M´ ethode des ´ el´ ements finis : ´ elasticit´ e plane Yves Debard Universit´ e du Mans Master Mod´ elisation Num´ erique et R´ ealit´ e Virtuelle http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html 24 mars 2006 – 29 mars 2011
Table des mati` eres 1 Rappels 1.1 Hypoth`ese contraintes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Hypoth`ese d´eformations planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 3
2 Forme diff´ erentielle
4
3 Forme int´ egrale faible
5
4 Forme discr´ etis´ ee : ´ el´ ements finis 4.1 Discr´etisation du domaine : maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Repr´esentation ´el´ementaire (ou locale) du champ de d´eplacements 4.3 Repr´esentation globale du champ de d´eplacements . . . . . . . . . 4.4 Discr´etisation de la forme int´egrale faible . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Probl`emes particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Probl`eme stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Modes propres de vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Mise en œuvre pratique : calculs ´el´ementaires et assemblage . . . . 5 Probl` eme ´ elastostatique : ´ energie potentielle 5.1 Calcul des variations . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.2 Energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 M´ethode de Ritz et ´el´ements finis . . . . . . .
et m´ ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7 7 8 8 9 10 10 11 11
de . . . . . .
Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 12 13 14
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6 Calculs ´ el´ ementaires : ´ el´ ements isoparam´ etriques ´ ement isoparam´etrique : d´efinition . . . . . . . . 6.1 El´ 6.1.1 Repr´esentation de la g´eom´etrie . . . . . . . 6.1.2 Maillage conforme . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Repr´esentation du champ de d´eplacements 6.2 Biblioth`eque d’´el´ements . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Triangle `a 3 nœuds . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Triangle `a 6 nœuds . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Quadrangle `a 4 nœuds . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Quadrangle `a 8 ou 9 nœuds . . . . . . . . . 6.3 Calcul des matrices et des vecteurs ´el´ementaires . . 6.3.1 Transformation des d´eriv´ees . . . . . . . . . 6.3.2 Transformation des int´egrales . . . . . . . . ´ 6.3.3 Evaluation num´erique des int´egrales . . . . 6.3.4 Calcul des matrices . . . . . . . . . . . . . . 6.3.5 Calcul des vecteurs . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Qualit´e du jacobien. . . . . . . . . . . . . . . . . .
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15 15 15 16 16 17 17 18 19 20 21 21 21 22 23 23 25
A Programmes Maple A.1 tri3 int : triangle `a 3 nœuds . . . . . . . . . A.2 tri6 int : triangle `a 6 nœuds . . . . . . . . . A.3 quad4 int : quadrangle `a 4 nœuds . . . . . . A.4 quad8 int : quadrangle `a 8 nœuds . . . . . . A.5 quad9 int : quadrangle `a 9 nœuds . . . . . . A.6 Qualit´e du jacobien : quadrangle `a 4 nœuds A.7 Qualit´e du jacobien : triangle `a 6 nœuds . .
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27 27 27 28 28 29 29 30
R´ ef´ erences
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32
´ Elasticit´ e plane
1
Introduction Dans ce texte nous pr´esentons la r´esolution d’un probl`eme d’´elasticit´e plane par la m´ethode des ´el´ements finis. Nous adopterons les hypoth`eses suivantes : – Les d´eplacements et les d´eformations sont petits. – Le comportement du mat´eriau est ´elastique et lin´eaire. – Le mat´eriau est homog`ene et isotrope. E, ν, α et ρ sont respectivement le module de Young, le coefficient de Poisson, le coefficient de dilatation et la masse volumique du mat´eriau. Le rep`ere {O; x, y, z} est un rep`ere orthonorm´e. ~ı, ~ et ~k sont les vecteurs unitaires des axes.
1 1.1
Rappels Hypoth` ese contraintes planes
Figure 1 – Plaque sollicit´ee dans son plan Un solide (figure 1) est en ´etat de contraintes planes par rapport au plan {O; x, y}, s’il existe un rep`ere {O; x, y, z}, tel qu’en tout point M du solide, le tenseur des contraintes soit de la forme : ~ı ~ composantes sur ~ k
T~ (M,~ı ) T~ (M, ~ ) T~ (M, ~k) σxx σxy 0 σyx σyy 0 0 0 0
(1.1)
o` u σxx , σyy et σxy = σyx sont ind´ependants de z. L’axe ~k est donc, pour tous les points du solide, direction principale et la contrainte principale associ´ee est nulle. Dans la formule (1.1), T~ (M, ~n) est le vecteur contrainte sur la facette ~n en M .
2
M´ethode des ´el´ements finis
Le tenseur des d´eformations se r´eduit `a : εxx 12 γxy 0 0 [ε(M )] = 12 γxy εyy 0 0 εzz
avec εzz =
−ν (σxx + σyy ) + α ∆T E
(1.2)
o` u ∆T est la variation de temp´erature. La loi de comportement s’´ecrit : {σ} = [D] ({ε} − {εth })
(1.3)
o` u: – {ε} est le vecteur d´eformation :
{ε} =
γxy
∂u ∂x ∂v ∂y
εxx εyy = = 2 εxy ∂v ∂u + ∂y ∂x
(1.4)
La figure (2) montre la signification des composantes εxx , εyy et γxy du tenseur des d´eformations.
Figure 2 – Transformation d’un rectangle infiniment petit – {σ} est le vecteur contrainte :
σxx {σ} = σyy σxy
(1.5)
– [D] est la matrice des coefficients ´elastiques : [D] =
E 1 − ν2
1 ν ν 1 0 0
0 0 1−ν 2
– {εth } repr´esente les d´eformations d’origine thermique : 1 {εth } = α ∆T 1 0 Les d´eformations et les contraintes ne d´ependent que des d´eplacements suivant x et y : ½ ¾ u(x, y; t) v(x, y; t)
(1.6)
(1.7)
(1.8)
´ Elasticit´ e plane
1.2
3
Hypoth` ese d´ eformations planes
Un solide est en ´etat de d´eformations planes par rapport au plan {O; x, y}, s’il existe un rep`ere {O; x, y, z}, li´e au solide, tel qu’en tout point du solide, le champ de d´eplacements soit de la forme : u(x, y; t) v(x, y; t) 0
(1.9)
Le tenseur des d´eformations se r´eduit `a :
εxx [ε(M )] = 12 γxy 0
γxy 0 εyy 0 0 0
1 2
(1.10)
Le tenseur des contraintes est alors de la forme : σxx σxy 0 [σ(M )] = σxy σyy 0 avec σzz = ν (σxx + σyy ) − E α ∆T 0 0 σzz
(1.11)
La loi de comportement s’´ecrit : {σ} = [D] ({ε} − {εth })
(1.12)
o` u: – {ε} est le vecteur d´eformation :
{ε} =
γxy
– {σ} est le vecteur contrainte :
∂u ∂x ∂v ∂y
εxx εyy = = 2 εxy ∂u ∂v + ∂y ∂x
(1.13)
σxx {σ} = σyy σxy
(1.14)
– [D] est la matrice des coefficients ´elastiques : λ + 2µ λ 0 λ + 2 µ 0 [D] = λ 0 0 µ
,
λ=
Eν (1 + ν)(1 − 2 ν)
,
µ=
E 2 (1 + ν)
(1.15)
λ et µ sont les coefficients de Lam´ e du mat´eriau. – {εth } repr´esente les d´eformations d’origine thermique : 1 {εth } = α ∆T 1 0
(1.16)
4
2
M´ethode des ´el´ements finis
Forme diff´ erentielle
Le solide V limit´e par la fronti`ere S est soumis `a : ½ ¾ fV x – un champ de forces volumiques : {fV } = fV y
½ ¾ uP – des d´eplacements impos´es sur la fronti`ere Su : {uP } = vP
½ ¾ fσx – des forces surfaciques sur la fronti`ere : Sσ = S − Su : {fσ } = fσy
Figure 3 – Charges et conditions aux limites R´esoudre un probl`eme d’´elasticit´e plane consiste `a chercher un champ de d´eplacements : ½ ¾ u(x, y; t) {u(x, y; t)} = v(x, y; t) tel que :
∂2u ∂σxx ∂σxy ρ + + fV x = 2 ∂t ∂x ∂y ∂2v ∂σyy ∂σxy ρ + + fV y = 2 ∂t ∂x ∂y
(2.1a)
(2.1b)
en tout point du solide avec : – les relations cin´ematiques : εxx =
∂u ∂x
,
εyy =
∂v , ∂y
γxy =
∂u ∂v + ∂y ∂x
(2.1c)
– la loi de comportement (ou loi constitutive) : {σ} = [D] ({ε} − {εth }) – les conditions aux limites : ½ ¾ ½ ¾ u uP = v vP
· sur Su
,
σxx σxy σxy σyy
¸ ½
nx ny
(2.1d) ¾ =
½ ¾ fσx fσy
sur Sσ
(2.1e)
S = Su ∪ Sσ , Su ∩ Sσ = ∅ ½ ¾ nx o` u S est la surface du solide et la normale unitaire `a S dirig´ee vers l’ext´erieur de V . ny Remarque : en pratique, il y a une partition de la surface S pour chaque composante du d´eplacement.
