Mekanika Fluida

Bahan Ajar Mekanika Fluida Suprayitno, Tenaga Pengajar, Jurusan Teknik Mesin, Fakultas Teknik, Universitas Negeri Malang, Jl. Surabaya no 6 Malang 65145 Jawa Timur Indonesia, phone 0341-588528, HP. e-mail:

BAB I

Pendahuluan Mekanika Fluida adalah bagian dari ilmu mekanika terapan yang mempelajari statika dan dinamika dari zat cair dan gas. Ilmu mekanika fluida terutama dipelajari oleh teknik mesin, teknik sipil, teknik kimia, bahkan akhir-akhir ini mekanika fluida juga giat dipelajari oleh disiplin ilmu biologi dan medis. Ilmu mekanika fluida dipelajari dengan pendekatan teoritis, eksperimental, maupun komputasional. Saat ini ilmu mekanika fluida ini telah berkembang menjadi beberapa cabang lagi sesuai dengan perilaku fluida yang dipelajari, diantaranya adalah hidrodinamik, aerodinamik, fluida termal (thermal fluids), dan aliran multi phase. Statika Fluida: Tinjauan pada fluida dalam kondisi setimbang (tidak ada tegangan geser). Dinamika Fluida: Tinjauan terhadap fluida bergerak.

Fluida dan sifat-sifatnya Fluida Dalam kehidupan sehari-hari, kita mengenal tiga keadaan suatu materi: padat, cair, dan gas. Walaupun berbeda dalam beberapa hal, gas dan cair memiliki beberapa kesamaan yang membedakannya dengan bentuk padat, yakni kemampuannya mengalir. Sehingga kedua keadaan materi ini disebut zat alir (fluida). Fluida merupakan substansi yang akan mengalir jika terdapat gaya gaya geser yang bekerja padanya. Sehingga pada fluida yang diam tidak ada gaya geser yang bekerja pada fluida tersebut.

Tegangan geser pada fluida bergerak Tidak ada tegangan geser pada fluida diam karena tidak pergerakan relatif antar partikel partikel fluida. Tegangan geser pada fluida timbul jika ada gerakan dalam fluida tersebut sehingga partikel partikelnya bergerak relatif satu sama lainnya. Namun jika fluida tersebut bergerak dengan kecepatan yang sama pada setiap titiknya, maka tidak ada tegangan geser yang terjadi dalam fluida tersebut, karena partikel partikelnya relatif diam satu dengan lainnya.

Suprayitno/Mekanika Fluida/Teknik Mesin-FTUM/2008

2

•

Perbedaan Padat dan Fluida:

Perbedaan perilaku antara padat dan fluida berkaitan dengan respon terhadap gaya yang berkerja padanya adalah: i.

Padat (solid), regangan adalah fungsi dari tegangan yang bekerja, sepanjang batas elastisnya belum terlewati. Pada fluida, laju regangan (rate of strain) sebanding dengan tegangan yang bekerja.

ii.

Regangan benda padat tidak bergantung waktu seberapa lama gaya gaya tersebut bekerja, sepanjang batas elastisnya belum terlewati, regangannya/deformasinya akan hilang jika gaya yang bekerja dilepas. Sedangkan fluida akan terus mengalir sepanjang gaya tersebut masih dikenakan dan tidak akan kembali ke bentuk semula jika gaya yang bekerja dilepaskan.

•

Perbedaan Cair dengan Gas:

Walaupun cair dengan gas memiliki beberapa kesamaan berkaitan dengan kemampuannya mengalir (zat alir), namun juga memiliki beberapa karakteristik yang berbeda. Zat cair sulit untuk dikompresi, untuk tujuan tujuan tertentu, zat cair biasanya dipandang sebagai zat yang tak mampu mampat (inkompresibel). Sejumlah massa tertentu dari suatu zat cair akan menempati suatu volume tertentu pula. Gas relatif lebih mudah dikompresi dari pada zat cair. Perubahan volume akibat perubahan tekanan adalah sangat besar. Sejumlah massa suatu gas akan menempati seluruh ruangan yang melingkupinya.


3

Jenis jenis Fluida •

Fluida Newtonian dan non-Newtonian

Fluida Newtonian: Fluida fluida yang mengikuti hukum Newton tentang viskositas disebut fluida Newtonian. Hukum Newton tentang viskositas adalah:

τ = µ . dv/dy dengan τ = tegangan geser (shear stress) µ = viskositas fluida dv/dy = laju regangan, atau gradien kecepatan Semua gas dan kebanyakan zat cair yang memiliki rumus molekul sederhana dan berat molekul yang kecil seperti air, benzena, etil alkohol, CCl4, heksana dan kebanyakan larutan dengan molekul molekul sederhana adalah fluida Newtonian. Fluida Non-Newtonian: Fluida fluida yang tidak mengikuti hukum Newton tentang viskositas disebut fluida non-Newtonian. Umumnya fluida non-Newtonian adalah suatu campuran kompleks, seperti pasta, jelli, larutan polimer, dan lumpur.


yang

4

Berbagai perilaku fluida non-Newtonian: Perilaku yang tidak bergantung waktu(Time-Independent behaviors): Bingham-plastic: Mampu menahan tegangan geser yang kecil namun akan mudah mengalir pada tegangan geser yang lebih besar. Dalam kategori ini seperti pasta gigi, jeli, dan lumpur. Pseudo-plastic: Banyak fluida non-Newtonian yang masuk dalam kategori ini. Viskositas fluida ini semakin rendah seiring meningkatnya gradien kecepatan (laju regangan). Masuk dalam kategori ini seperti larutan polimer, dan darah. Fluida pseudoplastic juga disebut Shear thinning fluids. Pada gradien kecepatan yang rendah (du/dy) viskositasnya lebih besar dari fluida Newtonian, dan pada gradien kecepatan yang tinggi viskositasnya lebih kecil. Dilatant fluids: Viskositasnya meningkat dengan meningkatnya gradien kecepatan. Dalam kategori ini seperti adonan kanji dan adonan pasir. Fluida Dilatant juga disebut shear thickening fluids. Perilaku yang bergantung waktu (Time dependent behaviors):

Perilakunya bergantung pada lama waktu gaya geser yang bekerja.


5

Thixotropic fluids: viskositas dinamiknya berkurang seiring waktu dimana gaya gaya geser dikenakan padanya. Dalam kategori ini seperti larutan cat. Rheopectic fluids: viskositas dinamiknya meningkat seiring dengan waktu dikenakannya gaya gaya geser padanya. Dalam kategori ini seperti adonan gipsum dalam air. Visco-elastic fluids: beberapa fluida menunjukkan sifat elastisnya, yang memungkinnya kembali ke bentuk semula jika gaya geser yang bekerja dilepaskan, seperti putih telur.

Sifat-sifat Fisik Viskositas Viskositas/kekentalan (µ ) suatu fluida adalah ukuran kemampuannya menahan aliran dibawah tegangan geser yang dikenakannya. Satuan dari viskositas adalah kg/(m.sec), g/(cm.sec) (juga dikenal sebagai poise disingkat P). Centipoise (cP), seperseratus poise, juga sering dipakai. Kekentalan air pada temperatur ruangan adalah sekitar 1 centipoise. Viskositas densitas:

kinematik

(ν )

adalah

ratio

dari

viskositas

terhadap

ν = µ /ρ , Viskositas zat cair: Pada umumnya, viskositas zat cair menurun seiring meningkatnya temperatur. Viskositas (µ ) zat cair bervariasi mendekati persamaan berikut:

terhadap

temperatur

absolut

ln µ = a - b ln T Viskositas gas: Viskositas gas meningkat dengan meningkatnya temperatur.


