UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Decana de América) FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS
CURSO METODOS NUMERICOS I - II
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ.
--2012— PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 1
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
INDICE Pág.
INDICE………………………………………………………………………………..…2 INTRODUCCIÓN…………………………………………..……………………...…... 4 ERROR ABSOLUTO…………………………………………..………..………………5 Teorema de Bolzano…………………………………………………….……….….……6 MÉTODO DE BISECCIÓN………………………………………………………….….7 MÉTODO DE REGULA FALSI O MÉTODO DE FALSA POSICIÓN……………….10 MÉTODO DE PUNTO FIJO O MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVA…..12 MÉTODO DE LA SECANTE…………………………………………………………...15 MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON…………………………………..….…………17 MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON EN DOS VARIABLES…………………..…..24 INTERPOLACIÓN………………………………………………………………..…….27 INTERPOLACIÓN DIRECTA DE NEWTON -PROGRESIVO………………..…….28 INTERPOLACIÓN DE NEWTON REGRESIVO (NR)…………………………..……31 INTERPOLACION DIRECTA CENTRAL……………………………………….……32 INTERPOLACIÓN PARA EL CASO DE DATOS NO EQUIDISTANTES…….….…35 INTERPOLACION Y APROXIMACION DE LAGRANGE………………….………38 PROBLEMAS RESUELTOS…………………………………………………….……..42 METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LIENALES……..…….48 Método Crout-Doolitle…………………………………………………………………..50 Método de Cholesquy……………………………………………..…………………….52 Método Tridiagonal para sistemas de ecuaciones lineales………………………………59
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 2
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Método Pentadiagonal para sistemas de ecuaciones lineales…………………………..65 NORMA DE UNA MATRIZ………………………………………………………......73 SOLUCION ITERATIVA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES………...75 Método de Jacobi……………………………………………………………………….75 Método de Gauss- Seidel……………………………………………………………….85 DIFERENCIA NUMERICA…………………………………………………………..99 INTEGRACIÓN NUMERICA…………………………………………….………….105 EXTRAPOLACION DE RICHARDSON- (E.R)……………………………………..113 INTEGRACION DE ROMBERG…………………………………………………….123 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE E. D.O. CON VALOR INICIAL…………………….130 Método de Euler……………………………………………………………………….130 Método de Taylor de orden K…………………………………………………………133 Predictor – corrector…………………………………………………………………...138 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR………………………140 CONCLUSIONES……………………………………………………..……………...143
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 3
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
INTRODUCCIÓN En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente.
Para una mejor organización y búsqueda rápida de cada tema se ha implementados con un índice al principio del trabajo para su fácil ubicación de los temas ya que el texto completo se encuentra enumerada de principio a fin, además en el final se ha considerado incluir problemas resueltos de los diferentes temas estudiados.
Como los algoritmos de los métodos ya están disponibles en la mayoría de los libros de texto sobre la materia, se explicara en la medida de lo posible, detalles de implementación (personales) de los métodos directos (que son mas difíciles de programar). El lenguaje de programación idóneo para tal fin será matlab 6.0
Damos desde ya los agradecimientos a todas aquellas personas que dieron su apoyo para completar el trabajo tanto en ideas, criticas para su mejoramiento sin importar la magnitud de la ayuda han sido de gran ayuda y esperando aun recibir su aportes para la continua superación en los próximos trabajos que se han de mostrar.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 4
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
ERROR ABSOLUTO Es la diferencia entre un valor de exacto y una de sus aproximaciones. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. DEFINICION DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS EXACTAS: Se define por la siguiente relación: ; Donde: m=es la descomposición polinómica. n= numero de cifras significativas exactas. DEFINICION DE CIFRAS DECIMALES EXACTAS: Se define por la siguiente relación: ; Donde: t=numero de cifras decimales exactas. Ahora sea: P = ln(5) Entonces: P= ln(5) = 1.609437912 Y sea sus siguientes aproximaciones: P1 = 1.60123456 P2 = 1.609413131 P3 = 1.6094372 Donde: m = 0 Ahora hallamos sus Ea de cada uno. Ea1 = | p – p₁ | = 0.008203 = 0.008 = 0.8x10¯³ = 0.001 = 0.1x10¯² Ea₂ = |p - p₁ | = 0.000025 = 0.00003 = 0.3x10¯´ Ea₃ = |p - p₃ | = 0.0000012 = 0.00001 = 0.1x10¯µ
Ahora hallaremos el número de cifras significativas exactas: Para p₁: 0.1x10¯² ≤ 0.5x10¯ⁿ⁺¹ -2 = -n+1 n = 3 ---> p₁ tiene 3 cifras significativas exactas. PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 5
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Para p₂: 0.3x10¯´ ≤ 0.5x10¯ⁿ⁺¹ -4 = -n+1 n = 5 ---> p₂ tiene 5 cifras significativas exactas. Para p₃: 0.1x10¯µ ≤ 0.5x10¯ⁿ⁺¹ -5 = -n+1 n = 6 ---> p₃ tiene 6 cifras significativas exactas. Ahora hallaremos el número de cifras decimales exactos: Para p₁: 0.1x10¯² ≤ 0.5x10¯™ K=2 Entonces p₁ tiene 2 cifras decimales exactas. Para p₂: 0.3x10¯´ ≤ 0.5x10¯™ K=4 Entonces p₂ tiene 4 cifras decimales exactas. Para p₃: 0.1x10¯µ ≤ 0.5x10¯™ K=5 Entonces p₃ tiene 5 cifras decimales exactas. TEOREMA DE BOLZANO (TB) Sea la ecuación no lineal f(x) =0; Donde f(x) es función no trascendente (trigonométrica, exponencial, logarítmica o polinomial), , Si ( ) ( ) ( )
Aplicación del Teorema de Bolzano: Sea f(x) = x.cos(x) – 1 x
f(x)
-2
-
-1
-
0
-
1
-
2
+
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 6
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Como f(1).f(2) < 0 ---> existe x* que pertenece a [1,2]
MÉTODO DE BISECCIÓN Dado la ecuación no lineal f(x) = 0 /. Existe la raíz X* [a, b] por T.B. El método de bisección consiste en hallar el promedio simple de cada intervalo [ ] X*. Algoritmo de bisección: P-1.- Dado la ecuación f(x) = 0 /. Existe la raíz X* [a, b] por T.B. P-2.- Generar la sucesión {xi} x* mediante la siguiente relación ; i = 0, 1, 2,3……. P-3. – Hallar
( ) ( )
P-4. - Dejar de iterarse Parar si |
|
Caso contrario ir al paso numero 2.
Ejemplo 01. ( )
X* [-1,2]
Obtener una solución con 2 cifras ex Se deja de iterar si | i=0 ,
(
) (
i=1 ,
-
,
| -
) -
,
-
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 7
UNMSM
|
MÉTODOS NUMÉRICOS
| (
) (
i=2 ,
) -
|
,
-
| (
) (
i=3 ,
)
-
|
,
-
| (
) (
i=4 ,
)
-
|
,
-
|
X* = -0.03125
Ejemplo 02. ( )
X* [-2,1]
Obtener una solución con 2 cifras ex Se deja de iterar si | i=0 ; ,
(
) (
-
,
|
-
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 8
UNMSM
i=1 ; ,
|
-
,
-
| (
) (
i=2 ,
) -
|
,
-
| (
) (
i=3 ,
) -
|
,
-
| (
) (
i=4 ,
) -
|
,
-
| (
) (
i=5 ,
|
MÉTODOS NUMÉRICOS
) -
,
-
|
X* = -1.953125
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 9
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
MÉTODO DE REGULA FALSI O MÉTODO DE FALSA POSICIÓN Es un método similar al método de bisección en la que en vez de hallar el promedio simple de dos intervalos , - --> X*. El método de R.F. determina el promedio ponderado de los intervalos , - --> X*. Algoritmo del método de R.F. ( )=0
Paso 1: Dada la ecuación
Paso 2: Generar la sucesión: {xn} x* mediante la relación: ( )
( )
( )
(
)
Paso 3: Hallar
( ) ( )
Paso 4: Parar si |
|
Ejercicio 1: ( )
, Con X* [1,3]
Obtener una solución con 2 cifras ex Se deja de iterar si | i=0 ,
-
,
( ) ( ) (
) ( )
i=1
,
-
|
( ) ( )
,
-
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 10
UNMSM ( ) ( ) |
MÉTODOS NUMÉRICOS
( ) ( )
| ( ) ( )
i=2 ,
-
,
-
( ) ( ) |
( ) ( )
|
X*=0.804
Ejercicio 2 ( )
; Con X* [-2,2]
Obtener una solución con 2 cifras ex Se deja de iterar si | i=0 ,
-
,
-
( ) ( ) ( i=1
( ) ( )
) ( ) ,
-
( ) ( ) |
|
,
( ) ( )
|
X*=-0.20713
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 11
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
MÉTODO DE PUNTO FIJO O MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS Algoritmo: Paso 1: Dado la ecuación ( )=0 / exista la raíz X* De
( )=0 despejar
[a, b] por el T.B.
de diferentes formas y obtener una ecuación de la siguiente forma:
= g (x)……….. (2) Donde g(x) es llamado función de iteración.
Si x = x* es raíz o solución de (2) también lo será de ( )=0, X* que satisface (2) es llamado punto fijo. Paso 2: Generar la sucesión: {xn} x* Mediante la siguiente relación: Xn+1 = g (Xn) ; Donde n= 0,1,2,3,… Tomando como valor
arbitrario /
, b]
Paso 3: Dejar de iterar si: |
|
Caso contrario ir al paso 2.
Condición de convergencia: Existe {xn} x* Si se cumple lo siguiente: a) g (x)
, b]
b) ∃ g´( )
| g´( )|
L
; ∀
b>
L es llamado constante de Lipschitz L = Max {| g´ (a) |, | g´ (b) |}
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 12
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Donde también consideramos obvio L ,a, b]
( ) es continua y diferenciable en [a, b].
Ejemplos: Por el método del punto fijo obtener una solución con dos cifras significativas exactas. F(x) = 10.sen(x). -1 Primero hallaremos el intervalo donde exístela raíz. x
F(x)
-1
-23.87
-0.5
-8.90
0
-1
0.5
1.91
1.5
1.23
Verificamos su condición de convergencia, veremos si cumple 1° condición. F(x) = 10.sen(x).
-1 = 0 ---> x = arcsen (
Análisis para g₁(x) = arcsen(
) = g₁(x)
)
1° condición: g₁(x) I = [a,b] = [0,1] g₁(0) = 0.10 g₁(1) = 0.28 Por lo tanto g₁(x) cumple la 1° condición 2° Condición: ∃ g´₁ ∀
| g´₁ ( )| ≊,
L -
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 13
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
S g₁ ( ) arcsen( ) ---> g´₁ ( ) ( | g´₁ ( ) | = 0.11 < 0.9 ∀ | g´₁ (
/√
)
) | = 0.25 < 0.9 ∀
L = max{| g´₁ ( L L ,
) | , | g´₁ ( ) | } --- g´₁ ( ) , cumple 2° condición
Siendo su relación de recurrencia lo siguiente: Xn+1 = g₁(Xn) = arcsen( ) ; n = 0,1,2,…… Obtener una solución con 2 cifras significativas exactas. OBSERVACIÓN: x0 puede tomar cualquier valor /.x0 [a, b] Sea x0=0.5 X₀ arbitrario; Donde: X₀ = 0.5 n=0 X₁ = arcsen( X₁ = 0.1656
)
n =1 X₂ = arcsen( X₂= 0.1183
)
n =2 X₃ = arcsen( X₃ = 0.1128
)
| X₃ - X₂| = 0.05 = 0.5x10¯¹ ≤ 0.5x10¯¹ Por lo tanto x₃ = X* con 2 cifras significativas exactas.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 14
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
MÉTODO DE LA SECANTE Algoritmo: Paso 1: Dado la ecuación ( ) =0. / ∃ x*
, b].
Paso 2: Generar la {xi} x* Mediante: (
=
)(
) )
(
(
)(
(
)
)
; Donde i =2, 3,4,…
Paso 3: Dejar de iterar si: |
|
Caso contrario ir al paso 2.
Ejemplos: Por el método de la secante obtener una solución con dos cifras significativas exactas. F(x) = 10.sen(x).
-1
Primero hallaremos el intervalo donde exístela raíz. x
F(x)
-1
-23.87
-0.5
-8.90
0
-1
0.5
1.91
1.5
1.23
Se observa que: f (0).f (0.5) <0 ---> Existe x*
,
-
Entonces ahora: Sea x₀ = 0 y x₁ = 0.5 Para i = 2:
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 15
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
x₂ = f(0.5).0 - f(0).0.5 = 0.551 f(0.5) - f(0) Para i = 3:
x₃ = f(0.551).0.5 - f(0.5).0.551 = 0.022 f (0.551) - f(0.5) Vemos que |x₃ - x₂| = 0.0529 = 0.5x10¯¹ Como: 0.5x10¯¹ ≤ 0.5x10¯¹ Donde m = 0 y n = 2 Entonces x* = x₃ Por lo tanto x₃ = 0.022 es la raíz con 2 cifras significativas exactas.
