/(0.20*0.03634663) = 19.308 kN/m2 = 0.019308 MPa

Soal No 2 (Bobot 50%). Tegangan geser pada titik 1 :

D  =  2.405 kN

S t Satuan t tegangan geser MPa MP

Soal No 2 (Bobot 50%). Tegangan geser pada titik 2 : D  =  ‐8.925 kN Untuk mencari tegangan g g ggeser p pada titik 2, maka , semua nilai tegangan g g p pada titik 1 dikalikan dengan faktor 8.925/2.405

Satuan tegangan geser MPa