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PROYECTO DE GRADO “Comparación de tres tipos de puentes continuos para carga viva con vigas prefabricadas tesadas por etapas”
INDICE GENERAL CAPITULO 1 1. Int Introdu roducc cció iónn 1.1 Objeti Objetivo vo 1.2 Método Método de continuidad continuidad para carga viva 1.3 Procedimient Procedimientoo de diseño diseño 1.3. 1.3.11 Arma Armadu dura ra pret preten ensa sada da 1.3. 1.3.22 Mome Moment ntos os posi positi tivo voss sobre sobre las las pila pilass 1.3. 1.3.33 Efec Efecto to de la flue fluenc ncia ia 1.3. 1.3.44 Efec Efecto to de de la la retr retrac acci ción ón 1.3. 1.3.55 Suma Suma de mome moment ntos os de de suj sujec eció iónn 1.3.5.1 Momento Momento de sujeción por retracción retracción 1.3.5.2 Momento Momento de sujeción por fluencia fluencia por carga muerta 1.3.5.3 Momento Momento de sujeción por pretensado (Alternati (Alternativa va 1) 1.3.5.4 Momento Momento de sujeción por pretensado pretensado (Alternativ (Alternativaa 2 y 3) 1.3.5.5 Evaluación Evaluación del factor de fluencia fluencia 1.3.6 1.3.6 Detall Detalles es de la conex conexión ión para el mome momento nto positi positivo vo 1.3. 1.3.77 Refue Refuerz rzoo para para el el mome moment ntoo negat negativ ivoo 1.3. 1.3.88 Tensi Tensión ón de com compre presi sión ón en en viga vigass 1.3.9 Corte
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1.4 Ventajas Ventajas y desventajas desventajas respecto respecto al método método convencional convencional 1.4.1 Alternativa 1 1.4.2 Alternativa 2 1.4.3 Alternativa 3
CAPITULO 2 2. Espec Especif ific icaci acion ones es de dis diseño eño 2.1 2.1 Medi Medios os 2.1.1 Cálculo 2.1.2 Construc rucción 2.2 Materi Materiale aless 2.2. 2.2.11 Ho Horm rmig igón ón para para losa losa y diafr diafrag agma mass 2.2. 2.2.22 Ho Horm rmig igón ón para para vigas vigas pre prefab fabri rica cada dass 2.2. 2.2.33 Barra Barrass de acero acero de ref refue uerzo rzo pasi pasivo vo 2.2. 2.2.44 Ac Acer eroo de pret preten ensa sado do 2.2.5 Anclajes
CAPITULO 3 3. Descripción Descripción de los los tres métodos métodos de contin continuidad uidad para carga carga viva viva 3.1 Método Método de continuidad continuidad para carga viva
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1.4 Ventajas Ventajas y desventajas desventajas respecto respecto al método método convencional convencional 1.4.1 Alternativa 1 1.4.2 Alternativa 2 1.4.3 Alternativa 3
CAPITULO 2 2. Espec Especif ific icaci acion ones es de dis diseño eño 2.1 2.1 Medi Medios os 2.1.1 Cálculo 2.1.2 Construc rucción 2.2 Materi Materiale aless 2.2. 2.2.11 Ho Horm rmig igón ón para para losa losa y diafr diafrag agma mass 2.2. 2.2.22 Ho Horm rmig igón ón para para vigas vigas pre prefab fabri rica cada dass 2.2. 2.2.33 Barra Barrass de acero acero de ref refue uerzo rzo pasi pasivo vo 2.2. 2.2.44 Ac Acer eroo de pret preten ensa sado do 2.2.5 Anclajes
CAPITULO 3 3. Descripción Descripción de los los tres métodos métodos de contin continuidad uidad para carga carga viva viva 3.1 Método Método de continuidad continuidad para carga viva
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3.1.1 3.1.1 Método Método conve convenci ncional onal de de conti continui nuidad dad para para carga carga viva viva con cables tesados en una sola etapa 3.1.2 3.1.2 Método Método de de conti continui nuidad dad para para carga carga viva, viva, con con cable cabless segmentados tesados en 2da etapa 3.1.3 3.1.3 Método Método de de conti continui nuidad dad para para carga carga viga, viga, con con cable cabless continuos tesados 2da etapa
CAPITULO 4 4. An Anál ális isis is secci sección ón transv transver ersal sal 4.1 Gen General eralida idades des 4.2 Sección Sección transversal transversal 4.2.1 Sección en T 4.2. 4.2.22 Secc Secció iónn en en T inve invert rtid idaa 4.2.3 Sección en L 4.2. 4.2.44 Secc Secció iónn vig vigas as – caj cajón ón 4.3 Geometría Geometría de la la sección sección
CAPITULO 5 5. Aná Análi lisis sis longi longitud tudina inall de la estr estruct uctura ura 5.1 Gen General eralida idades des 5.2 Determinaci Determinación ón de la geometría geometría longitudinal longitudinal
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5.2.1 Longitud de luces 5.2.2 Altura de la sección
CAPITULO 6 6. Verificaciones 6.1 Verificación de tensiones 6.1.1 Tensiones admisibles 6.2 Verificación de tensiones en diferentes etapas 6.3 Verificación al cortante último 6.4 Verificación al momento de rotura
CAPITULO 7 7. Procedimiento constructivo 7.1 Descripción proceso constructivo alternativa 1 7.2 Descripción proceso constructivo alternativa 2 7.3 Descripción proceso constructivo alternativa 3
CAPITULO 8 8. Aplicación práctica sobre Puente Sacramento, Río Sacramento
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CAPITULO 9 9. Comparación constructiva versus plazo 9.1 Tiempo de ejecución alternativa 1 9.2 Tiempo de ejecución alternativa 2 9.3 Tiempo de ejecución alternativa 3
CAPITULO 10 10. Presupuesto 10.1 Costo total de ejecución alternativa 1 10.2 Costo total de ejecución alternativa 2 10.3 Costo total de ejecución alternativa 3
CAPITULO 11 11. Comparación económica 11.1 Comparación económica en costo y tiempo de ejecución
CAPITULO 12 12. Conclusiones y recomendaciones 12.1 Conclusiones 12.2 Recomendaciones
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CAPITULO 13 13. Anexos 13.1 Líneas de influencia de momento 13.2 Líneas de influencia de cortante
CAPITULO 14 14. Bibliografía
CAPITULO 15 15. Planos
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CAPITULO 8 8.1 Ubicación La aplicación práctica del Proyecto de Grado, se realiza en el Puente Sacramento, que cruza el río del mismo nombre, el cual está ubicado a 35 Km. de la ciudad de Sucre, carretera a Cochabamba. Se encuentra a una altura de 1535 m.s.n.m. de clima cálido donde la temperatura ambiente oscila de 18 a 30ºC.
8.2 Geometría La estructura esta compuesta por 6 tramos, dividida en dos tramos continuos hiperestáticos, cada uno de 3 vanos con luces de 25.50, 25.90 y 25.50 m. respectivamente. Cubriendo una luz de 76.90 metros y ambos salvando una luz total de 154.45 m. Las vigas estarán compuestas por 2 diafragmas, colocados a 4 metros a partir del centro de cada viga prefabricada. El ancho del diafragma será de 20 cm. La calzada del puente tiene una longitud de 7.00 metros de ancho, ancho de la acera de 60 cm. y barandado compuesto por los postes de concreto y pasamanos de tubos de acero, resultando un ancho total de 8.20 m. Tal como se muestran en las fotografías siguientes, Fot. 8.1, Fot. 8.2 y Fot. 8.3.
Fotografía 8.1
Fotografía 8.2
Vista longitudinal Puente Sacramento
Vista diafragmas y pilas
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Fotografía 8.3 Vista sección transversal
8.3 Sección transversal típica y factor de carga A continuación se muestra en forma esquemática la sección transversal típica, a partir de la cual se calculará la fracción de carga, Fig. (8.1):
Figura 8.1 Sección transversal típica
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Del reglamento de la AASHTO, el factor de carga interna f i = 0.596·s, para vigas I, de acero o de hormigón prefabricado con 2 o más fajas de tráfico. El factor de carga para las vigas exteriores es:
f e
=
2· s
+ 2·a − 3 s
Igualando ambos factores y colocando a en función de s:
2· s + 2·a
a
=
= 7.00
7 − 2·s 2
Finalmente se halla: s = 2.5906 m a = 0.9094 m Adoptamos los valores siguientes y calculamos el valor real de los factores de carga para las vigas interiores y exteriores.
sadoptado = 2.60 m a
= 0.90 m
Con lo que los factores valen: f e = 1.5325 f i = 1.5496 Se elige el mayor que finalmente es:
f c = 1.55
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8.4 Diseño Puente Sacramento, con cables tesados en una sola etapa (Alternativa I) Esta sección comprende el diseño convencional para este tipo de puentes, induciendo en una sola etapa la fuerza total de pretensado necesaria para soportar la carga muerta y viva. Se realiza el diseño completo para la superestructura con el objetivo de realizar una comparación de costo vs. tiempo de ejecución respecto de las alternativas II y III.