F(x) = 0.91X³ - 4.9X² + 11.9X – 5 x
F(x)
-1
-22.71
-0.5
-12.29
0
-5.00
0.5
-0.16
1.5
4.89
Se observa que: f(0.5).f(1.5)<0 ---> Existe x* Entonces ahora: Sea x₀ = 0.5 y x₁ = 1.5
,
-
Para i = 2: x₂ = f(1.5).0.5 - f(0.5).1.5 = 0.89 f(1.5) - f(0.5) Para i = 3:
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 16
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
x₃ = f(0.596).1.5 - f(1.5).0.596 = 1.20 f(0.596) - f(1.5) Vemos que |x₃ - x₂| =0.031 = 0.3x10¯¹ Como: 0.3x10¯¹ ≤ 0.5x10¯¹ Donde m = 0 y n = 2 Entonces x* = x₃ Por lo tanto x₃ = 1.20 es la raíz con 2 cifras significativas exactas.
MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON El Método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las raíces de la ecuación f(x)=0, ya que converge rápidamente, la contra es que uno debe conocer la derivada de f(x) y se necesita una aproximación inicial muy cercana a la raíz. Se requiere que f(x) sea doblemente continua y diferenciable en [a, b]. Algoritmo: Paso 1: Dado la ecuación f(x) = 0 / Existe la raíz X*
, b] por T.B.
Paso 2: Generar la sucesión {xn} x* mediante la siguiente relación de recurrencia. =
-
(
)
(
)
; n=0, 1, 2,…
Paso 3: Dejar de iterar si: |
|
Caso contrario ir al paso 2.
Convergencia de N-R. Existe {xn} x* Si: |
( ) ´´( ) ( ´( ))
|<1
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 17
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo: Sea f(x)=
-3x; donde x*
,
-
Primero analizamos su convergencia:
( ) ´´( ) ( ´( ))
|
| X₀ = 0 < 1
= 0.2479 <1
Si: ( )=
-3x
( )=
-3
( ) |
( ) ´´( ) ( ´( ))
| x₀ = 1 < 1 Existe {xn} x* Por el método de N-R con
=0.1
Obtendremos una solución con 4 cifras significativas exactas. n=4 Se deja de iterar si |
|
=0.5*10¯´
n=0 =
-
(
)
(
)
Entonces: =
-
Observación: Si
= 0.52493063 =0.5, estaría más cercano a la raíz.
n=1 =
-
=0.61315951
-
= 0.619033363
n =2 =
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 18
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
n =3 =
-
|
= 0.69001281
| = 0.000027923 = 0.3*10¯´
Entonces: x* =
con 4 cifras significativas exactas.
METODO DE PUNTO FIJO O METODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES
Dado el Sistema: F(x, y) = 0…… (1) G(x, y) = 0…… (2)
De (1) y (2), despejamos de alguna forma x e y para obtener un sistema de la siguiente forma: x = f(x, y) = f…… (3) y = g(x, y) = g…… (4)
La solución de (3) es solución de (1). La solución de (4) es solución de (2).
* Algoritmo del Punto Fijo: 1º Paso: Dado el sistema:
F(x, y) = 0 G(x, y) = 0 Despejar x ^ y, y obtener el siguiente sistema. x = f(x, y) = f y = g(x, y) = g
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 19
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
2º Paso: Generar la sucesión: {Xn} xk ^ {yn} Yk Mediante la siguiente relación de recurrencia:
n = 0, 1, 2,…
3º Paso: Dejar de iterar si:
|𝑋𝑛 |𝑌𝑛
𝑋𝑛 | ó 𝑌𝑛 ; |
ℰ ℰ
C.C. ir al 2º Paso.
Condición de convergencia del punto fijo: ∃ {Xn}
xk ^
∃ {yn}
Yk
Si se cumple lo siguiente: | |(
)
|
)
|(
| |( ^ | |(
) )
Ejemplo: Sea el sistema. … (1) ⁄
⁄
… (2)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 20
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Localizar el intervalo inicial (x0, y0) por el T.B.
De (1) y (2) se tiene: ( )
⁄
(
)
⁄
Con intervalo de longitud = l = 1
x -2 -1 0 1 2 3
( ) ∄ +
𝑓( ) 𝑓( )
∃ 𝑥⬚
,
-
Con intervalo de longitud = l = 0.1
x 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3
( ) + + +
) 𝑓(
𝑓(
)
∃𝑥
( )
,
-
;
Verificar su condición de convergencia De:
(
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 21
UNMSM De:
⁄
MÉTODOS NUMÉRICOS
⁄
(
(
Se requiere que se cumpla: | |(
) 0
)
⁄
)
⁄
1
=1 <1 ⁄
. ⁄
.
| |
)
)
| |( +
(
/
/
⁄
⁄
⁄
⁄
| |(
)
Como L = 1 ∢ 1 → la solución puede converger o no ^
|
|(
)
|
0.9
)
|(
+
0
|
|(
= 0.9 < 1
)
Obtener una solución con dos cifras significativas exactas (m = 2) Se deja de iterar si: | | 0.5*10m-n+1 /m=0, n=2 0.5*10-1 ó | | 0.5*10-1 Sus relaciones de recurrencia son: (
)
(
)
(
⁄
*
⁄
^
Iterando: n = 0; ITERACION INICIAL; con X0 = 2.7 ^ Y0 = 2.8 (
⁄
*
⁄
^
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 22
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
n = 1; PRMERA ITERACION; con X1 = (
⁄
*
^ Y1 =
⁄
^
n = 2; SEGUNDA ITERACION; con X2 = (
⁄
*
^ Y2 =
⁄
^
n = 3; TERCERA ITERACION; con X3 = (
⁄
*
^ Y3 =
⁄
^
n = 4; CUARTA ITERACION; con X4 = (
⁄
*
^ Y4 =
⁄
^
n = 5; QUINTA ITERACION; con X5 = (
⁄
*
^ Y5 =
⁄
^
n = 6; SEXTA ITERACION; con X6 = (
⁄
*
^ Y6 =
⁄
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 23
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
^
n = 7; SEPTIMA ITERACION; con X7 = ⁄
(
*
^ Y7 =
⁄
^
Si: | |
| = 0.02 = 0.2*10-1 0.5*10-1 ^ | = 0.1*10-1 0.5*10-1 Cumple con las condiciones dadas, por tanto deja de iterar.
METODO DE NEWTON – RAPSON (N.R) El sistema debe de estar en la forma: F = F(x, y) = 0 G = G(x, y) = 0 Para que tenga solución su Jacobiano = J(x, y) = J ≠ 0
𝐽
𝐹𝑥 𝐺𝑥
𝐹𝑦 ≠ 𝐺𝑦
* Algoritmo de N.R. 1º Paso:
Dado el sistema: F(x, y) = 0 G(x, y) = 0 2º Paso: Generar la sucesión: {Xn} xk ^
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 24
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
{yn}
Yk
Mediante la siguiente relación de recurrencia:
𝑋𝑛
𝐹 𝐺
𝑋𝑛
𝐹𝑦 𝐺𝑦
(𝑥𝑛 𝑦𝑛 )
𝐽(𝑥 𝑦)(𝑥𝑛 𝑦𝑛)
;
𝑛
…
𝑛
…
^
𝑌𝑛
𝐹𝑥 𝐺𝑥
𝑌𝑛
𝐹 𝐺
(𝑥𝑛 𝑦𝑛 )
𝐽(𝑥 𝑦)(𝑥𝑛 𝑦𝑛 )
;
Parar si:
|𝑋𝑛 |𝑌𝑛
𝑋𝑛 | ó 𝑌𝑛 |
ℰ ℰ C.C. ir al 2º Paso.
Ejemplo:
⁄
(
⁄
) ( (
) )
⁄
⁄
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 25
UNMSM
⁄
MÉTODOS NUMÉRICOS
⁄
⁄
⁄
𝐽(𝑥 𝑦)
⁄
. 𝑥
𝑦
⁄
⁄
⁄
𝑦
⁄
𝑥
⁄
/
*Obtener una solución con dos cifras significativas exactas (m = 2). Iterando: n = 0; ITERACION INICIAL; con X0 = 2.7 ^ Y0 = 2.8 |
⁄
⁄
⁄ ⁄
(
|
⁄
⁄
⁄ ⁄
(
⁄
| *
|
⁄ ⁄
⁄
*
n = 1; PRIMERA ITERACION; con X1 = 2.7629 ^ Y1 = 2.8937 |
⁄
(
⁄
⁄ ⁄
⁄
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
⁄
| *
Pág. 26
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS |
⁄
(
Si: | |
| = 0.0003 = 0.3*10-3 ^ | = 0.0005 = 0.5*10-3
⁄ ⁄
|
⁄ ⁄
⁄
*
0.5*10-3 0.5*10-3
Cumple con las condiciones dadas, por tanto deja de iterar.
INTERPOLACIÓN Supongamos que se conoce f0 , f1, f2, …….fn valores correspondientes a X0, X1, X2, ….., Xn valores independientes de una variable independiente X.( X0
a) Interpolación directa.- consiste en que dado un valor XP diferente de los Xi pero correspondido entre X0 y Xn, se desea hallar el valor de su imagen fP
b) Interpolación inversa.- consiste en que dado el valor de la imagen fP se desea hallar el valor XP que genera dicha imagen.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 27
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
1.- INTERPOLACIÓN DIRECTA LINEAL XP = valor a interpretar
f
FP = f (XP) imagen de XP
F(X)
(X1,f1) (X0,f0 ) (XP,fP)
Xo
XP
X1
X
n
INTERPOLACIÓN DIRECTA DE NEWTON -PROGRESIVO Y NEWTON – REGRESIVO. Para un conjunto de (n+1) puntos igualmente espaciados Interpolación consiste, en dado un valor no considerado , en la tabla, se debe hallar su imagen . Hay dos tipos de Interpolación. A) Interpolación Directa. Consiste en que dado se debe hallar su imagen . B) Interpolación Inversa. Consiste en que dado el valor de la imagen , se debe hallar el valor
.
1) Interpolación Directa de Newton Progresivo (IDNP) Se utiliza cuando se desea interpolar un valor Utiliza la siguiente fórmula.
𝑓𝑝
𝑓
P(P
)…(P (n
))
n!
Donde
P(P
P∆𝑓
,
,
) !
dado al principio de la tabla o
∆ 𝑓
P(P
)(P !
)
∆ 𝑓
sector de la tabla.
⋯
∆n 𝑓
-
Utiliza la siguiente Tabla de omisión de Términos (T.0.T)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 28
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS ∆
Newton Progresivo Newton Regresivo
∆
4
∆
8
12
∆ 16
Observación: Si
|∆
|<4 Se tiene Inter. Directa Lineal y se utiliza la fórmula de N.P. hasta la ∆ .
sea;
Si
|∆
|<8
Se tiene Inter. Directa No Lineal (IDNL) y se utiliza la fórmula de N.P. hasta la
|<12
P(P
∆
Diferencia, o sea;
Si |∆
Diferencia, o
) !
∆
.
Se utiliza IDNL y en la formula de NP se utiliza hasta la P(P
∆
) !
∆
+
P(P
)(P
)
!
∆
diferencia, osea
.
(4) Tanto en (1),(2) y (3) solo se considera las cifras significativas. Ejemplo 1: En la Sgte. Tabla si
( )
1
1.1
1.2
1.3
4
4.3
4.6
4.9
=1.05, hallar
Sol:
∆
( )
1 4 xp=1.05 f p =? 1.1 4.3
∆ 3=∆ 0=∆
3 1.2
4.6
0 3
1.3
Como|∆ |<4 se aplica IDL y se utiliza de NP hasta la Diferencia anterior o sea hasta la diferencia |∆
|=0<4
4.9
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 29
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
→
∆
P=0.5
(
→
<0,1>
)
Ejemplo 2: Si Hallar
( )
en la Sgte. Tabla
g( )
x
6.2
6.4
6.6
6.8
0.79239
0.30618
0.81954
0.83251
g( )
( )
6.2 Xp=6.36 6.4
∆
0.79239= fp=? 0.30618=
7 7.2
∆
1279=∆ -43=∆ 1336=∆
6.6
4
0.8195 =
-39=∆ 1297=∆
6.8
0.83251=
7
0.84510=
7.2
0.85733=
∆
1 -38=∆
1259=∆
2 -36=∆
1223=∆
P(P
∆
! (
Si
∆ )
(
)( !
)
( )
( )
(
)
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 30
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
2) Interpolación de Newton Regresivo (NR) Se utiliza cuando se quiere interpolar un valor en la parte final de la tabla. Su fórmula es
𝑓𝑝
𝑓
P(P
P 𝑓
P(P
) !
)…(P (n
))
n!
,
Donde
Ejemplo Si x 3
)(P
P(P
𝑓
)
! n
𝑓
⋯
𝑓
-
=3.9 hallar
( )
20.08 4.45
3.2
24.53
3.4
29.96
3.6
36.59
0.98 5.43
.22 1.20
6
6.63
.28 1.48
2
8.11 3.8
.30
49.7
1.78 9.89
4.0
54.59 | P(P
P
) !
(
)(
)
)(P ! )(
P(P (
|<12 Se aplica
de NR hasta la
diferencia
) )
(
!
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
)(
)(
)
!
Pág. 31
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
INTERPOLACION DIRECTA CENTRAL Se utiliza cuando se quiere interpolar un valor en la parte central de la tabla. Se tienen las siguientes formulas: a) Interpolación de Stirling: 〈
Se aplica si p
〉
Su formula es: p=
0+
S1 (
-1/2
+
1/2)
+ S2
0
+ S3 (
-1/2
+
1/2)
+ S4
0
+…
Donde: S1=
; S2=
; S3=
(
)
(
; S4=
!
