STMIK WIDYADHARMA URUSAN TEKNIK PERANGKAT JURUSAN
TIKK 412
METODE NUMERIK
MATERI PERKULIAHAN:
SISTEM PERSAMAAN LINIER SIMULTAN Eliminasi Gauss Gauss-Jordan. Iterasi Gauss-Seidel
PENCOCOKAN KURVA
PENDAHULUAN PENDAHULU AN METODE NUMERIK
Pengertian Metode Numerik Pendekatan dan Kesalahan
AKAR-AKAR PERSAMAAN
Metode Metode Metode Metode Metode
Biseksi Regula Falsi Falsi Secant Iterasi Titik Tetap Tetap Newton – Raph Raphson son
Regresi Kuadrat Terkecil Interpolasi
INTEGRASI NUMERIK Integrasi Newton-Cotes Integrasi Kuadratur Gauss
Persamaan Diferensial
Met eto ode Sat atu u La Lan kah
Referensi:
Chapra Steven C., Canale Raymond P., Metode Numerik Untuk Teknik: Dengan Penerapan pada Komputer Pribadi, penerjemah: S. Sardy dan pendamping: Lamyarni I.S., Cetakan Cetak an 1, Universitas Indonesia (UIPress), Jakarta, 1991 Steven E. Pav., Numerical Methods Course Notes Version 0.11 (UCSD Math 174, Fall 2004), Department of Mathematics, MC0112, University of California at San Diego, La Jolla, CA
Pendahuluan Metode Numerik adalah suatu metode atau teknik untuk menyelesaik menyelesaikan an masalah matematika matematik a melalui pengoperasian aritmatika secara iteratif. Manfaat Metode Numerik Sanggup menangani sistem persamaan yang besar, tidak linier serta geometri rumit yang tidak biasa terjadi dalam praktek keteknikan dan sering kali tidak memungkinkan untuk diselesaikan secara analitis. Dasar pengetahuan untuk menggunakan program aplikasi komputer yang mencakup metode numerik. Mengoptimalkan penggunaan kalkulator (prakomputer) dan komputer (pemrograman) dalam mencari solusi permasalahan matematika yang rumit. Pemahaman tentang pengendalian kesalahan pendekatan dalam kalkulasi numerik.
Angka Signifikan Angka-angka atau digit berarti yang dapat digunakan dengan me meyakin yakinkan kan dan dapat diandal diandalkan. kan. Misal: 0,00144 ( 3 angka signifikan) 0,0010408 (5 angka signifikan) 12,500 (3 atau 5 angka signifikan ?) 1,26 x 105 (3 angka signifikan) 1,260 x 104 (4 angka signifikan) 1,2600 x 104 (5 angka signifikan)
Dua implikasi penting angka si nifikan dalam metode Angka signifikan akan memberikan kriteria untuk merinci seberapa keyakinan kita mengenai hasil-hasil pendekatan dalam metode numerik
Angka signifikan memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa untuk besaran spesifik yang tidak bisa dinyatakan secara eksak karena keterbatasan jumlah digit yang mampu disimpan komputer
Akurasi dan Presisi Presisi
Akurasi : dekatnya sebuah
angka signifikan angka pendekatan atau yang menyatakan suatu pengukuran terhadap harga sebenarnya sebenarnya yang ya ng hendak besaran. dinyatakan. Penyebaran Penyebaran dalam dala m bacaan berulang dari sebuah alat yang Inakurasi (bias) : mengukur suatu Simpangan sistematis dari perilaku fisik tertentu. kebenaran.
Ø Jumlah
Ø
Kesalahan komputasi numerik terjadi jika tidak akurat dan tidak presisi dalam melakukan taksiran.
KESALAHAN (GALA (GALAT T atau atau Kesalahan numerik timbul dari penggunaan pendekatan (aproksimasi) untuk menyatakan operasi dan besaran matematik matematika a yang pasti.
Ada 3 macam kesalahan dasar 3.Kesalahan bawaan (inheren) 3.Kesalahan 4.K 4. Kesalahan pemoto pemotongan ngan (T (Truncat runcation ion Error) 5.Kesalahan 5. Kesalahan pembulatan (Round-off Error)
Kesalahan bawaan (Inheren)
Terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum f i s i k d a r i d a t a y a n g d i u k u r. r.
Kesalahan Pemotongan (Truncation Berhubungan dengan cara pelaksanaan prosedur numerik
Kesalahan Pembulatan (Round-off
Akibat pembulatan angka Komputer hanya menyimpan sejumlah tertentu angka signifikan selama kalkulasi.