´ Elasticit´ e plane
5
– les conditions initiales `a l’instant t = t0 : ¾ ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾ ½ u(x, y; t0 ) u0 (x, y) u(x, ˙ y; t0 ) u˙ 0 (x, y) = , = v(x, y; t0 ) v0 (x, y) v(x, ˙ y; t0 ) v˙ 0 (x, y) ½ ¾ r Le vecteur {r} = x dont les composantes sont : ry ∂ 2 u ∂σxx ∂σxy − − fV x rx = ρ 2 − ∂t ∂x ∂y 2 ry = ρ ∂ v − ∂σxy − ∂σyy − fV y ∂t2 ∂x ∂y
(2.1f)
(2.2)
½ ¾ u(x, y; t) est le r´ esidu de l’´equation (2.1). Il est nul si le champ de d´eplacements {u(x, y; t)} = est v(x, y; t) solution de cette ´equation.
3
Forme int´ egrale faible
Pour r´esoudre l’´equation (2.1) par la m´ethode des ´el´ements finis, nous utilisons la m´ ethode des r´ esidus pond´ er´ es. Multiplions le r´esidu ½ ¾ r {r} = x (3.1) ry par un champ de d´eplacements arbitraire ½ ∗¾ u {u } = v∗ ∗
(3.2)
puis int´egrons sur le domaine V : Z Z ∗ ∗ T W(u, u ) = {u } {r} dV = (u∗ rx + v ∗ ry ) dV = 0 ∀ {u∗ } V
(3.3)
V
Int´egrons par parties la quantit´e
Z µ V
∂σxx ∂σxy + ∂x ∂y
¶ u∗ dV
puis utilisons le th´eor`eme de la divergence (ou th´eor`eme d’Ostrogradski). Il vient : ¶ Z µ ∂σxx ∂σxy + u∗ dV ∂x ∂y V ¶ ¶ Z µ Z µ ∂(u∗ σxx ) ∂(u∗ σxy ) ∂u∗ ∂u∗ = + dV − σxx + σxy dV ∂x ∂y ∂x ∂y V V ¶ Z Z µ ∂u∗ ∂u∗ ∗ = u (σxx nx + σxy ny ) dS − σxx + σxy dV ∂x ∂y S V Imposons la condition u∗ = 0 sur Su . La premi`ere int´egrale se r´eduit `a : Z u∗ fσx dS
(3.4)
(3.5)
Sσ
De mˆeme :
Z V
µ
∂σyy ∂σxy + ∂x ∂y
¶
Z ∗
Z ∗
v dV = Sσ
v fσy dS −
V
µ ¶ ∂v ∗ ∂v ∗ σxy + σyy dV ∂x ∂y
(3.6)
6
M´ethode des ´el´ements finis
En portant les expressions (3.4), (3.5) et (3.6) dans l’´equation (3.3), vient : Z Z W(u, u∗ ) = ρ {u∗ }T {¨ u} dV + {ε∗ }T {σ} dV VZ VZ ∗ T − {u } {fV } dV − {u∗ }T {fσ } dS V
o` u l’on a pos´e : ∗ εxx {ε∗ } = ε∗yy ∗ γxy
,
ε∗xx =
∂u∗ ∂x
,
(3.7)
Sσ
ε∗yy =
∂v ∗ , ∂y
∗ γxy =
∂u∗ ∂v ∗ + ∂y ∂x
,
{¨ u} =
∂2 {u} ∂t2
(3.8)
{ε∗ } est le champ de d´eformations virtuelles induit par le champ de d´eplacements virtuels {u∗ }. La forme int´ egrale faible d’un probl` eme d’´ elasticit´ e s’´ecrit finalement : Trouver le champ de d´eplacements ½ ¾ u(x, y; t) {u(x, y; t)} = v(x, y; t)
(3.9a)
tel que : Z ∗
W(u, u ) =
Z ∗ T
ρ {u } {¨ u} dV + {ε∗ }T {σ} dV V Z Z ∗ T − {u } {fV } dV − {u∗ }T {fσ } dS = 0 V
V
(3.9b)
Sσ
∀ {u∗ } tel que {u∗ } = {0} sur Su o` u:
εxx {ε} = εyy γxy
,
σxx {σ} = σyy σxy
(3.9c)
avec : – les relations cin´ematiques : εxx =
∂u ∂x
,
εyy =
∂v ∂y
,
γxy =
∂u ∂v + ∂y ∂x
(3.9d)
– la loi de comportement (ou loi constitutive) : {σ} = [D] ({ε} − {εth })
(3.9e)
{u} = {uP } sur Su
(3.9f)
– les conditions aux limites : – les conditions initiales : {u(x, y; t0 )} = {u0 (x, y)} ,
{u(x, ˙ y; t0 )} = {u˙ 0 (x, y)} ,
{u} ˙ =
∂ {u} ∂t
(3.9g)
´ Elasticit´ e plane
7
Remarques : – Les fonctions {u} et {u∗ } doivent ˆetre suffisamment r´eguli`eres pour que les expressions ci-dessus aient un sens. – La fonction {u∗ } est appel´ee champ de d´ eplacements virtuels. – Le champ de d´eplacements {u} est dit cin´ ematiquement admissible (CA). – La formulation int´egrale (3.9) est l’expression du principe des travaux virtuels. – Dans l’´equation (3.3) la fonction {u}] doit ˆetre d´erivable deux fois et une fois dans l’´equation egrale forte et forme int´ egrale (3.9). Ces ´equations sont dites respectivement forme int´ faible de l’´equation diff´erentielle (2.1). – Sous certaines conditions de r´egularit´e, les formulations (2.1) et (3.9) sont ´equivalentes.
4
Forme discr´ etis´ ee : ´ el´ ements finis
La solution analytique de l’´equation (3.9) est en g´en´eral inaccessible. On est donc conduit `a chercher une solution approch´ee par une m´ethode num´erique : la m´ethode des ´el´ements finis. Cette m´ethode est un cas particulier de la m´ ethode de Galerkin : le champ de d´eplacements cherch´e {u} et les ∗ fonctions test {u } appartiennent au mˆeme espace de dimension finie.
4.1
Discr´ etisation du domaine : maillage
Le domaine V est d´ecompos´e en sous-domaines V e de forme g´eom´etrique simple (les ´ el´ ements) reli´es entre eux en des points appel´es nœuds (figure 4). Cette op´eration s’appelle maillage.
Figure 4 – Domaine plan discr´etis´e en 12 ´el´ements (8 triangles, 4 quadrangles) reli´es entre eux par 15 nœuds Le maillage est d´efini par deux tables : – La table des nœuds contient les coordonn´ees des nœuds. x1 y1
x2 y2
x3 y3
x4 y4
x5 y5
... ...
– La table des ´ el´ ements contient, pour chaque ´el´ement, le type (triangle `a trois nœuds, quadrangle `a quatre nœuds, . . . ) et les num´eros des nœuds dans le sens trigonom´etrique. TRI3 1 4 2 —
QUAD4 4 5 3 2
... ... ... ... ...
