I.
INTRODUCCION
Méto Método do util utiliz izad ado o para para la resol esoluc ució ión n de Estr Estruc uctu tura ras s Hipe Hiperrestá estáti tica cas s continuas continuas y aporticadas, considerando como incógnitas básicas los giros y desplazamientos en los nudos. Este método se enmarca dentro de los métodos clásicos de solución de una estructura hiperestática plana, en la cual la principal deformación de la estructura es por exión. e re!uiere !ue los elementos !ue forman la estructura sean" # $ectos. # %nercia constante entre tramos. # &eformaciones pe!ue'as (giros y desplazamientos). # Módulo de elasticidad constante entre tramos.
II.
DEDUCCION DE LA ECUACIONES
El método de la deformación angular fue presentado por *.+. Maney en -, como método general para su empleo en el estudio de las estructuras con nudos r/gidos. Es 0til por s/ mismo y proporciona un medio excelente para introducir los métodos de distribución de momentos (métodos numéricos para resol1er sistemas de ecuaciones). 2as ecuaciones fundamentales se deducen por medio de los teoremas del área de momentos. 3onsideran la deformación producida por el momento ector y desprecian la deformación debida al cortante y la fuerza axial. 3omo el efecto de la deformación del cortante y la fuerza axial en el estudio de las tensiones de la mayor/a de las 1igas y pórticos indeterminados es muy pe!ue'o, el error resultante del uso de estas ecuaciones como
base del método de la deformación angular es
también muy pe!ue'o. MOMENTO TRANSMITIDO.- Es el momento !ue se produce en el extremo empotrado de una 1iga por la acción de otro momento aplicado en el extremo opuesto, articulado. El momento M45 aplicado en el extremo articulado 4 transmite al extremo empotrado 5, la mitad de su 1alor con signo contrario.
M4
M54 5
64
4
M45
M54
2
__
EIt k j ( AREA) kj. X = 0 k 1 2
Mjk . L. 23 L + 12 Mkj. L. 13 L
=
0
2 Mjk + Mk j = 0
Mjk = − 12 Mkj
RIGIDEZ DE UNA VIGA.7 Es el momento !ue es necesario aplicar en el extremo articulado de una 1iga para producir un giro unitario en este extremo, permaneciendo el otro (extremo) empotrado. EI θ jk EI θ jk
=
= EI θ k =
( AREA) jk 1 2
Mjk . L + 12 Mkj. L
Mjk = − 12 Mkj
3omo Mkj =
EI θ k
,
entonces,
4 EI θ k L
i k es igual a un radián, entonces Mkj =
4 EI L
=
1 4
Mkj. L
,
de donde,
eg0n la de8nición, la rigidez de una barra prismática, llamada en este
a
K
jk
=
4 E I jk
L
jk
a
caso rigidez absoluta, K , es"
.
i el módulo elástico es constante a lo largo de toda la barra, puede
r
K
jk
=
I L
jk jk
utilizarse la rigidez relati1a 2a ecuación fundamental de la deformación angular es una expresión del momento en el extremo de una barra en función de cuatro cantidades" El giro de la tangente en cada extremo de la elástica de la barra, el giro de la cuerda !ue une los extremos de la elástica y las cargas exteriores aplicadas a la barra.
M
jk
=
r
e
2 E K jk (2θ j + θ k − 3 Ψ jk ) + M
jk
CRITERIO DE SIGNOS. a) 2os momentos en los extremos de una barra son positi1os si act0an en el sentido de giro las agu5as del relo5.
( - )
( + )
( + )
(-) 3on este criterio, el momento transmitido al extremo empotrado es del mismo signo !ue el aplicado en el extremo articulado.
b) ea θ el giro de la tangente a la elástica en el extremo de una barra, respecto a la posición original de la misma. El ángulo θ es positi1o cuando la tangente a la elástica ha girado en el sentido de las agu5as del relo5 desde su dirección original. j!
k!
5
4
c) ea Ψ (psi) el giro de la cuerda !ue une los extremos de la elástica, respecto a la dirección original de la barra. El ángulo Ψ es positi1o cuando la cuerda ha girado en el sentido de las agu5as del relo5 desde su dirección original.
59
49
5
4
3onsideremos una barra !ue tiene E e % constantes en toda su longitud y !ue es recta inicialmente. upongamos !ue sobre ella act0an los momentos extremos positi1os Mjk y Mkj y una carga cual!uiera. ea 54 la elástica de esta 1iga y j’ y k’ su posición inicial sin deformación. θj, θk Ψjk son positi1os. e puede considerar !ue el diagrama de momentos ectores de esta barra es la superposición de tres efectos separados"
l) 2a contribución de cada una de las partes triangulares M’ y M’’, !ue corresponden a los momentos extremos actuando por separado y la de la carga aplicada actuando sola, suprimidos los momentos en los extremos, !ue 1iene dada por las ordenadas M". En otras palabras, las ordenadas M" son las correspondientes al diagrama de momentos de la 1iga simple. El momento ector total en un punto cual!uiera será la suma algebraica de M", M’ y M’’, pero es más fácil considerar, para esta demostración, las tres partes por separado.