8.4.1 Materiales 8.4.1.1 Cemento El cemento deberá cumplir con las exigencias de la norma ASTM. El cemento a ser utilizado deberá ser del mismo tipo y la misma marca, para la dosificación de los diferentes hormigones.
8.4.1.2 Agregados Los muestreos y ensayos de los agregados, deberán ser realizados de acuerdo a la norma ASTM. El agregado puede ser de canto rodado o triturado. Los agregados seleccionados, deberán ser almacenados de manera que no se tenga una contaminación de los mismos con un exceso de finos, los cuales disminuyen la resistencia en el concreto.
8.4.1.3 Agua Con independencia de la dosificación, el agua debe cumplir unas condiciones de pureza mínima. De modo general puede decirse que pueden utilizarse aquellas que por su características físicas y químicas sean potables.
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Debe cumplir los siguientes requerimientos: a) El contenido de ion cloro, será inferior a 0.25 g/l b) El contenido de sulfatos, expresados en SO4, será inferior a 1 g/l c) El contenido de residuo salino seco, obtenido por evaporación del agua, será inferior a 1.5 g/l
8.4.1.4 Hormigón El hormigón deberá estar constituido por sus componentes, cemento, arena, grava y agua con las exigencias mencionadas anteriormente. El hormigón para losa y diafragmas (TIPO A) deberá tener una resistencia característica a los 28 días de 21 MPa. El hormigón para las vigas prefabricadas (TIPO P), deberá tener una resistencia característica mínima de 35 MPa a los 28 días. El peso del concreto para el cálculo y diseño, será de 24 KN/m3, según lo estipulado por la norma AASHTO.
8.4.1.5 Acero de refuerzo La varilla de refuerzo deberá cumplir con las exigencias de la norma ASTM. No se permite el uso de barras de refuerzo de resistencias diferentes, en la misma sección. Deberá verificarse además las secciones por cuantía mínima.
8.4.1.6 Acero de pretensado Para el tesado de las vigas prefabricadas, se utilizará acero de grado 270 K con su equivalente 1861.5845 MPa. Se usarán dos cables con 12 torones de 0.5” cada uno.
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8.4.2 Cargas La estructura estará solicitada a la carga muerta, compuesta por el peso propio de la viga, peso de la losa, diafragmas, encofrado – mientras fragua el concreto fresco – y la carga viga, compuesta por los vehículos que transitan.
8.4.2.1 Carga muerta y peso propio El peso propio de la viga esta constituido por tres cargas distribuidas, una parte por un macizo rectangular que aloja el anclaje de los dos cables, una segunda carga uniforme formada por la transición del bloque de anclaje a la sección de medio tramo y finalmente una tercera parte constituida por la sección a medio tramo. Fig. 8.2.
Figura 8.2 Vista longitudinal viga prefabricada La carga uniforme producida por el bloque de anclaje para ambos tendones es: q1 = 24·0.50·1.65 = 19.80 KN/m
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Carga uniforme producida por la transición: q2 = 0.5·(19.80 + 10.9920) = 15.3960 KN/m La carga uniforme producida por la sección a medio tramo es: q3 = 24·4580·10-4 = 10.9920 KN/m La Fig. 8.3 muestra las cargas distribuidas debido al peso propio por el bloque de anclaje, la transición y la sección a medio tramo.
Figura 8.3 Carga distribuida por peso propio El peso de la losa, luego del vaciado actúa sobre la viga en sección simple, los valores de los momentos producidos por su peso propio se calculan aplicando líneas de influencia a cada 0.10 de la luz total de la viga. La carga uniforme producida es: qLosa = 24·5752.50·10-4 =13.8060 KN/m Los diafragmas serán vaciados en forma conjunta con la losa por lo cual esta carga actúa también sobre la viga en sección simple.
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Los diafragmas son colocados a una distancia de 4.00 metros a partir del centro de la viga. El peso de cada diafragma esta calculado a continuación. pDiafragma = 24·0.2·3.1505 = 15.1224 KN El encofrado tanto para la losa y los diafragmas ocasionan también solicitaciones sobre la viga de sección simple, a continuación se calcula el peso por metro lineal: qEncofrado = 9·135856.4801·10-6 =1.2227 KN/m A continuación se muestra en la siguiente tabla los momentos flectores producidos por las cargas debidas al peso propio, losa, diafragmas y encofrado a cada décimo de la luz. Ver Tabla 8.1. Mpp [KN·m]
Punto
Mlosa [KN·m]
Mdiafragma [KN·m]
Mencofrado [KN·m]
Mtotal 1ra ETAPA
A
2.51 5.02 7.53 10.04 12.55 15.06 17.57 20.08 22.59
326.00 568.37 741.50 845.38 880.00 845.38 741.50 568.37 326.00
391.41 695.83 913.28 1043.75 1087.24 1043.75 913.28 695.83 391.41
18.94 37.88 56.82 64.65 64.65 64.65 56.82 37.88 18.94
34.66 61.63 80.88 92.44 96.29 92.44 80.88 61.63 34.66
B
Tabla 8.1 Resumen de solicitaciones por carga muerta a cada 0.10·L
771.01 1363.71 1792.49 2046.21 2128.18 2046.21 1792.49 1363.71 771.01
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8.4.2.2 Carga viva Esta constituida por los vehículos que se detallarán más adelante, puesto que la carga de los peatones y fuerzas complementarias generadas por estos mismos se consideran como otros ítems. En todos los casos, la permanencia de la carga viva sobre los puentes es en general inferior a las 24 horas. El reglamento AASHTO, distingue dos tipos de carga: Que se toma como carga única por cada faja de tráfico
•
Camión tipo:
•
Carga equivalente: Que reemplaza al camión tipo al haberse sobrepasado una determinada longitud
Adoptando la nomenclatura del sistema internacional, se distinguen dos tipos de camión; los tipo M y los de tipo MS. Los camiones M están formados por dos ejes de ruedas espaciados a 4.27 m. con las ruedas delanteras cuyo peso es de la cuarta parte de las traseras. Cada eje consta de dos ruedas las que están espaciadas a 1.80 m. Los camiones M18 y M13.5 cuyos pesos son respectivamente de 20 y 15 toneladas inglesas. Los camiones MS están formados por un camión M y su acoplado S, es decir que el M es el detallado anteriormente y su acoplado corresponde a la adición de un eje trasero cuya separación es variable entre 4.27 y 9.14 m.
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El camión a utilizarse para el diseño del puente Sacramento será: Camión HS 20-44, con dimensiones tales como se muestra en la Fig. 8.4.
Figura 8.4 Camión tipo HS 20-44
8.4.3 Análisis estructural La estructura actúa en dos sistemas estáticos diferentes, los cuales son: 1) En primera etapa, la viga prefabricada soporta la fuerza de tesado de ambos cables y el peso propio que actúa simultáneamente. A continuación se lanza las vigas a su posición final sobre las pilas, donde se realiza el encofrado y posteriormente se vacía la losa y diafragmas, solicitaciones que debe soportar la viga en sección simple. 2) Una vez realizado el vaciado de losas y diafragmas, se produce el fraguado y endurecimiento de la losa, dando como resultando una viga continua hiperestática de tres tramos con vigas compuestas, sobre la que actúan las solicitaciones por carga viva, barandado y momento de sujeción.
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8.4.3.1 Solicitaciones en sección simple En una etapa inicial T = 0, la viga prefabricada soporta la fuerza inducida por el primer tendón y el peso propio que actúa inmediatamente se realiza el tesado del cable. La tabla muestra las solicitaciones a cada décimo de la luz tal como se muestra en la Tabla 8.2
Punto A
2.51 5.02 7.53 10.04 12.55 15.06 17.57 20.08 22.59 B
Momento [KN·m] 0.00 326.00 568.37 741.50 845.38 880.00 845.38 741.50 568.37 326.00 0.00
Cortante [KN·m] 153.80 110.36 82.77 55.18 27.59 0.00 -27.59 -55.18 -82.77 -110.36 -153.80
Tabla 8.2 Momento y Corte en viga isostática (1ra Etapa) En una etapa intermedia la viga es lanzada y colocada en su posición final sobre las pilas, donde se coloca el encofrado y posteriormente se vacía la losa y diafragmas. Las solicitaciones a debidas a estas cargas se muestran en la Tabla 8.3.
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Mpp [KN·m]
Punto
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Mlosa [KN·m]
Mdiafragma [KN·m]
Mencofrado [KN·m]
Mtotal 1ra ETAPA
A
2.51 5.02 7.53 10.04 12.55 15.06 17.57 20.08 22.59
326.00 568.37 741.50 845.38 880.00 845.38 741.50 568.37 326.00
391.41 695.83 913.28 1043.75 1087.24 1043.75 913.28 695.83 391.41
18.94 37.88 56.82 64.65 64.65 64.65 56.82 37.88 18.94
34.66 61.63 80.88 92.44 96.29 92.44 80.88 61.63 34.66
771.01 1363.71 1792.49 2046.21 2128.18 2046.21 1792.49 1363.71 771.01
B
Tabla 8.3 Momento etapa intermedia La tabla siguiente muestra las solicitaciones por cortante, producidas por las cargas que actúan en la etapa intermedia mostradas en la Tabla 8.4.