) !
; S5=
(
)( !
)
; …
b) Interpolación de Bessel: 〈
Se aplica si p
〉
Su formula es:
p=
0+
1/2 +
1
2(
0
+
1)
+
5
1/2
+…
Donde: 1=
;
2=
(
) !
;
3=
(
)( !
)
;
4=
(
)(
)( !
)
; …
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 32
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
c) Interpolación de Everett: 〈
Se aplica si p
〉
Su formula es: =
…
Donde: (
;
)(
)
! (
;
)(
)
!
(
;
)(
)(
)(
)
! (
;
)(
) ( !
)(
)
; …
; …
*Tabla de Omisión de Términos (T.O.T):
Bessel o Stirling 4
60
Everett
no existe 20
4
20
500
100
no existe 100
Ejemplos resueltos: En la siguiente tabla se tiene: X
f(x)=
+
0
+ x +1 1
0.111
0.026
0.006
0.1
1.111
0.137
0.032
0.006
0
0.2
1.248
0.169
0.038
0.006
0
0.3
1.417
0.207
0.044
0.4
1.624
0.251
0.5
1.875
0
Como: ; No cumple ; cumple con la T.O.T, según P se aplica Bessel, Stirling o Everett.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 33
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Entonces hallar: fp a) Si
;
Solución a): Se sabe que:
Entonces: 〈
〉
Como: 〈
〉 |
|
Se aplica Stirling y Everett porque
〈
〉
〈 〉y| | Para Stirling su es hasta su 2ºdiferencia, como se aplica Everett o hasta su anterior pero como no existe la 3º diferencia; el de Everett es hasta la 2º diferencia. *Solución según Stirling: p=
0+
S1 (
-1/2
+
1/2)
+ S2
0
p=
1.248 + 0.12 (0.137 + 0.169) + 0.0288*0.032
p=
1.2856416
valor aproximado
Con calculadora: p=
1.285415424
*Solución según Everett: = p
=0.76*1.248+0.24*1417-(0.053504*0.032)-(0.037606*0.038)
p
=1.285415424
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 34
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
INTERPOLACIÓN PARA EL CASO DE DATOS NO EQUIDISTANTES
POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE
(X0, f0), (X1, f1),…, (Xn, fn)
Sean
Entonces existe un polinomio de grado
(n+1) ptos
que para por dichos puntos
(X0
OBS: en el primer termino falta (X-X0), en el 2º termino (X-X1), y así sucesivamente en el ultimo termino falta (X-Xn) esto es una cualidad de dicho polinomio. Como f(x) debe contener a los puntos dados Si X = X0
; f(X0)= a0(X0-X1) (X0-X2)……..(X0-Xn)
a0= Si X = X1
f(o)
(X0 X1)(X0 X2)(X0 X3)………(X0 Xn)
; f(X1)= a1(X1-X0) (X1-X2)……..(X1-Xn)
a1=
f(1)
(X1 X0)(X1 X2)(X1 X3)………(X1 Xn)
. . . Si X = Xn
; f(Xn)= an(Xn-X0)(Xn-X1)(Xn-X2)……..(Xn-Xn-1)
an=
(n)
(Xn X1)(Xn X2)(Xn X3)………(Xn Xn 1)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 35
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Remplazando los así en el polinomio P(X)
f(X)=
(X X1)(X X2)…(X Xn) ( 1 0 )( (X X0)(X X1)…(X Xn 1) 2 )…(X1 Xn) f0+ f1+…+ fn (X0 X1)(X0 X2)…(X0 Xn) (X1 X0)(X1 X2)…(X1 Xn) (Xn X0)(Xn X1)…(Xn Xn 1)
L0(X) F(X)
=
L1(X) L0(X)fo +
L1(X)f1
+
Ln(X) …………….
+ Ln(X)fn Polinomio de Lagrange
Donde: i(X)=
(X X0)…..(X Xi 1)(X Xi+1)…(X Xn) (Xi X0)…..(Xi Xi 1)(Xi Xi+1)…(Xi Xn) Función multiplicadora de Lagrange
TEOREMA.- Sean (X0, f0), (X1, f1),…, (Xn,fn) (X0
para los puntos (n+1) y además
que pasa por dichos puntos.
DEMOSTRACIÓN i). La existencia del polinomio está generalizada por el `polinomio de aproximación de Lagrange. ii). La unicidad: supongamos que existen dos polinomios P(X) y Q(X) de grado que pasan por los puntos dados. Probaremos que P(X) =Q(X) , ∀ (X0,Xn) Consideremos
R(X)= P(X) - Q(X) PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 36
UNMSM R(X) es de grado
MÉTODOS NUMÉRICOS (ya que el grado de P(X) y Q(X) es
)
Además: R(X0)= P(X0) - Q(X0)= f0-f0 =0 R(X1)= P(X1) - Q(X1)= f1-f1 =0
En general R (Xi) = 0
∀ i 0, 1, 2, 3,……n
Entonces. X0, X1, X2,…., Xn son las raíces de R(X) R(X) tiene (n+1) raíces (pero el grado de R(X) es menor o igual a n) Entonces R(X) debe ser el polinomio nulo (el único que tiene más raíces que su grado) R(X)= P(X) - Q(X)= 0 P(X) =Q(X) , ∀
( 0 , Xn)
Ahora consideremos X
-1
Fx
2
0 2 1
5
El polinomio P(X) = X2 +1 pasa por estos puntos, también pasa por estos puntos el polinomio Q(X) = X3-2X + 1 ¿Contradice el teorema? No contradice el teorema, ya que el teorema establece que son iguales para aquellos que tengan grado , luego pueden muchos otros de grado >n que sean diferentes al del grado grado
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 37
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
INTERPOLACION Y APROXIMACION DE LAGRANGE Polinomio de Lagrange: Dado un conjunto de (n+1) puntos de la forma ( , ); i=0, 1, 2,…, n. Se puede aproximar a un polinomio de grado Sea el siguiente polinomio ( )
n.
( ) a determinar:
𝑃(𝑥) 𝑎 (𝑥 𝑥 )(𝑥 𝑥 )(𝑥 𝑥 ) … (𝑥 𝑥𝑛 ) 𝑎 (𝑥 𝑥 )(𝑥 𝑥 )(𝑥 𝑥 ) … (𝑥 𝑥𝑛 ) ⋯ 𝑎𝑛 (𝑥 𝑥 )(𝑥 𝑥 )(𝑥 𝑥 ) … (𝑥 𝑥𝑛 ) . Observación: El polinomio ( ) se caracteriza por: ), en el 2º término falta el factor ( ) , en el 3º termino falta En el 1º término falta el factor ( ) y así sucesivamente, en el n-ésimo termino falta el factor ( ). el factor (
En el polinomio de Lagrange los puntos ( , ) no necesariamente son igualmente espaciados, es decir h no es constante. ;
Para hallar el polinomio de Lagrange se debe hallar los
…
; de la siguiente manera:
Si x= ( )
(
( )
)( ( (
(
)( ( ) )(
)(
)( )(
)…( )(
)(
)… (
)
(
)…(
)…(
)(
)(
)…(
)
⋯
)(
)(
)…(
)
⋯
)
)
)
Si x= ( )
(
( )
)( ( (
)( (
(
)(
)( )(
)…( )(
)(
)…(
)
(
)…(
)
)
) )(
)…(
)
Si x=
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 38
UNMSM ( )
MÉTODOS NUMÉRICOS
(
( )
)( ( (
(
)( )(
)( ( )(
)(
)…( )(
)(
)
(
)(
)…(
)…(
)(
)…(
)
⋯
) )
) )…(
)
Remplazando los coeficientes en ( ) tenemos: (
( )
)( )(
(
)( )( (
(
)…( )…( )( )(
)( )(
)
( )
)( )(
(
)…( )…(
)( )(
)…( )…(
) )
…
) )
El polinomio de Lagrange, también se puede expresar como: ( )
∑
( )
… Ó
( )
( )
( )
⋯
( )
Ejemplo: 1 En la siguiente tabla: a) Aproximar a un polinomio de Lagrange. b) Si
=1.1. Determinar
por Lagrange.
Tenemos: X
( ) 2 1 2
26
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 39
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
a) Solución: El polinomio de Lagrange
( ) ( (
)( )(
( ) ( (
( (
)( )(
)( )( )( )( )( )( ) )( )( )
( ( )( )(
)( )( )( )(
)( )( ) )
( )
)( )(
)
( )
( (
)( )(
( )
) ) ( (
)( )( )( )(
( )( )(
)( )(
( ( )( )(
…
)( )( )( )(
)( )( )
)( )(
)
( )
(
)( )(
)( )(
)( )(
) )
)
)( )( )( )(
, será:
)( )(
) )
( (
)( )(
)( )(
)( )(
) )
) )
Luego, resolviendo tenemos: ( )
b) Solución: Como:
( )
( )
(
(
)
(
)
) (
(
)
)
Aprox. E interpolación de un polinomio de newton. )( ) ∆
(
( )
)( ) ∆
(
!
)( ) ∆
(
!
⋯
!
)( ) ∆
( !
Donde: (
)(
)
(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)(
)(
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
) Pág. 40
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
(
)( ) |
(
)(
)
(
)( ) |
( (
)( )(
)( )(
(
)(
)( )
(
)
)(
)(
)
)
Ejemplo: 2 Aproximar la siguiente tabla a un polinomio de newton
x
∆
( )
1.1
1.04 =
1.2
1.08=
1.3
1.11=
∆
∆
0.04 -0.02 0.03
0.02 -0.01
0.04 1.4
1.15=
Donde: h=1.4-1.3=0.1 )(
( )(
( ( ( )
)(
)
(
(
)
)( )
( )(
(
)
)
)( )(
) ( )(
(
)( ( )(
)
(
)
) )
(
)
)( ( )(
)
)
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 41
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
PROBLEMAS RESUELTOS (Método de Newton – Raphson)
1
F(x)=
/
[0,1]
Cuantas cifras significativas exactas tiene la solución en la 2da iteración. Solución: F(x)= F’(x)= F’’(x)=
=
(
)
1ro Analizar el pto inicial xₒ optimo / xₒ [0,1] Para xₒ : F(xₒ).F‘’(xₒ)<0 ->xₒ no es valido. Para x₁ =1: F(1).F‘’(1)>0 ->x₁ =1 es valido para iterar. -> | n=0
( )
( )
|=0.47 = 0.5 < 1 ->∃ {xn} ->
( )
Xn+₁=Xn-
( n) (
=> Xn+1 = Xn – n)
n ( n
)
Con X₀=1 X₁ = X₀ –
(
)
X₁=0.683939 n= 1
1ra Iteración.
X₂ = X₁ –
₁ ₁(
₁
₁
)
X₂=0.5774544772 2da Iteración. n= 2 X₃ = X₂ – ( ) |X₃ - X₂|=0.01=0.01* n=1 -> X = con 1 cifra significativa.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 42
UNMSM 2
MÉTODOS NUMÉRICOS
(Método del Punto fijo)
Resolver por el método por el punto fijo con 1 cifra decimal exacta. Solución: {} X𝑒 𝑦 -1 =0 (1) 𝑋 𝑦 𝑦 X= (2)de (1) Remplazando en (2) F (y)= Y 0 1 2
F (y) F (0).F(1)<0 ->∃𝑦 + [0,1] +
Y 0 0.5 0.6 1
F (y) F (0.5).F(0.6)<0 ->∃𝑦 , 1er intervalo para F(y)=𝑒 +
𝑦
-……(*) 𝑦
Según (*) Sea Y₀=0.5 -> X₀= Se tiene el punto inicial X₀=1.6 y Y₀=1.5 muy cercano a la raiz. X= 2√ Y= LnX
-> f -> g
fx=0
fy=
gx=
gy=0
√
fx(1.6;1.5)=0 fy(1.6;1.5)=0.5773502642 gx(1.6;1.5)=0.625 gy(1.6;1.5)=0 |fx(1.6;1.5)+fy(1.6;1.5)|=0.57785026 < 1 |gx(1.6;1.5)+gy(1.6;1.5)|=0.625 < 1 ->∃{Xn} -> ∃{Yn} -> Mediante la Sgte. Relación.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 43
UNMSM Xn+₁=2√ Yn+₁ =Ln(Xn)
MÉTODOS NUMÉRICOS n=0, 1, 2 n=0, 1, 2
Dejar de iterar |Xn+₁-Xn| 0.5* Iterando como punto inicial *Xₒ,Yₒ+=*1.6;1.5 n=0 X₁=2√ =1.732050 Y₁=0.4700036292 n=1
n=2
X₂=1.765328965 Y₂=0.5493061446 X₃=1.671242364 Y₃=0.5683370555
n=3 X₄=1.645591676 Y₄=0.5135672804 n= 4
n=5
X₅=1.716098655 Y₅=0.49810001 X₆=1.734239187 Y₆=0.5400534907
|X₆-X₅|=0.018 = 0.02 = 0.2* 0.5* |Y₆-Y₅|=0.04 = 0.4* 0.5* ->-> X₀= y Y₀= son raices con una cifra significativa.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 44
UNMSM 3
MÉTODOS NUMÉRICOS
(Método del Punto fijo)
Por el método de N-R, resolver el sistema: {} X𝑒 𝑦 -1 =0 (1) 𝑋 𝑦 𝑦 a) (2) Localizar el intervalo donde existe la raíz b) Verificar su condición de convergencia c) Hallar una solución con 4 cifras decimales exactas. Solución:
a) Y=Lnx de (1) Remplazando en (2) -> F(x)= Utilizando el T.B. localizamos el intervalo donde existe la raiz. x 1 2
F(x) +
F (1).F(2)<0 ->∃𝑦
[1,2]
x F(x) 1.6 F(1.6).F(1.7)<0 ->∃𝑦 [1.6,1.7] 1.7 + Sea X₀=1.6 ; Y₀? De (1) -> Y=Lnx = Ln(1.6)=0.47 -> Y₀=0.47 Entonces: { X 1.6 Y 0.47
Pto más cercano de la raíz.
b) Sea F(x,y)=X G(x,y)=
-1
Fx(x,y)= Fy(x,y)=-X. Gx(x,y)=2X Gy(x,y)=8y PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 45
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Fx(x,y) Gx(x,y)
J(x,y)=|
𝑒 𝑦 |=| 2x
Fy(x,y) Gy(x,y)
X.𝑒 8y
𝑦
|
= 5.550020142 ≠ 0 Y como (X Y ) es muy cercano: ->->∃ {xn} -> y ->∃ {yn} -> c) Dejamos de iterar si: |Xn-Xn+₁| 0.5* =0.5* |Yn-Yn+₁| 0.5* =0.5* Ahora: | F G 8Y [X
𝑦
Fy |=| X𝑒 Gy 𝑋 ,
-1]+ X.
| Fx Gx
-1 -X.𝑒 𝑦 𝑦 𝑦8y
F |=| G
|
𝑒
𝑦
𝑦
-X.𝑒 𝑥 𝑋
|=
𝑦
[
]-2x [-X.