8
M´ethode des ´el´ements finis
4.2
Repr´ esentation ´ el´ ementaire (ou locale) du champ de d´ eplacements
Le champ d´eplacements dans chaque ´el´ement est d´efini en fonction des d´eplacements des nœuds de l’´el´ement : l’approximation est dite nodale. Dans l’´el´ement (e) (figure 5) : e u1 (t) v1e (t) ¸ ½ ¾ · e e N1 (x, y) 0 . . . Nne (x, y) 0 u(x, y; t) . . (4.1) = . 0 N1e (x, y) . . . 0 Nnee (x, y) v(x, y; t) e u e (t) en vne (t) soit sous forme matricielle : {u(x, y; t)} = {N e (x, y)}T {ue (t)}
(4.2)
o` u – – – –
ne est le nombre de nœuds de l’´el´ement. el´ ementaires. les fonctions Nie (x, y) sont les fonctions d’interpolation ´ la matrice [N e (x, y)] est la matrice d’interpolation ´el´ementaire. le vecteur {ue (t)} regroupe les composantes des d´eplacements des nœuds de l’´el´ement (e).
Figure 5 – Champ de d´eplacements dans un ´el´ement ` a trois nœuds
4.3
Repr´ esentation globale du champ de d´ eplacements
Le champ de d´eplacements a pour expression sur l’ensemble du domaine V : u1 (t) v (t) ½ ¾ · ¸ 1 u(x, y; t) N1 (x, y) 0 . . . Nn (x, y) 0 . . = . v(x, y; t) 0 N1 (x, y) . . . 0 Nn (x, y) un (t) vn (t)
(4.3)
soit sous forme matricielle : {u(x, y; t)} = [N (x, y)] {U (t)} o` u – – – –
n est le nombre de nœuds du maillage. les fonctions Ni (x, y) sont les fonctions d’interpolation (ou fonctions de forme). [N (x, y)] est la matrice d’interpolation. {U (t)} est le vecteur des d´ eplacements nodaux.
(4.4)
´ Elasticit´ e plane
4.4
9
Discr´ etisation de la forme int´ egrale faible
De l’expression du champ de d´eplacements sur le domaine : {u(x, y; t)} = [N (x, y)] {U (t)} on d´eduit :
(4.5)
¨} {¨ u} = [N ] {U
(4.6a) ∂N
{ε} = [B] {U } avec [B] =
£
B1 . . . Bi . . . Bn
¤
,
i
∂x Bi = 0 ∂N
i
∂y {u∗ } = [N ] {U ∗ } , ∗
∗
{ε } = [B] {U } ,
0
∂Ni ∂y ∂Ni ∂x
{u∗ }T = {U ∗ }T [N ]T ∗ T
∗ T
T
{ε } = {U } [B]
En portant ces relations dans l’´equation (3.9b), il vient : ³ ´ ¨ } + [K] {U } − {F } W({U }, {U ∗ }) = {U ∗ }T [M ] {U o` u:
(4.6b)
(4.6c) (4.6d)
(4.7)
Z [M ] = Z [K] = Z Z {F } = [N ]T {fV } dV + V
ρ [N ]T [N ] dV
(4.8)
[B]T [D] [B] dV
(4.9)
V
V
Sσ
Z [N ]T {fS } dS +
V
[B]T [D] {εth } dV
(4.10)
[M ] est la matrice de masse (kg). [K] est la matrice de rigidit´ e (N/m). {F } est le vecteur force ´ equivalent aux charges r´ eparties (N). {U } est le vecteur des d´ eplacements nodaux (m). ¨ } est le vecteur des acc´ {U el´ erations nodales (m/s2 ). Remarques : – les matrices [M ] et [K] sont par construction sym´etriques (car la matrice des coefficients ´elastiques [D] est sym´etrique). – dans l’´equation (4.7), il convient d’ajouter la contribution de l’amortissement : {U ∗ }T [C] {U˙ } o` u [C] est la matrice d’amortissement (kg/s) et {U˙ } le vecteur des vitesses nodales (m/s). Effectuons une partition des degr´ es de libert´ e en d´eplacements inconnus (L) et impos´es (non nuls : P , nuls : S) ([1], [14], [15]) : {UL∗ } {UL } = ? (4.11a) d’o` u {U ∗ } = {UP∗ } = {0} = {δU } {U } = {UP } 6= {0} ∗ {US } = {0} {US } = {0}
10
M´ethode des ´el´ements finis
{δU } est une variation quelconque du vecteur {U }. Cette partition induit une partition de [M ], [C], [K] et {F } :
[MLL ] [MLP ] [MLS ] [M ] = [MP L ] [MP P ] [MP S ] [MSL ] [MSP ] [MSS ]
,
[KLL ] [KLP ] [KLS ] [K] = [KP L ] [KP P ] [KP S ] [KSL ] [KSP ] [KSS ]
[CLL ] [CLP ] [CLS ] [C] = [CP L ] [CP P ] [CP S ] [CSL ] [CSP ] [CSS ]
,
{FL } {F } = {FP } {FS }
(4.11b)
(4.11c)
La forme faible discr´etis´ee s’´ecrit finalement : Trouver {UL (t)} tel que : W({UL }, {UL∗ })
={UL∗ }T
µ ½ ¾ ½ ¾ ¨L } £ ¤ {U £ ¤ {U˙ L } [MLL ] [MLP ] ¨P } + [CLL ] [CLP ] {U˙ P } {U ½ ¾ ¶ £ ¤ {UL } + [KLL ] [KLP ] − {FL } = 0 ∀ {UL∗ } {UP }
(4.12)
avec les conditions initiales {UL (t0 )} = {UL,0 } , {U˙ L (t0 )} = {U˙ L,0 } Les d´eplacements nodaux inconnus {UL (t)} sont donc les solutions de l’´equation : ¨L } + [CLL ]{U˙ L } + [KLL ]{UL } [MLL ]{U ¨P } − [CLP ]{U˙ P } − [KLP ]{UP } = {FL } − [MLP ]{U
(4.13a)
avec les conditions initiales : {UL (t0 )} = {UL,0 } ,
{U˙ L (t0 )} = {U˙ L,0 }
(4.13b)
Remarque : par construction, les matrices [KLL ] et [MLL ] sont sym´etriques.
4.5 4.5.1
Probl` emes particuliers Probl` eme stationnaire
Dans un probl`eme stationnaire, l’´equation (4.13) se r´eduit `a : [KLL ]{UL } = {FL } − [KLP ]{UP } = {F¯L }
(4.14)
Si le nombre de liaisons est suffisant, la matrice [KLL ] n’est pas singuli`ere (det [KLL ] 6= 0) et les d´eplacements inconnus sont ´egaux `a : {UL } = [KLL ]−1 {F¯L } Les d´eplacements ´etant connus, les actions de liaison sont ´egales `a : · ¸½ ¾ ½ ¾ [KP L ] [KP P ] {UL } {FP } {A} = − [KSL ] [KSP ] {UP } {FS }
(4.15)
(4.16)
´ Elasticit´ e plane 4.5.2
11
Modes propres de vibration
Les modes propres de vibration de la structure sont les solutions de l’´equation : ¨L } + [KLL ]{UL } = 0 [MLL ]{U
(4.17)
˜L } sin ω t {UL (t)} = {U
(4.18)
En posant : ˜L } est ind´ependant du temps, il vient : o` u {U ˜L } = ω 2 [MLL ]{U ˜L } [KLL ]{U
(4.19)
˜L } le vecteur propre associ´e. o` u ω est une pulsation propre de la structure et {U Les pulsations propres sont les solution de l’´equation : ¡ ¢ det [KLL ] − ω 2 [MLL ] = 0
4.6
(4.20)
Mise en œuvre pratique : calculs ´ el´ ementaires et assemblage
Dans la pratique, [M ], [K] et {F } sont construits ´ el´ ement par ´ el´ ement. Cette op´eration s’appelle assemblage. De l’expression du champ de d´eplacements dans l’´el´ement (e) : {u(x, y; t)} = [N e (x, y)] {ue (t)}
(4.21)
on d´eduit : {u∗ } = [N e ] {ue∗ } ,
{u∗ }T = {ue∗ }T [N e ]T
{¨ u} = [N e ] {¨ ue }
∂N e 1
{ε} = [B e ] {ue } ,
[B e ] =
£
B1e . . . Bie . . . Bne e
¤
∂x e Bi = 0 ∂N e
,
1
∂y {ε∗ } = [B e ] {ue∗ } ,
0
∂N1e ∂y ∂N1e ∂x
(4.22)
{ε∗ }T = {ue∗ }T [B e ]T
En portant ces expressions dans l’´equation (3.9b), il vient : W({U }, {U ∗ }) =
X {ue∗ }T ( [me ] {¨ ue } + [k e ] {ue } − {f e } )
(4.23)
e
o` u:
Z [me ] = V
Z e
[k ] =
(4.24)
[B e ]T [D] [B e ] dV
(4.25)
Ve
Z
Z
e
e T
{f } = V
ρ [N e ]T [N e ] dV e
e
[N ] {fV } dV +
Z e T
Sσe
[N ] {fS } dS +
V
e
[B e ]T [D] {εeth } dV
(4.26)
12
M´ethode des ´el´ements finis
´ ement e Figure 6 – El´ Dans ces formules, V e repr´esente le volume de l’´el´ement (e) et Sσe la partie de Sσ qui appartient `a la fronti`ere de l’´el´ement (e) (figure 6). Les matrices et les vecteurs ´el´ementaires sont ´evalu´ees num´eriquement. L’´equation (3.9b) s’´ecrit : W({U }, {U ∗ }) =
X
{U ∗ }T
e
à ∗ T
= {U }
³
¨ } + [K e ] {U } − {F e } [M e ] {U
X
¨} + [M ] {U e
X
e
d’o` u: [M ] =
X
[M e ] ,
[K] =
e
e
[K ] {U } −
e
X
[K e ] ,
´
X
!
