MÉÉ TODO M TOD O D E L A G R A N G E -E ULE UL E R 1. INTRODUCCIÓN: A menudo es conveniente expresar las ecuaciones dinámicas de un manipulador en una sola ecuación que oculte algunos de los detalles, pero que muestre parte de la estructura de las ecuaciones. El modelo dinámico de un robot puede derivarse de manera sistemática por medio del concepto de coordenadas generalizadas y de una función escalar llamada lagrangiano, que se define como la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial del sistema mecánico en cuestión, es decir,
− Donde L denota la función lagrangiana, y T y U son la energía total cinética y potencial del sistema. Observe que la energía cinética depende tanto de la configuración, es decir, posición y orientación, como de la velocidad de los eslabones de un sistema robótico, mientras que la energía potencial depende únicamente de la configuración de los eslabones. Las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange se obtienen entonces por
( ) − ∅, 1,….., ̇ ̇ Donde n es el número de coordenadas generalizadas independientes que se usan para definir la configuración del sistema, y los
y los ∅ son las coordenadas generalizadas y fuerzas
generalizadas debidas a las fuerzas aplicadas correspondientes a las coordenadas generalizadas, respectivamente.
2. OBJETIVOS: Comprender que Lagrange proporciona solamente las ecuaciones referenciales
requeridas que determina la fuerza y el par de torsión de los actuadores. Entender que el Lagrangeano se define como la diferencia entre las energías cinética
y potencial.
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Obtener adecuadamente la ecuación de movimiento de un robot manipulador,
mediante la formulación de Lagrange-Euler.
3. COORDENADAS GENERALIZADAS: Las coordenadas que especifican por completo la configuración, es decir, la posición y orientación de todos los cuerpos de un sistema mecánico se llaman coordenadas generalizadas. Se dice que la configuración de un sistema mecánico es completamente conocida si se conoce la posición y orientación de todos los cuerpos que hay en el sistema. Puesto que un cuerpo rígido tiene seis grados de libertad (DOF), un sistema mecánico con m cuerpos móviles requiere coordenadas 6m para especificar por completo su configuración en el espacio cartesiano tridimensional. Estas coordenadas se llaman coordenadas generalizadas de un sistema mecánico como, por ejemplo, el brazo d e un robot. Sin embargo, estos cuerpos no pueden moverse libremente por las restricciones que impon en las articulaciones, es decir, están sujetos a restricciones impuestas por las articulaciones. Como resultado, las coordenadas 6m ya no son independientes. Si existen c restricciones, entonces:
− Coordenadas pueden especificarse de manera independiente. Estas se llaman coordenadas generalizadas independientes, y el sistema tiene un DOF de n. Por lo tanto, el número de coordenadas generalizadas independientes es igual al número de DOF del robot.
Figura N°01: Brazo de Robot de 2 Eslabones.
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Observe que las coordenadas generalizadas pueden definirse de varias maneras. Por ejemplo, considere el robot planar de dos eslabones que se presenta en la figura 1. Puesto que un cuerpo rígido en un plano tiene 3 DOF, dos cuerpos requieren seis coordenadas, es decir, (x1, y1, q1) y (x2, y2, q2), las cuales no son independien tes, puesto que hay dos articulaciones de revoluta que restringen el movimiento de los do s cuerpos. Observe que las coordenadas (x1, y1,) y (x2, y2) definen las posiciones del centro de masa de los eslabones, mientras que q1 y q2 denotan la orientación de los eslabones, es decir, los sistemas coordenados fijos del cuerpo. Además, d1 y d2 son las ubicaciones del centro de masa desde el origen de los sistemas, y para el primer conjunto de seis coordenadas existen cuatro restricciones, es decir:
cos ; sin cos + cos ; sin + sin Donde θ12 ≡ θ1 + θ2. Por ende, el sistema tiene 6 – 4 = 2 DOF. Entonces, el conjunto independiente de coordenadas generalizadas puede ser θ1 y θ2. Desde luego, uno puede seleccionar otras dos coordenadas generalizadas independientes. Sin embargo, para el ejemplo presentado, θ1 y θ2 son el conjunto más conveniente desde el punto de vista de los análisis de dinámica y cinemática de robots.
4. ENERGÍA CINÉTICA: Considere un robot que consiste en n eslabones rígidos, como el que se presenta en la figura 2a). Entonces la energía cinética de un eslabón normal i , figura 2b), denotada como T i , se obtiene mediante:
Donde:
̇ ̇ +
̇: Vector de velocidad (lineal) tridimensional del centro de masas C del i-ésimo i
eslabón.
