MÉTODO DE LA SECANTE Este método se basa en la fórmula de Newton-Raphson, pero evita el cálculo de la derivada usando la siguiente aproximación:
Recuérdese la solución numérica al problema del cuerpo en ca!da libre"# $ustitu%endo en la fórmula de Newton-Raphson, obtenemos:
&ue es la fórmula del método de la secante# Nótese 'ue para poder calcular el valor de , necesitamos conocer los dos valores anteriores % # (bsérvese tambien, el gran parecido con la fórmula de l método de la regla re gla falsa# )a diferencia entre una % otra es 'ue mientras el método de la regla falsa traba*a sobre intervalos cerrados, el método de la secante es un proceso iterativo % por lo mismo, mismo, encuentra encuentra la aproxima aproximación ción casi con con la misma rapide+ rapide+ 'ue el método de Newton-Raphson# laro, corre el mismo riesgo de éste ltimo de no converger a la ra!+, mientras 'ue el método de la regla falsa va a la segura# Ejemplo
1
.sar .sar el métod étodo o de la seca ecante nte par para apro proximar imar la ra!+ ra!+ de comen+ando con Solución /enemos /enemos 'ue
,
% hasta 'ue
#
%
de la secante para calcular la aproximación
,
, 'ue sustitu!m sustitu!mos os en la fórmula fórmula :
on un error aproximado de:
omo todav!a no se logra el ob*etivo, continuamos con el proceso# Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
0prox# a la ra!+ Error aprox# 1 2 1#425466789 1#48;;5288 1#4562954
2113 48#53 4#583 1#173
Ejemplo
2
.sar el método de la secante secante para aproximar aproximar la ra!+ ra!+ de comen+ando con
%
Solución /enemos /enemos los valores valores
, % hasta 'ue
, #
%
, 'ue sustitu!m sustitu!mos os en la
fórmula de la secante para obtener la aproximación
:
on un error aproximado de:
omo todav!a no se logra el ob*etivo, continuamos con el proceso# Resumimos los resultados en la siguiente tabla: 0prox# a la ra!+ Error aprox# 1 2 1#75882198 1#75881571 1#78246252
2113 52#;3 8#;13 1#163
.4 Método de la secante El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto. Sin embargo, la forma funcional
de f ( x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. En estos casos es más til emplear el método de la secante. El método de la secante parte de dos puntos (! no sólo uno como el método de Newton) ! estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una apro"imación de acuerdo con la e"presión#
($%)
Sustitu!endo esta e"presión en la ecuación (&') del método de Newton, obtenemos la e"presión del método de la secante que nos proporciona el siguiente punto de iteración#
($)
Figure: epresentación geométrica del método de la secante.
*scale+.'-epssecante
En la siguiente iteración, emplearemos los puntos x/ ! x& para estimar un nuevo punto más pró"imo a la ra01 de acuerdo con la ecuación ( $). En la figura (2) se representa geométricamente este método. En general, el método de la secante presenta las mismas venta3as ! limitaciones que el método de Newton4ap5son e"plicado anteriormente.
Next: %. 6étodo de Steffensen Up: %. 7álculo de ra0ces Previous: %.$ 6étodo de Newton Wladimiro Diaz Villanueva
1998-05-11 Pseudocódigo del método de Bisección 1.- Dada la función escójanse dos valores iniciales para xi y xs de tal manera que sustituyéndolos en la f(x se encuentre un cam!io de signo para determinar entre que intervalos se encuentra la ra"#$ si esto se cumple a%" que multiplicar f(xi&f(xs y el resultado de!e ser menor a cero. '.- a primera aproximación se encuentra de la siguiente manera) xr *xi + xs ' ,.- %ora a%" que determinar en que su!-intervalo esta la ra"# para eso se %ace lo siguiente a si f(xi&f(xs/ entonces la ra"# esta en el primer su!-intervalo y xs * xr ! si f(xi&f(xs0/ entonces la ra"# se encuentra en el segundo su!-intervalo y xi*xr c si f(xi&f(xs*/ ó f(xs&f(xr*/ entonces xr es la ra"# .- Después se calcula el error aproximado ( ea2*1//(xr(valor actual-xr(valor anterior xr(valor actual 3e vuelve a calcular la siguiente aproximación (regresar al paso ' y seguir %asta aqu" nuevamente y se deja de reali#ar %asta que el ea2 sea igual a /./1$ o se encuentre la ra"#.
