Metodo del punto fijo Metodos Numericos 2

Métodos numéricos para ingeniería, juan Manuel izar landeta, editorial universidad potosina, México 2006.
bibliografía
Es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones que no necesariamente son lineales. Se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma f(x), siempre que se cumplan los criterios de convergencia.

Concepto de iteración: es repetir un proceso hasta conseguir los resultados.
Que es el punto fijo?
El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximación sucesiva, requiere volver a escribir la ecuación f(x)=0 en la forma x= g(x).

Se iguala a cero para que la x quede a la izquierda.
x=g(x) donde g(x) es el despeje de x en f(x)

Existen dos maneras de hacerlo
Despejando la variable x
Sumando x a ambos lados de la ecuación

Descripción del método

Ejemplo: f(x)=3x²- 4x +5
Primero se iguala a cero la función
3x²- 4x +5=0
Luego se despeja la variable x
x=3x²+5 g(x)
4

Despejando la variable x

Ejemplo: f(x)= cos(x)
primero se iguala a cero la función
cos(x)=0
Luego se suma la variable x en ambos lados
x= cos(x)+x g(x)
Sumando x en ambos lados de la ecuación

Es aquella función que se acerca a un punto fijo.
Condición "g´(x)" < 1
El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial X y X¡ = g(X¡) que genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación f(x) = 0.

Función convergente
Teorema de punto fijo
Si g es una función continua en [a,b] y g(x) Ɛ[a,b]para todo x Ɛ[a,b], entonces g tiene por lo menos un punto fijo en [a,b]

Encontrar la raíz de la función empleando el método de punto fijo.

F(x)=Lnx-x+2

Igualando a cero

Lnx-x+2=0

x0=2

Ejemplo:
1.- Se despeja x
x= -lnx-2

2.- Nueva función
g(x)= -lnx-2

3.- se deriva g(x) para verificar si es convergente.
g´(x)= - (1/x)
Lnx-x+2=0

4.- se evalúa si g´(x) es convergente
"-(1/2)"< 1 x=2
"-0.5"< 1
es convergente porque es menor a 1

5.- se procede a iterar g(x)

Método del punto fijo
Métodos Numéricos
Equipo 1
Integrantes:
Cachon magaña Julio
Sulu chan Julián
Pacheco Echeverría Jasiel
Tejero Pech Carlos

Iterando:

K0=1,Ln(2)+2=2.6931
K1=2,Ln(2.6931)+2=2.9907
K2=3,Ln(2.9907)+2=3.0956
K3=4,Ln(3.0956)+2=3.1299
K4=5,Ln(3.1299)+2=3.1410
K5=6,Ln(3.1410)+2=3.1445
K6=7,Ln(3.1445)+2=3.1456
K7=8,Ln(3.1456)+2=3.1460
K8=9,Ln(3.1460)+2=3.1461

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