]
Veamos que la formula de recurrencia asi: Xn+₁=Xn -
n,
-
n
,
-
;
n=0, 1, 2,.. Yn+₁=Yn -
[
]
, n
-
n=0, 1, 2,… Siendo Pₒ inicial: (1.6;0.47)=(Xₒ;Yₒ)
n=0 X₁=1.6 –
(
Y₁=0.47-
(
)
=1.700250715 )
= 0.53265975
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 46
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
n=1 X₂=1.700250715 – (
)
=1.697250462
Y₂=0.53265975(
n=2
)
= 0.52900931
X₃=1.697250462–
(
)
=1.6972239658
Y₂=0.53265975(
)
= 0.5290032
Luego |X₃ - X₂|= 0.000026=0.00003=0.3* 0.5* -> con 4 cifras significativas decimales exactas. |Y₃ - Y₂|= 0.0000061=0.00001=0.1* 0.5* -> con 4 cifras significativas decimales exactas.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 47
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LIENALES
La factorización matricial consiste en expresar una matriz cuadrada en el producto de otras dos matrices. FACTORIZACIÓN MATRICIAL “LU” (Método de Crout – Doolitle)
Consiste en factorizar una matriz cuadrada “A” en un producto “LU”. Esto es: 𝐴
𝐿𝑈
Donde: A: es la matriz a factorizar L : es una matriz triangular inferior, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Se llama “L” porque viene de la palabra inglesa “low”, que significa “bajo”. U : es una matriz triangular superior, cuyos elementos se hallan por el método de la eliminación gaussiana. Se llama “U” porque viene de la palabra inglesa “up”, que significa “arriba”.
NOTAS: . Este tipo y todos los tipos de factorización matricial se basan en el “método de eliminación gaussiana”. . Aunque no todas las matrices admiten este tipo de representación, muchas de las que aparecen frecuentemente en las aplicaciones de las técnicas numéricas sí la tienen. . La factorización “LU” es especialmente útil cuando hay que resolver varios sistemas lineales con la misma matriz de coeficientes “A”, puesto que el proceso de las operaciones se realiza solamente una vez.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 48
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
. Desde un punto de vista práctico, esta factorización sólo será útil cuando los intercambios de filas no sean necesarios para controlar los errores que aparecen por utilizar aritmética con un número finito de cifras. . También se podría decir que la factorización “LU” solamente es aplicable cuando los determinantes de las submatrices de “A” son todos distintos de cero. Ejemplo 0 Sea la matriz
(
0 0 +=(
+ =(
+
El sistema tiene nueve ecuaciones con doce incógnitas, entonces existen infinitas soluciones. Para que tenga solución debemos fijar tres variables libres, puede ser lii=1 o uii=1 Sea
uii=1 → u11= u22= u33=1, 0 (
0 0 +(
+=( L
+
U
Resolviendo la ecuación matricial se tiene los siguientes resultados:
l11=2,
l21=4,
l31=1
u12=0, l22=3, l32=2 u13=
,
u23=2, l33=
(
+=( L
0 -1 4+(
)
U
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 49
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Observación.- El método Crout – Doolitle sirve para resolver un sistema de ecuaciones usando la factorización L U mediante las siguientes igualdades:
A.x = B
L.y = B
L.U.x = B
U.x = y
PRIMER METODO DIRECTO:
MÉTODO CROUT-DOOLITLE. Para un sistema lineal de la forma:
𝐴𝑋
𝐵
Donde A se factoriza de la forma:
𝐴
𝐿𝑈
L: Matriz Triangular Inferior U: Matriz Triangular Superior Sea:
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 50
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo: Sea la matriz (
+( +
( +
Para
(
𝑦
⁄
)( +
⁄
( +
𝑦
𝑦
⁄
Para ⁄
(
⁄ )( +
(
, ⁄
𝑥
⁄
𝑥
⁄
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
𝑥
⁄
Pág. 51
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
SEGUNDO METODO DIRECTO
METODO DE CHOLESKY También para resolver el sistema Ax = b para aplicar cholesky se debe cumplir lo siguiente: Simetrico
1° que XtAX>0 /
“A” definida Positiva
| → Xt = (X1 X2 X3)
X=|
2° cada sub determinante sea positiva es decir: A33
|
|
|
|
|
|
(
)
1º versión de cholesky Ejemplo: 1 Aplicar cholesky al sistema siguiente:
|
|| |
| |
A es simétrico ¿A es definida positiva? Se debe de cumplir que XtAX>0
,
-|
(
|| |
)
(
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 52
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Se puede aplicar cholesky
Ax = b L*LtX = b Y= t LX
A = L*Lt
|
|
L*Y = b Lt*X = Y
|
||
|
l11=2 l21 = ½ l31 = 1 √
l22 =
√
l32 = l33 =√
t
L*L =
| |
√ √
√
|| ||
√
√
| |
√
Ax = b
t
L*L X = b
Lt*X = Y L*Y = b
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 53
UNMSM Para
MÉTODOS NUMÉRICOS
L*Y = b
√
| |
√
|| |
|
| |
√
Y1 = ½ Y2 =
√
Y3 = 4*√
Para
Lt*X = Y
| |
√
√
|| |
|
√
| |
√
X1 = 28/27
| |
√
X2 = 35/27
X3 = -16/27
Ejemplo: 2
(Métodos de Cholesky para hallar el sistema Ax=B) Resolver el siguiente sistemas por Cholesky. 4 2 0 x1 2 2 5 2 x2 = 3 0 2 6 x 5 3
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 54
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS Solución:
• A = At , entonces A es simétrica. • x t Ax > 0 , luego A es definida positiva. Factorizamos la matriz A = LLT 4 2 0 l11 0 0 l11 l21 l31 A = 2 5 2 = l21 l22 0 0 l22 l32 0 2 6 l 31 l32 l33 0 0 u33
Para la 1ra columna tenemos:
l112 = 4 l11 = 2 l 21l11 = 2 l 21 = 1 l31l11 = 0 l31 = 0
Para la 2da columna tenemos:
l11l 21 = 2 2 2 l 21 l 22 = 5 l 22 = 2
l31l 21 l32 l 22 = 2 l32 = 1
Para la 3ra columna tenemos:
l11l31 = 0 l 21l31 l 22 l32 = 2 l312 l322 l332 = 6 l33 = 2
2 0 0 2 1 0 t L = 1 2 0 , L = 0 2 1 0 1 2 0 0 2
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 55
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Del sistema Ax = b LLt x = b , luego Ly = b y Lt x = y Para Ly = b 2 0 0 y1 2 1 1 2 0 y2 = 3 y = 1 0 1 2 y 5 2 3
Para Lt x = y
1 2 1 0 x1 1 2 0 2 1 x2 = 1 x = 0 0 0 2 x 2 1 3
2. Segunda versión de cholesky
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 56
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 57
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 58
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
TERCER METODO DIRECTO:
MÉTODO TRIDIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Sea el sistema de ecuaciones de la forma:
𝑎 (
𝑥 … ⋱ +( + … 𝑎𝑛 𝑥𝑛
𝑏 (
𝑏𝑛
+
………………
………. (1)
……………
………. (2)
……
………. (3)
……………………………………………………… … ………………
………. (n-1) ………. (n)
ALGORITMO TRIDIAGONAL: P-1:
Del sistema
P-2:
Sea ̅
, expresarlo como
̅ * +
, C es constante arbitraria /
De la Ec. (1) despejar ̅ De la Ec. (2) despejar ̅ De la Ec. (3) despejar ̅ …………. De la Ec. (n-1) despejar ̅ De la Ec. (n) despejar ̅ Pero como no existe ̅
se hace lo siguiente:
𝑎𝑛 𝑛 𝑥̅𝑛 Tal que: Se tiene
( ( ̅
…
)
̅ …
𝑎𝑛 𝑛 𝑥̅𝑛
𝑏𝑛
𝑅
donde R: vector residual ̅ )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 59
UNMSM
Si Si
MÉTODOS NUMÉRICOS
es solución de es solución de
≠
P-3: Del sistema llegando a lo siguiente:
𝑎𝑛 𝑛 𝑥̅̅𝑛 (
Tal que:
… ( ̅
Se tiene
)
̅ …
Si Si
y sea ̅
, se procede como P-2,
𝑎𝑛 𝑛 𝑥̅̅𝑛 𝑆
donde S: vector residual ̅ ) es solución de es solución de
≠
…….. ( ) …….. ( )
Se tiene: ()
̅
expresarlo como
( )
(
)
(
) 0
Se busca una relación: (
Tal que:
)
⁄
Ejemplo: Resolver:
2 2 ̅
Del sistema ̅
̅
2 ̅
……… (1) ̅
2 ̅
̅
̅ Sea ̅
,
* +
̅
….….. (2) ̅
̅
……… (3) ……… (4) ̅
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 60
UNMSM
De (1):
̅ De (2): De (3):
MÉTODOS NUMÉRICOS
̅
0 ̅
De la ec. (4) despejo ̅ , pero como no existe ̅ ̅
̅
𝑟 ( ̅ (
̅ …
̅ )
)
̅
Del sistema Sea ̅ ̿
̿
, luego se procede como P-2
̿
̿ ̿
̅
, ,
, en en en
̿
̿
̿
̿ ̿
̿
̿
̿
𝑠 Observación: Si ( ̅
̅
(
̅
cambiar el valor inicial de ̅ )
̿
)
Se busca una solución Tal que:
⁄
𝛼
⁄
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 61
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
𝑥
Verificando:
𝑥
𝑥
𝑥
2 )
2(
(
)
(
)
Ejemplo 2 (Solución de sistemas lineales en Tribanda) Sea
en Tribanda.
( ) ( ) ( ) ( ) Algoritmo del sistema Tridiagonal Solución: ̅
Del sistema ( ) ̅ ̅ ̅
( ) ̅
( ) ̅
̅
( ) ̅
̅
̅
Sea ̅
̅ ̅
̅ ̅ ̅
̅ ̅
, C vector arbitrario talque
* +
Entonces: 𝑥̅ De (1) despejo ̅ : PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 62
UNMSM
( ) ̅
MÉTODOS NUMÉRICOS
̅ 𝑥̅
De (2) despejo ̅ : ( ) ̅
̅
̅
𝑥̅ De (3) despejo ̅ : ( ) ̅
̅
̅
𝑥̅
De (4) despejar ̅ ; pero ∄ ̅ : ( ) ̅ ̅
𝑟
Y se tiene que: ( ̅ (
̅ )
̿
es un vector nulo.
̿
( ) ̿
( ) ̿
( ) ̿
̅
)
Ahora expresarlo como ( ) ̿
̅
̿ ̿
̿ ̿
̿ PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 63
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS * +
Sea ̿
𝑥̿ De (1) despejar ̿ : ( ) ̿ ̿ 𝑥̿ De (2) despejar ̿ : ( ) ̿
̿
̿
𝑥̿ De (3) despejar ̿ : ( ) ̿
̿
( ̿ ̿
̿
𝑥̿
̿ ) ̿
(
)
De (4) despejar ̿ , pero∃ ̿ entonces: ( ) ̿ ̿
𝑠
Entonces:
( )
( )
(
(
)
(
)
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 64
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Comprobación:
-46+24+13 -22+13=-9
CUARTO METODO DIRECTO
MÉTODO PENTADIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
(
⋯ ⋱ ⋯
Ec (1) Ec (2)
=
+ (
A
Ec (n)
) ( x
)
b
Algoritmo Pentadiagonal
P-1 Dado el sistema Ax=b , expresarlo en la forma A ̅ =b y definir ̅̅̅=C
̅̅̅=D
Donde C D son constantes arbitrarias.