INTRODUCCIÓN(Falsa Posición). MÉTODO DE LA BISECCIÓN 4l método de !isección se !asa en el siguiente teorema de 56lculo)
Teorema del Valor Intermedio
3ea continua en un intervalo y supongamos que . 4ntonces para cada tal que $ existe un tal que
. a misma conclusión se o!tiene para el caso que . B6sicamente el 7eorema del 8alor 9ntermedio nos dice que toda función continua en un intervalo c errado$ una ve# que alcan#ó ciertos valores en los extremos del intervalo$ entonces de!e alcan#ar todos los valores intermedios.
4n particular$ si y tienen signos opuestos$ entonces un valor intermedio es precisamente $ y por lo tanto$ el 7eorema del 8alor 9ntermedio nos asegura que de!e existir tal que $ es decir$ de!e %a!er por lo menos una ra"# de en el intervalo . 4l método de !isección sigue los siguientes pasos)
3ea continua$
i) 4ncontrar valores iniciales
$ tales que y tienen signos opuestos$ es decir$
ii) a primera aproximación a la ra"# se toma igual al punto medio entre
y )
iii) 4valuar . :or#osamente de!emos caer en uno de los siguientes casos)
•
•
4n este caso$ tenemos que y tienen signos opuestos$ y por lo tanto la ra"# se encuentra en el intervalo .
o
o
4n este caso$ tenemos que y tienen el mismo signo$ y de aqu" que y tienen signos opuestos. Por lo tanto$ la ra"# se encuentra en el intervalo .
4n este caso se tiene que y por lo tanto ya locali#amos la ra"#.
4l proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo$ %asta que)
es decir$
Ejemplo 1 proximar la ra"# de %asta que .
Solución 3a!emos por lo visto en el ejemplo 1 de la sección anterior$ que la ;nica ra"# de se locali#a en el intervalo
. s" que este intervalo es nuestro punto de partida< sin em!argo$ para poder aplicar el método de !isección de!emos c%ecar que y tengan signos opuestos.
4n efecto$ tenemos que
mientras que
5a!e mencionar que la función s" es continua en el intervalo . s" pues$ tenemos todos los requisitos satisfec%os para poder aplicar el método de !isección. 5omen#amos)
i) 5alculamos el punto medio (que es de %ec%o nuestra primera aproximación a la ra"#)
ii) 4valuamos
iii) Para identi=car mejor en que nuevo intervalo se encuentra la ra"#$ %acemos la siguiente ta!la)
Por lo tanto$ vemos que la ra"# se encuentra en el intervalo .
4n este punto$ vemos que todav"a no podemos c alcular ning;n error aproximado$ puesto que solamente tenemos la primera aproximación. s"$ repetimos el proceso con el nuevo intervalo .
5alculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la ra"#)
qu" podemos calcular el primer error aproximado$ puesto que contamos ya con la aproximación actual y la aproximación previa)
Puesto que no se %a logrado el o!jetivo$ continuamos con el proceso.
4valuamos $ y %acemos la ta!la)
s"$ vemos que la ra"# se encuentra en el intervalo .
5alculamos el punto medio$
> calculamos el nuevo error aproximado)
4l proceso de!e seguirse %asta c umplir el o!jetivo.
?esumimos los resultados que se o!tienen en la siguiente ta!la)
prox. a la ra"#
4rror aprox.
1.'@ 1.,A@
./2
1.,1'@
.AC2
1.'1'@
'.,2
1.'CA@
1.'/2
1.,/CA@
/.@2
s"$ o!tenemos como aproximación a la ra"#
Option Explicit
Dim sig As String
Dim b As String
Dim a As Double
Dim aux As Double
Dim xi As Double
Dim xs As Double
Dim xr As Double
Dim fxi As Double
Dim fxs As Double
Dim fxr As Double
Dim As Double
Dim ea As Double
Dim correcto As Integer
Private Sub cmdcalcular_Click!
fxi " Exp#xi!! # xi
fxs " Exp#xs!! # xs
xr " xi $ xs! % &
fxr " Exp#xr!! # xr
" fxi ' fxr
(abel&)Caption " (abel&)Caption * vbCr(f * +ormatxi, -.)/////-!