(4.27)
e
{F }
e
{F } =
X
e
[F e ]
(4.28)
e
Dans les matrices [M e ] et [K e ] et dans le vecteur {F e }, obtenus par expansion respectivement de [me ], [k e ] et {f e }, les seuls termes non nuls sont les termes associ´es aux degr´es de libert´e de l’´el´ement (e). Remarques : – La partition des degr´es de libert´e est effectu´ee avant la phase d’assemblage. – Dans le logiciel RDM seuls les blocs de matrice (LL) et (LP ) sont assembl´es.
5
Probl` eme ´ elastostatique : ´ energie potentielle et m´ ethode de Ritz
Si le probl`eme est ind´ependant du temps, la forme int´egrale faible (3.9) se r´eduit `a : Z Z ∗ ∗ T W(u, u ) = {ε } [D] {ε} dV − {ε∗ }T [D] {εth } dV VZ ZV ∗ T − {u } {fV } dV − {u∗ }T {fσ } dS = 0 V
(5.1)
Sσ
∀ {u∗ } tel que {u∗ } = {0} sur Su
5.1
Calcul des variations
Le probl`eme fondamental du calcul des variations consiste `a chercher la fonction u(x) qui rend stationnaire la fonctionnelle (ou fonction de fonctions ) : Z J (u) = a
b
µ ¶ ∂u ∂nu F x, u, , . . . , n dx ∂x ∂x
(5.2)
´ Elasticit´ e plane
13
ce qui s’´ecrit : δJ = 0 ∀ δu
(5.3)
Les principales propri´et´es de l’op´erateur variation δ sont ([2, 9, 17]) : 2 δ (u) = δ(δu) = 0 µ ¶ ∂(δu) ∂u = δ ∂x ∂x µ ¶ ∂u ∂u ∂F ∂F δF (u, , . . .) = δu + µ ¶ δ + ··· ∂u ∂x ∂u ∂x ∂ ∂x δ(F + G) = δF + δG
5.2
∂u ∂u , . . .) et G(u, , . . .) sont deux fonctionnelles de u ∂x ∂x δ(F G) = δF G + F δG (r`egle de Leibniz)
(5.4)
o` u F (u,
δ(F n ) = n F n−1 δF δ(c F ) = c δF o` u c est une constante Z Z δ F dx = δF dx
´ Energie potentielle
Consid´erons la fonctionnelle : Epot ({u}) = Edef ({u}) − Wext ({u})
(5.5)
o` u: – {u} est un champ de d´eplacements cin´ematiquement admissible. – Edef ({u}) est l’´energie de d´eformation du champ de d´eplacements {u} : Z Z 1 T Edef ({u}) = {ε} [D] {ε} dV − {ε}T [D] {εth } dV 2 V V – Wext ({u}) est travail des forces appliqu´ees pour le d´eplacement {u} : Z Z T Wext ({u}) = {u} {fV } dV + {u}T {fσ } dS V
(5.6)
(5.7)
Sσ
– Epot ({u}) est l’´energie potentielle du syst`eme pour le d´eplacement {u}. La condition de stationnarit´e (5.3) s’´ecrit : δEpot = δEdef − δWext = 0 ∀ {δu} soit :
Z δEpot =
Z T
{δε} [D] {ε} dV − {δε}T [D] {εth } dV V Z ZV − {δu}T {fV } dV − {δu}T {fσ } dS = 0 ∀ {δu} V
o` u
(5.8)
Sσ
(5.9)
14
M´ethode des ´el´ements finis – {δu} est une variation quelconque du champ de d´eplacements (en particulier : {δu} = {0} sur Su ). µ ¶ ∂u ∂(δu) δ ∂x ∂x µ ¶ δεxx ∂v ∂(δv) = – {δε} = δεyy = δ ∂y ∂y δγxy ¶ µ ∂u ∂(δu) ∂v ∂(δv) + + δ ∂y ∂x ∂y ∂x
Cette ´equation est identique `a (5.1) si on choisit {u∗ } = {δu}. La seconde variation de la fonctionnelle est ´egale `a : Z δ 2 Epot = {δε}T [D] {δε} dV
(5.10)
V
La matrice [D] ´etant d´efinie positive, on en d´eduit : δ 2 Epot > 0 ∀ {δu} <> {0}
(5.11)
De plus Epot ({uexact } + {δu}) = Epot ({uexact }) + δEpot |{u}={uexact } + = Epot ({uexact }) +
1 2 δ Epot 2
1 2 δ Epot > Epot ({uexact }) ∀ {δu} <> {0} 2
(5.12)
Le champ de d´eplacements {u} = {uexact } + {δu} ´etant cin´ematiquement admissible (CA), on en d´eduit : Epot ({uCA }) ≥ Epot ({uexact }) ∀ {uCA } (5.13) On peut donc ´enoncer le th´eor`eme suivant : Parmi l’ensemble des champs de d´ eplacements cin´ ematiquement admissibles, le champ de d´ eplacements exact est celui qui minimise l’´ energie potentielle.
5.3
M´ ethode de Ritz et ´ el´ ements finis
Si on restreint la recherche de la solution aux champs de d´eplacements d´efinis au paragraphe (4.3), l’´energie potentielle discr´etis´ee est ´egale `a : 1 {U }T [K]{U } − {U }T {F } 2 ½ ¾T · ¸½ ¾ ½ ¾T ½ ¾ 1 {UL } [KLL ] [KLP ] {UL } {UL } {FL } = − [KP L ] [KP P ] {UP } {UP } {FP } 2 {UP }
Epot ({U }) =
et la condition de stationnarit´e s’´ecrit : µ ½ ¾ ¶ £ ¤ UL T [KLL ] [KLP ] δEpot ({UL }) = {δUL } − {FL } = 0 ∀ {δUL } UP
(5.14)
(5.15)
d’o` u: [KLL ]{UL } = {FL } − [KLP ]{UP } Cette ´equation est identique `a celle obtenue au paragraphe (4.5.1).
(5.16)
´ Elasticit´ e plane
6
15
Calculs ´ el´ ementaires : ´ el´ ements isoparam´ etriques
6.1
´ ement isoparam´ El´ etrique : d´ efinition
` chaque ´el´ement r´eel, on associe un ´ A el´ ement de r´ ef´ erence (figure 7).
