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Conceptos Básicos En muchas ocasiones la función que necesitamos optimizar está determinada por más de dos variables independientes, estos es, la función objetivo y las restricciones tienen tres o más variables. Para estos casos el método gráfico no es aplicable debido a que necesitamos un eje cartesiano por cada variable independiente, pero podemos recurrir a un método algebraico llamado método Simplex. El método consiste en convertir el sistema de desigualdades en un sistema de igualdades con la restricción de tener todas las variables positivas. Debido a que el sistema de igualdades tendrá más variables que ecuaciones, existen un número infinito de soluciones. El método busca la solución óptima (máxima o mínima) de ese con junto infinito de soluciones. Primero convertimos cada restricción en una igualdad introduciendo una variable no negativa diferente en cada restricción (sin considerar las restricciones naturales), a la cual llamamos variable de holgura. Representamos el conjunto de ecuaciones matricialmente incluyendo la función objetivo en una matriz aumentada o tabla símplex. Es posible probar que el valor óptimo de la función objetivo se presenta cuando algunas de las variables son cero, a dicha solución la llamamos solución básica, si cumple con todas las igualdades generadas y las variables son no negativas, entonces se denomina solución básica factible (SBF). Si la primera tabla símplex representa una solución básica factible, entonces nos damos a la labor de encontrar otra SBF que mejore el valor de la función objetivo, esto se logra mediante reducción de renglones en la matriz aumentada. Para poder decidir las operaciones de renglones a realizar se utilizan algunos criterios que detallamos en los siguientes ejemplos. Elaboró: Arturo Corona Pegueros
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Ejemplo 1. Se desea maximizar la función: Z = 2x + 3y, sujeta a las restricciones x 0, y 0, x + 4y 9, y 2x + y 4. Cada restricción se convierte en igualdad mediante la introducción de una variable de holgura que debe sumarse a la parte menor de la desigualdad, en nuestro ejemplo, al lado izquierdo: Si u, v 0 entonces
x 4y 9 x 4y u 9 2x y 4 2x y v 4
De manera que el sistema de ecuaciones incluyendo la función objetivo tiene la siguiente representación matricial:
x y u v x 4 y u 9 u 1 4 1 0 9 3 x y v 4 v 2 1 0 1 4 2 x 3 y Z 3 3 0 0 Z Observamos que el conjunto de soluciones para este sistema es: Si x = 0 y y = 0 entonces u = 9 y v = 4 Este conjunto de valores constituye una solución básica factible que nos permite inicializar el método: partimos del valor Z = 0 y trataremos de optimizarlo, en nuestro ejemplo esto significa incrementarlo, dado que realizamos una maximización de la función objetivo.
Elaboró: Arturo Corona Pegueros
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Para lograr la meta anterior intercambiamos alguna de las variables que valen cero por una variable cuyo valor no es cero mediante reducción de renglones. Llamamos a x y y variables de entrada, mientras que u y v son las variables de salida y al renglón de la función objetivo le llamamos indicadores. En una maximización la primera variable de entrada la determinamos con el indicador más grande: x y u v u 1 4 1 0 9 v 2 1 0 1 4 2 3 0 0 Z variable de entrada: y Para entender esta elección si escribimos la ecuación correspondiente al renglón de los indicadores: 2x + 3y = Z si y = 0 y x > 0, por ejemplo x = 1, obtenemos un incremento de 2 en Z, pero si x = 0 y y > 0 por ejemplo y = 1 el incremento de Z es de 3 unidades. Por tanto, conviene que y deje de ser cero para tomar un valor mayor. Ahora dividimos los términos independientes entre los coeficientes de la variable de entrada y: el cociente más pequeño positivo determina la variable de salida: x y u v u 1 4 1 0 9 9/4 variable de salida: u v 2 1 0 1 4 4/1 2 3 0 0 Z
variable de entrada: y
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y
De manera que debemos transformar la columna
u
4 1 en por medio de 1 0 3
0
reducción de renglones, obteniendo la siguiente matriz: x y 1/4 v 7/4 5/4
y 1 0 0
u 1/4 1/4 3/4
v 0 1 0
9/4 7/4 Z27/4
En esta matriz podemos leer los siguientes valores: si x = 0, u = 0 entonces y = 9/4, v = 7/4 y Z = 27/4. Esta solución es factible ya que cumple con el conjunto de restricciones y es mejor que nuestra solución inicial (Z = 0), sin embargo ¿será la solución óptima? Para determinarlo escribimos la ecuación correspondiente al renglón de los indicadores: 27 5 3 x u=Z 4 4 4
Despejando Z tenemos: Z=
27 5 3 + x u 4 4 4
Podemos observar que Z puede incrementarse si u = 0 y x > 0, por tanto, la solución encontrada no es óptima. Podemos mecanizar el análisis anterior notando que si un indicador permanece positivo, dicho indicador permite incrementar el valor de la función, así, el proceso de maximización no termina mientras existan indicadores positivos.