(abel0)Caption " (abel0)Caption * vbCr(f * +ormatxs, -.)/////-!
If 1 .! 23en
sig " -$ xi " xr
ElseIf 4 .! 23en
sig " -#-
xs " xr
End If
If correcto 1 .! 23en
ea " Absxr # a! % xr! ' 5..!
End If
(abel5)Caption " (abel5)Caption * vbCr(f * correcto
(abel6)Caption " (abel6)Caption * vbCr(f * +ormatfxi, -.)/////-!
(abel7)Caption " (abel7)Caption * vbCr(f * +ormatfxs, -.)/////-!
(abel8)Caption " (abel8)Caption * vbCr(f * +ormatxr, -.)/////-!
(abel9)Caption " (abel9)Caption * vbCr(f * +ormatfxr, -.)/////-!
(abel:)Caption " (abel:)Caption * vbCr(f * sig
(abel;)Caption " (abel;)Caption * vbCr(f * +ormatea, -.)////-!
a " xr
If ea 4 .).5! And correcto 1 .! 23en
frmbiseccion)
cmdcalcular)Enabled " +alse
frmprincipal)
=sg>ox -?ai@ Encontrada en r"- * xr, vbExclamation, -BO?E A?AIA :%OC2%&..5 -
frmbiseccion)
End If
correcto " correcto $ 5
End Sub
Private Sub cmdsalir_Click!
nload =e
frmprincipal)
End Sub
Private Sub Command5_Click!
(abel5)Caption " - I-
(abel&)Caption " - xi-
(abel6)Caption " - fxi!-
(abel0)Caption " - xs-
(abel7)Caption " - fxs!-
(abel8)Caption " - xr-
(abel9)Caption " - fxr!-
(abel:)Caption " - fxi! fxr!-
(abel;)Caption " - Ea F-
correcto " .
cmdcalcular)Enabled " 2rue
xi " .
xs " 5
End Sub
Private Sub +orm_(oad!
xi " .
xs " 5
ea " .
correcto " .
frmprincipal)
End Sub
A(O?I2=O DE +A(SA POSICIGH)
1.- Proponer ' valores para Ei y Es respectivamente$ tales que fxi&fxs sea menor a cero.
'.- De=nir el error permitido e*/./12 .
,.- 5on los valores de fxi y fxs a %" que calcular el valor de Er.
Er * Es - :(Es&(Ei-Es
:(Ei-:(Es
.- 5alcular el valor de :(Er.
@.- 5alcular el FeaG2$ si el ea es menor a e entonces el valor de Er es donde se encuentra la ra"# y a%" termina sino paso C
(FeaG*(Eractual-Eranterior &1//.
Eractual
C.- si :(Ei&:(Er es mayor a /
a. 4ntonces Ei*Er.
! si :(Ei&:(Er es menor a / entonces Es * Er.
?egresar al paso , %asta que ea/./1.
D9H?I D4 :JKL.
INTRODUCCIÓN(Falsa Posicin)!
"#todo de la $alsa posicin
4l método de la falsa posición pretende conjugar la seguridad del método de la !isección con la rapide# del método de la secante. 4ste método$ como en el método de la !isección$ parte de dos puntos que rodean a la ra"# f ( x * /$ es decir$ dos puntos x / y x 1tales que f ( x /f ( x 1 /. a siguiente aproximación$ x '$ se calcula como la intersección con el eje de la recta que une am!os puntos (empleando la ecuación del método de la secante. a asignación del nuevo intervalo de !;squeda se reali#a como en el método de la !isección) entre am!os intervalos$ F x / $x 'G y F x ' $x 1G$ se toma aquel que cumpla f ( x f ( x ' /. 4n la =gura(1 se representa geométricamente este método.
Fi%&ra(1)' ?epresentación geométrica del método de la falsa posición. Fscale*/.GepsMfalpos
a elección guiada del intervalo representa una ventaja respecto al método de la secante ya que in%i!e la posi!ilidad de una divergencia del método. Por otra parte y respecto al método de la !isección$ mejora nota!lemente la elección del intervalo (ya que no se limita a partir el intervalo por la mitad.
