MENERAPKAN KONSEP FUNGSI KUADRAT Fungsi Kuadrat dan Grafiknya Bentuk umum fungsi kuadrat adalah: y = ax2 + bx + c
Dengan a ≠ 0 dan a,b,c bilangan real.
1. Grafik Fungsi Kuadrat Bentuk fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dipotongkan dengan sumbu X (y = 0), diperoleh ax2 + bx + c = 0. Bentuk ini merupakan persamaan kuadrat dalam x, sehingga nilai diskriminan dari ax2 + bx + c = 0 adalah :
D = b2 – 4ac Sifat diskriminan dibagi 3 yaitu : 1) D > 0, grafiknya memotong sumbu X di dua titik yang berlainan 2) D = 0, grafiknya menyinggung sumbu X 3) D < 0, grafiknya tidak memotong maupun menyinggung sumbu X Grafik fungsi kuadrat f (x) = ax2 + bx + c,a ≠ 0 adalah parabola. Untuk menggambarkan grafik y = f (x) = ax2 + bx + c, perhatikan langkah-langkah berikut! a. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu koordinat (jika ada). Memotong sumbu x jika y = 0 titik potongnya (x1,0) atau (x2,0) Memotong sumbu y jika x = 0 titik potongnya (0,c) b b. Menentukan persamaan sumbu simetri x = 2a - b D c. Menentukan titik puncak parabola = , 2a - 4a
Contoh: 1) Lukislah grafik y = Jawab: y =
1 2 x - x - 4, x R 2
1 2 x -x-4 2
Memotong sumbu x jika y = 0 1 0 = x2 - x - 4 2 2 x - 2x – 8 =0 (x - 4) (x + 2) =0 x = 4 atau x = -2 memotong sumbu x pada titik (4,0) atau (-2,0). Memotong sumbu y jika x = 0 1 y = . 02 - 0 - 4 = -4 2 memotong sumbu y dititik (0,-4) - b - (-1) 1 Sumbu simetri, x = 2a 1 2 2 -b Titik puncak (titik ekstrim 0 dicapai untuk x = 2a 1 x = 1 y = x2 - x - 4 2 1 1 y= (1)2 - 1 - 4 = -4 2 2 1
D b 2 - 4ac atau y = - 4a - 4a
(1)2 - 4 ( ) (-4) 2 1
-4( )
1 8 1 -4 -2 2
2
1 1 Karena a = (a > 0) maka parabola mempunyai titik puncak (1, - 4 2 2 ) yang merupakan titik balik minimum. Gambar:
2) Fungsi kuadrat f (x) = x2 - 2x – 3 dengan domain (x -2 ≤ x ≤ 5, x R}. Tentukan: a. daerah hasil; c. nilai minimum; b. pembuat nol fungsi; d. koordinat titik balik;
Jawab: f (x) = x2 - 2x – 3 sumbu simetri x =
- b - (-2) 1 2a 2 (1)
untuk x = 1 y = (1)2 - 2 (1) - 3 = -4, (ekstrim minimum karena a > 0) untuk x = -2 y = (-2)2 - 2 (-2) - 3 = 5 untuk x = 5 y - (5)2 - 2 (5) - 3 = 12 a. Daerah hasil {y -4 ≤ y ≤ 12, y R} b. Pembuat nol fungsi f (x) = 0 x2 - 2x - 3 =0 (x - 3) (x + 10) = 0 x = 3 atau x = -1 c. Nilai minimum y = -4 d. Koordinat titik balik (1, -4). 3) Sebuah roket ditembakkan vertikal ke atas tinggi setelah T detik (dalam meter) ialah h (t) = 30t - 5t2. a. Hitunglah tinggi maksimum! b. Setelah berapa detik mencapai tinggi maksimum? c. Bilamana tinggi roket sama dengan 20 meter Jawab: h (t) = 30t - 5t2 D b 2 - 4ac a. h maksimum = - 4a - 4a (30)2 - 4 (-5). 0 = 45 meter - 4 (-50) b. 30 t - 5t2 = 45 5 t2 - 30t + 45 = 0 t2 - 6t + 9 = 0 (t-3) (t-3) = 0 t =3 Jadi roket mencapai maksimum setelah dilepas 3 detik c. h (t) = 20 30t - 5t2 = 20 5t2 - 30t + 20 = 0 t2 - 6t + 4 = 0 t=3-
5 detik atau t = 3 +
5 detik
2. Syarat Fungsi Kuadrat Definit Positif dan Negatif Ciri-ciri parabola y = ax2 + bx + c dari tanda-tanda a,b,c,d. 1) a > 0, parabola membuka ke atas a < 0, parabola membuka ke bawah
2) Tanda b = tanda a, puncak di sebelah kiri sumbu y Tanda b = tanda 0, puncak pada sumbu y Tanda b ≠ tanda a, puncak di sebelah kanan sumbu y. 3) c > 0, parabola memotong sumbu y positif c = 0, parabola melalui pusat koordinat c < 0, parabola memotong sumbu y negatif 4) D > 0, memotong x di dua titik D = 0, memotong sumbu x di satu titik (menyinggung sumbu x) D < 0, tidak memotong sumbu x
Sketsa grafik fungsi kuadrat: 1) 2)
3)
4)
6)
5)
Dengan memperhatikan grafik di atas (gambar nomor 3) selalu positif (definit positif) dan gambar (nomor 6) selalu negatif (definit negatif) Jadi, 1. Syarat definit positif adalah a > 0 dan D < 0. 2. Syarat definit negatif adalah a < 0 dan D < 0. 3. Menentukan Titik Puncak dan Sifat Definit dengan melengkapkan Bentuk Kuadrat Bentuk Umum Fungsi Kuadrat adalah: f (x) = ax2 + bx + c
