ANALYSE NUMERIQUE 2ème ANNEE (feuille de cours n°2) Résolution de Ax = b avec A matrice (n,n) et b vecteur de IR n .
I - Méthode de GAUSS Formules de passage de A (k) et b (k) à A (k+1) et b (k+1) pour i=1 à k +1) = a (k) pour j=1 à n a (k ij ij +1) = b (k) b (k i i pour i=k+1 à n (k) a (k) ik a kj (k + 1) (k) a ij =a ij − a (k) kk
pour j=k+1 à n (4)
a (k) b(k) (k + 1) (k) ik k bi =b i − (k) a kk
+1) = 0 a (k ij
pour j=1 à k
(5)
A(k)
b(k)
k
i
k
j
Valeurs de
A(k) et b (k) qui seront modifiées par les formules (4) et (5)
Valeurs de
+1) (k + 1) A (k) et b (k) intervenant dans les formules (4) et (5) pour calculer a (k et b i ij
Remarque : A(k +1) = M(k) A(k) 1
M(k) =
k=1 à n-1
α k +1 (k) α a ik k+2 = avec α i = − , i=k+1 à n M a (k) kk α n
k
1
b(k + 1) = M(k) b(k)
1 k
Algorithme de résolution phase d'élimination phase de remontée pour k = 1, n-1 faire b xn ← n
pour i = k+1, n faire
a nn
pour k = n-1, 1 faire S ← bk
a
r ← ik a kk pour j = k+1, n faire
pour j = k+1, n faire S ← S - a kj * x j
a ij ← a ij - r* a kj bi
←
S
xk ←
b i - r*b k
a kk
Coûts de l’algorithme OPERATIONS
DIVISIONS
ADDITIONS
coût élimination
n(n-1)/2
n(n-1)(n+1)/3
coût remontée
n
coût total
MULTIPLICATIONS
idem
n(n-1)/2 2
n(n+1)/2 ~ n /2
idem 3
n(n-1)(2n+5)/6 ~ n /3
a 11 M k k A désigne les sous-matrices principales de A définies par A = M a k1 Théorème 1
idem a 12 a
22
M a
k2
a 1k L a 2k O M a kk L
Si det( Ak ) ≠ 0, pour k=1 à n, alors la phase d'élimination est faisable sans permutation de lignes et les éléments diagonaux de la matrice triangulaire supérieure U ainsi obtenue sont donnés par u 11 = det ( A1 )
et
u kk =
det (A k ) det (A k-1 )
,
k=2 à n.
II - Factorisation LU Définition 1 On dit qu’une matrice A(n,n) possède une factorisation LU si A=LU avec L matrice (n,n) triangulaire inférieure à diagonale unité et U matrice (n,n) triangulaire supérieure. Proposition 1 On suppose que A est régulière et admet une factorisation LU. Alors U est régulière et la factorisation est unique. Proposition 2 On suppose que l’élimination de Gauss est faisable sans permutation de lignes sur un système de matrice A supposée régulière. Alors A possède une factorisation LU avec U régulière. Théorème 2 A matrice (n,n) régulière possède une factorisation LU avec U régulière si et seulement si ses sous-matrices principales Ak k=1 à n sont régulières. L
(1)
L
1
(2)
L
11
1
………….
k 1
(n-1)
=
1
n-1 1
1 1
2
1
k
k
n-1 1
=
Algorithme de factorisation pour k = 1,n-1 faire pour i = k+1, n faire a r ← ik a kk pour j = k+1, n faire a ij ← a ij - r* a kj a ik ← r
1 1
1
L = L L ….L
(n-1)
1 1
…….
1
(2)
L
1
2
(1)
(k)
− α k +1 −α k+2 M − α n
avec − αi =
a (k) ik a (k) kk
III-Matrices à structure particulière 1°) Matrice symétrique
k)
A( =
k
a(k) k Proposition 3 Soit A une matrice (n,n) régulière et symétrique. Si la phase d’élimination de Gauss s’effectue sans permutation de lignes alors toutes les matrices symétriques.
a(k)
, k=1 à n sont
Proposition 4 Soit A une matrice (n,n) régulière et symétrique. Si elle possède une factorisation A = LU, alors U = DLt où D est une matrice diagonale. On a donc A = LDL t et d ii = u ii , i =1 à n. 2°) Matrice à structure bande Définition 2 On dit qu’une matrice A (n,n) est de structure bande avec une demi-largeur de bande m si m est le plus petit entier tel que i-j > m ⇒ m+1
a ij = 0
m+1
n- m
n -m Proposition 5 Soit A une matrice (n,n) de structure bande avec une demi-largeur de bande m. Si la phase d’élimination de Gauss s’effectue sans permutation de lignes, alors toutes les (k)
matrices a , k=1 à n ont une structure bande avec une demi-largeur de bande inférieure ou égale à m. De plus m2 éléments au plus changent de valeurs à l’étape k (k)
dans la matrice a .