car
Mjk 5
E%
4
Mkj
2
Mo
Mjk
M M
Mkj
3onsideremos una barra !ue tiene E e % constantes en toda su longitud y !ue es recta inicialmente. upongamos !ue sobre ella act0an los momentos extremos positi1os Mjk y Mkj y una carga cual!uiera. ea jk la elástica de esta 1iga y j’ y k’ su posición inicial sin deformación. θj, θk Ψjk son positi1os.
e puede considerar !ue el diagrama de momentos ectores de esta barra es la superposición de tres efectos separados" #) 2a contribución de cada una de las partes triangulares M’ y M’’, !ue corresponden a los momentos extremos actuando por separado y la de la carga aplicada actuando sola, suprimidos los momentos en los extremos, !ue 1iene dada por las ordenadas M". En otras palabras, las ordenadas M" son las correspondientes al diagrama de momentos de la 1iga simple. El momento ector total en un punto cual!uiera será la suma algebraica de M", M’ y M’’, pero es más fácil considerar, para esta demostración, las tres partes por separado.
Mjk 5
E%
Mkj
4
2
Mo
Mjk
M9 M9
M
kj
=
2 EI 2 (θ j + 2θ k − 3 Ψ jk ) + 2 [ 2(mo) j L L
Mkj
− ( mo) k
] ($)
M
jk
=
2 EI L
(2θ j + θ k − 3 Ψ jk ) +
2 L2
[(mo)
j
−
2( mo) k ]
( $’ )
Hasta ahora no se ha de8nido la hipótesis de carga y las ecuaciones $ y $’ son 1álidas para cuales!uiera de ellas. El 0ltimo término entre corchetes es una función del tipo de carga. upongamos !ue θj, θk Ψjk , son todos iguales a cero. 2os 0ltimos términos de las ecuaciones $ y $’ son, respecti1amente, iguales al momento en el extremo k y en el j de la barra. :ero si θj, θk Ψjk son iguales a cero, signi8ca !ue los extremos de la barra están completamente empotrados sin posibilidad de giro ni traslación, por lo !ue la barra es una 1iga empotrada en los extremos. :or tanto, estos 0ltimos términos de las ecuaciones $ y $’ son iguales a los llamados momentos de empotramiento perfecto, M%
e
M
jk
=
2 L2
[ (mo)
j
−
2(mo ) k ]
e
M
kj
=
2 L2
[ 2(mo)
j
− ( mo) k
] (%)
ustituyendo en las ecuaciones $ y $’ , obtenemos"
M
kj
=
2 EI L
e
(θ j + 2θ k − 3 Ψ jk ) + M jk
(&)
M
jk
=
2 EI L
e
( 2θ j + θ k − 3 Ψ jk ) + M kj
( &’ ) Ecuaciones !ue pueden resumirse en una más general, haciendo Kjk ' Ijk Ljk , donde Kjk es el factor de rigidez relati1a de la barra. 2a ecuación fundamental de la deformación angular se puede escribir como"
M
jk
=
r
2 E K
jk
e
(2θ j + θ k − 3 Ψ jk ) + M jk
(g) :artiendo de la ecuación f, la ecuación de la deformación angular también puede escribirse de la forma"
a
M K θ a jk
=
jk
j
+
θ k
jk
−
b
jk
e
M
∆+
jk
(h) &onde"
a
a
K
jk
jk
es la rigidez absoluta de la barra,
=
2 EI L
b ,
jk
=
6 EI L
∆=
y
Ψ jk * L
M%"$"#"*a 2as etapas del método son las siguientes" . %denti8car los grados de libertad de la estructura, !ue se de8nen como los giros (6) o desplazamientos (;) a ni1el de nudos !ue puedan producirse. 3uando se carga una estructura, algunos puntos espec/8cos de ella, sufrirán desplazamientos. + esos desplazamientos se les llama *rados de 2ibertad. +rmaduras" < *&2 por cada nudo :órticos" = *&2 por cada nudo en el plano o > *&2 por cada nudo en el espacio . ?na 1ez de8nidos los grados de libertad, !ue serán las 1ariables incógnitas del problema, se plantean los momentos de extremo
para cada elemento de la estructura, usando la siguiente fórmula general" @igas" M AB=
M BA =
2 E I AB
L AB
2 E I AB
L AB
(
2 θ A + θB −
3∆
(
2 θB + θ A−
3∆
L AB
L AB
)
+ M E A
)
+ M EB
&ónde" •
•
•
θ A
*iro incógnita en extremo +, en sentido antihorario
θB
*iro incógnita en extremo A, en sentido antihorario
∆
&esplazamiento relati1o entre los nudos + y A. era positi1o
si la cuerda +A gira en sentido antihorario, de lo contrario será negati1o. E
•
M A Momento de empotramiento perfecto en extremo + debido
a cargas de tramo (se determina mediante tablas) E
•
M B Momento de empotramiento perfecto en extremo A debido
a cargas de tramo (se determina mediante tablas).
