Unidad 2 – Elast Elasticidad icidad
Diseño de estructuras
• Fuerz Fuerza a axial axial • Esfuerzos normales normales y alargamiento alargamiento
Unidad 2
• Desplazamiento Desplazamientoss de los apoyos de barras barras articuladas • Relaciones esfuerzo deformación deformación • Aplic Aplicació ación n en arma armaduras duras
Elasticidad
Elasticidad: Fuerza axial
Fuerza axial: La resultante de las fuerzas normales en la sección transversal de un elemento mecánico, se denomina fuerza axial. Para esta fuerza axial se pueden elaborar diagramas que muestren como cambia esta fuerza en función de la posición que se analice dentro del elemento mecánico. La ecuación general para obtener la magnitud de la fuerza axial en una sección arbitraria del elemento es:
F =
∑ p + ∑ ∫ q dx i
Donde: Pi, fuerzas concentradas, (N). qi, fuerzas distribuidas, (N/m)
Elasticidad Fuerza axial:
Elasticidad:
Ejemplo - Esfuerzos normales y alargamiento
i
Elasticidad
Elasticidad
Esfuerzos normales y alargamiento:
Esfuerzos normales y alargamiento:
Si suponemos que en las secciones transversales de barras sometidas a tensión o compresión, la fuerza axial se distribuye de manera uniforme, podemos asumir que el esfuerzo está dado por:
Ejercicio:
σ
Donde:
=
F A
Construir el diagrama de esfuerzo axial y calcular el alargamiento de la columna mostrada en el dibujo. P=10 kN, kN, l=0.3 m, d=0.01 m dx=(0.01+x2) m E=200 x 10 9.
F, es la fuerza axial (N) A, es el área transversal transversal (m 2)
Si suponemos que los materiales de las barras obedecen la ley de Hooke, se tiene que el alargamiento es: Donde: E, Módulo de elasticidad, elasticidad, MPa
∆l = ∑ ∫
F EA
dx
Elasticidad
Elasticidad
Tensiones normales y alargamiento:
Tensiones normales y alargamiento:
Las áreas son:
El alargamiento es:
A =
d 2
π
= 7.854 × 10−5 m 2
4
A x =
d 2
π x
4
=
π
4
(0.01 + x ) m 2 2
2
∆l =
Pl 2(8) P + 3 EA E π
∫
dx
l
0
3
(0.01 + x )
π
2 2
= 0.146mm
Los esfuerzos normales son σ
σ
x
= =
p A
= 127.32 ×10 6 Pa
p = A x
12732
(0.01 + x )
2 2
Pa
Elasticidad Tensiones normales y alargamiento:
Elasticidad:
Ejercicios propuestos: Construir el diagrama de fuerza axial y calcular el alargamiento alargamiento total de las barras.
- Desplazamientos de los apoyos apoyos de barras articuladas
Elasticidad
Elasticidad
Desplazamientos de apoyos de barras articuladas:
Relaciones esfuerzo deformación:
Cuando se tienen estructuras con barras articuladas se llaman armaduras. En las armaduras interesa calcular el desplazamiento de las articulaciones, los cuales son una consecuencia de las deformaciones axiales de los elementos articulados.
Estudiando el caso general de la partícula tridimensional que se presenta en la figura.
Elasticidad
Elasticidad
Relaciones esfuerzo deformación:
Relaciones esfuerzo deformación:
A las ecuaciones que relacionan relacionan los esfuerzos mostrados en la figura anterior con su deformación se les llaman relaciones constitutivas.
En donde G es el módulo de elasticidad al cortante y que dadas las suposiciones de homogeneidad e isotropía se cumple la siguiente relación:
Si suponemos que el material es homogéneo homogéneo e isotrópico la relación entre el esfuerzo y deformación depende de dos constantes, el módulo de elasticidad y la relación de Poisson.
Elasticidad
Elasticidad
Relaciones esfuerzo deformación:
Relaciones esfuerzo deformación:
Las ecuaciones de relación entre el esfuerzo y deformación se pueden escribir en forma matricial:
Tomando en cuenta la relación entre el módulo de elasticidad y el módulo de elasticidad al cortante se tiene:
{e} = [ f ]{ s}
Elasticidad
Elasticidad
Relaciones esfuerzo deformación:
Relaciones esfuerzo deformación:
{ s} = [ f ]− {e} = [k ]{e} 1
{e} = [ f ]{ s} En donde: e: vector de deformaciones; f: matriz de flexibilidad; s: vector de esfuerzos.
En donde k es la matriz de rigidez y está está definida como:
En caso de necesitar el vector de esfuerzos se puede realizar la siguiente operación debido a que la matriz de flexibilidad es singular e invertible.
{ s} = [ f ]− {e} = [k ]{e} 1
Aplicación en armaduras Estabilidad:
Aplicación en armaduras:
La estabilidad es una característica del equilibrio estático de una estructura.
- Esta Estabilid bilidad ad en en armadur armaduras as
Equilibrio estable. Cuando pequeñas perturbaciones no causan movimientos grandes. En este caso la estructura vibra alrededor de su posición de equilibrio.
- Mét Método odo de flexibi flexibilid lidad ad - Mét Método odo de rigi rigidez dez
Equilibrio inestable, cuando pequeñas perturbaciones causan movimientos grandes y la estructura nunca retorna a su posición de equilibrio, como en un mecanismo. Equilibrio neutro. Cuando no se puede declarar si está está en equilibrio estable o inestable.