Penyelesaian secara numerik suatu persamaan matematis hanya memberikan aproksimasi yang mendekati harga eksak (sebenarnya/pasti) (sebenarnya/past i) dari penyelesaian analitis. Hubungan harga eksak dan aproksimasi:
Harga eksak = aproksimasi + Kesalahan Kesalahan numerik adalah setara terhadap ketidakcocokan antara yang sebenarnya dan a roksimasi, sehin a
Et = Harga eksak – aproksimasi Dimana, Et = kesalahan mutlak
Definisi kesalahan mutlak memiliki kelemahan karena tidak memperhitungkan tingkat/orde besar dari nilai yang diperiksa, misalnya kesalahan 1 cm akan sangat berarti pada pengukuran panjang sekrup dari pada pengukuran penguk uran panjang jembatan. Normalisasi kesalahan terhadap harga eksak, He di un unak akan an kes esala alaha han n rel elat atif if,, ai aitu tu
Kesalahan mutlak Kesalahan relatif = Harga eksak
=
Kesalaha esalahan n relatif dapat dikalikan dengan100% sehingga didefini didefinisikan sikan sebagai Persentase kesalahan
Alternatif yang selalu dipakai dalam menormalisasi kesalahan dengan menggunakan taksiran terbaik dari harga yang sebenarnya terhadap kesalahan aproksimasi itu sendiri, Kesalahan aproksimasi εa = x 100% aproksimasi Dimana: εa = Persentase kesalahan harga a roksimasi.
Dengan persamaan εa kita menentukan taksiran kesalahan tanpa pengetahuan mengenai harga eksak. Dalam metode numerik tertentu digunakan pendekatan iterasi untuk meminimalkan kesalahan, kesalahan, jadi suatu su atu aproksimasi yang baru dibuat berdasarkan aproksimasi sebelumnya, εa
aproksimasi baru – aproksimasi lama = x 100% aproksimasi baru
Dalam komputasi persentase kesalahan dilakukan secara berulang hingga memenuhi:
εs = ( 0,5 x 10
2 - n )%
Dengan memperhatikan jumlah angka signifikan pada aproksimasi, maka ada jaminan bahwa hasilnya adalah benar hingga sekurang-kurangnya n angka signifikan.
Soal: 1.
Berapa jumlah angka signifikan disetiap bilangan berikut? a. 84,0 c. 70,0 e. 0,00460 b. 70 d. 0,04600 f. 8,0 x 103
2.
Bulatkan bilangan-bilangan bilangan-bilangan berikut sampai tiga angka signifikan.
3.
c.8 c.8,755
c. 0,368124 x 102
d.4 d. 4.225,0002
d. 5,445 x 103
e. 0,999500
Lakukan operasi hitung berikut dan tuliskan hasilnya dalam Lakukan jumlah angka signifikan yang benar. a. 0,00423 + (25,1 x 10-3) + (10,322 x 10 -2) b. (7,7 x 10-5) – (5,409 x 10-6) + (7,0 x 10-4) c. (8,38 x 105) x ( (6,9 x 10-5) d. 87.619 / (0,00871 x 99.999) e. (58,6 (12 x 10-6) – (208 x 10-6) (1,801)) / (468,94 x 10-6)
4.
Perluasan Deret Maclaurin untuk cos x adalah:
untuk menaksir cos (π/3). Setelah setiap suku baru ditambahkan, hitung persentase kesalahan kesalahan aproksimasi dan eksak. Gunakan kalkulator kalkulator untuk menentukan harga eksaknya. Tambahkan suku-suku sampai harga mutlak dari taksiran kesalahan ke salahan aproksimasi di bawah kriteria kesalahan ke salahan untuk memastikan sampai dua angka
AKAR-AKAR AKAR-AKARPERSAMAAN PERSAMAAN vMetode vMeto Metode de vMetode vMetode vMetode
Biseksi Regu egula la Fals alsii Secant Iterasi Titik Tetap Newton – Raphson
Definisi
f(x) =
Penentuan Akar : ü f(x) = 0 mempunyai paling sedikit satu akar dalam interval [a,b] jika: q f(x) kontinyu pada [a,b]. q f(a).f(b) < 0, yaitu f(x) berubah tanda pada [a,b].
METODE BISECTION The bisection method is a root-find root-finding ing algorithm which works by repeatedly dividing an interval in half and then selecting the subinterval in which a root Kelebihan: Konvergen, Kelebihan: mudah untuk dibuat program, dan tingkat kesalahan kecil. Kekurangan : Kekurangan: Konvergensi bersifat linier, menghasilk menghasilkan an satu akar saja dalam perhitungan, perhitu ngan, dan ambat dalam prose proses s perhitungan.
Algoritma metode 1. Tentukan a, b, dan persentase kesalahan angka signifikan, εs. 2. Pe Periksa riksa apakah f(a).f(b) > 0; jika ya, berhen berhenti ti karena kare na pada selang yang diberikan tidak terdapat akar persamaan. 3. Hitung nilai m = (a+b)/2. 4. Jika l εa l < εs, tuliskan m sebagai hasil perhitungan, dan akhiri program; jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. 5. Jika f(a) x f(m) < 0, maka b = m; jika tidak, a = m. 6. Kembali ke langkah 3.
Algoritma metode bagi dua (modifikasi): 2. Tentukan 2. Tentukan dua titik, misalnya a 1 dan b1 dengan a1 < b1 dan kedua nilai fungsi berlainan tanda 3. Tentukan 3. Tentukan titik tengah c1 dan hitung εs . c1 adalah titik pendekatan awal. 4. Hitung εa 5. hitung f(cn), jika f(cn) = 0 atau εs < lεa l maka stop 6. hitung sn+1 = sn / 2 7. jika 7. jika f(cn ) < 0, maka cn+1 =cn + sn+1 8. jika 8. jika f(cn ) > 0, maka cn+1 =cn - sn+1
METODE REGULA FALSI (INTERPOLAS (INTERPOLASII Algoritmanya sama seperti metode Bisection, kecuali mengganti penentuan m dengan rumusan :
Algoritma Metode Regula Falsi 2. Tentukan a, b, dan persentase kesalahan angka signifikan, εs. 3. Pe Periksa riksa apakah f(a).f(b) > 0; jika ya, berhen berhenti ti karena kare na pada selang yang diberikan tidak terdapat akar persamaan. 5. Hitung nilai 7. Jika lεa l < εs, tuliskan m sebagai hasil perhitungan, dan akhiri program; jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. 8. Jika f(a).f(m) < 0, maka b = m; jika tidak, a = m. 9. Kembali ke langkah 3.
Contoh: Tentukan akar-akar real dari
(a)Secara (a)Secara grafik (b) Menggunakan tiga iterasi dari metode bagi dua untuk menentukan akar tertinggi. Lakukan Lakukan tebakan awal dengan den gan xl = 2,9 dan xu = 3,1. Hitung kesalahan taksiran εa dan kesalahan sebenarnya εt setelah setiap iterasi. (c) Menggunakan metode posisi salah dengan εs sesuai dengan tiga angka signifikan untuk menentukan akar terendah.
Solusi dengan metode grafik
Solusi metode bagi dua dengan tiga iterasi
Solusi dengan metode regula falsi
Soal: Tentukan akar real dari ln x = 0,5 (a)Secara (a)Secara grafik (b) Menggunakan tiga iterasi dari metode bagi dua dengan tebakan awal dengan x l = 1 dan xu = 2. Hitung kesalahan taksiran ε a dan kesalahan sebenarnya ε t setelah setiap iterasi. (c) Menggunakan tiga iterasi metode posisi salah dengan tebakan awal yang serupa pada (b).
METODE NEWTON-RAPHSON Newtons method is an iterative method for root finding. That is, starting from some guess at the root, x0 , one iteration of the algorithm produces produces a number x1 which is supposed to be closer to a root; guesses x , x , …, x follow identicall .
Algoritma Metode Newton-Raphson 1. Tentukan f(x)’, x0, dan εs 2. Hitung xn+1 dengan persamaan
5. Hitung εa, jika l εa l < εs, maka xn+1 sebagai hasil dan stop. 6. Kemb mbal alii ke ke lan lan kah 2. Contoh: Cari akar real dari persamaan f(x) = x4 + 4x3 + 1 ; [-1, 0] dengan metode Bisection, Regula Regula falsi dan Newton-Raphson dengan ketelitian 3 angka
Solusi :
f(x) = x4 + 4x3 + 1
Solusi metode bagi dua: Solusi metode posisi salah: Solusi metode Newton_Raphson:
Revie
Metode Secant (modifikasi Metode Newton-
Untuk aproksimasi ke-n diperoleh
Algoritma Metode Secant 1. Tentukan f(x)’, x0, dan εs 2. Hitung xn+1 dengan persamaan
6. Hitung εa, jika l εa l < εs, maka xn+1 sebagai hasil dan stop. 7. Kem emb bal alii ke ke lan lan kah 2. Contoh: Cari akar real dari persamaan f(x) = x4 + 4x3 + 1 ; [-1, 0] dengan metode Newton-Raphson Newton-Raphson dan metode secant dengan ketelitian 3 angka signifikan.
Excel
Meto Me tode de Titik Tet etap ap (F (Fixed ixed Point ) ika f(x) = x – g(x) = 0 maka Untuk aproksimasi xn
TI
Soal Latihan: Tentukan akar real dari ln x dengan metode Newton-Raphson dan metode secant dengan ketelitian 2 angka signifikan.
Solusi Soal Latihan TI B