Figure 7 – Transformation g´eom´etrique 6.1.1
Repr´ esentation de la g´ eom´ etrie
La transformation g´eom´etrique (figure 7) qui fait passer de l’´el´ement de r´ef´erence `a l’´el´ement r´eel poss`ede les propri´et´es suivantes : – elle est de la forme : x(ξ, η) =
n X
Ni (ξ, η) xi
,
y(ξ, η) =
i=1
n X
Ni (ξ, η) yi
(6.1)
i=1
o` u: – – – – –
n est le nombre de nœuds de l’´el´ement. ξ et η sont les coordonn´ees d’un point de l’´el´ement de r´ef´erence. x(ξ, η) et y(ξ, η) sont les coordonn´ees d’un point de l’´el´ement r´eel. xi et yi sont les coordonn´ees du ie nœud de l’´el´ement. les Ni (ξ, η) sont les fonctions d’interpolation ou fonctions de forme
La matrice jacobienne de la ∂x ∂ξ [J(ξ, η)] = ∂x ∂η
transformation est : P n ∂N n ∂N P ∂y i i xi yi ∂ξ i=1 ∂ξ = i=1 ∂ξ n n P P ∂N ∂N ∂y i i xi yi ∂η i=1 ∂η i=1 ∂η x 1 y1 ∂N1 ∂Ni ∂Nn .. .. · ¸ . ∂ξ . . . ∂ξ . . . ∂ξ . J11 J12 xi yi = = J21 J22 ∂Ni ∂Nn ∂N1 .. .. ... ... . . ∂η ∂η ∂η xn yn
(6.2)
– elle est nodale : un nœud de l’´el´ement de r´ef´erence devient un nœud de l’´el´ement r´eel (les deux ´el´ements poss`edent donc le mˆeme nombre de nœuds) : xi = x(ξi , ηi ) =
n X j=1
Nj (ξi , ηi ) xj
,
yi = y(ξi , ηi ) =
n X j=1
Nj (ξi , ηi ) yj
,
i = 1, . . . , n
(6.3)
16
M´ethode des ´el´ements finis o` u (ξi , ηi ) sont les coordonn´ees du ie nœud de l’´el´ement de r´ef´erence. On en d´eduit : ( 0 si i 6= j Nj (ξi , ηi ) = 1 si i = j
(6.4)
– une fronti`ere de l’´el´ement de r´ef´erence devient une fronti`ere de l’´el´ement r´eel. – elle est bijective : le d´ eterminant de la matrice jacobienne ne doit pas changer de signe sur l’´ el´ ement. Nous imposerons la condition : det [J(ξ, η)] = J11 J22 − J12 J21 > 0
(6.5)
ce qui implique que l’´el´ement de r´ef´erence et l’´el´ement r´eel soient num´erot´es dans le mˆeme sens (en g´en´eral positif).
6.1.2
Maillage conforme
La transformation g´eom´etrique doit assurer la continuit´e de la g´eom´etrie entre les ´el´ements (figure 8).
Figure 8 – Maillage conforme (` a gauche) et non conforme (` a droite] Si deux ´el´ements ont une arˆete commune : – les deux ´el´ements doivent avoir le mˆeme nombre de nœuds sur l’arˆete. – les coordonn´ees d’un point de l’arˆete ne doivent d´ependre que des coordonn´ees des noeuds de l’arˆete ; elles se r´eduisent `a : x(α) =
na X
Nia (α) xi
,
y(α) =
i=1
na X
Nia (α) yi
,
−1 ≤ α ≤ 1
(6.6)
i=1
o` u na est le nombre de nœuds situ´es sur l’arˆete et les Nia (α) sont les fonctions d’interpolation de l’´el´ement `a une dimension et na nœuds (figure 15) et (§ 6.2.2 : transformation d’une arˆete).
6.1.3
Repr´ esentation du champ de d´ eplacements
Les fonctions Ni (ξ, η) qui d´efinissent la transformation g´eom´etrique sont les fonctions d’interpolation pour le champ de d´eplacements (´el´ement isoparam´etrique) : u(ξ, η) =
n X
Ni (ξ, η) ui
i=1
,
v(ξ, η) =
n X
Ni (ξ, η) vi
(6.7)
i=1
o` u ui et vi sont les d´eplacements du nœud i. Crit`ere de compl´etude : pour que la solution ´el´ements finis converge vers la solution exacte quand la taille des ´el´ements tend vers z´ero, l’´el´ement doit pouvoir repr´esenter un champ de d´eplacements qui
´ Elasticit´ e plane
17
correspond `a des d´eformations nulles (mouvement de corps rigide) ou constantes. Consid´erons donc le champ de d´eplacements : u(x, y) = ax + bx x + cx y
,
v(x, y) = ay + by x + cy y
(6.8)
d’o` u les valeurs nodales : ui = ax + bx xi + cx yi
,
vi = ay + by xi + cy yi
,
i = 1, . . . , n
(6.9)
Le champ de d´eplacements sur x s’´ecrit sous forme param´etrique (´equation 6.7) : u(ξ, η) =
n X
Ni (ξ, η) ui =
i=1
= ax
n X
Ni (ξ, η) (ax + bx xi + cx yi )
i=1
n X
Ni (ξ, η) + bx
i=1
n X
Ni (ξ, η) xi + cx
i=1
n X
(6.10) Ni (ξ, η) yi
i=1
En utilisant les relations (6.1), il vient : u(x, y) = ax
n X
Ni (ξ, η) + bx x + cx y
(6.11)
i=1
On retrouve le champ de d´eplacements (6.8) si : n X
Ni (ξ, η) = 1
(6.12)
i=1
Cette condition est v´erifi´ee par les ´el´ements d´ecrits ci-dessous. Remarque : si le maillage est conforme, le champ de d´eplacement est continu entre les ´el´ements.
6.2 6.2.1
Biblioth` eque d’´ el´ ements Triangle ` a 3 nœuds
Figure 9 – Triangle ` a 3 nœuds La transformation g´eom´etrique est de la forme : ¤ a b = [P (ξ, η)] {A} x(ξ, η) = a + b ξ + c η = 1 ξ η c £
[P (ξ, η)] est la base polynomiale de la transformation.
(6.13)
18
M´ethode des ´el´ements finis
La transformation est nodale d’o` u: 1 0 0 x1 x(0, 0) a x2 = x(1, 0) = 1 1 0 b = [C] {A} x3 x(0, 1) 1 0 1 c
(6.14)
On en d´eduit : x(ξ, η) = [P ] [C]−1
x1 £ ¤ x1 x2 = N1 (ξ, η) N2 (ξ, η) N3 (ξ, η) x2 x3 x3
Il vient pour les fonctions d’interpolation et leurs d´eriv´ees (programme tri3 int) : · ¸T · ¸T −1 −1 1−ξ−η ∂N ∂N , ξ [N ]T = = 1 , = 0 ∂ξ ∂η 0 1 η
(6.15)
(6.16)
Figure 10 – Triangle ` a 3 nœuds : fonctions d’interpolation Matrice jacobienne de la transformation · ¸ x −1 1 0 1 x2 [J(ξ, η)] = −1 0 1 x3
: elle est ´egale `a (´equation (6.2)) : · ¸ y1 x2 − x1 y2 − y1 y2 = x3 − x1 y3 − y1 y3
(6.17)
d’o` u son d´eterminant : det[J(ξ, η)] = (x2 − x1 ) (y3 − y1 ) − (x3 − x1 ) (y2 − y1 ) = 2 A o` u A est l’aire de l’´el´ement r´eel.
6.2.2
Triangle ` a 6 nœuds
Figure 11 – Triangle ` a 6 nœuds
(6.18)
´ Elasticit´ e plane
19
Base polynomiale :
£ ¤ [P (ξ, η)] = 1 ξ η ξ 2 η 2 ξ η
(6.19)
Fonctions d’interpolation (λ = 1 − ξ − η) (programme tri6 int) : λ(2 λ − 1) 1 − 4λ 1 − 4λ 4 ξλ · ¸T 4 (λ − ξ) · ¸T −4 ξ ∂N ∂N ξ(2 ξ − 1) 0 −1 + 4 ξ , [N ]T = , = = 4 ξη 4η 4ξ ∂ξ ∂η η(2 η − 1) −1 + 4 η 0 4 ηλ −4 η 4 (λ − η)
(6.20)
Transformation d’une arˆ ete : consid´erons l’arˆete de l’´el´ement de r´ef´erence passant par les nœuds 3, 4 et 5 ; elle est d´efinie par λ = 1 − ξ − η = 0 d’o` u η = 1 − ξ avec 0 ≤ ξ ≤ 1 ; elle devient dans l’´el´ement r´eel la courbe d’´equation param´etrique : x1 x2 £ ¤ x3 x(ξ) = 0 0 ξ(2 ξ − 1) 4 ξ(1 − ξ) (1 − ξ)(1 − 2 ξ) 0 x4 x5 x6 = ξ(2 ξ − 1) x3 + 4 ξ(1 − ξ) x4 + (1 − ξ) (1 − 2ξ) x5 y(ξ) = ξ(2 ξ − 1) y3 + 4 ξ(1 − ξ) y4 + (1 − ξ) (1 − 2ξ) y5
,
0≤ξ≤1
d’o` u en posant ξ = (1 − α)/2 : x(α) =
α (α − 1) α (α + 1) ¯1 (α) x3 + N ¯2 (α) x4 + N ¯3 (α) x5 x3 + (1 − α2 ) x4 + x5 = N 2 2
¯1 (α) y3 + N ¯2 (α) y4 + N ¯3 (α) y5 y(α) = N
,
−1 ≤ α ≤ 1
¯i (α) sont les fonctions d’interpolation de l’´el´ement isoparam´etrique `a une dimension et trois nœuds. Les N Si le nœud 4 est au milieu des nœuds 3 et 5, la transformation se r´eduit `a : x(α) =
1−α 1+α x3 + x5 2 2
,
y(α) =
1−α 1+α y3 + y5 2 2
Remarque : le champ de d´eplacements des points de l’arˆete est : ¯1 (α) u3 + N ¯2 (α) u4 + N ¯3 (α) u5 u(α) = N
,
¯1 (α) v3 + N ¯2 (α) v4 + N ¯3 (α) v5 v(α) = N
Il ne d´epend que des d´eplacements des nœuds de l’arˆete (´el´ement conforme).
