DIVISIÓN DE INGENIERÍA MECATRÓNICA MECAT RÓNICA MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO 2-4-8
M.I. ERIC OMAR SOTO LAFLOR LA FLOR SEMESTRE FEBRERO - JUNIO DE 2013
OBJETIVO GENERAL DEL CURSO
El alumno conocerá los fundamentos matemáticos del Método del Elemento Finito (MEF) relacionados con la derivación de la formulación variacional débil a partir de las ecuaciones diferenciales y la construcción de la matriz de rigidez y el vector de fuerzas para problemas sencillos en una y dos dimensiones. El alumno conocerá las aplicaciones potenciales del Método del Elemento Finito (MEF) a través de la solución de problemas en paquetes comerciales (NX Nastran).
UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN Objetivo: El alumno conocerá conocerá los fundamentos teóricos del Método del Elemento Finito. Temario: 1.1 Descripción General del MEF. 1.1.1 Discretización del continuo. 1.1.2 Funciones de Forma. 1.1.3 Ensamble y Solución.
1.2 Energía Potencial. 1.2.1 Energía Potencial de un sistema Continuo. 1.2.2 Principio de mínima energía potencial.
1.3 Un método precedente, Raylegh-Ritz. 1.4 Principio del trabajo Virtual.
ANTECEDENTES ANTECEDE NTES Muchos fenómenos físicos en las ciencias e ingenierías pueden ser descritos en términos de ecuaciones diferenciales parciales. En general, resolver esas ecuaciones por métodos analíticos clásicos para formas (geometrías) arbitrarias es casi imposible. El Método del Elemento Finito es una aproximación numérica por la cual esas ecuaciones se pueden resolver de manera aproximada. Desde el punto de vista de la ingeniería, éste método sirve para resolver problemas tales como análisis de esfuerzos, transferencia de calor, flujo de fluidos y electromagnetismo por medio de una simulación computacional.
ANTECEDENTES ANTECED ENTES Muchos ingenieros y científicos a nivel mundial usan el MEF para predecir el comportamiento estructural, mecánico, térmico, eléctrico y químico de sistemas, para diseño y análisis de desempeño.
Para explicar el principio básico del MEF, se considera una placa con un orificio para el cual queremos encontrar la distribución de temperaturas. Es sencillo escribir una ecuación de balance de temperaturas para cada punto en la placa, sin embargo la solución de las ecuaciones para geometrías complicadas, es imposible por métodos clásicos. La idea básica del MEF es dividir el objeto en elementos finitos, llamados elementos (elements) conectados por nodos (nodes) y obtener una solución aproximada como la mostrada en la figura.
Lo anterior es llamado malla (mesh) del elemento finito y el proceso de hacer la malla se llama generación de la malla (mesh generation). El MEF brinda una metodología sistemática por la cual la solución, en el caso de este ejemplo el campo de temperaturas puede ser determinada por un programa de computadora. Para problemas lineales, la solución es determinada resolviendo un sistema de ecuaciones lineales, el número de incógnitas (las cuales son las temperaturas nodales) es igual al número de nodos. Para obtener una solución con exactitud razonable, son necesarios miles de nodos, por lo que es necesario utilizar una computadora para la solución. La exactitud de la solución mejora si el número de elementos (y nodos) se incrementa, pero el tiempo de cálculo, y de ahí el costo también se incrementa. El programa de elemento finito determina la temperatura de cada nodo y el flujo de calor a través de cada elemento.
VISUALMENTE VISUALMEN TE GRÁFICO Los resultados son usualmente presentados como visualizaciones computarizadas, gráficas, tablas, animaciones, etc. Esa información después es utilizada en los procesos de análisis y diseño en ingeniería.
El mismo tipo de malla es usada para representar la geometría de la estructura o componente y desarrollar las ecuaciones de elemento finito, para sistemas lineales, los valores nodales son obtenidos resolviendo grandes sistemas de ecuaciones (de a ecuaciones y en aplicaciones más especiales 9ecuaciones).
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BREVE HISTORIA DEL MEF Aunque el nombre del MEF se ha establecido recientemente, recienteme nte, el concepto se ha usado desde hace varios siglos. El empleo de métodos de discretizado espacial y temporal y la aproximación numérica para encontrar soluciones a problemas ingenieriles o físicos es conocido desde tiempos antiguos. El concepto de ‘elementos finitos’ parte de esa idea. Para encontrar vestigios de este tipo de cálculos podríamos remontarnos a la época de la construcción las pirámides egipcias. Los egipcios empleaban métodos de discretizado para determinar el volumen de las pirámides.
