METODO DE DOBLE INTEGRACION I.
GENERALIDADES 1.1. LINEA ELASTICA ELASTICA
Ó
Denominaremos línea elástica a la curva que forma la fibra neutra una vez cargada la viga, considerando que ésta se encontraba inicialmente cerca. 1.2.
SUPUESTOS BASE
Para establecer una serie de relaciones al interior de la sección, indicamos que se trata de una viga, cuyo material se encuentra solicitado dentro del rango de proporcionalidad entre tensiones y deformaciones, y en donde se admítela conservación de las caras planas. Dicho en otra forma, donde se cumple la ley Hooke y la hipótesis de Bernouilli-Navier. a. LEY DE HOOKE. Establece que la relación entre la tensión y la deformación unitaria es una constante y se denomina módulo de elasticidad.
E =
Elasticidad (kg/cm2) Ƭ = Tensión (kg/cm2) ɛ = Deformación Unitaria
o expresado de otra forma: Ƭ=
E *ɛ
…(1)
b. DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DE FLEXIÓN. De la deducción realizada para dimensionar elementos sometidos a la flexión simple sabemos que:
…(2)
Si igualamos las expresiones (1) y (2) tenemos que:
…(3)
c. ANÁLISIS DE LA SECCIÓN La sección cc’tt, inicialmente recta, se curva con un radio R como indica el gráfico.
La fibra cc’ se acortaa cc’’. La fibra tt’ se alarga a tt’, y La fibra nn’ permanece del mismo largo. Por triángulos semejantes non’ y t’n’t’’ obtenemos
…(4)
II.
MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN
III.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Una carga concentrada de 300N esta apoyada como se indica en la figura. Determinar la ecuación de la elástica y la máxima deflexión en la viga.
SOLUCION. Se tiene la ecuación general del momento.
Aplicando las condiciones de fronteras Para x = 0, y = 0, C2 =0 Para x = 3, y = 0, reemplazando. C1 = -133N.m 2 Ecuaciones de la elástica.
Cálculo de la máxima deflexión.
50x2 – 133 = 0 Por lo tanto EIymax = - 145 N.m 3
x = 1.63m
2. Determinar la deflexión máxima en una viga simplemente apoyada, de longitud L, con una carga concentrada P en el centro de su claro. RESOLUCIÓN. Se tiene la siguiente gráfica.
En función de la ecuación general de momentos, la ecuación:
Integrando (1), tenemos:
Integrando (2), tenemos:
Para determinar C 2, podemos ver que x = 0, y = 0, por lo tanto C2 = 0. La otra condición de apoyo es x = L, y = 0, lo que resulta:
Debido a la simetría, la deflexión máxima sucede en el centro de luz, es decir, cuando x = L/2
Pero como δ = -y Por lo tanto:
3. Como se indica en la figura, una viga simplemente apoyada sostiene dos cargas concentradas, simétricamente colocadas. Calcular la deflexión máxima δ.
RESOLUCIÓN. Sumatoria en el eje Y, tenemos: 2R1= 2P, por lo tanto R1 = P
Tenemos la siguiente gráfica:
Del equilibrio, la ec. General de momentos, resulta: M = (P)X – (P)(X - a) – (P)(X – L + a)
Si
Por lo tanto, tenemos:
Derivando dos veces, tenemos:
En la presente viga tenemos dos condiciones de borde: x = 0, y = 0; de donde se obtiene que C2 = 0. x = L, y = 0; obtenemos:
De donde obtenemos:
Entonces:
Por la simetría de la viga, la deflexión máxima sucede en el eje de simetría (X = L/2), reemplazando en (1)
Como δ = -y. entonces tenemos:
