MÉTODO DEL PRISMA DE PRESIONES
El prisma de presiones es un cuerpo imaginario que resulta de graficar, a escala escala adecuada, las presiones que actúan en toda el área de la superficie plana sumergida, actuando ésta como base del prisma. Debido a que la presión varía linealmente con la profundidad, la superficie superior del prisma de presiones es siempre un plano. Este método se usa, y es el el más conveniente, para áreas muy sencillas sencillas (formas rectangulares) y en especial cuando un lado del área coincide con la superficie libre, pues en este caso el prisma tiene la forma de una cuña y cuyo centroide está a dos tercios del vértice. No se usa este método para otras formas de áreas ni menos aun para áreas compuestas, porque el prima resulta ser una forma muy complicada, resulta engorroso, a determinación del volumen del prima así como la posición de su centroide. Para justificar lo manifestado, basta analizar el diagrama de presiones sobre un área plana circular, que aun siendo un cilindro cuneiforme, es decir, formado por un cuerpo cilíndrico recto y una cuña cilíndrica cuya determinación del volumen y del centroide se hace ya bastante difícil.
0
h1 h2
h 1
2 h
AREA PLANA CIRCULAR
PRISMA DE PRESIONES PARA UN AREA CIRCULAR
0
h1 h 1
h2
2 h
SUPERFICIE PLANA RECTANGULAR
PRISMA DE PRESIONES PARA UN AREA RECTANGULAR
Para determinar el modulo y la línea de acción de la fuerza hidrostática utilizando este método, pasemos a deducir
0
X h 1
h2
h1
h
h
2 h
y
d A yp
P x
A
xp
CORTE VERTICAL DEL PRISMA DE PRESIONES PARA UN ÁREA DE CUALQUIER FORMA
Y
DETERMINACIÓN DEL MODULO DE LA FUERZA
Partiendo de la definición de presión tenemos:
dF pdA hdA
Pero si observamos la figura, el segundo miembro de esta ecuación es un elemento de volumen del prisma de presiones de área de base dA y altura, por lo que integrando se obtiene:
F hdA V dV V Esta ecuación establece que el modulo de la fuerza hidrostática sobre una superficie plana sumergida es igual al volumen del prisma de presiones, no hay que confundir un volumen geométrico con el volumen del prisma de presiones, este ultimo resulta de multiplicar un área geométrica por una presión resultando resultando la dimensión de una fuerza. DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES
Aplicando el teorema de BARIGNON respecto a los ejes ”y” y “x” se tieneRespecto al eje y:
xp V V xdV xp
1 V
V
xdV
Respecto al eje x:
yp V V ydV yp
1 V
V
ydV
Estas ecuaciones establecen que la línea de acción de la fuerza hidrostática pasa por el centroide del prisma de presiones. El centro de presiones se encuentra entonces se la intercesión del área y la perpendicular a esta que pasa por el centroide del prisma de presiones. Ejemplo:
1.
Determinar el módulo y el punto de aplicación de la fuerza hidrostática sobre el área rectangular de 3m de ancho y 6m de longitud, sumergida en agua, con el lado menor paralelo a la superficie libre y cuyo plano forma con el plano de superficie libre un ángulo de 30º. La profundidad del borde superior del área medida sobre su plano es de 9m.
0
30°
h1= 4.5 m h 1
h2 = 7.5 m
d = 9.0 m
2 h a = 6.0 m
b = 3.0 m
G P y'p
Y
Solución:
El modulo de la fuerza hidrostática esta dado por la ecuación:
F V
Volumen del prisma de presiones
V del prisma de presiones viene a ser la suma de los volúmenes parciales que corresponden a un prisma recto de base A y altura h1 , y el de la cuña triangular de área de base A y altura h2 h1 , o sea: El volumen
1 F A h1 xAx h2 h1 2 Factorizando
1 F A h1 x h2 h1 2 Reemplazando valores:
1 F 18m2 x1000kg /m3 4.5 x 7.51 4.5 m 2
F 81000kg 27000kg 108000kg
DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES
Puesto que este prisma tiene un plano de simetría, el centroide del prisma de presiones estará en este plano, el plano de simetría pasa a 1.5 m del lado “a”= 6m. Para encontrar la coordenada
yp tomemos momentos respecto l borde superior del área y
aplicando el teorema de BARIGNON tenemos:
a 1 2 yp 'F A h1 x xA h2 h1 x a 2 2 3 Reemplazando valores:
18m2 x1000kg/m 3x4.5mx6m 18m2 x1000kg/ m3 x 7.5 4.5 m 2 yp ' x x6m 2x108000kg 2x108000kg 3 yp ' 2.25m 1.0m 3.25m Lo cual indica que el centro de presiones esta ene l eje de simetría “y” del área y exactamente a 3.25m del borde superior de la misma, o lo que es lo mismo a 0.25m por debajo del centroide del área. En general, no se puede decir que método es el más adecuado pues depende de la forma del área particular. El método para un área particular se elige de tal suerte que resulte ser el más rápido. Con el objetivo de lograr una mayor rapidez en los cálculos puede elegirse un método para calcularse el modulo de fuerza y otro diferente para determinar el centro de presiones.