/. ?na 1ez !ue se han planteado los momentos de extremo para cada elemento de la estructura, se plantean las ecuaciones de" # E!uilibrio rotacional en cada nudo de la estructura. # 3ondiciones de borde, en caso de extremos rotulados. # E!uilibrio horizontal o 1ertical, en el caso !ue la estructura tenga desplazamientos laterales. Esto genera un sistema lineal de ecuaciones. $esol1iendo se obtienen los 1alores de los giros y desplazamientos de los nudos.
0. Binalmente, se e1al0an los momentos de extremo, lo cual permite calcular las reacciones de la estructura. :órticos" •
M N =2 Ek (2 θ N + θ F −3 Ψ ) +( FEM ) N
" :ara claro interno o claro extremo
con extremo ale5ado empotrado. •
M N =¿
Momento de inercia en el extremo cercano del claro, este
momento es positi1o en sentido de las manecillas del relo5 al actuar sobre el claro. •
E y k =¿
Módulo de elasticidad del material y rigidez del claro"
I k = L •
θ N y θ F =¿
:endiente de los extremos cercanos y ale5ados o
desplazamientos angulares del claro en los soportesC los ángulos se miden en radianes y son en sentido de las manecillas del relo5. •
ψ = ¿
$otación de la cuerda del claro debido a un desplazamiento
lineal, esto es"
ψ =
∆ L .Este ángulo se mide en radianes y son
positi1os si son en sentido de las manecillas del relo5. •
( FEM ) N =¿ Momento de empotramiento en el soporte cercanoC el momento es positi1o si es en sentido de las manecillas del relo5 al actuar sobre el claroC 1er en la tabla.
Ej%12#" :ara la 1iga !ue se indica, determinar las reacciones. 3onsiderar E%D.cte.
S"#34567 . 2a 1iga continua posee cuatro grados de libertad" θ A , θ B ,θ C y θ D
. o hay desplazamientos laterales de nudos.
. Momentos de extremo M AB=
M BA =
2 EI 5
2 EI 5
M BC =
2 EI
M CB=
2 EI
M CD =
2 EI
4
4
4
2
( 2 θ A +θ B ) +
200.5
( 2 θ B +θ A )−
200.5
12
2
12
( 2 θ B+ θC ) ( 2 θC + θ B )
( 2 θ C + θ D ) +
300. 4 12
2
+
400.4 8
M DC =
2 EI 4
( 2 θ D + θC ) +
300. 4 12
2
+
400.4 8
/. E!uilibrio rotacional en cada nudo de la estructura 2 EI
Nudo B : M BA + M BC = 0 →
4 θ A + 18 θB + 5 θ C =
12500 3 EI
5
1200
EI
200. 5
( 2 θC +θ B ) +
2 EI
2 EI 4
3125 3 EI
2 EI 5
1200
EI
2 EI 4
( 2 θ B +θC ) =0
4
( 2 θC +θ D ) +
300. 4 12
2
+
400.4 8
=0
( 2 θ A +θ B ) +
200.5
2
12
=0
(3 )
Condicion de borde en D : M DC =0 →
θC + 2 θ D =
+
(2 )
Condicio deborde en A : M AB =0 →
2 θ A + θ B=
12
2
(1 )
Nudo C : M CB + M CD =0 →
θB + 4 θC + θ D =
( 2 θB +θ A ) −
2 EI 4
( 2 θ D +θC ) −
300. 4 12
2
−
400.4 8
=0
( 4)
0. $esol1iendo simultáneamente (), (<), (=) y (F) se tiene" θ A =
−823.54 , θ EI
B
=
605.41
EI
, θC =
−687.26 y θ 943.63 D = EI
EI
8. E1aluando los momentos" M AB=0, M AB=−261.76 kg −m, M BC =261.78 kg −m , M CB =−384.56 kg −m , M CD =384.56 kg −m , M DC =0 M CD =384.56 KG − m, M DC = 0
9. 3alculo de reacciones" Enig! AB :
∑ M =0 →−5 " B
A
+
200 5
2
2
−261.8 =0 → " A = 447.6 [ kg ] (# )
∑ F = 0 → " A + " B−i−200 $ 5= 0 → "B −i=552.4 [ kg ] ( # ) Enig! BC :
∑ M =0 →− 4 " − +261.8 −384.6=0 → " − =30.7 [ kg ] (%) C
B
d
B
d
∑ F = 0 → "B −d + "C −i= 0 → "C −i=30.7 [ kg ] ( # )
Enig! CD :
∑ M =0 → 384.6 + 4 " C
∑ F = 0 → " − + "
C d
Fin!&men'e :
" A =447.1 [ kg ] ( # ) ( "B =521.7 [ kg ] ( # ) ( "C = 926.8 [ kg ] ( # ) (
−
D
D
300 $ 4 2
2
− 400 $ 2= 0 → " D=703.9 [ kg ] ( #)
−300 $ 4 −400 =0 → "C −d=896.1 [ kg ] (# )
" D=703.9 [ kg ] ( # )