: Vector de velocidad angular tridimensional del i-ésimo eslabón. : Masa del i-ésimo eslabón. Una cantidad escalar. : El tensor de inercia o matriz de 3x3 del i-ésimo eslabón alrededor de C
i
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a) Cadena Serial.
b) El i-ésimo Cuerpo. Figura N°02: Un Robot de Cadena Serial. En la ecuación:
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El tensor de inercia Ii para el i-ésimo cuerpo es invariante de tiempo, es decir, constante. Sin embargo, depende de la configuración del brazo del robot y se expresa en un sistema de referencia diferente, por ejemplo, el sistema fijo, como:
Donde [Ii]i+1 es la matriz de inercia del i-ésimo eslabón representada en el sistema del eslabón móvil i + 1 que se sujeta al i-ésimo cuerpo, y Qi es la matriz de rotación de 3 × 3 del eslabón i o el sistema i + 1 respecto al sistema fijo 1 o F . La energía cinética total T se da ahora por la suma de las contribuciones de cada eslabón rígido debido a los movimientos relativos de cada articulación, es decir:
En este punto, es necesario expresar la energía cinética como una función de las coordenadas generalizadas del sistema. Para un robot, las variables de las articulaciones, es decir, los ángulos de las articulaciones de revoluta y el desplazamiento para las articulaciones prismáticas, especifican por completo la configuración del robot. Por ende, los ángulos y desplazamientos de las articulaciones se consideran las coordenadas generalizadas. Para el iésimo eslabón, la velocidad angular y la velocidad lineal se calculan a partir del primer eslabón de la cadena serial, figura 2a), como:
Observe que al escribir las ecuaciones anteriores, se supone que todas las articulaciones son de revoluta. Por consiguiente, el vector ei es el vector unitario paralelo al eje de la articulación 5
revoluta, mientras que
ai, di y ri se presentan en la figura 2b). Además, ρij es el vector que
conecta el origen de la i-ésima articulación Oi con el j-ésimo centro de masa C j. Para i = j, ρij ≡
di. Utilizando las ecuaciones (8.29e-f ), las velocidades del i-ésimo eslabón pueden
entonces expresarse en términos de todos los índices de articulaciones n, es decir,
Donde
̇ ≡ [ ̇, ̇,…, ̇] es el vector n-dimensional de índice de articulaciones. En las
ecuaciones anteriores,
Jω ,i y Jc,i son las matrices de 3 × n. Proporcionalmente, Jω ,i y Jc,i son
los vectores tridimensionales que, según las ecuaciones, pu eden escribirse como:
Observe que para una articulación prismática la ecuación anterior se modifica como:
Donde 0 representa el vector tridimensional de ceros y el vector ei es el vector unitario a lo largo de la traslación de la articulación prismática. Si se sustituyen las ecuaciones (
̇)
en la ecuación general de la energía cinética y luego se suma a través de todos los eslabones, la expresión para la energía cinética del sistema se obtiene como:
̅ se determina por:
Donde la matriz de
, , , , también están en las
Observe que en la ecuación anterior las expresiones
matrices de n × n. Además, si una matriz I de n × n se define como sigue:
Entonces la Energía Cinética Total puede recibirse según:
̇ ̇ 6
Donde la matriz I se llama
Matriz de Inercia Generalizada (GIM) del robot en cuestión.
Cabe señalar aquí que la GIM del robot I de la ecuación anterior involucra las matrices que a su vez es una funcion de las matrices
̅,
, , , como es evidente de la ecuación. Por
lo tanto, el manipulador GIM es dependiente de la configuración, es decir, únicamente de la función de θ . También, de modo parecido a como se define en las ecuaciones mencionadas anteriormente la inercia de un cuerpo rígido Ii, el manipulador GIM I es también simétrico y positivo-definido. Esto es obvio por la forma cuadrática de la ecuación antes mencionada que indica que la energía cinética del sistema siempre es positiva, a menos que este en reposo.
5. ENERGÍA POTENCIAL: La energía potencial total almacenada en el robot se obtiene por la suma de las contribuciones de cada eslabón. Sobre la base de eslabones rígidos, la energía potencial guardada en el eslabón i se define como la cantidad de trabajo que se necesita para levantar el centro de masas del eslabón i desde un plano de referencia horizontal hasta su posición presente bajo la influencia de la gravedad. En el caso del sistema coordenado de inercia, el trabajo necesario para desplazar el eslabón i hasta la posición Ci se determina por
− , donde g es el
vector debido a la aceleración de gravedad. Por ende, la energía potencial total almacenada en un brazo de robot se obtiene mediante
−∑− =
En la ecuación, el vector ci es una función de las variables de articulación, es decir, las del robot. Por lo tanto, la energía potencial total es una función únicamente de las variables de
̇
articulación , y no de las velocidades de articulación .Ademas, ci es una función no lineal
de , y, por lo tanto, U no puede expresarse de manera adecuada en términos de .