P-2 De Ec (1) despejar ̅̅̅
De Ec (2) despejar ̅̅̅ PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 65
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
De Ec (n-2) despejar ̅̅̅ De Ec (n-1) despejar ̅̅̅̅̅̅ De Ec (n) despejar ̅̅̅̅̅̅ Como no existe ̅̅̅̅̅̅ se hace lo siguiente : ̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
Como no existe ̅̅̅̅̅̅ se hace lo siguiente : ̅̅̅̅̅̅
Donde
̅̅̅ (
̅
Si
* es un vector residual. (̅̅̅ ̅̅̅ … ̅̅̅ ) es solución del sistema A.x = b
≠ ̅
Si
P-3 : La primera solución homogénea del sistema A.x = b se debe expresar como
; luego definir ̿̿̿
en la cual se considera C y D como constantes arbitrarias, finalmente se procede similar al paso anterior (P-2) llegando a la siguiente solución ̿
̿̿̿̿̿̿ ̿̿̿̿̿̿
Si
̅
̿̿̿
̿̿̿̿̿̿ ̿̿̿
en donde
. / es un vector residual.
(̿̿̿ ̿̿̿ … ̿̿̿) es solución del sistema A.x = b
Si ≠ ̅
P-4 : La segunda solución homogénea del sistema A.x = b se debe expresar como ̅̿ ̅̅̅ ; luego definir ̅̅̅ ̿̿̿ ̿̿̿ en la cual se
considera C y D como constantes arbitrarias, finalmente se procede similar al paso P-2 llegando a la siguiente solución. PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 66
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
̅̅̅̅̅̅ ̿̿̿̿̿̿ ̅̅̅̅̅̅ ̿̿̿̿̿̿
̅̅̅̅̅̅ ̿̿̿̿̿̿ ̅̅̅ ̿̿̿
en donde
( * es un vector residual.
(̅̅̅ ̿̿̿ ̅̅̅ ̿̿̿ … ̅̅̅ ̿̿̿) es solución del sistema A.x = b
Si
̅
Si
≠ ̅
P-5
: Finalmente se llegará al siguiente sistema ………( ) ………( ) ……… ( )
Luego hacemos (1) – ( )
A(
( )
( ))
( ) y se llega a lo siguiente
(
)
X
Se busca luego una solución en donde R
= /
Entonces la solución del sistema A.x = b estará dado por
𝑋
𝑥
𝛼𝑥
𝛽𝑥
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 67
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo Resolver el siguiente sistema pentadiagonal
2 +3 + 3 +2
= 8 Ec(1)
+4
+4
+
+
= 15 Ec(2)
+4
+4
+2
2
+
+2
= 13 Ec(2)
+
= 19 EC(4)
+7
= 15 EC(5)
PASO DEL ALGORITMO
P-1: Expresar el sistema como A. = b 2
+3
+
3
+2
+4
+
+4
+
+4
+2
= 13 Ec(3)
+4
+2
+
= 19 Ec(4)
+7
= 15 Ec(5)
2 Sea
= 8 Ec(1) = 15 Ec(2)
+
=0
=1
cte arbitrario
P-2: DE Ec(1) despejar
=5 pues 0 + 3(1) +
DE Ec(2) despejar
=8
= 7 pues 0 + 2(1) +4(8) +
DE Ec(3) despejar
= 15
= 16
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 68
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS pues 0 + 4(1) + 5 + 4( 7) + 2
DE Ec(4) despejar +4
+2
; como ∄
+
De la Ec(5) despejar
; como
= 45 ∄ hacemos
+ 7 = 15 +
2(5) + ( 7) +7(16) = 15 +
R=
, hacemos lo sgte. :
= 19 +
1 + 4(5) + 2( 7) + 16 = 19 +
2 +
= 13
( ) , como R ≠
= 100
; A.
=b+R
Se tiene:
=
= (
)
ó (
=(
)
)
P-3: Primera solución homogénea del sistema A.x = b, expresarlo Como A. ̿ = 2̿̿̿+ 3̿̿̿+ ̿̿̿
= 0 Ec(1)
3̿̿̿+ 2̿̿̿+ 4̿̿̿+ ̿̿̿
= 0 Ec(2)
̿̿̿+ 4̿̿̿+ ̿̿̿+ 4̿̿̿+ 2̿̿̿
= 0 Ec(3)
̿̿̿+ 4̿̿̿+ 2̿̿̿+ ̿̿̿
= 0 Ec(4)
2̿̿̿+ ̿̿̿+ 7̿̿̿
= 0 Ec(5)
Sea ̿̿̿= 10
̿̿̿= 20
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 69
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
De Ec(1) despejar ̿̿̿;
̿̿̿ = 80
pues 2(10) + 3(29) + ̿̿̿ = 0
De Ec(2) despejar ̿̿̿;
̿̿̿= 250 (
)
pues 3(10) +2(20) + 4( 8) + ̿̿̿= 0 De Ec(3) despejar ̿̿̿;
̿̿̿=
pues 10 + 4(20) + ( 80) + 4(250) + 2̿̿̿ =0 De Ec(3) despejar ̿̿̿; como ∄ ̿̿̿ hacemos ̿̿̿+ 4̿̿̿+ 2̿̿̿+ ̿̿̿= 0 +
20 + 4( 80) + 2(250) + ( 505) = 0 +
;
= 1445
De Ec(5) despejar ̿̿̿; como ∄ ̿̿̿ hacemos 2̿̿̿+ ̿̿̿+ 7̿̿̿= 0 + S=
(
;
) 2(
)+ (250) + 7(
)= 0 +
=0
P-4: Segunda solución homogénea del sistema A.x = b expresar A. ̿̅ = 0 ̿̿̿+ 3̅̅̅ ̿̿̿+ ̅̅̅ ̿̿̿ 2̅̅̅
= 0 Ec(1)
̅̅̅+ 2̿̿̿ ̅̅̅+ 4̿̿̿ ̅̅̅+ ̿̿̿ ̅̅̅ 3̿̿̿
= 0 Ec(2)
̿̿̿+ 4̅̅̅ ̿̿̿+ ̅̅̅ ̿̿̿+4 ̅̅̅ ̿̿̿+ 2̅̅̅ ̿̿̿ = 0 ̅̅̅
Ec(3)
̿̿̿ ̅̅̅+ 4̿̿̿ ̅̅̅+2̿̿̿ ̅̅̅+ ̿̿̿ ̅̅̅ = 0
Ec(4)
̿̿̿+ ̅̅̅ ̿̿̿+ 7̅̅̅ ̿̿̿ = 0 2̅̅̅
Ec(5)
̅̅̅= 20 Sea ̿̿̿
̿̿̿= 10 ̅̅̅
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 70
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
̅̅̅; De Ec(1) despejar ̿̿̿
̿̿̿=
pues 2(20) + 3(10) + ̿̿̿= 0 ̅̅̅ De Ec(2) despejar ̿̿̿
̿̿̿=
̿̿̿+ 2̅̅̅ ̿̿̿+ 4̅̅̅ ̿̿̿+ ̅̅̅ ̿̿̿= 0 3̅̅̅
) + ̿̿̿= 0
3(20) + 2(10) + 4( ̅̅̅ De Ec(3) despejar ̿̿̿
̿̿̿= 395
̿̿̿+ 4̅̅̅ ̿̿̿+̅̅̅ ̿̿̿+ 4̅̅̅ ̿̿̿+ 2̅̅̅ ̿̿̿= 0 ̅̅̅
20 + 4(10) + (
̿̿̿= 0 )+ 4(200) + 2̅̅̅
̅̅̅ como ∄ ̿̿̿ ̅̅̅, hacemos De Ec(4) despejar ̿̿̿ ̿̿̿ ̅̅̅+ 4̿̿̿ ̅̅̅+2̿̿̿ ̅̅̅+ ̿̿̿ ̅̅̅= 0 +
10 + 4(
= 1925
) 2(200) + 395 = 0 +
̿̿̿ ̅̅̅; como ∄ ̅̅̅ De Ec(5) despejar ̿̿̿ ̅̅̅+ ̿̿̿ ̅̅̅+7̿̿̿ ̅̅̅= 0 + 2̿̿̿ ̿̿̿ ̅̅̅ ̿̿̿ ̅̅̅
T = . /= (
);
=
̿̿̿ ̅̅̅ ̿̿̿ ̅̅̅ ̅̅̅) ( ̿̿̿
A.
(
)
= +T
P-5: Y se llega a lo siguiente A. = b + R A. = 0 + S A. = 0 + T PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 71
UNMSM
R–
MÉTODOS NUMÉRICOS
=0
–
R= .
+
/+
.
=R
1445 + 1925 2705
S=.
/= .
.
=
T=.
/
;
= 100
/ /
/
= 0.025992507
;
= 0.003865364
X=
X=
=
+ 0.025992507
(
)
(
(
)
(
)
+ 0.003865364 (
)
(
)
X= )
Comprobación :
Ec(1)
2 +3 +
=8
0.6744647 + 4.67551134 + 2.65002396 = 8 8 Y tambien cumple tod
=
8
Cumple!!! …
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 72
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
NORMA DE UNA MATRIZ La Norma de una matriz
es un número real tal que satisface las siguientes condiciones
(𝑖) ‖𝐴‖ 𝑦 ‖𝐴‖ 𝑠𝑖 𝐴 (𝑖𝑖) ‖𝜏𝐴‖ |𝜏|‖𝐴‖ 𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ‖ 𝐴‖
‖𝐴‖ 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 |
|
(𝑖𝑖𝑖) ‖𝐴 𝐵‖ ‖𝐴‖ ‖𝐵‖ (𝑖𝑣) ‖𝐴𝐵‖ ‖𝐴‖‖𝐵‖ Principales Normas
‖𝐴‖
-Norma “m” o Norma "∞" -Norma “l”, ‖𝐴‖𝑙
𝑚𝑎𝑥𝑗
-Norma “k”, ‖𝐴‖𝑘
√
𝑚𝑎𝑥𝑖
𝑗 |𝑎𝑖𝑗 |
𝑖 |𝑎𝑖𝑗 |
𝑖 𝑗 |𝑎𝑖𝑗 |
Ejemplo 1:
Sea
‖ ‖
*|
|
‖ ‖
*|
|
)
(
‖ ‖
√(
Para el vector X =
|
| |
|
)
+
*
+
*
+ +
√
* +
‖ ‖
‖ ‖
| |
| |
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
|
|
Pág. 73
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS ‖ ‖
√| |
| |
| |
Ejemplo 2: Sea X = (
) *|
‖ ‖ ‖ ‖
|
‖ ‖
√(
| )
|
|
|+
|
| (
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 74
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
SOLUCION ITERATIVA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PRIMER METODO:
METODO DE JACOBI Dado el sistema AX=b………… (1) Despejamos X de la ecuación 1 obteniendo un sistema equivalente de la forma: X = β + αX……… (2) De la siguiente manera.
Ec.(1) a11X1+a12X2+ …………………………………………………….. +a1mXm = b1 Ec.(1) a21X1+a22X2+ …………………………………………………….. +a2mXm = b2 Ec.(1) a31X1+a32X2+ …………………………………………………….. +a3mXm = b3 . . . Ec.(1) am1X1+am2X2+ …………………………………………………….. +ammXm = b1
𝑎
Donde:
A=
𝑎
Despejamos X; de la Ec. (i);
⋯ ⋱ ⋯
𝑎
𝑏
b = | | y si aii ≠ 𝑎 𝑏 𝑋0 X =| | 𝑋
i=1,2,3, …. , m
X = β + αi-1X
X1 =
…………
X2 =
…………
………. (2)
. . . PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 75
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Donde:
β = (β1,β2, … … … ,βm)t
β = bi/aii ; aii ≠ 0 ;
𝛼 α = αij = -aij/aii
*𝛼
α=
𝛼
𝛼
⋯ ⋱ ⋯
𝛼 𝛼
+
El sistema (2) anterior se puede expresar en la siguiente forma X = β + αX
X
=
|
β
|
+
|
αX
|
*
⋯ ⋱ ⋯
+ |
| … (2)
El Sistema (2) sugiere Jacobi la siguiente relación de recurrencia
X (k+1) = β + αX (k), k=0, 1, 2, … … … Ó
…………………….. (3)
X (k) = β + αX (k-1),
k=1 , 2, … … …
De la relación (3) se obtiene la sucesión {Xk} ∞k=0 tomando como valor inicial X (0) arbitrario, que generalmente X (0)=0 ó X (0)=β ó β=1 Obs.