, dengan a ≠ 0 dan a, b, c bilangan nyata. -b Sumbu simetri adalah x = 2a - b D Koordinat titik puncaknya adalah , - 2a 4a
Ada 2 kasus yang berkaitan dengan nilai a 1) a > 0, berarti parabola terbuka ke atas dan mempunyai nilai minimum y = -b D untuk x = 2a 4a 2) a < 0, berarti parabola terbuka ke bawah dan mempunyai nilai maksimum y -b D =untuk x = 2a 4a Nilai maksimum atau minimum sering disebut juga nilai ekstrim 4. Membentuk Fungsi Kuadrat a. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di A (x1, 0) dan B (x2, 0), serta melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai: dengan nilai a ditentukan kemudian y = f (x) = a (x - x1) (x - x2) b. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di A (x1, 0) dan melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai: y = f (x) = a (x - x1)2
dengan nilai a ditentukan kemudian
c. Grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak atau titik balik P (xp, yp), dan melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai: y = f (x) = a (x - xp)2 + yp
dengan nilai a ditentukan kemudian
d. Grafik fungsi kuadrat melalui titik-titik A (x1, y1), B (x2, y2) dan C (x3, y3). Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai: y = f (x) = ax2 + bx + c kemudian
dengan nilai a, b, dan c ditentukan
Contoh: 1. Tentukan fungsi kuadrat bila grafiknya melalui titik-titik (0,3), (1,2), dan (1,2) Jawab: Misal y = ax2 + bx + c Melalui titik (0,3) 3 = a . (0)2 + b . 0 + c 3 =0+0+c 3 =c Diperoleh y = ax2 + bx + 3
Melalui titik (1,2) maka diperoleh: 2 = a (1)2 + b . (1) + c 2 =a+b+3 -1 = a + b … (1) Melalui titik (-1,2) maka diperoleh: 2 = a (-1)2 + b (-1) + c 2 =a-b+3 -1 = a - b … (2) Dari hasil eliminasi (1) dan (2) diperoleh a = -1 dan b = 0 Jadi fungsi kuadratnya adalah y = - x2 + 3 2. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik ( 2,0) dan (6,0) serta melalui (0,12). Jawab : Gunakan rumus y = a ( x - x1) ( x - x2 ) y = a ( x - 2 ) ( x - 6 ) …………….. (1) Karena fungsi kuadrat melalui ( 0,12 ) berarti nilai x = 0 dan y = 12. Selanjutnya nilai a ditentukan sebagai berikut ( 0,12 ) 12 = a ( 0 - 2 ) ( 0 - 6 ) 12 = a ( -2 ) ( -6 ) 12 = 12a a=1 Subtitusikan a = 1 ke persamaan (1) sehingga diperoleh y = 1 ( x - 2 ) ( x - 6) y = x2 - 6x - 2x + 12 y = x2 - 8x + 12 Jadi fungsi kuadratnya adalah y = x2 - 8x + 12 3. Tentukan fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak (1,1) dan melalui (0,2) Jawab : Gunakan rumus y = a ( x - xp)2 + yp y = a ( x - 1)2 + 1 ……………….(1) Fungsi kuadrat tersebut melalui ( 0,2 ) berarti nilai x = 0 dan y = 2 Selanjutnya nilai a ditentukan sebagai berikut. (0,2) 2 = a ( 0 - 1) 2 + 1 2=a(1)+1 a=1
Subtitusikan a = 1 ke persamaan (1) sehingga diperoleh y = 1 ( x - 1)2 + 1 y = (x2 – 2x + 1) + 1 y = x2 – 2x + 2 Jadi fungsi kuadratnya adalah y = x2 – 2x + 2
UJI PEMAHAMAN 1. Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut! a. f (x) = 2x2 c. f (x) = 3 (x - 1)2 - 2 b. f (x) = 2x2 + 2x – 4 d. f (x) = -x2 + 3 2. Tentukan persamaan sumbu simetri dan nilai ekstrim dari fungsi kuadrat berikut tanpa menggambar grafiknya! a. f (x) = (x - 1)2 + 6 b. f (x) = -2 (x - 4)2 – 16 3. Tentukan fungsi kuadrat yang melalui A (0,-16), B (8,0), C (-1, -9)! 4. Tentukan fungsi kuadrat yang mempunyai koordinat titik puncak (3,7) dan melalui titik (2,1)! 5. Tentukan fungsi kuadrat dari gambar dibawah ini
6. Jika suatu fungsi kuadrat mencapai minimum di titik (3,-2) dan grafiknya melalui titik (1,6), maka parabolnya memotong sumbu y di titik..... 7. Nilai minimum fungsi yang ditentukan oleh rumus f (x) = 2x 2 - 8x + p adalah 20. Nilai f (2) adalah … 8. Suatu parabola mempunyai titik balik maksimum (2,5) dan melalui titik (-1,13). Persamaan parabola itu adalah 9. Jika grafik fungsi f(x) = x2 – x + 1/4 memotong sumbu X di (p,0) dan memotong sumbu Y di (0,q), maka nilai p.q adalah …. 10. Persamaan kuadrat y = -x2 – 4x + 10 mempunyai titik puncak …