6. ECUACIONES DE MOVIMIENTO: Tras haber computado las energías cinética y potencial totales del robot en estudio el lagrangiano se puede escribir como.
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La ecuación anterior Ahora la función de Lagrange debe diferenciarse respecto a
, ̇ y t
para formular las ecuaciones dinámicas de movimiento. Con el fi n de facilitar la derivación, se expande el término de energía cinética como suma de los escalares. Si suponemos que ii es el elemento (i,j) del GIM I del robot, entonces la puede escribirse .
…….(*)
̇ , si se toma la derivada parcial de L dada
Puesto que la energía potencial no depende de por la ecuación anterior respecto a
̇ , se obtiene.
……..(1) Para i=1,…,n entonces la ecuación se diferencia con respecto al tiempo t como
Tomando la derivada parcial de la ecuación (*) respecto a
, se obtiene
, ⁄ en la ecuación anterior, es igual al vector de la i-ésima columna de la submatriz jacobiana denotada por , la ecuación Puesto que la derivada parcial de c i respecto a
puede escribirse como.
…….(2)
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Mediante la combinación de las ecuaciones (1) y (2), se obtienen las ecuaciones dinámicas del movimiento como.
Para i=1,….,n, donde
Y
Puede armarse para todas las coordenadas generalizadas n como
Donde I es la matriz de inercia generalizada de n × n y los vectores n-dimensionales h, y
se definen:
ℎ[ℎ,…..,ℎ]
El vector n-dimensional de las aceleraciones centrifugas y de coriolis. El vector h también puede expresarse como
ℎ ̇, donde los elementos de la matriz C de nxn se obtiene
mediante;
También:
[ ,……..]: el vector n-dimensional de aceleraciones gravitacionales. [,……..]: el vector n-dimensional de fuerzas generalizadas.
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E JE MPLO N°01: DI NÁMICA DE UN BRAZO DE UN E SLABÓN La ecuación dinámica de movimiento del brazo de un eslabón y DOF = 1 que se presenta en la figura 1 se deriva mediante la formulación de Euler-Lagrange (EL). Se adjuntan dos sistemas de coordenadas siguiendo la convención de los parámetros DH. Observamos en la figura 1 que no se usa ningún subíndice en los parámetros del eslabón porque solamente
existe uno. Según la formulación EL, la coordenada generalizada es , mientras que a/2 es la distancia del centro de masa del eslabón desde su origen de articulación O. Además, supongamos que la masa del eslabón es m, y su tensor de inercia alrededor de los centros de
masa, es denotado por . Con el sistema de coordenadas seleccionado, es decir, el sistema fijo
– , los jacobianos ω, y , para i = 1, la ecuación (8.30a-b) proporcionará:
F igura 1: Brazo de un eslabón.
ω, ≡ 0 0 1
;
, ≡ − 0
……… (a1)
y representan y , respectivamente. Según la ecuación (8.34), el término de inercia escalar se da por: Donde
≡ 4 + …………. (b1) Observe aquí que, a pesar de que la matriz de ine rcia del eslabón tenga todos los elementos no cero debido a la estructura de J, , solo el elemento (3, 3) de , a saber , contribuye al término de inercia generalizada. Usando la ecuación (8.43), se obtienen los elementos de los
vectores y , es decir,
y , respectivamente, de la siguiente manera: 10
ℎ0; ≡−g , g Donde
≡ g 0 0 − g es la aceleración de la gravedad. Usando las ecuaciones (a1-
b1), la ecuación de movimiento en la forma de la ecuación (8.44a) es:
̈ + g
(A)
Cabe señalar aquí que para un sistema sencillo como el brazo de un eslabón, es recomendable obtener la ecuación de movimiento, es decir, la ecuación (A), directamente de las ecuaciones (8.24) y (8.26). Esto se muestra a continuación:
1 1 ≡ 2 2 ̇ + 2 12 ̇ 6 ̇ g2 − 2 ≡ − ≡ 6 ̇ − g 2 1− Para la coordenada generalizada , la ecuación (8.24) proporciona entonces:
(∂ ) 1 ̈ ; ∂ − 1 g ; y 1 ̈ + 1 g ̇ 3 3 2 ̇ 2 Lo que muestra la misma expresión que la que se obtuvo en la ecuación (A).
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