SVEU ČILIŠTE U ZAGREBU - GEODETSKI FAKULTET UNIVERSITY OF ZAGREB - FACULTY OF GEODESY Zavod za inženjersku geodeziju i upravljanje prostornim informacijama Institute of Engineering Geodesy and Spatial Information Management Kačićeva 26; HR-10000 Zagreb, CROATIA Web: www.igupi.geof.hr; Tel.: (+385 1) 45 61 222; Fax.: (+385 1) 48 28 081
Usmjerenje: Inženjerska geodezija i upravljanje prostornim informacijama
Geodetski nadzor i kontrola objekata niskogradnje
SEMINARSKI RAD
Metode konač nih nih elemenata
Izradio: Rinaldo Paar, dipl. ing. geod. Ulica Grada Wirgesa 8 Samobor 10430
[email protected]
Mentor: prof. dr. sc. Zdravko Kapović
Zagreb, siječanj 2003.
2
S A D R Ž A J 1.
UVOD .............................................................................................................. 4
2.
OSNOVE NA KOJIMA SE ZASNIVA MKE .................................................... 4 2.1. R AZLIČITI ASPEKTI MKE .............................................................................. 5 2.2. ALGORITAMSKI KONCEPTI MKE ................................................................... 6 3. OPĆA TEORIJA MKE .................................................................................... 6 3.1. V ARIJABILNA METODA ................................................................................. 7 3.1.1. 3.1.1.1
Metoda deformacije .......................................................................... 7 Analiza elemenata .................................................. .......................................................... 9
3.2. DIREKTNA METODA ................................................................................... 10 3.3. METODA REZIDUUMA ................................................................................. 10 4. ANALIZA REZULTATA MJERENJA POMAKA ŽELJEZNIČKOG MOSTA PREKO SAVE KOD GRADA JASENOVCA NAKON REKONSTRUKCIJE ....... 11 4.1. TEORIJSKI MODEL MOSTA .......................................................................... 11 4.2. ISPITIVANJE MOSTA ................................................................................... 12 4.3. REZULTATI ISPITIVANJA ............................................................................. 12 5. ZAKLJUČAK ................................................................................................ 16 Literatura
3 Sažetak: U radu je opisana metoda konač nih nih elemenata. Dane su osnove na kojima se zasniva metoda kona č nih nih elemenata – razli č čiti iti aspekti metode konač nih nih elemenata. Isto tako objašnjena je opć a teorija metode konač nih nih elemenata. Prikazana je i primjena metode konač nih nih elemenata kod teoretske analize željezni č kog mosta preko Save kod č kog grada Jasenovca. Uspoređ eni eni su rezultati dobiveni teoretskom analizom i rezultati ispitivanja.
Abstract: In this work the method of finite elements is being described, as well as the principle, on which the method is based on – different aspects of the method of finite elements. The use of this method in the theoretic analises of the railway bridge across the Sava river near city of Jasenovac is also shown. The results obtained by theoretic analises are compared with the results of research.