6

Viskositas (µ ) beberapa gas dapat diperoleh dengan pendekatan persamaan:

µ = µ o(T/To)n dengan T temperatur absolut, µ o adalah viskositas pada temperatur referensi absolut, dan n adalah eksponen empiris yang paling ditentukan dari data data pengujian/eksperimen. Viskositas dari gas ideal tidak bergantung dari tekanan, tapi viskositas gas riil dan zat cair biasanya meningkat seiring meningkatnya tekanan. Viskositas zat cair sekitar seratus kali lebih besar dari viskositas gas pada tekanan atmosfer. Sebagai contoh, pada 25oC, µ air = 1 centipoise dan µ udara = 1 x 10-2centipoise.

Tekanan uap (Vapor Pressure) Tekanan dimana suatu cairan akan mendidih disebut tekanan uapnya. Tekanan ini merupakan fungsi temperatur (tekanan uap meningkat seiring meningkatnya temperatur). Dalam kontek ini biasanya kita berpikir tentang temperatur dimana proses mendidih terjadi. Sebagai contoh, air mendidih pada 100oC di tekanan atmosfer (1 atm abs). Namun demikian, dalam kaitannya dengan tekanan uap, kita dapat katakan bahwa dengan menaikkan temperatur air kondisi atmosfer 100 oC, kita meningkatkan tekanan uap pada suatu kondisi yang sama dengan tekanan atmosfer (1 atm abs), sehingga proses pendidihan terjadi. Ini artinya proses mendidih juga dapat terjadi pada temperatur di bawah 100oC jika tekanan di air tersebut kita turunkan sampai tekanan uapnya. Sebagai contoh, tekanan uap air 10oC adalah 0.01 atm. Therefore, if the pressure within water at that temperature is reduced to that value, the water boils. Peristiwa mendidih pada temperatur ruangan sering terjadi pada fluida yang mengalir, seperti pada saluran hisap suatu pompa. Pada bagian hisap, tekanannya rendah, sehingga gelembung gelembung uap air terjadi pada daerah ini, kemudian gelembung uap air ini pecah pada bagian buang/tekannya, dimana tekanan pada bagian ini besar. Fenomena seperti ini dikenal sebagai kavitasi. Kompresibilitas dan modulus bulk: Semua materi, baik padat, cair, maupun gas sebenarnya mampu dimampatkan (compressible), sehingga volume V dari suatu massa


7

tertentu akan berkurang menjadi V - δ V jika sebuah gaya dikenakan secara merata pada permukaannya. Jika gaya per satuan luas permukaan meningkat dari p menjadi p + δ p, maka hubungan antara perubahan tekanan dengan perubahan volume tergantung pada modulus bulk material tersebut. Bulk modulus (K) = (perubahan tekanan)/(regangan volumetrik)

Regangan Volumetrik adalah perubahan dalam volume dibagi dengan volume awalnya. Sehingga, (perubahan dalam volume) / (volume awal) = (perubahan dalam tekanan) / (modulus bulk)

-δ V/V = δ p/K tanda negatip pada δ V menunjukkan bahwa volume berkurang dengan meningkatnya tekanan. Pada limit, δ p mendekati 0,

K = -V dp/dV Pandanglah satu satuan massa, V = 1/ρ

(1) 

(2)

didifferensialkan,

Vdρ + ρ dV = 0 dV = - (V/ρ )dρ

(3)

masukkan nilai dV dari persamaan (3) ke persamaan (1),

K = - V dp / (-(V/ρ )dρ ) K = ρ dp/dρ Konsep modulus bulk utamanya digunakan untuk fluida cair, karena untuk gas, kompresibilitasnya begitu besar dan nilai K tidaklah konstan. Hubungan antara tekanan dan densitas massa lebih tepat jika didapatkan dari persamaan karakteristik dari gas.


8

Untuk fluida cair, perubahan dalam tekanan pada berbagai persoalan fluida tidaklah cukup besar untuk merubah densitasnya secara berarti. Sehingga perubahan densitas tersebut diabaikan dan fluida cair dipandang sebagai fluida inkompresibel. Fluida gas juga dapat dipandang sebagi fluida inkompresibel juga, jika perubahan tekanan adalah kecil sekali, tapi biasanya kompresibilitas tidak dapat diabaikan. Umumnya, kompresibilitas menjadi penting ketika kecepatan gerak fluida mencapai seperlima kecepatan suara dalam fluida tersebut. Beberapa nilai modulus bulk: K = 2.05 x 109 N/m2 untuk air K = 1.62 x 109 N/m2 untuk udara.

Tegangan Permukaan

sebuah molekul I dalam interior suatu fluida cair berada dibawah aksi gaya gaya yang bekerja pada setiap arah dan jumlah vektor gaya gaya tersebut adalah nol. Tetapi sebuah molekul S pada permukaan cairan bekerja sebuah resultan gaya kohesif yang bekerja tegak lurus permukaannya. Sehingga disini memerlukan kerja lebih untuk menggerakkan molekul molekul pada permukaan melawan gaya gaya pelawan ini, dan molekul molekul fluida pada permukaan memiliki energi lebih besar daripada molekul yang ada di interior fluida tersebut.


9

Tegangan Permukaan (σ ) suatu fluida cair kerja yang harus dilakukan untuk membawa sejumlah molekul dari dalam fluida ke permukaan untuk membentuk satu satuan luas permukaan baru pada permukaan tersebut. (J/m2 = N/m). Tegangan permukaan telah ditulis dalam suatu handbook dalam satuan dynes per centimeter (1 dyn/cm = 0.001 N/m). Tegangan permukaan membuat sepertinya permukaan suatu fluida cair nampak seperti bentangan membrane yang elastis. Ada gejala alamiah dari fluida cair untuk meminimalkan luasan permukaannya. Karena alasan ini, suatu tetesan cairan akan berbentuk bola untuk meminimalkan luasan permukaannya. Untuk tetesan cairan sekecil tersebut, tegangan permukaan akan menyebabkan meningkatnya tekanan internal untuk mengimbangi gaya permukaannya. Kita akan dapatkan bahwa perbedaan sebesar ∆ (∆ p = p – pluar) yakni tekanan dalam sebuah tetesan cairan dengan radius r, lebih besar dari tekanan uap/udara sekitar dengan membuat gaya penyeimbang pada belahan tetesan tersebut. Nampak bahwa tekanan p akan melempar kedua bagian belahan bola tersebut, sedangkan tegangan permukaan (σ ) nampak seperti akan menarik kedua bagian tersebut. Sehingga, ∆ p π r2 = 2π rσ

∆ p = 2σ /r Keseimbangan gaya gaya yang serupa dapat dilakukan pada jet fluida cair berbentuk silindris.

∆ p 2r= 2σ ∆ p = σ /r


10

Perlakuan yang sama dapat dilakukan pada gelembung sabun yang memiliki dua permukaan bebas.

∆ p π r2 = 2 x 2π rσ ∆ p = 4σ /r Tegangan permukaan muncul dalam situasi ada permukaan bebas (batas cair dengan gas atau cair dengan padat) atau permukaan batas antara fluida cair dengan cair. Dalam kasus fluida cair dengan cair biasanya lebih dikenal dengan interfacial tension. Beberapa nilai tegangan permukaan fluida cair pada 20oC, permukaan kontaknya dengan udara, diberikan pada tabel berikut. Fluida cair Benzena Etanol Gliserol Air raksa Metanol n-Oktana Air

Surface Tension σ dyne/cm 23.70 22.75 63.40 435.50 22.61 21.78 72.75

Kapilaritas: Naik atau turunnya suatu fluida cair dalam suatu tabung kapiler disebabkan oleh tegangan permukaan dan bergantung pada besaran relatif antara gaya kohesi dalam cairan dan adesi cairan tersebut dengan dinding tabung. Cairan akan naik dalam tabung kapiler jika membasahi (adesi > kohesi) dan jatuh jika tidak membasahi (kohesi > adesi).

Wetting dan sudut kontak Fluida membasahi beberapa zat padat dan beberapa juga tidak.


11

Gambar di atas menunjukkan beberapa kemungkinan perilaku pembasahan oleh setetes cairan pada sebuah bidang horisontal. Permukaan horisontal benda padat tersebut dilingkupi oleh udara, sehingga dua jenis fluida ada disana. Gambar (a) menampilkan kasus dimana cairan membasahi permukaan benda padat dengan baik, seperti air permukaan tembaga yang bersih. Sudut θ menunjukkan sudut antara permukaan cairan dengan permukaan benda padatnya, diukur di dalam cairan. Sudut ini disebut dengan Sudut kontak (contact angle) dan merupakan ukuran dari kualitas pembasahan. Untuk pembasahan yang sempurna, dimana cairan terbentang sepanjang permukaan benda padat membentuk lapisan tipis, besar sudut kontaknya θ adalah nol. Gambar (c) menampilkan kasus dimana tidak terjadi pembasahan. Jika tidak terjadi pembasahan sama sekali, θ akan bernilai 180o. Namun demikian, gaya grafitasi pada tetesan tersebut memaksa permukaan kontaknya datar. Sehingga tidak akan pernah sudut kontak sebesar 180o. ini terjadi seperti pada air di atas Teflon atau air raksa di atas kaca. Kita biasanya mengatakan bahwa suatu cairan membasahi suatu permukaan jika θ kurang dari 90o dan tidak membasahi suatu permukaan jika θ lebih besar dari 90o. Besar θ kurang dari 20o dianggap sangat membasahi (strong wetting), dan jika nilai θ lebih besar dari 140o dianggap sangat tidak membasahi (strong nonwetting).

Kapilaritas menjadi amat penting terutama dalam pengukuran fluida jika menggunakan tabung dengan diameter lebih kecil dari 10 mm.


12

Kapiler naik (atau turun) dalam sebuah tabung dapat dihitung dengan menggunkan keseimbangan gaya. Gaya gaya yang bekerja adalah gaya tegangan permukaan dan gaya grafitasi. Gaya akibat tegangan permukaan:

Fs = π . d.σ . cos(θ ) Dengan θ adalah wetting angle atau sudut kontak. contact angle. Jika tabung tersebut terbuat dari kaca yang bersih, θ bernilai nol untuk air dan sekitar 140o jika fluidanya air raksa. Gaya akibat tegangan permukaan ini berlawanan arah dengan gaya grafitasi pada kolom fluida tersebut, yang sama dengan tinggi cairan tersebut yang berada di atas (atau di bawah) permukaan bebasnya dan sama dengan:

Fg = (π /4).d2.h.g.ρ , Dengan ρ adalah densitas dari cairan. Dengan menyamakan persamaan gaya tersebut dan menyelesaikannya untuk kapiler naik (atau turun), kita dapatkan:

h = 4.σ . cos(θ )/(ρ . g.d)


13

Contoh soal: 1. Udara dihembuskan melalui sebuah nozzle ke dalam tanki air untuk membentuk gelembung gelembung udara. Jika gelembung udara yang diharapkan memiliki diameter 2 mm, hitunglah berapa besar tekanan udara pada ujung nozzle harus lebih besar dari tekanan air sekitarnya, dengan asumsi tegangan permukaan air dengan udara 72.7 x 10-3 N/m. Data: Tegangan permukaan (σ ) = 72.7 x 10-3 N/m Jari jari gelembung udara (r) = 1 Persamaan: ∆ p = 2σ /r Perhitungan: ∆ p = 2 x 72.7 x 10-3 / 1 = 145.4 N/m2 Yakni bahwa, tekanan udara ujung nozzle harus lebih besar dari tekanan air sekelilingnya yakni sebesar 145.4 N/m2 2. Sebuah gelembung sabun berdiameter 50 mm berisi tekanan 2 bar lebih besar dari tekanan atmosfer sekelilingnya. Dapatkan tegangan permukaan dalam lapisan sabun tersebut. Data: Radius gelembung sabun (r) = 25 mm = 0.025 m ∆ p = 2 Bar = 2 x 105 N/m2 Persamaan: Tekanan dalam gelembung sabun dengan tegangan permukaan (σ ) dihubungkan dengan persamaan, ∆ p = 4σ /r


14

Perhitungan: σ = ∆ pr/4 = 2 x 105 x 0.025/4 = 1250 N/m 3. Air memiliki tegangan permukaan 0.4 N/m. Dalam tabung vertikal berdiameter 3 mm, jika cairan naik setinggi 6 mm di atas permukaan bebas di luar tabung, hitunglah sudut kontaknya. Data: Tegangan permukaan (σ ) = 0.4 N/m Dia Tanbung (d) = 3 mm = 0.003 m Kapiler naik (h) = 6 mm = 0.006 m Persamaan: Kapiler naik berkaitan dengan tegangan permukaan diberikan oleh persamaan h = 4σ cos(θ )/(ρ gd), dengan θ sudut kontak. Perhitungan: cos(θ ) = h.ρ . g.d/(4.σ ) = 0.006 x 1000 x 9.812 x 0.003 / (4 x 0.4) = 0.11 Sehingga sudut kontaknya θ = 83.7o


15

BAB II Statika Fluida Hukum Pascal untuk Tekanan pada Suatu Titik: Sifat dasar dari fluida statis adalah tekanan. Tekanan sering dipahami sebagai sebuah gaya permukaan yang dilakukan oleh fluida terhadap dinding wadah yang ditempatinya. Tekanan ada pada setiap titik dalam suatu volume fluida. Untuk sebuah fluida statis, seperti yang akan ditunjukkan oleh analisa berikut ini, tekanan tidak terpengaruh arahnya (tekanan sama ke semua arah).