Fi%&ra()' Iodi=cación del método de la falsa posición propuesta por Namming. a aproximación a la ra"# se toma a partir del punto de intersección con el eje de la recta que une los puntos ( x /$f ( x /M' y ( x 1$f ( x 1 si la función es convexa en el intervalo (=gura a o !ien a partir de la recta que une los puntos ( x /$f ( x / y ( x 1$ f ( x 1M' si la función es cóncava en el intervalo (=gura !. Fscale*/.GepsM%amming
3in em!argo$ el método de la falsa posición tiene una convergencia muy lenta %acia la solución. 4fectivamente$ una ve# iniciado el proceso iterativo$ uno de los extremos del intervalo tiende a no modi=carse (ver =gura (1. Para o!viar este pro!lema$ se %a propuesto una modi=cación del método$ denominada método de Namming. 3eg;n este método$ la aproximación a una ra"# se encuentra a partir de la determinación del punto de intersección con el eje de la recta que une los puntos ( x /$f ( x /M' y ( x 1$f ( x 1 si la función es convexa en el intervalo o !ien a partir de la recta que une los puntos ( x /$f ( x / y ( x 1$ f ( x 1M' si la función es cóncava en el intervalo. 4n la
=gura (' se representa gr6=camente el método de Namming.
5omo %emos comentado$ el método de Namming requiere determinar la concavidad o convexidad de la función en el intervalo de iteración. Jn método relativamente sencillo para determinar la curvatura de la función consiste en evaluar la función en el punto medio del intervalo$ f ( xm (en donde xm se calcula como en el método de la !isección y comparar este valor con la media de los valores de la función en los extremos del
intervalo$ . 7enemos entonces que)
5LD9HL D4 P?LH?I D4 :3 PL3959LO.
Dim sig s 3tring
Dim xi s Dou!le
Dim xs s Dou!le
Dim fxi s Dou!le
Dim fxs s Dou!le
Dim xr s Dou!le
Dim fxr s Dou!le
Dim ea s Dou!le
Dim i s Dou!le
Dim s Dou!le
Dim a s Dou!le
Private 3u! cmdcalcularQ5licR(
fxi * 4xp(-xi - xi
fxs * 4xp(-xs - xs
xr * xs - ((fxs & (xi - xs M (fxi - fxs
fxr * 4xp(-xr - xr
* fxi & fxr
[email protected] *
[email protected] S :ormat(xs$ T//.UUUUUUT S v!5rf
a!el,.5aption * a!el,.5aption S :ormat(xi$ T//.UUUUUUT S v!5rf
9f ( 0 / 7%en
xi * xr
sig * T+T
4nd 9f
9f ( / 7%en
xs * xr
sig * T-T
4nd 9f
9f (i * / 7%en
a * xr
4nd 9f
9f (i 0 / 7%en
ea * !s(((a - xr M xr & 1//
a * xr
4nd 9f
9f (ea /./1 nd (i 0 / 7%en
frmprincipal.8isi!le * :alse
frmfalsa.8isi!le * :alse
IsgBox T?ai# 4ncontrada en Er* T S xr$ v!5ritical$ TKL?H4 ?9VT
frmfalsa.8isi!le * 7rue
cmdcalcular.4na!led * :alse
4nd 9f
i*i+1
a!el'.5aption * a!el'.5aption S i S v!5rf
a!el.5aption * a!el.5aption S :ormat(fxi$ T//.UUUUUUT S v!5rf
a!elC.5aption * a!elC.5aption S :ormat(fxs$ T//.UUUUUUT S v!5rf
a!elA.5aption * a!elA.5aption S :ormat(xr$ T//.UUUUUUT S v!5rf
a!el.5aption * a!el.5aption S :ormat(fxr$ T//.UUUUUUT S v!5rf
a!el.5aption * a!el.5aption S sig S v!5rf
a!el1/.5aption * a!el1/.5aption S :ormat(ea$ T//.UUUUUUT S v!5rf
4nd 3u!
Private 3u! 5ID9IP9?Q5licR(
a!el'.5aption * TT
a!el,.5aption * TT
a!el.5aption * TT
[email protected] * TT
a!elC.5aption * TT
a!elA.5aption * TT
a!el.5aption * TT
a!el.5aption * TT
a!el1/.5aption * TT
xi * /
xs * 1
ea * /
i*/
cmdcalcular.4na!led * 7rue
4nd 3u!
Private 3u! cmdsalirQ5licR(
Jnload Ie
frmprincipal.8isi!le * 7rue
4nd 3u!