Aplicación en armaduras
Aplicación en armaduras
Estabilidad:
Estabilidad:
En cursos básicos de armaduras se dice que una armadura plana es isostática (estable o en equilibrio) cuando el número de barras barras (Nb) es igual a 2 veces el número de nodos (Nn) y que si una armadura tiene aún mas barras es hiperestática, en caso contrario es hipostática y por lo tanto inestable. Estable
Hiperestática
Hipostática
NO CONTAR LOS NODOS DE LOS PUNTOS FIJOS ALGUNAS VECES ESTO ESTO NO FUNCIONA
Sistema hiperestático: Son sistemas estáticos cuyas fuerzas internas y reacciones no pueden calcularse solo a partir de las condiciones condiciones de equilibrio del cuerpo rígido.
Aplicación en armaduras
Aplicación en armaduras
Estabilidad:
Método de flexibilidad:
Estructura primaria:
Para la armadura mostrada y su matriz de flexibilidad dada, obtener las fuerzas internas y las reacciones en los apoyos.
Se define como estructura primaria de una estructura hiperestática estable a aquella estructura isostática isostática estable que sea subestructura subestructura de la hiperestática. Por ejemplo. Estructura original hiperestática
Estructuras primarias
Aplicación en armaduras Método de flexibilidad: PASO 1: Armar un vector de fuerzas externas.
Aplicación en armaduras Método de flexibilidad: PASO 3: En cada nodo aplicar una fuerza unitaria en cada una de las direcciones del sistema de referencia (x,y).
Con cada análisis se construye una Columna de b0.
Aplicación en armaduras Método de flexibilidad: PASO 2: Seleccionar una armadura primaria
Aplicación en armaduras Método de flexibilidad: PASO 4: Suponer que el elemento removido está está en tensión, obtener las fuerzas internas y armar la columna de b R .
Aplicación en armaduras Método de flexibilidad: PASO 5: Obtener la matriz de fuerzas internas de la armadura primaria
Aplicación en armaduras Método de flexibilidad: PASO 6: Obtener la redundante redundante (CONTINUACION)
Aplicación en armaduras Método de flexibilidad: PASO 8: Obtener las deformaciones en la armadura hiperestática original
Aplicación en armaduras Método de flexibilidad: PASO 6: Obtener la redundante
Aplicación en armaduras Método de flexibilidad: PASO 7: Obtener las fuerzas internas en la armadura hiperestática original
Aplicación en armaduras Método de flexibilidad: PASO 9: Obtener los desplazamientos de los nodos en la armadura hiperestát hipere stática ica origi original nal
Aplicación en armaduras Método de rigidez: Para la armadura mostrada y su matriz de rigideces de las barras dada, obtener las fuerzas internas, deformaciones deformaciones de las barras y desplazamientos de los nodos.
Aplicación en armaduras Método de rigidez: PASO 2: Obtener el vector de fuerzas externas
Aplicación en armaduras Método de rigidez: PASO 1: Asignar un sentido a cada una de las barras
Aplicación en armaduras Método de rigidez: PASO 3: Obtener las ecuaciones de continuidad. Para cada barra designar vectores de desplazamiento a cada uno de los nodos no fijos.
Y obtener una ecuación de movimiento movimiento para cada cada barra, cuyos componentes son los vectores de desplazamiento de cada uno de sus nodos no fijos.
Aplicación en armaduras Método de rigidez: PASO 3: Obtener las ecuaciones de continuidad . (CONTINUACION) Para cada barra designar vectores de desplazamiento a cada uno de los nodos no fijos.
Aplicación en armaduras Método de rigidez: PASO 3: Obtener las ecuaciones de continuidad . (CONTINUACION) Para cada barra designar vectores de desplazamiento a cada uno de los nodos no fijos.
Y obtener una ecuación de movimiento movimiento para cada cada barra, cuyos componentes son los vectores de desplazamiento de cada uno de sus nodos no fijos. Y obtener una ecuación de movimiento movimiento para cada cada barra, cuyos componentes son los vectores de desplazamiento de cada uno de sus nodos no fijos.
Aplicación en armaduras
Aplicación en armaduras
Método de rigidez:
Método de rigidez:
PASO 3: Obtener las ecuaciones de continuidad. (CONTINUACION)
PASO 3: Obtener las ecuaciones de continuidad. (CONTINUACION)
Para cada barra designar vectores de desplazamiento a cada uno de los nodos no fijos.
Para cada barra designar vectores de desplazamiento a cada uno de los nodos no fijos.
Y obtener una ecuación de movimiento para cada barra, cuyos componentes son los vectores de desplazamiento de cada uno de sus nodos no fijos.
Y obtener una ecuación de movimiento para cada barra, cuyos componentes son los vectores de desplazamiento de cada uno de sus nodos no fijos.
Aplicación en armaduras
Aplicación en armaduras
Método de rigidez:
Método de rigidez:
PASO 4: Escribir de forma matricial las ecuaciones de continuidad.
PASO 5: Obtener la matriz de rigidez global
e: vector de deformaciones. a: matriz de continuidad u: vector de desplazamiento de nodos
Aplicación en armaduras
{e} = [a ]{u}
[ K ] = [a ]T [k ][][a ]
Aplicación en armaduras
Método de rigidez:
Método de rigidez:
PASO 6: Obtener el vector de desplazamientos
PASO 7: Obtener el vector de deformaciones de las barras
{ F } = [ K ]{u}
{e} = [a ]{u}
Aplicación en armaduras Método de rigidez: PASO 8: Obtener el vector de fuerzas internas
{ s} = [k ]{e}
Aplicación en armaduras Referencias: 1. Problemas de resistencia de materiales. Miroliibov et. al. Editorial Mir. 1978 2. Análisis de estructuras estructuras con métodos matriciales. Arturo Arturo Tena Colunga.Ed. Limusa. 2007.