Dengan memperhatikan kesetimbangan dari sebuah elemen kecil fluida berbentuk prisma segitiga ABCDEF yang berada pada sembarang titik dalam suatu volume fluida. Sebuah persamaan dapat dibangun dari hubungan tekanan Px dalam arah x, Py dalam arah y, dan Ps yang tegak lurus terhadap bidang miring dengan sudut θ terhadap bidang horisontal. Px bekerja pada bidang ABEF, dan Py bekerja pada bidang CDEF, begitu pula Ps bekerja pada bidang ABCD. Jika tidak ada tegangan geser pada fluida diam, dan tidak ada gaya akibat percepatan, maka jumlah gaya gaya yang bekerja pada sembarang arah haruslah nol. Gaya gaya yang bekerja pada elemen kecil ersebut adalah gaya gaya akibat tekanan fluida sekitarnya dan gaya grafitasi (gaya berat).


16

Gaya akibat tekanan Px = Px x luasan ABEF = Pxδ yδ z Komponen gaya horisontal akibat tekanan Ps = - (Ps x luasan ABCD)x sin(θ ) = - Psδ sδ z δ y/δ s = -Psδ yδ z Karena Py tidak memiliki komponen dalam arah x, maka elemen fluida tersebut akan setimbang dalam arah horisontal jika,

Pxδ yδ z + ( -Psδ yδ z) = 0 Atau

Px = Ps

Serupa dalam arah y, gaya akibat Py = Pyδ xδ z Komponen vertikal dari Ps = - (Ps x luasan ABCD)x cos(θ ) = Psδ sδ z δ x/δ s = - Psδ xδ z Gaya berat elemen fluida = - mg = - ρ Vg = - ρ (δ xδ yδ z/2) g Kesetimbangan gaya gaya dalam arah vertikal:

Pyδ xδ z - Psδ xδ z - ρ (δ xδ yδ z/2) g = 0 Karena δ x, δ y, dan δ z adalah sangat kecil, maka nilai δ xδ yδ z pada komponen terakhir persamaan di atas dapat diabaikan, dan persamaan dapat disederhanakan menjadi,

Py = Ps sehingga, Px = Py = Ps Makna dari persamaan di atas adalah bahwa tekanan dalam suatu fluida diam di suatu titik sama ke sembarang arah. Pernyataan di atas adalah hukum Pascal.


17

Variasi tekanan terhadap elevasi: Pandanglah sebuah elemen fluida berbentuk silinder dengan luas penampang A dan tinggi (z2 - z1).

Gaya ke atas akibat tekanan P1 = P1A Gaya ke bawah akibat tekanan P2 = P2A Gaya berat akibat grafitasi = mg = ρ A(z2 - z1)g Kesetimbangan gaya e atas dan ke bawah, P1A = P2A + ρ A(z2 - z1)g P2 - P1 = - ρ g(z2 - z1) Jadi fluida dibawah kondisi percepatan grafitasi, tekanan berbanding lurus dengan kedalaman.


18

Kesamaan tekanan di ketinggian yang sama pada fluida statis:

Persamaan gaya gaya horisontal, P1A = P2A

Kesamaan tekanan fluida kontinyu pada level ketinggian yang sama:

Tekanan pada level ketinggian yang sama akan sama besar pada suatu fluida yang kontinyu, walaupun tidak ada bagian horisontal fluida yang menghubungkan P dan Q, namun P dan Q berada pada suatu fluida kontinyu yang sama. Kita tahu bahwa, PR = PS

PR = PP + ρ gh

(1)

PS = PQ + ρ gh

(2)


19

Dari persamaan (1) dan (2), PP = PQ Persamaan Umum variasi tekanan fluida pada sembarang titik:

dengan menyusun persamaan kesetimbangan gaya gaya sepanjang sumbu PQ, pA - (p + δ p)A - ρ gAδ s cos(θ ) = 0 δ p = - ρ gδ s cos(θ ) atau kalau ditulis dalam bentuk diferensial, dp/ds = - ρ gcos(θ ) dalam arah vertikal z, θ = 0. sehingga, dp/dz = -ρ g Tekanan Absolut, tekanan terukur, dan tekanan Vacuum Di luar angkasa, dimana tidak ada udara, tekanannya nol. Kondisi seperti tersebut dapat terjadi bila misalnya kita menggunakan pompa


20

vacuum untuk mengosongkan sebuah botol. Tekanan pada kondisi vakum seperti tersebut tekanannya dinamakan nol absolut, dan semua tekanan pengukurannya mengacu pada tekanan vakum ini dalam hal tekanan absolutnya. Beberapa pengukur tekanan tidak mengukur nilai absolutnya, namun hanya perbedaan tekanan. Seperti pada pengukur tekanan tabung Bourdon tekanan terukur merupakan perbedaan tekanan fluida dalam tabung dengan tekanan atmosfer. Jadi dalam hal ini tekanan atmosfer dijadikan referensi untuk mengukur tekanan. Pembacaan pengukuran tekanan seperti ini disebut tekanan terukur (gauge pressure). Jika suatu pengukur tekanan terbaca 50 kPa relatif terhadap atmosfer dan tekanan atmosfer 101 kPa, maka tekanan tersebut dapat dinyatakan dengan p = 50 kPa gauge or p = 151 kPa absolut. 1 atm 760 mmHg 29,92 inHg 10,34 mH2O 33,91 ftH2O 101,325 kPa 14,7 psi 2116 lb/ft2

Karena tekanan atmosfer dijadikan referensi untuk mengukur tekanan, maka pembacaan pengukuran dapat bernilai positif atau negatif. Tekanan negatif juga disebut dengan tekanan vakum. Misalnya suatu pengukur vakum menunjukkan 31 kPa, maka ini Suprayitno/Mekanika Fluida/Teknik Mesin-FTUM/2008

21

dapat dinyatakan dengan p = 70 kPa absolut atau p = -31 kPa gauge.

Pengukuran Tekanan Tekanan Fluida Dalam fluida statis, tekanan di suatu titik sama ke semua arah, dan tekanan ini disebut tekanan statis. Pada fluida bergerak, tekanan fluida tidak sama ada sembarang arah. Tekanan statis fluida bergerak bekerja pada bidang yang sejajar dengan arah aliran. Bidang yang menghadap aliran akan memiliki tekanan yang lebih besar dari tekanan statisnya, ini karena sebagian energi kinetis aliran berubah menjadi energi tekanan. Perubahan energi kinetis ini menjadi tekanan idak dapat diukur secara terpisah dari tekanan statis. •

Barometers

Barometer adalah alat pengukur tekanan atmosfer. Sebuah barometer sederhana terdiri atas sebuah tabung dengan panjang lebih dari 30 inch (760 mm). ujung atasnya tertutup dan ujung bawahnya terbuka dan berisi cairan air raksa. Tabung tersebut kemudian ditelungkupkan ke wadah lain yang juga berisi air raksa, maka air raksa dalam tabung tersebut akan turun sampai ketinggian tertentu. Ruang kosong yang terbentuk pada bagian atas tabung tersebut merupakan tekanan vakum. Tekanan pada ruang tersebut adalah tekanan uap jenuh air raksa pada temperatur ruangan, dan itu amat kecil dapat di abaikan. (tekanan uap jenuh air raksa 0,173 Pa pada 20oC).


