Metode Newton Raphson Metode Numerik

ABSTRACT Ebook Tentang Teknik Informatika & Komputer

Status Published

ARDIAN RIZQI

Pen y el es ai an Pe Per s am aan No No n Li L i n i er

• Metode Iterasi Sederhana • Metode Newton Ra Raphson • Permasalahan Titik Kritis pada Newton Raphson • Metode Secant

Metode Numerik

Iterasi/NewtonRaphson/Secant

1

- Met o d e It er as i Sed Sed er h an aMeto etode iter terasi sede ederhana adalah alah meto etode yang ang mem memisahkan x den dengan seba sebagi gian an x yan yang g lai lain n seh sehin ingg gga a dipe dipero role leh h : x = g(x) g(x).. Cont Contoh oh : y=x y=x-e -ex diub diubah ah menj menjad adii : g(x) g(x)=e =ex g(x) inilah yang menjad njadii dasar iterasi pada meto etode iterasi sederh erhana Metode iterasi sederhana secara grafis dijelaskan sebagai berikut : Y y=x

y=g(x)

x1 x3

x2

x0

X

Grafik Metode Iteras rasi Seder derhana y=x, =x,g=ex Metode Numerik


2

Conto on toh h Penye ny el esaian Meto Metode de Iterasi Iterasi Sederha derh ana Sele Selesa saik ikan an x +ex = 0 Jawab : Pers Persam amaa aan n diub diubah ah menj menjad adii g(x) g(x) = -ex Ambil titik awal di x0 = -1 , maka Iterasi 1 : x = -e-1= -0.3679 F(x) = 0,3243 Iterasi 2 : x = -e-0,3679 = -0,6922 F(x) = -0,19173 Iterasi 3 : x = -e-0,6922 = -0,50047 F(x) = 0,10577 Iterasi 4 : x = -e-0,50047 = -0,60624 F(x) = -0,06085 Iterasi 5 = x = -e-0,60624 = -0,5454 F(x) = 0,034217 Metode Numerik

Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0,56843 dan F(x) = 0,034217. 0, 034217.


3

Al A l g o r i t m a Meto Met o d e Iter It eras asii Seder Sed erh h ana an a

1. Definisikan F(x) dan g(x) 2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) 3. Tentukan pendekatan awal x 4. Untu Untuk k ite itera rasi si = 1 s/ s/d d n atau atau F( F(x) x) > e Xi = g(xi-1) Hitung ung F(xi) 5. Akar adalah x terakhir yang diperoleh.

Metode Numerik


4

Metod to d e New ton to n Rap h son so n Metod tode Newton Rap Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperh erhatikan slope atau gradien pada titik ters rseb ebu ut . Titik pendekatan ke n+1 di dituliskan sebagai berikut :

xn +1

= xn −

F ( xn ) F ( xn ) 1

x2 x1

X x0

Gamb Gambar ar Meto Metode de Newt Newton on Raph Raphso son n Metode Numerik


5

Conto on toh h Pe Penye ny elesaian Me Metode to de New ton to n Ra Raphs ph s on Selesaikan persamaan x - e-x = 0 dengan titik pendekatan awal x0 =0 =0 f(x f(x) = x - e-x Æ f’(x)=1+e-x f(x f(x0) = 0 - e-0 = -1 f ’(x0) = 1 + e-0 = 2 x1 = x0 −

f ( x0 ) f ( x0 ) 1

=

0−

−1

2

=

0,5

f(x1) = -0,106631 dan f’(x1) = 1,60653 x2

= x1 −

f ( x1 ) f ( x1 ) 1

=

0,5 −

− 0,106531

1,60653

=

0,566311

f(x2) = -0,00130451 dan f1(x2) = 1,56762 f ( x ) − 0,00130451 x3 = x2 − 1 2 = 0,566311 − = 0,567143 f ( x2 ) 1,56762 f(x3) = -1,96.10-7. Suatu bilangan yang sangat kecil. Sehingga akar persamaan x = 0,567143. Metode Numerik