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Repetimos el procedimiento de transformar una variable de entrada en una de salida:
y v
x 1/4 7/4 5/4
y 1 0 0
u 1/4 1/4 3/4
v 0 9/4 1 7/4 0 Z27/4
variable de entrada: x
9/4 1/4 7/4 7/4
variable de salida: v
1/ 4 0 Debemos transformar la columna 7 / 4 en 1 por medio de reducción de 5/ 4
0
renglones, obteniendo la matriz: x y u v y 0 1 2/7 1/7 x 1 0 1/7 4/7 0 0 4/7 5/7
2 1 Z8
Observamos que no quedan indicadores positivos y por tanto hemos terminado la maximización. Los valores obtenidos son: si u = 0, v = 0 entonces x = 1, y = 2 con Z = 8. De manera que el máximo valor de Z es 8 y se obtiene con x = 1 y y = 2. Ejemplo 2. Maximizar Z = x + 3y + 4z, sujeta a las restricciones siguientes: x, y, z 0; x + y + z 5; Elaboró: Arturo Corona Pegueros
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2x + y + 2z 8; 3x + 2y + z 11 Establecemos las igualdades correspondientes con la variables de holgura y la matriz aumentada: Si u, v, w 0 entonces
x y z x y z u 5 u 1 1 1 2 x y 2 z v 8 v 2 1 2 3 x 3 y z w 11 w 3 2 1 x 3 y 4 z Z 1 3 4
u v w 1 0
0
5
0 1 0 0
0 8 1 11
0 0
0
Z
Observamos que la solución propuesta por esta matriz (x, y, z = 0, u = 5, v = 8 y w = 11), es una solución factible, por tanto, nos damos a la tarea de iniciar el procedimiento de maximización. Las variables de entrada y salida son z y v, respectivamente:
U v w
x 1 2 3 1
y 1 1 2 3
De manera que transformamos matriz: x y u 0 1/2 z 1 1/2 w 2 3/2 3 1 Elaboró: Arturo Corona Pegueros
z 1 2 1 4
u 1 0 0 0
v 0 1 0 0
w 0 5 0 8 1 11 0 Z
la columna z en v obteniendo la siguiente z 0 1 0 0
u v w 1 1/2 0 1 0 1/2 0 4 0 1/2 1 7 0 2 0 Z16 6 de 15
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Observamos que aún tenemos indicadores positivos, así que la nueva variable de entrada es y y la variable de salida es u, usando reducción de renglones obtenemos la siguiente matriz:
y z w
x 0 1 2 -3
y 1 0 0 0
z 0 1 0 0
u 1 1 3 2
v 1 1 1 1
w 0 2 0 3 1 4 0 Z18
Donde podemos observar que los indicadores son negativos o cero, por tanto, el proceso de maximización ha terminado teniendo que los siguientes valores: Si u ,v, x = 0 entonces y = 2, z = 3 y w = 4 y el valor máximo de la función es Z = 18. Así, se obtiene el máximo de Z = 18 con x = 0, y = 2 y z = 3. Es posible que en un ejercicio de optimización la solución trivial (x = 0 y y = 0) no sea una solución factible, como lo ilustramos con el Ejemplo 3. Maximizar Z = 2x 3y, sujeta a las restricciones siguientes: x, y 0; 3x + 5y 30; 5x + 4y 40; Establecemos las igualdades correspondientes con la variables de holgura y la matriz aumentada: Si u, v 0 entonces x y u 3x 5 y u 30 u 3 5 1 5 x 4 y v 40 v 5 4 0 2 x 3 y Z 2 3 0 Elaboró: Arturo Corona Pegueros
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v 0 30 1 40 0
Z Marzo 06