22

Tekanan atmosfer dihitung berdasarkan Patm = ρgh dengan ρ densitas fluida pada tabung tersebut. •

Piezometer

Untuk mengukur tekanan fluida dalam suatu bejana atau pipa dapat digunakan sebuah tabung yang dihubungkan dengan bejana atau pipa tersebut. Tabung tersebut diletakkan vertikal ke atas sehingga cairan yang ada dalam bejana atau pipa tersebut naik pada ketinggian tertentu dalam tabung tersebut. Dengan mengu8kur ketinggian cairan yang naik pada tabung terbut dapat dihitung tekanan dalam bejana atau pipa tersebut. Pengukur tekanan semacam ini dikenal dengan piezometer. Untuk menghindari efek kapilar, tabung piezometer hendaknya dibuat dengan diameter 1/2 inch atau lebih.

Penempatan ujung tabung pada pipa seharusnya sejajar dengan arah aliran untuk menghindari penyimpangan pengukuran tekanan statisnya. •

Manometers

Pengukur tekanan yang lebih rumit terdiri atas tabung yang di bengkokkan dan diisi suatu atau beberapa fluida dengan grafitasi spesifik yang berbeda. Pengukur tekanan seperti ini disebut manometer. Dalam penggunaanya, ujung tabung manometer salah satunya dihubungkan dengan suatu tekanan yang sudah diketahui (biasanya tekanan atmosfer), sedangkan ujung lainnya dihubungkan dengan tekanan yang akan diukur. Suprayitno/Mekanika Fluida/Teknik Mesin-FTUM/2008

23

Beberapa jenis Manometers 1.

Manometer tabung U sederhana

2.

Manometer tabung U terbalik

3.

Manometer tabung U dengan satu sisi diperbesar

4.

Manometer tabung U dengan dua fluida

5.

Manometer tabung U yang dimiringkan

Manometer tabung U sederhana

dengan menyamakan tekanan pada ketinggian XX'(tekanan pada fluida kontinyu di ketinggian yang sama, tekanannya sama besar). Sisi sebelah kiri: Px = P1 + ρ g(a+h) Sisi sebelah kanan: Px' = P2 + ρ ga + ρ

gh

m


24

jika Px = Px' P1 + ρ g(a+h) = P2 + ρ ga + ρ P1 - P2 = ρ

gh

m

gh - ρ gh

m

sehingga P1 - P2 = (ρ

m

- ρ ) gh.

Nilai maksimum P1 - P2 dibatasi oleh tinggi manometer. Untuk mengukur perbedaan tekanan yang lebih besar, kita dapat menggunakan fluida manometer yang densitas besar, untuk mengukur perbedaan tekanan yang lebih kecil kita dapat menggunakan fluida dengan densitas yang hampir sama dengan fluida yang diukur. Manometer Tabung U terbalik


25

Manometer tabung U terbalik digunakan untuk mengukur perbedaan tekanan pada fluida cair. Ruangan diatas fluida cair pada manometer diisi udara yang dapat dikeluarkan at5au dimasukkan dari tap yang ada diatas, sehingga tinggi fluida cair pada manometer dapat diatur. Dengan menyamakan tekanan pada ketinggian XX', Untuk sisi sebelah kiri: Px = P1 - ρ g(h+a) Untuk sisi sebelah kanan: Px' = P2 - (ρ ga + ρ

gh)

m

Jika Px = Px' P1 - ρ g(h+a) = P2 - (ρ ga + ρ P1 - P2 = (ρ - ρ

gh)

m

)gh

m

Jika fluida manometer dipilih sedemikian sehingga ρ

m

<< ρ maka,

P1 - P2 = ρ gh. Untuk manometer tabung digunakan biasanya udara.

U

terbalik,

fluida

manometer

yang

Manometer tabung U – dengan satu sisi diperbesar


26

Untuk bidang industri, manometer tabung U sederhana memiliki beberapa kelemahan, diantaranya adalah kesulitan dalam peletakan skala pembacaan perbedaan tekanan. Ini disebabkan karena ketinggian fluida manometer naik turun pada kedua sisi. Dengan membuat satu sisi lebih besar dari yang lainnya, sehingga gerakan naik turun fluida pada sisi ini jauh lebih kecil dibanding pada sisis satunya, sehingga pembacaan ketinggian fluida manometer hanya dilakukan pada satu sisi saja. Pada gambar di atas, OO' menunjukkan tinggi permukaan fluida dimana perbedaan tekanan P1 - P2 adalah nol. Jika pada ujung ujung manometer dikenakan perbedaan tekanan, maka pada sisi tabung yang kecil akan naik setinggi h. Volume fluida yang dialirkan ke sisi tabung kecil adalah: = h(π / 4)d2 dengan d adalah diameter tabung yang kecil. Jika D adalah sisi tabung U yang besar, besar penurunan ketinggian fluida pada sisi tabung besar ini adalah: = Volume yang dialirkan ke tabung kecil/Luasan tabung besar = (h(π / 4)d2) / ((π /4)D2) = h(d/D)2 untuk sisi yang besar, tekanan pada X , Px = P1 + ρ g(h+a) + ρ g h(d/D)2 Untuk sisi yang kecil, tekanan pada X', Px' = P2 + ρ ga + ρ g(h + h(d/D)2) Dengan menyamakan tekanan pada XX', P1 + ρ g(h+a) + ρ g h(d/D)2 = P2 + ρ ga + ρ P1 - P2 = ρ

g(h + h(d/D)2)

m

g(h + h(d/D)2) - ρ gh - ρ g h(d/D)2

m

Jika D>>d sehingga, suku h(d/D)2 dapat diabaikan (mendekati nol) Sehingga P1 - P2 = (ρ

m

- ρ )gh.


27

Dengan h adalah ketinggian fluida manometer pada sisi tabung kecil. Jika densitas fluida yang diukur jauh lebih kecil dari fluida manometer (udara dengan air misalnya), maka P1 - P2 = ρ m gh. Manometer tabung U dengan dua fluida

perbedaan tekanan yang kecil, biasanya pada fluida gas, sering diukur dengan manometer dengan bentuk seperti gambar di atas. Manometer tabung U yang dimiringkan


28

Manometer Manometer dalam berbagai bentuknya menunjukkan beberapa keuntungan dalam pengukuran tekanan, namun juga terdapat beberapa kekurangan/batasan. o

Jika manometer dirancang untuk mengukur perbedaan tekanan yang kecil, maka tidak dapat digunakan untuk mengukur perbedaan tekanan yang besar (kekurangan). Ini dapat diatasi dengan memasang seri manometer tersebut atau menggunakan fluida manometer yang lebih berat.

o

Sebuah manometer tidak memerlukan kalibrasi terhadap standar apapun, karena sudah cukup hanya dihitung dengan prinsipprinsip tekanan saja. (kelebihan).

o

Beberapa fluida cair tidak cocok untuk digunakan sebagai fluida manometer, karena kapilaritas dan sudut kontaknya yang tidak jelas. Akibat tegangan permukaan berkaitan dengan kapilaritas dapat diatasi jika menggunakan tabung dengan diameter tidak kurang dari 15 mm. (kekurangan)

o

Kekurangan yang sangat menyolok dari manometer adalah responnya yang sangat rendah, sehingga tidak cocok untuk mengukur tekanan yang fluktuatif. (kekurangan)

o

Pada tabung manometer maupun pipa pipa penghubung ke tempat dimana tekanan akan diukur, tidak boleh terdapat gelembung gelembung udara pada cairannya.