6.2.3
Quadrangle ` a 4 nœuds
Figure 12 – Quadrangle ` a 4 nœuds
20
M´ethode des ´el´ements finis
Base polynomiale :
£ ¤ [P (ξ, η)] = 1 ξ η ξ η
(6.21)
Fonctions d’interpolation (programme quad4 int) : (1 − ξ) (1 − η) 1 (1 + ξ) (1 − η) [N ]T = 4 (1 + ξ) (1 + η) (1 − ξ) (1 + η) 6.2.4
·
∂N ∂ξ
¸T
−(1 − η) 1 (1 − η) = 4 (1 + η) −(1 + η)
·
∂N ∂η
¸T
−(1 − ξ) 1 −(1 + ξ) = 4 (1 + ξ) (1 − ξ)
(6.22)
Quadrangle ` a 8 ou 9 nœuds
Quadrangle ` a 8 nœuds :
Figure 13 – Quadrangle ` a 8 ou 9 nœuds Base polynomiale :
£ ¤ [P (ξ, η)] = 1 ξ η ξ 2 ξη η 2 ξ 2 η ξη 2
(6.23)
Fonctions d’interpolation (programme quad8 int) : −(1 − ξ)(1 − η)(1 + ξ + η) 2 (1 − ξ 2 )(1 − η) −(1 + ξ)(1 − η)(1 − ξ + η) 1 2 (1 + ξ)(1 − η 2 ) T [N ] = 4 −(1 + ξ)(1 + η)(1 − ξ − η) 2 (1 − ξ 2 )(1 + η) −(1 − ξ)(1 + η)(1 + ξ − η) 2 (1 − ξ)(1 − η 2 ) −(1 − η)(2 ξ + η) −4 (1 − η) ξ (1 − η)(2 ξ − η) · ¸ ∂N T 1 2 (1 − η 2 ) = ∂ξ 4 (1 + ξ)(2 ξ + η) −4 (1 + η) ξ (1 + η)(2 ξ − η) 2 (1 − η 2 )
(1 − ξ)(ξ + 2 η) −2 (1 − ξ 2 ) −(1 + ξ)(ξ − 2 η) · ¸ ∂N T 1 −4 (1 + ξ) η = ∂η 4 (1 + ξ)(ξ + 2 η) 2) 2 (1 − ξ −(1 − ξ)(ξ − 2 η) −4 (1 − ξ) η
(6.24)
,
(6.25)
Quadrangle ` a 9 nœuds : Base polynomiale :
£ [P (ξ, η)] = . . . ξ i η j
¤ ...
i, j = 0, . . . , 2
(6.26)
´ Elasticit´ e plane
21
Fonctions d’interpolation (programme quad9 int) : DL1 (ξ) L1 (η) L1 (ξ) L1 (η) L2 (ξ) L1 (η) DL2 (ξ) L1 (η) DL3 (ξ) L1 (η) L3 (ξ) L1 (η) L3 (ξ) L2 (η) ¸T DL3 (ξ) L2 (η) · ∂N DL3 (ξ) L3 (η) = [N ]T = L3 (ξ) L3 (η) , ∂ξ L2 (ξ) L3 (η) DL2 (ξ) L3 (η) DL1 (ξ) L3 (η) L1 (ξ) L3 (η) DL1 (ξ) L2 (η) L1 (ξ) L2 (η)
·
ξ (ξ − 1) [L(ξ)] = 2
6.3 6.3.1
,
DL2 (ξ) L2 (η)
L2 (ξ) L2 (η) o` u:
L1 (ξ) DL1 (η) L2 (ξ) DL1 (η) L3 (ξ) DL1 (η) · ¸T L3 (ξ) DL2 (η) ∂N L3 (ξ) DL3 (η) = ∂η L2 (ξ) DL3 (η) L1 (ξ) DL3 (η) L1 (ξ) DL2 (η)
1 − ξ2
ξ (ξ + 1) 2
¸
L2 (ξ) DL2 (η) ·
,
2ξ − 1 [DL(ξ)] = 2
−2 ξ
2ξ + 1 2
¸ (6.28)
Calcul des matrices et des vecteurs ´ el´ ementaires Transformation des d´ eriv´ ees
Les d´eriv´ees d’une fonction f (x, y) par rapport `a ξ et η ∂f ∂f ∂x ∂f ∂y ∂x + ∂ξ ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ ∂ξ = = ∂x ∂x ∂f ∂y ∂f ∂f + ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η ∂η
sont : ∂y ∂f ∂ξ ∂x = [J] ∂y ∂f ∂η ∂y
∂f ∂x ∂f ∂y
On en d´eduit l’expression des d´eriv´ees de f par rapport `a x et y : ∂f ∂f ∂x ∂ξ = [J]−1 ∂f ∂f ∂y ∂η avec −1
[J] 6.3.2
(6.27)
· ¸ 1 J22 −J12 = det[J] −J21 J11
,
det[J] = J11 J22 − J12 J21
(6.29)
(6.30)
(6.31)
Transformation des int´ egrales
La surface infinit´esimale dξ dη au point (ξ,η) de l’´el´ement de r´ef´erence se transforme en la surface dA au point (x(ξ, η),y(ξ, η)) de l’´el´ement r´eel.
Figure 14 – Transformation des surfaces On a la relation :
~a ∧ ~b = ~k dA
(6.32)
22
M´ethode des ´el´ements finis
soit
∂x ∂x ∂ξ ∂η {a} ∧ {b} = ∂y dξ ∧ ∂y dη = {k} det[J(ξ, η)] dξ dη = {k} dA ∂ξ ∂η 0 0
(6.33)
dA = det[J(ξ, η)] dξ dη
(6.34)
d’o` u:
L’int´egrale sur l’´el´ement r´eel
Z f (x, y) dV
(6.35)
V
devient donc sur l’´el´ement de r´ef´erence Z Z t f (x, y) dA = A
t f (x(ξ, η), y(ξ, η)) det [J(ξ, η)] dξ dη
(6.36)
Aref
o` u t est l’´epaisseur suppos´ee constante de l’´el´ement. Remarques : – on a la relation
Z det [J(ξ, η)] dξ dη = A
(6.37)
Aref
o` u A est l’aire de l’´el´ement r´eel. – si l’´epaisseur de l’´el´ement est variable et donn´ee par ses valeurs nodales ti , on a : t(ξ, η) =
n X
Ni (ξ, η) ti
(6.38)
i=1
6.3.3
´ Evaluation num´ erique des int´ egrales
Les int´egrales sont ´evalu´ees par int´egration num´erique ([2, 3, 9, 15]) : Z
Z
1
1
f (ξ, η) dξ dη ≈ −1
Z
−1
npi X
1 Z 1−ξ
f (ξ, η) dξ dη ≈ 0
0
wi f (ξi , ηi )
(quadrangle)
(6.39)
i=1 npi X
wi f (ξi , ηi )
i=1
o` u: – npi est le nombre de points d’int´egration. – ξi et ηi sont les coordonn´ees du ie point d’int´egration. – wi est le poids du ie point d’int´egration.
