Solución en estado estacionario de sistemas eléctricos de potencia usando el método de Newton-Raphson
Método Métod o Newton Raphson Raphson a partir de las series de Tayl Taylor or Una función no lineal puede ser aproximada por un polinomio utilizando series de Taylor alrededor de un punto x0:
Se dice que la función es aproximada linealmente linealmente cuando se utilizan los dos primeros términos de la serie Si se utiliza la segunda derivada será una aproximación cuadrática
Método Métod o Newton Raphson Raphson a partir de las series de Tayl Taylor or Ejemplo: determinar la aproximación lineal en el punto x 0 dado de:
La función y su derivada evaluada en el punto dado es:
La aproximación lineal es:
La aproximación lineal de una serie de Taylor se puede ocupar para calcular la solución de una ecuación no lineal y determinar el valor de x de una función f(x).
Método Métod o Newton Raphson Raphson a partir de las series de Tayl Taylor or Serie de Taylor:
Si se descartan los términos a partir de la segunda derivada, la ecuación queda como:
Reescribiendo:
Despejando x:
Método Métod o Newton Raphson Raphson a partir de las series de Tayl Taylor or La aproximación lineal de una función genera un resultado cerca del valor esperado únicamente si el valor de x está cerca de x0
La solución no se puede estimar correctamente correctamente si el valor de x 0 está muy alejado de la solución
Para estimar estimar el resultado cerca de la solución real, después de estimar x basado en la suposición inicial x 0, la función se linealiza linealiza alrededor de x y la solución solución se estima de nuevo. nuevo.
error = f ( x )esperado f ( x0 ) calculado Ecuación de Newton Raphson
Raíces de una función
() ( ) 6 + 9 4 = 0 f ( x)esperado f ( x0 )calculado
0 ?
Raíces de una función
() ( ) 6 + 9 4
Ecuación Ecuación de Newton Raphson
f ( x)esperado
x1
x0
f ( x0 ) f '( x0 )
0
Se obtiene la formula para el proceso iterativo
′() 3 12x + 9
Raíces de una función
xn
1
xn
f ( xn ) f '( xn )
n
Xn
Xn+1
Error
0
0
0.444444
-0.444444
1
0.444444
0.702093
-0.257649
2
0.70293
0.84461
-0.14168
3
0.84461
0.920438
-0.075828
4
0.920438
0.959712
-0.039274
5
0.959712
0.979723
-0.020011
6
0.979723
0.989828
-0.010105
Solución de un sistema de ecuaciones lineales
2 + 11 3 20 20 4 + 2 + 5 8 1 7 2
Métodos de solución Eliminación de Gauss Gauss-Jordan De la inversa Determinantes Sumas y restas Igualación Sustitución Gráfico
Solución de un sistema de ecuaciones no lineales
6 + 9 4 0
x, x, 4 + 28 0 x, x, 3 + 4 145 0
x1
x0
f ( x0 ) f '( x0 )
(, − (, ) (, )
(,) (,) (,) (, ) (,) (,)
Solución de un sistema de ecuaciones no lineales
x, x, 4 + 28 0 x, x, 3 + 4 145 0 (,) (,) (,) (, ) (,) (,)
8 8 3 (,) (, ) 9 8
Solución de un sistema de ecuaciones no lineales
1 1
Valores arbitrarios
+ 28 x, x , 4 8 8 3 (,) (, ) 9 8 x, x, 3 + 4 145 (, − (, ) (, ) Sustituyendo valores
1 8 3 − 31 1 9 8 138 2.82418 16.1978 ( − (, )
n 3 4
Se realiza el proceso iterativo hasta que el error sea menor
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Procedimiento general de solución 1. Formular la matriz de admitancia del sistema.
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Matriz de admitancias
Conductancia
Susceptancia
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Procedimiento general de solución 1. Formular la matriz de admitancia del sistema. 2. Seleccionar el nodo de referencia referencia (slack). 3. Para los demás nodos seleccionar el tipo (PV, PQ) y especificar las variables conocidas.
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Tipos de nodos Slack o de refe referenci rencia a: Como no se conocen las pérdidas en el sistema, se requiere un nodo de referencia en que se especifique el voltaje ( V y δ °). La potencia reactiva es desconocida.* De voltaje controlado o PV : Se especifica la potencia activa P y el voltaje V. Típicamente representan generadores.* De potencia constante o PQ : Se especifican especifican las potencias activa P y reactiva Q Q inyectadas inyectadas o consumidas en el nodo.*
*Se necesitan conocer dos variables de cada nodo (V, ángulo, P, Q) para realizar los cálculos.
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Tipos de nodos Tipo de nodo
Parámetros conocidos
Parámetros desconocidos
Slack
|V|, δ
P,Q
Generador
P, |V|
Q, δ
Carga
P,Q
|V|, δ
Se utilizan suposiciones para los valores iniciales de los parámetros parámetros desconocidos dependiendo del tipo de nodo: 1.
Slack, no no se asu asum me nada
2.
Generador, asum sumir δ = 0°
3.
Carga, asum sumir |V| = 1 pu, δ = 0°
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Procedimiento general de solución 1. Formular la matriz de admitancia del sistema. 2. Seleccionar el nodo de referencia referencia (slack). 3. Para los demás nodos seleccionar el tipo (PV, PQ) y especificar las variables conocidas. 4. Calcular el vector de ajuste a partir de los valores iniciales y las formulas de potencia en el paso 3.