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Observamos que la solución básica no es factible: Si x = 0, y = 0 entonces u = 30 y v = 40 De manera que buscamos una solución básica factible antes de iniciar el proceso de maximización. Para ello suponemos a x y y variables de entrada y analizamos los cuatro cocientes, tomamos el más pequeño para seleccionar las variables de entrada y salida, en este caso y es variable de entrada y u es variable de salida, obteniendo la siguiente matriz: x y 3/5 v 13/5 19/5
y u 1 1/5 0 4/5 0 3/5
v 0 6 1 16 0 Z+18
Observamos que la solución básica es factible, por tanto, iniciamos el proceso de maximización. Seleccionamos a x como variable de entrada y v como variable de salida, obteniendo la siguiente matriz:
y x
x 0 1 0
y u v 1 5/13 3/13 30/13 0 4/13 5/13 80/13 0 23/13 19/13 Z70/13
Podemos afirmar que hemos terminado la maximización, ya que los indicadores son no positivos y tenemos u, v = 0, con x = 80 y y = 30 . 13
De manera que el máximo es de Z =
70 13
con x =
80 13
yy=
13
30 . 13
Ahora resolvemos un problema de maximización de utilidades: Ejemplo 4. Una compañía elabora dos productos, P y Q. Cada unidad de P requiere 3 horas en la primera máquina y 5 horas en una segunda máquina. Cada unidad de Q demanda 4 horas en la primera máquina y 3 Elaboró: Arturo Corona Pegueros
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horas en la segunda máquina. Se dispone de 110 horas a la semana en la primera máquina y de 120 horas en la segunda. Si la compañía obtiene utilidad de $80 por cada unidad de P y $60 por cada unidad de Q, ¿cuánto deberá de producirse de cada unidad con objeto de maximizar la utilidad total? Podemos organizar los datos en la siguiente tabla: Máquina Máquina Utilidad I II Producto P (x) 3 5 80 Producto Q (y) 4 3 60 Disponibilidad 110 120 El conjunto de desigualdades que actúan como restricciones son: x 0, y 0 3x + 4y 110 5x + 3y 120 Y función de objetivo a maximizar es: P = 80x + 60y. Las igualdades obtenidas al introducir las variables de holgura correspondientes (u, v 0) junto que la función objetivo son: 3x + 4y + u = 110 5x + 3y + v = 120 80x + 60y = P La matriz aumentada es: u v
x y 3 4 5 3 80 60
u 1 0 0
v 0 110 1 120 0 P
Notemos que la solución propuesta es factible (todas las variables son no negativas: x, y = 0, u = 110, v = 120). La variable de entrada es x y la Elaboró: Arturo Corona Pegueros
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variable de salida es v, realizando las transformaciones por reducción de renglones obtenemos la siguiente matriz:
u x
x y u v 0 11/5 1 3/5 38 1 3/5 0 1/5 24 0 12 0 16 P1920
Donde la variable de entrada es y y la variable de salida es u, al terminar la reducción de renglones correspondiente obtenemos la siguiente matriz:
y x
x 0 1 0
y u v 1 5/11 3/11 190/11 0 3/11 4/11 150/11 0 60/11 140/11 P2127.27
De donde obtenemos los valores x = 13.63 y y = 17.27 con u, v = 0, obteniendo una valor de P = 2,127.27
Cálculo de Mínimos por Método Simplex El método Simplex está diseñado inicialmente para máximos, sin embargo, es posible aplicarlo a mínimos con las consideraciones necesarias. Dichas consideraciones las ilustraremos en el siguiente
Ejemplo 5. Minimizar la función Z = x + 4y con las restricciones siguientes: x0 y0 x + 3y 6 2x + y 7 Elaboró: Arturo Corona Pegueros