4
1. Uvod Metoda konačnih elemenata spada u suvremene metode numeri čke analize. Njezina primjena prvo je počela u oblasti proračuna inženjerskih konstrukcija. Osnovna ideja o tzv. fizičkoj diskretizaciji kontinuuma, na kojoj se zasniva MKE je vrlo stara, otprilike koliko i ljudsko nastojanje da se teško rješivi problemi zamjene jednostavnijim, za koje se lakše lakše nalaze rješenja. Kao primjer za ilustraciju može se navesti problem odre đivanja opsega ili površine kruga, na osnovu njegove podjele na manje dijelove pravilnog oblika. Gr čki matematičar i fizičar Arhimed, računao je broj π, odnosno granice izme đu kojih se nalazi numerička vrijednost ovog broja na taj na čin što je konturu kruga aproksimirao upisanim odnosno opisanim poligonom sa kona čnim brojem stranica. Sa povećanjem broja stranica poligona, odnosno sa smanjivanjem njihove dužine, smanjivala se i razlika između granica u kojima se nalazi broj π, a povećavala točnost njegove numeri čke vrijednosti. Otprilike u isto vrijeme, na sli čan način, u starom Egiptu je računat volumen piramide i površina sfere, a u Kini je dat dokaz poznatog Pitagorinog teorema. Sa ovim prvim jednostavnim primjerima, otvorena su neka fundamentalna pitanja, kao što su: to čnost rješenja, gornja i donja granica aproksimacije, monotonost i brzina konvergencije i dr. koja su i danas u MKE veoma aktualna i zna čajna sa teoretskog i praktičnog stajališta. Razvoj metode kona čnih elemenata počeo je polovicom prošlog stolje ća. U početnoj fazi on se odvijao kroz dva me đusobno nezavisna pristupa, prvo inženjerski, a odmah zatim matematički. Složene prostorne konstrukcije, u inženjerskim proračunima zamjenjivane su diskretnim sustavima koji su se sastojali od štapova i koji su ra čunati po poznatim postupcima statike linijskih nosača. Od strane matemati čara, tražena su približna rješenja određenih graničnih zadataka pomo ću diskretnih modela uz primjenu varijabilnih postupaka. Ova dva prilaza, inženjerski i matematički, kasnije su objedinjeni, što je bilo od ogromnog značaja za dalji brzi razvoj i široku primjenu MKE.
2. Osnove na kojima se zasniva MKE Metoda konačnih elemenata spada u metode diskretne analize. Za razliku od ostalih numeričkih metoda, koje se zasnivaju na matemati čkoj diskretizaciji jednadžbi graničnih problema, MKE se zasniva na fizi čkoj diskretizaciji razmatranog područ ja. Umjesto elementa diferencijalno malih dimenzija, osnovu za sva proučavanja predstavlja dio podru č ja konačnih dimenzija, manje područ je ili konačni element. Zbog toga su osnovne jednadžbe pomo ću kojih se opisuje stanje u pojedinim elementima, a pomoću kojih se formulira i problem u cjelini, umjesto diferencijalnih ili integralnih, obične algebarske. Sa stajališta fizičke interpretacije, to znači da se razmatrano podru č je, kao kontinuum sa beskona čno mnogo stupnjeva slobode, zamjenjuje diskretnim modelom međusobno povezanih kona čnih elemenata, sa kona čnim brojem stupnjeva slobode. S obzirom na to da je broj diskretnih modela za jedan grani čni problem neograničeno veliki, osnovni zadatak je da se izabere onaj model koji najbolje aproksimira odgovarajući granični problem.
5 Suština aproksimacije kontinuuma po MKE, sastoji se u sljedećem: 1. Razmatrano podru č je kontinuuma, pomoću zamišljenih linija ili površina, dijeli se na odre đeni broj manjih podru č ja konačnih dimenzija. Pojedina manja područ ja se nazivaju konačni elementi, a njihov skup za cijelo područ je sustav ili mreža kona č nih nih elemenata. 2. Pretpostavlja se da su kona konačni elementi međusobno povezani u kona čnom broju točaka, koje se usvajaju na konturi elementa. Te to čke se nazivaju vorne toč ke ke ili č vorovi vorovi . č vorne 3. Stanje u svakom kona čnom elementu (npr. polje pomaka, deformacija, naprezanja, rasprostiranja temperature i sl.) opisuje se pomo ću interpolacionih funkcija i konač nog nog broja parametara u č vorovima vorovima koji predstavljaju osnovne nepoznate veli č čine ine u MKE. 4. Za analizu i prora čun sustava konačnih elemenata važe svi principi i postupci koji važe za klasi čne diskretne sustave. 2.1. Razli č i ti aspekti MKE čiti