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Potencia en cada nodo ∗ ∗ ∗ Potencia compleja por nodo: ( ) ∗ = = Al definir que:
+ | | ||∠ Recordar que cos + Ecuaciones de balance de potencia n
n
Si Pi jQ j Qi Vi Y V Vi Vk e j ik (Gik jBik ) * * ik k
k 1
k 1
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Potencia en cada nodo Ecuaciones de balance de potencia n
n
Si Pi jQ j Qi Vi Y V Vi Vk e j ik (Gik jBik ) * * ik k
k 1
k 1
Resolviendo las partes reales e imaginarias: n
Pi Vi Vk (Gikik cos ik Bik sin ik ) PGi PDi Di k 1 n
Qi Vi Vk (Gik sin ik Bik cos ik ) QGi QDi k 1
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Variables del flujo de potencia Se asume que el primer nodo es el nodo slack o de referencia (con voltaje y ángulo cono conoci cido do). ). Se de dese sea a de dete term rmin inar ar la magn magnit itud ud de dell volta oltaje je y ángu ángulo lo de los los de demá máss no nodo dos. s.
⋮ || ⋮ | |
() + ⋮ ( ) + () ( ) () + ⋮ () +
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Matriz Matriz Jacobiana Jacobiana del flujo de potencia potencia La part parte e más más comp comple lejja de dell alg algor orit itm mo es deter erm minar inar e inver erti tirr la matriz triz Jaco acobian biana a J(x) (x) de n x n elementos.
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Matriz Matriz Jacobiana Jacobiana del flujo de potencia potencia Los Los elem elemen enttos Jaco Jacobi bian anos os se calc calcul ulan an al de deri riva varr cada cada func funció ión n f i(x), (x), con con respe espect cto o a cada cada va vari riab able le.. Por ejem ejemp plo si f i(x) es la ecuación de la potencia en el nodo i:
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Ejemplo de un sistema de dos nodos Determinar la magnitud del voltaje y ángulo en el nodo 2. Asuma que el nodo 1 es slack y que SBase= 100 MVA
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Ejemplo de un sistema de dos nodos Ecua Ecuaci cion ones es par para la po potten enci cia a de dell no nodo do 2:
Sustituye Sustituyendo ndo valores: valores:
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Ejemplo de un sistema de dos nodos Ecua Ecuaci cion ones es par para la po potten enci cia a de dell no nodo do 2:
Cálcul Cálculo o del Jacobi Jacobiano ano::
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Procedimiento general de solución 1. Formular la matriz de admitancia del sistema. 2. Seleccionar el nodo de referencia referencia (slack). 3. Para los demás nodos seleccionar el tipo (PV, PQ) y especificar las variables conocidas. 4. Calcular el vector de ajuste a partir de los valores iniciales y las formulas de potencia en el paso 3. 5. Seleccionar valores iniciales para todos las incógnitas (se sugiere V=1 y 0° para ángulos) o bien utilizar valores valores de un caso previamente previamente resuelto. resuelto.
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Ejemplo de un sistema de dos nodos Primera Primera iteración iteración Se su supo pone nen n valor alores es inic inicia iale less par para el ángu ángulo lo y la magn magnit itud ud de vo volt ltaj aje: e:
Se calc calcul ulan an las las matr matric ices es par para el proc proces eso o iter iterat ativ ivo: o:
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Procedimiento general de solución 1. Formular la matriz de admitancia del sistema. 2. Seleccionar el nodo de referencia referencia (slack). 3. Para los demás nodos seleccionar el tipo (PV, PQ) y especificar las variables conocidas. 4. Calcular el vector de ajuste a partir de los valores iniciales y las formulas de potencia en el paso 3. 5. Seleccionar valores iniciales para todos las incógnitas (se sugiere V=1+j0 y 0° para ángulos) o bien utilizar valores valores de un caso previamente previamente resuelto. resuelto. 6. Aplicar un método iterativo para obtener el siguiente valor aproximado de solución.
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Ejemplo de un sistema de dos nodos Primera Primera iteración iteración
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Ejemplo de un sistema de dos nodos Segunda Segunda iteración iteración::
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Procedimiento general de solución 1. Formular la matriz de admitancia del sistema. 2. Seleccionar el nodo de referencia (slack). 3. Para los demás nodos seleccionar el tipo (PV, PQ) y especificar las variables conocidas. 4. Calcular el vector de ajuste a partir de los valores iniciales y las formulas de potencia en el paso 3. 5. Seleccionar valores valores iniciales para todos las incógnitas (se sugiere sugiere V=1+j0 y 0° para ángulos) o bien utilizar valores de un caso previamente resuelto. 6. Aplicar un método iterativo para obtener el siguiente valor aproximado de solución. 7. Recalcular el vector y verificar si el error cumple con la tolerancia (error=0.001 pu). Si es así se ha encontrado la solución, si no es así continúe iterando hasta que se alcance la solución o deténgase después de un número máximo de iteraciones.
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Ejemplo de un sistema de dos nodos Tercera iteración:
∗ 180°
Aplicación a sistemas eléctricos de potencia Ejemplo de un sistema de dos nodos Cuando se conocen la magnitud del voltaje y el ángulo del nodo 2, se pueden calcular los los otro otross valor alores es de dell sist sistem ema a como como fluj flujos os de líne línea a y la po pote tenc ncia ia de dell gen ener erad ador or..