6

Al A l g o r i t m a Meto Met o d e Newt New t o n Raph Rap h s o n 1. Defi efinisi nisikkan fung fungssi F(x F(x)) dan dan F1(x) 2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) 3. Tentukan nilai pendekatan awal x0 4. Hitung F(x0) dan F1(x0) 5. Untu Untuk k ite itera rasi si i = 1 s/ s/d d n atau atau |f(x |f(xi)| > e F ( x n ) x i 1 = x i − F 1 ( x n ) Hitung f(xi+1) dan f 1(xi+1) +

6. Akar persamaan adalah nilai xi+1 yang yang terakh terakhir ir dipe dipero role leh. h.

Metode Numerik


7

Perma rm asalahan Me Metode to de Ne New tonRa to nRaph phso son n Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F 1(x) = 0 sehingga nilai penyebut dari F ( x ) = nol, secara grafis dapat dilihat sebagai berikut : F 1 ( x )

titik puncak akar persamaan

Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak berhingga. Grafik Grafik Pendek Pendekata atan n Newton Newton Raphso Raphson, n, dg. Titi Titikk Pende endeka kata tan n ada di Titi Titikk Punca uncakk

Metode Numerik


8

Per m as al ah an Met o d e New t o n Rap h s o n Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner. Titik pendekatan

akar persamaan

titik puncak

Bila titik pendekatan berada diantara dua titik puncak akan dapat mengakibatkan hilangnya penyelesaian (divergensi). Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya berbeda. Grafik Grafik Pendek Pendekata atan n Newton Newton Raphso Raphson, n, dg. dg. Titik pendekatan berada diantara 2 titik puncak

Metode Numerik


9

Penye ny elesaian Perm Perma asalahan Meto Metode de Newt Newton on Raphso ph son n Untuk dapat menyelesaikan kedua permasalahan pada metode newton raphson ini, maka metode newton raphson perlu dimodifikasi dengan : 1. Bila Bila tit titik ik pen pende deka kata tan n bera berada da pada pada titi titik k punc puncak ak mak maka a titi titik k pend pendek ekat atan an tersebut harus di geser sedikit, xi = xi ± δ dimana δ adalah konstanta yang ditentukan dengan demikian F 1 ( xi ) ≠ 0 dan metode newton raphson tetap dapat berjalan. 2. Untuk Untuk mengh menghind indari ari titi titik-t k-titi itik k pendek pendekata atan n yang yang berada berada jauh jauh,, sebaik sebaiknya nya pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel, sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson.

Metode Numerik


10

Contoh Penyelesaian Permasalahan Metode to de Ne Newton wt on Raphso ph son n Selesaikan persamaan : x . e-x + cos(2x) = 0 Jawab : Bila menggunakan titik pendekatan awal x0 = 0,176281 f(x) = x . e-x + cos(2x) f 1(x) = (1-x) e-x – 2 sin (2x) Sehing Sehingga ga f(x f(x0) 0) = 1,08628 1,086282 2 dan f 1(x0) = -0,000015

Grafik y=x.e-x+cos(2x) x0

akar persamaan

Metode Numerik


11

Iter Iteras asii meng menggu guna naka kan n meto metode de Newto Newton n Raph Raphso son n:

Pendekatan awal x0=0.5 iterasi dari metode Newton Raphson: It er as i

i t er as i

x

f (x )

f ' (x )

x

f (x )

f ' (x )

0

0,5

0,843568

-1,37967664

-1,608732696

1

1,111424

-0,24106

-1,626349133

-0,10227

-1,989513691

2

0,963203

0,019463

-1,86082504

71365,2

0,00036

-1,99999987

3

0,973662

5,61E-05

-1,849946271

4

71365,2

-2,9E-11

-2

4

0,973692

4,98E-10

-1,849913417

5

71365,2

3,13E-13

-2

6

71365,2

3,13E-13

-2

5

0,973692

0

-1,849913417

6

0,973692

0

-1,849913417

0

0,17628

1,086282

-1,52216E-05

1

71364,89

0,594134

2

71365,26

3

Akar yang ditemukan x=71365

Metode Numerik

Akar yang ditemukan adalah x=0.973692


12

Al A l g o r i t m a Meto Met o d e Newt New t o n Raph Rap h s o n dengan Modifikasi Tabel 1. 2. 3. 4. 5. 6.

7.