Prema načinu na koji se izvode i formuliraju osnovne jednadžbe MKE, odnosno jednadžbe za pojedine konačne elemente, postoje četiri osnovna aspekta MKE i to: direktna metoda, varijabilna metoda, metoda rezidiuma i metoda energetskog balansa. Direktna metoda je analogna metodi deformacije u proračunu linijskih nosača. Ova
metoda se može koristiti kod relativno jednostavnih problema, a pogodna je zbog jasnog geometrijsko-mehani geometrijsko-mehaničkog značenja pojedinih koraka aproksimacije. Varijabilna metoda se zasniva na principu o stacionarnosti funkcija. U problemima mehanike čvrstog tijela funkcija je obično potencijalna odnosno komplementarna
energija sustava ili se funkcija formulira na osnovu ove dvije energije (Hellingereissner, Hu-Washizy). Za razliku od direktne metode, koja se može primijeniti samo na elemente sasvim jednostavnog oblika, varijabilna metoda se podjednako uspješno primjenjuje na elemente jednostavnog i elemente složenog oblika. Metoda reziduuma je opći aspekt aproksimacije po MKE, koji se zasniva na diferencijalnim jednadžbama razmatranog problema. Ova metoda ima naro čito
primjenu kod onih problema kod kojih je teško formulirati funkciju i onih problema kod kojih funkcija uop će ne egzistira. Metoda energetskog balansa se zasniva na balansu razli čitih aspekta energije i ima primjenu u termostatičkoj i termodinamičkoj analizi kontinuuma.
Od navedenih aspekta MKE, u mehanici čvrstih deformacijskih tijela od posebnog su znač aja aja varijabilna metoda i metoda reziduuma, koje u podru č ju primjene predstavljaju dvije komplementarne metode podjednake to čnosti. Za razliku od klasi čnih varijabilnih metoda u kojima izbor interpolacionih funkcija zavisi od konfiguracije razmatranog problema, u MKE to nije slu čaj, s obzirom na to da se interpolacione funkcije definiraju isklju čivo u okvirima pojedinih kona čnih
6 elemenata. Interpolacione funkcije su skup me đusobno nezavisnih funkcija, koje se usvajaju za element, tako da su im vrijednosti u podru č ju svih ostalih elemenata, osim elemenata na koji se odnose, identično jednake nuli. 2.2. Algoritamski koncepti MKE
Analiza i rješavanje problema mehanike kontinuuma po MKE uvijek se svode na tzv. proces korak po korak , što je od ogromnog prakti čnog značaja za primjenu računala u efektivnom prora čunu. U tom procesu koji se može prikazati kao jednostavan algoritam, izdvaja izdvaja se sljedećih šest najvažnijih koraka: 1. diskretizacija kontinuuma 2. izbor interpolacionih funkcija 3. računanje karakteristika elemenata 4. formiranje jednadžbi za mrežu konačnih elemenata 5. rješavanje sustava jednadžbi 6. proračun potrebnih utjecaja Od navedenih šest koraka, prva tri su naro čito važna. Način diskretizacije, izbor oblika elemenata, kao i ukupnog broja elemenata, zavise od prirode problema koji se rješava i potrebne to čnosti traženog rješenja. Pored broja i oblika elemenata važan je i izbor čvorova, osnovnih nepoznatih u njima i interpolacionih funkcija. Pomoću interpolacionih funkcija se definira polje promjenjivih u svakom elementu, od njihovog izbora neposredno zavisi i kontinuitet na granicama izme đu pojedinih elemenata, a samim tim i to čnost aproksimacije. Promjenjive u elementu mogu biti skalarne, vektorske ili tenzorske veli čine. Karakteristike pojedinih elemenata odre đuju se nezavisno od mreže elemenata kao cjeline. Matrica krutosti se formira autonomno za pojedine elemente, a potom na osnovu njih, sasvim jednostavno, formira se matrica za sustav u cjelini. S obzirom na to da je geometrija elemenata po pravilu jednostavna, to prakti čno znači da se kompleksan problem razbija na niz jednostavnih. Posljednja tri koraka, iako su za prakti čne proračune od velikog zna čaja, danas spadaju u okvire rutinskog posla, koji je prilagođen automatskom radu računala.