Arquímedes Arquímedes (287-212 a.C.) empleaba el mismo método para calcular el volumen de todo tipo de sólidos o la superficie de áreas. En oriente también aparecen métodos de aproximación para realizar cálculos. Así el matemático matemático chino Lui Hui (300 d.C.) empleaba un polígono regular de 3072 lados para calcular longitudes de circunferencias con lo que conseguía una aproximación al número Pi de 3.1416.
EL MEF MODERNO Fueron Turner, Clough, Martin y Topp [2] quienes presentaron el MEF en la forma aceptada hoy en día. En su trabajo introdujeron la aplicación de elementos finitos simples (barras y placas triangulares con cargas en su plano) al análisis de estructuras aeronáuticas, utilizando los conceptos de discretizado y funciones de forma. [2] “Stifness and deflection analysis of complex structures” structures ”. Journal of Aeronautical Sciencies, 23, 805-824. 1956
ASÍ ENTONCES: ENTONCES: El Método del Elemento Finito (MEF) es una técnica de Análisis en Ingeniería muy poderosa que ha tenido un gran crecimiento en los últimos años. Gracias al formidable avance de las computadoras, con capacidades y velocidades cada vez mayores, así como a la disponibilidad de paquetes comerciales amigables, el MEF se ha convertido en una herramienta importante en la industria moderna.
UN GRAN AHORRO: DINERO Y TIEMPO El Método del Elemento Finitos (MEF) ha adquirido una gran importancia en la solución de problemas ingenieriles, físicos, etc., ya que permite resolver casos que hasta hace poco tiempo eran prácticamente imposibles de resolver por métodos matemáticos tradicionales. Esta circunstancia obligaba a realizar prototipos, ensayarlos e ir realizando mejoras de forma iterativa, lo que traía consigo un elevado coste tanto económico como en tiempo de desarrollo.
APLICACIONES APLICACI ONES DEL MEF Análisis térmicos y de esfuerzos esfuerzos de partes industriales industriales tales como chips electrónicos, dispositivos eléctricos, válvulas, tuberías, recipientes a presión, motores automotrices y de aviación. Análisis sísmico de presas, centrales de generación generación de energía, ciudades y rascacielos. Análisis de impacto de vehículos, trenes y aviones.
Análisis de flujo de fluidos en estanques de refrigeración refrigeración y sistemas de ventilación. Análisis electromagné electromagnético tico de antenas y transistores. transistores.
MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO El método de elemento finito (MEF) consiste de los siguientes 5 pasos: 1. Pre-procesamiento: Subdividir el dominio del problema en elementos finitos. 2. Formulación de elementos: Desarrollo de las ecuaciones para los elementos. 3. Ensamble: Obtener las ecuaciones del sistema completo a partir de las de cada elemento. 4. Resolver las ecuaciones. 5. Pos-procesado: Determinar cantidades de interés, tales como esfuerzos y deformaciones y obtener visualizaciones de su respuesta.
FEM: POR SUS SIGLAS EN INGLÉS
UBICACIÓN DE LA MATERIA Dibujo Asistido por Computadora Ciencia e Ingeniería de los Materiales Estática Álgebra Lineal Mecánica de Materiales Ecuaciones Diferenciales Termofluidos Diseño de Elementos Mecánicos Método del Elemento Finito
CONCEPTOS GENERALES DEL MEF La idea general del MEF es la división de un continuo en un conjunto de pequeños elementos interconectados por una serie de puntos llamados nodos. Las ecuaciones que rigen el comportamiento del continuo regirán también el del elemento. De esta forma se consigue pasar de un sistema continuo (infinitos grados de libertad), que es regido por una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales, a un sistema con un número de grados de libertad finito cuyo comportamiento se modela por un sistema de ecuaciones, lineales o no.
En cualquier sistema a analizar podemos distinguir entre: Dominio: Espacio geométrico donde se va ha analizar el sistema. Condiciones de contorno: Variables conocidas y que condicionan el cambio del sistema: cargas, desplazamientos, temperaturas, voltaje, focos de calor,... Incógnitas: Variables del sistema que deseamos conocer después de que las condiciones de contorno han actuados sobre el sistema: desplazamientos, tensiones, temperaturas,...