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El sistema de ecuaciones que se obtiene al agregar las variables de holgura es el siguiente: x + 3y u = 6 2x + y v = 7 x + 4y = Z Y la tabla símplex correspondiente es:
u v
x 1 2 1
y 3 1 4
u 1 0 0
v 0 1 0
6 7 Z
La solución obtenida de esta matriz no es factible: si x = 0 y y = 0 tenemos que u = 6 y v = 7 Por tanto, buscamos una solución factible. Tomamos y como variable de entrada y u como variable de salida, obteniendo la siguiente matriz: x y 1/3 v 5/3 1/3
y 1 0 0
u 1/3 1/3 4/3
v 0 1 0
2 5 Z8
La solución x = 0, u = 0, y = 2 y v = 5 aún no es factible, de manera que seleccionamos x como variable de entrada y v como variable de salida, obteniendo la siguiente matriz: x y u v y 0 1 2/5 1/5 1 x 1 0 1/5 3/5 3 0 0 7/5 1/5 Z7 Elaboró: Arturo Corona Pegueros
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La solución encontrada es factible: u = 0, v = 0, x = 3, y = 1 y Z = 7 Del renglón de los indicadores podemos escribir las siguientes ecuaciones: 7/5u 1/5v = Z 7 Z = 7 + 7/5u 1/5v Podemos observar que un valor positivo de u incrementa el valor de Z, pero una valor positivo de v disminuye el valor de Z. Podemos generalizar diciendo que, en el cálculo de mínimos, antagónicamente al cálculo de máximos, el indicador negativo más pequeño nos señala la variable de entrada. El proceso de minimización termina cuando los indicadores sean positivos o cero. Iniciamos la minimización seleccionando a v como variable de entrada y y como variable de salida, obteniendo la siguiente matriz:
v x
x y 0 5 1 3 0 1
u 2 1 1
v 1 0 0
5 6 Z6
Observamos que los indicadores son positivos o cero, por tanto, hemos terminado la minimización: si y = 0, u = 0 entonces x = 6 y v = 0 para obtener Z = 6. El mínimo valor de Z es 6 y se obtiene con x = 6 y y = 0.
EJERCICIOS A) Determina los valores máximos de la función objetivo Z sujetas a las restricciones dadas aplicando el método Simplex. 1.- Z = 3x + 4 x 0, y 0 2x + y 3
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2.- Z = 3x + 2y x 0, y 0 2x + y 4 x + 2y 5 12 de 15
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3.- Z = 2( x + y ) x 0, y 0 6x + 5y 17 4x + 9y 17
4.- Z = 5x + y x 0, y 0 3x + y 7 x+ y3 x + 2y 5
5.- Z = x + 3y x 0, y 0 2x + 3y 6 2x + y 5 x + 4y 6
6.- Z = 3x + 3y x 0, y 0 3x + 2y 6 x + 2y 4
7.- Z = x + 2y - z x, y, z, 0 2x + y + z 4 x + 4y + 2z 5
8.- Z = 2x - y + 3z x, y, z, 0 x + 3y + z 5 2x + 2y + z 7
9.- Z = x + y + z x, y, z, 0 x + 2y + z 5 2x + y + 2z 7 2x + 3y + 4z 13
10.- Z = 3x + y + 4z x, y, z, 0 x + 2y + 2z 9 2x + y + 3z 13 3x + 2y + z 13
B) Determina los valores mínimos de la función objetivo Z sujeta a las restricciones dadas utilizando el método Simplex. 11.- Z = x + y x 0, y 0 x +3y 6 2x + y 7
12.- Z = x + 2y x 0, y 0 x+ y5 x + 4y 8
13.- Z = x + 4y 0x4 0 y 4 0 y 7
14.- Z = x - y x 0, y 0 x+ y4 x +2y 10
15.- Z = x + 2y x 0, y 0
16.- Z = x + y -½y-x2
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2x + y 7 2y - x - 1 2x - y - 3
y + 2x 8 y + 4x 7
17.- Z = x + 2y x 0, y 0 y+x-1 3y - x -2.