3. Op ć a teorija MKE Osnovni princip na kojem se zasniva MKE, kao što sam ve ć rekao, sastoji se u podjeli razmatranog područ ja na konačan broj manjih podru č ja odnosno elemenata, tako da se analizom pojedinih elemenata, uz pretpostavku o njihovoj međusobnoj povezanosti, analizira cjelina. Ovaj pristup u analizi, gdje se od posebnog ide ka op ćem, od individualnog ka univerzalnom, u kome se analizom dijelova zaključuje o cjelini, je poznati induktivni pristup, koji se primjenjuje u mnogim područ jima znanosti. Kod inženjerskih i drugih problema kod kojih se opća rješenja ne mogu dobiti u zatvorenom obliku induktivni pristup je od posebnog značaja.
7 U okviru MKE, razmatrano područ je zamjenjuje se velikim brojem malih dijelova konačnih dimenzija, koji su me đusobno povezani u odre đenom broju točaka. Na ovaj način, područ je sa beskonač no no mnogo stupnjeva slobode, zamjenjuje se diskretnim sustavom sa konač nim nim brojem stupnjeva slobode i analizira metodama diskretne analize. U matematičkoj formulaciji, ovo znači da se razmatrani problem prevodi iz podru č ja analize u područ je algebre. MKE se može shvatiti kao metoda numeri č ke analize o okviru koje se definira na č in in prevođ enja enja kontinuiranih fizi č č ke čkih kih sustava u diskretne, odnosno na č in in formiranja sustava algebarskih jednadžbi pomoć u kojih se aproksimira određ eni eni konturni zadatak. S obzirom na to da taj način nije jedinstven, to ni formulacija metoda konačnih elemenata nije jedinstvena. Postoje različite varijante MKE, koje u suštini znače isto, ali se razlikuju u pogledu formalnog pristupa. U poglavlju 2.1. su istaknuta četiri aspekta MKE koji će u nastavku biti elaborirani. 3.1. Varijabilna metoda
Varijabilna formulacija MKE se zasniva na varijabilnim principima mehanike kontinuuma. Ona je opća i jednostavna, sa širokim područ jem primjene, pa se stoga može smatrati osnovnom formulacijom u MKE. U mehanici čvrstog deformabilnog tijela kao osnovni varijabilni principi smatraju se •
princip o minimumu potencijalne energije
•
princip o minimumu komplementarne energije
•
Reissner-ov varijabilni princip
Na osnovu svakog od ovih principa. može se formulirati odgovaraju ći aspekt MKE koji se međusobno razlikuju po na činu izbora osnovnih nepoznatih veli čina kod rješavanja problema. Kada se polazi od principa o minimumu potencijalne energije za osnovne nepoznate se usvajaju kinemati čke (deformacijske) veli čine, kada se polazi od principa o minimumu komplementarne energije, za osnovne nepoznate se usvajaju stati čke veličine, a kada se polazi od Reissner-ovog varijabilnog principa, za osnovne nepoznate se usvajaju djelom stati čke, a djelom kinematičke veličine. Na taj način se dobivaju tri osnovna oblika varijabilne formulacije MKE, koji su poznati pod nazivom: metoda deformacija, metoda sila, i mješovita ili hibridna metoda.
3.1.1.