(triangle)
(6.40)
´ Elasticit´ e plane 6.3.4
23
Calcul des matrices
La matrice de rigidit´e est ´egale `a : Z Z T [k] = [B] [D] [B] dV = V
≈
t [B(ξ, η)]T [D] [B(ξ, η)] det [J(ξ, η)] dξ dη
Aref
npi X
(6.41)
T
t [B(ξi , ηi )] [D] [B(ξi , ηi )] det [J(ξi , ηi )] wi
i=1
o` u: ∂N
i
∂x . . . Bn ] avec Bi = 0 ∂N
[B] = [ B1 . . . Bi
i
∂y De mˆeme, la matrice de masse s’´ecrit : Z Z T [m] = ρ [N ] [N ] dV = V
≈
0
∂Ni ∂y ∂N
,
i
∂Ni ∂Ni ∂x ∂ξ −1 = [J] ∂N ∂N i i ∂y ∂η
∂x
t ρ [N (ξ, η)]T [N (ξ, η)] det [J(ξ, η)] dξ dη
Aref
npi X
(6.42)
(6.43)
T
t ρ [N (ξi , ηi )] [N (ξi , ηi )] det [J(ξi , ηi )] wi
i=1
o` u:
6.3.5
·
N1 0 . . . Ni 0 . . . Nn 0 [N ] = 0 N1 . . . 0 Ni . . . 0 Nn
¸ (6.44)
Calcul des vecteurs
Force volumique Le vecteur force dˆ u `a une force volumique est ´egal `a : Z Z T {f } = [N ] {fV } dV = t [N (ξ, η)]T {fV } det [J(ξ, η)] dξ dη V
≈
npi X i=1
Aref
½ ¾ fV x T t [N (ξi , ηi )] det [J(ξi , ηi )] wi fV y
(6.45)
Gradient thermique Le vecteur force dˆ u `a gradient thermique est ´egal `a : Z Z T {fth } = [B] [D] {εth } dV = t [B(ξ, η)]T [D] {εth } det [J(ξ, η)] dξ dη V
≈
npi X i=1
Force surfacique
Aref
T
t [B(ξi , ηi )] [D] {εth } det [J(ξi , ηi )] wi
(6.46)
24
M´ethode des ´el´ements finis
Le champ de d´eplacements des points situ´es sur la fronti`ere d’un ´el´ement est ´egal `a (´el´ement conforme (§ 6.1.2)) : x(ξ) =
n X
¯i (ξ) xi N
,
y(ξ) =
i=1
u(ξ) =
n X
n X
¯i (ξ) yi N
(6.47a)
¯i (ξ) vi N
(6.47b)
i=1
¯i (ξ) ui N
,
v(ξ) =
i=1
n X i=1
¯i (ξ) sont les fonctions d’interpolation de o` u n est le nombre de nœuds situ´es sur la fronti`ere et les N l’´el´ement de r´ef´erence `a une dimension et n nœuds (figure 15).
Figure 15 – Transformation des fronti`eres On en d´eduit : dx =
à n X ∂N ¯i i=1
∂ξ
! xi
dξ = Jx dξ
,
dy =
à n X ∂N ¯i i=1
ds =
p
∂ξ
! yi
dξ = Jy dξ
(6.48)
q dx2 + dy 2 =
Jx2 + Jy2 dξ = Js dξ
(6.49)
d’o` u l’expression des composantes des vecteurs ~n et ~t (~n est la normale unitaire `a Sσ dirig´ee vers l’ext´erieur de l’´el´ement ; ~t est le vecteur unitaire tangent `a Sσ ) : dy dx ½ ¾ ½ ¾ 1 1 Jx Jy ds ds = , {n} = = (6.50) {t} = dy Js Jy dx Js −Jx − ds ds Le vecteur force dˆ u `a une force surfacique d’intensit´e f~σ appliqu´ee sur l’une des fronti`eres d’un ´el´ement est ´egal `a : Z Z Z 1 T ¯ ¯ (ξ)]T {fσ (ξ)} Js (ξ) dξ {f } = [N ] {fσ } dS = [N ] {fσ } dS = t [N ≈
Sσ npi X
Sσ
−1
(6.51)
¯ (ξi )] {fσ (ξi )} Js (ξi ) wi t [N T
i=1
o` u:
· ¸ ¯1 0 . . . N ¯i 0 . . . N ¯n 0 N ¯ [N ] = ¯1 . . . 0 N ¯i . . . 0 N ¯n 0 N
(6.52)
Pour une force perpendiculaire `a la surface d’intensit´e p : f~σ = p ~n , l’expression ci-dessus se r´eduit `a : ½ ¾ npi X Jy (ξi ) T ¯ {f } ≈ t [N (ξi )] p(ξi ) wi (6.53) −Jx (ξi ) i=1
´ Elasticit´ e plane
6.4
25
Qualit´ e du jacobien.
La condition det [J] > 0 impose certaines conditions `a la g´eom´etrie d’un ´el´ement. Exemple 1 : consid´erons le quadrangle `a 4 nœuds repr´esent´e sur la figure (16).
Figure 16 – Quadrangle ` a 4 nœuds La matrice jacobienne est ´egale `a (´equations (6.2) et (6.22)) (programme § A.6) :
[J] =
1 4
=
1 4
¸ d d −(1 − η) (1 − η) (1 + η) −(1 + η) L 0 −(1 − ξ) −(1 + ξ) (1 + ξ) (1 − ξ) L L 0 L · ¸ 2 L − d (1 − η) −d (1 − η) −d (1 − ξ) 2 L − d (1 − ξ)
·
d’o` u 8 det [J] = 2 L2 − dL (2 − ξ − η) det [J] est minimal pour ξ = η = −1 : min(det [J]) = L (L − 2 d)/4 La condition det [J] > 0 dans tout l’´el´ement impose donc : d < L/2. Remarque : si d = L/2, les nœuds 1, 2 et 4 sont align´es. Si d > L/2, la transformation qui fait passer de l’´el´ement de r´ef´erence `a l’´el´ement r´eel g´en`ere des points en dehors du quadrangle r´eel (figure 17).
Figure 17 – Quadrangle ` a 4 nœuds : d > L/2
Exemple 2 : consid´erons le triangle `a 6 nœuds repr´esent´e sur la figure (18).
26
M´ethode des ´el´ements finis
Figure 18 – Triangle ` a 6 nœuds ` a bords curvilignes La matrice jacobienne est ´egale `a (´equations (6.2) et (6.20)) (programme § A.7) : · ¸ L 4h(1 − 2ξ − η) [J] = 0 L − 4hξ d’o` u det [J] = L ( L − 4 h ξ ) La condition det [J] > 0 dans tout l’´el´ement impose : h < L/4. Remarque : si h = L/4, la parabole qui passe par les nœuds 1, 2 et 3 est tangente `a la droite qui passe par les nœuds 3, 4 et 5.
On appelle qualit´e du jacobien la quantit´e : qJ =
Aire de l’´el´ement de r´ef´erence min(det [J(ξ, η)]) Aire de l’´el´ement r´eel
(6.54)
Remarques : – La qualit´e du jacobien est comprise entre 0 et 1. La qualit´e maximale est 1 : dans ce cas, le d´eterminant du jacobien est constant dans l’´el´ement. – Dans la pratique, on se contente d’´evaluer le d´eterminant du jacobien aux nœuds de l’´el´ement. – D’autres d´efinitions sont possibles. On rencontre souvent celle-ci : qJ =
min(det [J(ξ, η)]) max(det [J(ξ, η)])
(6.55)
´ Elasticit´ e plane
A
Programmes Maple
Les programmes suivants sont dans le fichier map elas 2d.txt.