Private 3u! :ormQoad(
i*/
ea * /
a!el'.5aption * TT
a!el,.5aption * TT
a!el.5aption * TT
[email protected] * TT
a!elC.5aption * TT
a!elA.5aption * TT
a!el.5aption * TT
a!el.5aption * TT
a!el1/.5aption * TT
xi * /
xs * 1
4nd 3u!
PSEUDOCODIO DEL METODO DE NE!TON"RAP#SON.
1.- Dada la función f(x$ a%" que calcula un valor para Ei (E inicial .
'.- De=nir el ma rgen de error (e*/./1.
,.- Derivar la función dada y utili#ar la siguiente formula.
Ei+1*Ei - f(Ei
f1(Ei
,.- %ora se conoce el valor de Ei+1.
.- 3e calcula el error aproximado( ea2*1//(xi+1(valor actual-xi+1(valor anterior
xi+1(valor actual
si este es menor al error de=nido$ Ei es el valor de la ra"#$ y a%" termina la !;squeda.
@.- 4l valor de Ei * Ei+1.
INTRODUCCIÓN!
"#todo de Neton*Rap+son! 4st6 !asado en el uso de una l"nea tangente como aproximación de f(x$ cerca de los puntos donde el valor de la función es cero.
1.- 4scoger un n;mero inicial (x/ '.- 5alcular la siguiente aproximación de x1 utili#ando la fórmula)
,.- ,i W xn-xn+1 W X entonces xn+1 es una ra"#
De otra $orma pasar al punto '
Codi%o del pro%rama de neton rap+son!
Dim -i .s Do&/le
Dim $-i .s Do&/le
Dim a .s Do&/le
Dim iteracion .s Do&/le
Dim ea .s Do&/le
Pri0ate ,&/ cmdcalc&larClic2()
$-i 3 -i * (((E-p(*-i)) * -i) 4 ((*E-p(*-i) * 1)))
l/li!Caption 3 l/li!Caption 5 iteracion 5 0/Cr6$
l/l-i!Caption 3 l/l-i!Caption 5 Format($-i7 89!::::::::8) 5 0/Cr6$
I$ (iteracion ; 1) T+en
ea 3 ./s((($-i * a) 4 $-i) < 199)
End I$
l/leaa!Caption 3 l/leaa!Caption 5 Format(ea7 89!::::::::8) 5 0/Cr6$
-i 3 $-i
a 3 $-i
I$ (ea = 9!91) .nd (iteracion ; 1) T+en
$rmNeton!Visi/le 3 False
cmdcalc&lar!Ena/led 3 False
$rmprincipal!Visi/le 3 False
"s%>o- 8?r3 8 5 $-i7 0/Critical7 8Rai@ Encontrada8
$rmNeton!Visi/le 3 Tr&e
End I$
iteracion 3 iteracion A 1
End ,&/
Pri0ate ,&/ C"D6I"PI.RClic2()
a39
iteracion 3 1
-i 3 9
l/li!Caption 3 88
l/l-i!Caption 3 88
l/leaa!Caption 3 88
cmdcalc&lar!Ena/led 3 Tr&e
ea 3 9
End ,&/
Pri0ate ,&/ cmdsalirClic2()
Unload "e
$rmprincipal!Visi/le 3 Tr&e
End ,&/
Pri0ate ,&/ Form6oad()
a39
iteracion 3 1
-i 3 9
End ,&/
INTRODUCCION!
"#todo de la ,ecante 4s similar al método de OeYton$ pero la derivada se reempla#a por una diferencia dividida. 4l método requiere de dos puntos para empe#ar a iterar. as iteraciones en este caso son
3e puede demostrar que el orden de convergencia para este método es aproximadamente 1.C
Ps$u%oco%i&o %$ la S$can'$.
1.- ?equiere dos valores para xi-1 y xi.
'.- l darle estos valores se utili#a la sig. formula)
xi+1*xi-f (xi (xi-1-xi
f (xi-1-f (xi
,.- 3e calcula el error aproximado y si este es menor a /./1 entonces a%i =nali#a el programa$ sino se repite %asta que se cumpla lo anterior.
