Método del elemento finito El método del elemento finito tiene su origen en el análisis estructural y fue usado para la solución de problemas electromagnéticos hasta el año de 1968[]. El método del elemento finito (MEF) es útil para resolver problemas cuya solución involucra ecuaciones diferenciales y fronteras con formas irregulares. El análisis a través de MEF de un problema implica básicamente 4 pasos: 1. Discretización de la región de solución en un número finito de subregiones o elementos. 2. Deducción de ecuaciones que rigen a un elemento representativo. 3. Reunión de todos los elementos en la región de solución. 4. Resolución del sistema de ecuaciones obtenido. Discretización de los elementos La región de solución se divide en cierto número de elementos (mientras mayor sea el número de elementos mayor será la exactitud del método), como se ilustra en la figura xx, donde la región se ha dividido en cuatro elementos no empalmados entre sí (dos de ellos triangulares y dos cuadriláteros).
Figura xx. Subdivisión del elemento finito representativo de un dominio irregular Se busca entonces una aproximación del potencial dentro del elemento e y después se interrelacionan las distribuciones del potencial de tal forma que sea continuo de uno y otro lado de la frontera de los elementos, entonces la solución aproximada de la región completa se encuentra descrita por la ecuación (
)
∑
( (
))
Donde N es el número de elementos triangulares en los que se ha dividido la región de solución. La forma más común en que se obtiene la aproximación de V e para el caso de los elementos triangulares es a través de aproximación polinomial (
)
En el caso de los elementos cuadriláteros es: (
)
El potencial de Ve es en general diferente de cero dentro del elemento e y de cero fuera de e. Resulta difícil aproximar la frontera de la región de solución con elementos cuadriláteros, los cuales son útiles en problemas donde la región de solución es bastante regular, por tal motivo es común en el análisis de elemento finito que se utilicen únicamente elementos triangulares. Debe observarse que en el supuesto caso de variación lineal de potencial dentro del elemento triangular (tal y como lo muestra la ecuación xx), equivale a suponer que el campo eléctrico es uniforme dentro del elemento es decir (
)
Ecuaciones que rigen los elementos Considerando únicamente el elemento triangular (elemento 1) que se muestra en la figura x. El potencial Ve1, Ve2, Ve3 en los nodos 1, 2, 3 respectivamente se obtienen mediante la ecuación [
]
[
][ ]
A partir de la ecuación x2 se determinan los coeficientes a, b, c de la siguiente manera [ ]
[
]
[
]
La sustitución de esta expresión en la ecuación xx resulta en ( [
]
[ ( (
) ( ) )
) ( (
) )
O de otra manera ∑ Donde
(
)
(
) ( (
) ][ )
]
[(
)
(
)
(
) ]
(
[(
)
(
)
(
) ]
[(
)
(
)
(
) ]
Y A es el área del elemento e; esto es [
]
(
)
[(
(
)
)(
)
(
(
)
)(
)]
El valor de A es positivo si los nodos de numeran en dirección opuesta a la de las manecillas del reloj, comenzando por cualquiera de ellos, como lo indica la flecha de la figura 3x. Cabe señalar que de la ecuación 4x resulta el potencial en cualquier punto (x, y) dentro del elemento siempre y cuando se conozcan los potenciales de los vértices, a demás se debe observar que los términos α i son funciones de interpolación lineal. Se les llama funciones de forma del elemento y poseen las siguientes propiedades (
∑
)
(
)
Figura 3x. Elemento triangular representativo, la numeración local de los nodos 1, 2, 3 debe seguir la dirección contraria de las manecillas del reloj, como lo indica la flecha. En la figura 4x se ilustran, por ejemplo, las funciones de forma α1 y α2.