Metoda deformacije
Na slici 1. prikazano je područ je D elastičnog kontinuuma, koji je ograni čen konturom S, tako da su na djelu konture S σ zadani konturni uvjeti po silama, a na djelu Su konturni uvjeti po pomacima. U područ ju D djeluju zapreminske sile F (Fx, Fy, Fz), a na konturi Sσ površinske sile p (p x, py, pz). Za pomake u u područ ju D se pretpostavlja da su neprekidne funkcije koordinata u=u (x, y, z) odnosno: u=u (x, y, z) v=v (x, y, z) (1) w=w (x, y, z)
8
Slika 1. Područ je D elastičnog kontinuuma Zadatak teorije elasti čnosti, kada se problem formulira po pomacima, odnosno po metodi deformacije, sastoji se u određivanju funkcija pomaka, koje zadovoljavaju uvjete ravnoteže i uvjete na konturi, odnosno diferencijalne jednadžbe i konturne uvjete. Granični zadatak koji je formuliran na ovaj na čin, u kinematičkom smislu, predstavlja sustav s beskona čnim brojem stupnjeva slobode. Zadatak je da se odredi rješenje ovog graničnog problema pomo ću odgovarajućeg diskretnog sustava, sa kona čnim brojem stupnjeva slobode, odnosno kao rješenje odgovarajućeg sustava algebarskih jednadžbi. Razmatrano područ je D dijeli se na konačan broj malih dijelova – konač nih nih elemenata, koji su me đusobno povezani u odre đenom broju točaka, koje se nazivaju č vorovi vorovi (slika 2.).
Slika 2. Područ je D podijeljeno na konačan broj elemenata Ako se pretpostavi da se pomaci u bilo kojoj točci konačnog elementa mogu, na određeni način, prikazati u zavisnosti od pomaka u čvorovima, onda se problem
9 određivanja polja pomaka u područ ju D svodi na određivanje pomaka u čvorovima, a broj pomaka u čvorovima je kona čan. Pomaci u čvorovima u područ ju D i na konturi Sσ određuju se iz sustava jednadžbi, koje predstavljaju uvjete ravnoteže u čvorovima, uvjete kontinuiteta u čvorovima i konturnih uvjeta na konturi S σ. Ove jednadžbe se mogu formirati na osnovu principa virtualnih pomaka ili na osnovu varijabilnog principa o minimumu potencijalne energije. Kada je poznato polje pomaka, nije teško dobiti polje deformacija i polje napona.
3.1.1.1 Analiza elemenata Na slici 3. prikazan je kona čni element, koji je izdvojen iz sustava elemenata sa slike 2. Zbog jednostavnosti, element je prikazan kao dvodimenzionalni, ograni čen sa pravolinijskim konturama. Ovim se ne želi suziti opseg razmatranja, koja važe za jednodimenzionalne i višedimenzionalne elemente sa ravnim i krivim konturama.
Slika 3. Konačni element izdvojen iz sustava elemenata Na elementu je usvojen odre đen broj točaka na konturi, koje se nazivaju č vorne vorne toč ke ke ili č vorovi. vorovi. Čvorovi su obilježeni brojevima 1,2, … k … K, gdje je K ukupan broj čvorova. Ovi čvorovi se nazivaju vanjski č vorovi vorovi , da bi se razlikovali od vorovi . čvorova koji mogu biti usvojeni u elementu i koji se nazivaju unutrašnji č vorovi Ukupan broj unutrašnjih čvorova obilježen je sa R. U čvorovima elementa kao osnovne nepoznate veli čine, usvajaju se parametri pomaka. Pod pomacima, ovdje se podrazumijevaju pomaci u generaliziranom smislu, tj. komponente pomaka, njihove kombinacije i sl. Broj parametara pomaka u čvorovima zavisi od prirode razmatranog problema. Npr. kod trodimenzionalnih problema u svakom čvoru, za parametre pomaka se usvajaju po tri komponente pomaka (u, v, w) kod dvodimenzionalnih po dvije (u, v), kod savijanja plo ča najmanje po tri (w, θx=w,y, θy=w,x) itd. Parametri pomaka u čvorovima često se nazivaju stupnjevi slobode, po analogiji sa značenjem koje ove veličine imaju u statici linijskih sustava. Ako je u svakom čvoru usvojeno po S parametara pomaka, element ima SxK vanjskih stupnjeva slobode i SxR unutrašnjih stupnjeva slobode.