Pengukur tekanan – Bourdon Gauge


29

Tekanan yang akan diukur dikenakan pada tabung yang melengkung, dan berpenampang oval. Tekanan yang bekerja pada tabung tersebut cenderung untuk meluruskan tabung tersebut, dan defleksi pada ujung tabung dihubungkan dengan sebuah jarum pembaca. Pengukur tekanan ini banyak digunakan untuk mengukur tekanan uap atau fluida gas yang bertekanan.

Pressure Gauge -

Gaya Apung Gaya ke atas pada suatu benda = berat fluida yang dipindahkan Prinsip ini dikenal dengan Prinsip Archimedes.


30

Jika sebuah benda sebagian volumenya V1 berada pada fluida dengan densitas ρ 1 dan sebagian volumenya yang lain, V2, berada pada fluida dengan densitas ρ 2, maka Gaya ke atas pada bagian V1, R1 = ρ 1gV1 yang bekerja ada G1 yakni sentroid dari V1, Gaya ke atas pada bagian V2,R2 = ρ 2gV2 yang bekerja pada G2, yakni sentroid dari V2. Total gaya ke atas = ρ 1gV1 + ρ 2gV2. Posisi dari G1 dan G2 tidaklah penting sepanjang berada pada garis vertikal yang sama, gaya apung pada semua benda tersebut tidak selalu sama dengan steroid dari benda tersebut.

Sistem Satuan : Lembaga sistem satuan internasional berusaha keras menggunakan suatu sistem internasional yang diadopsi secara universal dalam dunia rekayasa dan ilmu pengetahuan. Namun sistem sistem yang lebih dahulu seperti sistem cgs dan fps engineering gravitational systems masih digunakan juga dan mungkin masih akan bertahan untuk beberapa masa lagi. Karena itu perlu untuk memahami dan terbiasa dengan ketiga sistem satuan tersebut. Sistem SI: Besaran besaran utama: Besaran Massa dalam Kilogram

satuan kg


31

Panjang dalam Meter

m

Waktu dalam detik

s or as sec

Temperatur dalam Kelvin

K

Mole

gmol atau disederhanakan mol

Besaran besaran turunan: Besaran

Satuan

Gaya dalam Newton (1 N = 1 kg.m/s2)

N

Tekanan dalam Pascal (1 Pa = 1 N/m2)

N/m2

Kerja, energi dalam Joule ( 1 J = 1 N.m)

J

Daya dalam Watt (1 W = 1 J/s)

W


32

Satuan cgs: Sistem satuan lama centimeter-gram-second (cgs) memiliki satuan satuan berikut untuk besaran besaran turunan: Besaran

Satuan

Gaya dalam dyne (1 dyn = 1 g.cm/s2)

dyn

Kerja, energi dalam erg ( 1 erg = 1 dyn.cm = 1 x 10-7 J )

erg

Energi panas dalam kalori ( 1 cal = 4.184 J)

cal

Satuan fps: Sistem foot-bound-second (fps) telah lama digunakan dalam perdagangan dan rekayasa pada negara Inggris dan para kroninya. Besaran

satuan

Massa dalam pound ( 1 lb = 0.454 kg)

lb

Panjang dalam foot (1 ft = 0.3048 m)

ft

Temperatur dalam Rankine

o

Gaya dalam lbf ( 1 lbf = 32.2 lb.ft/s2)

lbf

R

Faktor faktor konversi Massa: 1 lb = 0.454 kg Panjang: 1 inch = 2.54 cm = 0.0254 m 1 ft = 12 inch = 0.3048 m Energi: 1 BTU = 1055 J


33

1 cal = 4.184 J Gaya: 1 kgf = 9.812 N 1 lbf = 4.448 N 1 dyn = 1 g.cm/s2 Daya: 1 HP = 736 W Tekanan: 1 Pa = 1 N/m2 1 psi = 1 lbf/inch2 1 atm = 1.01325 x 105 N/m2 = 14.7 psi 1 Bar = 105 N/m2 Viscositas: 1 poise = 1 g/(cm.s) 1 cP = (1/100) poise = 0.001 kg/(m.s) Viscositas Kinematik: 1 Stoke = 1 St = 1 cm2/s Volume: 1 ft3 = 7.481 U.S. gal 1 U.S. gal = 3.785 liter Temperatur: ToF = 32 + 1.8oC ToR = 1.8K Suprayitno/Mekanika Fluida/Teknik Mesin-FTUM/2008

34

Konstanta Gas: R = 8314 J / (kmol.K)

Dimension: Dimension dimensi dari besaran besaran utama: Dimension Dasar

Simbol

Panjang

L

Massa

M

Waktu

t

Temperatur

T

Dimension dari besaran turunan, Besaran

simbol

Dimension

Kecepatan sudut

ω

t-1

Luasan

A

L2

Densitas

ρ

M/L3

Gaya

F

ML/t2

Viskositas Kinematik

ν

L2/t

Kecepatan linier

v

L/t

Percepatan linier

a

L/t2

Laju aliran massa

m.

M/t

Daya

P

ML2/t3

Tekanan

p

M/Lt2

Kecepatan suara

c

L/t


35

Besaran

simbol

Dimension

Tegangan geser

τ

M/Lt2

Tegangan permukaan

σ

M/t2

Viskositas

µ

M/Lt

Volume

V

L3

Similaritas Ketika diperlukan untuk melakukan ujicoba pada sebuah model untuk mendapatkan data-data atau informasi yang tidak bisa didapat dari cara analitik, maka aturan aturan similaritas (keserupaan) perlu diterapkan. Smilaritas adalah sebuah teori dan seni untuk memprediksi performance suatu prototype dari data data observasi sebuah model. Studi Model: dalam dunia rekayasa saat ini penggunaan ujicoba model lebih sering dilakukan sebelum mewujudkan rancangan seutuhnya. Sebagai contoh, jika sebuah pesawat akan dibuat, ujicoba tidak hanya dilakukan pada model dengan ukuran sebenarnya, namun juga pada berbagai komponen pesawat tersebut. Beberapa ujicoba dilakukan pada bagian bagian sayapnya, begitu pula pada engine pods dan bagian bagian ekor. Model dari automobil dan kereta kecepatan tinggi juga diujicoba dalam terowongan angin untuk memprediksi hambatan udara (drag) dan pola aliran udara. Data data dan informasi yang didapat dari hasil ujicoba model biasanya dapat menunjukkan masalah masalah yang mungkin muncul sehingga dapat dibuat untuk memperbaiki prototype sebelum dibuat. Sehingga akan menghemat waktu dan biaya dalam proses pengembangan prototype. Teknisi kelautan melakukan ujicoba yang intensif pada lambung suatu kapal untuk memprediksi gaya hambat (drag) sebuah kapal. Keserupaan Geometri (Geometric similarity) mengacu pada dimensi dimensi linier. Sebuah pesawat dengan ukuran berbeda dikatakan serupa secara geometris jika rasio dari dimensi dimensi yang bersesuaian sama besar.