Punto A
2.51 5.02 7.53 10.04 12.55 15.06 17.57 20.08 22.59 B
Peso propio [KN] 153.80 110.36 82.77 55.18 27.59 0.00 -27.59 -55.18 -82.77 -110.36 -153.80
Encofrado [KN] 15.34 12.28 9.21 6.14 3.07 0.00 -3.07 -6.14 -9.21 -12.28 -15.34
Diafragma [KN] 7.56 7.56 7.56 7.56 0.00 0.00 0.00 -7.56 -7.56 -7.56 -7.56
Tabla 8.4 Cortante etapa intermedia
Losa [KN] 173.27 138.61 103.96 69.31 34.65 0.00 -34.65 -69.31 -103.96 -138.61 -173.27
Cortante Total 349.98 268.81 203.50 138.19 65.31 0.00 -65.31 -138.19 -203.50 -268.81 -349.98
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Una vez producido el fraguado y endurecimiento de la losa, la estructura actúa en forma continua, en cuya estructura actúa la carga viva y barandado. A continuación se muestran los momentos flectores producidos por la carga viva y barandado en la Tabla 8.5.
Momento Camion Tipo Maximo Minimo
Punto A
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 B
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.00 578.79 969.36 1185.79 1277.31 1246.10 1113.28 861.70 523.59 169.78 188.52 182.10 562.22 847.91 1021.44 1064.44
0.00 -59.04 -118.10 -177.15 -236.20 -295.25 -354.30 -413.34 -472.40 -531.45 -748.27 -654.19 -560.57 -466.95 -373.33 -279.70
Carga equivalente Maximo Minimo
0.00 405.33 703.41 896.14 986.61 979.20 879.51 694.41 432.81 216.75 146.54 196.23 385.06 612.26 752.15 799.32
0.00 -46.02 -92.05 -138.07 -184.09 -230.11 -276.14 -322.16 -369.00 -529.34 -1062.27 -579.50 -149.36 -410.19 -385.24 -360.30
Momento maximo Maximo Minimo
0.00 588.43 985.90 1206.45 1299.34 1266.73 1129.77 871.27 523.50 204.23 160.82 181.33 557.29 850.09 1027.89 1072.31
Tabla 8.5 Momentos producidos por carga viva y barandado
0.00 -49.40 -101.57 -156.49 -214.18 -274.61 -337.81 -403.77 -472.50 -543.97 -1089.98 -669.09 -565.51 -464.77 -378.79 -352.43
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La Tabla 8.6, muestra las solicitaciones por corte en la estructura continua. Cortante camion tipo Maximo Minimo
Punto A
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 B
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
264.92 228.81 193.27 158.78 125.80 94.84 64.90 39.20 18.01 7.46 302.24 251.76 222.06 189.82 156.06 121.80
-23.16 -23.34 -40.61 -75.70 -113.48 -152.25 -185.70 -216.15 -243.22 -266.57 -43.56 -36.44 -36.76 -53.61 -86.09 -121.80
Carga equivalente Maximo Minimo
214.29 180.27 148.88 120.27 94.54 71.81 50.93 33.91 20.53 7.31 386.72 216.21 186.97 158.44 131.21 105.82
Cortante maximo Maximo Minimo
-20.84 -22.47 -46.15 -67.75 -92.11 -119.04 -144.96 -171.65 -198.72 -225.74 -39.02 -33.56 -36.81 -59.53 -80.84 -105.82
269.24 232.05 195.43 159.86 125.80 93.76 62.73 35.95 16.20 2.05 398.71 256.16 225.36 192.02 157.16 121.80
-18.83 -20.10 -43.99 -74.62 -113.48 -153.34 -187.87 -219.40 -247.55 -271.99 -31.57 -32.05 -33.51 -57.34 -84.99 -121.80
Tabla 8.6 Cortante producido por carga viva y barandado
8.4.4 Diseño de vigas prefabricadas Este método consiste en inducir el total de la fuerza de pretensado en una sola etapa, la cual deberá soportar las solicitaciones debidas a las cargas por peso propio, encofrado, diafragmas, losa, carga viva, barandado y el momento de sujeción que actúa en las pilas, esta última, solicitación característica de este tipo de puentes. La ventaja radica en la sencillez del método y su fácil construcción. Los cables tendrán una trayectoria parabólica.
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8.4.4.1 Geometría viga sección simple TIPO I Se muestra a continuación la sección de la viga prefabricada, Fig. 8.5.
0.50 5 1 . 0
5 0 . 0
5 6 . 1
5 1 . 0
0 1 . 0
5 7 1 . 0
5 2 . 0
0.60
Figura 8.5 Dimensiones sección simple
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El resumen de dimensiones, se muestra en la Tabla 8.7 GEOMETRÍA DE LA SECCIÓN
b1 = b2 = h= h1 = h2 = h3 = h4 = bw = φ1 = d1 = φ2 = d2 =
50.00 60.00 165.00 17.50 15.00 5.00 15.00 18.00 7.50 10.00 7.50 25.00
[cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]
Tabla 8.7 Resumen geometría de la sección
8.4.4.2 Propiedades viga en sección simple TIPO I La Tabla 8.8, presenta las propiedades geométricas de la sección de la viga en simple. PROPIEDADES GEOMÉTRICAS A= 4491.6427 [cm²] Yc = 76.6900 [cm²] Ixx = 14418217.4357 [cm^4] Ws = 163268.2654 [cm³] Wi = 188006.4400 [cm³] Cs = 41.8569 [cm] Ci = 36.3493 [cm] ρ= 0.4740 SECCIÓN VIGA AASHTO Tabla 8.8 TIPO IV
Resumen propiedades viga
] m c [
8.4.4.3 Geometría viga TIPO I sección compuesta
[cm]
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La Fig. 8.6 muestra las dimensiones de la viga en sección compuesta. 2.60 7 1 . 0
5 1 . 0
5 0 . 0
5 6 . 1
5 1 . 0
0 1 . 0
5 7 1 . 0
5 2 . 0
0.60
Figura 8.6 Dimensiones sección compuesta
Resumen de dimensiones, se muestra en la Tabla 8.9. GEOMETRIA SECCIÓN COMPUESTA
bl = e= n=
260.0000 [cm] 19.0000 [cm] 0.7746
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Tabla 8.9 Resumen geometría sección compuesta
8.4.4.4 Propiedades viga en sección compuesta TIPO I Se muestra a continuación en las Tablas 8.10 y 8.11 las propiedades geométricas de viga en sección compuesta, para una edad de 7 y 28 días respectivamente PROPIEDADES GEOMETRICAS S.C. 7DIAS
PROPIEDADES GEOMÉTRICAS S.C.
A= 7363.3183 [cm²] Ysc = 114.4457 [cm²] Ixxsc = 30904886.3714 [cm^4] Wslosa = 457481.9298 [cm³] Wsviga = 611320.2348 [cm³] Wiviga = 270039.8104 [cm³] Cssc = 36.6737 [cm] Cisc = 62.1299 [cm] 0.5429 ρ=
A= 7915.3600 [cm²] Ysc = 118.5643 [cm²] Ixxsc = 32709110.1698 [cm^4] Wslosa = 515626.2153 [cm³] Wsviga = 704395.7517 [cm³] Wiviga = 275876.5523 [cm³] Cssc = 34.8533 [cm] Cisc = 65.1425 [cm] 0.5494 ρ=
Tabla 8.10
Tabla 8.11
Propiedades geométricas 7 días
Propiedades geométricas 28 días
8.4.5 Cálculo de la fuerza de pretensado Según la AASHTO los esfuerzos permisibles en la etapa inicial y final, cuando un elemento está en servicio son: Etapa inicial: T = 0 Para un peso específico del concreto de 24 KN/m3, se tiene una resistencia en función a la edad de t días, con la siguiente expresión:
f ci
= 35·
t 4 + 0.85·t
= 35·
7 4 + 0.85·7
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Efectuando las operaciones: f ci = 24.6225 MPa Las tensiones admisibles para compresión y tracción son: En compresión σc = 0.7035·35·0.55 = 13.5424 MPa
En tracción, el mínimo de: σt = -1.38 MPa σt = -0.25·(35·0.7035)1/2 = -1.2405 MPa
Etapa final: T = OO En compresión σc = 0.4·35 = 14.00 MPa
En tracción, el mínimo de: σt = -1.38 MPa σt = -0.25·351/2 = -1.4790 MPa
Teniendo en cuenta las tensiones admisibles exigidas por la AASHTO, se procede al diseño preliminar de la viga prefabricada. Como se detalla a continuación: La viga debe soportar un momento máximo, el cual tiene lugar a la mitad del claro, es decir a L/2. El momento es: MTotal
= 2128.1796 KN·m + (1266.7309 - 59.4626) KN·m = 3335.4479 KN·m
Mcm
= 2128.1796 KN·m
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Mcv+b
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= 1207.2683 KN·m
Reemplazando en la siguiente expresión despejamos la fuerza ηP: η P η P ·e ss + A ss W i , ss
−
M cm W i , ss
−
M cv +b W i , sc
=0
Despejando se tiene: ηP = 2920.3436 KN
Suponiendo una pérdida en la fuerza del 15%, la fuerza P en etapa inicial será: P = 3435.6983 KN Por lo tanto se inducirá una fuerza de 3088.9942 KN producida por dos cables de 12 torones de 0.5” cada uno, el cálculo es: P = 24·0.9877·10-4·0.7·1861.5845·103 = 3088.9942 KN
Tal fuerza inducida por los dos cables, es insuficiente para lograr tracción nula en la fibra inferior de la viga, pero debido al momento de sujeción por fluencia y retracción que es característica de este tipo de puentes actúa de manera favorable tal como se verá más adelante.