X (k+1) = (X1(k+1),X2(k+1), … … … … … … … … … … … … … , Xm(k+1))t X (0) = (X1(0), X2(0),… … … … … … … … … … … … … …, Xm (0)) t
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 76
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
ALGORITMO DE JACOBI: P-1
Dado el Sistema Ax = b………………………… (1) Expresarlo en el sistema equivalente X = β + αx…………………… (2)
P-2 Tomando como solución inicial X (0) arbitrario generar la sucesión {X (k)} → X (*) mediante la relación de recurrencia: X (k+1) = β + αx (k)
,
k=0, 1, 2,… ….….…
Ó X (k) = β + αX (k-1) P-3
,
k=1,2,… … …
Dejar de iterar si
(|| X (k) – X (k-1) ||)/ || X (k) || <= ε = 10-m C.C. ir al P-2
NOTACION MATRICIAL DEL METODO DE JACOBI Sea el sistema Ax = b Donde:
A= 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎
𝑎
𝑎
… 𝑎 … 𝑎 ⋱ … 𝑎
La matriz A se le puede descomponer en la forma A = D +L + U, donde
𝑎 𝐷
*
𝑎
Matriz Diagonal
⋯ ⋱ ⋯
+ 𝑎
𝐿
⋯
𝛼 𝛼
… 𝑎
⋱ ( - )
Matriz Triangular inferior
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
𝛼 𝑈
*
⋯ ⋱ ⋯
𝛼 𝛼
+
Matriz Triangular superior
Pág. 77
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Así el sistema Ax = b se le puede expresar como: (D + L + U)X = b DX + (L + U) X = b DX = b – (L + U) X X = D-1b – D-1(L + U) X X = D-1b + [-D-1(L + U)] X
→
β = D-1b
Si el método de Jacobi es
X = β + αX
^
α = -D-1(L + U)
Matricialmente es: → X = D-1b – D-1(L + U) X Su relación de recurrencia es
X (k+1)= D-1b – D-1 (L + U) X (k)
,
k=0, 1, 2 …
Ejemplo. 1 Sea el sistema siguiente:
Con un ε = 10-1
Verificar su convergencia Ǝ {X (k)} → X (+) Si ||α | |∞ < 1
Obs. Para que se cumpla ||α | | < 1 es necesario que del sistema Ax = b, A sea diagonalmente dominante. De
(1) → X1: X1 = 12/10
ó
(-1/10) X2-(1/10)X3
(2) → X2: X2 = 12/10 – (1/10)X1
ó
(-1/10)X3
(3) → X3: X3 = 12/10 – (1/10)X1 – (1/10)X2
𝛽
𝛼
(
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
+
Pág. 78
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
||α | |∞ = ||α | |m = Max {0 + |-0.1| + |-0.1|, |-0.1| + 0 + |-0.1|, |-0.1| + |-0.1| + 0} = Max {0.2, 0.2, 0.2} → ||α | | = 0.2 <= 1 → Ǝ {X (k)} → X (+)
POR EL MÉTODO DE JACOBI Obs. Se toma como valor inicial X(0) arbitrario
X (0) = 0 X (0) = β X (0) = 1
X (0) K=0
Iteración Inicial:
X (k+1) = β + αX (k) X (1) = β + αX (0)
y sea X(0) = β = ( X(0)1 X(0)2 X(0)3 )t
Donde
X
(1)
( ) ( )| ( )
=|
|
|
[
] |
|
|
|
Donde
X1(1) = 1.2 + (0 -0.1-0.1)(
X2(1) = 1.2 + ( -0.1 0 -0.1)(
K=1
(
+
)(
)
(
)(
)
+
1° Iteración:
X (2) = β + αX (1)
X
(2)
=|
( ) ( )| ( )
|
|
[
] |
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
|
|
|
Pág. 79
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Donde:
X2(2) = 1.2 + (0 -0.1 -0.1)(
K=2
+ = 1.008
2° iteración:
X (3) = β + αX(2) ( ) ( )
X (3)= |
|
|
|
[
] |
|
|
|
( )
Donde:
X (3) = 1.2 + (0 -0.1 -0.1)(
+ = 0.9984
Veremos si ya se consiguió la solución:
||
( )
||
( )
||
{|
( ) ||
{|
|} {|
|}
|}
10-1 = ε
→ X (3) = X (*) con ε=10-1
Ejemplo 2:
Sea el siguiente sistema Ec (1) 20x1 + 5x3 =2 Ec (2) x1 + 20x2 + 2x3 = 4 Ec (3) x1 + 9x2 + 20x3 = 6
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 80
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Por Jacobi verificar su convergencia
CONVERGENCIA DE JACOBI {
( )
} X*
Si ||α|| <
1
…………….. (i)
Observación Para que se cumpla (i) Es necesario que A del sistema original Ax = b sea diagonalmente dominante, es decir aii > ∑ |aij| de su fila y de su columna Así: a11 = 20 > = 0 + 5 de su fila a11 = 20 > = 1 +1 de su columna a22 = 20 > = 1 + 2 de su fila a22 = 20 > = 0 + 9 de su columna Igual para a33 x1 =
+0+0-
x2 =
-
+0-
x3 =
-
-
+0
… …. . …………………. x = β+
α
| |
α
| = | |
|
|| α ||∞
máx.{ 0 + 0 + |
|| α ||∞
máx.{0.25, 0.15, 0.5 }
|| α ||∞
0.5 <
{
|,|
|+0+|
|,|
|+|
|+0}
1
} X* por jacobi
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 81
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Por jacobi obtener una solución con € Si la relación de jacobi es
=β+α
,k
0, 1,2…
Para k = 0 Interacción inicial =β+α
Observación
Sea
es arbitraria
=
=
=
+
….. β
……………………. … +
α
β
Para k = 1 Primera iteración
=
=
β+α
+
Donde = 0.1 +
= 0.1 + (0)(0.1) + (0)(0.2) + (-0.25)(0.3) = 0.025\ = 0.2 +
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 82
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
= 0.2 + (-0.05)(0.1) + (0)(0.2) + (-0.1)(0.3) = 0.165 = 0.205
Para k = 2 Segunda iteración
=
=
β+α
+
…..
=
………………….... ………
β
…………
α
k =3 β+α
Tercera iteración
=
=
+
….. β
=
………………….... ………
…………
α
Verificamos si se llego a la solución
=
= =
= 0.03289625 < =
* con € <
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 83
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
SOLUCION MATRICIAL DE JACOBI
Del sistema Ax = b Sea A = D + L + U
= b + [k = 0, 1, 2…
( D + L + U )x = b Dx + ( L + U)x = b Dx = b + [-( L + U)x] x=
b + [……
x=β
la relación matricial de jacobi ( L + U )]
Observación α=( L + U ) es igual al despejar xi de la ecuación (i), i = 1, 2, 3…
( L + U )]x
……………….. +
α
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 84
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
SEGUNDO METODO:
METODO DE GAUSS- SEIDEL
También determina la solución del sistema De la relación matricial del sistema (
iterativamente. :
) (
)
(
)
… ( )
De ( ) se obtiene la relación matricial de G-S , siguiente: 𝑥 (𝑘
)
( 𝐷 𝐿)𝑥 (𝑘
𝐷 𝑏
)
( 𝐷 𝑈)𝑥 (𝑘)
Observación: *Si
(
) {
*La relación ( ) se puede obtener al igual que Jacobi del sistema despejar la variable , para obtener la Matriz .
, de la ecuación
Algoritmo del método de Gauss-Seidel: Paso1: Dado el sistema
obtener su sistema ( )
Paso 2: Para un punto inicial arbitrario siguiente relación: (
)
Paso 3: Dejar de iterar si ‖
( ( )
( ( )
) )
‖
(
.
generar la sucesión { )
(
)
( )
;
( )
}
( )
mediante la
…
; caso contrario ir al paso 2.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 85
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Observación: En la convergencia del método de Gauss-Seidel también se cumple que:
‖ ‖ {
)
}
( )
Ejercicios resueltos: 1) Dados:
(
+
(
( )
+,
( +
Resuelva el sistema Ax = b por el método de Gauss-Seidel.
Solución: Utilizando Gauss-Seidel: (
)
(
)
( )
(
)
( )
Operando obtenemos la secuencia: ( )
(
+
( )
(
+
( )
(
+
( )
Claramente converge a la solución exacta (
(
+
( )
(
+
( )
(
+
) .
La tasa de convergencia del método de Gauss-Seidel viene dada por la norma de: (
)
(
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
+ Pág. 86
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Cuyas normas son: ‖ ‖ = 227/500 = 0.454 y ‖ ‖ = 2/5 = 0.4.
2) Considere el siguiente sistema de ecuaciones: (
+
( +
¿Puede resolver este sistema por el método de Gauss-Seidel? ¿Por qué? Si lo puede hacer, haga solo dos iteraciones a partir de la solución nula y determine la tasa numérica de convergencia. Además calcula la tasa exacta de convergencia. ¿Cuántas iteraciones necesitará para alcanzar un error absoluto de .
Solución: El método de Gauss-Seidel es aplicable porque por que la matriz es simétrica definida positiva. Dos iteraciones conducen a: ( ) ( ) ( )
( (
) )
(
)
Y la tasa de convergencia numérica la podemos calcular como (en norma infinito) ( )
‖
‖
( )
Que se parece poco a la tasa de convergencia exacta: ((
)
)
NOTA: Calculando con más iteraciones nos acercamos a la tasa teórica, por ejemplo: (
‖
)
( )
‖
Para alcanzar (en norma infinito) un error absoluto menor que iteraciones.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
se requieren 13
Pág. 87
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 1 Sea el sistema:
Por el método de Gauss-Seidel Analizar su divergencia Hallar su solución con
Solución:
Analizar su divergencia [
L
]
[
]
Luego: (L
)
[
][
]
[
[
‖ ‖
*
∃ {X (k)}
]
]
+ X*
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 88
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Hallar su solución con
[
De
(
][ ]
)
,
L-[
[
(
)
]
]
,
-
( )
( ) ( )
( )
Sea
[ ]
( )
( )
,
L-[
( )
,
]
-
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
[
]
( )
( )
[
][ ]
( )
( ) ( )
( )
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
[
]
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 89
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
: 1era Iteración ( )
,
L-[
( )
]
,
-
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
[
]
( )
( )
[
][
]
( )
( ) ( )
(
)
( ) ( ) ( )
( )
[
]
( )
: 2da Iteración
( )
,
L-[
( )
]
,
-
( )
( ) ( )
( )
( )
[
]
[
]
( )
( )
*
( )
[
][
]
( )
( ) ( )
( )
+
( ) ( ) ( )
( )
[
]
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 90
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
: 3era Iteración ( )
,
L-[
( )
]
,
-
( )
( ) ( )
( )
( )
[
]
[
]
( )
( )
[
][
]
( )
( ) ( ) ( )
( )
‖
[
]
( )‖
( )
‖
( )‖
|
|
|
|
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 91
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 2 Sea el sistema:
Por el método de Gauss-Seidel Analizar su divergencia Hallar su solución con Solución: Analizar su divergencia [
]
[
]
Luego: (
)
[
][
‖ ‖
*
]
[
][ ]
[
(
,
]
+
∃ {X (k)}
X*
Hallar su solución con
[
De
(
)
,
-[
)
]
]
-
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 92
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
( )
Sea
( )
( )
[ ]
( ) ( )
,
( )
-[
]
,
-
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
[
]
( )
( )
[
][ ]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
: 1era Iteración ( )
,
( )
-[
]
,
-
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
[
]
[
]
( )
[
][
]
( )
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 93
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
( )
( )
( )
( )
[
]
: 2da Iteración ( )
,
-[
( )
]
,
-
( )
( ) ( )
( )
( )
[
]
( )
[
]
( )
[
][
]
( )
( )
( )
( )
( )
‖
[
( )‖
( )
‖
]
( )‖
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 94
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 3 Sea el sistema:
Por el método de Gauss-Seidel Analizar su divergencia Hallar su solución con Solución: Analizar su divergencia [
]
[
]
Luego: (
)
[
][
]
[
[
‖ ‖ * ∃ {X (k)}
]
]
+ X*
Hallar su solución con
[
][ ]
[
]
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 95
UNMSM De
(
MÉTODOS NUMÉRICOS
)
,
-[
(
)
( )
]
,
]
,
-
( )
( ) ( )
( )
Sea
[ ]
( )
( )
,
-[
-
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
[
]
( )
( )
[
][ ]
( )
( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
( ) ( )
( )
[
]
( )
: 1era Iteración ( )
,
-[
( )
]
,
-
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
[
]
[
]
( )
[
][
]
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 96
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
( ) ( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
[
]
( )
: 2da Iteración ( )
,
-[
( )
]
,
-
( ) ( )
( )
( )
[
]
[
( )
]
( )
( )
*
( )
[
][
]
( )
( ) ( )
( )
+
( ) ( ) ( )
( )
[
]
: 3era Iteración ( )
,
-[
( )
]
,
-
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 97
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS ( ) ( )
( )
( )
[
]
[
]
( )
( ) ( )
[
][
]
( ) ( ) ( )
( )
‖
[
( )‖
( )
‖
]
( )‖
|
|
|
|
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 98
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
DIFERENCIA NUMERICA
Aproximaciones a la Derivada
Generación de Formulas de Diferenciación Numérica
Primera y Segunda Derivada Aplicando los Métodos de Newton Progresivo y Regresivo y Métodos Centrales.
Diferenciación numérica Dado una tabla de (n+1) puntos igualmente espaciados de la forma: (X0, f0), (X1, f1),… (Xn, fn) continua y diferenciable en [X0, Xn]. El problema de la Diferenciación Numérica es que dado un valor Xp [X0, Xn] se desea hallar el valor ( ) , donde: P
tal que
…( )
P (
(
) (
P )
)
… ( ) Fórmula de Newton Progresivo (N P): Si
Xp = X0 en (i) P = 0 fórmula de NP es: P(P
P∆
)∆ !
)(P
P(P
)∆
P(P
)(P
!
)(P
)∆
!
Según (ii) 0∆
(P
P) ∆ !
(P
P
P) ∆ !