.- 3i el error fue mayor a /./1$ entonces xi-1*xi< xi*xi+1$ y se de!e volver al paso '
DIA?A=A DE +(BO DE( =E2ODO DE (A SECAH2E)
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Método de Muller Este es un método para encontrar las raíces de ecuaciones polinomiales de l a forma general:
f n ( x) = a
+
a/ x + a & x
&
+ ....... +
Donde n es el orden del polinomio y las
an x
n
a son coeficientes constantes. Continuando con los polinomios, estos
cumplen con las siguientes reglas: •
Para la ecuación de orden n, hay n raíces reales o complejas. Se dee notar !ue esas raíces no son necesariamente distintas.
• •
Si n es impar, hay al menos una raí" real. Si las raíces complejas e#isten, e#iste un p ar conjugado.
Antecedentes
$os polinomios tienen muchas aplicaciones en ciencia e ingeniería, como es el caso de su utili"ación en ajuste de cur%as. Sin emargo, se considera !ue una de las aplicaciones mas interesantes y potentes es en los sistemas din&micos, particularmente en los lineales. El polinomio mas conocido en el mundo científico, es el denominado, ecuación característica, !ue es de la forma:
a & x
&
+
a/ x + a
=
Donde las raíces de este polinomio satisfacen:
x/, &
=
−
a/
a/&
±
−
%a & a
&a
'amién denominados eigenvalores del sistema. $os eigen%alores pueden utili"arse para anali"ar un sistema, para nuestro caso es muy (til en lo concerniente a la estailidad. Con ase en lo anterior, encontrar las raíces en sistemas de segundo orden es pr&cticamente sencillo, pero para sistemas de orden superior, puede resultar en un arduo traajo.
)l &étodo
)n predecesor del método de *uller, es el método de la secante, el cual otiene raíces, estimando una proyección de una línea recta en el eje #, a tra%és de dos %alores de la función +igura -. El método de *uller toma un punto de %ista similar, pero proyecta una par&ola a tra%és de tres puntos +igura /. El método consiste en otener los coeficientes de los tres puntos, sustituirlos en la fórmula cuadr&tica y otener el punto donde la par&ola intercepta el eje #. $a apro#imación es f&cil de es criir, en forma con%eniente esta sería:
f & ( x) = a ( x − x & ) & f+#
+
b( x − x & ) + c
$ínea recta # 5aí" estimada #
# 4-
42
4
5aí" igura -
f+#
Par&ola 2 2
5aí"
2
# # 4/ 442 4 5aí" estimada igura / 0sí, se usca esta par&ola para intersectar los tres puntos 1# 2, f+#23, 1#-, f+#-3 y 1# /, f+#/3. $os coeficientes de la ecuación anterior se e%al(an al sustituir uno de esos tres puntos para dar:
f ( x ) = a ( x
− x & )
&
+ b( x − x & ) + c
& f ( x/ ) = a( x/ − x & )
+
b( x/ − x & ) + c
f ( x& ) = a ( x& − x & ) &
+
b( x & − x& ) + c
$a (ltima ecuación genera !ue, f ( x & ) =
c , de esta forma, se puede tener un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas:
f ( x ) − f ( x & ) = a ( x
− x & )
&
+ b( x −
x & ) f ( x/ ) − f ( x & )
=
a ( x/ − x & ) &
+
b( x/
−
x& )
Definiendo de esta forma:
h
= x/ −
δ =
x
h/
f ( x/ ) − f ( x& ) x/
− x
δ / =
= x & −
x/
f ( x & ) − f ( x/ ) x &
− x/
Sustituyendo en el sistema:
(h
−
h/ )b − (h &
h/b − h/ a
=
+
h/ ) & a
=
hδ
+
h/δ /
h/δ /
'eniendo como resultado los coeficientes:
a
=
δ / − δ
h/
+
h
b = ah/
+ δ /
c = f ( x & )
6allando la rai", se implementar la solución con%encional, pero deido al error de redondeo potencial, se usar& una formulación alternati%a:
x$
− x & =
−
&c
b ± b&
despejando