SIMPLIFICANDO.. El MEF supone, para solucionar un problema, el dominio discretizado en subdominios denominados elementos. El dominio se divide mediante puntos (en el caso lineal), mediante líneas (en el caso bidimensional) o superficies ( en el tridimensional) imaginarias, de forma que el dominio total en estudio se aproxime mediante el conjunto de porciones (elementos) en que se subdivide.
PROPÓSITO DEL MEF… Los elementos se definen por un número discreto de puntos, llamados nodos, que conectan entre si los elementos. Sobre estos nodos se materializan las incógnitas fundamentales del problema. En el caso de elementos estructurales estas incógnitas son los desplazamientos nodales, ya que a partir de éstos podemos calcular el resto de incógnitas que nos interesen: tensiones, deformaciones,... A estas incógnitas se les denomina grados de libertad de cada nodo del modelo. Los grados de libertad de un nodo son las variables que nos determinan el estado y/o posición del nodo.
EJEMPLO: Si el sistema a estudiar es una viga en voladizo con una carga puntual en el extremo y una distribución de temperaturas tal y como muestra la figura,
El discretizado del dominio podría ser:
Los grados de libertad de cada nodo serán: Desplazamiento en la dirección “x” Deplazamiento en la dirección “y” Giro según “z” Temperatura
El sistema, debido a las condiciones de contorno: empotramiento, fuerza puntual y temperatura, evoluciona hasta un estado final. En este estado final, conocidos los valores de los grados de libertad de los nodos del sistema podemos determinar cualquier otra incógnita deseada: tensiones, deformaciones,... También sería posible obtener la evolución temporal de cualquiera de los grados de libertad.
1.1 DESCRIPCIÓN GENERAL DEL MEF La solución de problemas continuos por el método del elemento Finito sigue un proceso ordenado. En seguida se describen en términos generales los pasos usados en éste proceso:
1.1.1 DISCRETIZACIÓN DEL CONTINUO El dominio total del problema es dividido en subdominios simples llamados elementos, como se muestra en la figura 1.1
En problemas de dos dimensiones el dominio total es dividido en triángulos o paralelogramos de lados rectos, o bien triángulos o cuadriláteros de lados curvos. Con elementos de lados rectos se puede lograr una buena aproximación del dominio con una discretización fina; sin embargo, con elementos de lados curvos la aproximación del dominio es mejor.
En problemas de tres dimensiones el dominio es discretizado con elementos en forma de tetrahedros, cubos o elementos con superficies curvas. Los puntos marcados en cada elemento se llaman nodos.
1.1.2 FUNCIONES DE FORMA Para cada elemento se selecciona una aproximación de la función buscada. La función buscada puede ser la distribución de temperatura en problemas de transferencia de calor, o bien, el campo de desplazamientos desplazamientos en problemas de elasticidad. Para problemas unidimensionales: son polinomios de primer, segundo o tercer orden.
()
Para problemas en dos dimensiones: son polinomios lineales, cuadráticos o de mayor orden.
(,)
,
La función por aproximar (por ejemplo la deformación biaxial en un elemento sometido a tensión) puede expresarse a través de las variables nodales del elemento mediante una combinación lineal de las funciones de forma con las variables nodales como coeficientes. Si sólo los valores de la función en los nodos, () tomados como como variables, variables, la aproximación aproximación para para el , son tomados elemento bidimensional con nodos tiene la forma:
() , () () , , =
1.1.3 ENSAMBLE Y SOLUCIÓN El MEF trabaja con la formulación variacional del problema, esto es, una expresión matemáticamente equivalente a la ecuación diferencial que gobierna el problema. Si sustituimos la aproximación anterior en la formulación variacional obtenemos un sistema lineal de ecuaciones de la forma: para el elemento
Considerando la contribución de cada uno de los elementos en que se ha dividido el dominio original se obtiene el sistema global de ecuaciones:
en donde
es llamada matriz de rigidez es el vector de fuerzas es el vector de incógnitas o variables nodales y contienen el valor de la función en los puntos nodales (temperaturas, desplazamientos, etc.)