8.4.6 Cálculo de pérdidas
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Las pérdidas totales en el pretensado esta dada por la suma de las pérdidas instantáneas y diferidas, que son alrededor rededor del 15% de la fuerza inicial de tesado. Se detalla a continuación el cálculo de las mismas de manera más explícita:
8.4.6.1 Cálculo de las pérdidas instantáneas Pérdida por fricción El tesado se realizará de un solo lado, ocurriendo pérdida por fricción, la cual se calcula a continuación:
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La variación angular a lo largo del cable hasta L/2, esta dado por la siguiente expresión:
L=25.40
e=0.5919
2·e 2·0.5919 −1 = tg −1 α = tg L 25.40 2 2
De donde resulta: α = 5.3253º
La longitud de la parábola es:
l p
8 e 2 25.40 8 0.5919 2 = ·1 + · = ·1 + · 3 25.40 2 3 L 2 L
De donde se obtiene: l p = 12.7184 m Para el caso de vainas galvanizadas, se tiene: µ = 0.25
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k = 0.00492 Donde la expresión:
+k ·l p = 0.25·0.0929 +0.00492·12.7184
µ ·α
µ·α + k·l p = 0.0858 < 0.30
Se presenta una variación lineal en la pérdida de tensión por fricción Finalmente la pérdida por fricción será:
t f
= f o ·( µ ·α + k ·l p ) = 0.755·1861.5845·( 0.0858)
Donde la perdida por fricción a medio tramo es: tf = 120.5916 MPa
Pérdida por hundimiento de cono Los anclajes Freyssinet presentan hundimiento de cono de 6 mm, dato importante para el cálculo de la pérdida por asentamiento del anclaje.
x
=
E s ·h·l p t f
=
193060·0.006·12.7184 120.5916
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El alcance de la pérdida por fricción es: x = 11.0530 m < 12.70 m Donde la pérdida por hundimiento de cono esta dada por la siguiente relación:
t h
= 2·t f ·
x L
11.0530 25.40
= 2·120.5916·
2
2
La pérdida en la tensión por hundimiento es: th = 209.9053 MPa La tensión máxima se tiene una distancia x = 11.0530 m, con una tensión es: f max = 0.755·1861.5845 – 0.5·209.9053 = 1300.5436 MPa
8.4.6.2 Cálculo de las pérdidas diferidas Acortamiento elástico Se considera una pérdida por acortamiento elástico en la viga debido a que existen dos cables que son tesados en una sola etapa.
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El tesado se realiza 7 días después del vaciada de las vigas, por tanto se verifica la los esfuerzos y tensiones admisibles sobre la misma. f cir = Tensión en el Hº al nivel del centro de gravedad de los cables, producido por el pretensado inicial y la carga presente en ese instante
3045 .8409·10 −3 3045.8409·10 −3 ·( 76 .69 − 17 .50 )·10 −2 880 .0018·10 −3 76 .69 − 17 .50 · f cir = − 4491.6427·10 −4 + 188006 .44·10 −6 188006 .44·10 −6 76 .69 Efectuando operaciones se tiene: f cir = 9.0222 MPa Reemplazando este valor en la siguiente expresión, se tiene una pérdida por acortamiento elástico igual a:
ES =
1 E s · · f cir 2 E ci
=
1
·
193060
2 30644.5972
·9.0222
Operando: ES = 28.4198 MPa Retracción del Hº Para el lugar se asume una humedad relativa del HR = 50%, y mediante la relación siguiente se obtiene la pérdida por retracción del Hº:
SH
= 0.80·(117 .2109 −1.0342·RH ) = 0.80·(117 .2109 −1.0342·50 )
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Efectuando las operaciones se tiene: SH = 52.4007 MPa Fluencia del Hormigón La pérdida por fluencia del Hº, se calcula a partir de los siguientes parámetros: f cir = Tensión en el Hº al nivel del centro de gravedad de los cables, producido por en el pretensado inicial y la carga presente en ese instante (Peso propio de la viga).
f cir
3045 .8409·10 −3 3045.8409·10 −3 ·( 76 .69 − 17 .50 )·10 −2 880 .0018·10 −3 76 .69 − 17 .50 · = + − −4 −6 −6 4491 . 6427 · 10 188006 . 44 · 10 188006 . 44 · 10 76 .69
Efectuando las operaciones se tiene: f cir = 9.0222 MPa f cds = Tensión en el Hº al nivel del centro de gravedad de cables producido por todas las cargas muertas colocadas después de realizado el tesado.
La carga muerta para los dos cables esta constituido por la losa fresca, y los diafragmas y el encofrado, que actúa sobre la sección simple. Luego de producido el fraguado y endurecido de la losa, se procede al retiro del encofrado y posterior colocado del barandado, actuando estas cargas sobre la sección compuesta:
f cds
(1248.1788)·10 −3 76.69 −17.50 ( − 59.4626 + 20.6345)·10 −3 114.4457 −17.50 · · = + 76.69 188006.44·10 −6 270039.8104·10 −6 114.4457
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De donde se tiene: f cds = 5.0023 MPa Reemplazando en la relación propuesta por la AASHTO, se obtiene la pérdida por fluencia del hormigón:
CR c
=12· f cir − 7· f cds = 12·9.0222 − 7·5.0023
Efectuando operaciones se tiene: CR c = 73.2503 MPa Relajación del acero La pérdida por relajación del aceró se calcula con ayuda de los valores calculados anteriormente, mas FR definido y calculado como sigue: FR = Pérdida de fricción entre la tensión máxima y el punto donde se toma momento. FR = 1300.5436 – 1284.9047 = 15.6389 MPa Que reemplazando en la siguiente formula para tendones postesados con acero de baja relajación (BR) se tiene la siguiente formula: CR s
= 34.4738 − 0.07· FR − 0.1· ES − 0.05·( SH + CRc ) = 34 .4738 − 0.07·15 .6389 − 0.1·28 .4198 − 0.05·( 52 .4007 + 73 .2503 ) Calculando se tiene: CR s = 24.2545 MPa
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Donde el total de pérdidas diferidas es: PD = 52.4007 + 73.2503 + 24.2545 = 149.9055 MPa Que representa una pérdida en porcentaje:
R
= η = 2690.4929 P
P
3045.8409
Dando una relación entre la fuerza inicial y final de: R = 0.8833 = 11.67% de pérdida
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A continuación se muestra en forma gráfica las pérdidas instantáneas y diferidas para ambos cables, Fig. 8.7.
PERDIDAS INSTANTÁNEAS Y DIFERIDAS x = 11.0530
x = 11.0530
fo = 1405.4963 MPa
fo = 1405.4963 MPa
1400 fmax = 1300.5436 MPa 1300 fCL = 1284.9047 MPa 1200
fh = 1195.5910 MPa
fh = 1195.5910 MPa
fmax = 1150.6381 MPa fCL = 1134.9992 MPa
1100 fh = 1045.6855 MPa
fh = 1045.6855 MPa
1000
12.70
12.70
Figura 8.7 Pérdidas instantáneas y diferidas en el cable
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8.4.7 Cálculo del momento de sujeción en las pilas A continuación se procede a determinar el coeficiente o factor de fluencia φ para diferentes edades y tener un conocimiento de la variación del mismo a lo largo del tiempo. Cálculo del factor de fluencia Los gráficos para la obtención del factor de fluencia están dados en unidades inglesas, las cuales proporcionan al final un factor adimensional φ, por lo tanto se calculara el valor de este con sus propias unidades, para evitar la transformación a otra unidad y cometer un error mayor acumulativo. El módulo elástico longitudinal del concreto, para a los 7 días de vaciada la viga es: 3
E ci
= 33·w 2 ·
3
f ci
= 33·(152 .8848) 2 ·
3573 .7019
Efectuando operaciones se tiene: Eci = 3729233.4031 psi Del gráfico, para una fluencia a 20 años, se tiene: 0.4·10-6 in/in/psi Ajustando el valor de fluencia para la edad de inducción de la fuerza, 7 días: 1.37·0.4·10-6 in/in/psi
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Calculando la relación volumen – superficie: V = 100 cm · 4580 cm² =458000 cm³ = 27948.8748 in³ S = 100 cm · (60 + 50 + 2·17.5 + 2·15 + 2·25.8070 + 2·16.7631 + 2·112.5) cm = 48514.01 cm² = 7519.6881 in² La relación V/S = 3.7168 in Del gráfico correspondiente se tiene el valor de corrección = 1.23 1.23·1.37·0.4·10-6 in/in/psi La continuidad se hace efectiva a los 28 días y según el diagrama de fluencia final con el tiempo se ve que el 40% de la fluencia ya ha tenido lugar, dejando un restante del 60% para producirse. 0.60·1.23·1.37·0.4·10-6 in/in/psi Luego el valor de φ,será: φ = ε c ·E ci
= 0.60·1.23·1.37·0.4·10 −6 ·3729233.4031
Realizando las operaciones correspondientes se tiene: φ = 1.5082
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Finalmente los valores necesarios para su aplicación en la fórmula general son: 1 − e −φ 1 − e −1.5082 = 1.5082 = 0.5163 φ
1 − e −φ
= 1 − e −1.5082 = 0.7787
Cálculo del momento de sujeción por fluencia La continuidad se hace efectiva a los 28 días, después del tesado, asumiendo que la viga estará sometida a una humedad relativa del 70% y que la retracción última será de 0.6·10 -3, para una humedad relativa del 50%.