36

Keserupaan kinematik (Kinematic similarity) berhubungan dengan gerakan dan memerlukan keserupaan geometri dan perbandingan kecepatan yang sama pada posisi posisi yang sama dalam sebuah pesawat. Keserupaan dinamik (Dynamic similarity) concerns forces and requires all force ratios for corresponding positions to be equal in kinematically similar vessels. The requirement for similitude of flow between model and prototype is that the significant dimensionless parameters must be equal for model and prototype Dimensional Analysis: Many important engineering problems cannot be solved completely by theoretical or mathematical methods. Problems of this type are especially common in fluid-flow, heat-flow, and diffusional operations. One method of attacking a problem for which no mathematical equation can be derived is that of empirical experimentations. For example, the pressure loss from friction in a long, round, straight, smooth pipe depends on all these variables: the length and diameter of the pipe, the flow rate of the liquid, and the density and viscosity of the liquid. If any one of these variables is changed, the pressure drop also changes. The empirical method of obtaining an equation relating these factors to pressure drop requires that the effect of each separate variable be determined in turn by systematically varying that variable while keep all others constant. The procedure is laborious, and is difficult to organize or correlate the results so obtained into a useful relationship for calculations. There exists a method intermediate between formal mathematical development and a completely empirical study. It is based on the fact that if a theoretical equation does exist among the variables affecting a physical process, that equation must be dimensionally homogeneous. Because of this requirement it is possible to group many factors into a smaller number of dimensionless groups of variables. The groups themselves rather than the separate factors appear in the final equation. Dimensional analysis does not yield a numerical equation, and experiment is required to complete the solution of the problem. The result of a dimensional analysis is valuable in pointing a way to correlations of experimental data suitable for engineering use.


37

Dimensional analysis drastically simplifies the task of fitting experimental data to design equations where a completely mathematical treatment is not possible; it is also useful in checking the consistency of the units in equations, in converting units, and in the scale-up of data obtained in physical models to predict the performance of full-scale model. The method is based on the concept of dimension and the use of dimensional formulas. Important Dimensionless Numbers in Fluid Mechanics: Dimensionless Number

Symbol

Formula

Numerator

Denominator

Importance

Viscous force

Fluid flow involving viscous and inertial forces

Gravitational force

Fluid flow with free surface

Reynolds number

NRe

Dvρ /µ

Inertial force

Froude number

NFr

u2/gD

Inertial force

Weber number

NWe

2

u ρ D/σ

Inertial force

Surface force

Fluid flow with interfacial forces

Mach number

NMa

u/c

Local velocity

Sonic velocity

Gas flow at high velocity

Drag coefficient

CD

FD/(ρ u2/2)

Total drag force

Inertial force

Flow around solid bodies

Friction factor

f

τ w/ (ρ u2/2)

Shear force

Inertial force

Flow though closed conduits

Inertial force

Flow though closed conduits. Pressure drop estimation

Pressure coefficient

CP

∆ p/ (ρ u2/2)

Pressure force


38

BAB III Dasar-dasar Dinamika Fluida Beberapa Istilah Streamline Garis dalam fluida yang mengalir; garis singgung padanya pada sembarang titik menyatakan arah dari vektor kecepatan pada titik tersebut.Pada steady flow garis arus ( stream line ) maupun lintasan ( path lines ) selalu berimpit dan tak berubah terhadap waktu.


39

Steady flow: Suatu aliran fluida dikatakan steady flow jika kecepatan aliran pada setiap lokasi dalam fluida tersebut tetap dan tidak berubah terhadap waktu. Uniform flow: Suatu aliran fluida dimana arah dan besarnya kecepatan tidak berubah pada setiap titik dalam fluida tersebut. Steady, unifrom flow: Kecepatan aliran tidak berubah terhadap waktu dan posisi dalam fluida. Fluida ideal: Fluida yang kekentalannya dianggap nol sehingga dalam aliran fluidanya tidak ada tegangan geser yang terjadi.

Persamaan Kontinuitas Perhatikan kesetimbangan massa untuk sebuah elemen fluida seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut:

Kesetimbangan massa: Laju akumulasi massa dalam kubus tersebut = total laju aliran massa masuk – total laju aliran massa masuk ............................(1)


40

Jumlah massa dalam kubus tersebut ρ ∆ x ∆ y ∆ z. Aliran massa ke dalam kubus tersebut melewati sisi 1 (ABFE) adalah

dan aliran massa keluar sisi 2 (DCGH) adalah

dengan langkah serupa untuk sisi 3 (ABCD), 4 (EFGH), 5 (AEHD), dan 6 (BFGC) kita dapatkan:

Substitusikan persamaan persamaan ini dalam persamaan (1), kita dapatkan:

Dibagi dengan ∆ x ∆ y ∆ z, kita dapatkan :

Dengan membuat ∆ x, ∆ y, dan ∆ z mendekati nol, maka bentuk kubus tersebut akan mengecil seperti sebuah titik. Maka persamaan


41

tersebut dapat ditulis dalam bentuk persamaan diferensial parsialnya adalah:

Persamaan di atas adalah persamaan kontinuitas pada setiap titik dalam suatu aliran fluida, baik itu aliran steady ataupun unsteady, aliran fluida mampu mampat (compressible) ataupun aliran fluida tak mampu mampat (incompressible). Untuk aliran steady fluida tak mampu mampat (steady, incompressible flow), densitas ρ konstan dan persamaannya menjadi

Funtuk aliran incompressible dua dimensi

Bernoulli Equation:

.....................................................(2) Persamaan ini adalah bentuk dasar dari persamaan Bernoulli untuk aliran steady incompressible fluida ideal. Sehingga dapat dituliskan untuk persamaan keadaan pada dua titik 1 dan dua dalam suatu streamline yang sama, yakni:

...........................................(3) Jumlah konstan dari persamaan Bernoulli, persamaan (1), disebut dengan head total (ho).


42

..........................................................(4) Head terlihat merupakan jumlah dari head piezometric h* = p/ρ g + z dan head kinetic v2/2g. Persamaan Bernoullie diturunkan berdasarkan asumsi asumsi: 1.

Steady flow.

2. Incompressible flow – masih dapat diterima jika bilangan Mach aliran kurang 0.3. 3. Frictionless flow – Aliran tanpa gesekan karena viskositasnya nol. 4. Valid untuk aliran pada satu streamline yang sama, sehingga dengan streamlines yang berbeda akan memiliki heat total berbeda. 5.

Tidak ada kerja poros.

6.

Tidak ada perpindahan panas.

Validitas dari persamaan Bernoulli: Persamaan Bernoulli valid jika di sepanjang streamline yang sama, steady, inviscid, incompressible flow. Tidak ada batasan pada bentuk dari streamline dan atau geometri keseluruhan aliran. Persamaan tersebut juga valid untuk aliran 1, 2, dan 3 dimensi. Modifikasi persamaan Bernoulli: Persamaan Bernoulli dapat dikoreksi dengan bentuk seperti berikut ini:

dengan q adalah kerja yang dilakukan oleh suatu pompa, w adalah kerja yang dilakukan oleh fluida seperti ada turbin misalnya, dan h adalah kerugian head (head loss).