Una vez aplicadas las condiciones frontera podemos resolver la ecuación anterior para obtener la solución aproximada de en los puntos nodales.
u ,
1.2 ENERGÍA POTENCIAL La energía potencial de un sistema mecánico conservativo se define como el trabajo hecho por todas las fuerzas actuantes cuando el sistema es llevado de una configuración dada a una configuración de referencia. En el caso de cuerpos sólidos elásticos, la configuración de referencia se toma como aquella cuando el sólido está descargado.
Considérese el sistema masa-resorte de la siguiente figura:
La energía potencial del sistema está dada por:
Ahora considérese considérese el el siguiente sistema masa-resorte: masa-resorte:
La energía potencial del sistema está dada por:
En los dos casos anteriores, la energía potencial debida a la fuerza interna es igual a la suma de la energía de más la energía potencial debida a deformación las fuerzas externas. En general cuando se tienen N cargas externas podemos escribir:
=
Es decir, la energía potencial total del sistema es igual a la energía de deformación menos el trabajo hecho por las cargas externas.
1.2.1 ENERGÍA POTENCIAL DE UN SISTEMA CONTINUO Considérese un cuerpo elástico en tres dimensiones, el cual está restringido en algunos puntos como se muestra en la siguiente figura:
Permítase ahora que el cuerpo esté sujeto a fuerzas de volumen fuerzas superficiales y fuerzas puntuales . Sea el vector de desplazamientos de un punto arbitrario. La energía potencial total del cuerpo bajo la acción de éstas cargas es:
,
- = , , , , , es el vector de esfuerzos
, , , , ,
es el vector de
deformaciones
, , es el vector de desplazamientos
es el volumen del cuerpo es la superficie del cuerpo son las cargas puntuales y son los desplazamientos en los puntos donde se aplican Ahora bien, en la ecuación ecuación anterior: anterior:
representa la energía de deformación del sólido.
-
representan el trabajo virtual realizado por las fuerzas de volumen y superficiales respectivamente, respectivamente, y
representa el trabajo virtual realizado por las =
cargas puntuales .
BARRA CARGADA AXIALMENTE Considérese una barra de sección transversal constante A y longitud L sujeta a un esfuerzo axial como se muestra en la figura. La fuerza es una fuerza distribuida por unidad de longitud. Bajo éstas condiciones, el desplazamiento a lo largo del eje es sólo función de la coordenada , esto es, .
Y la deformación es:
´ De acuerdo a la ley de Hooke el esfuerzo normal es ´ Así entonces, si se desea obtener : ´ ´ ´
Sustituyendo en la ecuación general de energía potencial tenemos:
1 Π 2 ´() 0 () donde y son las fuerzas externas aplicadas en los extremos de la barra y 0 , los desplazamientos axiales de tales extremos.
VIGAS Considerando la viga mostrada en la figura, y de manera análoga se obtiene la energía potencial de éste sistema:
1 Π 2 ´´ =
1.2.2 PRINCIPIO DE LA MÍNIMA ENERGÍA POTENCIAL
Establece
que:
“Entre
todas las configuraciones admisibles de un sistema conservativo, aquellas que satisfacen las ecuaciones de equilibrio hacen que la energía potencial tome un valor estacionario (extremo) con . respecto de pequeñas variaciones del desplazamiento
Es decir, en la posición de equilibrio, la energía potencial es tal que:
Π 0
Una analogía útil es considerar una canica como en la figura anterior, bajo la influencia de la gravedad. Si la superficie es cóncava como en (a), entonces la posición de equilibrio es el fondo y corresponde a un mínimo de la energía potencial, en éste caso la posición de equilibrio es estable, puesto que si la canica se desplaza ligeramente del fondo, fondo, se verá sometida a una fuerza recuperadora que tenderá a regresarla a su posición, oscilando alrededor del punto de equilibrio.
Si la superficie es convexa, como en (b), la posición de equilibrio es la cima de la superficie, donde la energía potencial es máxima. Si la canica es desplazada ligeramente, ésta tenderá a alejarse de la posición de equilibrio lo que implica que el equilibrio es inestable.
Si la superficie es plana, como en (c) , entonces cualquier posición es una posición de equilibrio, en éste caso decimos que el equilibrio es neutro.