ε s
= 0.6·10 −3 ·0.40·0.73 = 0.1752·10 −3
Por tanto el momento de sujeción por retracción es:
M s
t = ε s · E b · Ab · e´'2 + = 0.1752·10 −3 ·23729154.1320·4940·10 −4 ·( 46.3520 + 9.5)·10 −2 2
Operando se tiene: Ms = 1147.0492 KN·m Se considera que el total de la retracción se produce en menos de 90 días luego del vaciado, por lo tanto, el espesor de la losa será de 19 cm, puesto que en los primeros 60 días no se produce un desgaste significativo de la losa por la circulación de los vehículos
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Tomando en cuenta el desgaste de la capa de rodadura de 2 cm, se calcula la retracción con el nuevo espesor de la losa, 17 cm debido al desgaste sufrido, en un tiempo mayor o igual a 1 año de servicio. El momento de sujeción se obtiene mediante la expresión expuesta en el capítulo 1, sección 1.3.5, caso a) es:
M Sujecion
−φ = [0.8572· P ·e − 0.8572· M D ]·(1 − e −φ ) −1.2857· M s ·1 − e φ
Donde: P
= 2690.4929 KN
MD
= 2128.1796 KN·m
Ms
= 1147.0492 KN·m
e
=
98.0118·10-2 m
Reemplazando y calculando se obtiene: Msujeción = -421.7954 KN·m Momento que actuará en las pilas en etapa final solicitando el tramo intermedio en su totalidad y a los tramos exteriores con solo el 50% del mismo. El diseño se realiza para las vigas exteriores, debido a que el momento por carga viva y barandado es mayor que en el tramo interno.
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Debido a la importancia y magnitud de esta solicitación, se muestra en la Tabla 8.12 el decremento de la fuerza de ambos cables debido a las pérdidas diferidas que ocurren en él. Se asumen las pérdidas en porcentajes respecto del total, donde se considera que la pérdida total se produce en un lapso de 3 años aproximadamente, con una variación según ensayos realizados por [Naaman and Hamza, 1993], además de tomar en cuenta la relación PPR (Relación de pretensado parcial), aproximadamente 0.8 para nuestro caso:
Edad 45 Días 60 Días 1 Año 5 Años 20 Años
Pinicial 3045.8409 3045.8409 3045.8409 3045.8409 3045.8409
Pfinal 2690.4929 2690.4929 2690.4929 2690.4929 2690.4929
P.Diferidas %P. Ocurridas 355.3480 70.0000 355.3480 75.0000 355.3480 95.0000 355.3480 100.0000 355.3480 100.0000
Pfinal 2797.0973 2779.3299 2708.2603 2690.4929 2690.4929
Tabla 8.12 Variación de la fuerza de tesado en el tiempo Asumidos los porcentajes de pérdidas mostrados en la anterior tabla y calculados los valores de ηP para edades distintas, se calcula a continuación la variación del momento de sujeción en las pilas a lo largo del tiempo, tal como muestra la Tabla 8.13. Edad 15 Días 30 Días 1 Año 5 Años 20 Años
Pfinal 2797.0973 2779.3299 2708.2603 2690.4929 2690.4929
0.3869 0.4856 0.8061 1.2254 1.5082
Msujecion -1054.3327 -971.7225 -762.8005 -542.0102 -421.7954
Tabla 8.13 Variación del momento de sujeción en el tiempo
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La Fig. 8.8 muestra en forma gráfica la variación del momento de sujeción que ocurre en las pilas.
Msj = -1054.3327 (15 Días) Msj = -971.7225 (30 Días)
Msj = -762.8005 (1 Año)
Msj = -542.0102 (5 Años)
Msj = -421.7924 (20 Años)
Figura 8.8 Decremento del momento de sujeción en el tiempo
8.4.8 Verificación tensiones en etapa inicial T = 0 y Etapa final T = OO En la primera etapa, luego de las pérdidas instantáneas actúa la carga inicial, que provocará tensiones en la viga, las cuales deberán estar dentro de las tensiones admisibles propuestas por la norma ASSHTO. En la etapa final descontando las pérdidas diferidas, se tiene:.
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T=0
σ s
σ i
=
3045.8409·10 −3 4491 .6427·10 −4
3045.8409·10 −3 ·59 .19·10 −2 − 163268 .2654·10 −6
2128.1796·10 −3 + 163268 .2654·10 −6
=
3045.8409 ·10 −3 4491.6427 ·10 −4
3045 .8409·10 −3 ·59 .19·10 −2 + 188006 .44·10 −6
2128.1796 ·10 −3 − 188006.44·10 −6
= 8.7738 MPa
= 5.0506 MPa
T = OO
σ s
= 9.2710 +
(1207 .2683 − 421 .7954·0.5)·10 −3 709762 .61·10 −6
(1207 .2683 − 421 .7954·0.5)·10 −3 σ i = 3.1408 − 304080.4528·10 −6
= 10.6748 MPa
= −0.1359 MPa
Tensiones que están dentro de las admisibles impuestas por la norma ASSHTO. Por tanto la viga se encuentra en la clasificación de pretensado Clase II.
8.4.9 Cálculo de la armadura de refuerzo para momento negativo sobre las pilas A las solicitaciones debidas a la carga viva más impacto, y el barandado se suma la solicitación por retracción y fluencia (Ver Fig. 8.8): MCV+I
= -1062.2748 KN·m
Momento por carga viva más impacto
Msj
= -1054.3327 KN·m
Momento de sujeción por fluencia y retracción
MCM
=
Momento por carga muerta
52.1351 KN·m
Con los datos anteriores calculamos el momento último, perteneciente al grupo IV de la tabla de combinaciones, propuesta por la AASHTO 92:
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Mu = 1.30·(52.1351 – 1054.3327 – 1062.2748) = -2683.8142 KN·m Del mismo modo se procede para el cálculo del momento último, a cada décimo de la luz, como se muestra en la Tabla 8.14:
Tramo A 2.55 5.10 7.65 10.20 12.75 15.30 17.85 20.40 22.95 B 2.59 5.18 7.77 10.36 12.95
M.C.M. 0.0000 752.8587 1332.6080 1753.6158 2004.7673 2089.3515 2015.1943 1774.4699 1363.8890 794.5668 52.1351 799.0416 1373.0028 1788.3868 2034.0785 2113.3672
Msujeción 0.0000 -105.4333 -210.8665 -316.2998 -421.7331 -527.1663 -632.5996 -738.0329 -843.4661 -948.8994 -1054.3327 -1054.3327 -1054.3327 -1054.3327 -1054.3327 -1054.3327
M.C.V Max. 0.0000 578.7884 969.3643 1185.7911 1277.3135 1246.0964 1113.2846 861.6955 523.5894 216.7547 188.5223 196.2311 562.2236 847.9146 1021.4433 1064.4403
M.C.V. Min . M.Maximo U. M.Minimo U. 0.0000 0.0000 0.0000 -59.0449 1594.0780 764.8947 -118.0967 2718.4375 1304.7382 -177.1485 3410.0393 1638.2178 -236.2020 3718.4521 1750.8820 -295.2469 3650.7660 1647.0198 -354.2987 3244.6431 1336.7849 -413.3436 2467.5723 810.0214 -472.4022 1357.2160 62.4269 -531.4471 81.1487 -891.5137 -1062.2748 -1057.7778 -2683.8142 -654.1939 -76.7780 -1182.3305 -560.5720 1145.1619 -314.4724 -466.9483 2056.5593 347.2375 -385.2434 2601.5459 772.8532 -360.2995 2760.5172 908.3555
Tabla 8.14 Envolvente de momentos Diseño de la armadura de refuerzo De los ensayos realizados por la P.C.A. se observó que la falla a compresión se producía en la parte inferior de las vigas prefabricadas, por lo tanto la resistencia a compresión del concreto, será de 35 MPa. La resistencia característica del acero no será mayor a 420 MPa, según lo especificado por la norma AASHTO 1992.