18.- Z = x + 3y + 4z x, y, z, 0 x + y + z 4 2x + y + 2z 6
C) Resuelve los problemas siguientes utilizando el método Simplex. 19.- Una compañía destiladora tiene dos grados de whisky en bruto (sin mezclar), I y II, de los cuales produce dos marcas diferentes. La marca regular contiene un 50% de cada uno de los grados I y II, mientras que la marca super consta de dos terceras partes del grado I y una tercera parte del grado II. La compañía dispone de 3000 galones del grado I y 2000 galones del grado II para mezcla. Cada galón de la marca regular produce una utilidad de $5, mientras que cada galón del super produce una utilidad de $6. ¿Cuántos galones de cada marca debería producir la compañía a fin de maximizar sus utilidades? 20.- Una compañía vende dos mezclas diferentes de nueces. La mezcla más barata contiene un 80% de cacahuates y un 20% de nueces, mientras que la más cara contiene 50% de cada tipo. Cada semana la compañía obtiene 1800 kilos de cacahuates y 1200 kilos de nueces de sus fuentes de suministros. ¿Cuántos kilos de cada mezcla deberían producir a fin de maximizar las utilidades si las ganancias son de $10 por cada kilo de la mezcla más barata y $15 por cada kilo de la mezcla más cara? 21.- Una compañía produce dos productos, A y B. Cada unidad de A requiere 2 horas en cada máquina y 5 horas en una segunda máquina. Cada unidad de B demanda 4 horas en la primera máquina y 3 horas en la segunda máquina. Se dispone de 100 horas a la semana en la primera máquina y de 110 horas en la segunda. Si la compañía obtiene utilidad de $70 por cada unidad de A y $50 por cada unidad de B, ¿cuánto deberá de producirse y venderse de cada unidad con objeto de maximizar la utilidad total? 22.- Una compañía vende tres diferentes tipos de frituras, el tipo regular contiene 80% de cacahuate, 20 % de nueces y no contiene pistaches; la mezcla super Elaboró: Arturo Corona Pegueros
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contiene 50% de cacahuates, 30% de nueces y 20% de pistaches y la mezcla de lujo contiene 30% de cacahuates, 30% de nueces y 40% de pistaches. La empresa tiene asegurados suministros por 4300 libras de cacahuate, 2500 de nueces y 2200 libras de pistaches a la semana. Si la utilidad es de 10 centavos por libras de cada mezcla, ¿Cuántas libras de cada una deberían venderse con objeto de maximizar la utilidad total? 23.- Una compañía posee dos minas, P y Q. Cada tonelada de mineral de la primera mina produce 50 libras de cobre, 4 libras de cinc y una libra de molibdeno. Cada tonelada de mineral procedente de Q produce 15 libras de cobre, 8 de cinc y 3 libras de molibdeno. La compañía debe producir al menos 87,500, 16,000 y 5000 libras a la semana de estos tres metales, respectivamente. Si tiene un costo de $50 por tonelada obtener mineral de P y $60 por tonelada extraerlo de la mina Q, ¿cuánto mineral deberá obtenerse de cada mina con objeto de cumplir los requerimientos de producción a un costo mínimo? ¿Y para obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es esta utilidad máxima? Elaborado por: Arturo Corona Pegueros Academia de Matemáticas Carrera de Administración Universidad Tecnológica de Querétaro Comentarios y sugerencias:
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