EJEMPLO:
Determinar la expresión para que corresponda a la posición de equilibrio del mecanismo de la siguiente figura. La longitud del resorte sin deformar es y su constante elástica es
.
ℎ,
SOLUCIÓN:
Cuando se aplica la carga y el resorte se deforma una cantidad , se llega a la posición de equilibrio (mostrada con líneas punteadas):
Recordemos que la energía potencial en éstas condiciones se calcula como sigue:
En donde
=
La otra parte de la ecuación se obtiene calculando el trabajo hecho por las cargas externas, en éste caso es
:
1 2 P 2 Donde resorte.
es el desplazamiento del extremo libre del
Ahora, utilizando el principio principio de la mínima energía energía potencial, la posición de equilibrio es alcanzada cuando:
1 2 P 2 0
Así entonces, entonces, diferenciando diferenciando la energía potencial potencial obtenida: obtenida:
2 0
Encontramos Encontramos ahora la deformación del resorte:
2
De la posición de equilibrio se observa que:
ℎ+ ℎ+ 2 2 , así entonces: Pero 2 ℎ +
Nótese ahora que debido a que P es constante, se tiene que:
Π > 0
Lo que implica que la posición de equilibrio es estable, esto es, corresponde a un mínimo de energía potencial.
1.3 UN MÉTODO PRECEDENTE, RAYLEIGH-RITZ Éste método busca soluciones aproximadas de problemas de análisis estructural y mecánica de sólidos haciendo uso del principio de mínima energía potencial. Como se verá más adelante, cuando el MEF es usado para resolver problemas en sólidos linealmente elásticos, éste sigue un procedimiento muy semejante al de RayleighRitz, sin embargo, éste último es conceptualmente más sencillo, por lo que resulta útil su utilización. En éste sentido se podría decir que el método de RayleighRitz es un pariente lejano del MEF.
PROBLEMA…
Encontrar una solución aproximada para la deflexión de la viga mostrada en la siguiente figura:
SOLUCIÓN: Utilizando la Mecánica de los Materiales y los métodos de solución de ésta se ha obtenido la solución exacta para éste problema:
8
3 4
para 0 ≤ ≤ La idea es utilizar el Método de Rayleigh-Ritz encontrando una solución aproximada. Apliquemos a continuación el procedimiento:
ϕ ´
1.- Suponer una función para aproximar la forma de la debe satisfacer las curva elástica. La función condiciones frontera de y , deflexión y pendiente respectivamente; estas condiciones de frontera son llamadas esenciales. Por ejemplo:
π ϕ Puesto que ϕ 0 ϕ 0
Así entonces, realizando una aproximación de la solución:
≈ϕ
donde es una constante por determinar. El parámetro elegido , será aquel tal que la función haga que la energía potencial de la viga tome un valor mínimo.
ϕ
2.
Usando la función propuesta , calcular la energía potencial. Así entonces, para para calcular la energía potencial potencial
de una viga, recordemos que:
´´ Como no hay cargas uniformemente distribuidas, solo una carga puntual que es P:
´´
Así entonces, sustituyendo el valor de , podemos encontrar el valor de la energía potencial de la viga:
Π 4 3.-
Se aplica ahora el principio de la mínima energía potencial que dice:
Π 0 Π 2 0 4
de donde se obtiene
Y finalmente la aproximación aproximación de de la curva elástica elástica es: es:
2 Si graficamos la solución exacta y la aproximación aproximación obtenida comprobaremos que el método es exacto.
En general se puede aproximar la deflexión de la viga seleccionando como una combinación lineal del conjunto de las funciones linealmente independientes ≈ =
ϕ : ϕ + ϕ ϕ ϕ Los coeficientes son las incógnitas y ϕ son las llamadas
funciones de forma.