Figura xs. Funciones de forma de un elemento triangular (α1 y α2 ). La energía por unidad de longitud asociada con el elemento e está dada por la ecuación siguiente ∫ | |
|
∫
|
Donde la región de solución es bidimensional sin carga ( la ecuación 4x sin embargo ∑
). De acuerdo con
(
La sustitución de la ecuación xy en la ecuación z2 da como resultado ∑∑
[∫
]
Si el término entre corchetes se define como ( )
∫
La ecuación puede expresarse en forma matricial como se muestra a continuación [
] [
( )
][
]
Donde el exponente T denota la transposición de la matriz [
]
[
]
[
( )
]
[
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
]
La matriz [ ( )
( )
] es la matriz de coeficientes de los elementos. El elemento matricial
de la matriz de coeficientes puede considerarse como el acoplador entre los
nodos i y j; su valor se obtiene de las ecuaciones bn y ch. Por ejemplo ( )
( )
[(
∫
)(
)
(
)(
)]
Cada uno de los elementos matriciales restantes se obtienen de la misma manera, aun que el cálculo de estos se facilita bastante si se define lo siguiente ( (
) )
(
)
(
)
(
) (
)
Dado que (i= 1, 2, 3 son los números locales de los nodos) cada termino de la matriz de coeficientes de los elementos se determina de esta manera ( )
[
]
Donde [
]
Reunión de todos los elementos Habiendo considerado un elemento representativo lo siguiente es reunir todos los elementos en la región de solución. La energía asociada con la reunión de todos los elementos de la malla es ∑
[ ] [ ][ ]
Donde
[ ] [
]
y n es el numero de nodos, N es el número de elementos y [ ] es la matriz de coeficientes global o general, en la que se conjuntan las matrices de coeficientes de los elementos particulares, ahora debe obtenerse [ ] a partir de [ ]( ) . Para mostrar la manera en que se lleva a cabo lo anterior se utilizara el ejemplo siguiente. Si se considera la malla de elementos finitos integrada por tres elementos que se presenta en la figura xc donde la numeración de los nodos 1, 2, 3, 4, 5 es la numeración global, mientras que la numeración i-j-k es la numeración local correspondiente a la numeración 1-2-3 del elemento de la figura 3x
Figura xc. Reunión de tres elementos
Con referencia al elemento 3 de la figura 3x, por ejemplo podría elegirse 3-5-4 correspondiente a la numeración local 1-2-3 del elemento de la figura 3x. Debe notarse que la numeración local debe seguir siempre una secuencia en dirección contraria a las manecillas del reloj a partir de cualquier nodo del elemento en cuanto al elemento 3 por ejemplo, podría elegirse 4-3-5 o 5-4-3 en lugar de 3-5-4 en correspondencia de 1-2-3 del elemento de la figura 3x. Así la numeración de la figura xc no es única y cualquier numeración que se emplee deriva siempre en la misma [ ]. Si se adopta la numeración de la figura xc, es de suponer que la matriz de coeficientes global resultara una matriz de 5x5 puesto que están implicados 5 nodos (n=5). También esta vez Cij es el acoplador entre los nodos i y j. Cij se obtiene con base a que la distribución de potencial debe ser continua a uno y otro lado de la frontera entre los elementos.
[ ] [
]
La contribución a la posición i, j en [ ] procede de todos los elementos que contienen nodos i y j para hallar C11 por ejemplo, se observa en la figura xc que el
nodo global 1 pertenece a los elementos 1 y 2 y es el nodo local 1 en ambos por lo tanto ( )
( )
En cuanto a C22, el nodo global 2 solo pertenece al elemento 1 y es igual y es igual al nodo local 3 por lo tanto ( )
En cuanto a C14 el vínculo global 14 equivale a los vínculos locales 12 y 13 de los elementos 1 y 2 respectivamente; en consecuencia ( )
( )
Siguiendo este procedimiento mediante la inspección de la figura xc se obtienen todos los términos de la matriz de coeficientes global en la siguiente forma
( )
( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
[
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
]
Resolución de ecuaciones resultantes Sabemos del cálculo de variaciones que la ecuación de Laplace (o la de Poisson) se satisfacen cuando la energía total en la región de solución es mínima. Es preciso entonces que las derivadas parciales de W respecto de cada valor nodal del potencial sean de cero; es decir,
Para obtener
En la malla de elementos finitos de la figura xc, por ejemplo, la ecuación hi se sustituye en la ecuación rf y se obtiene la derivada parcial de W respecto de V1. Así se obtiene
O
En general
, por lo tanto ∑
Donde n es el número de nodos en la malla. Al expresar la ecuación 90 para todos los nodos k= 1, 2, 3, …, n, se obtiene un conjunto de ecuaciones simultaneas a partir de las cuales es posible encontrar la solución de [ ] [ ]. Esto puede hacerse a través de diversos métodos uno de ellos es el método de la matriz en banda. Método de la matriz en banda Si se numeran primero todos los nodos libres y después los nodos fijos, la ecuación rf puede expresarse como [
][
][ ]
Donde los subíndices f y p se refieren a nodos de potencial libre y fijo (o prescrito) respectivamente. Puesto que Vp es constante solo se diferencia respecto de Vf, de modo que la aplicación de la ecuación (re) en la ecuación gh produce
O [
][ ]
[
][ ]
Esta ecuación puede expresarse como [ ][ ] De aquí tenemos que
[ ]
[ ]
[ ] [ ]