x$
= x & +
− &c &
b ± b − %ac − %ac $a gran %entaja de este método es !ue se pueden locali"ar tanto las raíces reales como las imaginarias. 6allando el error este ser&: E a
=
x$
− x &
x$
⋅ /8
0l ser un método de apro#imación, este se reali"a de forma secuencial e iterati%amente, donde # -, #/, #7 reempla"an los puntos #2, #-, #/ lle%ando el error a un %alor cercano a cero Programa Por ser un método !ue traaja de forma lineal, es posile una aplicac ión computacional en forma sencilla, la cual sería: Su*uller +#r , h, eps, ma#it #/ 8 #r #- 8 #r 9 h# r #2 8 #r ; h# r Do iter 8 iter 9 h2 8 #- 9 #2 h- 8 #/ ; #d2 8 +f+#-
ac if ? 9 rad ? @ l < rad l then den 8 9 rad Else den 8 ; rad End if d#r 8 c=den #r 8 #/ 9 d#r Print iter, #r ? +?d#r lAeps#r or iter@ma#it e#it #2 8 ##- 8 #/ #/ 8 #r End do End *uller
)(e&plo
f ( x)
=
x $
−
/$ x − /&
h 8 2,-
#/ 8 B #- 8 B,B #2 8>,B Con un an&lisis pre%io, las raíces son ;7, <- y > Solución
f ( %,)
=
f (,)
&,9&
=
2&,2:
f ()
=
%2
Calculando
h
, − %, = / h/ = − , = −, 2&,2: − &,9& δ / = = 9&, & , − %,
=
δ
=
%2 − 2&,2: − ,
=
9',:
6allando los coeficientes
a
=
9',: − 9&,& − , + /
=
/ b
=
/( −,) + 9',:
=
9&,&
c
=
%2
$a raí" cuadrada del discriminante es: 9&, &(
&
−
% /( %2 ⋅
⋅
=
$/,(%%
0sí
x $
=
+
& ⋅ %2 9&,& + $/,%% −
=
$,':9
el error estimado
E a
=
− /, &$
x$
⋅ / 8 =
&,:% 8
0hora #/ 8 7,FB # - 8 B #2 8B,B 6aciendo uso de un programa y reali"ando diferentes iteraciones: i #r
Ea G
2
B
-
7,>FB
/B,>2
/
>,22--
2,F->
7
>,2222
2,2/F
>
>,2222
2,222
Método de Ne+ton
Es una técnica para encontrar el %alor óptimo +mimo o mínimo, de una función de una %ariale, f+#. Para esta clase de an&lisis se dee tener cuidado con los sistemas multimodal, en los cuales e#isten %alores óptimos gloales y locales. Para la gran mayoría de los casos, los estudios se centran en los gloales. El método Como antecedente para la e#plicación del método, se tiene el método de HeIton<5aphson, el cual es un método aierto !ue encuentra la raí" de #, tal !ue f+# 8 2, el método se resume así:
xi +/
= xi −
f ( xi ) f ;( xi )
6aciendo uso de este planteamiento para hallar un óptimo de f+#, al definir una nue%a función g+# 8 fJ+#, así, como el mismo %alor óptimo #, satisface:
f ;( x<)
=
g ( x<)
=
Se utili"ar& la siguiente formulación, para hallar mimos o mínimos:
xi +/
= xi −
f ;( xi ) f ;;( xi )
Este es un método aierto y similar al HeIton<5aphson, ya !ue no re!uiere %alores iniciales !ue contengan el óptimo. 0dem&s, comparte la des%entaja de poder ser di%ergente. Como anotación, es con%eniente %erificar !ue la segunda deri%ada tenga el signo correcto, para confirmar !ue la técnica con%erge sore el %alor deseado.
Programa El mayor prolema a afrontar es la no
f+#
$ínea recta # 5aí" estimada #
# 4-
42
4
5aí"
)(e&plo
6allar el mimo de:
f ( x )
=
& sen( x) −
x &
con un %alor inicial de # 2 8 /,B
/
Solución
f ;( x )
=
f ;;( x )
& cos( x ) −
= −
x
& sen ( x ) −
/
Sustituyendo en la formulación de HeIton:
xi +/ x/
= xi −
=
&, −
& cos( xi ) − x i −
& sen( xi ) − /
& cos(&,) − &, −
& sen (&,) − /
=
,''
5eempla"ando en la ecuación, f+2,B8-,BL la segunda iteración ser&:
x/
=
,'' −
& cos(,'') − ,'' − & sen ( ,'' ) − /
5eali"ando diferentes iteraciones: i # 2 /,B 2,B / -,>F
= /, %9'
f+# 2,B/ -,B -,>
fJ+# ,-2/ 2,M2 <2,2-
fJJ+# <-,7 <-,MM ,-2
7
-,>/
-,F
<2,222
,-M2
Método de M,ller.