10 3.2. Direktna metoda
Za prikaz MKE najbolja je direktna metoda zbog svoje jednostavnosti i o čiglednog fizičkog značaja pojedinih koraka u formulaciji. Zbog toga se ova metoda uzima kao polazna osnova za interpretaciju MKE. Op ći teorija MKE objašnjena je u okviru varijabilne metode. Razmatranja se ilustriraju primjerima linijskih sustava u statici konstrukcija, u kojima su kona čni elementi štapovi sustava. Štapovi predstavljaju vrlo jednostavne kona čne elemente, za koje je moguće sve statičke i deformacijske zavisnosti uspostaviti neposredno, direktnim putem. S obzirom na to da su štapovi me đusobno povezani diskretno a ne kontinuirano, MKE kod linijskih sustava se svodi na matri čnu formulaciju metode deformacije, pomoću koje se u okviru date teorije mogu dobiti točna rješenja. Postupak direktnog određivanja osnovnih zavisnosti štapa, nije mogu će jednostavno prenjeti na dvodimenzionalne i trodimenzionalne elemente, koji su znatno složeniji po obliku i po načinu njihovog međusobnog povezivanja. Zbog toga direktna formulacija MKE, iako je vrlo jednostavna, nema karakter op će metode koja se može primjeniti kod složenih višedimenzionalnih problema. 3.3. Metoda reziduuma
Ako je neki problem opisan pomoću funkcije koja ima stacionarnu vrijednost, njegovo rješenje se može dobiti u okviru varijabilne formulacije MKE. Me đutim za one probleme kod kojih funkcija ne postoji, varijabilna fomulacija MKE nije moguća. U takvim slučajevima se primjenjuju druge metode aproksimacije, me đu kojima najčešće metoda reziduuma. Za metodu reziduuma polaznu osnovu predstavljaju diferencijalne jednadžbe problema. Ako se pri odre đivanju rješenja po klasičnoj metodi reziduuma izvrši podjela razmatranog podru č ja na manja područ ja, tako da se tražene funkcije aproksimiraju u manjim područ jima, uz vođenje računa o uvjetima neprekidnosti na granicama izme đu manjih područ ja, dobija se rezidualna formulacija MKE. S obzirom da postoji više različitih metoda reziduuma, u principu je mogu će razviti više različitih varijanti MKE. Međutim, u primjeni je uglavnom samo onaj aspekt MKE koji se formulira na osnovu metode Galerkina.
11
4. Analiza rezultata rezultata mjerenja pomaka željezni č kog mosta preko Save kod grada Jasenovca nakon rekonstrukcije Probno ispitivanje željezničkog mosta preko Save kod Jasenovca (slika 4.) je izvršeno radi dokazivanja njegove stabilnosti nakon rekonstrukcije. Spomenuti željeznički most je stradao u domovinskom ratu tako, da mu je srednji raspon dužine l=55.6 m bio srušen. Taj dio konstrukcije mosta je duže vremena bio djelomično potopljen u vodi, da bi konačno bio podignut i postavljen na svoje staro mjesto uz adekvatnu sanaciju. Probno ispitivanje je trebalo dati odgovor na pitanje kakav je uspjeh postignut ovom sanacijom. Konstrukciju mosta čine 3 raspona od čeličnih rešetki. Dva prema gradu Jasenovcu su jednake dužine l=55.6 m i kontinuirano su spojeni preko srednjeg ležajnog stupa, a tre ći je dvostruko duži, s ve ćom visinom rešetke i odvojen od prvog i drugog.