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Materiales: f ck =
35 MPa
f yk = 420 MPa Mu
= 1341.9071 KN·m
d
=
1.7350 m
φ
=
0.90 (Factor de reducción por eventualidades en la resistencia del cemento)
Donde, µ esta dado por la siguiente relación:
µ =
M u φ ·0.85· f c' ·b·d 2
=
1341.9071·10 −3 0.90·0.85·35·0.60·1.7350 2
Operando, se tiene: µ = 0.0277
Y la relación a/d, se obtiene de la siguiente expresión: a d
=1 −
Efectuando operaciones se tiene: a = 0.0487 m = 4.8744 cm
1 − 2·µ = 1 − 1 − 2·0.0277
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Donde finalmente la cantidad de acero de refuerzo esta dada por la ecuación:
A s
=
0.85· f c' ·a·b f y
=
0.85·35·0.0487·0.60 420
·10 4
Efectuando operaciones: As = 20.6975 cm² Se colocará una capa de barras de refuerzo, que cubran el 50% del momento (φ16c/25) y el momento restante, será cubierto también por (φ16c/25). El recubrimiento es realizado, según lo expuesto en la gráfica de la Fig. 8.9 Longitudes de anclaje La varilla de refuerzo debe contar con la longitud de anclaje ld suficiente para evitar una falla por adherencia. La longitud de anclaje se realizará mediante la norma ACI: La longitud de varillas en tensión esta determinado por la siguiente relación:
l db
= 0.04 ⋅
Ab ⋅ f y f ' c
Donde: A b
= Esta dado en pulg2
f y
= 60915.8498 PSI (420 MPa) valores constantes para el proyecto
f c
= 3045.7925 PSI (21 MPa)
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Se muestran a continuación las longitudes de anclaje para cada diámetro, según se observa en la Tabla 8.15:
LONGITUD DE ANCLAJE Denom. de la varilla 1 2 3 4 5 6 8
Denom. 1/4 5/16 3/8 1/2 5/8 3/4 1
Diámetro [pulg] 0.2500 0.3125 0.3750 0.5000 0.6250 0.7500 1.0000
[mm] 6.3500 7.9375 9.5250 12.7000 15.8750 19.0500 25.4000
Area [p²] 0.0491 0.0767 0.1104 0.1963 0.3068 0.4418 0.7854
fy [PSI] 60915.8498 60915.8498 60915.8498 60915.8498 60915.8498 60915.8498 60915.8498
f'c [PSI] 3045.7925 3045.7925 3045.7925 3045.7925 3045.7925 3045.7925 3045.7925
ldb [cm] 5.505 8.601 12.386 22.019 34.405 49.543 88.077
Longitud asumida L. Inferior L. Superior 6 9 9 13 13 19 23 33 35 50 50 71 89 125
Tabla 8.15 Longitud de anclaje según el diámetro de la barra Estas longitudes se comparan con las siguientes, y se eligen las mayores, según lo expuesto en la Tabla 8.16: Denom. de la varilla 1 2 3 4 5 6 8
Diámetro [p] 0.25 0.31 0.38 0.50 0.63 0.75 1.00
d [cm] 173.50 173.50 173.50 173.50 173.50 173.50 173.50
12db [cm] 7.20 9.60 12.00 14.40 19.20 24.00 30.00
lni [cm] 165.00 165.00 165.00 165.00 165.00 165.00 165.00
lnd [cm] 160.00 160.00 160.00 160.00 160.00 160.00 160.00
Tabla 8.16 Longitud de anclaje de barras corrugadas Cabe recalcar que para la longitud de anclaje en tramos, se elegirán el mayor de d y 12 b. Para el caso de longitudes de anclaje en apoyos donde la armadura traccionada se encuentra en la parte superior de la viga, se elegirá el mayor de d, 12 b y ln (izquierda (i), derecha (d)).
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De la Tabla 8.16 se asume una longitud de anclaje de 173.5 cm para el refuerzo negativo sobre los apoyos.
8.4.10 Diseño de diafragma En los apoyos extremos se necesitan diafragmas o vigas transversales para apoyar la losa del tablero en el borde, porque sino allí sería sobresolicitada. Las losas en voladizo también necesitan por lo menos un refuerzo de borde en el extremo. En los apoyos intermedios de vigas continuas se puede prescindir de vigas transversales, siempre que no sean utilizadas como dinteles de pórtico, sobre columnas individuales, para absorber los esfuerzos de viento o para rigidizar las vigas principales a torsión. Es condición previa que las almas apoyen en todo su ancho, mediante apoyos lineales o empotramiento. En el tramo las vigas transversales siempre son indicadas para distribuir las cargas, cuando existan más de dos vigas principales. Con ello se obtiene emparrillados de vigas. El mejor efecto de distribución de cargas se obtiene con una viga transversal en l/2. Dos vigas transversales en l/3 son aproximadamente equivalentes; más vigas transversales no tienen objeto. Las solicitaciones en el diafragma se realizan a partir del teorema de Courbon, donde se supone al diafragma como una viga rígida apoyada sobre apoyos elásticos.
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En la siguiente sección transversal se muestra los apoyos elásticos y la viga de gran rigidez (Diafragma), Ver Fig. 8.10.
Diafragma o Vigas transversales
Figura 8.10 Sección transversal diafragma Donde claramente se observan tres apoyos y dos tramos.
β
Donde la formula para determinar la reacción de cada apoyo está dada por la siguiente expresión: Ri
=
P
n + 1 − 2·i · β 1 + 6· 2 n n − 1 s
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Donde: n
= Número de apoyos elásticos
β
= Distancia medida a partir del centro de gravedad de la sección
s
= Distancia entre ejes de apoyos
Cálculo de líneas de influencia de las reacciones A partir de la ecuación anterior, se calcula la línea de influencia para cada apoyo. Para el caso del apoyo 1, se realiza el cálculo en forma detallada, como se tiene a continuación: P
=1
n
= 3 (Número de apoyos)
i
= 1 (Por ser apoyo designado como 1)
β
= -s, 0, s (Distancia medida a partir del centro de gravedad de la sección)
Reemplazando los datos correspondientes en la ecuación anterior se tiene:
R1
1 3 + 1 − 2·1 β 1 3 β = ·1 + 6· · = ·1 + · 3 9 −1 s 3 2 s
Que para diferentes valor de β en función de s, se tiene: R 1,s
= 5/6
R 1,0
= 1/3
R 1,-s
= -1/6
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De igual manera se procede para la obtención de la línea de influencia de las reacciones en 2 y 3. R 2,s
= 1/3
R 2,0
= 1/3
R 2,-s
= 1/3
R 3,s
= -1/6
R 3,0
= 1/3
R 3,-s
= 5/6
En forma esquemática se muestra las líneas de influencia de las reacciones:
3 3 3 3 . 0
3 4 7 4 . 0
3 3 3 8 . 0
x = 0.7333
7 6 6 1 . 0 -
3 3 3 8 . 0
L.I. Reacción R1
3 3 3 3 . 0 3 3 3 3 . 0
L.I. Reacción R2 L.I. Reacción R3
Cálculo del momento máximo
7 6 6 1 . 0 -
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Y el momento máximo esta dado a una distancia del centro de gravedad de la viga, denominada x: x=e+d Y
e
s
d
6
2
= −
Donde: s
= Distancia entre apoyos elásticos
d
= Distancia de una rueda interior a la resultante del conjunto de todas las ruedas
Reemplazando los valores correspondientes según las características del proyecto, se tiene:
e
=
2.60 6
−
0.60 2
Realizando las operaciones correspondientes se tiene: e = 0.1333 m Y el momento máximo se produce en: x = 0.60 + 0.13 Operando se tiene:
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x = 0.7333 m Se calcula ahora la reacción máxima que produce el tren de cargas, sobre el diafragma, sabiendo que este se ubica a 4 metros a partir del centro de la viga.
3 6 6 4 . 0
0 0 0 0 . 1
0 2 1 5 . 0
Con las ordenadas calculadas, se tiene una reacción máxima en el diafragma debido a la carga viva igual a: R CV = 71.20·(0.4663·0.25 + 1.00 + 0.5120) = 115.9545 KN El impacto, se calcula con la expresión propuesta por la AASHTO, donde la longitud de cálculo es 25.50 metros.