El método de la secante otiene raíces de una función estimando una proyección de una línea recta en el eje de las #, a tra%és de los %alores de la función. El método de *Nller, traaja de manera similar, pero en lugar de hacer la proyección de una recta utili"ando dos puntos, re!uiere de tres puntos para calcular una par&ola. Para esto necesitaremos de tres puntos 1#2, f+#23, 1#-, f+#-3 y 1#/, f+#/3. $a apro#imación la podemos escriir como: f 2 (x) = A(x – x 2 ) 2 + B(x – x 2 ) + C $os coeficientes de la par&ola los calculamos resol%iendo el siguiente sistema de ecuaciones. f 2 (x 0 ) = A(x 0 – x 2 ) 2 + B(x 0 – x 2 ) + C f 2( x 1 ) = A(x 1 – x 2 ) 2 + B(x 1 – x 2 ) + C f 2 (x 2 ) = A(x 2 – x 2 ) 2 + B(x 2 – x 2 ) + C De la (ltima ecuación podemos %er !ue el calor de C = f 2( x 2 ). Sustituyendo los %alores de C en las otras dos ecuaciones tenemos f 2( x 0 ) ) = A(x 0 – x 2 ) 2 + B(x 0 – x 2 ) f 2 (x 2 f 2( x 1 ) - f 2( x 2 ) = A(x 1 – x 2 ) 2 + B(x 1 – x 2 ) Si definimos h0 = x 1 - x 0 h1 = x 2 – x 1 d 0 = [f(x 1 ) – f(x 0 )]/[x ] 1 – x 0 d 1 = [f(x 2 ) – f(x 1 )]/[x 2 –x 1 ] Sustituyendo en las ecuaciones tenemos
-(d 0* h0 + d 1* h1 )= A(h1 + h0 )2 - B(h1 + h0 ) -d 1* h1 = A(h1 )2 - Bh1 $a solución de este sistema de ecuaciones es: A = (d 1 – d 0 )/(h ) 1 + h0 B = Ah1 + d 1 C = f(x 2 )
0hora para calcular la raí" del polinomio de segundo grado, podemos aplicar la formula general. Sin emargo, deido al error potencial de redondeo, usaremos una formulación alternati%a.
x$
= x& +
− &C
b ± b & − %ac
Ejemplo. )se el método de *Nller con los %alores iniciales de >.B, B.B y B para determinar la raí" de la ecuación f(x) = x – 1x – 12! x%. . . $.':9%'
x . . $.':9%' %./
x/ . $.':9%' %./ %.
%0x-1 &.9& 2&.2: %2. 4.2/9$$
%0x1 2&.2: %2. 4.2/9$$ .$9:2
%0x/1 %2. 4.2/9$$ .$9:2 .&
x2 $.':9%' %./ %. %.
Implementación en Java. /** * Title: Metodo de Muller
* Description: Resuelve un ecuación cuadratica
* Copyright: Copyright c! "##$
* Company: %M&'(
* )author Dr +elix Calderon &olorio * )version ,# */ pu-lic class e.#0 1 pu-lic static void main&tring23 args! 1 Muller!4 5 static pu-lic void Muller! 1 dou-le x# 6 78 x, 6 8 x" 6 #8 x$4 dou-le h#8 h,8 d#8 d,8 98 8 C4 dou-le den8 rai;4 do 1 h# h, d# d,
6 6 6 6
x, x#4 x" x,4 =x,! =x#!! / h#4 =x"! =x,!! / h,4
9 6 d, d#! / h, h#!4 6 9 * h, d,4 C 6 =x"!4
rai; 6 Maths?rt * 7# * 9 * C!4
haciendo
una
aproximacion
i= Matha-s rai;! > Matha-s rai;!! den 6 rai;4 else den 6 rai;4 x$ 6 x" " * C / den4 &ystemoutprintln@ x 6 @ x$ @ @ =x$!!4 x# 6 x, 6 x" 6 5Ahile
x,4 x"4 x$4 Matha-s=x$!! > ######,!4
5 static pu-lic dou-le =dou-le x! 1 returnx*x*x ,$*x ,"!4 5 5
5egresar.