Slika 4. Željeznički most preko Save kod Jasenovca 4.1. Teorijski model mosta
Teorijski model za određivanje pomaka iz kojih dobivamo progibe (izraz 1.) bazira se na metodi kona čnih elemenata (K. J. Bathe 1990). Konstrukcija mosta je modelirana na određeni broj manjih podru č ja konačnih dimenzija pomoću štapnih elemenata, koje nazivamo kona čni elementi, a njihov skup za cijeli most sustav ili mreža konačnih elemenata. Pretpostavlja se da su kona čni elementi međusobno povezani u kona čnom broju točaka – čvorova. U skladu s konstrukcijom mosta izra đen je teorijski model (slika 5.) koji ima 17 čvorova. Za obradu teorijskog modela korišten je program "SAP90" .
12
Slika 5. Teorijski model mosta za statičko opterećenje 4.2. Ispitivanje mosta
Statičko ispitivanje mosta je provedeno pomo ću dvije dizel lokomotive ukupne dužine l=18.6 m sa 6 osovina svaka težine 110 tona. Ispitivanje je obavljeno na dva manja raspona mosta. Optere ćenje je obavljeno u 3 faze (faza 2, 4, 6). U fazi 2 je opterećen prvi raspon do upornjaka s obje lokomotive, u fazi 4 drugi raspon s obje lokomotive, a u fazi 6 svaki raspon sa jednom lokomotivom u sredini raspona. Tijekom svake faze opterećenja mjereni su vertikalni pomaci na karakterističnim mjestima konstrukcije, koja su obilježena u pripremnim radovima duž dviju linija A i B (slika 5.). Vertikalni pomaci pri statičkom opterećenju određivani su modificiranom metodom geometrijskog nivelmana. Za odre đivanje vertikalnih pomaka upotrebljavana su dva precizna WILD-ova nivelira, NA2 s planparalelnim pločama. Na mjerna mjesta postavlja se nivelmanska letva i o čitava visinska razlika razmatrane točke od ravnine horizonta vizure. Iz razlike o čitanja neopterećenog i opterećenog mosta dobivene su vrijednosti vertikalnih pomaka uslijed optere ćenja, a iz razlike prije i poslije opterećenja, vrijednosti zaostalih deformacija. 4.3. Rezultati ispitivanja
Rezultati ispitivanja statičkim opterećenjem su progibi koje dobivamo iz mjerenih pomaka na karakteristi čnim mjestima konstrukcije. Progib je pomak u sredini, reduciran na aritmetičku sredinu pomaka na krajevima raspona (izraz 2., slika 6.). Prikaz pomaka dobivenih geodetskim ispitivanjem (slika 11.) dan je u tablici 1. 1
3
2
Slika 6. Progib w2=L2-(L1+L3)2
(2)
13
Tablica 1. Pomaci dobiveni geodetskim ispitivanjima [mm] Mjerno mjesto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
F2(1) A 2 10 17 23 14 9 1 -2 -4 -5 -3 0 0
F3(1) B 1 10 17 22 14 8 1 -2 -5 -5 -3 0 0
A
F4(3) B
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 -1 -3 -6 -5 -1 0 8 14 24 16 9 2
F5(3) B 0 -1 -2 -5 -4 -2 1 9 15 24 17 10 1
A
F6(5) B
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0
F7(5) B
0 2 6 9 4 1 1 2 7 9 5 2 1
0 3 7 10 5 1 0 2 6 10 5 2 0
A
B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Maksimalna vrijednost progiba dobivenog iz mjerenih pomaka u sredini prvog raspona prema gradu Jasenovcu iznosi: w(l/2)1izmjereno=21,25 mm. Maksimalna vrijednost progiba dobivenog iz mjerenih pomaka u sredini drugog raspona iznosi: w(l/2)2izmjereno=23,0 mm. Maksimalna vrijednost teorijskog progiba u sredini prvog i drugog raspona iznosi: w(l/2)1,2računato=25,67 mm. Teorijski 3D model mosta prilikom opterećenja prvog raspona prikazan je na slici 7, a prilikom opterećenja prvog i drugog raspona na slici 8. Dobiveni su programom "SAP90".