I =
Realizando operaciones se tiene:
15.24 38.10 + 25.50
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I = 0.2396 Por tanto la reacción máxima producida por la carga viva más el impacto, es: R CV+I = 115.9545·(1+0.2396) = 143.7372 KN Cálculo de la línea de influencia (en x = 0.7333 m)
-
Para β > 0.7333
El momento esta dado por la siguiente relación: M = 1.8667·R 1 – (β – 0.7333) Reemplazando β = 2.60, el momento es: M1 = -0.3112
-
Para β < 0.7333
El momento esta dado por la relación: M = 1.8667·R 1 Reemplazando β = 0.7333, 0, -2.60 se tiene respectivamente:
Mx = 0.8854
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M0 = 0.6222 M-s = -0.3112 En forma esquemática el diagrama de momentos es:
2 9 3 2 . 0
2 1 1 3 . 0 -
6 1 9 1 . 0 -
6 4 5 4 . 0
2 2 2 6 . 0
4 5 8 8 . 0
L.I. Momento máximo
2 1 1 3 . 0 -
4 8 6 2 . 0 -
Con las ordenadas colocadas adecuadamente se calcula el momento máximo producido por la carga viva más impacto sobre el diafragma: M = 143.7372·(-0.1916 + 0.4546 + 0.8854 – 0.2684) = 126.4887 KN·m El momento último para el diseño de acero de refuerzo es: Mu = 1.30·1.67·126.4887 = 274.6070 KN·m Cálculo del acero de refuerzo a flexión El diafragma se comporta como una sección T, debido a que la losa superior es vaciada en forma monolítica con el diafragma, por tanto se calcula el ancho de compresión para el diseño del refuerzo:
El ancho efectivo es la menor dimensión de las 3 condiciones siguientes:
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be = bo + 12·hf = 0.20 + 12·0.17 = 2.24 m be = L/4 = 2.60/4 = 0.65 m be = L/2 = 8.00/2 = 4.00 m Por lo tanto el ancho efectivo, be = 0.65 m. Se procede al diseño de la armadura: Materiales: f ck =
21 MPa
f yk = 420 MPa Mu
= 274.6070 KN·m
d
=
1.4450 m
φ
=
0.90 (Factor de reducción por eventualidades en la resistencia del cemento)
Donde, µ esta dada por la siguiente relación:
µ =
M u ' 2 φ ·0.85· f c ·b·d
=
274.6070·10 −3 0.90·0.85·21·0.65·1.4450 2
Operando, se tiene: µ = 0.0126
Y la relación a/d, se obtiene de la siguiente expresión: a d
=1 −
Efectuando operaciones se tiene:
1 − 2·µ = 1 − 1 − 2·0.0126
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a = 0.0183 m = 1.8323 cm Donde finalmente la cantidad de acero de refuerzo esta dada por la ecuación:
A s
=
0.85· f c' ·a·b
f y
=
0.85·21·0.0183·0.65 420
·10 4
Efectuando operaciones: As = 5.0554 cm² Por tanto se colocará 2φ16 más 1φ12, armadura que deberá ir en toda la longitud del diafragma. En la parte superior del diafragma, se colocarán 2φ10. Armadura de piel Debido al peralte del diafragma, se colocará armadura de piel, calculada según la siguiente ecuación: Si h > 90 cm, la armadura de piel en cada cara esta dada por:
A p
Operando se tiene: Ap = 7.33 cm²/m
= 0.10·(149.50 −76.20)
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Por tanto se colocará como armadura de piel φ12c/15, en ambas caras. Cálculo del cortante máximo El cortante máximo se produce cargando sobre la línea de influencia de R 1, tal como se muestra en el siguiente esquema.
4 6 5 2 . 0
7 6 6 1 . 0 -
8 9 8 0 . 0 -
3 3 3 3 . 0
1 7 8 4 . 0
3 3 3 8 . 0
L.I. Reacción R1
El cortante máximo será: Q = 143.7372·(-0.0898 + 0.2564 + 0.4871 + 0.8333) = 213.7372 KN El cortante último es: Qu = 1.30·1.67·213.7372 = 464.0235 KN Cálculo del acero de refuerzo a corte El momento último concomitante con el corte último calculado anteriormente es cero, por lo que se procede al diseño, según los datos y materiales que se tiene:
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Materiales: f ck =
21 MPa
f yk = 420 MPa Qu
= 464.0235 KN·m
φ
=
0.85 (Factor de reducción por eventualidades en la resistencia del cemento)
Geometría: bw = 0.20 m d
= 1.47 m
El corte absorbido solo por el concreto, esta dado por la siguiente expresión:
V c
= 0.166·
f c' ·bw ·d
= 0.166·
21·0.20·1.47
Realizando operaciones se tiene: Vu = 223.6480 KN Donde el acero de refuerzo, deberá absorber:
V s
Simplificando se obtiene: Vs = 322.2620 KN
=
V u φ
−V c =
464.0235 0.85
− 223.6480
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Cortante que es menor a:
V ' s
= 0.332·
f c' ·bw ·d
= 0.332·
21·0.20·1.47
Realizando operaciones aritméticas se tiene: V’s = 447.2960 KN Por tanto la separación de los estribos, será de 60 cm, Eφ10c/60.
8.4.11 Diseño de losa interior El espesor de la losa de calzada, esta dada por la siguiente relación:
h
=
Lc
+ 3.05 30
Donde: Lc
= 2.00 m (Luz de cálculo libre en losa apoyada sobre vigas pretensadas)
Reemplazando en la expresión anterior, se tiene:
h
=
2.00 + 3.05
Efectuando las operaciones correspondientes: h = 0.1683 m Asumiendo en definitiva h = 0.17 m
30
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Se da un recubrimiento para la capa de rodadura de 2.00 cm, espesor con el que calculamos el peso propio de la losa por metro. gLosa = 24·0.19 = 4.56 KN/m El momento por peso propio, según el reglamento será: MgLosa = 4.56·2²/10 = 1.8240 KN·m El momento por carga viva más impacto es:
M CV + I
2.00 + 0.61 ·71.20·0.80 9.75
=
Operando aritméticamente se tiene: MCV+I = 15.2478 KN·m El momento último será: Mu = 1.30·(1.8240 + 1.67·15.2478) = 35.4742 KN·m Diseño del acero de refuerzo Geometría b = 1.00 m d = 0.1450 m
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Materiales: f ck =
21 MPa
f yk = 420 MPa Mu
=
φ
=
35.4742 KN·m 0.90 (Factor de reducción por eventualidades en la resistencia del cemento)
Donde, µ esta dada por la siguiente relación:
µ =
M u φ ·0.85· f c' ·b·d 2
=
35.4742·10 −3 0.90·0.85·21·1·0.1450 2
Operando, se tiene: µ = 0.1050
Y la relación a/d, se obtiene de la siguiente expresión: a d
=1−
1 − 2·µ = 1 − 1 − 2·0.1050
Efectuando operaciones se tiene: a = 0.0161 m = 1.6125 cm Donde finalmente la cantidad de acero de refuerzo esta dada por la ecuación:
0.85· f c' ·a·b A s = f y
= 0.85·21·0.0161·1.00 ·10 4 420
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Efectuando operaciones: As = 6.8425 cm² Donde se asume un refuerzo de φ10c/11, tanto en el tramo como en el apoyo. Cálculo de la armadura de distribución La armadura de distribución para el refuerzo perpendicular al tráfico, esta dado por la siguiente desigualdad.
D
=
1 .22 Lc
=
1.22 2.00
≤ 0.67
Operando se tiene: 0.8627 >0.67 Por tanto el porcentaje de refuerzo será: AD = 0.67·6.8425 = 4.5845 cm² Se colocará un refuerzo o armadura de distribución igual a φ10c/16.5
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8.4.12 Diseño losa exterior La losa exterior, se diseña en el punto a según indica la Fig. 8.11
0.6365 KN/m
P1 P2
P3 P4
A
Figura 8.11 Losa exterior Donde Los valores de Pi, se calcula a continuación: P1 = 24·0.35·0.12·1.00
= 1.0080 KN
P2 = 24·0.5·0.35·0.03·1.00
= 0.1260 KN
P3 = 24·0.25·0.44·1.00
= 2.6400 KN
P4 = 24·0.19·0.60·1.00
= 2.7360 KN
Donde el momento por peso propio, esta dado por: Mg = 1.0080·1.0250 + 0.1260·0.9667 + 2.6400·0.7250 + 2.7360·0.3000 + 0.6365·1.1500 Mg = 4.6218 KN·m
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El ancho de distribución E, será: E = 0.80·0.80 + 1.14 = 1.78 Y el momento por caga viva más impacto es, según se observa la Fig. 8.12: MCV+I = 71.20·0.80·1.30/1.78 = 41.60 KN·m
P
A
Figura 8.12 Carga viva en losa exterior El momento último será: Mu = 1.30·(4.6218 + 41.60) = 60.0883 KN·m
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Diseño del acero acero de refuerzo refuerzo Geometría b = 1.00 m d = 0.1450 m Materiales: f ck ck =
21 MPa
f yk yk = 420 MPa Mu
=
φ
=
60.0883 KN·m 0.90 (Factor de reducción por eventualidades en la resistencia del cemento)
Donde, µ esta dada por la siguiente relación:
µ =
M u φ ·0.85· f c' ·b·d 2
=
60.0883·10 −3 0.90·0.85·21·1·0.1450 2
Operando, se tiene: µ = 0.1779
Y la relación a/d, se obtiene de la siguiente expresión: a d
=1−
1 − 2·µ = 1 − 1 − 2·0.1779
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Efectuando operaciones se tiene: a = 0.0286 m = 2.8619 cm Donde finalmente la cantidad de acero de refuerzo esta dada por la ecuación:
A s
=
0.85· f c' ·a·b f y
=
0.85·21·0.0286·1.00 ·10 4 420
Efectuando operaciones: As = 12.1550 cm² Se coloca acero de refuerzo φ10c/5.5
8.4.1 8.4.133 Diseñ Diseñoo a corte corte Se diseña a corte a una distancia de 0.1·L1 = 2.51 m, a partir del apoyo A, medido desde el eje de la viga. No se realiza el diseño a 0.5·h, debido a que en ese punto la sección es maciza y por lo tanto no será necesaria armadura de refuerzo. El diseño de los demás puntos se mostrará en forma resumida en una tabla más adelante. Cálculo del cortante último V u Se halla la línea de influencia en el punto m, situado a una distancia de 2.51 (L1/10), a partir del eje del apoyo de la viga hiperestática. Se calcula la línea de influencia en una viga isostática de luz 25.10 m. a una distancia de 2.51 metros medidos a partir del eje del apoyo.