(P
P
P !
P) ∆
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
1
Pág. 99
UNMSM ( P
0∆
MÉTODOS NUMÉRICOS
)∆
( P
P
!
( P
)∆
P
!
P
)∆
1( )
!
Si XP=X0 en (i) → P=0 en (iii) ∆
,∆
∆
∆
⋯-
DIFERENCIACION DE ORDEN SUPERIOR (
Se desea hallar (
)
(
)
)
(
) en forma aproximada
. Además P ( (
))
Si se sabe
En general se tiene
n
Para Newton Progresivo - hacia adelante (P
0∆
)∆
.
P
P
/∆
…1
Si XP=X0 → P=0 ∆
0∆
. /∆
…1
Formula de Newton Regresivo (NR). Su formula de interpolación es: P(P
P
)
)(P !
P(P
!
)
)(P
P(P
)(P
)
!
Según (ii) , ,
(P
P) !
(P
)
( P
( P !
P
P)
(P
P
P !
P
P
! P !
)
( P
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
!
P) )
⋯
Pág. 100
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Si XP=0 → P=0 ⋯1
0
Nota: Para determinar la 1ra derivada se debe tomar una diferencia más que la que indica la T O T en el caso de interpolación. DIFERENCIACION DE ORDEN SUPERIOR
(P
0
P
P
)
.
P
. /
0
P
PARA NEWTON REGRESIVO
/ …1
Ejemplo: En la siguiente tabla determinar (a) X 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
f(X) 1.0000 1.0513 1.1052 1.1618 1.2214 1.2840
…1
y (b)
) por NP
∆2
∆ 513 539 566 596 626
(
26 27 30 30
∆3 1 3 0
Solución(a): 0∆
∆
0
∆
1 1
Solución (b)
es una derivada que esta al principio de la tabla → se emplea la formula de Newton Progresivo, como XP=0.055 es un punto intermedio → XP *0.05,0.10+, → X0=0.05. Se halla su valor de P de:P . (
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 101
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
H=0.05 → P f0 X0 0.05 1.0513
S
( P
0∆
P
(
∆f0 539 )∆ !
( P
(
0
)
∆2f0 27 P !
)(
)∆
)
∆3f0 3
1 0
(
)
(
)
1(
)1
Ejemplo de la Fórmula Newton Regresivo Hallar(a) (
) y (b) (
)
Solución (a) Para P=0 y |
se utiliza →
0
P
(
|
1
P
(
0
)
)
porque X0=0.25 en la tabla de NR
1
Solucion(b) P
P
( P
0
P
(
)
(
)
0
P ) !
0
(
( P
P !
)
1(
)
1
)
0
(
)
(
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
)
1(
)1
Pág. 102
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
FÓRMULA DE DIFERENCIACIÓN DE BESSEL (
P
P
⋯
(
[
P
S
) )
⋯]
P P(P
)
P
P(P
)(P
P
P
)
P
P
P
P
P
Si XP es un punto tabulado XP=X0 → P=0 (
0
)
⋯1
FÓRMULA DE DIFERENCIACIÓN DE STIRLING ( P
S
[ (
P
P 1
)(P
P(P
⋯]
) )
⋯
P
( !) P (P
S P
)
(
S
0
(
)
P
S P
)
)(P
)
P
P
! ( P
)
(
)
⋯
En XP=X0 → P=0 0
(
)
(
)
⋯1
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 103
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
(
Ejemplo 3: Hallar(a)
), (b)
(
)
Solución(a) ( ) ( ) Como 0.10 [0.10, 0.15] → P
P |∆
g P
[
(
P
()
|
S S
)
(
0
g
]…( ) P
)
g
P
1
En la tabla se tiene: (
) (
(
0
)
)
1
Solución (b) (
)
,
P
P |∆
,
|
() P
(
)
P
P
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
()
Pág. 104
UNMSM (
MÉTODOS NUMÉRICOS
,( )(
)
)
(
)
(
)(
)-
INTEGRACIÓN NUMERICA Para intervalos Simples Método del trapecio
∫
( )
(
( )
Donde
( )=
max * |
)
, ( )|
m є *X0, X1] |
( )|
+
Método de Simpson de 1/3
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 105
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
(
∫
)
,
( )
Donde
*|
( )
m є [X0, X1]
( )|
|
( )|
+
Método de Simpson de 3/8
∫
,
( )
-
( )
( )
*|
( )|
|
( )|
+
Ejemplo:
∫
(
)
Por el trapecio Simple
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 106
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Solución:
X
f(x)
X0=1
f0=0.841471
X0+h=X1=2
f1=1.818595
Obs: Los puntos Xi son dela forma Xi=X0+hi Determinación del Si ( ) ( ) ( )
*| *|
( ) ( )
( )
( )|
|
( )|
| |
+ |+
(
)
Entonces ∫
(
)
Solución por el método Simpson de 1/3 para intervalo simple Sol:
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 107
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
X
f(x)
X0=1
f0=0.841471
X0+h=1.5
f1=1.496242
X0+2h=2
f2=1.818595
Determinación del Si
( ) ( )
( )
*|
( )
*
( )|
|
( )|
+
+
(
( )
)
Entonces: ∫
( )
(
)
Por Simpson 3/8 para intervalo Simple
Sol: ∫
(
)
, es igual al ejemplo anterior X
f(X)
X0=1
f0=0.841471
X1=4/3
f1=1.295917
X2=5/3
f2=1.659013
X3=2
f3=1.818595
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 108
UNMSM *
( )
MÉTODOS NUMÉRICOS +
(
( )
(
∫
)
)
Integración Numérica para intervalos compuestos
Método del trapecio compuesto
m veces h
Demostración:
∫
( )
(
)
∫
( )
(
)
∫
( )
(
)
… … PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 109
UNMSM ∫
( )
MÉTODOS NUMÉRICOS (
)
Entonces la suma todas las integrales seria:
∫
( )
,(
Determinación del
(
)
(
)-
……
del trapecio
) ( )
Método de Simpson de 1/3 compuesta.
Demostración:
∫
(
)
∫
(
)
∫
(
) …
∫
(
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
)
Pág. 110
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Entonces la suma de todas las integrales seria: ∫
,(
( )
Determinación del
)
(
)
⋯
(
⋯
)-
de Simpson de 1/3 compuesta
( ) ( )
… … (
)
( )
( )
Ejemplo:
∫ Por trapecio compuesto con m=5 Sol:
X
f(X)
X0=1 X1=1.2 X2=1.4 X3=1.6 X4=1.8
f0 f1 f2 f3 f4
X5=2
f5
(
)
( ( )
∫
( )
,(
)
(
Es igual al ejemplo del trapecio simple ) ( )
)-
= 1.436070589 +
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 111
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Simpson de 1/3 compuesto con m=3
X X0=1 X1=7/5 X2=8/6 X3=9/6 X4=10/6 X5=11/6 X6=2 (
)
f(X) f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6=fm (
)
( )
∫
,(
Es igual al ejemplo de Simpson de 1/3
( )
)
(
)
(
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
)-
2.493614005 +
Pág. 112
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
EXTRAPOLACION DE RICHARDSON- (E.R) Definición ER: Consiste en que a partir de dos estimación (o aproximaciones) de una integral, obtener una tercera aproximación (muchas veces la mejor). Se tiene los siguientes casos: Para intervalos simples: ER entre la Regla del trapecio y la 1º formula abierta (Integración abierta) “ambas de precisión uno” porque ( ) Sea
∫
( )
por dos métodos anteriores se tiene:
Regla Trapecio (RT):
𝐸
𝑓 𝑖𝑖 ( )
(𝑥 𝑥 )
𝐸
(𝑏
𝑎)
𝑏
𝑎
𝑓 𝑖𝑖 ( )
(𝑎 𝑏) 1º Regla Abierta de Newton – Cotes:
𝐸
𝑓
𝑖𝑖 (
)
(𝑥 𝑥 )
𝐸
(
*
𝑓 𝑖𝑖
( )
(𝑎 𝑏) El valor de la integral I* (generalmente es el mejor). Que se cumple: ……… ( ) Tomando el cociente de errores ( (
) )
( )
(
)
( )
Supongamos que: ( )
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
……… ( )
Pág. 113
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
(2) en (1)
(
)
(3) en (1)
(
) …………… ( )
ó
E.R. entre la R. trapecio Simple y la primera formula abierta
𝑰
𝟏 𝑰 𝟑 𝟏
𝟐 𝑰 𝟑 𝟐
FORMULA EXTRAPOLACION -(ER) ENTRE TRAPECIO SIMPLE Y 1RA FORMULA ABIERTA.
Ejemplo: Calcular ∫ (
)
( )
Aplicando: 4 es decir:
= 1 + 1(1) =2
= 1 + 2(1) =3 (
)
(
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
)
Pág. 114
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
( )
f(X) f1 ( )( )
Aplicando (4)
(
)
x0
(
x1
x2
) ( )
E.R. ENTRE LAS FORMULAS DE SIMPSON DE 1/3 Y 3/8 SIMPLE
Se sabe que para Simpson de 1/3 para intervalo simple es: ∫
(
(
( )
*
(
)
)
(
(
)
)
( (
)
)
(
)
Y que para Simpson de 3/8 es:
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 115
UNMSM ∫
MÉTODOS NUMÉRICOS (
( )
(
(
*
)
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
……( ) Sea el siguiente cociente de errores: (
)
(
)
(
Si
)
(
(
)
(
)
≠
(
)
)
… ( )
(2)’ en (1)’: (
)……( )
(3)’ en (1)’: (
𝐈
)
𝟗 𝐈 𝟓 𝟐
𝟒 𝐈 𝟓 𝟏
… (4)`
Formula De Extrapolación entre Simpson de 1/3 y Simpson de 3/8 para Intervalo Simple
Ejemplo: Aplicando la fórmula
para hallar:
∫ (
)
Solución:
(
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 116
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
( ) (
( )
∫ (
𝑓(𝑥)
)
(
)
X0+1h = 𝑋 𝑋
)
𝑋
𝑓 𝑓 𝑓
𝑓(𝑥) (
∫
( )
∫
𝑋 𝑋 𝑋 𝑋
)
(
𝑓 𝑓 𝑓 𝑓
)
(
( )
{
(
(
)
)
(
(
)
)
)}
(E.R) PARA EL TRAPECIO COMPUESTO
Sea:
…… ( ) Para
aplicaciones de la Regla Del Trapecio Compuesto, análogamente:
Para
aplicaciones de la Regla Del Trapecio Compuesto tomando el cociente de errores:
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 117
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS (
)
(
)
(
)
(
)
;
≠
(
)
Si:
(
)
(
)
(
*
(
*
…… ( )
(2)” en (1)”: . / . / . / ]
[
.
/
…… ( )
(3)” en (1)”: Para
en (3)”. Se tiene: .
⁄
/
…… ( ) (4)” en (1)” (
𝐈
𝟒 𝐈 𝟑 𝐧𝟐
𝟏 𝐈 𝟑 𝐧𝟏
)
Extrapolación de Richardson (E.R.) para el Trapecio Compuesto para n1 y n2.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 118
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejemplo 1: ) ) y despues “cuatro Calcular ∫ ( usando “1º dos aplicaciones” ( ) de la regla del Trapecio compuesto y despues aplicar E.R. para encontrar una aplicaciones” ( 3º aproximacion (que es la mejor).
Solución:
,
(
-
⋯
( )
Se tiene: y Para:
(
)
Como
(
𝑓(𝑥)
1 2
1 9 2.5
Para:
( ))
𝑓 𝑓 𝑓
(
)
Como
𝑓(𝑥)
1 1.5 2.5 3
1 4 9 15 25
𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓
(
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 119
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS .
( .
(
)/ )/
Aplicando:
(
)
(
)
Ejemplo 2: Evaluar ∫
igual a la pregunta anterior.
Solución: Para:
𝑓(𝑥) 1 2
1 1/2 1/3
𝑓 𝑓 𝑓
∫ ( )
( (
) . /*
Para:
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 120
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
𝑓(𝑥) 1 1.5
1 2/3 1/2 2.5 1/3
2.5 3
∫ ( )
𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓
(
)
(
. /
.
/*
. /
E.R. PARA LAS REGLAS DE SIMPSON DE 1/3 COMPUESTO
Sea
…… ( ) ,
(
Donde
^
Aplicando donde:
Si ( )
(
)
(
⋯
-
son aproximaciones de ^
)
⋯
aplicaciones de la R. de Simpson de 1/3 compuesto y su cociente de errores,
(
(
)
(
)
)
(
)
(
)
;
(
≠
. /
. /
)……( )
……( )
( ) . /
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 121
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS . /
.
/
…… ( )
Para: en ( )
.
/
( ( )
)…… ( )
( ) (
Extrapolación de Richardson (E.R.) entre las reglas de Simpson de 1/3 compuesto para 𝒏𝟏 y 𝒏𝟐 aplicaciones.
)
𝟒 𝐈 𝟑 𝐧𝟐
𝐈
𝟏 𝐈 𝟑 𝐧𝟏
…… ( )
Ejemplo (1):
∫ Para :
X X0=1 X1=2
(
)
f(X) f0 f1
(
)
Para :
X X0=1 X1=1.5 X2=2
f(X) f0 f1 f2
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 122
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS (
)(
)
Entonces:
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 123
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
INTEGRACION DE ROMBERG Es un método que combina la convergencia de las reglas del Trapecio o Simpson con las técnicas de extrapolación de Richardson para retener una sucesión que converge hacia el verdadero valor de la integral. Descripción de la técnica de integración de Romberg Vamos a introducir la
y
Trapecio Compuesto para Para:
∫
, la aproximacion de la integral
y
( )
utilizando la regla del
.