A.1
tri3 int : triangle ` a 3 nœuds
restart:with(linalg): n:=3; # base polynomiale P:=(xi,eta)->[1,xi,eta]; # coordonn´ ees nodales xi_nod:=[0,1,0]: eta_nod:=[0,0,1]: # fonctions d’interpolation C:=matrix([seq(P(xi_nod[i],eta_nod[i]),i=1..n)]); N:=multiply(P(xi,eta),inverse(C)); dNxi:=map(diff,N,xi); dNeta:=map(diff,N,eta);
A.2
tri6 int : triangle ` a 6 nœuds
restart:with(linalg): n:=6; # base polynomiale P:=(xi,eta)->[1,xi,eta,xi*xi,eta*eta,xi*eta]; # coordonn´ ees nodales xi_nod:=[0,1/2,1,1/2,0,0]: eta_nod:=[0,0,0,1/2,1,1/2]: # fonctions d’interpolation C:=matrix([seq(P(xi_nod[i],eta_nod[i]),i=1..n)]); N:=multiply(P(xi,eta),inverse(C)); N:=map(factor,N); dNxi:=map(diff,N,xi); dNeta:=map(diff,N,eta);
27
28
M´ethode des ´el´ements finis
A.3
quad4 int : quadrangle ` a 4 nœuds
restart:with(linalg): n:=4; # base polynomiale P:=(xi,eta)->[1,xi,eta,xi*eta]; # coordonn´ ees nodales xi_nod:=[-1,1,1,-1]: eta_nod:=[-1,-1,1,1]: # fonctions d’interpolation C:=matrix([seq(P(xi_nod[i],eta_nod[i]),i=1..n)]); N:=multiply(P(xi,eta),inverse(C)); N:=map(factor,N); dNxi:=map(diff,N,xi); dNeta:=map(diff,N,eta);
A.4
quad8 int : quadrangle ` a 8 nœuds
restart:with(linalg): n:=8; # base polynomiale P:=(xi,eta)->[1,xi,eta,xi*eta,xi^2,eta^2,xi^2*eta,xi*eta^2]; # coordonn´ ees nodales xi_nod:=[-1,0,1,1,1,0,-1,-1]: eta_nod:=[-1,-1,-1,0,1,1,1,0]: # fonctions d’interpolation C:=matrix([seq(P(xi_nod[i],eta_nod[i]),i=1..n)]); N:=multiply(P(xi,eta),inverse(C)); N:=map(factor,N); dNxi:=map(diff,N,xi); dNeta:=map(diff,N,eta);
´ Elasticit´ e plane
A.5
quad9 int : quadrangle ` a 9 nœuds
restart:with(linalg): n:=9; # base polynomiale P:=(xi,eta)->[1,xi,eta,xi*eta,xi^2,eta^2,xi^2*eta,xi*eta^2,xi^2*eta^2]; # coordonn´ ees nodales xi_nod:=[-1,0,1,1,1,0,-1,-1,0]: eta_nod:=[-1,-1,-1,0,1,1,1,0,0]: # fonctions d’interpolation C:=matrix([seq(P(xi_nod[i],eta_nod[i]),i=1..n)]); N:=multiply(P(xi,eta),inverse(C)); N:=map(factor,N); dNxi:=map(diff,N,xi); dNeta:=map(diff,N,eta);
A.6
Qualit´ e du jacobien : quadrangle ` a 4 nœuds
restart:with(linalg): n:=4; # base polynomiale P:=(xi,eta)->[1,xi,eta,xi*eta]; # coordonn´ ees nodales xi_nod:=[-1,1,1,-1]: eta_nod:=[-1,-1,1,1]: # fonctions d’interpolation C:=matrix([seq(P(xi_nod[i],eta_nod[i]),i=1..n)]); N:=multiply(P(xi,eta),inverse(C)); N:=map(factor,N); dNxi:=map(diff,N,xi); dNeta:=map(diff,N,eta); dN:=matrix([dNxi,dNeta]); coord:=matrix([[d,d],[L,0],[L,L],[0,L]]); J:=multiply(dN,coord):J:=simplify(%); detJ:=det(J);
29
30
M´ethode des ´el´ements finis
A.7
Qualit´ e du jacobien : triangle ` a 6 nœuds
restart:with(linalg): n:=6; # base polynomiale P:=(xi,eta)->[1,xi,eta,xi*xi,eta*eta,xi*eta]; # coordonn´ ees nodales xi_nod:=[0,1/2,1,1/2,0,0]: eta_nod:=[0,0,0,1/2,1,1/2]: # fonctions d’interpolation C:=matrix([seq(P(xi_nod[i],eta_nod[i]),i=1..n)]); N:=multiply(P(xi,eta),inverse(C)); N:=map(factor,N); dNxi:=map(diff,N,xi); dNeta:=map(diff,N,eta); dN:=matrix([dNxi,dNeta]); coord:=matrix([[0,0],[L/2,h],[L,0],[L/2,L/2],[0,L],[0,L/2]]); J:=multiply(dN,coord):J:=simplify(%); detJ:=det(J);
´ Elasticit´ e plane
31
R´ ef´ erences [1] J. H. Argyris et H.-P. Mlejnek – Die methode der finiten elemente, Band I. Verschiebungsmethode in der statik, Vieweg, 1986. [2] K.-J. Bathe – Finite element procedures in engineering analysis, Prentice Hall, 1996. [3] J.-L. Batoz et G. Dhatt – Mod´elisation des structures par ´el´ements finis, Volume 1. Solides ´elastiques, Herm`es, 1990. [4] M. Bonnet et A. Frangi – Analyse des solides d´eformables par la m´ethode des ´el´ements finis, ´ ´ Editions de l’Ecole polytechnique, 2007. [5] L. Chevalier – M´ecanique des syst`emes et des milieux d´eformables. Cours, exercices et probl`emes corrig´es, Ellipses, 2004. [6] R. D. Cook, D. S. Malkus et M. E. Plesha – Concepts and applications of finite element analysis, 3 ´ed., Wiley, 1989. [7] M. A. Crisfield – Finite elements and solution procedures for structural analysis, Pineridge Press, 1986. [8] G. Dhatt et G. Touzot – Une pr´esentation de la m´ethode des ´el´ements finis, Maloine, 1984. [9] G. Dhatt, G. Touzot et E. Lefran¸ cois – M´ethode des ´el´ements finis, Herm`es, 2005. [10] D. Euvrard – R´esolution des ´equations aux d´eriv´ees partielles de la physique, de la m´ecanique et des sciences de l’ing´enieur. Diff´erences finies, ´el´ements finis, probl`emes en domaines non born´es, 3 ´ed., Masson, 1994. [11] F. Frey et J. Jirousek – Trait´e du g´enie civil, Volume 6. M´ethode des ´el´ements finis, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2001. [12] R. H. Gallagher – Introduction aux ´el´ements finis, Pluralis, 1976. [13] L. Gallimard et J.-P. Pelle (´eds.) – Estimateurs d’erreur pour les analyses ´el´ements finis (revue europ´eenne des ´el´ements finis vol.12 no 6/2003), Herm`es, 2003. [14] T. J. Hughes – The finite element method. Linear static and dynamic finite element analysis, Dover, 2000. [15] J.-F. Imbert – Analyse des structures par ´el´ements finis, 3 ´ed., C´epadu`es, 1995. `ze et J.-P. Pelle – La maˆıtrise du calcul en m´ecanique lin´eaire et non lin´eaire, [16] P. Ladeve Herm`es, 2001. [17] A. Le Pourhiet – R´esolution num´erique des ´equations aux d´eriv´ees partielles. Une premi`ere approche, C´epadu`es, 1988. [18] R. H. MacNeal – Finite elements. Their design and performance, Dekker, 1994. [19] N. Ottosen et H. Petersson – Introduction to the finite element method, Prentice Hall, 1992. [20] J.-P. Pelle, P. Beckers et L. Gallimard – Estimations des erreurs de discr´etisation et analyses adaptatives. Application ` a l’automatisation des calculs ´el´ements finis, Cours IPSI, 1996. [21] A. Portela et A. Charafi – Finite elements using Maple. A Symbolic Programming Approach, Springer, 2002. ´ et I. Babuˇ [22] B. Szabo ska – Finite element analysis, Wiley, 1991. ´ ements finis pour l’ing´enieur. Grands principes et petites recettes, Tec & Doc [23] P. Thomas – El´ (Collection EDF R&D), 2006. [24] P. Trompette – M´ecanique des structures par la m´ethode des ´el´ements finis, Masson, 1992. [25] C. Wielgoz – Cours et exercices de r´esistance des mat´eriaux : ´elasticit´e, plasticit´e, ´el´ements finis, Ellipses, 1999.
32
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