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Con los valores de la Tabla 8.4 y Tabla 8.6, se determina el valor de Vu, donde el cortante debido al peso propio de la viga, losa, encofrado y diafragma es: Q pp
= 110.3597 KN
Qd
=
Ql
= 138.6122 KN
Qe
= 12.2760 KN
7.5612 KN
El cortante que actúa sobre la estructura hiperestática es: QCV
= 228.8088 KN
Q b
=
Qde
= -9.3406 KN
3.2413 KN
Finalmente el cortante último será: Vu = 1.30·(110.3597+7.5612+138.6122+12.2760+3.2413-9.3406+1.67·228.8088) Vu = 838.2666 KN Cálculo de f pe pe La fuerza en el tendón en etapa final para una distancia de 2.51 m a partir del eje de la viga, se obtiene de la tabla 8.7: α = 0.0832 (Ángulo en radianes del tendón en el punto en estudio) ηP = 2476.4450 KN η P η P ·e 2476.4450·10−3 2476.4450·10−3 ·25.0660·10 −2 f pe = + = + A W i , ss 4491.6427·10− 4 186623.2158·10− 6
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Efectuando operaciones se tiene: f pe = 8.8396 MPa Cálculo de f d El valor de la tensión debido a las cargas muertas no mayoradas en la fibra que es traccionada es: (391.4063 + 18.9408 + 34.6643)·10−3 (9.6449 − 27.7938)·10−3 f d = + 186623.2158·10− 6 268705.2883·10− 6 Operando se obtiene: f d = 2.3170 MPa Cálculo de M cr El valor de Mcr , esta determinado por la relación: M cr
=186623 .2158·10 −6 ·(0.5·
35
+8.8396 − 2.3170)·10 3
Efectuando operaciones: Mcr = 1769.3162 KN·m Cálculo de M max
El momento Mmax, es el momento máximo mayorado en la sección en estudio, debido a las cargas externas, que ocurren simultáneamente con Vi.
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De la siguiente expresión se obtiene: M max = 1.3·(391.4063 + 18.9408 + 34.6643 + 9.6449 − 27.7938 + 1.67·578.7884)
Operando aritméticamente se tiene: Mmax = 1808.9629 KN·m Cálculo de V i Fuerza de corte mayorada en la sección debido a las cargas externas. V i = 1.3·(138.6122 + 7.5612 + 12.2760 + 3.2413 − 9.3406 + 1.67·228.8088)
Realizando operaciones se tiene: Vi = 693.8077 KN Cálculo de V d Fuerza de corte en la sección debido a las cargas muertas no mayoradas. V d = 110.3597 + 138.6122 + 7.5612 + 12.2760 + 3.2413 − 9.3406
Realizando operaciones se tiene: Vd = 262.7099 KN
Cálculo de V ci
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La resistencia nominal al corte del Hº, cuando se presenta fisuración diagonal por corte – flexión. V ci = 0.05· 35·0.18·1.79·103 + 262.7099 +
693.8077·1769.3162 1808.9629
Efectuando operaciones se obtiene: Vci = 1036.6195 KN Cálculo de f pc Resultante de los esfuerzos de compresión en el centroide de la sección compuesta debido al pretensado y los momentos resistidos por el elemento prefabricado. 2476.4450·10−3 2476.4450·10−3 ·25.0660·10−2 (391.4063 + 18.9408)·10−3 f pc = − + 32575108.1703·10−8 32575108.1703·10−8 4491.6427·10− 4 41.8105·10− 2 41.8105·10− 2 Operando aritméticamente se obtiene: f pc = 5.2434 MPa Cálculo de V p El valor de la componente vertical debido al pretensado es: V p
Operando de tiene: V p = 206.5425 KN
=1048.3291·24·0.9877·10 −4 ·10 3 ·Sen(4.7561)
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Cálculo de V cw Cortante exterior, bajo el cual es probable la ocurrencia del agrietamiento por cortante en el alma es: V cw = (0.29· 35 + 0.30·5.2434)·0.18·1.79·103 + 206.5425
Donde el valor de Vcw es: Vcw = 1266.1564 KN Cálculo de V s El cortante que deberá absorber el refuerzo a corte, será: V s
=
838.2666 0.9
−1036.6195
El valor de Vs, será: Vs = -105.2122 KN Por tanto, se colocarán estribos Eφ10c/60, en toda la longitud de la viga.
8.4.14 Diseño del bloque de anclaje
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Esta alternativa, denominada convencional, induce las fuerza de tesado en una sola etapa, en la cual se aplica la fuerza total con 2 tendones ubicados a 13.50 cm por encima y debajo del centro de gravedad de la sección simple. Donde la fuerza inducida por cada tendón en etapa inicial es: F = 2834.1246 KN Debido a la trayectoria parabólica del tendón, este tiene un ángulo de inclinación es cual es: α = 5.3253º
La Figura 8.13 muestra en forma esquemática la posición y magnitud de la fuerza inducida y su descomposición en sus componentes horizontales y verticales.
2834.1246 KN
5 6 . 1
2821.8920 KN 263.0358 KN
0.30
1.65
0.30
Figura 8.13 Fuerzas inducidas sobre el bloque de anclaje La fuerzas inducidas por los tendones generan una tensión sobre la cara ubicada a una distancia de 1.80 m a partir del punto de aplicación de la carga. Dando como resultado una variación lineal a lo largo de la sección, según la expresión siguiente: 2821.8920·10 −
3
σ =
4
263.0358·1.80·10 −
3
±
6
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Operando se obtiene: σI = 1.3336 MPa σII = 5.5074 MPa
En forma gráfica se muestra en Figura 8.14:
1.3336 MPa
2834.1246 KN
5 6 . 1
2821.8920 KN 263.0358 KN σ
x 4.1738 MPa 5.5074 MPa
y
Figura 8.14 Variación de tensiones sobre el bloque de compresión
A partir de los datos de Figura 8.14, se determinan las siguientes expresiones para el cálculo del momento a lo largo de la altura de la sección, Ver Figura 8.15.
σ = 5.5074 −
4.1738· x 1.65
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=
CG
=
y
M
+ x 2 · y 6· x·σ +3· x· y
3·σ · x 2
4.1738· x 1.65
1 = ·(σ + 5.5074)·( 0.50· x )·( x − CG ) 2
8.2278 KN·m 35.7093 KN·m 86.7312 KN·m 165.5620 KN·m 5 6 . 1
2834.1246 KN
2821.8920 KN
276.4705 KN·m 345.2878 KN·m
818.7522 KN·m 685.5477 KN·m 450.1336 KN·m
263.0358 KN
259.6032 KN·m 118.2250 KN·m 30.2677 KN·m
Figura 8.15 Variación del momento sobre el bloque de anclaje Por tanto la tracción que se genera será:
T =
Operando aritméticamente se tiene: T = 661.6179 KN
818.7522 1.65 − 0.4125
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Y el refuerzo necesario será:
A
=
661.6179·10 −3 140
Efectuando operaciones: A = 47.2584 cm² Por tanto se colocará 2·11Eφ12c/7.5, más dos mallas de refuerzo en la zona de anclaje.
8.4.15 Verificación al momento de rotura La sección, estará compuesta por 2 tendones de 12T½” cada una y con armadura pasiva situada en la fibra más cercana a tracción (6φ10), con los cuales se calculará el momento de rotura:
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Cálculo de la altura a del bloque de compresión Determinado por la siguiente relación: 23.7048·10 −4 ·1861.5845 + 4.7124·10−4 ·420 2 a= ·10 0.85·35·0.7746·2.60 Operando se tiene: a = 7.6955 cm < 17 cm (Espesor de losa) Por tanto se tiene el caso de sección rectangular. Donde a partir de relaciones extraídas de las figuras anteriores se calcula la variación del momento a lo largo de la altura de la sección:
Cálculo del momento de rotura M n El valor de φMn, se calcula a partir de los valores siguientes: As* = 23.7048·10-4 cm² As =
4.7124·10-4 cm²
f c’ = 35 MPa
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f su* =1861.5845 MPa f sy = 420 MPa ρ* =
23.7048/(201.3960·172) = 6.8432·10-4
ρ =
4.7124/(201.3960·178) = 1.3145·10-4
dt =
1.78 m
d =
1.72 m
Reemplazando en la expresión:
* * ρ * · f su* d t · ρ · f sy d · ρ * · f su* ρ · f sy + A s · f sy ·d t 1 − 0.6· φ M n = φ A s · f su ·d 1 − 0.6· + + ' ' ' ' · · f d f d f f c c c t c Realizando operaciones se tiene: φMn = 7373.3677 KN·m
Momento que es mayor a 3774.2228 KN·m.
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