; se sugiere la siguiente tabla:
1
2
3
4
1
2
4
8
…
n
La integración de Romberg da su respuesta en forma matricial:
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
Se sugiere hallar
. .
con la siguiente formula.
𝑅
𝐾
𝐾
(𝑘
𝑓(𝑎)
Nos generamos las siguientes sucesiones
𝑓(𝑏)
∑
𝑖
)
𝑓(𝑎
𝑖
𝐾)
…
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 124
UNMSM ∫
MÉTODOS NUMÉRICOS
( )
( ( )
( ))
Obs: Para las demás filas y columnas se sugiere hallar con la siguiente formula 𝐾
𝑅𝐾
𝑅(𝐾
)
𝐾
∑
𝑖
𝑓(𝑎
(𝑖
)
𝐾
)
De la segunda columna hacia adelante se calculara con la siguiente fórmula: 𝑗
𝑅𝑖 𝑗
𝑅𝑖𝑗
𝑅𝑖
𝑗
𝑗
i = 2, 3, 4,…n j = 2, 3, 4,…n
Para la segunda columna se utilizara:
𝑅𝑘
𝑅𝑘
𝑅𝑘
k = 2,3,…
Para la tercera columna k=3 será:
𝑅𝑘
𝑅𝑘
𝑅𝑘
k = 3,4,…
Para la cuarta columna k=4 será:
𝑅𝑘
𝑅𝑘
𝑅𝑘
k = 4,5,…
Para la quinta columna k=5 será:
𝑅𝑘
𝑅𝑘
𝑅𝑘
k = 5,6,…
Para la sexta columna k=6 será:
𝑅𝑘
𝑅𝑘
𝑅𝑘
k = 6,7,…
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 125
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ejercicio 1 Hallar ∫
; con n=6 por Romberg
Solución: Tenemos de datos: a=0 b=0.8 n=6 ( ) Realizando la tabla 1
2
3
4
5
6
1
2
4
8
16
32
0.8
0.4
0.2
0.1
0.05
0.025
Hallamos la primera fila y columna
( )
( )
∑
(
)
Cuando K = 1
[ ( )
(
)
, ( )
(
)-
(
)]
( ) ( ) (
)
,
-
Calculando la primera columna y demás filas. (
)
∑
(
(
)
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 126
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Cuando K = 2
0
(
)
(
(
)
)1
0
(
)
(
(
)
)1
0
(
)
(
(
)
)1
0
(
)
(
(
)
)1
0
(
)
(
(
)
)1
Cuando K = 3
Cuando K = 4
Cuando K = 5
Cuando K = 6
PARA LOS VALORES DE LA SEGUNDA COLUMNA:
Cuando K = 2
Cuando K = 3
Cuando K = 4
Cuando K = 5
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 127
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Cuando K = 6
PARA LOS VALORES DE LA TERCERA COLUMNA:
Cuando K = 3
Cuando K = 4
Cuando K = 5
Cuando K = 6
PARA LOS VALORES DE LA CUARTA COLUMNA:
Cuando K = 4
Cuando K = 5
Cuando K = 6
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 128
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
PARA LOS VALORES DE LA QUINTA COLUMNA:
Cuando K = 5
Cuando K = 6
PARA LOS VALORES DE LA SEXTA COLUMNA:
Cuando K = 6
LA MATRIZ FINAL SERÁ:
0.712173 0.594777
0.55545
0.564899
0.554939
0.554891
0.557395
0.554889
0.554889
0.554888
0.555517
0.554890
0.554890
0.554890
0.554890
0.555047
0.554890
0.554889
0.554889
0.554889
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
0.554889
Pág. 129
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON VALOR INICIAL. I) De un solo paso: Dada la Ecuación Diferencial Ordinaria:
𝑦´
𝑓(𝑥 𝑦) /
𝑑𝑦
𝑦´
𝑑𝑥
Con la condición inicial:
𝑦(𝑥 )
𝑦
a) Método de Euler: Es de la forma:
𝑦𝑖
𝑦𝑖
𝑦´𝑖
O
𝑦𝑖
𝑦𝑖
𝑓(𝑥 𝑦)
Observación: Euler es un caso particular de Taylor de orden 1. Ejemplos resueltos: 1º forma de pregunta 1) Dado: ´ Con: ( ) Hallar: (
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 130
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Solución: Como: Entonces: ´
Para i=0 , Donde: (
)
( )
Luego: ´ …( ) Donde: ´ Reemplazando en ( ):
(
(
)( )( )( )
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 131
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
2º forma de pregunta 2) Dado: ´ Con: ( ) Hallar: (
) para
,
- , con n=4
Solución: Como: 0
1
1
2
1.25 1.5 (
)
(
)
(
)
(
)
)
(
Para i=1, con (
)
(
Para i=2, con (
)
(
Para i=0, con (
3
4
1.75
2
)
´
)
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 132
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Para i=3, con (
)
(
Para i=4, con (
)
(
)
)
b) Método de Taylor de orden K: Es de la siguiente forma: ´´
´ !
( )
´´´
!
⋯
!
!
O ´
(
)
( )
´´
( ) !
´´´
( ) !
( ) !
( )
⋯
( )
!
Donde: El error local es de la forma: (
)
( )
!
Ejemplos resueltos: 1º forma de pregunta Dado: ´
…( )
Con: ( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 133
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Por Taylor de orden 3 hallar: (
)
Solución: Como: Y de (
) se sabe que:
Luego, Taylor de orden 3 es de la forma: ´ ! Para i=0 con (
)
(
!
´´´
!
)
´´
´ !
´´
´´´
!
!
Se requiere hallar: ´
´´
´´´
( ) ´
…( )
´ ´ ´
Derivando ( ) ´´
´
…( )
´´ ´´
´
( )
( )( )
´´
Derivando ( ) ´´´
(
´´
´´´
(
´´´
(( )( )
´´
´ ´
)
´
´
)
( )( ))
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 134
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
´´´
Por último, reemplazando: )( ) !
(
(
) ( ) !
) ( ) !
… (
)
…
2º forma de pregunta Dado: ´
…( )
Con: ( ) ,
Por Taylor de orden 3 en el segmento
- con n=2, hallar: (
)
Solución: Como: Determinamos los puntos:
)
Para i=0 con (
(
-
´´´
!
!
…
)
,
)
´´
´ !
Para i=1 con (
/
(Resuelto anteriormente)
(
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 135
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
´´
´ !
´´´
!
! ´´
Se requiere hallar: ´
´´´
De ( ) ´
…( )
´ ´
…
´
…
Derivando ( ): ´´
´
…( )
´´ ´´
´
(
)
(
… )(
…)
´´
Derivando ( ) ´´´
(
´´
´´´
(
´´´
((
´ ´
)
´
´
´´
) … )(
)
(
… )(
… ))
´´´
Luego, reemplazando: ´´
´ !
´´´
!
…
! (
)(
…) !
(
) (
)
(
!
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
) (
) !
Pág. 136
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
)
Para i=2 con (
(
)
´´
´ !
´´´
!
! ´´
Se requiere hallar: ´
´´´
De ( ) ´
…( )
´ ´ ´
Derivando ( ): ´´
´
…( )
´´ ´´
´
( )
(
)(
)
´´
Derivando ( ) ´´´
(
´´
´´´
(
´´´
((
´ ´
)
´
´
´´
) )(
)
(
)(
))
´´´
Luego, reemplazando: ´ !
´´
´´´
!
! (
)(
) !
(
) (
) !
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
(
) (
) !
Pág. 137
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
PREDICTOR – CORRECTOR Como su nombre lo indica se predice un valor , después se usa una formula diferente para corregir este valor. Los métodos Predictor-Corrector hallar el valor del pto( ) utiliza información del pto( ) y sus precedentes donde cada pto precedente indica un paso, de aquí su nombre como método de múltiples pasos. A diferencia de los métodos de Runge-Kuta, Taylor, Euler, que son métodos de un solo paso (Para utiliza la información de )
Ejemplo: Usando el método predictor – corrector
Predictor: 𝑦𝑖 Corrector: 𝑦𝑖
Con h=0.5, hallar
( )
𝑦𝑖 𝑦𝑖
(
)
sabiendo que satisface:
Solución: ; Por condición del problema. (
(
Y h=0.5
)
) ( )
Para aplicar el predictor corrector, se necesita hallar (puede ser Taylor, o RK), Sea RK-4. ( (
orden
)
)
( )
(
(
) (
por un método no menor de
)
(
)
(
( )(
)
( ))
)(
)
(
)(
)
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 138
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
(
)
(
)
(
(
(
)
(
(
)(
))
)(
)
)
(
(
(
)
(
))
)
(
)(
)
(
) (… )
(
)(
(
)
)(
)
Aplicando el predictor:
(
( )
)(
)
( )
(
( )
)
( )(
)
Aplicando el corrector: ( ( ) ( )
) (
)
→ este es el corrector
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 139
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se puede transformar en un sistema de EDO de orden 1. Así se tiene una EDO de orden n:
𝑦 (𝑛)
con las condiciones iniciales
(
𝑓(𝑥 𝑦 𝑦
)
( )
𝑦 𝑦
… 𝑦 (𝑛
)
)
n condiciones iniciales
Sea las sgtes transformaciones
. n
(n
)
Se tiene
. n
Sea
… (
( ( )=
( )
)
)
→
( )
( )
( )
( )
…
…
( )
n( )
Ejemplo 1: La Sgte. EDO de Con
( )
( )
orden
( )
Como un conjunto de ecuaciones de
orden
Solución: De Sea ( )
( )
( )
( )
( )
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 140
UNMSM La EDO de
MÉTODOS NUMÉRICOS
orden se expresa como un conjunto de 3 ecuaciones de
orden sgte:
Matricialmente se tiene: =
Con las Sgts. condiciones iniciales ( )
( )
=
( ) ( )
Ejemplo 2: Dado
con
( ) ( )
Expresar como un sistema de EDO de
( ) ( )
orden
Solución Sea
El sistema de EDO de
( )
( )
orden es:
( )
( )
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 141
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
Matricialmente = =
( )
,i=0,1,2
( ) ( ) ( )
Sea ( )
( )
( )
=
( ) ( ) ( )
=
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 142
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
CONCLUSIONES Ventajas y desventajas de los métodos iterativos comparados con los métodos directos Ventajas: Probablemente son más eficientes que los métodos directos para sistemas de orden muy alto. Más simples de programar. Pueden aprovecharse una aproximación a la solución, si tal aproximación existe. Se obtiene fácilmente bajo aproximaciones burdas de la solución. Son menos sensibles a los errores de redondeo (valiosos en sistemas mal condicionados). Se requiere menos memoria de maquina. Generalmente, las necesidades de memoria son proporcionales al orden de la matriz. Desventajas: Si se tiene varios sistemas que comparten la matriz coeficiente, esto no representara ahorro de cálculos ni tiempo de maquina, ya que por cada vector a la derecha de A tendrá que aplicarse el método seleccionado. Aun cuando la convergencia este asegurada, puede ser lenta y, por; lo tanto, los cálculos requeridos para obtener una solución particular no son predecibles. El tiempo de maquina y la exactitud del resultado dependen del criterio de convergencia. Si la convergencia es lenta, los resultados deben interpretarse con cautela. No se tiene ventaja particular alguna (tiempo de maquina por iteración) si la matriz coeficiente es simétrica. No se obtiene la inversa de A ni el determinante de A.
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 143
UNMSM
MÉTODOS NUMÉRICOS
INTEGRANTES 1. ALARCON MONRROY, ALEXANDER……………..
08190032
2. ALVARADO LACMA, MARCIAL…………………………09190023 3. CORREA GALLUFFE, BORIS……………………………..08190144 4. CESPEDES BURGOS, JUAN……………………………….04190205 5. CAQUI PINTADO, GABRIEL……………………………...09190107 6. CASTILLO VELASQUEZ, JUAN………………………….09190026 7. CALDERON HUAMAN, DAVID JESUS………………..10190264 8. DELGADO ARPITA, MIGUEL…………………………….07190020 9. GOMERO GOMERO, CARLOS J………………………….09100168 10. HUAMANI QUISPE, JUAN PABLO…………………….03190038 11. LOPEZ PORRAS, JUAN JOSE……………………………..09190116 12. MARIANO CABELLO, ISIDRO…………………………...09190118 13. MENDOZA GUZMAN, JORGE……………………………07190151 14. MEJIA SANCHEZ, JOSE EDUARDO……………………08190173 15. ROSALES LEON, FERNANDO JESUS…………………09190171 16. RODRIGUEZ ALVARADO, JORGE……………………...08190051 17. RIVERA YANAC, VLADIMIR……………………………..09190139 18. SUEROS ZARATE, JONATHAN………………………….08190094 19. TUÑOQUE MEZA, JOB JOSUE……………………………05190041 20. VILLA FLORES, DANIEL…………………………………..06190148 21. ZAMORA MONTENEGRO, RONEL…………………….09190020 22. ZELADA LOPEZ, ROYBHER FRANK………………….09190153
PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZ
Pág. 144