43

Aplikasi persamaan Bernoulli untuk menyelesaikan persoalan aliran unsteady Persoalan untuk mendapatkan efflux time (waktu yang diperlukan untuk mengosongkan suatu bejana), untuk setup bejana seperti gambar berikut ini yang terdiri dari bejana bundar dengan: (i) dengan sebuah lubang orifice pada bagian dasar (ii) dengan sebuah pipa keluar pada bagian dasar

Waktu yang diperlukan untuk mengosongkan bejana (tefflux) dapat dicari secara teoritis dari kesetimbangan massa unsteady dan keseimbangan energi dalam kondisi steady (unsteady state mass balance and steady state energy balance). Kesetimbangan massa: Laju massa masuk – laju massa keluar = laju perubahan akumulasi massa Jika tidak ada massa masuk, maka - laju massa keluar = laju perubahan akumulasi massa - mout = dm/dt mout = volumetric flow rate x densitas = Ao v2 ρ


44

Laju perubahan akumulasi massa = Laju perubahan volume x densitas =ρ dV/dt dengan dV adalah volume air selama selang waktu dt jika V = luasan bejana x tinggi air = AT h, dan, dV = ATdh sehingga, Ao v2 ρ = AT ρ dh/dt

(1)

v2 didapat dengan membuat persamaan kesetimbangan energi antara 1 dan 2:

p1 = 0 atm (g) p2 = 0 atm (g) v1 = 0 (kecepatan diabaikan dibandingkan dengan kecepatan pada posisi 2) dengan mengambil acuan posisi 2, ( posisi 1 dan 2 berada pada satu fluida yang kontinyu) z2 = 0 sehingga, persamaan Bernoulli menjadi; v22 = 2gz1 v2 = √ (2gz1) Tinggi z2 - z1 dapat dinyatakan dengan h. (yang merupakan ketinggian air pada setiap saat)


45

sehingga, v2 = √ (2gh)

(2)

substitusi persamaan (2) untuk v2 ke persamaan (1), √ (2gh) = (AT/Ao) dh/dt Variabel variabel dipisahkan (AT/Ao) dh/√ (2gh) = dt kemudian diintegralkan antara z1 sampai z2 dari t=0 sampai t=tefflux tefflux = 2 AT [√ z1 - √ z2] / [Ao√ (2g)] untuk memperhitungkan pengaruh pengecilan penampang , (Co = faktor pengecilan penampang); sehingga menjadi, tefflux = 2 AT [√ z1 - √ z2] / [CoAo√ (2g)] dengan cara serupa dapat diturunkan persamaan untuk pengosongan bejana dengan tambahan pipa pada dasar bejana.


46

Persamaan Euler untuk gerakan:

Massa per satuan waktu = ρ Av = Untuk steady flow, massa keluar per satuan waktu = Laju perubahan momentum masuk = Laju perubahan momentum keluar = Laju penambahan momentum dari AB ke CD = δ v (1)

= ρ Av

Gaya akibat p dalam arah aliran = pA Gaya akibat p + δ p melawan arah aliran = (p + δ p)(A + δ A) Gaya akibat pside menghasilkan komponen dalam arah aliran = psideδ A Suprayitno/Mekanika Fluida/Teknik Mesin-FTUM/2008

47

Gaya akibat mg menghasilkan komponen melawan aliran = mgcos(θ ) Resultan gaya dalam arah aliran = pA - (p + δ p)(A + δ A) + psideδ A - mgcos(θ ) (2) Nilai dari pside akan bervariasi dari p pada AB ke p + δ p pada CD, dan dapat diambil sebagai p + kδ p dengan k sebagai pengali. Massa elemen fluida ABCD = m = ρ g(A + 1/2 δ A) δ s dan δ s = δ z/cos(θ ); jika cos(θ ) = δ z/δ s substitusikan ke persamaan (2), Resultan gayadalam arah aliran = pA - (p + δ p)(A + δ A) + p + kδ p - ρ g(A + 1/2 δ A) δ z = -Aδ p - δ pδ A + kδ pδ A - ρ gAδ z - 1/2 δ Aδ z abaikan hasilkali yang kecil, Resultan gaya dalam arah aliran = -Aδ p - ρ gAδ z

(3)

Dengan menggunakan hukum Newton kedua, (yakni, menyamakan persamaan (1) & (3)) ρ Av dv = -Aδ p - ρ gAδ z dibagi dengan ρ Aδ s,

atau, dalam limit dengan δ s  0,


48

persamaan ini dikenal dengan persamaan Euler, dalam bentuk diferensial

yang menyatakan hubungan antara p, v, ρ dan elevasi z, sepanjang sebuah streamline untuk steady flow. Persamaan tersebut dapat diintegrasikan sampai hubungan antara densitas dan tekanan dapat dirumuskan. Untuk fluida incompressible, ρ konstan ; sehingga persamaan Euler dapat diintegrasikan menjadi:

yang tak lain merupakan persamaan Bernoulli.


49

In a free jet the pressure is atmospheric throughout the trajectory.

Vox = Vo cosθ = constant = Vx Voy = Vo sinθ x = Vox t y = Voy t – gt2/2 eliminating t gives, y = x Voy/Vox – gx2/(2Vox2) i.e, y = x tanθ – gx2/(2Vo2 cos2θ ) This is the equation of the trajectory. --------------At the point of maximum elevation, Vy = 0 and application of Bernoulli’s law between the issue point of jet and the maximum elevation level, Vo2/(2g) = Vox2/(2g) + ym


50

Since, Vo2/(2g) = Vox2/(2g) + Voy2/(2g) we get, ym = Voy2/(2g)

Trajectory of Jet issued from an orifice at the side of a tank opened to atmosphere:

At the tip of the opening: The horizontal component of jet velocity Vx = (2gh)0.5 = dx/dt And the vertical component Vz = 0 One the jet is left the orifice, it is acted upon by gravitational forces. This makes the vertical component of velocity to equal ‘-gt’. i.e., Vz = -gt = dz/dt The horizontal and vertical distances covered in time ‘t’ are, obtained from integrating the above equations. x = (2gh)0.5 t and z = -gt2/2 Suprayitno/Mekanika Fluida/Teknik Mesin-FTUM/2008

51

And elimination of ‘t’ can be done as, z = -g [x2/(2gh)] / 2 i.e, z = - x2/(4h) Let us take downward direction as positive z. Then x = 2 (hz)0.5

Water Hammer Whenever a valve is closed in a pipe, a positive pressure wave is created upstream of the valve and travels up the pipe at the speed of sound. In this context a positive pressure wave is defined as one for which the pressure is greater than the steady state pressure. This pressure wave may be great enough to cause pipe failure. This phenomena is called as Water Hammer Critical time (tc) of closure of a valve is equal to 2L/c, where L is the length of the pipe in the upstream of the valve up to the reservoir, and c is the velocity of sound in fluid. If the closure time of a valve is less than tc the maximum pressure difference developed in the downstream end is given by ρ vc. Where v is the velocity in the pipeline. Water hammer pressures are quite large. Therefore, engineers must desgin piping systems to keep the pressure within acceptable limits. This is done by installing an accumulator near the valve and/or operating the valve in such a way that rapid closure is prevented. Accumulators may be in the form of air chambers for relatively small systems, or surge tanks. Another way to eliminate excessive water hammer pressures is to install pressure-relief valves at critical points in the pipe system


52


53

Mekanika Fluida

Recommend Documents