14 Slika 7. Teorijski 3D model mosta prilikom opterećenja 1. raspona
Slika 8. Teorijski 3D model mosta prilikom opterećenja 1. i 2. raspona Grafički prikaz pomaka dobivenih geodetskim ispitivanjima prilikom optere ćenja prikazan je na slici 9.
15 Slika 9. Grafičko/tabelarni prikaz izmjerenih pomaka Teorijske vrijednosti progiba i vrijednosti progiba dobivene rezultatima geodetskih mjerenja pomaka prikazani su na slici 10. Možemo uo čiti da su vrijednosti dobivenih progiba manje od očekivanih – teorijskih. Iz toga možemo zaklju čiti da je izvedena konstrukcija mosta kru ća od teorijske.
Slika 10. Grafičko/tabelarni prikaz izmjerenih i teorijskih veli čina progiba Veličine izmjerenih progiba i deformacija na elementima saniranih rasponskih sklopova su u o čekivanim granicama i sukladne su teorijskim veli činama. Zaostale vrijednosti progiba i deformacija na elementima saniranog dijela mosta su također u granicama očekivanja te se ponašanje konstrukcije može smatrati elastičnim.
16
Slika 11. Geodetski radovi prilikom statičkog ispitivanja
5. Zaklju č a k Osnovni pristup MKE u analizi pojedinih elemenata, da se analizom dijelova zaključuje o cjelini, je poznati induktivni pristup, koji se primjenjuje u mnogim područ jima znanosti. Kod inženjerskih i drugih problema problema kod kojih se opća rješenja ne mogu dobiti u zatvorenom obliku induktivni pristup je od posebnog zna čaja. MKE prvo je počela imati primjenu u oblasti proračuna inženjerskih konstrukcija. Rješenja koja dobijemo MKE su približna ili aproksimativna rješenja. Zato treba postaviti pitanje njihove točnosti, stabilnosti i konvergencije. Sa prakti čnog stajališta treba znati sa koje su strane približna rješenja u odnosu na to čno rješenje, odnosno da li su dobijeni rezultati na strani sigurnosti. Pod pojmom točnosti ovdje se podrazumijeva bliskost približnog rješenja to čnom, odnosno odstupanje približnog od to čnog rješenja, dok se pod stabilnoš ću podrazumijeva stabilnost u numeri čkom odnosno proračunskom procesu kod određivanja rješenja. Ako se razlika između uzastopnih rješenja sukcesivno smanjuje, postupak je konvergentan. O konvergenciji MKE zaklju čuje se na osnovu analize rezultata u zavisnosti od promjene odre đenih parametara, kao što su veličina i broj kona čnih elemenata, ili broj članova ili interpolacionih funkcija u približnom rješenju. Dokazom o konvergenciji daje se odgovor i na pitanje o njegovoj stabilnosti, pošto je po pravilu, za konvergentno rješenje numeri čki postupak stabilan. Greške u MKE, po svojoj prirodi mogu biti dvojake: greške diskretizacije, koje predstavljaju razliku između realne geometrije tijela i njegove aproksimacije sustavom kona čnih elemenata; i greške interpolacionih funkcija, koje predstavljaju razliku između stvarnog polja nepoznatih funkcija i njihove aproksimacije pomo ću polinoma. Greške diskretizacije se smanjuju pove ćanjem broja kona čnih elemenata odnosno smanjenjem njihove veli čine, one teže nuli.
17
Literatura: M. Sekulović (1984): Metod konačnih elemenata. IRO "Građevinska knjiga", Beograd. M. Rak., J. Krolo (2000): Izvješće o probnom ispitivanju željezni čkog mosta preko Save kod Jasenovca nakon rekonstrukcije. Gra đevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, Zavod za tehničku mehaniku. P. Staykov, N. Rangelov (1998): Two span continuous truss railway bridge over Sava at Jasenovac – project for proof loading test. Sofija. K. J. Bathe (1990): Finite elemente methoden, Berlin.