Si sustituimos la ecuación anterior generalizada, en la ecuación para obtener la energía potencial del sistema obtenemos:
1 2 ϕ ´´() ϕ() = = ϕ( ) = =
El paso siguiente es minimizar la energía potencial, la condición necesaria para ello es que:
Π 0 1 , 2 , … ,
De manera que:
Π ϕ´´ =
ϕ ´´ ϕ ϕ =
0
Esta operación genera un sistema de N ecuaciones con N incógnitas (coeficientes ). Podemos escribirlo en forma matricial como:
En donde
ϕ ´´ϕ ´´ ϕ+ ϕ = Por ejemplo, en el caso de obtendríamos:
2 funciones de forma,
EJEMPLO… La viga mostrada en la figura se encuentra empotrada en uno de sus extremos y simplemente apoyada en el otro. (a) Empleando el método de Rayleigh-Ritz, Rayleigh-Ritz, determinar una expresión aproximada para la deflexión de la viga. (b) Comparar la solución obtenida con la solución exacta de resistencia de materiales. Emplear −8 Utilizar las funciones de forma:
200 ,
1610 , 3 100 . ϕ , ϕ
1.4 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL Éste es un método muy poderoso para resolver problemas en mecánica de sólidos y en mecánica estructural. Se aplica a problemas que involucran tanto materiales linealmente elásticos como no lineales o plásticos. El trabajo virtual es el trabajo hecho sobre una partícula o un cuerpo por fuerzas reales en un desplazamiento hipotético de la partícula o del cuerpo que es consistente con las restricciones geométricas. Las fuerzas aplicadas se mantienen constantes durante el desplazamiento virtual.
TRABAJO VIRTUAL EN PARTÍCULAS Considérese el principio de trabajo virtual para una partícula en equilibrio estático. Supóngase que la partícula está bajo la acción de “n” fuerzas concurrentes . Aplíquese ahora un desplazamiento desplazamiento virtual arbitrario a rbitrario a la partícula durante el cual la dirección y magnitud de las fuerzas ha permanecido fija. El trabajo virtual total será:
, ,…,
++⋯+ =
Como la partícula está en equilibrio, la suma de todas las fuerzas es cero, es decir,
0 lo que implica que = 0
Ahora analícese el caso inverso, inverso, supóngase supóngase que es arbitrario, luego entonces
0 y
0 =
Esto es, la partícula está en equilibrio. De esta manera el principio del trabajo virtual se puede enunciar como: Una partícula está en equilibrio si y solo si desplazamiento desplazamiento virtual arbitrario .
0 para un
TRABAJO VIRTUAL PARA CUERPOS RÍGIDOS La extensión del principio del trabajo virtual a cuerpos rígidos es inmediata si consideramos el cuerpo rígido como una colección de partículas. El cuerpo está en equilibrio si todas las partículas que lo componen también lo están. En el cuerpo rígido la posición relativa de las partículas es fija, de manera que las fuerzas internas entre ellas no contribuyen al trabajo virtual total del sistema, por lo que el principio del trabajo virtual para cuerpos rígidos puede escribirse como:
0
donde externas.
es el trabajo virtual hecho por las fuerzas
TRABAJO VIRTUAL PARA CUERPOS DEFORMABLES En un cuerpo deformable las partículas pueden moverse unas con relación a otras, por lo que las fuerzas internas pueden hacer trabajo adicional al realizado por las fuerzas externas. El trabajo virtual debe incluir el trabajo realizado por fuerzas externas e internas.
Así entonces, entonces, el principio principio de trabajo virtual puede enunciarse como sigue: Un cuerpo continuo está en equilibrio si el trabajo virtual de todas las fuerzas actuantes en el cuerpo es cero en un desplazamiento desplazamiento virtual.
+ 0
EJEMPLO: Aplicando el principio principio del trabajo virtual determinar determinar (nuevamente) la expresión para que corresponda a la posición de equilibrio del mecanismo de la figura. La longitud del resorte sin deformar es , y su constante elástica es . Comparar el resultado con el obtenido al aplicar el principio de la mínima energía
ℎ
SOLUCIÓN Considérese que el sistema está en equilibrio y aplíquese un desplazamiento virtual
.
En la figura, las líneas sólidas representan el mecanismo en la posición de equilibrio, mientras que las líneas punteadas denotan la posición al aplicar el desplazamiento virtual.
Nótese que las únicas fuerzas que hacen trabajo virtual son De acuerdo al principio del trabajo virtual o sea:
. 0,
2 0 Por estática cuando se aplica un desplazamiento virtual, 0+0 Pero entonces: 0 + 0 2+0 2
∆ℎ
Sea la elongación del resorte. De la figura se observa que en la posición de equilibrio
ℎ+∆ℎ ℎ+∆ℎ 2 2 2 ℎ + ∆ℎ pero ∆ℎ ; porque (Fuerza en un resorte) así entonces
2 ℎ + 2