Definisikan fungsi F(x) Ambil range nilai x = [a, b] dengan jumlah pembagi n Masu Masukk kkan an tore torela lans nsii err error or (e) (e) dan dan masu masukk kkan an iter iteras asii n Gunaka Gunakan n algo algorit ritma ma tabel tabel dipero diperoleh leh titik titik pendek pendekata atan n awal awal x0 dari dari : F(xk) . F(xk+1)<0 maka x0 = xk Hitung F(x0) dan F1(x0) 1 Bila Bila F abs(F ( x0 )) < e maka maka pend pendek ekat atan an awal awal x0 dige digese serr sebe sebesa sarr dx (dimasukkan) x0 = x0 + dx hitu hitung ng F( F(xx0) dan F1(x0) Untuk iterasi i= 1 s/d n atau |F(xi)| ≥ e x i

= x i −1 −

F ( x i −1 )

F ( x i −1 ) 1

hitu itung F( F(xi xi)) dan dan F1(xi) bila |F1(xi)| < e maka xi = xi + dx dx hitu hitung ng F( F(xi xi)) dan dan F1(xi) 8.Akar 8.Akar persam persamaan aan adalah adalah x terakh terakhir ir yang yang dipero diperoleh leh.. Metode Numerik


13

Met o d e Sec an t Meto Metode de Secan ecantt meru merupa paka kan n perb perbai aika kan n dari dari meto metode de regu regulla-fa a-fals lsii dan dan Newt Newton on Raph Raphso son, n, dima dimana na kemi kemiri ring ngan an dua dua titi titikk diny dinyat atak akan an secara diskrit, den dengan mengambil bentuk gar garis lurus yang me melalui satu titik.

y − y 0 = m( x − x0 Dimana m dipe dipero role leh h dari dari

( f ( xn ) − f ( xn 1 ) ) mn = ( xn − xn 1 ) −

−

Jika y=F(x), ny dan xn dike diketa tahu hui, i, maka maka titi titikk ke n+1 adalah :

yn +1 − yn

=

mn ( xn +1 − xn )

Bila titik xn+1 dianggap sebagai akar persamaan maka yn+1 = 0 sehingga ( xn − xn+1 ) xn +1 = xn − yn yn − yn +1 Metode Numerik


14

Contoh Penyelesaian Metode Secant Sele Selesa saik ikan an persa persama maan an x 2

− ( x + 1).e

−x

Jawab : Berd Berdas asar arka kan n gamb gambar ar graf grafk k dida didapa patk tkan an akar akar terl terlet etak ak pada pada rang range e [0.8 [0.8,, 0.9] 0.9],, maka maka X0 = 0.8 0.8 dan dan x1 = 0.9 0.9,, seh sehin ingg gga a: y0 = F(x0) = -0.16879 y1 = F(x1) = 0.037518 Iterasi Meto Metod de Secant ad adalah sbb : Iter Iteras asii 1 : x − x0 x2 = x1 − y1 1 = 0.881815 y1 − y0 Iter Iteras asii 2 :

x3

= x2 − y 2

Iter Iteras asii 3 :

x4

= x3 − y3

x2 − x1 y2 − y1

x3 − x2 y3 − y2

=

0.00153

0.882528

y3

= 1.3 x10

0.882534

y4

=

=

=

y2

−5

4.91x10

−9

Diperoleh akar x = 0.882534 Metode Numerik


15

2 Grafik fungsi y = x − ( x + 1).e

Metode Numerik

− x

untuk range [-1,1]


16

Al A l g o r i t m a Meto Met o d e Secan Sec antt 1. Defi Defini nisi sika kan n fung fungsi si F( F(xx) 2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) 3. Masukkan dua nilai pendekatan awal, dimana diantaranya terdapat akar (x0 dan x1), gunakan metode tabel atau grafis untu untukk menda endapa patk tkan an titi titikk pend pendek ekat atan an 4. Hitung F(x0) da dan F(x1) se sebagai y0 da dan y1 5. Untu Untuk k ite itera rasi si i = 1 s/d s/d n ata atau u |f( |f(xxi)| > e xi − xi −1 xi +1 = xi − yi yi − yi −1 Hitung yi+1=f(xi+1) 6. Akar persamaan adalah nilai x yang yang terakhi terakhirr diperol diperoleh. eh. Metode Numerik


17

Metode Newton Raphson Metode Numerik

Recommend Documents